算法合集之《浅谈信息学竞赛中的区间问题》
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的区间问题》
浅谈信息学竞赛中的区间问题华东师大二附中周小博【摘要】本文对一些常用的区间问题模型做了简单介绍，包括一些算法及其正确性的证明，并从国际、国内的信息学竞赛与大学生程序设计竞赛中选了近10道相关例题，进行简要分析。
【关键字】区间模型转化贪心动态规划优化在信息学竞赛中，有很多问题最终都能转化为区间问题：例如从若干个区间中选出一些满足一定条件的区间、将各个区间分配到一些资源中、或者将一些区间以某种顺序放置等。
这类问题变化繁多，解法各异，需要用到贪心、动态规划等算法，并可以用一些数据结构优化算法。
本文将从几个方面对区间问题做一个简单的介绍，给出一些算法及其正确性的证明，具体分如下几个方面进行讨论：1.最大区间调度问题2.多个资源的调度问题3.有最终期限的区间调度问题4.最小区间覆盖问题5.带权区间调度、覆盖问题6.区间和点的有关问题我们将对上述每个问题都给出基本模型、算法、证明及其实现，并从ACM-ICPC、CEOI、CTSC等比赛中选出了近10道相关例题，进行简要分析，有的例题还给出了各种不同的算法及其时间效率的分析。
本文中所讨论的问题主要由两个部分组成，一部分为近几年来各类竞赛题的归纳总结，另一部分来自于参考文献。
数轴上有n 个区间，选出最多的区间，使得这些区间不互相重叠。
算法：将所有区间按右端点坐标从小到大排序，顺序处理每个区间。
如果它与当前已选的所有区间都没有重叠，则选择该区间，否则不选。
证明：显然，该算法最后选出的区间不互相重叠，下面证明所选出区间的数量是最多的。
设i f 为该算法所接受的第i 个区间的右端点坐标，i g 为某最优解中的第i 个区间的右端点坐标。
命题1.1 当1≥i 时，该算法所接受的第i 个区间的右端点坐标i f ≤某最优解中的第i 个区间的右端点坐标i g 。
该命题可以运用数学归纳法来证明。
对于1=i ，命题显然为真，因为算法第一个选择的区间拥有最小右端点坐标。
令1>i ，假定论断对1-i 为真，即11--≤i i g f 。
算法合集之《信息学竞赛中概率问题求解初探》
f ( )( x
i 1 i
Байду номын сангаас
n
i
xi 1 ) A | 而不
管ξ i 的取值，我们就称函数 f 在[a,b]上可积，称 A 为函数 f 在[a,b]上的定积分，记为
b
a
f ( x) dx 。一个实用的结论是：任意连续函数在任意闭区间上都是可积的。
Newton-Leibniz 公式： 设连续函数 f 在[a,b]上有定义， 则
k 1
k
p k | 存在，则
称
x
k 1
k
pk 为 X 的数学期望，简称期望，记为 E(X)。
1.3.2 连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x),若广义积分
| xf ( x ) | dx 收敛，则称
xf ( x)dx 为连续型随机变量 X 的数学期望，记为 E(X)。
x
f (t ) dt ，则称 X 为连续型随
机变量，称 f(x)为 X 的概率密度函数。要注意，概率密度不是概率。常见的连续型随机变
2
IOI2009 冬令营论文 梅诗珂 量分布有均匀分布，正态分布，指数分布。 1.2.2.1 连续型随机向量及其概率分布 如果 X1,X2,…,XN 都是连续型随机变量，则称(X1,X2,…,XN)为 N 维随机向量，其概率 分 布 函 数 为 F(x1,x2, … ,xN)=P{X1 ≤ x1,X2 ≤ x2, … ,XN ≤ xN} 。 若 存 在 非 负 可 积 函 数 f(x1,x2,…,xN)使得 F ( x1 , x2 ,..., x N )
D
信息学竞赛中常见的论问题与算法
信息学竞赛中常见的论问题与算法信息学竞赛是计算机科学与技术领域的重要竞赛形式，旨在培养学生的计算思维、算法设计和程序编写能力。
在竞赛中，常见的论问题与算法是非常重要的知识点。
本文将介绍信息学竞赛中常见的论问题及其解决算法。
一、最短路径问题在信息学竞赛中，最短路径问题是经常出现的一类论问题。
其基本思想是在给定的图结构中，寻找从起点到终点的最短路径。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径问题中常用的解决算法之一。
它采用贪心策略，从起点开始逐步扩展最短路径集合，直到找到终点或者所有路径都找到为止。
2. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是解决最短路径问题的另一种经典算法。
它采用动态规划的思想，通过迭代更新矩阵来寻找最短路径。
二、最小生成树问题最小生成树问题是指在一个连通图中，找到一个生成树，使得树的边权值之和最小。
1. Prim算法Prim算法是解决最小生成树问题的典型算法之一。
它从一个起点开始，逐步添加边，直到所有的节点都被覆盖，形成最小生成树。
2. Kruskal算法Kruskal算法是另一种常用的最小生成树算法。
它将所有边按照权值从小到大排序，逐步添加边，同时保证不形成环，直到所有节点都被覆盖。
三、动态规划问题动态规划是一种常见的问题求解方法，通过将复杂问题分解成一系列重叠子问题，并将其结果储存起来，以避免重复计算，从而提高算法的效率。
1. 背包问题背包问题是一个经典的动态规划问题，在信息学竞赛中也经常出现。
其基本思想是，在给定的背包容量和一组物品的重量、价值情况下，选择物品将其放入背包中，以获得最大的总价值。
2. 最长上升子序列问题最长上升子序列问题是求解一个序列中满足严格递增条件的最长子序列的长度。
通过动态规划求解，可以获得最优解。
四、图论问题图论是信息学竞赛中常用的一种数据结构，常见的图论问题有最短路径、最小生成树等。
1. 拓扑排序拓扑排序是一种对有向无环图进行排序的算法。
2021 海淀区信息学奥赛 区间划分
2021 海淀区信息学奥赛区间划分一、引言区间划分是计算机科学中一个重要的概念，它在算法设计和分析、数据结构以及动态规划等领域中有着广泛的应用。
2021年海淀区信息学奥赛的题目中涉及到了区间划分，这个主题既是计算机科学的重点内容，也是考生们需要深入理解和掌握的知识点。
本文将从简到繁，由浅入深地探讨2021海淀区信息学奥赛的区间划分主题，帮助读者更全面、深入地理解这一概念。
二、区间划分的基本概念在计算机科学中，区间通常指一段连续的数据集合，区间划分就是将给定的区间划分成若干个不相交的子区间，一般要求这些子区间的并等于原区间，并且它们的交为空集。
在算法设计和分析中，区间划分常常与贪心算法、动态规划等经典的算法思想结合，用来解决各种实际问题，比如区间调度、区间覆盖等。
区间划分的基本概念包括区间端点、区间长度、区间的覆盖等，这些概念都是理解区间划分题目的重要基础。
三、2021海淀区信息学奥赛中的区间划分题目在2021年海淀区信息学奥赛中，区间划分题目的具体内容可能涉及到一些关于区间长度、区间权值、区间覆盖等方面的问题。
举一个简单的例子，题目可能是给定一个长度为n的区间，每个位置上都有一个权值，现在需要将这个区间划分成m个子区间，要求每个子区间的权值之和尽量大。
这样的题目既考察了对区间划分基本概念的理解，又考验了解决实际问题的能力。
这类题目对参赛者的综合能力提出了更高的要求。
四、如何解决区间划分题目解决区间划分题目，一般可以采用贪心算法、动态规划等经典的算法思想。
在贪心算法中，常常需要根据题目的特定要求设计合适的区间划分策略，以使得每次划分能够最大化某种指标。
而在动态规划中，需要建立合适的状态转移方程，然后利用动态规划算法求解。
这些方法都需要对区间划分的特点加以分析和把握，要灵活运用各种算法思想来解决题目中的具体问题。
五、个人观点和理解区间划分是我的文章写手，编程解决问题时经常用到的一个重要概念。
在我看来，区间划分不仅是一种算法思想，更是对问题分解和综合能力的考验。
算法合集之《信息论在信息学竞赛中的简单应用》
单应用》
目录
• 信息论基础 • 信息论在算法设计中的应用 • 信息论在信息学竞赛中的应用 • 信息论的未来发展与挑战
01
信息论基础
熵的定义与计算
熵
熵是信息论中用于度量信息不确 定性的概念，其值越大，信息的 不确定性越高。
计算公式
熵的计算公式为 $H(X) = sum_{x in X} P(x) log_2 P(x)$， 其中 $P(x)$ 是随机变量取某个值 的概率。
03
未来信息论的发展将更加注重与其他学科的交叉融合，探索新
的应用领域和研究方向，如量子信息论、生物信息论等。
THANKS
感谢观看
利用信息论进行数据压缩
总结词
利用信息论中的数据压缩原理，可以有效地 减少数据存储空间和提高数据传输效率。
详细描述
数据压缩是信息论中的一个重要应用，它通 过去除数据中的冗余和模式，将数据压缩成 更小的表示。在数据压缩中，我们可以利用 信息论中的熵概念来度量数据的冗余程度， 并设计更有效的压缩算法。例如， Huffman编码和算术编码等算法就是基于 信息论的数据压缩算法。
应用场景
相对熵在信息学竞赛中常用于解决与机器学习、分类算法 等问题相关的问题。
02
信息论在算法设计中的应 用
利用信息论优化搜索算法
总结词
利用信息论中的熵和条件熵的概念，可 以优化搜索算法，提高搜索效率和准确 性。
VS
详细描述
在搜索算法中，我们常常需要确定搜索的 优先级或者选择搜索的路径。信息论中的 熵和条件熵可以帮助我们度量信息的随机 性和不确定性，从而指导我们进行更有效 的搜索。例如，在A*搜索算法中，我们可 以用信息论来计算启发式函数的值，以便 更准确地估计节点的优先级。
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的“0”和“1”》
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的“0”和“1”》信息学竞赛，作为一项高智商、高技能的竞赛项目，一直备受关注。
在这项比赛中，算法的设计和实现是关键的考察内容之一、而在算法设计过程中，经常会遇到数字“0”和“1”的处理问题，本文将对信息学竞赛中的“0”和“1”进行浅谈。
首先，我们先来思考一下，为什么会在信息学竞赛中频繁地遇到“0”和“1”。
事实上，信息学竞赛中的问题通常是围绕着计算机和计算机科学展开的，而计算机是一种二进制的设备，只能识别“0”和“1”。
因此，在算法设计中，经常会遇到需要将问题转化为二进制数字的形式来处理的情况。
其次，我们来看看在具体的算法设计中，常见的“0”和“1”相关的问题。
首先，是位运算问题。
计算机底层的操作是基于位的运算，包括与、或、非、异或等操作，这些操作往往会涉及到“0”和“1”的位运算。
在信息学竞赛中，对二进制数字的位运算能力是很重要的，比如二进制的与、或、非等操作可以用来解决一些特定的问题，比如位运算求解整数的奇偶性、判断是否是2的幂等等。
其次，是01背包问题。
背包问题是算法设计中经典的问题之一，而01背包问题是其中的一种形式。
在01背包问题中，我们需要选择一些物品放入背包中，每个物品有一定的价值和重量，同时背包有一定的容量限制，要求在不超过容量限制的情况下，如何选择物品放入背包中使得总价值最大。
在求解01背包问题中，我们往往需要使用到二进制的“0”和“1”表示物品的选择情况。
再次，是二进制。
二进制是一种高效的方法，其基本思想是通过对范围的二分缩小，从而有效地减少的时间复杂度。
而在二进制中，通常会使用到二进制的“0”和“1”来表示的状态，比如在二分查找中，我们通过比较中间位置的值和目标值的大小关系，确定是继续左半部分还是右半部分。
最后，还有一种经典的问题，即哈密顿路径问题。
在哈密顿路径问题中，我们需要在一个有向图中找到一条路径，使得这条路径依次经过图中的每个顶点，且每个顶点只能经过一次。
算法合集之《浅析信息学竞赛中一类与物理有关问题》
6 5
4
称与左右两边都不连通的容器为独立的
利用独立容器水压与气压的平衡 直接算出独立容器最终的水位 只需考虑容器独立前水位是如何变化的
一类特殊情况
不妨先研究一类简单的情况 大胆提出限制：管子的高度递增 这种情况下容器间更容易封住
一类特殊情况
一类特殊情况
从左到右对每个容器进行处理 总复杂度O(N) 特殊情况解决
从特殊到一般
大胆进行类比，引入块的概念
一个块是一段连续的容器 这段容器间的管子高度递减
从特殊到一般
这样定义块的原因
块内水位上升规律明显 块与块之间容易密封
一般情况的解决
块水位变化的规律
与右边的块密封前的规律
一般情况的解决
块水位变化的规律
与右边的块密封后的规律
一般情况的解决
从左到右依次对块进行处理 复杂度分析
总结
回顾例题并参考其它这类的问题 这类问题对我们的要求与培养：
有创造力，勤于实践 理性与感性相结合 思维的多样性和严谨性 灵活应对问题，看清本质 深入研究，举一反三 耐心，永不放弃的品质
死胡同 算法1 算法2 算法3
算法N
[例]water tanks(ACM 2007 Final改编)
有许多高低不同的圆柱型 容器由一些高低不同的横 向的管道连接
最多能倒多少体积的水 气压变化法则P1V1=P2V2 同一水平面水压处处相等 规模：容器数N<1000000
对样例的解释
高度H1
次数依然有O(N)，模拟也要O(N) 依然无法承受
初步分析
初步分析
抓住问题特征
只要求倒的水量 最终第一个容器的水柱高度是固定的 最终水压只由该容器水柱高度决定 分别考虑各个容器
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的区间问题》共23页文档
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的区间 问题》
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
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优化3
按左端点坐标排序 维护一个二叉堆，以f值为关键字 状态转移 （删除右端点坐标太小的区间）
6.区间和点的有关问题
有n个区间，m个点。若某区间包含了某点， 则构成一对匹配关系。选出最多的区间和 相同数量的点，使对应的区间和点构成匹 配关系。
算法：
所有点按坐标排序
选取包含该点且右端点坐标最小的区间
转化
Minf [ j ] | T 2 j 1 T 1i Si f i 1 j i Si
问题转化为：在一些带权区间中，选出一 部分，使它们覆盖[M,E]上的所有整数点， 求权和最小值。 算法：按右端点坐标排序，做动态规划 状态：f[i]=覆盖[M,T2i]的权和最小值 方程：
if M T 1i , T 2i if M T 1i , T 2i
优化1
建立线段树[M,E] 得到f[i]插入在T2i处 计算f[i]：选取区间[T1i-1,T2i-1] 中的最小值进行状态转移
优化2
建立一个栈 保持栈中区间f值的单调性
状态转移二分查找：O(logN) 栈的维护：O(N)
2.多个资源的调度问题
有n个区间和无限多的资源，每个资源上的 区间之间不互相重叠。将每个区间都分配 到某个资源中，使用到的资源数量最小。
定义区间集合深度d为包含任意一点的区间 数量的最大值
至少需要d个资源 算法1： 计算出d 按左端点坐标排序 依次将区间任意地分配到d个资源中
实现
记录每个资源的最大右端点
O(nd) O(nlogd)
用二叉堆维护这些坐标
算法2：
计算d（也可以不用计算） 按右端点坐标排序 每个区间都分配到右端点坐标最大的可用 资源中。
平衡二叉树O(nlogd)
3.有最终期限的区间调度问题
有n个长度固定、但位置可变的区间，将它 们全部放置在[0,+∞)上。每个区间有两 个已知参数：长度ti和最终期限di，设fi为 其右端点坐标。定义
5.带权区间调度、覆盖问题
例题：USACO 2005 dec silver 仓库从第M秒到第E秒的任意时刻都 需要有人打扫。有N个工人，每人 给出自己的工作时间段：从第T1秒 到第T2秒，需要支付工资S元。 录用一部分人，要保证从M秒到第E 秒的任意时刻都得有人打扫，问最 少要付多少工资。
fi di li 0
if f i d i
if f i d i L max li 1i n
放置所有区间，使它们不互相重叠且最大 延迟L最小。
最终期限di
算法： 按最终期限排序 顺序安排各区间
4.最小区间覆盖问题
有n个区间，选择尽量少的区间，使得这些 区间完全覆盖某线段[s,t]。 算法： 按左端点坐标排序 每次选择覆盖点s的区间中右端点坐标最大 的一个，并更新s 直到所选区间已包含t
浅谈信息学竞赛中的区间问题
华东师大二附中 周小博
引言
在信息学竞赛中，有很多问题最终都能转 化为区间问题。 这类问题变化繁多，解法各异。论文归纳 总结出了几种常用模型，我们将对它们做 简要分析。
1.最大区间调度问题
数轴上有n个区间，选出最多的区间，使得 这些区间不互相重叠。 算法： 按右端点坐标 按区间左端点排序，得到有序表 插入左端点小于等于该点坐标的区间 删除右端点小于该点坐标的区间 取出右端点坐标最小的与该点匹配并删除 维护二叉堆，以区间右端点为关键字 所有点按坐标从小到大依次处理
总结
有序性 算法的选择 优化——数据结构的选择