2.3 无穷小与无穷大
2.3无穷小与无穷大
lim 则 lim [ f ( x ) − A] = x → x α ( x ) = 0.
于是，对 ∀ε > 0, ∃δ > 0,当 | x − x0 |< δ 时， 于是， | f ( x ) − A − 0 |=| f ( x ) − A |< ε .
x → x0 →
0
∴ lim f ( x ) = A.
第三节 无穷小与无穷大 要 点
无穷小量与无穷大量概念 无穷小与无穷大性质关系
无穷小量 ( infinitesimal ) 例
1 x → 0, sin x → 0, x sin → 0, x 当 x→1, ln x → 0 , ( x − 1)3 → 0 , →
2
当 x→0 →
当 x→∞ , →∞ 1 − x2 →0, e →0, x 1 当 n→∞ → 0. n
0
图形的垂直渐近线 图形的垂直渐近线. 垂直渐近线
注意
无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 极限存在； 不可认为 lim f ( x ) = ∞ 极限存在； x→ • 无穷大是一种特殊的无界变量, 无穷大是一种特殊的无界变量, 但 是无界变量未必是无穷大. 是无界变量未必是无穷大.
1 f ( x) < , 于是 ⇒ M
1 由于 f ( x ) ≠ 0, ∴ x → x0 , 是无穷大量. 是无穷大量 f ( x)
关于无穷大的讨论, 意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关 于无穷小的讨论. 于无穷小的讨论.
例
研究 x→0 时， 函数 是否为无穷小. 是否为无穷小
1+ e 1+ e
1 1 , 取δ= , 只要 x − 1 < M M 1 1 当0 < x − 1 < δ = 时 , 就有 > M. M x −1 1 ∴ lim = ∞. x →1 x − 1
2.3 无穷小与无穷大
1
4
2
5
3
6
y x2
1 y x1
1 y x
y x1
1 y 3 x
y
1 x 1
3.无穷小量的比较 我们已经知道了有限个无穷小的和、差、积仍然是无 穷小.但是两个无穷小的商会是什么样的结果呢？
提出问题
2 x 0 2 x ， x ,4 x 都是无穷小量， 当 时， 观察他们任意两个求商取极限的情形？
1 2
任意两个无穷小的商是否仍是无穷小？为 什么？
x2 2x 4x lim 0, lim 2 , lim 2. x 0 2 x x 0 x x 0 2 x
lim X 0 变量X是这一变化过程中的无穷小
注意
（1）无穷小表达的是量的变化趋势，而不是量的大小；一 个非零的数不管其绝对值多么小，都不是无穷小，常数中 只有零是无穷小.
课堂练习
讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小.
1 1 x x (1) y ; (2) y 2 x 1; (3) y 2 ; (4) y ( ) . x 1 4
势是绝对值越来越大，趋于无穷.我们把这一类情况的变量 给出以下定义：
定义3
在某一变化过程中,函数绝对值越来越大的变量称为 无穷大量.一般用
表示。为方便起见，我们也称“函
x x 0 (x )
数的极限是无穷大”，并记为 lim f(x)
类似也有 x lim f(x) , x lim f(x) x x
0 0
(x )
(x )
正无穷大
负无穷大
注意
（1） 无穷大是个变量，不是常数 （2） 无穷大总和自变量的变化趋势相关联
2.3 无穷小与无穷大
注: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;
2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势. 3.零是唯一可以作为无穷小的数.
无穷小和极限的关系:
定理 变量 u 以A为极限的充分必要条件是：变量 u 可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即 lim u A u Aa ，
其中a 是无穷小 。
x sin
1 1 sin sin 1 ， 即函数 x x
1 x 是当 x 0 时的无穷小，
例 题 三
解
n 1 1 2 2 求 lim ． 2 n n 2 n n
1 2 n 1 1 2 n 1 n(n 1) n 2 n 2 2 2 2 2 n n n n 2n 2n2
的铅直渐近线
x x0
例 题 五
1 曲线y 的铅直渐近线方程为？ x
例 题 一
1 1 因为 lim 0 所以函数 为当 x时的无穷小 x x x
x 1
因为 lim (x 1) 0 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小
因为 lim (x 1) 0 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小
x 1
因为 lim 因为 lim
1 0 1 所以数列{ }为当 n时的无穷 n n 1 n 1
1 0 1 所以数列{ }为当 n时的无穷小 n n 1 n 1
无穷小的性质
•性质1 有限个无穷小的和也是无穷小 •性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •性质3 常数与无穷小的乘积是无穷小
•性质4 有限个无穷小的乘积也是无穷小
举例: 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是 当x0时的无穷小 1 当 x时 是无穷小 arctan x 是有界函数 x 1 所以 arctan x 也是无穷小 x
无穷小和无穷大
第二章 2.3讲 第三节 无穷小与无穷大一、无穷小１.无穷小的定义定义 如果当0x x →(或∞→x )时,函数)(x f 的极限为0,那么函数)(x f 叫做当0x x →(或∞→x )时的无穷小量,简称无穷小.例如,因为0)1(lim 1=-→x x ,所以函数1x -是1→x 时的无穷小.又如,01lim=∞→x x ,所以x1是∞→x 时的无穷小. 注意：:(1)说一个函数)(x f 是无穷小时,必须指明自变量x 的变化趋势,如函数1x -是当1→x 时的无穷小,当x 趋向其他数值时, 1-x 就不是无穷小.(2)不要把绝对值很小的常数(如0000001.0或0000001.0-)说成是无穷小,因为这个常数在当0x x →(或∞→x )时,极限为常数本身,并不是0.(3) 常数中只有“0”可看作是无穷小,因为00lim )(0=∞→→x x x2.无穷小的性质性质１ 两个无穷小的代数和是无穷小．性质２ 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小． 性质３ 两个无穷小的乘积还是无穷小． 例1 01lim sinx x x→ 解 当0x →时，1sinx的极限不存在,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.但因为0lim 0x x →=,所以x 是当0x →时的无穷小.而1sin1x≤,所以1sinx 是有界函数.根据无穷小的性质2可知1lim sinx x x→=0例2 求xxx sin lim∞→.解 当∞→x 时，分子及分母的极限都不存在,所以,不能应用极限运算法则Ⅲ.但xx sin 可以看作是x sin 与x 1的乘积.因为当∞→x 时, x 1是无穷小,而x sin 是有界函数,所以根据无穷小的性质2,可知0sin lim =∞→xx x . 3.函数极限与无穷小的关系定理 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限．下面就0x x →时的情形加以证明． 证 设A x f x x =→)(lim 0,令A x f -=)(α,则[]A x f A x f x x x x x x x x 0lim )(lim )(lim lim →→→→-=-=α0=-=A A就是说,α是当0x x →时的无穷小．由于A x f -=)(α,所以α+=A x f )(这就证明了具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和. 反之,设α+=A x f )(,其中A 为常数,α是当0x x →时的无穷小,则A A x f x x x x =+=→→）（α0lim )(lim这就证明了如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限．类似地可以证明当∞→x 时的情形．二、无穷大定义 如果在0x x →(或∞→x )时,函数)(x f 的绝对值无限增大,那么)(x f 叫做当0x x →(或∞→x )时的无穷大量,简称无穷大.如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时是无穷大,那么它的极限是不存在的.但为了便于描述函数的这种变化趋势,我们也说 “函数的极限是无穷大”,并记为∞=∞→→)(lim )(0x f x x x如果在无穷大的定义中,对于0x 左右近旁的x (或对于绝对值相当大的x ),对应的函数值都是正的或都是负的,就分别记为0()lim ()x x x f x →→∞=+∞ 0()lim ()x x x f x →→∞=-∞例如,1x →时,11x -无限增大,所以11x -是1x →时的无穷大.可记为 01lim1x x →=∞- 例如,x →+∞时,xe 总取正值无限增大,所以xe 是x →+∞时的无穷大.可记为lim x x e →+∞=+∞注意：（1）说一个函数)(x f 是无穷大,必须指明自变量x 的变化趋势,如函数x 1是0→x 时的无穷大.当∞→x 时, x1是无穷小而不是无穷大. （2）不要把绝对值很大的常数(100000000或100000-)当作无穷大,因为这个常数在0x x →(∞→x )时的极限为常数本身,并不是无穷大.三、无穷大与无穷小的关系无穷小与无穷大之间有以下关系:在自变量x 的同一变化过程中,若)(x f 为无穷大,则)(1x f 为无穷小.反之,若)(x f 为无穷小,且0)(≠x f ,则)(1x f 为无穷大. 例3 求极限14lim1-+→x x x .解 当1→x 时,分母的极限为零,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.例4 求2lim(32)x x x →∞-+解 因为2lim x x →∞和lim 3x x →∞都不存在,所以不能应用极限法则Ⅰ和Ⅱ.但因为22211lim lim 032321x x x x x x x→∞→∞==-+-+即2132x x -+是当x →∞时的无穷小,所以它的倒数232x x -+是当x →∞时的无穷大,即2lim(32)x x x →∞-+=∞例5 求752lim 223++-∞→x x x x 解 因为分子分母的极限都不存在,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.但因为051271lim 527lim 527lim 3332332232=+-+=+-+=+-+∞→∞→∞→x x x x xx x x x x x x x x x 所以 ∞=++-∞→752lim223x x x x 归纳上节的例2、例4、以及本节的例5，可得以下的一般结论,即当0,000≠≠b a 时，有101101()lim 0()()m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩，，， 例6 求32112lim ()28x x x →--++ 解 因为当2x →-时， 12x +和3128x +都是无穷大，所以不能应用极限法则Ⅰ.但在2x →-的过程中，2x ≠-，所以23222112(24)1228(2)(24)(2)(4)4(2)(24)24x x x x x x x x x x x x x x x -+--=+++-++--==+-+-+于是32112lim ()28x x x →--=++22461lim 244442x x x x →---==--+++四、无穷小的比较定义 设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，又αβlim也是在这个变化过程中的极限． （１） 如果0lim=αβ，就称β是比α较高阶的无穷小，记为)(αβo =；（２） 如果∞=αβlim，就称是β比α较低阶的无穷小； （３） 如果C =αβlim（C 为不等于零的常数），就称β与α是同阶无穷小；（４） 如果1lim=αβ，就称β与α是等价无穷小，记为α～β． 显然，等价无穷小是同阶无穷小的特例，即1=C 的情形． 以上定义对于数列的极限也同样适用． 例7 比较当0→x 时，无穷小x x---111与2x 阶数的高低． 解 因为 2200111(1)(1)1lim lim (1)x x xx x x x x x →→---+--=+2200lim (1)1lim 11x x x x x x→→=-==-所以当0→x 时，x x---111～2x。
无穷小与无穷大
2 3 1 lim 2 2 2 n n n n
n 2 n
lim
n
1 2 3
1 n n 1 2
n2
n
n2
lim
n
1 n1 lim n 2n 2
二、无 穷 大
定义 在自变量某一变化过程中，若函数
f ( x) 的绝对值无限增大，则称 f ( x) 为无穷
解 因为
1 sin 1 x
1 所以 sin 是有界函数 x
即 又 lim x 0，
x 0
x 是 x 0 时的无穷小
1 lim x sin =0 性质2可知 ， x 0 x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小．
1 2 n 当 n 时， 各项 2 , 2 , , 2 的 n n n 极限都为０， 均为无穷小，但却不是有限项的和.
即当 x 时, 所以
2x 5 2 2 lim x 1 x
3 f ( x) 是 2 与无穷小 2 之和. x 1 2
2．无穷小的性质
在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质： （1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小． （2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
例2
1 求 lim x sin x 0 x
x 1
x 1
时
x 1 是无穷小。
注意 (1)无穷小是相对于自变量的某一变化过程而言的．
1 例如，当 x 时， x
是无穷小.
而当
1 x 0 时， x
就不是无穷小了．
(2)无穷小是一个以0为极限的变量， 它表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小． 数0是唯一可看作无穷小的常数. 2.无穷小与函数极限的关系 一个不为零的常数无论多么小，都不是无穷小，
2.3无穷大与无穷小
x2 1 (1) f ( x ) ； x 1
1 (2) xn ； n1
(3) f ( x) x 2 1.
解
x2 1 为无穷小; (1) 当x 1时, f ( x ) x 1
(2) 当n 时,
证 设 及 是当 x 时的两个无穷小,
0, N1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有
, 0 ( x ) 2 2
解
(1)当 x 0或 x 时, f ( x ) ln x为无穷大;
(2) 当 x 时,
(3) 当 n 时,
e x为无穷大;
n2 1为无穷大;
(4) 无论 x 趋于何值, sinx 都不是无穷大.
三、无穷小的性质
定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
1 例 f ( x) x
x 0,
1 有 f ( x) 0 x
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
1 M 0, 0, 使得当 0 x x0 时, 恒有 f ( x) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
x x0
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.
2.3 无穷小量与无穷大量
0
0
1 x 时 y , y e , y arc cot x x
都是无穷小量.
注 2）
(1) 无穷小量是变量；任何非零常数（无论其绝 对值多么小）都不是无穷小. (2) 无穷小量与极限过程有关，不能孤立的说一 个变量是无穷小. (3) 0是唯一的无穷小常数，但无穷小不是0.
铅直渐近线 x 1
1 y x 1
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x0是函数y f ( x )
x x0
的图形的铅直渐近线.
定理6 在自变量的某一变化过程中，如 1 果 f x 为无穷大量，则 f x 为无穷小量；反之， 如果 f x 为无穷小量，且 f x 0 ，则 1 为无 f x 穷大量.
无穷小一般用希腊字母 等表示.
例子
(1) lim x 2 0, x 0 时, x 2 是一个无穷小量 .
x 0
(2) lim sin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量 .
x0
1 1 (3) lim 0, x 时, 是一个无穷小量 . x x x
2.3 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
二、无穷大量
1
一、无穷小量
定义: 在自变量的某一变化过中，以零为极限的 函数，称为无穷小量（或简称为无穷小）. 注1） 这里所说的自变量的变化过程包括
x x0 , x x , x x , x , x .
1 x lim 0 , lim e 0, lim arc cot x 0 如， x x x x
第三节无穷小和无穷大
例. 求 解:
tan x − sin x lim . 3 x→0 x
原式
x−x 原 = lim 3 式 x→0 x
= lim x⋅ 1 x2 2 x3
x→ x→0
说明 只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小 量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代. 量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.
( x > X ) 的 x , 总有
( x →∞) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) = ∞ )
x→∞
若在定义中将 ①式改为 则记作
x→x0 ( x→∞ )
( f (x) < −M ),
( lim f (x) = −∞)
概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数， 概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变 化过程中的无穷大量 非正常极限). 无穷大量.(非正常极限 化过程中的无穷大量 非正常极限
limsin x = 1.
x→
π
因此， 因此，它不是x → 时的无穷小量. 2
(3)关于有界量. 关于有界量 关于有界量
π
2
2.无穷小量的运算性质 无穷小量的运算性质
定理1. 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
∀ε > 0,
当 当
时,有 时,有
取 δ = min{ δ1 , δ2 }, 则当 0 < x − x0 < δ 时, 有
注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 例如 当 但 所以 时, 不是无穷大 !
2.3无穷小与无穷大
1.无穷小量
无穷小与无穷大
一、无穷小
定义 极限为零的变量称为无穷小量,简称为无穷小.
lim x 0 , 函数 x 2 是当 x 0时的无穷小 .
2 x 0
lim
lim
1 x
x
0,
n
函数
1 x
是当 x 时的无穷小
n
.
.
( 1) n
n
0 , 数列 {
1 x
,
当 x 时
都是无穷小
例1
求 lim
cos( 3 x 1 ) x
2
x
解 由于 lim
1 x
2
x
0，即
1 x
2
当 x 时为无穷小
又 cos( 3 x 1) 有界
所以 lim
cos( 3 x 1 ) x
2
x
0
例2 解
求 lim
由于 1
sin x x
0 , ( x ) 且 | sin x | 1
则 lim f ( x ) lim ( A ( x ))
x x0 x x0
,
x x0
A lim ( x ) A .
（2）. 无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 n
但 n个 1 n 之和为 1不是无穷小 .
例如 , n 时 ,
是无穷小，
定理3 有界变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的
乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
2.3无穷小量和无穷大量
无限接近于 1.那么他们的差：
n+2 2 −1= n n 就是一个无穷小量。 如果这个变量极限为 1，那么这个量减去 1 就是一个无穷小量。这个 事实对函数也是成立的。比如：
x →0
lim(x 2 + 3) = 3；则x 2 + 3 − 3 = x 2 → 0
一般来说，如果： lim f(x) = a；则 lim(f x − a) = 0 反之也成立。 定 理 ： 在 某 一 极 限 过 程 中 lim f x = A <=> ������ x = A + α(x) 其 中 α x 在这一极限过程中是无穷小量。 为什么要研究无穷小量？ f x = A + α(x) 函数以 A 为极限等价于 f(x)-A 为一个无穷小量；两者是等价的。这就
x →0
1 x → 0 时，x 本身是无穷小量， sin 没有极限。 x 但是sin 是一个有界函数。绝对值不会超过 1.因此x → 0时，一个无
x 1
穷小量乘以一个有界量，因此极限仍然为零。 F(x)=0 恒等于零的函数，常函数是一个无穷小量。
三、无穷大量的概念。 x → ∞；x 2 ；3x ； ln x 1 x → 0； ； ln x x 如果当x → x0 (x → ± ∞)时，|f(x)|无限增大，那么我们说 f(x)是无 穷大量。记为： lim f x = ∞ 注意：第一、无穷大量也好，无穷小量也好，它们并不是一个非常大 或者非常小的数，而是在某一极限过程中的一种变化趋势。第二、 lim f x = ∞ 并不能认为它的极限存在。 无穷大量与无穷小量的关系： 如果在某一极限过程中，f(x)是无穷大量，那么 1 f(x) 是无穷小量。比如： lim 2x = +∞；则 lim 1 =0 x →+∞ 2x
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1 1 1 1 1 : 1, , , , , , 1, 1, 4 , , 5 6 n n1 n 2
3
(n) xn
: 1 , , n 1, 1,
n1
,
1
n1 n 2
,
1
,
2.3.3
无穷大
绝对值无限增大的变量称为 无穷大.limຫໍສະໝຸດ x 0x2
x lim sin 1 不存在. 不可比. x 0 x
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义 设 , 是同一过程中的两个无穷小, 且 0 .
( 1 ) 如果 lim
记作 o( );
0 ,就说 是比
高阶的无穷小;
使得当 0 | x x 0 | (或 | x | X ), 恒有
| f ( x ) |
则称 f ( x )当 x x 0时 (或x )是无穷小 ,
x x0
记作
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
注 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; “无穷小量”并不表达量的大小,而是表达 量的变化状态的.
就说 是关于 的
k 阶无穷小.
1 n
2
如n
时 ,
1 n
2
是
1 n
的 高阶无穷小,
1 o ; n
x 时,
1 x
是
100 x
的
同阶无穷小.
定理 证
~ o ( ). ~
lim
1
1 ( x ) 其 中 ( x )是 无 穷 小 .
如 , 当 x 0时 , x sin
1 x
, x arctan
2
1 x
都是无穷小.
无穷个无穷小的乘积未必是无穷小.
例：无穷多个无穷小的 设 n 个数列如下：
乘积未必是无穷小。
(1 ) xn (2) xn (3) xn (4) xn
1 1 1 1 1 1 1 1 : 1, , , , , , , , , , 2 3 4 5 6 n n1 n 2 1 1 1 1 1 1 1 : 1, , , , , , , 2, , , 3 4 5 6 n n1 n 2 1 1 1 1 1 1 : 1, , , , , , , 1, 3 , , 4 5 6 n n1 n 2
(2 x ) 1 2 x
2
x 0
8.
2
例 求 lim
tan x sin x sin 2 x
3
x 0
解 当 x 0时 , tan x ~ x , sin x ~ x ,
原式 lim
x x (2 x )
3 x 0
0.
注
加、减项的无穷小不要用等价无 穷小代换.
解
当x 0时,
e 1 ~ x,
x
a 1 ~ x ln a .
x
2.3.7
利用等价无穷小替换求极限
定理 (等价替换乘除因子定理)
设 ~ ，则
lim [ f ( x)
lim [f ( x)] lim [ f ( x)]
].
且
] lim [
f ( x)
例 解
求 lim
tan 2 x sin 5 x
( 2 ) 如果 lim
( 3 ) 如果 lim
, 就说 是比
低阶的无穷小;
C ( C 0 ), 就说 与 是 同阶无穷小;
特别,当C 1时, 则称 与 是 等价无穷小,
记作 ~ .
( 4 ) 如果 lim
k
C ( C 0 , k 0 ),
2) 零是可以作为无穷小的唯一的常数.
2.3.2
性质 证
无穷小的运算性质
在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 的两个无穷小,
2
2
设 及 是 当 x 时
0 , X 1 0 , 当 | x | X 1时 ,
X 2 0, 当 | x | X 2时 ,
0 , 此时对 M , 0 , 使得当
1
0 x x 0 时 ,有 f ( x ) M
当 x x 0时 , 1 f (x) 为无穷小 .
1
,即
1 f (x)
.
反之 , 设 lim f ( x ) 0 , 且 f ( x ) 0 .
x x0
恒有 | |
恒有 |
|
;
.
取
X max{ X 1 , X 2 }, 当 | x | X 时 ,
恒有
| || | | |
2
2
,
0 (x )
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
性质
局部有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
( x) o ( ).
常用等价无穷小
sin x ~ x ,
arctan x ~ x ,
(1 x ) 1 ~ x ,
1 cos x ~ 1 2
2
当x 0时
arcsin x ~ x ,
ln( 1 x ) ~ x ,
x
tan x ~ x ,
其中 ( x )是当 x x 0时的无穷小 .
于是
设 f ( x ) A ( x ),
其中 A 是常数 , ( x )是当 x x 0时的无穷小 ,
| f ( x ) A | | ( x ) |
0 , 0 ,当 0 | x x 0 | , 恒有
x 0
.
当x 0时, tan 2 x ~ 2 x , sin 5 x ~ 5 x ,
原式 lim
2x 5x
x 0
2 5
.
例 求 lim
tan 2 x 1 cos x
2
x 0
.
1 2 x , tan 2 x ~ 2 x .
2
解 当 x 0时 , 1 cos x ~
原式 lim
0时 , 函数 sin x 是 无穷小 ;
当 x 1时 ,
当 x 2时 , 函数 x 2 是 无穷小 ;
当 n 时 , 数列 {
皆非无 穷小 .
( 1) n
n
}是无穷小 .
无穷小是指 在某个过程中 函数变化的趋势.
定义 0 ( 不论它多么小 ), 0 (或X 0),
M 0,
此时对
1 M
, 0 , 使得当
1 M , 由于 f ( x ) 0 ,
0 x x 0 时 ,有 f ( x )
从而
1 f (x)
M.
当 x x 0时 ,
1 f (x)
为无穷大 .
意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于 无穷小的讨论.
x x0 ( x )
x 0
lim
1 x 1 x 1 x
y
1 x
x 0
lim lim
x 0
2.3.4
定理
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证
设 lim f ( x )
x x0
tan x sin x tan x ( 1 cos x ) ~
1 2
x ,
3
tan x ~ x ,
1 cos x ~
1 x
3
1 2
x ,
2
sin 2 x ~ 2 x ,
1 2 原式 lim . 3 x 0 (2 x ) 16
求 lim
tan x sin x sin 2 x
证 设函数 u 在 U ( x 0 , 1 )内有界 , 则 M 0 ,
使得当 0 | x x 0 | 1时 , 恒有 | u | M .
又设 是当 x x 0时的无穷小 ,
0 , 2 0 , 使得当 0 | x x 0 | 2时 , 恒有 | | . 取 min{ 1 , 2 }, 则当 M
2.3.5
定理
无穷小与函数极限的关系
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当 x x 0时的无穷小 .
定理中过程可以换成 x → ∞
证 设 lim f ( x ) A , 令 ( x ) f ( x ) A
lim f ( x ) .
如, 当 x 0时 , 函数
1 x
, cot x
2
是无穷大;
当 x 时 ,函数 x ,
x 是无穷大.
.
3
切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在
x x0
定义 M 0 ( 不论它多么大 ), 0 (或X 0),
使得当 0 | x x 0 | (或 | x | X ),恒有
3
x 0
小
无穷小的概念
结
无穷小与函数极限的关系 无穷小的运算
无穷大的概念
无穷小与无穷大的关系 无穷小的比较 等价无穷小的替换
思考题
任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？