基本初等函数

§2.5 基本初等函数(Ⅰ)考点梳理(一)指数函数 1．根式(1)n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的 ，其中n ＞1，且n ∈N *. 注：负数没有偶次方根．(2)根式的性质：n 为奇数时，na n ＝ ； n 为偶数时，na n ＝ . 2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a 0＝ .（a ≠ 0.）(2)负整数指数幂：a －n ＝ (a ≠0，n ∈N *)．(3)正分数指数幂：a m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． (4)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝ （a ＞0，b >0，r ∈Q ）.3．a ＞1 0＜a ＜1(二)对数函数 1．对数(1)对数：如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的_______，记作x ＝_______.其中a 叫做对数的_______，N 叫做_______．(2)两类重要的对数①常用对数：以_______为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记作_______； ②自然对数：以_______为底的对数称为自然对数，并把log e N 记作_______． 注：无理数e ＝2.718 28…； (3)对数与指数之间的关系当a ＞0，a ≠1时，a x ＝N_______x ＝log a N . (4)对数运算的性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (MN )＝___________；②log a MN＝______________；③log a M n ＝_____________；一般地，na M m log ＝_______；(5)换底公式及对数恒等式①对数恒等式：Na a log ＝_______；log a 1＝_______，log a a ＝_______.②换底公式：log a b ＝_______ (a ＞0且a ≠1；c ＞0且c ≠1；b ＞0)．特别地，log a b ＝1log b a2．a ＞1 0＜a＜1____________ 3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)互为反函数；它们的图象关于直线________对称．(三)幂函数1．幂函数的定义一般地，函数________叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．几个常用的幂函数的图象与性质α＞0α＜0自查自纠：(一)1．(1)n 次方根 (2)a |a |2．(1)1 (2)1an (3)n a m (4)a r ＋s a rs a r b r3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数(二)1．(1)对数 log a N 底数 真数 (2)①10 lg N ②e lnN (iii )0 1 (3)⇔(4)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N③n log a M nmlog a M(5)①N ，0,1.②log c blog c a2．(0，＋∞) R (1，0) 增函数 减函数 3．y ＝x(三)1．y ＝x α2．(1)(0，0)和(1，1) (1，1) (2)增函数 减函数典型例题讲练类型一 指数幂和对数的运算例题1 (2013·济宁测试)化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； .解：(1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫64100015－5223－⎝⎛⎭⎫27813－1 ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫410315×()－52×23－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1 ＝52－32－1 ＝0.(2)计算log 535＋2log 122－log 5150－log 514的值． 解：原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝2.变式1 （2016浙江理12）已知a >b >1.若log a b +log b a =，a b =b a ，则a = ，b = . 【答案】，（2015浙江理12）若，则 ．52424log 3a =22a a-+=【答案】. 类型二指数和对数函数的图象及其应用例题2 （1）已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能．．．成立的关系有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解：作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象，然后作直线y ＝m ，y ＝n (0＜m ＜1＜n )．我们很容易得到a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0，即可能成立的为①②⑤，不可能成立的为③④.故选B.（2）(2015·河北模拟)已知函数f (x )＝|log 2x |，0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若函数f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m 2＝( )A.14B. 2C.32D.12解：作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图．由题意可得0＜m ＜1＜n ，∴0＜m 2＜m ，结合图象可知函数f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)，则有－log 2m 2＝2，m 2＝2－2＝14.故选A.类型三 指数和对数函数的综合问题例题3 （1）(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________． 解：(1)a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＜1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x ＜1时，f (x )∈(－1，1)，f (x )无最小值；当x ≥1时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1，32为减函数，在⎣⎡⎭⎫32，＋∞为增函334数，当x ＝32时，f (x )取得最小值为－1.(2)①若函数g (x )＝2x －a 在x <1时与x 轴有一个交点，则a >0，并且当x ＝1时，g (1)＝2－a >0，则0<a <2；此时函数h (x )＝4(x －a )(x －2a )与x 轴只有一个交点，所以2a ≥1且a <1，则12≤a <1.综合得12≤a＜1.②若函数g (x )＝2x －a 与x 轴有无交点，则函数h (x )＝4(x －a )(x －2a )与x 轴有两个交点．当a ≤0时，g (x )与x 轴无交点，h (x )＝4(x －a )(x －2a )在[1，＋∞)与x 轴也无交点，不合题意；当g (1)＝2－a ≤0时，a ≥2，h (x )与x 轴有两个交点，其横坐标为x ＝a 和x ＝2a ，由于a ≥2，两交点横坐标均满足x ≥1，符合题意．综合①②可得a 的取值范围为12≤a <1或a ≥2.故填－1；⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)．（2） 已知函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x .由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x ＝1±2.∵2x ＞0，∴2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0， ∵2t ＞0，两边同乘以2t ，即得m (22t －1)≥－(24t －1)． ∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)． ∵t ∈[1，2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．(2)已知f (x )＝lg 2xax ＋b ，f (1)＝0，当x >0时，恒有f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝lg x . (1)求f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝lg(m ＋x )的解集是∅，求实数m 的取值范围．解：(1)∵当x >0时，f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝lg x 恒成立，∴lg 2x ax ＋b －lg 2bx ＋a ＝lg x ，即(a －b )x 2－(a －b )x ＝0. ∵x ≠0，∴上式若恒成立，则只能有a ＝b ，又f (1)＝0，即a ＋b ＝2，从而a ＝b ＝1，∴f (x )＝lg 2x 1＋x.(2)由lg 2xx ＋1＝lg(m ＋x )知⎩⎪⎨⎪⎧2xx ＋1＝m ＋x ，2x x ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（m －1）x ＋m ＝0，x <－1或x >0，由于方程的解集为∅，故有如下两种情况： ①方程x 2＋(m －1)x ＋m ＝0无解，即Δ<0， 解得3－22<m <3＋22；②方程x 2＋(m －1)x ＋m ＝0有解，两根均在区间[－1，0]内，令g (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，g （－1）≥0，g （0）≥0，－1≤1－m 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤3－22或m ≥3＋22，1≤m ≤3，无解． 综合①②知，实数m 的取值范围是{m |3－22<m <3＋22}．类型四 幂函数的图象与性质例题4 如图，曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取2，3，12，－1四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为 ．解法一(数形结合法)：如图，作直线x ＝t (t >1)，由于函数y ＝x n 的图象与直线x ＝t 的交点为(t ，t n )，可见指数n 的大小与图象交点的“高低”是一致的，结合图象，可得答案．解法二(特殊值法)：当x ＝2时，y 1＝23＝8，y 2＝22＝4，y 3＝20.5＝2，y 4＝2－1＝12，∵8>4＞2＞12，∴y 1＞y 2＞y 3＞y 4，故填3，2，12，－1.变式4 (2014·天门、仙桃、潜江期末)在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y ＝x ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1的部分图象，则函数y ＝2x的图象通过的阴影区域是()解：函数y ＝2x 的图象位于函数y ＝x 与y ＝x 2的图象之间，对比各选项中的阴影区域，知C 正确．故选C .方法规律总结1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论． 2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．3．熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径．4．作指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象应分别抓住三个点⎝⎛⎭⎫－1，1a ，(0，1)，(1，a )和⎝⎛⎭⎫1a ，－1，(1，0)，(a ，1)．5．比较两个对数的大小的基本方法(1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论．(2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．6．幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x ＝2或x ＝12的交点纵坐标的大小反映．一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x 轴(不包括幂函数y ＝x 0)．7．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性．函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．8．判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数，一定要根据三种函数定义给出的“标准”形式．如f (x )＝2x 2不是指数函数，而f (x )＝23x 是指数函数，因为f (x )＝23x ＝8x ，此时a ＝8，同样f (x )＝2x ＋1也不是指数函数，因为f (x )＝2x ＋1＝2·2x ，不是f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的形式．课后作业1．(2015·衡水模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫8，12，则f ⎝⎛⎭⎫164的值为( ) A ．3 B ．4 C.13 D.14解：设f (x )＝x α，则有8α＝23α＝12，∴3α＝－1，解得α＝－13，f ⎝⎛⎭⎫164＝(2－6)α＝2－6α＝22＝4.故选B. 2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解：两图象均不可能过点(0，1)，A 错；B 选项中f (x )＝x a中a 满足a ＞1，而g (x )＝log a x 中a 满足0＜a ＜1，矛盾，B 错；类似B 选项的判断方法知C 错；D 正确．故选D .3.log 29×log 34＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解：log 29×log 34＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.故选D.4．(2015·广东模拟)已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a >1bB ．log 2(a －b )>0 C.⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫12b D ．2a －b <1 解：因为log 2a >log 2b ，所以a >b >0，所以⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b <⎝⎛⎭⎫12b.故选C.5. (2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：由3a ＞3b ＞3知，a ＞b ＞1，则log a 3＜log b 3；反过来，设0＜a ＜1，b ＞1，依然有log a 3＜log b 3，但此时3a ＜3b .故选B.6.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解：当x ≤1时，21－x ≤2⇔1－x ≤1⇔x ≥0，∴0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2⇔log 2x ≥－1⇔x ≥12，∴x >1.综上可知x 的取值范围是[0，＋∞)．故选D.7.(2015·浙江文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解：由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.故填0；22－3.8．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为____________．解：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－2log 6x ≥0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 6x ≤12⇒⎩⎨⎧x ＞0，x ≤6⇒0＜x ≤ 6. 故填(0，6]．9．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解：当x ≤2时，－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2.故填(1，2]．10．设a ＞1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a ，2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝c ，求a 的值．解：∵log a x ＋log a y ＝log a (xy )＝c (a ＞1)，∴y ＝a cx.∵a ＞1，∴y ＝a cx 在x ∈[a ，2a ]上单调递减，∴y max ＝a c a ＝a c －1，y min ＝a c 2a ＝12a c －1，⎩⎪⎨⎪⎧a c －1≤a 2⇒c ≤3，12a c －1≥a ⇒a c －2≥2⇒c ≥log a 2＋2.∵log a 2＋2≤c ≤3且c 值只有1个， ∴log a 2＋2＝c ＝3，即log a 2＝1，故a ＝2.。