4-2(第一换元法)
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
4-2(第一换元法)
u 3 2 x 1 1du 1 ln u C 2 u 2 1 ln( 3 2 x ) C . 2
一般地，对于积分 f (ax b)dx(a 0)
总可以取 u ax b ，使之化为
f (ax b)dx f (ax b)d (ax b)
熟练以后就不需要进行 u ( x ) 转化了
dx (a 0) 例7 求 2 2 a x
解
dx 1 1 1 a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 1 dx dx 2a a x 2a a x
1 d (a x ) 1 d (a x ) 2a a x 2a a x 1 1 ln a x ln a x C 2a 2a 1 a x 2a ln a x C
2
总可以取 u ax b ，使之化为
2
1 f (ax b) xdx [ f ( u)du]uax b 2a
2
2
课堂练习1:
1、 (1 2 x )
2、
100
dx
x 1 x 2 dx
常用的凑微分
dx d (ax b) a
2
2 xdx dx
1 x dx dx 1 1
x2
x2
2 ， e u x ；
解 间变量 u x 2 的导数，
于是有
2 2 xe dx e dx x2 x2
2 xe dx e dx 2
x2 x2
e C
x2
一般地，对于积分 f (ax b) xdx(a 0)
(1)
说明：使用公式（1）的关键在于将 g( x )dx
D4_2换元法
提示:
法1
法2
法3
术喂侵殴漳椒亿铝眶蹬谅蜕惧裙握辅骨搓馒韦户化嗅映攫奄玄航犊责趾哪D4_2换元法D4_2换元法
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
产讼恫哥款递娠芯勒道钾捞弗蛤母笔刃述涨工贾执囤绝介痉酱资哦邯拙巩D4_2换元法D4_2换元法
陡咨泥姨氮茨沧冗讶憎唾焊俄券宾病器子耸肃琢落芋关谭霸矩芍租尖层炼D4_2换元法D4_2换元法
备用题 1. 求下列积分:
煞鬃袄等秋悍钦恩柯瘟邱野顾姐囚脉跨恤背寨碗妥盂篓驻贱恩赎宽局兹厌D4_2换元法D4_2换元法
2.
求不定积分
解：
利用凑微分法 ,
原式 =
令
得
罢吵瑚朱温淳烤陵斧摹颗邪蜕驻震灿渣享畦涣筒趋螟摘封决郝耻枉骂睁吟D4_2换元法D4_2换元法
诸玲约溺考赚徒负鸳邓允严挣火队晋吵乏扦芍买汲楚措底蚂绅秆左巍综丘D4_2换元法D4_2换元法
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
令
令
令
或
令
或
令
或
第四节讲
栅庇疮蓑琳抓窜励闲讨灿几总策卉穷和攻肿它淤鲸爷棵念肝闸锨碗潘尝庆D4_2换元法D4_2换元法
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
骸刀涌瘩荫桶鸽霞特毒悔霸般斜诬渔婶矿儿锈新潮赠爬八及堆惠渍覆涅撤D4_2换元法D4_2换元法
例10. 求
解法1
座趴亏甸贤镍念权段毒间谦晴又腾夫厚辐赖摘加锯琢蛋汁保祥怨郎洼闭脖D4_2换元法D4_2换元法
解法 2
同样可证
4-2 换元法1-第一换元法
类似地可推出
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C .
例20. 求 sec6 xdx. ∫
2 d tan xdx 解: 原式 = ∫ (tan x +1) ⋅ sec 2 2
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln 1 + 2 ln x + C. 2 u 2 2
例9. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 ∫ e d x = ∫ e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例10 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1 − arcsin 2 2 2
第二节
第四章 四
换元积分法
一、第一类换元想
∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ f [ϕ(x)]d(ϕ(x))
做变量替换 = ϕ(x) u
已知
[∫ f (u)du]u=ϕ ( x)
定理1 定理1
具有原函数， u 可导， 设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
小结1 小结
• 求不定积分时，首先要与已知的基本积 求不定积分时， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 把要求的积分化成已知的形式， 把要求的积分化成已知的形式，求出以 再把原来的变量换回。 后，再把原来的变量换回。 • 前5个例子中采用代换 u=ax+b, 个例子中采用代换 du与dx只相差一个常数 du=a dx 。 与 只相差一个常数 • 注意例3，4与例 解法差别。 注意例 ， 与例5解法差别。 与例 解法差别
第一换元积分法与第二换元积分法
例2 计算
3
1 dx. 2x
解
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2x
)dx
1 2
3
1 2x
d
(
3
2
x)
32 xu
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C. 2
例3 计算
x(1
1 2
ln
dx. x)
解
Hale Waihona Puke x(11 2ln
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x
)
u 1 2ln x
1 2
1 du u
1 ln u 2
C
1 ln1 2
2 ln
x
C.
例4 计算
(1
x x
)3
dx
.
解
(1
x x
)3
dx
x 11 (1 x)3 dx
x a
1 arctan a
x C. a
作为公式
练习题
x
2
1 8x
dx. 25
练习题
1
x
2
高等数学§4-2第一类换元积分法
以上求积分的方法，叫做第一换元积分法 或凑微分法．
例1 求 e5xdx
解e： 5xdx1 e5xd(5x)令u 5x 1eudu 1euC1e5xC
5
5
5
5
例 2.求(2x7)10 dx
解 (2 x ： 7 )1d 0 x 1(2 x 7 )1d 0 (2 x 7 )
．
类似地得
cs xc d ln c xs xcx oC t.
练习：
1、求 2xex2dx 解： 2xxe 2d xex2d(x2)u x2 eudueuCex2C
2、求
1 dx x(1 2ln x)
解：
1 dx x(1 2ln x)
1 2121lnxd(12lnx)
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第一类换元是求复合函数的不定积分的基本方法．
一般地，有如下定理．
定理: 若 f(u)d uF(u)C ,u(x)可导，则
f[(x )] (x )d凑 x微 f[(x )d 分 ](x )
令 u ( x )f( u ) d 公 u F ( u ) 式 C 回 F [( x 代 ) C ]
4、f设 (x)e2x，则不定 fx积 dx分ex
2
C
x a x a
2
令 xu a
1 a1 duu2
1arctanuc a
将 u x 代入
a
还原
1 arctan x c
a
a
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例6 解：
求 dx a2x2
a0
dx
a2 x2
1 dx a
高等数学 4-2换元积分法
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
第一类换元法(凑微分法)
例 10 求下列不定积分
(1) sin 3 x dx ;
( 2) sin 2 x cos 5 x dx .
解 (2) 原式 sin 2 x cos 4 xd (sin x )
sin 2 x (1 sin 2 x ) 2 d (sin x ) (sin 2 x 2 sin 4 x sin 6 x ) d (sin x )
完
1 dx . 例 2 求不定积分 3 2x 解 1 dx 1 1 ( 3 2 x )dx 3 2x 2 3 2x 1 1 d (3 2 x ) 2 3 2x 3 2x u 1 1 1 ln u C du 换元 2 u 2 u 3 2x 1 ln 3 2 x C . 回代 2
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx 12 dx 2 2 ( x 4) 9 3 x 4 1 3 (1)
解法一 原式 1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ;
2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x ) 2 C ;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
注: 一般情形: f (ln x ) 1 dx f (ln x)d (ln x) x
例 6 求下列不定积分
D4-2不定积分的计算
一、第一类换元法(凑微分法)问题C e dx e xx+≠∫22?观察从公式,C e du e uu +=∫令,2x u =则有C e x d e x x+=∫22)2(C e dx e xx+≠∫22解法可将微分dx 凑成)2(21x d 的形式,即)2(21x d dx =)2(2122x d e dx e x x ∫∫=du e x u u ∫=212C e u +=21C e x +=221一般地,设具有原函数)(u f ),(u F 即,)()(C u F du u f +=∫则∫∫=′)()]([)()]([x d x f dx x x f ϕϕϕϕux =)(ϕ换元Cu F du u f +=∫)()()(x u ϕ=回代,)]([C x F +ϕ部分常用的凑微分公式:(1));(1b ax d a dx +=(2));(111++=n nx d n dx x (3));(21x d dx x =(4));1(12x d dx x −=(5));(ln 1x d dx x=(6));(xx e d dx e =(7)).(sin cos x d xdx =例 1解求不定积分.)12(10dx x ∫+利用凑微分公式),(1b ax d a dx +=所以dx x 10)12(∫+∫++=)12()12(2110x d x dx x x ∫′++=)12()12(2110∫du u 1021换元u x =+1212+=x u 回代.)12(22111C x ++C u +⋅=112111例 2解求不定积分.231dx x∫+)23(23121x d x ++=∫dx x ∫+231du u ∫121C u +=ln 21u x =+23换元x u 23+=回代.23ln 21C x ++dx x x)23(23121′+⋅+=∫注:一般情形:dxb ax f ∫+)(∫.)(1du u f aub ax =+例 3解计算不定积分.2dx xe x ∫)(2122x d e x ∫=dx xe x ∫2du e u ∫21.212C e x +u x =2换元2x u =回代Ce u+=21dxx e x )(2122′=∫注:一般情形:dx x f x ∫)(2∫.)(21du u f ux =2例 4解求不定积分.)ln 21(1dx x x ∫+)ln 21(ln 21121x d x++=∫.ln 21ln 21C x ++dx x x ∫+)ln 21(1du u ∫121u x =+ln 21换元x u ln 21+=回代C u +=ln 21)(ln ln 211x d x∫+=注:一般情形:).(ln )(ln 1)(ln x d x f dx xx f =例 5解法一求不定积分∫.2sin dx x 原式∫=)2(2sin 21x d x 解法二原式∫=dx x x cos sin 2;)(sin 2C x +=解法三原式∫=dx x x cos sin 2.)(cos 2C x +−=注:一般情形:xdx x f cos )(sin xdx x f sin )(cos ;2cos 21C x +−=)(sin sin 2x d x ∫=∫−=)(cos cos 2x d x );(sin )(sin x d x f =).(cos )(cos x d x f −=例 6解求不定积分.12321dx x x ∫−++原式dxx x x x x x ∫−−+−++−−+=)1232)(1232(1232∫∫−−+=dx x dx x 12413241∫∫−−−++=)12(1281)32(3281x d x x d x .)12(121)32(12133C x x +−−+=注:利用平方差公式进行根式有理化是化简积分计算的常用手段之一.二、第二类换元法问题?125=−∫dx x x 方法通过变量替换引入新的积分变量.例如,令,sin t x =则,cos tdt dx =∫∫−=−tdtt t dx x x cos sin 1)(sin 12525⋯⋯==∫tdt t 25cos sin 用”凑微分”即可求出结果定理2设)(t x ϕ=是单调可导函数,且,0)(≠′t ϕ又设)()]([t t f ϕϕ′具有原函数),(t F 则∫∫′=dtt t f dx x f )()]([)(ϕϕCx F C t F +=+=)]([)(ψ其中)(x ψ是)(t x ϕ=的反函数.证因为)(t F 为)()]([t t f ϕϕ′的原函数,令)],([)(x F x G ψ=则)(1)()]([)(t t t f dx dt dt dF x G ϕϕϕ′⋅′=⋅=′),()]([x f t f ==ϕ即)(x G 为)(x f 的原函数.证毕.注:从定理2可见,第二类换元积分法与第一类换元积分法的换元与回代过程正好相反.例7求不定积分.)1(13dx x x ∫+方法当被积函数含有两种或两种以上的根式,k x ,⋯l x 时,可令n t x =(n 为各根指数的最小公倍数).解令6tx =,65dt t dx =dt t t t dx x x ∫∫+=+)1(6)1(12353∫+−+=dt t t 221116Ct t +−=]arctan [6dt t ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=21116dt tt ∫+=2216.]arctan [666C x x +−=例 8解求不定积分).0(22>−∫a dx x a ,sin t a x =设则,cos tdt a dx =22x a −于是∫−dx x a 22.2,2⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∈ππt t a a 222sin −=ta cos =C t t a +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2sin 2122C t t t a +⋅+=]cos sin [22C t t t a +−⋅+=]sin 1sin [222t xa 22x a −C a x a x a x a +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅=arcsin 1222例 9解求不定积分.)0(122>+∫a dx ax ,sec 2tdt a dx =令t a x tan =dx a x ∫+221∫=tdt sec 1tan sec ln C t t ++=122ln C a a x a x +++=axt .ln 22C a x x +++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∈2,2ππt tdt a ta 2sec sec 1⋅=∫三、分部积分公式问题?=∫dx xe x思路利用两个函数乘积的求导公式,设函数)(x u u =和)(x v v =具有连续导数,则v u v u uv ′+′=′)(移项得vu uv v u ′−′=′)(两边积分得∫∫′−=′vdxu uv dx v u 或∫∫−=vdu uv udv 分部积分公式求解关键如何将所给积分∫dx x f )(化为∫udv形式,并使它更容易计算,主要采用凑微分法,例如,∫∫∫−==dx e xe xde dx xe xx x xC e x C e xe x x x +−=+−=)1(udv uv vdu利用分部积分法计算不定积分,选择好非常u 、v 关键,选择不当将使积分的计算变得更加复杂,例如,∫∫∫−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=x x x x de x e x x d e dx xe 222222∫−=dx e x e x x x 2222更复杂下面将通过例题介绍分部积分法的应用.u dv uv vdu有关分部积分公式的几点说明1.有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法;2.有些函数的积分在连续两次应用分部积分法后出现了原来的积分式,这时通过解方程可得到所求不定积分;3.一般来说,下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法,其中n m ,都是正整数.mxx nsin mx x n cos mx x nx sin mx x nx cos mx n e x )(ln x x n mx x n arcsin mx x n arccos mx x narctan 等.例10求不定积分∫.cos xdx x 令,2,cos 2dv x d xdx x u =⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∫∫∫+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=,sin 2cos 22cos cos 222xdx x x x x xd xdx x 显然,ν′,u 选择不当,积分更难进行.解 一解 二令,sin cos ,dv x d xdx x u ===∫∫=x xd xdx x sin cos ∫−=xdxx x sin sin .cos sin C x x x ++=例11求不定积分.2dx e x x∫解dv de dx e x u xx ===,2∫−=dxxe e x xx 22xx de x dx e x ∫∫=22∫−=xx xdee x 22.)(22C e xe e x xxx+−−=小结若被积函数是幂函数(指数为正整数)和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 可设幂函数为使其幂降一次.,u例12求不定积分∫.arctan xdx x 解令,2,arctan 2dv x d xdx x u =⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2arctan arctan 2x xd xdx x ∫−=)(arctan 2arctan 222x d x x x dx x x x x ∫+⋅−=222112arctan 2dx x x x ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⋅−=2211121arctan 2.)arctan (21arctan 22C x x x x +−−=例13求不定积分∫.ln 3xdx x 解令,4,ln 43dv x d dx x x u =⎟⎠⎞⎜⎝⎛==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫4ln ln 43x d x xdx x ∫−=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +−=小结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,.u 可设对数函数或反三角函数为而将幂函数凑微分进入微分号,使得应用分部积分对数函数或反三角函数消失.公式后,例14求不定积分∫.sin dx e x解∫∫=xxde dx e sin sin )(sin sin x d e x e xx ∫−=∫−=xdxe x e xx cos sin ∫−=xx xdex e cos sin )cos cos (sin ∫−−=x d e x e x e xxx ∫−−=xdxe x x e xxsin )cos (sin .)cos (sin 2sin C x x e dx e xx+−=∴∫例15求不定积分.dx e x∫解令,x t =则,2,2tdt dx t x ==于是tdt e dx e tx∫∫=2tdet ∫=2dt e te tt ∫−=22Ce te tt+−=22Ct e t+−=)1(2.)1(2C x e x+−=。
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
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一 分项积分法
二 凑微分法（第一类换元积分法）
三 小结
一、分项积分法
结论 设函数 f1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 的原函数存 在， k 2 为非零常数，则 k1 、
[k1 f1 ( x ) k2 f2 ( x )]dx k1 f1 ( x )dx k2 f2 ( x )dx
说明：
以上几例的被积函数都需要进行恒等变形，才能把
所求的积分化为基本积分表中已有的形式，再分项
积分求出不定积分.
二、§5.4第一类换元积分法（凑微分法）
如果积分具有以下特征:
f [ ( x )] ( x )dx
就设 u ( x ) ,
du '( x )dx
如果 f ( u)du F ( u) c 则 f [ ( x )] ( x )dx f [ ( x )]d ( x ) = F ( ( x)) C
——（ 1 ）
例1 求积分
解
(1 x ) x 2 dx 2 2 4 2 ( x 1) x 2x 1 dx x 2 dx 2 x
2 2
2
1 1 2 ( x 2 2 )dx x dx 2dx 2 dx x x 3 x 1 2x C 3 x
例4 求 cos 2 xdx
解
1 ' cos 2 xdx 2 cos 2 x (2 x ) dx
1 1 cos 2 xd (2 x ) sin 2 x C 2 2
例5 求
解
2x e dx
e dx
2x
1 2x ' e ( 2 x ) dx 2
1 2x e C 2
sin xdx d cos x
cos xdx
d sinx d cos x
sinxdx
1 dx 例3 求 3 2x
解
1 1 1 ' 3 2 xdx 2 3 2 x ( 3 2 x ) dx
u 3 2 x 1 1du 1 ln u C 2 u 2 1 ln( 3 2 x ) C . 2
1 2x e d (2 x ) 2
2x 例5 求 dx 2 1 x
解
1 2x 2 ' 1 x 2 dx 1 x 2 ( x 1) dx
1 2 2 d ( x 1 ) ln( 1 x )C 2 1 x
例6
解
tan xdx sin x sin x tan xdx cos xdx cos x dx
常见的幂函数积分
x2 xdx 2 C ;
1 x dx ln | x | C ;
2 3 x dx x 2 C ; 3
1 dx 2 x C ; x
练习
求下列不定积分
1.
x 1 3 4 ( 2 x x 3 x 4 )dx
x x 3 )dx ( x x e x e (1 x )dx
x ln(1 e x ) C .
五、小结
凑微分法
基本积分表(2)
1 dx . 例12 求 x 1 e x x 1 1 e e 解 1 e x dx 1 e x dx x x e e dx 1 dx dx x x 1 e 1 e 1 x dx d (1 e ) x 1 e
x dx
x x x 例3 求 sin (cos sin )dx 2 2 2 x x x 解 sin 2 (cos 2 sin 2 )dx 1 1 cos x ( sin x )dx 2 2 1 1 1 sin xdx dx cos xdx 2 2 2 1 ( cos x x sin x ) C 2
2
解（三） sin 2 xdx 2 sin x cos xdx
基 本 积 分 表
(14)
tan xdx ln | cos x | C ;
(15 )
cot xdx ln | sin x | C ;
1 1 xa (19) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a
例 求 sin 2 xdx.
1 解（一） sin 2 xdx sin 2 xd ( 2 x ) 2 1 cos 2 x C ; 2 解（二） sin 2 xdx 2 sin x cos xdx
2
2 sin xd (sin x ) sin x C ; 2 cos xd (cos x ) cos x C .
熟练以后就不需要进行 u ( x ) 转化了
dx (a 0) 例10 求 2 2 a x
解
dx 1 1 1 a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 1 dx dx 2a a x 2a a x
1 d (a x ) 1 d (a x ) 2a a x 2a a x 1 1 ln a x ln a x C 2a 2a 1 a x 2a ln a x C
dx
例8
解:
求
1 dx x (1 ln x )
1 1 1 dx dx x (1 ln x ) x (1 ln x )
1 1 d ln x d (1 ln x ) (1 ln x ) (1 ln x ) ln | ln(1 ln x ) | C
例9 求
x(1 5 ln x )dx.
1
1 1 解 dx d (ln x ) x (1 5 ln x ) 1 5 ln x
1 1 d (1 5 ln x ) 5 1 5 ln x u 1 5 ln x 1 1 du 1 ln u C 1 ln(1 5 ln x ) C . 5 5 u 5
例2 求积分 ( 3 x 1 )dx
x
解
1 1 3 ( x x )dx xdx x dx
3
x x x dx x dx C 4 1 3 2 3 4 1 x3 2 C 4 x
1 3 1 2
4 3
1 2
1 x x dx 1 C ( 1);
(1)
说明：使用公式（1）的关键在于将 g( x )dx
' ， f [ ( x )] ( x ) dx 进而化为 f [ ( x )]d ( x ) ，
化为
这种计算不定积分的方法称为凑微分法，
也称第一类换元法.
例1
1 dx 求 2x 1
解：令 u 2 x 1 ，则 du 2dx ，得
1 1 1 2 x 1 dx 2 u du 1 1 ln | u | C ln | 2 x 1 | C 2 2
例2
求
x x 3dx
2
2
解：令 u x 3 ，则 du 2 xdx ，得
2 x x 3dx
3 1 1u 1 2 udu C ( x 3) 2 C 2 2 3 3 2
练习:
dx x2 1
练习:
解
dx 1 1 1 ( )dx 2 x 1 2 x 1 x 1 1 1 1 1 dx dx 2 x 1 2 x 1
dx (a 0) 2 x 1
1 d ( x 1) 1 d ( x 1) 2 x 1 2 x 1 1 1 ln x 1 ln x 1 C 2 2 1 x 1 ln C 2 x1
3 2
课堂练习1:
1、 (1 2 x )
2、
100
dx
x 1 x 2 dx
常用的凑微分
dx d (ax b) a
2 xdx dx 2
e x dx de x
2 xdx d ( x 2 c)
1 dx d (ln x ) x
cos xdx d sin x
求
d cos x ln cos x C cos x
类似地， cot dx ln sin x C
例7 解
求
2 xe dx
x2
x2 x2 x2 x2
2 2 xe dx e dx
2 xe dx e dx 2
e C
x2
作业:
x e
2 1 x3