2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市吕城片九年级(上)数学期中试卷带解析答案
2019-2020学年江苏省镇江市丹阳市吕城片九年级(上)第一次调研数学试卷(解析版)
2019-2020学年江苏省镇江市丹阳市吕城片九年级第一学期第一次调研数学试卷一、单选题（共10小题，每题3分，共30分）.1．下列方程是一元二次方程的是（）A．（x﹣3）x＝x2+2B．ax2+bx+c＝0C．x2＝1D．x2﹣+2＝02．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°3．已知x＝1是方程x2+bx+b﹣3＝0的一个根，那么此方程的另一个根为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B 在⊙A内时，实数a的取值范围是（）A．a＞2B．a＞8C．2＜a＜8D．a＜2或a＞8 5．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧6．一元二次方程mx2﹣2x+1＝0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m≤1C．m＜1D．m≤1且m≠0 7．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 8．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（）A．9人B．10人C．11人D．12人9．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．不能确定10．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．C．1D．2二、填空题（每题3分，共30分）11．方程x2＝6x的根是．12．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝20°，则∠BOC的度数是．13．如图，已知△ABC的顶点在⊙O上，连接AO，若∠B＝60°，则∠OAC＝°．14．已知关于x的方程x2﹣（a2﹣2a﹣15）x+a﹣1＝0两个根是互为相反数，则a的值为．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是．16．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实根，则点P与⊙O的位置关系是．17．某种衬衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件每降价1元，则每天可多销售10件，如果每天盈利为1400元，那么每件应降价元．18．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m﹣mn+n＝．19．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC ＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小是．20．M（a，b）是一次函数y＝x+3图象上一点，则关于x的方程ax2+bx+1＝0的根的情况是．三、解答题（共60分）21．（16分）用适当的方法解下列方程：（1）4（x﹣3）2＝25．（2）x2+6x﹣10＝0．（3）3x（x+2）＝5（x+2）．（4）（x+1）（x+8）＝﹣12．22．已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m2＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有两个实数根为x1，x2，且x1＝2x2+5，求m的值．24．我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：求证：（1）不论m取任何实数，代数式4m2﹣4（m+1）+9的值总是正数（2）当m为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．25．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？26．已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．27．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G．（1）求证：＝；（2）若的度数为50°，求∠C的度数．28．阅读材料：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA长是点P 与⊙O上各点之间的最短距离．证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB＞PA．如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连接PC，OC．∵PO＜PC+OC，且PO＝PA+OA，OA＝OC，∴PA＜PC∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB 于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是．（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB 边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，①求线段A′M的长度；②求线段A′C长的最小值．参考答案一、单选题（每题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．（x﹣3）x＝x2+2B．ax2+bx+c＝0C．x2＝1D．x2﹣+2＝0解：A、由已知方程得到：3x﹣2＝0，属于一元一次方程，故本选项错误；B、当a＝0时，它不是一元二次方程，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程属于分式方程，故本选项错误；故选：C．2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°解：∵AD∥OC，∴∠AOC＝∠DAO＝70°，又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°，∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．3．已知x＝1是方程x2+bx+b﹣3＝0的一个根，那么此方程的另一个根为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2解：∵x＝1是方程x2+bx+b﹣3＝0的一个根，∴1+b+b﹣3＝0，∴x2+x+1﹣3＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1，∴此方程的另一个根为﹣2，A答案正确．故选：A．4．在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B 在⊙A内时，实数a的取值范围是（）A．a＞2B．a＞8C．2＜a＜8D．a＜2或a＞8解：∵⊙A的半径为3，若点B在⊙A内，∴AB＜3，∵点A所表示的实数为5，∴2＜a＜8，故选：C．5．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．故选：B．6．一元二次方程mx2﹣2x+1＝0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m≤1C．m＜1D．m≤1且m≠0解：∵一元二次方程mx2﹣2x+1＝0总有实数根，∴△≥0，m≠0，∴（﹣2）2﹣4m≥0，∴m≤1，∴m≤1且m≠0．7．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC＝＝＝4（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．故选：C．8．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（）A．9人B．10人C．11人D．12人解：设该群共有x人，依题意有x（x﹣1）＝90，解得：x＝﹣9（舍去）或x＝10，答：这个群共有10人．故选：B．9．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．不能确定解：∵方程x2﹣6x+8＝0的解是x＝2或4，（1）当2为腰，4为底时，2+2＝4不能构成三角形；（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长＝4+4+2＝10．故选：B．10．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．C．1D．2解：作A关于MN的对称点Q，连接MQ，BQ，BQ交MN于P，此时AP+PB＝QP+PB ＝QB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，连接AO，OB，OQ，∵B为中点，∴∠BON＝∠AMN＝30°，∴∠QON＝2∠QMN＝2×30°＝60°，∴∠BOQ＝30°+60°＝90°．∵直径MN＝2，∴OB＝1，∴BQ＝＝．则PA+PB的最小值为．故选：B．二、填空题（每题3分，共30分）11．方程x2＝6x的根是x＝0或x＝6．解：∵x2﹣6x＝0，∴x（x﹣6）＝0，则x＝0或x﹣6＝0，解得：x＝0或x＝6，故答案为：x＝0或x＝6．12．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝20°，则∠BOC的度数是40°．．解：∵OC＝OA，∴∠C＝∠A，∵∠C＝20°，∴∠A＝∠C＝20°，∴∠BOC＝∠A+∠C＝40°．故答案为：40°．13．如图，已知△ABC的顶点在⊙O上，连接AO，若∠B＝60°，则∠OAC＝30°．解：连接CO，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∴∠OAC＝（180°﹣120°）÷2＝30°．故答案为：30．14．已知关于x的方程x2﹣（a2﹣2a﹣15）x+a﹣1＝0两个根是互为相反数，则a的值为﹣3．解：根据题意得x1+x2＝﹣＝a2﹣2a﹣15，又∵x1+x2＝0，∴a2﹣2a﹣15＝0，∴a＝5或a＝﹣3，∵当a＝5时，x2+4＝0无实根，∴a的值为﹣3．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N．解：如图，分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N，故答案为：点M与点N．16．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实根，则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外．解：∵x2﹣2x+d＝0没有实根，∴Δ＝4﹣4d＜0，解得d＞1，∵⊙O的半径为1，∴点P在⊙O外．故答案为点P在⊙O外．17．某种衬衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件每降价1元，则每天可多销售10件，如果每天盈利为1400元，那么每件应降价6或10元．解：设每件降价x元，则平均每天可售出（40+10x）件，依题意，得：（20﹣x）（40+10x）＝1400，整理，得：x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10．故答案为：6或10．18．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m﹣mn+n＝3．解：根据题意得m+n＝﹣2，mn＝﹣5，所以m+n﹣mn＝2﹣（﹣5）＝3．故答案为3．19．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC ＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小是a＝b＝c．解：连接OA，OD，OM．∵四边形ABOC、DEOF、HMON均为矩形．∴OA＝BC，OD＝EF，OM＝HN∴BC＝EF＝HN即a＝b＝c．故答案是：a＝b＝c．20．M（a，b）是一次函数y＝x+3图象上一点，则关于x的方程ax2+bx+1＝0的根的情况是有实数根．解：∵M（a，b）是一次函数y＝x+3图象上一点，∴b＝a+3，当a＝0时，b＝3≠0，bx+1＝0有一个实数解；当a≠0时，∵Δ＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，∴方程有两个实数解，综上所述，关于x的方程ax2+bx+1＝0有实数根．故答案为有实数根．三、解答题（共60分）21．（16分）用适当的方法解下列方程：（1）4（x﹣3）2＝25．（2）x2+6x﹣10＝0．（3）3x（x+2）＝5（x+2）．（4）（x+1）（x+8）＝﹣12．解：（1）4（x﹣3）2＝25，（x﹣3）2＝，∴x﹣3＝，∴x1＝，x2＝；（2）x2+6x﹣10＝0，x2+6x＝10，x2+6x+9＝10+9，即（x+3）2＝19，∴x+3＝，∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；（3）3x（x+2）＝5（x+2），3x（x+2）﹣5（x+2）＝0，（x+2）（3x﹣5）＝0，∴x+2＝0或3x﹣5＝0，∴；（4）（x+1）（x+8）＝﹣12，x2+9x+20＝0，（x+4）（x+5）＝0，∴x+4＝0或x+5＝0，∴x1＝﹣4，x2＝﹣5．22．已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，∴AO＝BO，∵C、D分别是半径OA、BO的中点，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，，∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m2＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有两个实数根为x1，x2，且x1＝2x2+5，求m的值．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣m2）＝4+4m2．∵m2≥0，∴4+4m2＞0，即Δ＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵方程x2﹣2x﹣m2＝0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣m2．又∵x1＝2x2+5，∴x1＝3，x2＝﹣1，∴﹣m2＝﹣3，即m2＝3，解得m＝±．24．我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：求证：（1）不论m取任何实数，代数式4m2﹣4（m+1）+9的值总是正数（2）当m为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．解：（1）4m2﹣4（m+1）+9＝4m2﹣4m﹣4+9＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4；∴不论m取任何实数，代数式4m2﹣4（m+1）+9的值总是正数．（2）由（1）4m2﹣4（m+1）+9＝（2m﹣1）2+4得：m＝时，此代数式的值最小，这个最小值是：4．25．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？解：（1）设每次下调的百分率为x，由题意，得40（1﹣x）2＝32.4，解得x1＝0.1，x2＝1.9，经检验：1，x2＝1.9不符合题意，故x＝0.1＝10%，答：两次下降的百分率10%．（2）设每件商品降价y元，由题意，得（40﹣30﹣y）（48+8y）＝510，解得y1＝1.5，y2＝2.5．∵有利于减少库存，∴y＝2.5，答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；26．已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．解：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，∵点E是AB的中点，∴OE＝AB，同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．27．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G．（1）求证：＝；（2）若的度数为50°，求∠C的度数．【解答】（1）证明：连接AF．∵A为圆心，∴AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF，∴∠DAF＝∠GAD，∴＝；（2）解：∵的度数为50°，∴∠BAF＝50°，∵AB＝AF，∴∠B＝∠AFB＝（180°﹣∠BAF）＝65°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠C＝180°﹣∠B＝115°．28．阅读材料：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA长是点P 与⊙O上各点之间的最短距离．证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB＞PA．如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连接PC，OC．∵PO＜PC+OC，且PO＝PA+OA，OA＝OC，∴PA＜PC∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB 于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是﹣1．（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB 边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，①求线段A′M的长度；②求线段A′C长的最小值．解：（1）连接AO与⊙O相交于点P，如图①，由已知定理可知，此时AP最短，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BC为直径，∴PO＝CO＝1，∴AO＝＝＝，∴AP＝﹣1，故答案为：﹣1；（2）①∵将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，由翻折的性质可得：A′M＝AM，∵M是AD边的中点，四边形ABCD为菱形，边长为2，∴AM＝1，∴A′M＝1；②由①知，点A′在以点M为圆心，1为半径的圆上，连接CM交圆M于点A′，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H，如图②，∵∠A＝60°，四边形ABCD为菱形，∴∠HDM＝60°，在Rt△MHD中，DH＝DM•cos∠HDM＝，MH＝DM•sin∠HDM＝，∴CH＝CD+DH＝2+＝，在Rt△CHM中，CM＝＝＝，∴A′C＝﹣1．。
【数学】2015-2016年江苏省镇江市丹阳市吕城片七年级上学期数学期中试卷和解析答案PDF
2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市吕城片七年级（上）期中数学试卷一、选择题：（2*10=20分）1．（2分）下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，﹣，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）中，无理数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2分）下列计算正确的是（）A．3a2+a=4a3B．﹣2（a﹣b）=﹣2a+bC．5a﹣4a=1 D．a2b﹣2a2b=﹣a2b3．（2分）两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字的2倍少3，这个两位数是（）A．x（2x﹣3）B．x（2x+3）C．12x+3 D．12x﹣34．（2分）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（）A．﹣24与（﹣2）4 B．53与35C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3|D．（﹣1）3与（﹣1）20135．（2分）若a是负数，则下列各式不正确的是（）A．a3=（﹣a）3 B．a2=|a2|C．a2=（﹣a）2 D．（﹣a）3=﹣a36．（2分）已知a+b=4，c﹣d=﹣3，则（b+c）﹣（d﹣a）的值为（）A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣17．（2分）x﹣（2x﹣y）的运算结果是（）A．x﹣y B．﹣x+y C．﹣x﹣y D．3x﹣y8．（2分）若|a|=7，|b|=5，a+b＞0，那么a﹣b的值是（）A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．﹣2或129．（2分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…；b1=1，b2=4，b3=9，b4=16，…；y1=2a1+b1，y2=2a2+b2，y3=2a3+b3，y4=2a4+b4，…，那么，按此规定，y6=（）A．78 B．72 C．66 D．5610．（2分）下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2015位的所有数字之和是（）A．10070 B．10071 C．10095 D．10097二、填空题（每题2分，共20分）11．（2分）﹣1的倒数是，﹣3的相反数是．12．（2分）比较大小：﹣（+2）|﹣2|，﹣﹣．13．（2分）单项式﹣的系数是．平方得16的数为．14．（2分）钓鱼岛是中国领土一部分．钓鱼诸岛总面积约5平方千米，岛屿周围的海域面积约170 000平方千米．170 000用科学记数法表示为．15．（2分）若关于a，b的多项式（a2+2ab﹣b2）﹣（a2+mab+2b2）中不含ab项，则m=．16．（2分）已知一个多项式与3x2+9x+2的和等于3x2+4x﹣3，则此多项式是．17．（2分）若数轴上表示2的点为M，那么在数轴上与点M相距4个单位的点所对应的数是．18．（2分）若=0，则y x的值是．19．（2分）已知整式x2﹣2x的值为9，则﹣2x2+4x+6的值为．20．（2分）在如图所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数x=．三、解答题（八大题，共60分）21．（12分）计算（1）22+（﹣4）﹣（﹣2）+4（2）﹣3÷×（﹣）×|﹣|（3）﹣14﹣|﹣5|+8×（﹣）2（4）20﹣（+﹣）÷．22．（8分）化简下列各式（1）3a2b﹣2a2b；（2）（3a﹣5b）﹣3（4a﹣10b）23．（6分）先化简，后求值：（﹣4a2+2a﹣8b）﹣（﹣a﹣2b），其中a=，b=2015．24．（8分）化简：若A=x2﹣3xy，B=y2﹣2xy，C=﹣x2+2y2求：①A+B+C②2A﹣B﹣2C．25．（6分）某农户2015年承包荒山若干亩，投资9600元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为18000千克，此水果在果园每千克售a元，在市场上每千克售b元（a＜b）．该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需8人帮忙，每人每天付工资25元，农用车运费及其它各项税费平均每天100元．（1）分别用a，b表示果园销售、市场销售两种方式的出售收入？（市场出售收入=水果的总收入﹣销售中的额外支出）（2）若a=1.1元，b=1.5元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好？（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到15000元，在（2）的条件下该农户采用了其中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少？（纯收入=总收入﹣总支出）26．（6分）2010年8月7日夜22点左右，甘肃舟曲发生特大山洪泥石流灾害，甘肃消防总队迅即出动兵力支援灾区．在抗险救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：﹣11，﹣9，+18，﹣2，+13，+4，+12，﹣7（1）通过计算说明：B地在A地的什么方向，与A地相距多远？（2）直接写出在救灾过程中，最远处离出发点A有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为29升，求途中还需补充多少升油？27．（6分）将一些数排列成下表：试探索：（1）第10行第2列的数是多少？（2）数81所在的行和列分别是多少？（3）数100所在的行和列分别是多少？28．（8分）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：（1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动个单位；（2）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有种，其中移动所走的距离和最小的是个单位；（3）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第100次时，应跳步，落脚点表示的数是；（4）数轴上有个动点表示的数是x，则|x﹣2|+|x+3|的最小值是．2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市吕城片七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（2*10=20分）1．（2分）下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，﹣，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）中，无理数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：无理数有：﹣π，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）共有2个．故选：C．2．（2分）下列计算正确的是（）A．3a2+a=4a3B．﹣2（a﹣b）=﹣2a+bC．5a﹣4a=1 D．a2b﹣2a2b=﹣a2b【解答】A、a与2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、﹣2（a﹣b）=﹣2a+2b，故此选项错误；C、5a﹣4a=a，故此选项错误；D、a2b﹣2a2b=﹣a2b，故此选项正确；故选：D．3．（2分）两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字的2倍少3，这个两位数是（）A．x（2x﹣3）B．x（2x+3）C．12x+3 D．12x﹣3【解答】解：个位数字为2x﹣3，两位数为2x﹣3+10x=12x﹣3．故选D．4．（2分）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（）A．﹣24与（﹣2）4 B．53与35C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3|D．（﹣1）3与（﹣1）2013【解答】解：A、﹣24=﹣16，（﹣2）4=16，﹣16≠16，故本选项错误；B、53=125，35=243，125≠243，故本选项错误；C、﹣（﹣3）=3，﹣|﹣3|=﹣3，3≠﹣3，故本选项错误；D、（﹣1）3=﹣1，（﹣1）2013=﹣1，﹣1=﹣1，故本选项正确．故选：D．5．（2分）若a是负数，则下列各式不正确的是（）A．a3=（﹣a）3 B．a2=|a2|C．a2=（﹣a）2 D．（﹣a）3=﹣a3【解答】解：A、∵a是负数，∴a3＞0，（﹣a）3＜0，∴a3=（﹣a）3不正确，故本选项正确；B、a2=|a2|正确，故本选项错误；C、a2=（﹣a）2正确，故本选项错误；D、（﹣a）3=﹣a3正确，故本选项错误．故选：A．6．（2分）已知a+b=4，c﹣d=﹣3，则（b+c）﹣（d﹣a）的值为（）A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1【解答】解：∵a+b=4，c﹣d=﹣3，∴原式=b+c﹣d+a=（a+b）+（c﹣d）=4﹣3=1．故选：C．7．（2分）x﹣（2x﹣y）的运算结果是（）A．x﹣y B．﹣x+y C．﹣x﹣y D．3x﹣y【解答】解：x﹣（2x﹣y）=x﹣2x+y=﹣x+y．故选：B．8．（2分）若|a|=7，|b|=5，a+b＞0，那么a﹣b的值是（）A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．﹣2或12【解答】解：∵|a|=7，|b|=5，∴a=±7，b=±5，∵a+b＞0，∴a=7，b=±5，∴a﹣b=7﹣5=2，或a﹣b=7﹣（﹣5）=7+5=12，综上所述，a﹣b的值是2或12．故选：A．9．（2分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…；b1=1，b2=4，b3=9，b4=16，…；y1=2a1+b1，y2=2a2+b2，y3=2a3+b3，y4=2a4+b4，…，那么，按此规定，y6=（）A．78 B．72 C．66 D．56【解答】解：∵a1=1，a2=1+2=3，a3=1+2+3=6，a4=1+2+3+4=10，…；b1=12，b2=22=4，b3=32=9，b4=42=16，∴a6=1+2+3+…+6，b6=62，∴y6=2a6+b6=2×21+36=78．故选：A．10．（2分）下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2015位的所有数字之和是（）A．10070 B．10071 C．10095 D．10097【解答】解：由题意得，第一位数字是3时，排列如下：362486248…，从第2位数字6开始，“6248”依次循环，∵（2015﹣1）÷4=503…2，∴这个多位数前2015位的所有数字共有503个循环组，最后两个数字是6，2，503×（6+2+4+8）+3+6+2=503×20+11=10071．故选：B．二、填空题（每题2分，共20分）11．（2分）﹣1的倒数是﹣，﹣3的相反数是3．【解答】解：﹣1的倒数是﹣，﹣3的相反数是3，故答案为：﹣，3．12．（2分）比较大小：﹣（+2）＜|﹣2|，﹣＞﹣．【解答】解：﹣（+2）=﹣2，，﹣（+2）；，﹣，故答案为：＜，＞．13．（2分）单项式﹣的系数是﹣．平方得16的数为±4．【解答】解：单项式﹣的系数是﹣，平方得16的数是±4，故答案为：﹣，±4．14．（2分）钓鱼岛是中国领土一部分．钓鱼诸岛总面积约5平方千米，岛屿周围的海域面积约170 000平方千米．170 000用科学记数法表示为 1.7×105．【解答】解：170 000=1.7×105，故答案为：1.7×105．15．（2分）若关于a，b的多项式（a2+2ab﹣b2）﹣（a2+mab+2b2）中不含ab项，则m=2．【解答】解：原式=a2+2ab﹣b2﹣a2﹣mab﹣2b2=（2﹣m）ab﹣3b2，由结果不含ab项，得到2﹣m=0，解得：m=2．故答案为2．16．（2分）已知一个多项式与3x2+9x+2的和等于3x2+4x﹣3，则此多项式是﹣5x﹣5．【解答】解：根据题意得：（3x2+4x﹣3）﹣（3x2+9x+2）=3x2+4x﹣3﹣3x2﹣9x﹣2=﹣5x﹣5．故答案为：﹣5x﹣5．17．（2分）若数轴上表示2的点为M，那么在数轴上与点M相距4个单位的点所对应的数是﹣2或6．【解答】解：在2的左边时，2﹣4=﹣2，在2右边时，2+4=6，所以，点对应的数是﹣6或2．故答案为：﹣2或6．18．（2分）若=0，则y x的值是．【解答】解：∵=0，∴x﹣2=0，y+=0，∴x=2，y=﹣，∴y x=（﹣）2=．故答案为：．19．（2分）已知整式x2﹣2x的值为9，则﹣2x2+4x+6的值为﹣12．【解答】解：∵x2﹣2x=9，∴﹣2x2+4x+6=﹣2（x2﹣2x）+6=﹣2×9+6=﹣18+6=﹣12．故答案为：﹣12．20．（2分）在如图所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数x=10，9．【解答】解：由题意，得当输入的数x是偶数时，则y=x，当输入的x为奇数时，则y=（x+1）．当y=5时，∴5=x或5=（x+1）．∴x=10或9故答案为：9，10三、解答题（八大题，共60分）21．（12分）计算（1）22+（﹣4）﹣（﹣2）+4（2）﹣3÷×（﹣）×|﹣|（3）﹣14﹣|﹣5|+8×（﹣）2（4）20﹣（+﹣）÷．【解答】解：（1）原式=22﹣4+2+4=24；（2）原式=﹣××（﹣）+=+=；（3）原式=﹣1﹣5+2=﹣4；（4）原式=20﹣（+﹣）×24=20﹣18﹣20+14=﹣4．22．（8分）化简下列各式（1）3a2b﹣2a2b；（2）（3a﹣5b）﹣3（4a﹣10b）【解答】解：（1）3a2b﹣2a2b；=a2b；（2）（3a﹣5b）﹣3（4a﹣10b）=3a﹣5b﹣12a+30b=﹣9a+25b．23．（6分）先化简，后求值：（﹣4a2+2a﹣8b）﹣（﹣a﹣2b），其中a=，b=2015．【解答】解：原式=﹣a2+a﹣2b+a+2b=﹣a2+a，当a=，b=2015时，原式=﹣+×=．24．（8分）化简：若A=x2﹣3xy，B=y2﹣2xy，C=﹣x2+2y2求：①A+B+C②2A﹣B﹣2C．【解答】解：①∵A=x2﹣3xy，B=y2﹣2xy，C=﹣x2+2y2，∴A+B+C=x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣x2+2y2=﹣5xy+3y2②∵A=x2﹣3xy，B=y2﹣2xy，C=﹣x2+2y2，∴2A﹣B﹣2C=2（x2﹣3xy）﹣（y2﹣2xy）﹣2（﹣x2+2y2）=2x2﹣6xy﹣y2+2xy+2x2﹣2y2=4x2﹣4xy﹣5y2．25．（6分）某农户2015年承包荒山若干亩，投资9600元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为18000千克，此水果在果园每千克售a元，在市场上每千克售b元（a＜b）．该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需8人帮忙，每人每天付工资25元，农用车运费及其它各项税费平均每天100元．（1）分别用a，b表示果园销售、市场销售两种方式的出售收入？（市场出售收入=水果的总收入﹣销售中的额外支出）（2）若a=1.1元，b=1.5元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好？（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到15000元，在（2）的条件下该农户采用了其中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少？（纯收入=总收入﹣总支出）【解答】解：（1）果园销售收入：18000a元；市场销售收入：（18000b﹣5400）元；（2）当a=1.1元，b=1.5元时，果园销售收入：18000×1.1=19800元，市场销售收入：18000×1.5﹣5400=21600元，所以市场销售好．（3）因为今年的纯收入为19800﹣9600=10200，所以×100%=47.1%，所以增长率为47.1%．26．（6分）2010年8月7日夜22点左右，甘肃舟曲发生特大山洪泥石流灾害，甘肃消防总队迅即出动兵力支援灾区．在抗险救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：﹣11，﹣9，+18，﹣2，+13，+4，+12，﹣7（1）通过计算说明：B地在A地的什么方向，与A地相距多远？（2）直接写出在救灾过程中，最远处离出发点A有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为29升，求途中还需补充多少升油？【解答】解：（1）∵﹣11﹣9+18﹣2+13+4+12﹣7=18＞0，∴B地在A地的东边18千米；（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：第一次：11千米，第二次：|﹣11﹣9|=20千米，第三次：|﹣20+18|=2千米，第四次：|﹣2﹣2|=4千米，第五次：|﹣4+13|=9千米，第六次：|9+4|=13千米，第七次：|13+12|=25千米，第八次：|25﹣7|=18千米．∴最远处离出发点25千米；（3）∵这一天走的总路程为：11+9+18+2+13+4+12+7=76千米，应耗油76×0.5=38（升），∴还需补充的油量为：38﹣29=9（升）27．（6分）将一些数排列成下表：试探索：（1）第10行第2列的数是多少？（2）数81所在的行和列分别是多少？（3）数100所在的行和列分别是多少？【解答】解：（1）第10行第2列的数是4×10=40；（2）由于81只能是9的平方，所以数81在第9行第1列；（3）∵100=102，∴数100在第10行第1列；∵100=4×25，∴数100在第25行第2列；∵100=5×20，∴数100在第20行第3列；∵100=50×2=（46+4）×2，∴数100在第46行第4列．综上所述，数100在第10行第1列，第25行第2列，第20行第3列，第46行第4列．28．（8分）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：（1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动3或7个单位；（2）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有3种，其中移动所走的距离和最小的是7个单位；（3）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第100次时，应跳199步，落脚点表示的数是100；（4）数轴上有个动点表示的数是x，则|x﹣2|+|x+3|的最小值是5．【解答】解：（1）有数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：﹣2、3，所以当C、B两点的距离与A、B两点的距离相等时，需将点C向左移动3个单位或7个单位，故答案为：3或7；（2）有3种方法：①移动B、C，把点B向左移动2个单位长度，把C向左移动7个单位长度，移动距离之和为：2+7=9；②移动A、C，把点A向右移动2个单位长度，把C向左移动5个单位长度，移动距离之和为：2+5=7；③移动B、A，把点A向右移动7个单位长度，把B向左右移动5个单位长度，移动距离之和为：7+5=12．所以移动所走的距离和最小的是7个单位，故答案为：3，7；（3）∵第1次跳1步，第2次跳3步，第3次跳5步，第4次跳7步，…∴第n次跳（2n﹣1）步，当n=100时，2×100﹣1=200﹣1=199，此时，所表示的数是：﹣1+3﹣5+7﹣…﹣197+199，=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣197+199），=2×=100，（4）根据题意，可知当﹣3≤x≤2时，|x﹣2|+|x+3|有最小值．此时|x﹣2|=2﹣x，|x+3|=x+3，∴|x﹣2|+|x+1|=2﹣x+x+3=5．∴则|x﹣2|+|x+3|的最小值是5．故答案为：（1）3；（2）3，7；（3）199，100；（4）5．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
(完整word版)2015-2016学年度上学期期末质量检测九年级数学试卷
2015-2016学年度上学期期末质量检测九年级数学试卷说 明：1.本卷共六大题，全卷共 24题，满分120分，考试时间为120分钟2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答, 否则不给分c +d b c B . cCD.—221.下列各数中，为有理数的是（ ▲ )A . nB . \ 3C.3.14D .—、32.已知5个正数a , b , c , d , e ,且 a v b v c v dv e ,则新一组数据 的中位数是（▲）、选择题（本大题共 6小题，每小题3分，共18分）每题只有一个正确的选项0，a ，b , c , d ，e3.某几何体的主视图和左视图完全一样如图所示, 则该几何体的俯视图不可能是（▲）A .4.关于x 的一元 A . 1Z I C.次不等式 x — b v 0恰有两个正整数解，则 B . 2.5C. 2D. 5.如图，△ ABC 中, BD=5, DC=2,AE 交BC 于点D ,DE 的长等于（▲AD=3,10 3b 的值可能是（3.56. 如图是二次函数 ①二次三项式 ax ③ 一元二次方程④ 使y<3成立的x 的取值范围是x 淘. 2y 二ax bx c 的图象，下列结论：2■ bx ' c 的最大值为 4 :②4a + 2b + c v 0;2ax bx 1的两根之和为一2；其中正确的个数有（ A . 1 个 B▲） .2个 C8个小题，每小题.3个 D . 4个 3分，共24分） 8•点A （m,m - 3）在第一象限，则实数m 的取值范围为 ____ ▲9.已知:二均为锐角，且sin 。
-1 2(tan -1)^0，则： 二 ▲:B.O D. ▲)10.如图，直线a // b,直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q,且PM垂直于I,若/仁58°则/ 2= ▲;11. 从—1, 0, 2,这三个数中，任取两个数分别作为系数a, b代入ax2•bx：：；,2 = 0中.在所有可能的结果中，任取一个方程为有实数解的一元二次方程的概率是▲; 12. 如图在平面直角坐标系中，点A在抛物线y = x2 - 4x • 6上运动.过点A作AC丄x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD，则对角线BD的最小值为▲;613. 如图，已知点A在双曲线y 上，过点A作AC丄x轴于点C, OC=3，线段0A的x垂直平分线交0C于点8，则厶ABC的周长为▲;14. 菱形ABCD的对角线AC=6 cm，BD=4 cm，以AC为边作正方形ACEF，贝U BF长为三、解答题(本大题共4小题，每小题各6分，共24分)15.计算：(—73 $ +(J2015 — J2016 X J2016 + J2015 )—2誓—tan”45.16. ( 1)如图，六边形ABCDEF满足：AB£EF，AF丄CD.仅用无刻度的直尺画出一条直线I，使得直线l能将六边形ABCDEF的面积给平分；(2)假设你所画的这条直线l与六边形ABCDEF的AF边与CD边(或所在的直线)分别交于点G与点H，则下列结论：①直线I还能平分六边形ABCDEF的周长；②点G与点H恰为AF边与CD边中点；③AG=CH ，FG=DH ;④AG=DH，FG=CH .其中，正确命题的序号为▲.217.已知关于x的一元二次方程x -(k-2)x，2k=0 .(1 )若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根;2(2)当k=—1时，求X j -3X2的值.18.在不透明的袋子中有四张标着数字1, 2, 3，4的卡片，这些卡片除数字外都相同•甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加•如图是他所画的树状图的一部分.(1 )帮甲同学完成树状图；(2)求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率.第18题图四、(本大题共4小题，每小题各 8分，共32分) 19.如图，四边形 ABCD 为菱形，M 为BC 上一点, 且/ABM=2/ BAM . (1) 求证：AG=BG ;(2) 若点M 为BC 的中点，且S B MG =1 , 试求△ ADG的面积.20.据报道，历经一百天的调查研究，景德镇 PM 2.5源解析已经通过专家论证.各种调查显示，机动车成为 PM 2.5的最大来源，一辆车每行驶 20千米平均向大气里排放 0.035 千克污染物.校环保志愿小分队从环保局了解到景德镇 100天的空气质量等级情况，并制成统计图和表：空气质量等级优 良轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数(天)10a 12 825 b(2)彤彤是环保志愿者，她和同学们调查了 机动车每天的行驶路程，了解到每辆车 每天平均出行25千米.已知景德镇市 2016年机动车保有量已突破 50万辆, 请你通过计算，估计 2016年景德镇市 一天中出行的机动车至少要向大气里 排放多少千克污染物？21.如图ABCD 为正方形，点 A 坐标为(0, 1),点B 坐标为(k y的图象经过点 C , 一次函数y=ax + b 的图象经过 A 、x开始第一次 1234 /N 第二次2 3 4第19题图2016年景德镇市100天空气质量等级天数统计表(1)表中a= ▲, b= ▲ ,图中严重污染部分对应的圆心角n= ▲2016年景德镇市100天空气质量等级天数统计图第20题图(1) 求反比例函数与一次函数的解析式；(2) 若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标.22.小敏将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO 后，电脑转到AO B位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O'C丄OA 于点C, O' C=2cm.(1)求/ CAO的度数；(2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少？第22题图五、(本大题共1小题，每小题10分，共10分)23.如图，抛物线y = -x2• bx • c交x轴于点A (- 3, 0)和点B,交y轴于点C (0, 3).(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 若点P在抛物线上，且S AOP =4S.BOC，求点P的坐标；(3) 如图b,设点Q是线段AC上的一动点，作DQ丄x轴，交抛物线于点D, 求线段DQ长度的最大值.六、(本大题共1小题，每小题12分，共12分)M , N分别是AD , CD的中点，连接24.如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90°, AC=6, BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动, MN，设点D运动的时间为t.(1) 判断MN与AC的位置关系；(2) 求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；(3 )若厶DMN是等腰三角形，求t的值.2016学年第一次质量检测试卷九年级数学答案、选择题（本大题共 6小题，每小题3分，共18分）• x f - 3x 2 = -3x 4 2 - 3x 2 二-3(x 1 x 2) 2=11.(1 )补全树状图如图所示：.一…第一次 1 2/N z1\第二次 2 3 41 3 4（2）由树状图得：共有12种情况，两次抽到的数字之和为偶数的有四、（本大题共4小题，每小题各 8分，共32分） 19. （1）证明：•••四边形 ABCD 是菱形， •••/ABD = / CBD ,•••/ ABM =2 / BAM , ABD =Z BAM ,• AG=BG ;(2)解：T AD // BC ,ADG MBG ,•••点M 为BC 的中点， •竺=2,BM故P （两次抽到的数字之和为偶数）4 = 112 3ii.12. ____ 2 13.5 ____ 14.4小题，每小题各6分,共24分）15解原=2 .16解: (1) 如图；(2) ③. 17解: (1)k=-3，另一根为-6;(2) 当k= - 1时，方程变形为x 2 3x 2 =0 ,_3 X i18.解: 4种,• AG ADGM " BM32° 、解答2二 X i• BMG =1, 二 S A ADG =4.20.解：（1） a=25, b=20, c=72;答：2016年景德镇市一天中出行的机动车至少要向大气里排放21.解：(1 )•••点A 的坐标为(0, 1)，点B 的坐标为(0,— 2),••• AB=1 + 2=3.即正方形 ABCD 边长为 3,二 C (3,— 2). 将C 点坐标代入反比例函数可得：k= — 6.丁八6•反比例函数解析式： y 二-丄.x（a ~ -1 将 C（ 3, — 2）, A （ 0, 1）代入 y=ax + b 解得：2 = 1• 一次函数解析式为 y=— x + 1.111•••—X 1 X | t |= 3 X 3，解得 t =± 18. • P 点坐标为（18, ）或（-18,）.23 322.解：（1 ）• O' C 丄 OA 于 C , OA=OB=24cm ,OC OC 1 • sin / CAO = -------- = -------- = — ,•/ CAO=30OA OA2(2)过点B 作BD 丄AO 交AO 的延长线于 D .• O' C 丄 OA , / CAO=30°, •/ AO C=60° • / AO B' 120°, •/ AO B'+/ AO C = 180° .• O B + O' C — BD= 24 + 12— 12 3 =36 - 12上 3 . •显示屏的顶部 B'比原来升高(2)根据题意得:50 X 0.035 X 10000X=21875 （千克）20(2)设P(t, -• △ OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积,21875千克污染物•/ sin / BOD =电OB '• BD=OB • sin / BOD ,• / AOB=120°, •/ BOD= 60• BD=OB • sin / BOD= 24 X了（36 —12、刁）cm.五、(本大题共1小题，每小题10分，共10分)2 223.解：(1 )将A (- 3, 0)、C (0, 3)代入y = —X +bx + c ,解得：y = —X — 2x + 3 .(2)由(1 )知，该抛物线的解析式为y = _x2_2x3，则易得B( 1, 0). 设P(x，-x2 -2x • 3 )，1 2 1•/ S^O^4S^OC，二｛汇3汇一x _2x+3 = 4X[X1><3 . 解得：x - -1 或x - -1 二2'、2 .则符号条件的点P的坐标为(-1, 4)或(-1 2,2 , - 4)或(-1 -2、. 2 , - 4).(3)易知直线AC的解析式为y=x+ 3.设Q点坐标为(x, x+ 3) (- 3< x w 0),则D点坐标为(x, _ x^ 2x 3 ),2 23 2 9QD= ( -x - 2x 3 ) -( x + 3) =-x -3x=-(x )2 4•••当x =「3时，QD有最大值-.2 4六、(本大题共1小题，每小题12分，共12分)24. ( 1)v在厶ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，• MN // AC ;(2)如图1,分别取△ ABC三边AC, AB, BC的中点E, F , G,并连接EG, FG ,根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是平行四边AFGE的面积，•/ AC=6, BC=8, • AE=3, GC=4,•••/ ACB=90 °二S 四边形AFGE=AE?GC=3 X 4=12.•线段MN所扫过区域的面积为12.1 1 1(3)据题意可知：MD=—AD , DN= —DC, MN = — AC=3 ,2 2 2①当MD=MN=3时，△ DMN为等腰三角形，此时AD=AC=6 , • t=6 ,1②当MD=DN时，AD=DC ,如图2,过点D作DH丄AC交AC于H ,则AH = — AC=32 ，-cosA= AD 爲• 3 6AD 一10 '解得AD=5 ,••• AD=t=5 .③如图3,当DN=MN=3时，AC=DC，连接MC，贝U CM丄AD , •/ coA=如一竺，即刎」,AC AB 6 1018 36AM= , • AD=t=2AM=^ ,5 5综上所述，当t=5或6或36时，△ DMN为等腰三角形.5DG。
2023-2024学年江苏省镇江市丹徒区九年级(上)期中数学试卷[含答案]
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2023-2024学年江苏省镇江市丹徒区九年级（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 ．2．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的一个根为﹣1，则k＝ ．3．（2分）已知⊙O半径为4cm，点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O的位置关系是 ．4．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，可以将其变形为（x+h）2＝k（h、k为常数）的形式，则k＝ ．5．（2分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是 （结果保留π）．6．（2分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ．7．（2分）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝ （结果保留π）．8．（2分）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝26°，则∠CAB＝ ．9．（2分）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程 ．10．（2分）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．11．（2分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F，若∠AFB＝60°，则∠DEB＝ °．12．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，点P为线段AC的中点，连接BP，则BP的最大值是 ．二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）13．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5C．2x﹣x2＝1D．x+＝714．（3分）一元二次方程x2+5x+1＝0根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根15．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m+n的值为（ ）A．2B．﹣2C．5D．﹣516．（3分）如图，AB、AD、DE是⊙O的切线，切点分别是B、C、E．若AD＝20，AB＝12，则DE的长是（ ）A．6B．8C．10D．1217．（3分）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）A．5B．10C．12D．2018．（3分）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0（m＞0、n＞0）时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ）A．m＝2，n＝3B．m＝，n＝2C．m＝，n＝2D．m＝2，n＝三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（20分）解下列方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）x2+4x﹣1＝0；（3）；（4）3x（x﹣2）＝x﹣2．20．（6分）关于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，求方程的两个根．21．（6分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，点E在AD上．（1）∠BAD＝ °；（2）求∠AED的度数．22．（8分）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为1.5m，拱门下端AB为1.8m．（1）在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若拱门最高点为点D，求点D到地面（AB）的距离．23．（8分）杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元．试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件．（1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出 件文化衫，销售利润是 元．（2）若每件文化衫的售价上涨x元（x＞0），①平均每天售出 件文化衫（用含x的代数式表示）．②若每天的销售利润恰好为27000元，且获利不超过35%，求x的值．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与边AC相交于点D，与边AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线PQ交BC、AB于点P、Q，连接EP．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，OA为1，求线段EP的长．25．（10分）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是Rt△ABE和Rt△CDE的边长，易知AD＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾氏方程”．请解决下列问题：（1）方程x2+2x+1＝0 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”；（2）求证：关于x的“勾氏方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；（3）如图2，⊙O的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．若关于x的方程mx2+10x+n＝0是“勾氏方程”，连接AD，求∠BAD的度数．26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，边长AB＝a，AD＝b，其中a、b（a＜b）分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，连接BD．点O从点C出发，沿CB向点B运动（到达点B停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为t秒．（1）BD＝ ；（2）如图2，在运动过程中，连接OD，将△ODC沿OD折叠，得到△ODP，连接BP，当BP取最小值时，t为 ，此时，AP的值为 ；（3）如图3，在运动过程中，以O为圆心，OC的长为半径作半圆，交射线CB于Q，当半圆O与△ABD的边有两个交点时，直接写出t的取值范围．2023-2024学年江苏省镇江市丹徒区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 x＝±2 ．【分析】式子x2﹣4＝0先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．【解答】解：移项得x2＝4，∴x＝±2．故答案为：x＝±2．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．2．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的一个根为﹣1，则k＝ ﹣2 ．【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣x+k＝0得到关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案．【解答】解：根据题意得：12﹣（﹣1）+k＝0，解得：k＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．3．（2分）已知⊙O半径为4cm，点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O的位置关系是 在圆外 ．【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OP＝4.5＞4，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故答案为：在圆外．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．4．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，可以将其变形为（x+h）2＝k（h、k为常数）的形式，则k＝ 1 ．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式，即可得出k的值．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，即（x﹣2）2＝1，∴k＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法是关键．5．（2分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是 20π （结果保留π）．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长＝8π，∴侧面面积＝×8π×5＝20π．故答案为：20π．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．6．（2分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 k＜4且k≠0 ．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k＞0，解得k＜4且k≠0，即k的取值范围为k＜4且k≠0．故答案为：k＜4且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．7．（2分）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝ π （结果保留π）．【分析】由等腰三角形的性质求出∠AOB的度数，由弧长公式即可计算．【解答】解：由作图知：OP垂直平分AB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，∵扇形的半径是1，∴的长＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．8．（2分）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝26°，则∠CAB＝ 32° ．【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，根据直角三角形的性质求出∠COP，再根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接OC，∵CP是圆O的切线，∴OC⊥CP，即∠OCP＝90°，∵∠P＝26°，∴∠COP＝90°﹣26°＝64°，由圆周角定理得：∠CAB＝∠COP＝32°，故答案为：32°．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．（2分）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程 25（1﹣x）2＝16 ．【分析】设每次降价的百分率为x，根据经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，理解题意，找准等量关系．【解答】解：由题意得：25（1﹣x）2＝16，故答案为：25（1﹣x）2＝16．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确列出一元二次方程是解此题的关键．10．（2分）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 8 尺．【分析】利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．【解答】解：设竿长为x尺，则门宽为（x﹣4）尺，门高（x﹣2）尺，门对角线是x尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，整理得：x2﹣12x+20＝0，解得x＝2（舍去）或x＝10．则门高：10﹣2＝8．故答案为：8．【点评】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．11．（2分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F，若∠AFB＝60°，则∠DEB＝ 90 °．【分析】先根据切线的性质得出∠ABF＝90°，结合∠AFB＝60°可求出∠BAF的度数，再根据弧之间的关系得出它们所对的圆周角之间的关系，最后根据三角形外角的性质即可求出∠DEB的度数．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴OB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∵∠AFB＝60°，∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝30°，∴∠BOD＝2∠BAF＝60°，∵，∴∠COA＝2∠BOD＝120°，∴∠CDA＝∠COA＝60°，∵∠DEB是△AED的一个外角，∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝90°，故答案为：90．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，熟知：圆的切线垂直于过切点的半径；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．12．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，点P为线段AC的中点，连接BP，则BP的最大值是 ．【分析】连接OB，OC，OA，OP，则△OBC是等腰直角三角形，得出OB＝OC＝4，由等腰三角形的性质得出∠OPC＝90°，从而得出点P在以OC为直径的圆上运动，以OC为直径作⊙O'，连接O′B，O′P，当P为BO′的延长线与⊙O'的交点时，BP的长取最大值，此时BP＝BO′+O′P，由勾股定理计算出O′B，即可得出答案．【解答】解：如图，连接OB，OC，OA，OP，，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∵，∴OB＝OC＝4，∵点P为线段AC的中点，OA＝OC，∴OP⊥AC，∴∠OPC＝90°，∴点P在以OC为直径的圆上运动，以OC为直径作⊙O'，连接O′B，O′P，当P为BO′的延长线与⊙O'的交点时，BP的长取最大值，此时BP＝BO′+O′P，∵，∴，∴BP的最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）13．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5C．2x﹣x2＝1D．x+＝7【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．14．（3分）一元二次方程x2+5x+1＝0根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得．【解答】解：一元二次方程x2+5x+1＝0中的a＝1，b＝5，c＝1，则这个方程根的判别式为Δ＝52﹣4×1×1＝21＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．15．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m+n的值为（ ）A．2B．﹣2C．5D．﹣5【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，，由此即可得出答案．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．16．（3分）如图，AB、AD、DE是⊙O的切线，切点分别是B、C、E．若AD＝20，AB＝12，则DE的长是（ ）A．6B．8C．10D．12【分析】由题意得出AB＝AC＝12，DE＝CD，求出CD的长即可得出答案．【解答】解：∵AB、AD、DE是⊙O的切线，切点分别是B、C、E，∴AB＝AC＝12，DE＝CD，∵CD＝AD﹣AC＝20﹣12＝8，∴DE＝CD＝8，故选：B．【点评】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解此题的关键．17．（3分）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）A．5B．10C．12D．20【分析】作正多边形的外接圆，连接AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB＝36°，根据中心角的定义即可求解．【解答】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数为＝10．故选：B．【点评】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．18．（3分）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0（m＞0、n＞0）时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ）A．m＝2，n＝3B．m＝，n＝2C．m＝，n＝2D．m＝2，n＝【分析】仿照题目中的运算方法，进行计算即可得出答案．【解答】解：∵x2+mx﹣n＝0，∴x（x+m）＝n，∴四个矩形的长为x+m，宽为x，∴大正方形的面积可以表示为（x+x+m）2＝14，中间小正方形的面积为m2＝4，∴m＝2，∵大正方形的面积还可以表示为4x（x+m）+m2＝14，∴，∴，综上所述，，故选：D．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（20分）解下列方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）x2+4x﹣1＝0；（3）；（4）3x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，∴x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，∴，解得：，；（3）∵，∴x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝3；（4）∵3x（x﹣2）＝x﹣2，∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或3x﹣1＝0，解得：x1＝2，．【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．20．（6分）关于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，求方程的两个根．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，求解即可；（2）根据（1）确定的k的取值范围，得出k取最大整数值，代入方程，求解方程即可．【解答】解：∵方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，∴k＜1，∴当k＜1时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵k＜1，∴k的最大整数值为0，把k＝0代入方程x2+2x+2k﹣1＝0，得方程x2+2x﹣1＝0，解得，．【点评】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．21．（6分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，点E在AD上．（1）∠BAD＝ 70 °；（2）求∠AED的度数．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案；（2）连接BD，由等边对等角结合三角形内角和定理得出∠ABD＝∠ADB＝55°，再由圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70；（2）如图，连接BD，∵AB＝AD，∴，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠ABD＝125°．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．22．（8分）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为1.5m，拱门下端AB为1.8m．（1）在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若拱门最高点为点D，求点D到地面（AB）的距离．【分析】（1）在拱门上找任意一点C，连接AC、BC，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置；（2）连接AO，设点E为AB的中点，根据垂径定理，构造直角三角形AOE，然后根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）如图2，点O即为所求，；（2）连接AO，如图3，，设点E为AB的中点，∵点O为圆心，连接EO并延长交圆于点D，∴点D即为拱门为最高点，∴DE⊥AB，∵AB＝1.8m，OA＝1.5m，，OD＝1.5m，在Rt△AEO中，＝1.2（m），∴DE＝DO+OE＝1.5+1.2＝2.7（m），∴点D到地面（AB）的距离为2.7m．【点评】本题主要考查了作图﹣应用与设计作图，垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键．23．（8分）杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元．试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件．（1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出 2010 件文化衫，销售利润是 16080 元．（2）若每件文化衫的售价上涨x元（x＞0），①平均每天售出 （2100﹣30x） 件文化衫（用含x的代数式表示）．②若每天的销售利润恰好为27000元，且获利不超过35%，求x的值．【分析】（1）利用日销售量＝2100﹣30×每件文化衫的售价上涨的钱数，可求出日销售量，再利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，即可求出每天的销售利润；（2）①利用日销售量＝2100﹣30×每件文化衫的售价上涨的钱数，可用含x的代数式表示出日销售量；②利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出2100﹣30×（58﹣55）＝2010（件）文化衫，销售利润是（58﹣50）×2010＝16080（元）．故答案为：2010，16080；（2）①根据题意得：平均每天售出（2100﹣30x）件文化衫．故答案为：（2100﹣30x）；②根据题意得：（55+x﹣50）（2100﹣30x）＝27000，整理得：x2﹣65x+550＝0，解得：x1＝10，x2＝55，又∵获利不超过35%，∴x＝10．答：x的值为10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）①根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出日销售量；②找准等量关系，正确列出一元二次方程．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与边AC相交于点D，与边AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线PQ交BC、AB于点P、Q，连接EP．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，OA为1，求线段EP的长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出∠NEB+∠AEO＝90°即可；（2）利用线段中垂线的性质以及勾股定理列方程求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵PQ是BE的中垂线，∴PE＝PB，∴∠B＝∠PEB，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠PEB+∠OEA＝90°，∴∠OEP＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥PE，∵OE是半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OP，∵PQ是BE的中垂线，∴EP＝PB，设EP＝x＝PB，在Rt△COP中，OP2＝OC2+CP2，在Rt△OEP中，OP2＝OE2+EP2，∴OC2+CP2＝OE2+EP2，即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2，解得x＝，即EP＝．【点评】本题考查切线的判定，线段的中垂线以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，线段中垂线的性质以及勾股定理是正确解答的前提．25．（10分）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是Rt△ABE和Rt△CDE的边长，易知AD＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾氏方程”．请解决下列问题：（1）方程x2+2x+1＝0 是 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”；（2）求证：关于x的“勾氏方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；（3）如图2，⊙O的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．若关于x的方程mx2+10x+n＝0是“勾氏方程”，连接AD，求∠BAD的度数．【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断；（2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题；（3）如图，连接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，利用勾股定理求出OE＝m，OF＝n，在利用全等三角形的判定与性质推导出∠DOB＝90°即可解决问题．【解答】（1）解：x2+2x+1＝0是“勾氏方程”，理由如下：∵x2+2x+1＝0中，，∴，∴a2+b2＝c2，a，b，c能构成直角三角形，∴方程x2+2x+1＝0是“勾氏方程”；（2）证明：∵关于x的方程是“勾氏方程”，∴a，b，c构成直角三角形，c是斜边，∴c2＝a2+b2，∵Δ＝2c2﹣4ab，∴Δ＝2（a2+b2﹣2ab）＝2（a﹣b）2≥0，∴关于x的“勾氏方程”必有实数根．（3）解：连接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，如图：∵关于x的方程是“勾氏方程”，∴m，n，10构成直角三角形，10是斜边，∴m2+n2＝102∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，，∴∠OED＝∠OFB＝90°，，∴DE2+OE2＝OD2，OF2+BF2＝OB2，即n2+OE2＝102，OF2+m2＝10，又m2+n2＝102，∴OE＝m，OF＝n，∴DE＝OF，OE＝BF，∴△OED≌△BFO（SSS），∴∠EOD＝∠OBF，∵∠OBF+∠BOF＝90°，∴∠EOD+∠BOF＝90°，∴∠DOB＝90°，∴．【点评】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足a2+b2＝c2，利用这个关系即可转化边并证明边相等．26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，边长AB＝a，AD＝b，其中a、b（a＜b）分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，连接BD．点O从点C出发，沿CB向点B运动（到达点B停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为t秒．（1）BD＝ 5 ；（2）如图2，在运动过程中，连接OD，将△ODC沿OD折叠，得到△ODP，连接BP，当BP取最小值时，t为 ，此时，AP的值为 ；（3）如图3，在运动过程中，以O为圆心，OC的长为半径作半圆，交射线CB于Q，当半圆O与△ABD的边有两个交点时，直接写出t的取值范围．【分析】（1）先解一元二次方程，得到AB＝3，AD＝4根据矩形的性质，得到∠ABD＝90°，利用勾股定理即可求解；（2）由折叠的性质得到△DOP≌△DOC，即DP＝CD＝AD，∠DPO＝90°，当点O在运动过程中，DP的长度和BD的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，BP的长度最短，即有最小值，最小值为BD﹣DP，此时∠BPO＝90°，再根据正弦的定义即可求解，此时，过点P作PE⊥AB垂足为E点，证明△PBO∽△EPB，利用相似三角形的性质求出AE，EP，再利用勾股定理即可求AP的值；（3）根据题意，分为当半圆O与BD有2个交点；当点半圆O与BD有1个交点，与AB有1个交点；当点半圆O与BD有1个交点，与AD有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到t的取值范围．【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝0，即（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4，∵边长AB＝a，AD＝b，其中a、b（a＜b）分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，∴AB＝3，AD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，，故答案为：5；（2）由折叠的性质得：△DOP≌△DOC，∴DP＝CD＝AB，∠DPO＝∠DCB＝90°，点O在运动过程中，∵DP的长度和BD的长度是固定不变的，如图2.1，∵BD﹣DP≤BP，∴当点B、P、D三点共线时，BP的长度最短，即有最小值，最小值为BD﹣DP，如图3，过点P作PE⊥AB垂足为E点，此时，∠BPO＝90°，由（1）知BD＝5，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴∵PO＝OC，∴，，∴，此时，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝∠BPO＝90°，∵∠CBD+∠ABD＝∠BPE+∠ABD＝90°，∴∠CBD＝∠BPE，∴△PBO∽△EPB，∴，∴，∴，在Rt△AEP中，，故答案为：，；（3）如图3.1，当半圆O与BD相切时，此时半圆O与△ABD的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接OH，∵∠BHO＝90°，OH＝OC，∴，∴，此时，，如图3.2，当点Q与点B重合时，此时半圆O与△ABD的边有2个交点，。
2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市吕城片七年级(上)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市吕城片七年级（上）期中数学试卷一、选择题：（2*10=20分）1．（2分）下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，﹣，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）中，无理数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2分）下列计算正确的是（）A．3a2+a=4a3B．﹣2（a﹣b）=﹣2a+bC．5a﹣4a=1 D．a2b﹣2a2b=﹣a2b3．（2分）两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字的2倍少3，这个两位数是（）A．x（2x﹣3）B．x（2x+3）C．12x+3 D．12x﹣34．（2分）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（）A．﹣24与（﹣2）4 B．53与35C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3|D．（﹣1）3与（﹣1）20135．（2分）若a是负数，则下列各式不正确的是（）A．a3=（﹣a）3 B．a2=|a2|C．a2=（﹣a）2 D．（﹣a）3=﹣a36．（2分）已知a+b=4，c﹣d=﹣3，则（b+c）﹣（d﹣a）的值为（）A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣17．（2分）x﹣（2x﹣y）的运算结果是（）A．x﹣y B．﹣x+y C．﹣x﹣y D．3x﹣y8．（2分）若|a|=7，|b|=5，a+b＞0，那么a﹣b的值是（）A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．﹣2或129．（2分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…；b1=1，b2=4，b3=9，b4=16，…；y1=2a1+b1，y2=2a2+b2，y3=2a3+b3，y4=2a4+b4，…，那么，按此规定，y6=（）A．78 B．72 C．66 D．5610．（2分）下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2015位的所有数字之和是（）A．10070 B．10071 C．10095 D．10097二、填空题（每题2分，共20分）11．（2分）﹣1的倒数是，﹣3的相反数是．12．（2分）比较大小：﹣（+2）|﹣2|，﹣﹣．13．（2分）单项式﹣的系数是．平方得16的数为．14．（2分）钓鱼岛是中国领土一部分．钓鱼诸岛总面积约5平方千米，岛屿周围的海域面积约170 000平方千米．170 000用科学记数法表示为．15．（2分）若关于a，b的多项式（a2+2ab﹣b2）﹣（a2+mab+2b2）中不含ab项，则m=．16．（2分）已知一个多项式与3x2+9x+2的和等于3x2+4x﹣3，则此多项式是．17．（2分）若数轴上表示2的点为M，那么在数轴上与点M相距4个单位的点所对应的数是．18．（2分）若=0，则y x的值是．19．（2分）已知整式x2﹣2x的值为9，则﹣2x2+4x+6的值为．20．（2分）在如图所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数x=．三、解答题（八大题，共60分）21．（12分）计算（1）22+（﹣4）﹣（﹣2）+4（2）﹣3÷×（﹣）×|﹣|（3）﹣14﹣|﹣5|+8×（﹣）2（4）20﹣（+﹣）÷．22．（8分）化简下列各式（1）3a2b﹣2a2b；（2）（3a﹣5b）﹣3（4a﹣10b）23．（6分）先化简，后求值：（﹣4a2+2a﹣8b）﹣（﹣a﹣2b），其中a=，b=2015．24．（8分）化简：若A=x2﹣3xy，B=y2﹣2xy，C=﹣x2+2y2求：①A+B+C②2A﹣B﹣2C．25．（6分）某农户2015年承包荒山若干亩，投资9600元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为18000千克，此水果在果园每千克售a元，在市场上每千克售b元（a＜b）．该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需8人帮忙，每人每天付工资25元，农用车运费及其它各项税费平均每天100元．（1）分别用a，b表示果园销售、市场销售两种方式的出售收入？（市场出售收入=水果的总收入﹣销售中的额外支出）（2）若a=1.1元，b=1.5元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好？（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到15000元，在（2）的条件下该农户采用了其中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少？（纯收入=总收入﹣总支出）26．（6分）2010年8月7日夜22点左右，甘肃舟曲发生特大山洪泥石流灾害，甘肃消防总队迅即出动兵力支援灾区．在抗险救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：﹣11，﹣9，+18，﹣2，+13，+4，+12，﹣7（1）通过计算说明：B地在A地的什么方向，与A地相距多远？（2）直接写出在救灾过程中，最远处离出发点A有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为29升，求途中还需补充多少升油？27．（6分）将一些数排列成下表：试探索：（1）第10行第2列的数是多少？（2）数81所在的行和列分别是多少？（3）数100所在的行和列分别是多少？28．（8分）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：（1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动个单位；（2）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有种，其中移动所走的距离和最小的是个单位；（3）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第100次时，应跳步，落脚点表示的数是；（4）数轴上有个动点表示的数是x，则|x﹣2|+|x+3|的最小值是．2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市吕城片七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（2*10=20分）1．（2分）下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，﹣，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）中，无理数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：无理数有：﹣π，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）共有2个．故选：C．2．（2分）下列计算正确的是（）A．3a2+a=4a3B．﹣2（a﹣b）=﹣2a+bC．5a﹣4a=1 D．a2b﹣2a2b=﹣a2b【解答】A、a与2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、﹣2（a﹣b）=﹣2a+2b，故此选项错误；C、5a﹣4a=a，故此选项错误；D、a2b﹣2a2b=﹣a2b，故此选项正确；故选：D．3．（2分）两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字的2倍少3，这个两位数是（）A．x（2x﹣3）B．x（2x+3）C．12x+3 D．12x﹣3【解答】解：个位数字为2x﹣3，两位数为2x﹣3+10x=12x﹣3．故选D．4．（2分）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（）A．﹣24与（﹣2）4 B．53与35C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3|D．（﹣1）3与（﹣1）2013【解答】解：A、﹣24=﹣16，（﹣2）4=16，﹣16≠16，故本选项错误；B、53=125，35=243，125≠243，故本选项错误；C、﹣（﹣3）=3，﹣|﹣3|=﹣3，3≠﹣3，故本选项错误；D、（﹣1）3=﹣1，（﹣1）2013=﹣1，﹣1=﹣1，故本选项正确．故选：D．5．（2分）若a是负数，则下列各式不正确的是（）A．a3=（﹣a）3 B．a2=|a2|C．a2=（﹣a）2 D．（﹣a）3=﹣a3【解答】解：A、∵a是负数，∴a3＞0，（﹣a）3＜0，∴a3=（﹣a）3不正确，故本选项正确；B、a2=|a2|正确，故本选项错误；C、a2=（﹣a）2正确，故本选项错误；D、（﹣a）3=﹣a3正确，故本选项错误．故选：A．6．（2分）已知a+b=4，c﹣d=﹣3，则（b+c）﹣（d﹣a）的值为（）A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1【解答】解：∵a+b=4，c﹣d=﹣3，∴原式=b+c﹣d+a=（a+b）+（c﹣d）=4﹣3=1．故选：C．7．（2分）x﹣（2x﹣y）的运算结果是（）A．x﹣y B．﹣x+y C．﹣x﹣y D．3x﹣y【解答】解：x﹣（2x﹣y）=x﹣2x+y=﹣x+y．故选：B．8．（2分）若|a|=7，|b|=5，a+b＞0，那么a﹣b的值是（）A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．﹣2或12【解答】解：∵|a|=7，|b|=5，∴a=±7，b=±5，∵a+b＞0，∴a=7，b=±5，∴a﹣b=7﹣5=2，或a﹣b=7﹣（﹣5）=7+5=12，综上所述，a﹣b的值是2或12．故选：A．9．（2分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…；b1=1，b2=4，b3=9，b4=16，…；y1=2a1+b1，y2=2a2+b2，y3=2a3+b3，y4=2a4+b4，…，那么，按此规定，y6=（）A．78 B．72 C．66 D．56【解答】解：∵a1=1，a2=1+2=3，a3=1+2+3=6，a4=1+2+3+4=10，…；b1=12，b2=22=4，b3=32=9，b4=42=16，∴a6=1+2+3+…+6，b6=62，∴y6=2a6+b6=2×21+36=78．故选：A．10．（2分）下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2015位的所有数字之和是（）A．10070 B．10071 C．10095 D．10097【解答】解：由题意得，第一位数字是3时，排列如下：362486248…，从第2位数字6开始，“6248”依次循环，∵（2015﹣1）÷4=503…2，∴这个多位数前2015位的所有数字共有503个循环组，最后两个数字是6，2，503×（6+2+4+8）+3+6+2=503×20+11=10071．故选：B．二、填空题（每题2分，共20分）11．（2分）﹣1的倒数是﹣，﹣3的相反数是3．【解答】解：﹣1的倒数是﹣，﹣3的相反数是3，故答案为：﹣，3．12．（2分）比较大小：﹣（+2）＜|﹣2|，﹣＞﹣．【解答】解：﹣（+2）=﹣2，，﹣（+2）；，﹣，故答案为：＜，＞．13．（2分）单项式﹣的系数是﹣．平方得16的数为±4．【解答】解：单项式﹣的系数是﹣，平方得16的数是±4，故答案为：﹣，±4．14．（2分）钓鱼岛是中国领土一部分．钓鱼诸岛总面积约5平方千米，岛屿周围的海域面积约170 000平方千米．170 000用科学记数法表示为 1.7×105．【解答】解：170 000=1.7×105，故答案为：1.7×105．15．（2分）若关于a，b的多项式（a2+2ab﹣b2）﹣（a2+mab+2b2）中不含ab项，则m=2．【解答】解：原式=a2+2ab﹣b2﹣a2﹣mab﹣2b2=（2﹣m）ab﹣3b2，由结果不含ab项，得到2﹣m=0，解得：m=2．故答案为2．16．（2分）已知一个多项式与3x2+9x+2的和等于3x2+4x﹣3，则此多项式是﹣5x﹣5．【解答】解：根据题意得：（3x2+4x﹣3）﹣（3x2+9x+2）=3x2+4x﹣3﹣3x2﹣9x﹣2=﹣5x﹣5．故答案为：﹣5x﹣5．17．（2分）若数轴上表示2的点为M，那么在数轴上与点M相距4个单位的点所对应的数是﹣2或6．【解答】解：在2的左边时，2﹣4=﹣2，在2右边时，2+4=6，所以，点对应的数是﹣6或2．故答案为：﹣2或6．18．（2分）若=0，则y x的值是．【解答】解：∵=0，∴x﹣2=0，y+=0，∴x=2，y=﹣，∴y x=（﹣）2=．故答案为：．19．（2分）已知整式x2﹣2x的值为9，则﹣2x2+4x+6的值为﹣12．【解答】解：∵x2﹣2x=9，∴﹣2x2+4x+6=﹣2（x2﹣2x）+6=﹣2×9+6=﹣18+6=﹣12．故答案为：﹣12．20．（2分）在如图所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数x=10，9．【解答】解：由题意，得当输入的数x是偶数时，则y=x，当输入的x为奇数时，则y=（x+1）．当y=5时，∴5=x或5=（x+1）．∴x=10或9故答案为：9，10三、解答题（八大题，共60分）21．（12分）计算（1）22+（﹣4）﹣（﹣2）+4（2）﹣3÷×（﹣）×|﹣|（3）﹣14﹣|﹣5|+8×（﹣）2（4）20﹣（+﹣）÷．【解答】解：（1）原式=22﹣4+2+4=24；（2）原式=﹣××（﹣）+=+=；（3）原式=﹣1﹣5+2=﹣4；（4）原式=20﹣（+﹣）×24=20﹣18﹣20+14=﹣4．22．（8分）化简下列各式（1）3a2b﹣2a2b；（2）（3a﹣5b）﹣3（4a﹣10b）【解答】解：（1）3a2b﹣2a2b；=a2b；（2）（3a﹣5b）﹣3（4a﹣10b）=3a﹣5b﹣12a+30b=﹣9a+25b．23．（6分）先化简，后求值：（﹣4a2+2a﹣8b）﹣（﹣a﹣2b），其中a=，b=2015．【解答】解：原式=﹣a2+a﹣2b+a+2b=﹣a2+a，当a=，b=2015时，原式=﹣+×=．24．（8分）化简：若A=x2﹣3xy，B=y2﹣2xy，C=﹣x2+2y2求：①A+B+C②2A﹣B﹣2C．【解答】解：①∵A=x2﹣3xy，B=y2﹣2xy，C=﹣x2+2y2，∴A+B+C=x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣x2+2y2=﹣5xy+3y2②∵A=x2﹣3xy，B=y2﹣2xy，C=﹣x2+2y2，∴2A﹣B﹣2C=2（x2﹣3xy）﹣（y2﹣2xy）﹣2（﹣x2+2y2）=2x2﹣6xy﹣y2+2xy+2x2﹣2y2=4x2﹣4xy﹣5y2．25．（6分）某农户2015年承包荒山若干亩，投资9600元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为18000千克，此水果在果园每千克售a元，在市场上每千克售b元（a＜b）．该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需8人帮忙，每人每天付工资25元，农用车运费及其它各项税费平均每天100元．（1）分别用a，b表示果园销售、市场销售两种方式的出售收入？（市场出售收入=水果的总收入﹣销售中的额外支出）（2）若a=1.1元，b=1.5元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好？（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到15000元，在（2）的条件下该农户采用了其中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少？（纯收入=总收入﹣总支出）【解答】解：（1）果园销售收入：18000a元；市场销售收入：（18000b﹣5400）元；（2）当a=1.1元，b=1.5元时，果园销售收入：18000×1.1=19800元，市场销售收入：18000×1.5﹣5400=21600元，所以市场销售好．（3）因为今年的纯收入为19800﹣9600=10200，所以×100%=47.1%，所以增长率为47.1%．26．（6分）2010年8月7日夜22点左右，甘肃舟曲发生特大山洪泥石流灾害，甘肃消防总队迅即出动兵力支援灾区．在抗险救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：﹣11，﹣9，+18，﹣2，+13，+4，+12，﹣7（1）通过计算说明：B地在A地的什么方向，与A地相距多远？（2）直接写出在救灾过程中，最远处离出发点A有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为29升，求途中还需补充多少升油？【解答】解：（1）∵﹣11﹣9+18﹣2+13+4+12﹣7=18＞0，∴B地在A地的东边18千米；（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：第一次：11千米，第二次：|﹣11﹣9|=20千米，第三次：|﹣20+18|=2千米，第四次：|﹣2﹣2|=4千米，第五次：|﹣4+13|=9千米，第六次：|9+4|=13千米，第七次：|13+12|=25千米，第八次：|25﹣7|=18千米．∴最远处离出发点25千米；（3）∵这一天走的总路程为：11+9+18+2+13+4+12+7=76千米，应耗油76×0.5=38（升），∴还需补充的油量为：38﹣29=9（升）27．（6分）将一些数排列成下表：试探索：（1）第10行第2列的数是多少？（2）数81所在的行和列分别是多少？（3）数100所在的行和列分别是多少？【解答】解：（1）第10行第2列的数是4×10=40；（2）由于81只能是9的平方，所以数81在第9行第1列；（3）∵100=102，∴数100在第10行第1列；∵100=4×25，∴数100在第25行第2列；∵100=5×20，∴数100在第20行第3列；∵100=50×2=（46+4）×2，∴数100在第46行第4列．综上所述，数100在第10行第1列，第25行第2列，第20行第3列，第46行第4列．28．（8分）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：（1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动3或7个单位；（2）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有3种，其中移动所走的距离和最小的是7个单位；（3）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第100次时，应跳199步，落脚点表示的数是100；（4）数轴上有个动点表示的数是x，则|x﹣2|+|x+3|的最小值是5．【解答】解：（1）有数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：﹣2、3，所以当C、B两点的距离与A、B两点的距离相等时，需将点C向左移动3个单位或7个单位，故答案为：3或7；（2）有3种方法：①移动B、C，把点B向左移动2个单位长度，把C向左移动7个单位长度，移动距离之和为：2+7=9；②移动A、C，把点A向右移动2个单位长度，把C向左移动5个单位长度，移动距离之和为：2+5=7；③移动B、A，把点A向右移动7个单位长度，把B向左右移动5个单位长度，移动距离之和为：7+5=12．所以移动所走的距离和最小的是7个单位，故答案为：3，7；（3）∵第1次跳1步，第2次跳3步，第3次跳5步，第4次跳7步，…∴第n次跳（2n﹣1）步，当n=100时，2×100﹣1=200﹣1=199，此时，所表示的数是：﹣1+3﹣5+7﹣…﹣197+199，=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣197+199），=2×=100，（4）根据题意，可知当﹣3≤x≤2时，|x﹣2|+|x+3|有最小值．此时|x﹣2|=2﹣x，|x+3|=x+3，∴|x﹣2|+|x+1|=2﹣x+x+3=5．∴则|x﹣2|+|x+3|的最小值是5．故答案为：（1）3；（2）3，7；（3）199，100；（4）5．。
2015-2016年江苏省扬大附中东部分校九年级(上)期中数学试卷和答案
2015-2016学年江苏省扬大附中东部分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8题，每题3分，共24分）1．（3分）解方程x（x+2）=3（x+2），最适当的解法是（）A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法2．（3分）关于x的一元二次方程x2的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．可能有实数根，也可能没有C．有两个不相等的实数根D．没有实数根3．（3分）如图所示，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是8×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（）A．F B．G C．H D．K4．（3分）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=120°，则∠D=（）A．60°B．45°C．30°D．20°5．（3分）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（）A．580（1+x）2=1185 B．1185（1+x）2=580 C．580（1﹣x）2=1185 D．1185（1﹣x）2=5806．（3分）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A．10πB．15πC．20πD．30π7．（3分）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对8．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°．曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中弧CD，弧DE，弧EF，…的圆心依次按A、B、C 循环．如果AC=1，那么曲线CDEF的长度为（）A．B．C．D．π二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）9．（3分）已知3x=4y，则=．10．（3分）若x2﹣9=0，则x=．11．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC 的面积为．12．（3分）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=6cm，则线段AC= cm．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，=．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是．15．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD=130°，则∠DCE=°．16．（3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E=．17．（3分）若x=1是关于x的方程x2﹣px+q=0的一根，则代数式p2﹣q2﹣2q的值是．18．（3分）如图，在圆的正中央摆放着一个正方形DEFG，且正方形的顶点D在弦AC上、对角线EG在直径AB上．若EG=4，AB=8，则AC=．三、解答题（本题共10题，共96分）19．（8分）解方程：（1）（x﹣3）（x+1）=x﹣3（2）x2﹣2x﹣99=0．20．（8分）已知关于x的方程x2+10x+24﹣a=0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的范围；（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．21．（8分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．22．（8分）小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．23．（10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）若AD=4，AB=6，求的值．24．（10分）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．25．（10分）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．26．（10分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=17，DF=13，求⊙O的半径r．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，6）．点P从点O开始沿x轴向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿y轴向点O以相同的速度移动，若P、Q同时出发，移动时间为t（s）（0＜t＜6）．（1）当PQ∥AB时，求t的值．（2）是否存在这样t的值，使得线段PQ将△AOB的面积分成1：5的两部分．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）当t=2时，试判断此时△POQ的外接圆与直线AB的位置关系，并说明理由．28．（12分）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．（1）探究：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B重合），连接PC、OC．试证明：PA ＜PC．（2）直接运用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，故点A′在以AD 为直径的圆上．（请继续完成解题过程）（4）综合应用：（下面两小题请选择其中一道完成）①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD 于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于．2015-2016学年江苏省扬大附中东部分校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8题，每题3分，共24分）1．（3分）解方程x（x+2）=3（x+2），最适当的解法是（）A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法【解答】解：x（x+2）﹣3（x+2）=0，（x+2）（x﹣3）=0，所以x+2=0或x﹣3=0．故选：B．2．（3分）关于x的一元二次方程x2的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．可能有实数根，也可能没有C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【解答】解：∵△=b2﹣4ac=（﹣）2﹣4×1×=4+8=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：A．3．（3分）如图所示，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是8×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（）A．F B．G C．H D．K【解答】解：根据题意，△DEM∽△ABC，AB=4，AC=6，DE=2，∴DE：AB=DM：AC，∴DM=3，∴M应是H，故选：C．4．（3分）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=120°，则∠D=（）A．60°B．45°C．30°D．20°【解答】解：∵∠AOC=120°∴∠BOC=180°﹣∠AOC=60°∴∠BDC=30°．5．（3分）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（）A．580（1+x）2=1185 B．1185（1+x）2=580 C．580（1﹣x）2=1185 D．1185（1﹣x）2=580【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得出方程为：1185（1﹣x）2=580．故选：D．6．（3分）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A．10πB．15πC．20πD．30π【解答】解：由三视图可知此几何体为圆锥，∴圆锥的底面半径为3，母线长为5，∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2πr=2π×3=6π，∴圆锥的侧面积==×6π×5=15π，故选：B．7．（3分）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴==，==，∴≠，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法不正确．故选：A．8．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°．曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中弧CD，弧DE，弧EF，…的圆心依次按A、B、C 循环．如果AC=1，那么曲线CDEF的长度为（）A．B．C．D．π【解答】解：曲线CDEF的长度为：++=π．故选：D．二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）9．（3分）已知3x=4y，则=．【解答】解：根据等式性质2，等式3x=4y两边同时除以3y，得：=．故答案为：．10．（3分）若x2﹣9=0，则x=±3．【解答】解：∵x2﹣9=0，∴x2=9，∴x=±3．故答案为：±3．11．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC 的面积为18．【解答】解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，∴S=18，△ABC故答案为：18．12．（3分）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=6cm，则线段AC= 24cm．【解答】解：如图所示：过点A作平行线的垂线，交点分别为D，E，可得：△ABD∽△ACE，则=，即=，解得：AC=24，故答案为：24．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，=．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵EC=2BE，∴==，∵BC∥AD，∴△BFE∞△DFA，∴==，故答案为：．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是6π．【解答】解：∵根据旋转的性质知∠ABD=60°，△ABC≌△DBE，∴S△ABC ﹣S△DBE，∴S阴影=S扇形ABD+S△DBE﹣S△ABC=S扇形ABD==6π．故答案是：6π．15．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD=130°，则∠DCE=65°．【解答】解：∵∠BOD=130°，∴∠A=∠BOD=65°，∵∠A+∠BCD=180°，∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=65°．故答案为：65．16．（3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E=（）°．【解答】解：连结OD，如图，∵OB=DE，OB=OD，∴DO=DE，∴∠E=∠DOE，∵∠1=∠DOE+∠E，∴∠1=2∠E，∵OC=OD，∴∠C=∠1，∴∠C=2∠E，∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，∴∠E=∠AOC=×74°=（）°．故答案是：（）°．17．（3分）若x=1是关于x的方程x2﹣px+q=0的一根，则代数式p2﹣q2﹣2q的值是1．【解答】解：∵x=1是关于x的方程x2﹣px+q=0的一根，∴1﹣p+q=0，∴p﹣q=1，∴p2﹣q2﹣2q=（p+q）（p﹣q）﹣2q=p+q﹣2q=p﹣q=1．故答案是：1．18．（3分）如图，在圆的正中央摆放着一个正方形DEFG，且正方形的顶点D在弦AC上、对角线EG在直径AB上．若EG=4，AB=8，则AC=．【解答】解：如图连接BC、DF，DF与AB交于点O，由题意点O为圆心．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵四边形DEFG是正方形，∴EG⊥DF，∠AOD=∠ACB=90°，在RT△AOD中，∵AO=4，DO=2，∴AD==2，∵∠DAO=∠BAC，∴△AOD∽△ACB，∴，∴，∴AC=，故答案为．三、解答题（本题共10题，共96分）19．（8分）解方程：（1）（x﹣3）（x+1）=x﹣3（2）x2﹣2x﹣99=0．【解答】解：（1）（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）=0，（x﹣3）（x+1﹣1）=0，x﹣3=0或x+1﹣1=0，所以x1=3，x2=0；（2）（x﹣11）（x+9）=0，x﹣11=0或x+9=0，所以x1=11，x2=﹣9．20．（8分）已知关于x的方程x2+10x+24﹣a=0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的范围；（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+10x+24﹣a=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=100﹣4（24﹣a）＞0，解得a＞﹣1；（2）∵a＞﹣1，∴a的最小整数解为a=0，∴此时方程为x2+10x+24=0解得：x1=﹣4，x2=﹣6．21．（8分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；（3）△A2B2C2的面积是10平方单位．【解答】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．22．（8分）小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．【解答】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，解得：x1=﹣70（不符合题意，舍去），x2=5．答：金色纸边的宽度为5cm．23．（10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）若AD=4，AB=6，求的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）解：∵∠ACB=90°，E为AB中点，∴AE=CE，∴∠CAE=∠ECA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC，∴∠DAC=∠ACE，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴=．24．（10分）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【解答】解：（1）∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC；（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°；（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣．25．（10分）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．【解答】解：∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴，，又∵CD=EF，∴，∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7，∴，∴BD=9，BF=9+3=12，∴，解得，AB=6.4m．26．（10分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=17，DF=13，求⊙O的半径r．【解答】（1）证明：连接OA、OD，如图，∵D为弧BE的中点，∴OD⊥BC，∴∠DOF=90°，∴∠D+∠OFD=90°，∵AC=AF，OA=OD，∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，而∠CFA=∠OFD，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O切线；（2）解：OD=r，OF=17﹣r，在Rt△DOF中，r2+（17﹣r）2=132，解得r=5（舍去），r=12；即⊙O的半径r为12．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，6）．点P从点O开始沿x轴向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿y轴向点O以相同的速度移动，若P、Q同时出发，移动时间为t（s）（0＜t＜6）．（1）当PQ∥AB时，求t的值．（2）是否存在这样t的值，使得线段PQ将△AOB的面积分成1：5的两部分．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）当t=2时，试判断此时△POQ的外接圆与直线AB的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵PQ∥AB，∴△POQ∽△AOB∴，即=，∴t=；（2）假设存在．当△OPQ的面积是△AOB的面积的时，t（6﹣t）=×6×8×，解之，t=2或t=4；当△OPQ的面积是△AOB的面积的时，t（6﹣t）=×6×8×，即t2﹣6t+40=0，方程无解，此种情况不存在；综上可知，当t=2或t=4时，线段PQ将△AOB的面积分成1：5的两部分．（3）当t=2时，点P（2，0），Q（0，4）设△POQ的外接圆的圆心为M，则点M的坐标是（1，2），PQ=2，过点M，作MH⊥AB于H，连结AM，BM，OM利用面积法，×6×1+×8×2+×10×MH=×6×8，解之，MH=2.6，∵2.6＞，∴△POQ的外接圆与直线AB相离．28．（12分）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．（1）探究：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B重合），连接PC、OC．试证明：PA ＜PC．（2）直接运用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是﹣1．（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，故点A′在以AD 为直径的圆上．（请继续完成解题过程）（4）综合应用：（下面两小题请选择其中一道完成）①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD 于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于﹣3．【解答】（1）证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC．∵PO＜PC+OC，PO=PA+OA，OA=OC，∴PA＜PC，∴PA是点P到⊙O上的点的最短距离；（2）解：连接AO与⊙O相交于点P，如图3，由已知定理可知，此时AP最短，∵∠ACB=90°，AC=BC=2，BC为直径，∴PO=CO=1，∴AO==，∴AP=﹣1，故答案为：﹣1；（3）解：如图4，由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，故点A′在以AD为直径的圆上，由模型可知，当点A′在BM上时，A′B长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，∴BM==，故A′B的最小值为：﹣1；（4）①解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=AB=1，在Rt△AOD中，OD==，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值=OD﹣OH=﹣1．故答案为：﹣1；②解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图6，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B==，∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=﹣2﹣1=﹣3，∴PM+PN的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．。
2015-2016年江苏省常州市九年级(上)期中数学试卷和答案
2015-2016学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2分）方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．D．（x+3）2=43．（2分）下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0D．x2﹣2x﹣3=04．（2分）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣15．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°6．（2分）如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（）A．B．C．D．7．（2分）如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，那么它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或178．（2分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）A．x2=21 B．x（x﹣1）=21 C．x2=21 D．x（x﹣1）=21二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数为，一次项系数为，常数项为．10．（2分）方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是．11．（2分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣a=0有两个实数根，则a的取值范围是．12．（2分）如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为．13．（2分）如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为．14．（2分）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元．设该校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意得方程为：．15．（2分）如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=度．16．（2分）如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为．三、解下列方程17．（16分）解下列方程．（1）（x+2）2=3（2）x2﹣5x﹣6=0（3）x2﹣6x﹣6=0（4）3x2﹣x﹣1=0．四、解答题18．（6分）已知关于x的方程x2+2x+a=0．（1）若该方程有两个不想等的实数根，求实数a的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．19．（6分）小明家的玉米产量从2012年的5吨增加到2014年的6.05吨，平均每年增长的百分率是多少？20．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，AE是⊙O的切线，∠CAE=60°．（1）求∠D的度数；（2）当BC=4时，求劣弧AC的长．21．（6分）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，那么道路的宽度应该是多少？22．（6分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s 的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．23．（6分）商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x元．（1）填表（不需化简）：（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？24．（8分）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．（1）求证：AM=AC；（2）若AC=3，求MC的长．25．（8分）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径及线段PB的长．2015-2016学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，∴OP＜6．故选：A．2．（2分）方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．D．（x+3）2=4【解答】解：由原方程移项，得x2+6x=5，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即32，得x2+6x+9=5+9，∴（x+3）2=14．故选：A．3．（2分）下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0D．x2﹣2x﹣3=0【解答】解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．故选：B．4．（2分）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，∴x=1满足关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0，∴2×12﹣1+a=0，即1+a=0，解得，a=﹣1；故选：D．5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【解答】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，∴∠OCD=90°，∵∠BCD=50°，∴∠OCB=40°，∴∠AOC=80°，故选：C．6．（2分）如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：过A作AD⊥CB，∵∠CAB=60°，AC=AB，∴△ABC是等边三角形，∵AC=，∴AD=AC•sin60°=×=，∴△ABC面积：=，∵扇形面积：=，∴弓形的面积为：﹣=，故选：C．7．（2分）如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，那么它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，∴方程x2﹣10x+21=0的两个根分别是x1=3，x2=7，∴等腰三角形的腰长为7，底边长为3，∴等腰三角形的周长为：7+7+3=17．故选：A．8．（2分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）A．x2=21 B．x（x﹣1）=21 C．x2=21 D．x（x﹣1）=21【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故选：B．二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数为2，一次项系数为﹣3，常数项为1．【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数是2，一次项系数是﹣3，常数项是1．故答案是：2，﹣3，1．10．（2分）方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是x1=﹣2，x2=4．【解答】解：原式可化为（x+2）（x﹣3）﹣（x+2）=0，提取公因式得，（x+2）（x﹣4）=0，故x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4．故答案为：x1=﹣2，x2=4．11．（2分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣a=0有两个实数根，则a的取值范围是a≥﹣4．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣a=0有两个实数根，∴△=42﹣4（﹣a）≥0，∴a≥﹣4．故答案为a≥﹣4．12．（2分）如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为或．【解答】解：根据题意得：简单的数值运算程序为：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣9，化简得：（x﹣1）2=3，∴x﹣1=±，∴x=1±．故答案为：或．13．（2分）如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为3．【解答】解：圆锥的侧面是扇形，圆锥的侧面积=×2×3=3．故答案为：3．14．（2分）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元．设该校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意得方程为：11（1+x）2=18.59．【解答】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x．根据题意得：11（1+x）2=18.59．故答案为：11（1+x）2=18.59．15．（2分）如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=150度．【解答】解：∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BAC+∠ABC=30°，∴∠ACB=150°，故答案为：15016．（2分）如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为（2，1）．【解答】解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，∵点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），∴O1的坐标是（2，1）．故答案为：（2，1）．三、解下列方程17．（16分）解下列方程．（1）（x+2）2=3（2）x2﹣5x﹣6=0（3）x2﹣6x﹣6=0（4）3x2﹣x﹣1=0．【解答】解：（1）（x+2）2=3，开方得：x+2=±，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，x﹣6=0，x+1=0，x1=6，x2=﹣1；（3）x2﹣6x﹣6=0，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）=60，x=，x1=3+，x2=3﹣；（4）3x2﹣x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）=13，x=，x1=，x2=．四、解答题18．（6分）已知关于x的方程x2+2x+a=0．（1）若该方程有两个不想等的实数根，求实数a的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．【解答】解：（1）∵方程x2+2x+a=0有两个实数根，∴△=4﹣4a＞0，解得：a＜1；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：．则a的值是﹣3，该方程的另一根为﹣3．19．（6分）小明家的玉米产量从2012年的5吨增加到2014年的6.05吨，平均每年增长的百分率是多少？【解答】解：设平均每年增长的百分率为x，则根据题意可列方程为：5（1+x）2=6.05，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（舍去）答：平均每年增长的百分率为10%．20．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，AE是⊙O的切线，∠CAE=60°．（1）求∠D的度数；（2）当BC=4时，求劣弧AC的长．【解答】解：（1）∵AE是⊙O的切线，∴AB⊥AE，∴∠BAE=90°，∵∠CAE=60°，∴∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=90°﹣60°=30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠B=60°，∵∠D=∠B，∴∠D=60°；（2）连接OC，∵OB=OC，∠B=60°，∴△OBC是等边三角形，∵BC=4，∴OB=BC=4，∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长是：=．21．（6分）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，那么道路的宽度应该是多少？【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）=300，解得：x1=37（舍去），x2=2．答：修建的路宽为2米．22．（6分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s 的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【解答】解：（1）∵S=t（8﹣2t），S△ABC=×4×8=16，△PCQ∴t（8﹣2t）=16×，整理得t2﹣4t+4=0，解得t=2．答：当t=2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；（2）当S=S△ABC时，△PCQt（8﹣2t）=16×，整理得t2﹣4t+8=0，△=（﹣4）2﹣4×1×8=﹣16＜0，∴此方程没有实数根，∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．23．（6分）商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x元．（1）填表（不需化简）：×（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？【解答】解：（1）填表如下：（2）根据题意，可得：（400﹣x）（8+4×）=5000，化简，整理得：x2﹣300x+22500=0，即（x﹣150）2=0，解得：x=150，∴实际售价定为：2900﹣150=2750（元），答：每台冰箱的实际售价应定为2750元．24．（8分）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．（1）求证：AM=AC；（2）若AC=3，求MC的长．【解答】（1）证明：连接OA，∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，∴∠OCA=∠M，∴AM=AC；（2）作AG⊥CM于G，∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=，由勾股定理的，CG=，则MC=2CG=3．25．（8分）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径及线段PB的长．【解答】证明：（1）如图1，连接OB．∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=．∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．。
江苏省丹阳市第五中学2015-2016学年度第一学期高一数学期中考试(含答案详解)
丹阳五中2015-2016学年第一学期期中考试 高一数学试题 一、填空题（共14小题，每小题5分，计70分） 1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则BA= ．
2．函数xxxflg1的定义域是 ．
3．函数1,1,121xxfx的值域是 ． 4．已知幂函数xxf的图像过点222，，则f（4）= ． 5．已知f（x）是奇函数，当x>0时，xxxf1，则f（-1）= ． 6．方程151243x的解为x= ． 7．设0,log0,22xxxxfx，则41ff= ．
8．已知32log,23,3223443cba，则a，b，c从小到大用“<”号排列为 ． 9．若322xx，则xx44 ． 10．已知函数12mxmxxf的定义域是一切实数，则实数m的取值范围是 ． 11．若关于x的方程ax12有三个不等的实数解，则实数a的值是 ． 12．已知函数)1(522aaxxxf，若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，则实数a= ． 13．设已知函数xxf2log，正实数m，n满足m间[m2，n]上的最大值为2，则m+n= ．
14．已知函数)2,21[,2)21,0[,211xxxxfx，若存在x1，x2，当0≤x1则21xfx的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15．（本题满分14分）
（1）656131212132313bababa （2）4lg2lg-5lg22
16．（本题满分14分） 设集合RxxxyyBxyxA,32,1log22．
（1）求集合A，B，BCAR； （2）若集合0axxC，且满足CCA，求实数a的取值范围． 17．（本题满分15分） 已知函数xxxf12． （1）用分段函数的形式表示该函数，并在所给的坐标系中画出该函数的图像； （2）写出该函数的值域、单调区间（不要求证明）；
2014-2015年江苏省镇江市丹阳九中八年级上学期期中数学模拟试卷和答案(一)
2014-2015学年江苏省镇江市丹阳九中八年级（上）期中数学模拟试卷（一）一、填空题：1．（3分）等腰三角形的一个外角是110°，则它的顶角的度数是．2．（3分）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，5cm，则它的面积是cm2．3．（3分）如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=cm．4．（3分）如图，在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为点E，AB=10cm．那么△BDE的周长是cm．5．（3分）如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，则BF=．二、选择题：6．（3分）如图，图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．（3分）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm8．（3分）在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（3分）下列各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A．6，8，10 B．5，12，13 C．9，40，41 D．7，9，1210．（3分）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA11．（3分）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠1=56°，那么∠2的度数是（）A．56°B．58°C．66°D．68°12．（3分）如图，D为△ABC边BC上一点，AB=AC，且BF=CD，CE=BD，则∠EDF 等于（）A．90°﹣∠A B．90°﹣∠A C．180°﹣∠A D．45°﹣∠A13．（3分）如图，已知长方形ABCD的边长AB=16cm，BC=12cm，点E在边AB 上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上由点D向C点运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为（）A．1s B．3s C．1s或3s D．2s或3s三、解答题14．计算：（1）++（）2（2）|﹣|+|﹣1|15．（8分）求下列各式中x的值：（1）x2﹣=0（2）3（x+1）3=24．16．（1）作△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′．（2）如果网格中每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．17．已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的角平分线CD和高AE．（不写画法，保留作图痕迹）18．如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，EF∥BC交AB、AC于E、F，△AEF 的周长为15，BC长为7，求△ABC的周长．19．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD，连接DE、DC．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）猜想：△DCE是三角形；并说明理由．20．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．（1）若E在边AC上．①试说明DE=DF；②试说明CG=GH；（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．21．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．22．观察与发现：（1）小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D 重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？为什么？实践与运用：如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．（2）在图②中连接BB′，判断△BCB′的形状，请说明理由；（3）图⑥中的△GCC′是等边三角形吗？请说明理由．2014-2015学年江苏省镇江市丹阳九中八年级（上）期中数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）等腰三角形的一个外角是110°，则它的顶角的度数是70°或40°．【解答】解：∵一个外角是110°，∴与这个外角相邻的内角是180°﹣110°=70°，①当70°角是顶角时，它的顶角度数是70°，②当70°角是底角时，它的顶角度数是180°﹣70°×2=40°，综上所述，它的顶角度数是70°或40°．故答案为：70°或40°．2．（3分）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，5cm，则它的面积是20cm2．【解答】解：∵直角三角形斜边上中线长5cm，∴斜边=2×5=10cm，∴面积=×10×4=20cm2．故答案为：20．3．（3分）如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=6cm．【解答】解：∵MN是线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵△ADB的周长是10cm，∴AD+BD+AB=10cm，∴AD+CD+AB=10cm，∴AC+AB=10cm，∵AB=4cm，∴AC=6cm，故答案为：6．4．（3分）如图，在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为点E，AB=10cm．那么△BDE的周长是10cm．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∵BC=AC，∴BC=AC=AE，∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB，∵AB=10cm，∴△BDE的周长=10cm．故答案为：10．5．（3分）如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，则BF=6．【解答】解：∠DBE=15°，∠BED=90°，∴∠BDA=75°，∵∠BDA=∠DAC+∠C，而∠C=15°，∴∠DAC=60°，∵AD为∠CAB平分线，∴∠BAD=∠DAC=60°，∵EF⊥AB于F，∴∠FEA=30°，∵AF=2，∴EF=2，∵∠FEB=60°，∴∠FBE=30°，∴BF=EF=6．故答案为6．二、选择题：6．（3分）如图，图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：A．7．（3分）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm【解答】解：（1）当3cm为腰时，因为3+3=6cm，不能构成三角形，故舍去；（2）当6cm为腰时，符合三角形三边关系，所以其周长=6+6+3=15cm．故选：C．8．（3分）在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，结论正确；②根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；④根据判定定理2可得△ABC为等边三角形，结论正确．故选：D．9．（3分）下列各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A．6，8，10 B．5，12，13 C．9，40，41 D．7，9，12【解答】解：A、∵62+82=102=100，∴能构成直角三角形；B、52+122=132=169，∴能构成直角三角形；C、92+402=412=1681，∴能构成直角三角形；D、∵72+92≠122，∴不能构成直角三角形．故选：D．10．（3分）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA【解答】解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D 不符合题意．故选：B．11．（3分）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠1=56°，那么∠2的度数是（）A．56°B．58°C．66°D．68°【解答】解：根据折叠可得∠1=∠EFB′，∵∠1=56°，∴∠EFB′=56°，∴∠B′FC=180°﹣56°﹣56°=68°，∵AD∥BC，∴∠2=∠B′FC=68°，故选：D．12．（3分）如图，D为△ABC边BC上一点，AB=AC，且BF=CD，CE=BD，则∠EDF 等于（）A．90°﹣∠A B．90°﹣∠A C．180°﹣∠A D．45°﹣∠A【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BFD和△EDC中，，∴△BFD≌△EDC（SAS），∴∠BFD=∠EDC，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A，则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣∠A．故选：A．13．（3分）如图，已知长方形ABCD的边长AB=16cm，BC=12cm，点E在边AB 上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上由点D向C点运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为（）A．1s B．3s C．1s或3s D．2s或3s【解答】解：①当EB=PC时，△BPE≌△CQP，∵AB=16cm，AE=6cm，∴BE=10cm，∴PC=10cm，∵CB=12cm，∴BP=2cm，∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，∴时间为：2÷2=1s；②当BP=CP时，△BEP≌△CQP，设x秒时，BP=CP，由题意得：2x=12﹣2x，解得：x=3，故选：C．三、解答题14．计算：（1）++（）2（2）|﹣|+|﹣1|【解答】解：（1）原式=﹣3+6+5=8；（2）原式=﹣+﹣1=﹣1．15．（8分）求下列各式中x的值：（1）x2﹣=0（2）3（x+1）3=24．【解答】解：（1）x2=，x=±，x1=，x2=﹣．（2）3（x+1）3=24，（x+1）3=8，x+1=2，x=1．16．（1）作△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′．（2）如果网格中每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．【解答】解：（1）如图所示：（2）△ABC的面积：2×4﹣×2×1﹣×4×1﹣×2×2=3．17．已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的角平分线CD和高AE．（不写画法，保留作图痕迹）【解答】解；如图所示：CD，AE即为所求．18．如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，EF∥BC交AB、AC于E、F，△AEF的周长为15，BC长为7，求△ABC的周长．【解答】解：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO，∵EF∥BC，∴∠CBO=∠EBO，∴∠ABO=∠EOB，∴BE=OE，同理可得，CF=OF，∵△AEF的周长为15，∴AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=15，∵BC=7，∴△ABC的周长=15+7=22．19．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD，连接DE、DC．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）猜想：△DCE是等腰直角三角形；并说明理由．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠2=45°．∵AE⊥AB，∴∠1+∠2=90°．∴∠1=45°．∴∠1=∠B．在△ACE和△BCD中，∵∴△ACE≌△BCD（SAS）．（2）猜想：△DCE是等腰直角三角形；理由说明：∵△ACE≌△BCD，∴CE=CD，∠3=∠4．∵∠4+∠5=90°，∴∠3+∠5=90°．即∠ECD=90°．∴△DCE是等腰直角三角形．20．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．（1）若E在边AC上．①试说明DE=DF；②试说明CG=GH；（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．【解答】解：（1）①连接CD，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AC=BC，∴CD=AD=BD，又∵AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF．②连接DG，∵∠ACB=90°，G为EF的中点，∴CG=EG=FG，∵∠EDF=90°，G为EF的中点，∴DG=EG=FG，∴CG=DG，∴∠GCD=∠CDG又∵CD⊥AB，∴∠CDH=90°，∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，∴∠GHD=∠HDG，∴GH=GD，∴CG=GH．（2）如图，当E在线段AC上时，∵CG=GH=EG=GF，∴CH=EF=5，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF=3，∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：，∴AC=AE+EC=3+4=7；如图，当E在线段CA延长线时，AC=EC﹣AE=4﹣3=1，综合上述AC=7或1．21．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．【解答】解：（1）答案为：=．（2）答案为：=．证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，∴AE=AF=EF，∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，∴∠BED=∠FCE，在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB=EF，∴AE=BD．（3）解：分为四种情况：如图1：∵AB=AC=1，AE=2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，即△DEB是直角三角形．∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD=1+2=3．如图2，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC=ED，∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，∴△BAN∽△BEM，∴=，∵△ABC边长是1，AE=2，∴=，∴MN=1，∴CM=MN﹣CN=1﹣=，∴CD=2CM=1；如图3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC 不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC=ED；如图4∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．22．观察与发现：（1）小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB 边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D 重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？为什么？实践与运用：如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．（2）在图②中连接BB′，判断△BCB′的形状，请说明理由；（3）图⑥中的△GCC′是等边三角形吗？请说明理由．【解答】解：（1）△AEF是等腰三角形，理由是：由第一次折叠可知：∠1=∠2，∵由第二次折叠可知：EF垂直平分AD，∴∠AOE=∠AOF=90°，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形；（2）△B′BC是等边三角形，理由是：连接BB′，∵由第一次折叠可知：EF垂直平分BC，∴BB′=B′C，由第二次折叠可知：BC=B′C，∴BB′=B′C=BC，∴△B′BC是等边三角形；（3）△GCC′是等边三角形，理由是：∵由折叠可知，GH垂直平分CC′，∴G′C=GC，∵由（2）可知∠GCB=∠GCB′=∠BCB′=30°，∴∠GCC′=∠BCD﹣∠BCG=60°，∴△GCC′是等边三角形．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2015-2016年江苏省扬州中学教育集团树人学校九年级(上)期中数学试卷及参考答案
2015-2016学年江苏省扬州中学教育集团树人学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=52．（3分）甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是1.2，乙的方差是1.8．下列说法中不一定正确的是（）A．甲、乙射中的总环数相同B．甲的成绩稳定C．乙的成绩波动较大D．甲、乙的众数相同3．（3分）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断4．（3分）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（）A．116°B．32°C．58°D．64°5．（3分）已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是（）A．1.5cm B．3cm C．4cm D．6cm6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A．sinA=B．tanA=C．cosB=D．tanB=8．（3分）如图，⊙O的半径为5，点C在弦AB上，AC=2，BC=6，则OC的长是（）A． B．3 C．4 D．2二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.）9．（3分）方程x（x+1）=0的解是．10．（3分）一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是．11．（3分）4sin60°﹣3tan30°的值是．12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．13．（3分）已知三角形的三边分别为3cm、4cm、5cm，则这个三角形外接圆的半径是．14．（3分）已知扇形的面积为6πcm2，半径为4cm，则这个扇形的弧长为cm （结果保留π）．15．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°，BC=4，则⊙O的直径为．16．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2012=0的两实数根，则x13+2013x2﹣2010=．17．（3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为．18．（3分）已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为8m，则圆心O所经过的路线长是m（结果保留π）．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．）19．（8分）计算：（1）2x2﹣3x﹣2=0；（2）||+（π﹣3）0+tan60°．20．（8分）如图，已知AB是⊙O的一条弦，DE是⊙O的直径且DE⊥AB于点C，（1）若OC=3，OA=5，求AB的长；（2）求证：∠EAO=∠DAB．21．（8分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？22．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23．（10分）一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的小球，其中白球3个（分别用白1、白2、白3表示），若从中任意摸出一个小球，是白球的概率为．（1）则纸盒中黑球的个数是；（2）第一次任意摸出一个小球，放回后第二次再摸出一个小球，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色小球的概率．24．（10分）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD、CE，若CE是⊙O的切线．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=3，CD=4，求∠BAE的正切值．25．（10分）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？26．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=12，求的长．27．（12分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=t2+t（t≥0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？28．（12分）如图，已知△ABD为⊙O的内接正三角形，AB=2，E、F分别为边AD、AB上的动点，且AE=BF，DF与BE相交于G点，过B点作BC∥DF交于点C，连接CD．（1）求∠BCD的度数；（2）求证：四边形BCDG为平行四边形；（3）连接CG，当CG与△BCD的一边垂直时，求CG的长度．2015-2016学年江苏省扬州中学教育集团树人学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5【解答】解：方程移项得：x2+4x=﹣1，配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．故选：A．2．（3分）甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是1.2，乙的方差是1.8．下列说法中不一定正确的是（）A．甲、乙射中的总环数相同B．甲的成绩稳定C．乙的成绩波动较大D．甲、乙的众数相同【解答】解：A、根据平均数的定义，正确；B、根据方差的定义，正确；C、根据方差的定义，正确，D、一组数据中出现次数最多的数值叫众数．题目没有具体数据，无法确定众数，错误．故选：D．3．（3分）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断【解答】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d=5，r=6，∴d＜r，∴直线l与圆相交．故选：A．4．（3分）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（）A．116°B．32°C．58°D．64°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=90°﹣∠ABD=32°，∴∠BCD=∠A=32°．故选：B．5．（3分）已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是（）A．1.5cm B．3cm C．4cm D．6cm【解答】解：设底面半径为R，则底面周长=2πR，侧面积=×2πR×5=5πR=15π，∴R=3cm．故选：B．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：连接OC，如图所示：∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对，∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，则∠E=90°﹣40°=50°．故选：B．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A．sinA=B．tanA=C．cosB=D．tanB=【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2．∴AC===，∴sinA==，tanA===，cosB==，tanB==．故选：D．8．（3分）如图，⊙O的半径为5，点C在弦AB上，AC=2，BC=6，则OC的长是（）A． B．3 C．4 D．2【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵AC=2，BC=6，∴AB=8，∴AD=×8=4．在Rt△AOD中，∵OA=5，AD=4，∴OD==3，在Rt△OCD中，∵OD=3，CD=AD﹣AC=4﹣2=2，∴OC===，故选：A．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.）9．（3分）方程x（x+1）=0的解是0或﹣1．【解答】解：x（x+1）=0x=0或x+1=0x1=0，x2=﹣1故本题的答案是x1=0，x2=﹣110．（3分）一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是2．【解答】解：数据的平均数=（﹣1+0+1+2+3）=1，方差s2=[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．故填2．11．（3分）4sin60°﹣3tan30°的值是．【解答】解：原式=4×﹣3×=2﹣=．故答案为：．12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）=4+4k＞0，∴k＞﹣1，∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0∴k≠0，∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠0．13．（3分）已知三角形的三边分别为3cm、4cm、5cm，则这个三角形外接圆的半径是 2.5cm．【解答】解：∵三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm，32+42=52，∴此三角形是以5cm为斜边的直角三角形，∴这个三角形外接圆的半径为5÷2=2.5cm．故答案为：2.5cm．14．（3分）已知扇形的面积为6πcm2，半径为4cm，则这个扇形的弧长为3πcm（结果保留π）．【解答】解：设弧长为l，∵扇形的面积为6πcm2，半径为4cm，∴×4•l=6π，∴l=3π，故答案为：3π．15．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°，BC=4，则⊙O的直径为4．【解答】解：作⊙O的直径CD，连接BD，如图所示：则∠CBD=90°，∵∠D=∠BAC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BC=4，即⊙O的直径为4．16．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2012=0的两实数根，则x13+2013x2﹣2010= 2015．【解答】解：∵x1是方程x2﹣x﹣2012=0的实数根，∴x12=x1+2012，∴x13=x12+2012x1=x1+2012+2012x1=2013x1+2012，∴原式=2013x1+2012+2013x2﹣2010=2013（x1+x2）+2，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2012=0的两实数根，∴x1+x2=1，∴原式=2013+2=2015．故答案为：2015．17．（3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为﹣．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN=×2×﹣=﹣．故答案为：﹣．18．（3分）已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为8m，则圆心O所经过的路线长是8πm（结果保留π）．【解答】解：∠AOB=360°﹣270°=90°，则∠ABO=45°，则∠OBC=45°，O旋转的长度是：2×=2πm；O移动的距离是：=6πm，则圆心O所经过的路线长是：2π+6π=8πm，故答案为：8π．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．）19．（8分）计算：（1）2x2﹣3x﹣2=0；（2）||+（π﹣3）0+tan60°．【解答】解：（1）（2x+1）（x﹣2）=0，2x+1=0或x﹣2=0，所以x1=﹣，x2=2；（2）原式=3﹣+1+=4．20．（8分）如图，已知AB是⊙O的一条弦，DE是⊙O的直径且DE⊥AB于点C，（1）若OC=3，OA=5，求AB的长；（2）求证：∠EAO=∠DAB．【解答】解：（1）∵DE是⊙O的直径，DE⊥AB，∴DE平分AB，即AC=BC，又∵OC=3，OA=5，∴AC==4，∴AB=2AC=8．（2）∵直径DE⊥AB，∴弧AD=弧BD，∴∠E=∠DAB，又∵OA=OE，∴∠EAO=∠E，所以∠EAO=∠DAB．21．（8分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？【解答】解：（Ⅰ）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是：==3.3次，则这组样本数据的平均数是3.3次．∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是4次．∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，=3次，∴这组数据的中位数是3次；（Ⅱ）∵这组样本数据的平均数是3.3次，∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3次，3.3×1200=3960．∴该校学生共参加活动约为3960次．22．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1•x1=﹣，x1=﹣．（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23．（10分）一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的小球，其中白球3个（分别用白1、白2、白3表示），若从中任意摸出一个小球，是白球的概率为．（1）则纸盒中黑球的个数是1；（2）第一次任意摸出一个小球，放回后第二次再摸出一个小球，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色小球的概率．【解答】解：（1）∵一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的小球，其中白球3个，从中任意摸出一个小球，是白球的概率为，∴纸盒中共有球：3÷=4（个），∴纸盒中黑球的个数是：4﹣3=1（个）．故答案为：1．（2）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸到相同颜色小球的有10种情况，∴两次摸到相同颜色小球的概率为：=．24．（10分）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD、CE，若CE是⊙O的切线．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=3，CD=4，求∠BAE的正切值．【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线，∴∠OEC=90°，如图1，连接OD，∵四边形OABC是平行四边形，∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中，，∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC=∠OEC=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过D作DF⊥OC于F，如图2，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC=3，∵OD=OA=BC，∴∠A=∠ODA，∵OC∥AB，∴∠COD=∠ODA，∴∠FOD=∠A，∴∠BAE的正切值==．25．（10分）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100×只粽子，利润为（1﹣m）（300+100×）元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【解答】解：（1）300+100×，（1﹣m）（300+100×）．（2）令（1﹣m）（300+100×）=420．化简得，100m2﹣70m+12=0．即，m2﹣0.7m+0.12=0．解得m=0.4或m=0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．答：当m定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．26．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=12，求的长．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O直径，∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE．（2）解：∵∠BAC=50°，AB=AC，∴∠ABC=65°，∵BF是⊙O切线，∴∠ABF=90°，∴∠CBF=∠ABF﹣∠ABC=25°．（3）解：连接OD，∵OA=OD，∠BAC=50°，∴∠AOD=80°，∵AB=12，∴OA=6，∴弧AD的长是=π．27．（12分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=t2+t（t≥0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？【解答】解：（1）当t=4s时，l=t2+t=8+6=14（cm），答：甲运动4s后的路程是14cm；（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21cm，甲走过的路程为t2+t，乙走过的路程为4t，则t2+t+4t=21，解得：t=3或t=﹣14（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s；（3）由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆：3×21=63cm，则t2+t+4t=63，解得：t=7或t=﹣18（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s．28．（12分）如图，已知△ABD为⊙O的内接正三角形，AB=2，E、F分别为边AD、AB上的动点，且AE=BF，DF与BE相交于G点，过B点作BC∥DF交于点C，连接CD．（1）求∠BCD的度数；（2）求证：四边形BCDG为平行四边形；（3）连接CG，当CG与△BCD的一边垂直时，求CG的长度．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵△ABD为正三角形，∴∠BAD=60°，∴∠BCD=180°﹣60°=120°；（2）证明：∵△ABD为正三角形，∴∠BAD=∠ABD=60°，AB=BD，在△ABE与△BDF中，，∴△ABE≌△BDF，∴∠ABE=∠BDF，∴∠EGD=∠BDF+∠GBD=∠ABE+∠GBD=∠ABD=60°，∵BC∥DF，∴∠GBC=∠EGD=60°，∴∠GBC+∠BCD=60°+120°=180°，∴DC∥BE，∵BC∥DF，∴四边形BCDG为平行四边形；（3）解：连接GC交BD于Q，设CG=x∵四边形BCDG为平行四边形，∴CQ=QG=CG=x，BQ=QD=BD=，①若CG⊥BD，则四边形BCDG为菱形，∴CD=GD，∵∠GBC=60°，∴△CDG为正三角形，∴CD=CG=x，在Rt△CDQ中，（x）2+（）2=x2，解得x=（负值舍去），CG=；②若CG⊥CD，∵四边形BCDG为平行四边形，∴∠GDC=∠GBC=60°，在Rt△GCD中，tan∠GDC=，∴CD=x；在Rt△CDQ中，（）2+（）2=（）2，解得x=2（负值舍去），∴CG=2，③若CG⊥BC，在Rt△GCB中，tan∠GBC=，∴CB=x，在Rt△BCQ中，（x）2+（）2=（）2，解得x=2（负值舍去），∴CG=2，综上所述：CG长度为或2．。
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第1页（共24页） 2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市吕城片九年级（上）期中数学试卷
一、填空题（每题2分，共24分） 1．（2分）一个一元二次方程，未知数为x，二次项的系数为2，一次项的系数为3，常数项为﹣6，请你写出它的一般形式 ． 2．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+kx+k=0的一个根是﹣2，那么k= ． 3．（2分）方程3x2=x的解是 ，方程x2﹣2x﹣3=0的根是 ． 4．（2分）若方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ，两个根分别为 ． 5．（2分）已知x1、x2是方程2x2+3x﹣4=0的两个根，那么x1+x2= ；= ．
6．（2分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为 ． 7．（2分）一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降到48.6元；那么平均每次降价的百分率是： ． 8．（2分）一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则此圆锥的表面积为 cm2． 9．（2分）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD= ．
10．（2分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若∠EOD=40°，则∠DCF等于 度． 第2页（共24页）
11．（2分）如图，PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA=10cm，则△PEF的周长是 cm，若∠P=35°，则∠AOB= （度），∠EOF= （度）．
12．（2分）如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 s时，BP与⊙O相切．
二、选择题（每题3分，共18分） 13．（3分）下列方程中，一元二次方程有（ ） ①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．（3分）下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 15．（3分）若直角三角形的两直角边长分别为5、12，则它的内切圆的半径为 第3页（共24页）
（ ） A．6 B．2.5 C．2 D．4 16．（3分）在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（ ） A． B． C． D． 17．（3分）在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米，设金色纸边的宽为x厘米，那么满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0 C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0 18．（3分）如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A．10cm B．4πcm C． D． 三、解答题．（共78分） 19．（16分）解方程． （1）2x（x+3）=6（x+3） （2）（2x﹣1）2=5 （3）y2﹣y=12 （4）2x2﹣5x+1=0． 20．（6分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需 第4页（共24页）
确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
21．（6分）阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1=y，则 （x2﹣1）2=y2，原方程化为y2﹣5y+4=0． 解得y1=1，y2=4 当y=1时，x2﹣1=1．∴x2=2．∴x=±； 当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±． ∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣． 解方程：（x2+1）2﹣（x2+1）﹣6=0． 22．（6分）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1=0 （1）若这个方程有实数根，求k的取值范围； （2）若此方程有一个根是1，请求出k的值． 23．（8分）我们知道：对于任何实数x， ①∵x2≥0，∴x2+1＞0； ②∵（x﹣）2≥0，∴（x﹣）2+＞0． 模仿上述方法解答： 求证： （1）对于任何实数x，均有：2x2+4x+3＞0； （2）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣2的值． 24．（8分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值． 第5页（共24页）
25．（8分）某种产品的年产量不超过1000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图1；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图2．
（1）设产品的费用为y（万元），试写出y与t的函数关系式． （2）若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润=销售额﹣费用） 26．（8分）某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件． （1）现在获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种服装销售单价应定多少元？ （2）这种服装销售单价应定多少元时能使商店获利最多？最多是多少元？ 27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F． （1）求OA、OC的长； （2）求证：DF为⊙O′的切线； （3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由． 第6页（共24页） 第7页（共24页）
2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市吕城片九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题（每题2分，共24分） 1．（2分）一个一元二次方程，未知数为x，二次项的系数为2，一次项的系数为3，常数项为﹣6，请你写出它的一般形式 2x2+3x﹣6=0 ． 【解答】解：由题意得：2x2+3x﹣6=0． 故答案为：2x2+3x﹣6=0．
2．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+kx+k=0的一个根是﹣2，那么k= 4 ． 【解答】解：根据题意将x=﹣2代入方程得4﹣2k+k=0， 解得k=4． 故本题答案为k=4．
3．（2分）方程3x2=x的解是 x1=0，x2= ，方程x2﹣2x﹣3=0的根是 x1=3，x2=﹣1 ． 【解答】解：3x2﹣x=0， x（3x﹣1）=0， x=0或3x﹣1=0， 所以x1=0，x2=； （2）（x﹣3）（x+1）=0， x﹣3=0或x+1=0， 所以x1=3，x2=﹣1． 故答案为x1=0，x2=；x1=3，x2=﹣1．
4．（2分）若方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ，两个根分别 第8页（共24页）
为 x1=x2=， ． 【解答】解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等实数根， ∴△=b2﹣4ac=9﹣4m=0， 解之得：m=．
∴原方程为：x2﹣3x+=0 解得：x1=x2=． 故答案为：，x1=x2=．
5．（2分）已知x1、x2是方程2x2+3x﹣4=0的两个根，那么x1+x2= ﹣ ；= ． 【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+3x﹣4=0的两个根， ∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣2，
∴===， 故答案为：﹣，．
6．（2分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为 10 ． 【解答】解：∵x2﹣6x+8=0， ∴（x﹣2）（x﹣4）=0， 解得：x=2或x=4， ∵等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根， ∴当2是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去； 当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4=10． ∴这个三角形的周长为10． 故答案为：10． 第9页（共24页）
7．（2分）一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降到48.6元；那么平均每次降价的百分率是： 10% ． 【解答】解：设平均每次降价的百分率是x， 60（1﹣x）2=48.6 x=10%或x=190%（舍去）． 平均每次降价的百分率是10%．
8．（2分）一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则此圆锥的表面积为 16π cm2． 【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：=4πcm， ∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2cm， ∴此圆锥的表面积=π×22+π×2×6=16πcm2．
9．（2分）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD= 40° ．
【解答】解：∵AB为圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠BAD=50°， ∴∠DBA=40°， ∴∠ACD=40°． 故答案为：40°．
10．（2分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若∠EOD=40°，则∠DCF等于 20 度．