10.2无界函数的反常积分
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微积分第二版课件第四节反常积分
类似地，无穷区间 (,b]上的反常积分定义为
b
f
( x)dx
lim
a
ab
f
( x)dx
(a b).
无穷区间(,) 上的反常积分定义为
f
( x)dx
c
f
( x)dx
c
f
( x)dx，(
c
为任意定常数
)
此时，如果上式右端的两个反常积分c f (x)dx和 c f (x)dx都收敛，则称反常积分＋ f (x)dx收敛， 否则称反常积分＋ f (x)dx发散.
ex 1 0
在 (r 1) r(r) 中取 r n，则
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1) n(n 1) 2 1 (1) n!
例如 0 x3exdx (4) 3! 6
2dx
arctan
x
2
( )
2
例 求积分 0 xexdx. 解 0 xexdx 0 xdex
xe x
0
0
e
xdx
ex
0
1
在此
lim xex
x
lim
x
x ex
lim
x
1 ex
0
例 讨论下列无穷限积分的敛散性 ：
(1)1
ex e2x
dx
;
(2)
1
x
dx 2
x
.
解
(1)
1
ex e2
x
dx
1
解
当
1时,
1
0
1 x
dx
1
0
1dx x
lim ln x1 0
，
当
1时,
01
四、含参量无界函数的反常积分解读
c), 函数项级数
n1
An1 An
f (x
,
y ) dy
un ( x)
n1
(7)
在 J 上一致收敛,
其中 un( x)
An1 An
f ( x, y)dy.
证 必要性 由(1)在 J 上一致收敛, 故 0, M c,
使得当 A A M时，对一切 x J, 总有
I( x) c f ( x, y)dy
(1)
都收敛，则 I( x) 是 J 上的函数.
称(1)为定义在 J上的含参量 x 的无穷限反常积分,
或称含参量反常积分.
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定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对 0 ,
N c, 使得当 M N 时, 对一切 x J, 都有
定理19.7 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1)
在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 0,N c,
使得当 A1, A2 N 时, 对一切的 x [a, b], 都有
A2 f ( x, y)dy . A1
(3)
证 必要性
若I( x) f ( x, y)dy 在 J 上一致收敛, 则 c 0, N c, A N 及 x J , 有
M
c f ( x, y)dy I( x) ,
即
M f ( x, y)dy ,
则称含参量反常积分(1)在 J上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 J 上一致收敛.
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注1 由定义, I( x)
f ( x, y)dy在 J上一致收敛的
反常积分
e 1． 0
x
d x x d(e ) x e e ( 1) d x x e e C
x x x
x x
注 对于反常积分，也可以使用换元法和分部积分， 但使用时，必须满足极限运算法则． 例如，由于 x e 0和
b
b
a
f ( x ) d x F ( x )a ，
b
其中 F ( x )a 应理解为 F (b) lim F ( x ) ．
x a
其它情形，类似理解．
例 计算反常积分 解
1
1 dx． x x 1
注意到这是个无限区间上无界函数的反常积分，
令 t x 1 ，则 x 1 t 2 ， 于是 1 1 2t 1 x x 1 d x 0 t (1 t 2 ) d t 20 1 t 2 d t π ．
2
1 π x π 1 x d x ln 2 2 1 4 1 x x 4 2 1 x 1 π 1 ln 2 ． 4 2
1 d x ( p 0) 的收敛性． 例 讨论反常积分 p 1 x 1 解 当 0 p 1时 dx p x 1 1 1 p 1 ； 1 x p d x 1 p x 1 1 当 p 1时 d x ln x 1 ； 1 x 当 p 1 时 1 1 1 1 p 1 ． 1 x p d x p 1 1 p x 1
t a
b
b
t
极限存在，则称反常积分 f ( x ) d x 收敛， 并把此极
a
限称为该反常积分的值； 若上述极限不存在，则称反常积分 f ( x ) d x 发散．
反常积分
1 y 2 x A
1
b
1 lim 1 1 b b
定义1. 设 f ( x) C [a , ) , 取 b a , 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
0
x
定义2. 设 f ( x) C (a , b] , 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限 存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f ( x) C [a , b) , 而在 b 的左邻域内无界,
0
0 dx 1 dx 1 1 1 下述解法是否正确 : 2 2 解: 1 x 0x x 1 x 0 1 1 dx 2 1 1 1 2 , ∴积分收敛 1 x x 发散 1 所以反常积分 .
f ( x) dx F ( x) f ( x) dx F ( x)
b
例1. 计算反常积分
解:
[ arctan x ]
y
y
( ) 2 2
1 1 x 2
o
x
例2: 分析: 原积分发散 !
例3. 计算反常积分
t pt 解: 原式 e p
则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
若 a 为瑕点, 则
a a
b
f ( x) dx F (b ) F (a) f ( x) dx F (b) F (a )
高等数学B教学课件：反常积分
例3. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
当 p≤1 时, 反常积分发散 .
b
a
(
dx xa)q
当q1时
收敛；当q1时
发散。
3
例 9．计算广义积分： 2 1
2
dx . x x2
解：∵ lim
x1
∵
1
1
2
1 ， ∴ x1 是瑕点。
x x2
dx lim 11
x x2 10 1
2
d(x1) 2
(1)2 (x 1)2
2
2
lim arcsin(2x1)
10
11
1 2
, 2
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
4
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
1
1 1
x
lim arcsinx 1 lim [arcsin(1)0] arcsin1 .
0
0 0
2
它的几何解释是：由曲线 y 1 ，x 轴, y 轴及
第2节无界函数的反常积分省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
2024/9/22
20
§10.2 无界函数的反常积分
*2.狄利克雷鉴别法
设f (x)在x a有奇点,
若(1). b f (x)dx是的有界函数; a （2）.g(x)单调且 lim g(x) 0, xa
则积分 b f (x)g(x)dx收敛. a （记清条件和结论会用）
2024/9/22
21
鉴别法 四、无界函数旳广义积分主值
2024/9/22
2
§10.2 无界函数的反常积分
一.无界函数反常积分(瑕积分)旳概念 1.定义: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续,
而在点 a 旳右邻域内无界, 注意区间左端点
取 > 0.假如极限
存在,
则称此极限为函数 f (x)在(a, b]上旳广义积分.
性质３
若函数f 的瑕点为x a，
f 在(a, b]的任一内闭区间
[u,b]上可积. 即 b f（x）dx存在. u
则当 b f (x) dx收敛时， a
b f (x)dx必收敛, 且 a
b
b
a f (x)dx a f (x) dx.
2024/9/22
12
§10.2 无界函数的反常积分
注: 当 b f (x)dx收敛时,称 b f (x)dx为绝对收敛.
I2
e x x s1dx,
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
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§10.2 无界函数的反常积分
ex
x s1
1 x 1 s
1 ex
1 x 1 s
,
而 1 s 1, 根据比较审敛法 2, I1 收敛.
《高数》反常积分
lim 2
0
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
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结束
定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
第四节
反常积分
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
第五章
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结束
复习
1. 定积分的换元法
b
a f
( x)dx
f [ (t)](t)dt
2. 定积分的分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
提示: P256 题2
d x
2 x (ln x)k
d(ln x) 2 (ln x)k
当k 1时,
I
(k)
2
x
dx (ln x)k
(k
1 1)(ln
2)k
1
令 f (k) (k 1)(ln 2)k1, 求其最大值 .
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结束
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x)C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
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反常积分的计算
d
x
[
ar
c
s
in
x a
]
a 0
lim arc s in x
x a
a
0
2
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当c (acb)为瑕点时,
b
a
f
(
x)d
x
c
a
f
(
x)d
x
b
c
f
(
x)dx
[ lim xc
F
(x)
F
(a)]
[F
(b)
lim
xc
F
(x)]
例例55
讨
论
反
常
积
分
1
1
1 x2
dx
的
收
敛
性
解解
在 区 间 [1,
1]上
x0
为函数
(s) xs1ex d x (s 0) 0
2. 性质
(1) 递推公式 (s 1) s (s) (s 0)
证: (s 1) xsex d x xs d ex (分部积分)
0
0
xsex
s
xs1ex d x
0
0
s (s)
注意到: (1)
n N , 有
ex d x
§6.4 反常积分
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分
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结束
铃
❖无穷限的反一常积、分无的定穷义 限的反常积分
连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a
f
(
x)d
x
lim
b
b
a
f
第10章第1节无穷限反常积分
2019年10月26日星期六
3
§10.1 无穷限反常积分
引例：
问题：求曲线y
1 x2
,
x轴及直线x
1，y
右边所围成的“开口
y
1 x2
曲边梯形”的面积。
01
解： 由于这个图形不是封闭的曲边梯 形,而在x轴的正方 向是开口的，
bx
即这是积分区间为[1，+∞）的积分。
2019年10月26日星期六
例2 : 计算广义积分 te ptdt ( p是常数,且p 0). 0
加
解: te pt dt lim b te pt dt
0
b 0
lim
b
t p
e pt
b 0
1 p
b
e
pt
dt
0
t p
e
2019年10月26日星期六
5
§10.1 无穷限反常积分
一、无穷积分的概念.
定义: 设函数 f (x)在区间[a, +)上连续, 任取b > a,
如果极限 lim b f（x）dx 存在, b a
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +)上
的广义积分, 记作 f (x)dx, 即 a
o 12345
x
26
§10.1 无穷限反常积分
四. 无穷积分收敛的判别法
在 A fdx( A a)存在条件下,有以下基本判别方法. a
这些方法类似于级数收敛性判别法(注意对比).
1.比较判别法: 设定义在[a, )上的两个函数f 和，
都在任何有限区间a，A上可积，
无穷限反常积分
(3)
11
第11页/共42页
§10.1 无穷限反常积分
例2 : 计算广义积分 te ptdt ( p是常数,且p 0). 0
加
解: te pt dt lim b te pt dt
0
b 0
lim
b
t p
e
pt
b 0
1 p
b
e
pt
dt
0
t p
e pt
0
1 p2
e pt
0
1 p
lim te pt
t
0
1 p2
(0
1)
1 p2
2020年4月27日星期一
12
第12页/共42页
§10.1 无穷限反常积分
例3 :
证明广义积分
a
dx xp
(a 0).
当p 1时收敛, 当p 1时发散.
证: 当 p = 1时
a
dx xp
a
dx x
ln
x
a
当
p
1时
1 a xp
dx
x1 p
1 pa
,
a1 p p 1
,
p 1 p 1
2020年4月27日星期一
13
第13页/共42页
§10.1 无穷限反常积分
类似于p级数
所以广义积分 dx
当p 1时收敛, 其值a 为xap1p p1.
当p 1时发散. 结论
2020年4月27日星期一
14
第14页/共42页
§10.1 无穷限反常积分
2
.
解： dx
1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
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2 3
(
0
1
3
)
0
1
dx ( x 1)
2 3
lim 0
0
1
dx ( x 1)
2 3
3
3 3 2,
1
3
dx ( x 1)
3
2 3
lim 1
0
3
dx ( x 1)
3
2 3
0
dx ( x 1)
2 3
3(1
2 ).
10.2 无界函数的反常积分
一、无界函数的反常积分 二、无界函数敛散性判别法 三、反常积分的主值
一、无界函数的广义积分
定义: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续, 而在点 a 的 右邻域内无界, 取 > 0.如果极限
0 a
b
lim
b
f ( x)dx
存在,
则称此极限为函数 f (x)在(a, b]上的广义积分.
.
故原广义积分发散.
例5. 讨论瑕积分
解:
1 0
1 dx ( p > 0)的收敛性 . p x被积函数 f在(0,1] 连续,x = 0 是瑕点.由于.
1 1 p 1 1 1 p (1 u ), p 1, (0 u 1), 0 x p dx ln u, p 1
例4 解
计算广义积分
2
1
2
dx 2 dx lim 1 0 x ln x x ln x
2
1
dx . x ln x
lim 1
0
lim ln(ln x )
0
0
d (ln x ) ln x
2 1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 ))
点 b 的左邻域内无界, 取 > 0.
如果极限 lim
b
0 a
b
f ( x)dx 存在,则定义
b
a f ( x)dx lim 0 a
f ( x)dx
否则, 就称广义积分a f ( x)dx 发散.
b
设函数 f (x)在区间[a, b]上除点c (a < c < b) 外连续, 而在点 c 的邻域内无界, 如果两个广义 积分 c b f ( x)dx与 f ( x)dx
b
0
lim [ln(b a ) ln ]
0
当q 1时, b 1 q b dx b ( x a) dx lim a ( x a)q 0 a ( x a)q lim 0 1 q a 1 lim (b a )1 q 1 q 0 1 q (b a )1 q , q 1 1 q q >1 , b dx 因此, 当q <1时,广义积分a q 收敛, ( x a) 1 q 其值为 (b a) b 1 q dx 当q 1时, 广义积分 a ( x a) q 发散.
a c
都收敛, 则定义
a f ( x)dx a f ( x)dx c
lim
c
b
c
b
f ( x)dx
0 a
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx 0 c
b
否则, 就称广义积分 a f ( x) dx 发散.
例1 : 计算广义积分 0
a f ( x )dx a f ( x )dx c
故当0 p 1 时， 瑕积分收敛 ， 且 1 1 1 1 1 dx ; p 0 x p dx ulim u x 0 1 p
当P 1 时， 瑕积分发散于 .
例6 解
计算广义积分
1
3
dx ( x 1)
dx ( x 1)
2 3
0
2 3
.
0
3
dx ( x 1)
仍然记作 f ( x)dx, 即
b
a b
f ( x)dx a f ( x)dx lim 0 a
这时也称广义积分 f ( x)dx 收敛. 如果上述 a b 极限不存在, 就称广义积分 f ( x)dx 发散.
a
b
类似地, 设函数 f (x)在区间[a, b)上连续, 而在
a
y
1 a2 x2
1 a
o
a
a a x
图10-2
a lim arcsin 0 0 a c
arcsin 1
2
dx 1 x 2 的收敛性 . 1 解 : 被积函数f ( x) 2 在积分区间[1,1]上除x 0外连续, x 且 lim 12 x 0 x 例2 : 讨论广义积分
例3 : 证明广义积分
dx a ( x a ) q 当q < 1时, 收敛; 当q 1时, 发散.
b
证: 当q = 1时
b b dx dx dx lim a ( x a) q a x a 0 a x a b lim ln( x a)a
1
由于
1 1 lim 1 dx 2 1 x 2 dx lim 0 0 1 x x 1
0 0
1 lim ( 1)
0
1 dx dx 即广义积分 2 发散, 所以广义积分 2 发散. 1 x 1 x 0
a
dx a2 x2
( a > 0)
y
解 : 因为 lim
x a 0
1 2 2 a x
所以, x=a为被积函数的无穷 间断点. a a dx dx lim 于是:0 a2 x2 a 2 x 2 0 0
x lim arcsin 0 ac
注意
广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定
积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有 限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。 广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积
分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极
限值。
a f ( x )dx F (b) F (a 0) a f ( x )dx F (b 0) F (a )
(
0
1
3
)
0
1
dx ( x 1)
2 3
lim 0
0
1
dx ( x 1)
2 3
3
3 3 2,
1
3
dx ( x 1)
3
2 3
lim 1
0
3
dx ( x 1)
3
2 3
0
dx ( x 1)
2 3
3(1
2 ).
10.2 无界函数的反常积分
一、无界函数的反常积分 二、无界函数敛散性判别法 三、反常积分的主值
一、无界函数的广义积分
定义: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续, 而在点 a 的 右邻域内无界, 取 > 0.如果极限
0 a
b
lim
b
f ( x)dx
存在,
则称此极限为函数 f (x)在(a, b]上的广义积分.
.
故原广义积分发散.
例5. 讨论瑕积分
解:
1 0
1 dx ( p > 0)的收敛性 . p x被积函数 f在(0,1] 连续,x = 0 是瑕点.由于.
1 1 p 1 1 1 p (1 u ), p 1, (0 u 1), 0 x p dx ln u, p 1
例4 解
计算广义积分
2
1
2
dx 2 dx lim 1 0 x ln x x ln x
2
1
dx . x ln x
lim 1
0
lim ln(ln x )
0
0
d (ln x ) ln x
2 1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 ))
点 b 的左邻域内无界, 取 > 0.
如果极限 lim
b
0 a
b
f ( x)dx 存在,则定义
b
a f ( x)dx lim 0 a
f ( x)dx
否则, 就称广义积分a f ( x)dx 发散.
b
设函数 f (x)在区间[a, b]上除点c (a < c < b) 外连续, 而在点 c 的邻域内无界, 如果两个广义 积分 c b f ( x)dx与 f ( x)dx
b
0
lim [ln(b a ) ln ]
0
当q 1时, b 1 q b dx b ( x a) dx lim a ( x a)q 0 a ( x a)q lim 0 1 q a 1 lim (b a )1 q 1 q 0 1 q (b a )1 q , q 1 1 q q >1 , b dx 因此, 当q <1时,广义积分a q 收敛, ( x a) 1 q 其值为 (b a) b 1 q dx 当q 1时, 广义积分 a ( x a) q 发散.
a c
都收敛, 则定义
a f ( x)dx a f ( x)dx c
lim
c
b
c
b
f ( x)dx
0 a
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx 0 c
b
否则, 就称广义积分 a f ( x) dx 发散.
例1 : 计算广义积分 0
a f ( x )dx a f ( x )dx c
故当0 p 1 时， 瑕积分收敛 ， 且 1 1 1 1 1 dx ; p 0 x p dx ulim u x 0 1 p
当P 1 时， 瑕积分发散于 .
例6 解
计算广义积分
1
3
dx ( x 1)
dx ( x 1)
2 3
0
2 3
.
0
3
dx ( x 1)
仍然记作 f ( x)dx, 即
b
a b
f ( x)dx a f ( x)dx lim 0 a
这时也称广义积分 f ( x)dx 收敛. 如果上述 a b 极限不存在, 就称广义积分 f ( x)dx 发散.
a
b
类似地, 设函数 f (x)在区间[a, b)上连续, 而在
a
y
1 a2 x2
1 a
o
a
a a x
图10-2
a lim arcsin 0 0 a c
arcsin 1
2
dx 1 x 2 的收敛性 . 1 解 : 被积函数f ( x) 2 在积分区间[1,1]上除x 0外连续, x 且 lim 12 x 0 x 例2 : 讨论广义积分
例3 : 证明广义积分
dx a ( x a ) q 当q < 1时, 收敛; 当q 1时, 发散.
b
证: 当q = 1时
b b dx dx dx lim a ( x a) q a x a 0 a x a b lim ln( x a)a
1
由于
1 1 lim 1 dx 2 1 x 2 dx lim 0 0 1 x x 1
0 0
1 lim ( 1)
0
1 dx dx 即广义积分 2 发散, 所以广义积分 2 发散. 1 x 1 x 0
a
dx a2 x2
( a > 0)
y
解 : 因为 lim
x a 0
1 2 2 a x
所以, x=a为被积函数的无穷 间断点. a a dx dx lim 于是:0 a2 x2 a 2 x 2 0 0
x lim arcsin 0 ac
注意
广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定
积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有 限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。 广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积
分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极
限值。
a f ( x )dx F (b) F (a 0) a f ( x )dx F (b 0) F (a )