量子力学期中试题
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。
A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。
答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。
答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。
答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。
答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。
答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。
答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。
波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。
2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。
答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。
大学量子力学期中期末考试试卷及答案解析 (3)
2007-2008学年第一学期《量子力学》（B ）卷参考解答及评分标准一、简答题1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
答：束缚态：粒子在一定范围内运动，∞→r 时，0→ψ。
能级分立。
非束缚态：粒子的运动范围没有限制，∞→r 时，ψ不趋于0。
能级连续分布。
2. 一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨⎧><∞<<=ax x a x x V 2,0,20,0)(中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
解： ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<=ax x a x axn a x n 2,0,0,20,2sin 1)(πψ,3,2,1,82222==n a n E n μπ3. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。
解：!2,)()(2/22n A x H e A x nn n x n n ⋅==-πααψα。
,2,1,0,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n E n ω4. 电子自旋假设的两个要点。
解：（1）电子具有自旋角动量s，它在空间任意方向的投影只有两个取值：2 ±；（2）电子具有自旋磁矩M，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍，即自旋回转磁比值 ⎪⎭⎫⎝⎛===为单位取自旋内禀磁矩mc e mc e g s 22，轨道回转磁比值 12===mceg l 轨道角动量轨道磁矩。
二、填充题5. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，则粒子在立体角Ωd 中被测到的几率为()220,,P d r r drψθϕ∞=Ω⎰6. ）（z L L ,2 的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlm Y ，相应的本征值分别是22(,)(1)(,)lm lm L Y l l Y θϕθϕ=+ 和 (,)(,)z lm lm L Y m Y θϕθϕ= 。
7.[],,,,2,z x z yz y x zy z xz p i L L i L y L ixi L p i p σσσ⎡⎤⎡⎤==-=⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦8. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2/,()2/,(),(r r s r z ψψψ，则 ()2,/2r ψ()232/,⎰-r r d ψ表示电子自旋向下（2 -=z s ）的几率。
量子力学测试题及答案
量子力学测试题及答案一、单项选择题（每题 2 分，共 20 分）1. 量子力学的奠基人之一，提出了著名的薛定谔方程的科学家是：A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 波尔D. 薛定谔答案：D2. 以下哪个选项不是量子力学中的基本原理？A. 波粒二象性B. 测不准原理C. 相对性原理D. 叠加原理答案：C3. 量子力学中，哪个物理量没有量子化特征？A. 能量B. 动量C. 位置D. 时间答案：D4. 海森堡不确定性原理中，以下哪两个物理量不能同时被精确测量？A. 位置和动量B. 能量和时间C. 电荷和质量D. 速度和加速度答案：A5. 量子力学中的“隧道效应”是由哪位科学家首次提出的？A. 波尔B. 爱因斯坦C. 海森堡D. 费曼答案：D6. 量子纠缠是量子力学中的一种现象，以下哪个选项描述了量子纠缠？A. 两个粒子之间的相互作用B. 两个粒子之间的状态相互独立C. 两个粒子之间的状态无论多远都能瞬间影响对方D. 两个粒子之间的状态完全相同答案：C7. 在量子力学中，哪个概念描述了粒子的状态？A. 波函数B. 动量C. 能量D. 位置答案：A8. 量子力学中的“观测者效应”指的是：A. 观测者的存在会影响实验结果B. 观测者的情绪会影响实验结果C. 观测者的位置会影响实验结果D. 观测者的操作会影响实验结果答案：A9. 量子力学中的“泡利不相容原理”适用于：A. 所有基本粒子B. 费米子C. 玻色子D. 光子答案：B10. 量子力学中的“超流”现象通常出现在哪种物质中？A. 固体B. 液体C. 气体D. 等离子体答案：B二、多项选择题（每题 2 分，共 20 分）1. 以下哪些是量子力学中的基本概念？A. 波函数B. 弦理论C. 叠加态D. 量子纠缠答案：ACD2. 量子力学中的“测不准原理”是由哪位科学家提出的？A. 波尔B. 海森堡C. 薛定谔D. 爱因斯坦答案：B3. 以下哪些现象可以用量子力学解释？A. 光电效应B. 原子光谱C. 布朗运动D. 核磁共振答案：ABD4. 量子力学中的“波粒二象性”指的是：A. 粒子有时表现为波动B. 粒子有时表现为粒子C. 波动有时表现为粒子D. 波动有时表现为波动答案：ABC5. 以下哪些是量子力学中的著名实验？A. 双缝实验B. 光电效应实验C. 迈克尔逊-莫雷实验D. 费曼双缝实验答案：AB6. 以下哪些是量子力学中的著名方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 狄拉克方程D. 牛顿第二定律答案：AC7. 以下哪些是量子力学中的测量问题？A. 波函数坍缩B. 量子纠缠C. 量子退相干D. 量子隧穿答案：AC8. 以下哪些是量子力学中的粒子类型？A. 费米子B. 玻色子C. 光子D. 电子答案：ABC9. 以下哪些是量子力学中的著名科学家？A. 波尔B. 爱因斯坦C. 薛定谔D. 牛顿答案：ABC10. 以下哪些是量子力学中的著名理论？A. 相对论B. 量子场论C. 弦理论D. 量子信息答案：BCD三、判断题（每题 2 分，共 20 分）1. 量子力学中的“测不准原理”表明，粒子的位置和动量可以同时被精确测量。
量子力学期中考试题2012年1在球坐标系下用描述三维空间的三个
量子力学期中考试题（2012年）1、在球坐标系下用(),,r θϕ描述三维空间的三个自由度，定义算符 221rT r r r r∂∂=∂∂，证明 rT 是厄米算符。
2、(a)判断下列哪些算符是厄米算符： ()x x p +， ()x y L p ， ()z L z 。
(b)计算下列对易式： [,]yxL P z x ， [,]yxzzL L L P ， ()[,]nxx P ， ()2[,]LV r 其中， 2L ， L μ， P μ， μ（,,x y z μ=）分别为角动量平方算符、角动量分量算符、动量算符和坐标算符，而 ()Vr 为某中心势场的位能算符。
3、算符ˆA和哈密顿算符H ˆ对易，ˆA 和H ˆ都不显含时间，ˆA 的对应于其某一本征值a 的本征态是二重简并的，即ˆA u a u =，ˆA v a v =，u 和v 是正交归一的，但u 和v都不是H ˆ的本征态。
定义算符： aP u v v =+。
证明：对于该量子体系的任一量子态()t ψ，() ()()at P t P a ψψ=不随时间变化。
4、 L 和 p 是处于三维空间中某粒子的角动量算符和动量算符，n 和m 是三维空间中的二任意单位矢量。
证明(),n L m p i n m p ⎡⎤⋅⋅=⨯⋅⎢⎥⎣⎦.5、某三维体系中粒子的哈密顿量为：222ˆˆˆˆ()()()222y x z p p p H V x W y U z m m m=+++++，其中()0V x =，221()2W y m y ω=，0,,(),.z a U z z a ⎧≤⎪=⎨∞>⎪⎩ ⑴、写出该粒子的能量本征值及相应的本征波函数，并分析其简并度； ⑵、写出该体系的一种完整力学量组。
6、在由正交规一基矢{321,,u u u 所张成的三维空间中，能量算符Hˆ和一力学量算符B ˆ 的矩阵表示如下：010*******H ω⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001b B其中0ω和b 是实常数。
量子力学考试试题(附答案)
量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。
4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。
《量子力学》题库
《量子力学》题库一、简答题1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： ων ==h Ek nhp ==ˆλ其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。
等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。
2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
按这种解释，描写粒子的波是几率波。
3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。
答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。
4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211ϕϕψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1ϕ和2ϕ为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。
试说明式子2211ϕϕψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。
答：2211ϕϕψc c +=的含义是：当粒子处于1ϕ和2ϕ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1ϕ态，又处于2ϕ态。
或者说，当1ϕ和2ϕ是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1ϕ、2ϕ中。
在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为21c 和22c 。
5 什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。
在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。
6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
大学量子力学期中期末考试试卷及答案解析 (25)
安徽大学2005—2006学年第1学期 《量子力学》期末考试试卷（A 卷）年级 专业 姓名 学号 座位号一、简答题（1——8题，每题5分，共40分）1. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。
2. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。
3. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。
4. 写出在z σ表象中的泡利矩阵。
5. 写出电子自旋z s 的二本征值和对应的本征态。
6. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2/,()2/,(),(r r s r z ψψψ， 准确叙述 2)2/,(r ψ及 23)2/,(⎰-r r d ψ分别表示什么样的物理意义。
7. 二电子体系中，总自旋 21s s S += ，写出（z S S ,2）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
8. 使用定态微扰论时，对哈密顿量H 有什么样的要求？二、计算证明题9. 一维运动中，哈密顿量 )(22x V mp H +=，求[][]?,?,==H p H x （10分）10. 一个谐振子处于基态：,),(2/2/122ti x e t x ωαπαψ--=求势能2221x m V ω=的平均值及动能m p T 22=的平均值。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰+∞∞--πdx e x 2积分公式：（15分）11. 氢原子处于状态 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21011211122321,ψψψY R Y R s r z， (1) 求轨道角动量的z 分量z L 的平均值； (2) 求自旋角动量的z 分量z s 的平均值；(3) 求总磁矩s e L e Mμμ--=2的z 分量z M 的平均值。
（15分）12. 设粒子在一维无限深方势阱 ⎩⎨⎧><∞<<=ax x a x x V ,0,0,0)(中运动，处于基态22212,)1(ma E n π==。
量子力学试题
量子力学试题(共21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xan a x n n m a E n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为 ()()()133;134;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00,0.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。