最新苏教版九年级数学全册知识点汇总
最新苏教版九年级数学全册知识点汇总
苏教版九年级数学上知识点汇总
第一章图形与证明（二）
1.1 等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）. 等腰三角形的两底角相等（简称“等
边对等角”）.
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
1.2 直角三角形全等的判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）. 角平分线的性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半.
1.3 平行四边形的性质与判定：
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 定理1：平行四边形的对边相等. 定理2：平行四边形的对角相等.
定理3：平行四边形的对角线互相平分.
判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 3两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 矩形的
性质与判定：
定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形. 定理1：矩形的4个角都是直角. 定理2：矩形的对角线相等.
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 判定：1有三个角是直角的四边形是矩形. 2对角线相等的平
行四边形是矩形. 菱形的性质与判定：
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 定理1：菱形的4边都相等.
定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 判定：1四条边都相等的四边形是菱形.
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 正方形的性质与判定：
正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质. 判定：1有一个角是直角的菱形是正方形.
2有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
1.4 等腰梯形的性质与判定
定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 定理1：等腰梯形同一底上的两底角相等. 定理2：等腰梯形的两条对角线相等.
判定：1在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 2对角线相等的梯形是等腰梯形.
1.5 中位线
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底的一半. 中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形（中点四边形一定是平行四边形）.
原四边形对角线中点四边形
相等菱形
互相垂直矩形
相等且互相垂直正方形
第二章数据的离散程度
2.1 极差：
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差.计算公式：极差=最大值-最小值.
极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围.一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小.
2.2 方差
各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作S2.
巧用方差公式：
1、基本公式：S2=n1[(X1-X—)2+(X2-X—)2+……+(Xn-X—)2]
2、简化公式：S2=n1[(X12+X22+……+Xn2)-nX—2]
也可写成：S2=n1(X12+X22+……+Xn2)-X—2
3、简化②：S2=n1[(X’12+X’22+……+X’n2)-nX—2]
也可写成: S2=n1(X’12+X’22+……+X’n2)-X—2
标准差: 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，记作S. 意义：
1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据
的个数相等、平均数相等或比较接近的情况. 2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小.
3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小.因此标准差同样反映数据的波动大小.
注意：对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大.
第三章二次根式
3.1 二次根式
定义：一般地，式子（a≧0）叫做二次根式，a叫做被开方数.
有意义条件：当a≧0时，有意义；当a≦0时，无意义.
性质：
1、≧0（a≧0）
2、（）2=a（a≧0）
3、2=∣a∣= a（a≧0）
a（a＜0）
3.2 二次根式的乘除法
法则：√a·√b=√ab(a≧0，b≧0) =√（a≧0，b＞0）
化简：①√ab=√a·√b(a≧0，b≧0) ②√=（a≧0，b＞0）③== （a≧0，b＞0）
第四章一元二次方程
4.1 概念：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
一般形式是aX2+bX+c=0(a、b、c是常数，a≠0)，其中aX2称为二次项，a称为二次项系数，bX称为一次项，b称为一次项系
数，c称为常数项.
4.2 解法：
1、直接开平方
2、配方法：先把一元二次方程变形为（X+h）2=k的形式（其中h，k都是常数），如果k≧0，再通过直接开平方法求出方程的
解
3、公式法（求根公式）：一元二次方程aX2+bX+c=0 （a≠0），当b2-4ac≧0时，它的根是（≧0）
4、因式分解法根的判别式
一元二次方程aX2+bX+c=0 （a≠0）的根的情况可由b2-4ac来判定，因此b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式.
当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根X1=X2=
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根.反之，也成立.
一元二次方程应用题步骤：“设、找、列、解、验、答”
第五章中心对称图形（二）
5.1 圆
定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合.其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 与圆有关的概念：
1、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫
做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧. 3、定点在圆上的角叫做圆心角.
4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
点与圆的位置关系：
在平面内，点与圆有3中位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外.如果设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么“点P在圆内←→d＜r;点P在圆上←→d=r；点P在圆外←→d＞r”
5.2 圆的对称性
圆是中心对称图形，圆心是对称中心.
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.
圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
5.3 圆周角
概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.（圆心与圆周角的位置关系分为三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部）推论：1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角. 2、90°的圆周
角对的弦是直径.
5.4 确定圆的条件
条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
三角形的外接圆：
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.
外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，这个点叫做三角形的外心.这个三角形叫做圆的内接三角形
5.5 直线与圆的位置关系
1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交.（d＜r）
2、直线与圆有唯一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.（d=r）
3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离.（d＞r）直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与
半径的大小关系来区分，它们的结果是一致的.
切线的性质与判定：
判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线. 性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）
1、经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点.
2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
3、切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径.
内心：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点. 这个三角形叫做圆的外切三角形.
5.6 圆与圆的位置关系
性质与判定：
如果两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离←→d＞R+r 两圆外切←→d=R+r
两圆相交←→R-r＜d＜R+r（R＞r）两圆内切←→d=R-r(R＞r)
两圆内含←→0≤d＜R-r（R＞r）
连心线的性质：
圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形.沿O1、O2所在直线（连心线）对折，发现：两圆相切，直线O1O2必过切点；两圆相交，连心线垂直平分它们的公共弦.
5.7 正多边形与圆
正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
性质：正多边形都是对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，没条对称轴都通过正n边形的中心.一个正多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形.如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心.
1、边数相同的正多边形相似.
2、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
友情提醒：（1）边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用到的知识.
（2）任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆.过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆.
作正多边形：作半径为R的正n边形的关键是n等分圆.这就要学习两种方法：
（1）用量角器等分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法.具体地说先计算出顶点在圆心的角的度数，
即正n边形的圆心角为，然后依次用量角器将圆等分，顺次连接各分点，就作出正n边形.
（2）用尺规等分圆，作正方形和正六边形.具体地说：先作出两条互相垂直的直径，将圆四等分，顺次连
接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦，将圆六等分，顺次连接各等分点，就作出正六边形. 友情提醒：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否则，易产生误差.
5.8 弧长及扇形的面积
圆的周长公式C=2πR，其中π是圆的周长与直径的比值，π称为圆周率.
弧长公式：l=，其中，表示1°的圆心角的倍数，它不带单位，R为圆的半径，l为n°的圆心角所对的弧长.
扇形面积公式：
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
①圆心角为n°的扇形面积的计算公式为S扇形
=.
②弧长为l的扇形面积的计算公式为S
扇形
=lR.
公式①中的n应理解为1°的圆心角的倍数，不带单位，同时要注意与弧长：l=公式进行比较，避免混淆.公式②与三角形面积公式相类似，在S=lR中，把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高，这样对比，有助于理解与记忆公式.
5.9圆锥侧面积和全面积
圆锥的侧面展开：
圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长l=2π
r.
这个扇形的半径等于圆锥的母线长l母线=
这个扇形的圆心角α
=·360°
这个扇形的面积等于圆锥的侧面积S侧面积
=S扇形=·2πr·l=πr·l
圆锥与圆柱的比较
圆柱：由一个矩形旋转得到，如矩形ADD’G绕直线AB旋转一周
S侧=2πrh
S全= S侧+2S底=2πrh+2πr2
V=πr2h
圆锥：由一个直角三角形旋转得到，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周
S侧=πr
S全= S侧+S底=πr +πr2
V=πr2h
2.直角三角形全等的判定：HL
4.等腰梯形的性质和判定 . 1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定
3.平行四边形 平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定 菱形的性质和判定：3个判定定理
正方形的性质和判定：2个判定定理 注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决. 即需要掌握常作的辅助线. （2）梯形的面积公式：()
lh h b a S =+=21（l -中位线长）
九年级数学全册知识点总结
上册 第一章、图形与证明（二）
（一）、知识框架
(二)知识详解
2．1、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 2．2、等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角
2．3、线段的垂直平分线 形.
（1）线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线. 2．4、角平分线
（
1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
.
1、基本公式：S 2
=
n
1
[(X 1
-8(—)，X))2
+(X 2
-8(—)，X))2
+……+(X n
-8(—)，X))2
] 2、简化公式：S 2
=n
1
[(X 1
2+X 2
2+……+X n
2)-n8(—)，X)2
]
也可写成：S 2
=n
1(X 12+X 22
+……+X n 2
)-8(—)，X)2
3、简化②：S 2
=
n 1
[(X ’1
2+X ’2
2
+……+X ’n
2)-n8(—)，X)2
] 也可写成: S 2
=n
1
(X ’1
2+X ’2
2+……+X ’n
2)-8(—)，X)
2
3、标准差:
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，记作S. S=
()(
)[
]2
21 (1)
x x x x n
n -+-
意义：
1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况.
2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小.
3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小.因此标准差同样反映数据的波动大小.
注意：对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大.
第三章、二次根式
（一）、知识框架
(0(0,a b a a b ≥≥>a b a =(a a =
第四章、一元二次方程
12ax 叫做
21b ；当b<0时，
2、配方法 一般步骤：
（1） 方程)0(02
≠=++a c bx ax
两边同时除以a ，将二次项系数化为1.
（2） 将所得方程的常数项移到方程的右边.
（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方 （4） 配方，化成b a x =+2
)
(
（5）开方.当0≥b 时，b a x ±-=；当b<0时，方程没有实数根. 3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法. 一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax
的求根公式：
)04(2422≥--±-=ac b a
ac b b x
4、因式分解法
一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法. 3：一元二次方程根的判别式
根的判别式
0>相等的实根方程有两个相等的实根;△0<实根. 12c x x a =
1、定义：一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根
的判别式.
2、性质：当ac b 42
-＞0时，方程有两个不相等的实数根；当ac b 42
-＝0时，
方程有两个相等的实数根；当ac b 42
-＜0时，方程没有实数根.
4：一元二次方程根与系数的关系
如果方程)0(02≠=++a c bx ax
的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -
=+21，a
c
x x =21. 应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元
根据题意，得：20024)401
.0200)(23(=-?+
-
-x
x 解得：1x ＝0.2，2x ＝0.3 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元.
第五章、中心对称图形二（圆的有关知识）
（一）、知识框架
（二）知识点详解 一、圆的概念
集合形式的概念：
1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线. 二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；
2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；
3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外；
三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d
r > ? 无交点；
2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点；
3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）? 无交点 ? d
R r >+；
外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+；
相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-；
图1
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平
分弦所对的另一条弧
A
图2
图4
图5
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径②AB CD
⊥③CE DE
=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论.
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
即：在⊙O中，∵AB∥CD
∴弧AC=弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等. 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①AOB DOE
∠=∠；②AB DE
=；
③OC OF
=；④弧BA=弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半.
即：∵AOB
∠和ACB
∠是弧AB所对的圆心角和圆周角
∴2
AOB ACB
∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧是等弧；
即：在⊙O中，∵C
∠、D
∠都是所对的圆周角
∴C D
∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径. 即：在
⊙O中，∵AB是直径或∵90
C
∠=?∴90
C
∠=?∴AB是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.即：在△ABC中，
∵OC OA OB
==
∴△ABC是直角三角形或90
C
∠=?
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
八、圆内接四边形
即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形
∴180
C BAD
∠+∠=?180
B D
∠+∠=?DAE C
∠=∠
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN OA
⊥且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条
件就能推出最后一个.
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆
心的连线平分两条切线的夹角.
即：∵PA、PB是的两条切线∴PA PB
=PO平分BPA
∠
十一、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦.
如图：
12
O O垂直平分AB.
即：∵⊙
1
O、⊙
2
O相交于A、B两点
∴
12
O O垂直平分AB
十二、圆内正多边形的计算
（1）正三角形：在⊙O中△ABC是正三角形
有关计算在Rt BOD
?中进行：::2
OD BD OB=；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?中进行，
::OE AE OA =
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?中进行，
::2AB OB OA =.
十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l
π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：
圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表
底=2Rr r ππ+
（2）圆锥的体积：2
13
V r h π=
3、圆锥与圆柱的比较
1.定义：一般地，如果
c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a
代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附：典型例题 1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类： 1.代数式与有理式
人教版九年级数学知识点总结
人教版九年级数学知识 点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二十一章二次根式 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数 中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而 ，，5 ，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2 ，=3 ，它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+ 与a- ，- 与+ ，互为有理化因 式。 二次根式的性质： 1. (a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥ 0,b>0）。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。
九年级下册数学知识点归纳总结(附习题)
第二十六章 反比例函数 26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y = （k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y = （0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y = （0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了。 26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 26.3知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但 永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 26.4知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
(完整版)新人教版九年级数学知识点归纳
新人教版九年级上册数学知识点归纳 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 21.2 降次——解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法： 用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m. 直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果. 2、配方法 通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。 1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式） 2.系数化1：将二次项系数化为1 3.移项：将常数项移到等号右侧 4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方：左右同时开平方 7.求解：整理即可得到原方程的根 3、公式法 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 21.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．
人教版九年级数学上册各章节知识点总结
人教版九年级数学上册知识点总结 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 典型例题： 1、已知关于x的方程（m+3）x 21 m- +（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -.
（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是： ①移项； ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公
九年级数学下册知识点归纳
九年级数学下册知识点归纳 第二十六章二次函数 26.1 二次函数及其图像 二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项 式函数。二次函数能够表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存有如下关系： 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，- (4ac-b∧2)/4a) ; 顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和 图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用 配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的 抛物线] ; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向， a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y 轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0, 所以 b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在 y轴左;当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 _______ Δ= b^2-4ac0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 特殊值的形式 7.特殊值的形式 ①当x=1时 y=a+b+c ②当x=-1时 y=a-b+c ③当x=2时 y=4a+2b+c ④当x=-2时 y=4a-2b+c 二次函数的性质 8.定义域：R 值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a， 正无穷);②[t，正无穷) 奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。 周期性：无 解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式]