湘教版数学八年级下册(课时训练)1.2直角三角形性质和判定(二).docx
2016八年级数学下1.2直角三角形的性质与判定Ⅱ(湘教版3份打包)(2)最新版
第1章
1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）（2）
知识回顾
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方．
如果在Rt△ ABC中，∠C=90°, B
那么 a2 b2 c2.
ac
C bA
下面，我们用面积计算来证明这个定理。
情境引入
c 请同学们画四个与右图全等的 a
直角三角形，并把它剪下来。
b
用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到 一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾 股定理吗？并与同伴交流。
自主预习
一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这 时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那
么梯子底端B也外移0.4m吗？ A
5.在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？
D
C
AB＜BC＜AC
A
B
A C 2A B 2B C 2
6.如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上， 这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C， 请同学们:
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端B不是外移0.4m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
E
自主探究
例2 “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺， 引葭赴岸，适与岸齐。问水深，葭长各几何？”意思是： 有一个边长为10尺的正方形池塘，一根芦苇生长在池的 中央，其出水部分为1尺。如果将芦苇沿与水池边垂直 的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面。问水 深与芦苇长各为多少？
算一算，底端滑动的距离近似值 是多少? （结果保留两位小数）
湘教版八年级数学下册_1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
感悟新知
例1
知1－练
一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了
勾股定理的一种验证方法 . 如图 1.2－1 所示，火柴盒的
一个侧面 ABCD倒下后到四边形 AB′ C′ D′的位置，连
接 AC， AC ′， CC ′， 设 AB=a， BC=b，AC=c. 请利
用四边形 BCC′ D′的面积说明勾股定理：
(3)设 a=x，则 b=x， c= 2 x. ∵ x2+x2= ( 2 x ) 2，即 a2+b2=c2， ∴这个三角形是直角三角形 . 注意： 这个三角形也是
等腰三角形
感悟新知
方法点拨
知4－练
判断一个三角形是不是直角三角形的方法：
(1) 当已知条件与角度有关时，一般通过计算看 该
三角形中是否有两 个角互余来判断；
感悟新知
特别提醒
知1－讲
用拼图法证明直角三角形三边关系的思路：
(1) 将图形进行割补拼接形成特殊图形，注意割补拼接时图
形之间没有重叠、没有空隙；
(2) 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
(3) 利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出表示图
形面积的式子→找出等量关系→恒等变形→推导结论 .
知1－练
感悟新知
知2－练
解法提醒 分清待求的是斜边还是直角边，以便合理选择
是直接用勾股定理还是用勾股定理的变形公式 . 若求斜边，则直接用勾股定理；若求直角边，
则用勾股定理的变形公式 .
感悟新知
知2－练
例3 [ 中考·齐齐哈尔 ] 若直角三角形其中两条边的长分 别为 3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为 ________.
(1)勾股定理是以“一个三角 形是直角三角形”为条件，进
八年级数学下册 1.2.2 直角三角形的性质和判定(II)同步练习 湘教版(2021学年)
八年级数学下册1.2．２直角三角形的性质和判定（ＩI）同步练习(新版)湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（八年级数学下册1．2.2 直角三角形的性质和判定(II)同步练习(新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2。
2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）勾股定理应用同步练习一、选择题(本大题共8小题）1.一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为１3米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )Ａ．12米B。
13米 C.1４米D。
１5米2.如图，小明在广场上先向东走10米,又向南走40米，再向西走20米,又向南走40米，再向东走70米。
则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.9０米ﻩB。
１00米Ｃ。
120米ﻩﻩＤ。
15０米3。
在长、宽、高分别为1２ｃm、4 cm、３cｍ的木箱中,放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cm Ｄ。
153cｍ4。
如图，一个高1。
５米,宽3。
6米的大门,需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是（)A.3。
8米Ｂ。
3．9米 C.4米Ｄ.４。
4米5.如图,是一个圆柱形饮料罐，底面半径是５，高是1２,上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分ａ的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是（)A.5≤a≤1２B.5≤ａ≤１3C.12≤a≤1３ﻩD．12≤a≤15６。
湘教版数学八年级下册(课时训练)1.1直角三角形的性质和判定(2).docx
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1.1直角三角形的性质和判定（2）
1.如图：在Rt △ABC 中∠A=30°,AB+BC=12cm ， 则AB=_____cm
2、如图:△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC,DE ⊥AB,若AB=8cm, BD=＿＿＿， BE=____
3、.下图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、 DE 垂直于横梁AC,AB ＝7.4m,∠A ＝30°则BC=______ , DE=______ Ｃ
Ｂ
Ａ３００A C E B D A B
D E C （1题图） （2题图） （3
题图） 4、Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，AB=2BC ，BC=6，,则∠A ＝______，BD=______
5、 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求BD 与BA 的关系
6..等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数为（ ）
（A ）300 (B)600 (C)1500 (D)300或1500
7．等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高．
8. 已知：如图，将矩形纸片ABCD 按图折叠使角的顶点A 恰好落在边BC 上，若AB ＝6cm ，∠ADE ＝300，求折痕DE 的长。
9.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜边，中A 滑行至B 。
已知AB=200m ，问这名滑雪运动员的高度下降了多少m ？
（4题图） （5题图）
30°
A
C B C A
D
E F A
B C
D E。
湘教版数学八年级下册(课时训练)1.2直角三角形性质和判定(三).docx
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桑水
初中数学试卷 桑水出品
1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ） （3）
1） 在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角；
2、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此
三角形的形状为 。
3.若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵5
1,41,31； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；（5）a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）则构成的是直角三角形的有（ ）
A ．2个
B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
4. 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一
卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知
∠B=90°，求四边形的面积。
5.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝
n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？
A。
八年级数学下册 1_2 直角三角形的性质和判定(II)第1课时 勾股定理课件 (新版)湘教版
同理E，I，F在一条直线上；F,J,G在一条直线上，G，K，
D在一条直线上.
因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为（1 a+b），
它的面积为（a+b）².
2
又正方形的DEFG的面积为c2+4· ab，
∴（a+b）²=c2+4· ab.
1
即a2+2ab+b2=c2+2ab，
2
∴a2+b2=c2.
S3 S2
S1
的面由积图，可再知减，去S4个1=小32，正S方2=形4的2,为面了积求，S得3，S我3=可52以. 先算出红色区域内大正方形 ∵32+42=52. ∴S1+S2=S3.
在上图中，S1+S2=S3， BC2+AC2=AB2，
那么是否对所有的直角三角形，都 有两
直角边的平方和等于斜边的平方呢？
关系，在直角三角形中，若已知直角三 角形
的任意两条边长，我们可以根据勾股定 理，
求出第三边的长.
例题
如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，
பைடு நூலகம்
BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长
吗？
解 在△ABC中，
∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC,
∴BD=
1 2
BC=5.
在Rt△ADB中，
由勾股定理得，AD2+BD2=AB2，
A D A 2 B B 2 D 1 2 3 5 21 8 8 1 . 2
故AD的长为12cm.
练习 1.在△ABC中, ∠C=90°，a=6,b=8,
则c=＿1＿0 ＿＿
2024八年级数学下册第1章直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第2课时勾股定理的实际应用习题课件新版湘教版
A.x2－3＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，由题意得，BC＝3尺.在Rt△ABC
中，AC2＋BC2＝AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
艘同时以16 n mile/h的速度离开该岛向北偏东45°方向航
行，经过1.5 h后两船相距( B )
A.25 n mile
B.30 n mile
C.32 n mile
D.40 n mile
【点拨】
如图，由题意得，∠BAC＝90°，AB＝12×1.5＝18(n mile)，
AC＝16×1.5＝24(n mile).
展开，得到长方形EFGH，过点B作BQ⊥EF于点Q，作点A
关于EH的对称点A'，连接A'B交EH于点P，连接AP，如图所
示，则AP＋PB就是蚂蚁爬行的最短距离，即A'B的长度.
利用面积法求拼图的面积
7.[2022·金华]如图①，将长为2a＋3，宽为2a的长方形分割成
四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图②)，得到
∴小巷的宽度为AC＋AE＝0.7＋1.5＝2.2(m)，故选C.
知识点3
用展开法求最短距离
5. [新考法 展开平移法]如图，一个三级台阶，它的每一级的
长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台
阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可
口的食物，请你算一算，这只壁虎从A点出发，沿着台阶
平面内).求：
湘教版八年级下册数学：1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) (4)
a
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab
a b
ac b
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
b ca
= 4ab+c2 =c2+2ab
cb a
∴ac22++b22a+b2=ca22+2ba2+b2ab
∴a2 +b2 =c2
勾股定理(毕达哥拉斯定理) （gou－gu theorem）
SA+SB=SCຫໍສະໝຸດ C Aa cb BA
图乙
aa
B bb cc C
图甲
SA+SB=SC
由甲乙图可以得出一个什么结论？
a2 +b2 =c2
下面我们用拼图法来证明这个猜想：
用4个两直角边长分别为a、b，斜边长为c 的直角三角形和一个边长为c的正方形拼成 一个边长为a+b的大正方形如下图:
a
b
b
c
a
c
a
b b
试一试:
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点 间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３
４
试一试:
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角 的BC方向 上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为( A )
A.5米 B.12米 C.10米 D.13米
分别计算各边的平方，看看有什么发现？
32=9 42=16 52=25
4cm
5cm
32 +42 =52
3cm
发现两直角边的平方和等于斜边的平方
猜想:对任意直角三角形，两直角边长为a、b,斜边长为c 是否也有这样的结论呢？
八下第1章直角三角形1-2直角三角形的性质和判定Ⅱ第3课时上课新版湘教版
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
练一练
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ C ）
A．2，3，4
B．3，4，6
C．5，12，13
D．4，6，7
相传，我国古代 的大禹在治水时 也用了类似的方 法确定直角.
大禹治水
问题引入
1. 直角三角形有哪些性质？
(1)有一个角是直角； (2)两锐角互余； (3)勾股定理； (4)直角三角形30°角的性质.
2.一个三角形满足什么条件是直角三角形？
①有一个内角是90°，那么这个三角形就是直角三角形; ②如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角形就是直 角三角形.
我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系，来判断
是否为直角三角形呢？
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合作探究
活动：探究勾股定理的逆定理的证明及应用
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打
上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个 结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角
便是直角．你认为结论正确吗？
c
分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. C b A
问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜
边c的长：
① a＝3，b＝4； c=5 ② a＝2.5，b＝6； c=6.5
③ a＝4，b＝7.5. c=8.5 思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角
三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
① 5,12,13满足52+122=132, ② 7,24,25满足72+242=252, ③ 8,15,17满足82+152=172.
八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质与判定(Ⅱ)课时训练2(无答案)湘教版(2021年整理)
八年级数学下册1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）课时训练2（无答案）（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）课时训练2（无答案）（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ）1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1,①∠A=30°,b=＿＿，c=＿＿. ②∠A=45°,b=＿＿，c=＿＿。
结论：①Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠A=30°则a ：b:c=＿＿＿＿＿；②Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠A=45°则a ：b ：c=＿＿＿＿＿。
2。
一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( ）A. 9分米 B 。
15分米 C 。
5分米 D 。
8分米3）P13 1， 2,3。
已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
4.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 或 32D ．37 或 335.有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m,高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起?6.如图（2),所有四边形是正方形，所有三角形是直角三角形。
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1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）（2）
1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1,
①∠A=30°,b=＿＿,c=＿＿. ②∠A=45°,b=＿＿,c=＿＿。
结论：①Rt △ABC 中，∠C=90°， ∠A=30°则a:b:c=＿＿＿＿＿;
②Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠A=45°则a:b:c=＿＿＿＿＿.
2.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米。
如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )
A. 9分米
B. 15分米
C. 5分米
D. 8分米
3）P13 1, 2,
3.已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为
，面积为 。
4.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）
A ．42
B ．32
C ．42 或 32
D ．37 或 33
5.有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
6.如图（2），所有四边形是正方形，所有三角形是直角三角形。
其中最大的正方形边长是7cm ，正方形A 、B 、C 的面积分别是12cm 2、5 cm 2、13 cm 2求正方形D 的面积。
7.折叠四边形问题：矩形ABCD 如图折叠，使D 落在BC 边上的点F 处，AB=8,BC=10,求折痕AE 的长。
8、有一圆柱底面半径为3cm ，高为12cm ，一只蚂蚁从距底面1cm 的A 爬行到对角B 处吃食物，求最短路线是多少？
A B C
F D D C
B
A。