湖南省长郡中学高二学业水平模拟考试数学(理)试题(扫描版)
湖南省长郡中学2020届高二数学第二次质量检测试卷(理科)新课标 人教版
湖南省长郡中学2020届高二数学第二次质量检测试卷(理科)命题人：毛水注：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的。
1、直线1=x 与3y =-的夹角为（ ）A 、030B 、060 C 、0120D 、01502、若a ＝（2，1，1），b =（﹣１，x ，1），且a ⊥b ，则x 的值为（ ）A 、－1B 、1C 、2D 、03、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与D 1B 1所成的角是（ ）A 、450B 、300C 、600D 、904、 方程122=+by ax 所表示曲线是焦点在x 轴上的椭圆，则 （ ）A 、a>b>0B 、b>a>0C 、ab>0D 、a=b>05、直线2(2)250m x y m +-+=和直线20x y m ++=的位置关系是 （ ）A 、垂直B 、平行C 、 相交且不垂直D 、不能确定 6、已知,m l 是异面直线，有下面四个结论： ⑴ 必存在平面α过m 且与l 平行； ⑵ 必存在平面β过m 且与l 垂直； ⑶ 必存在平面γ与,m l 都垂直；⑷ 必存在平面π与,m l 距离都相等。
其中正确结论的序号是 （ ）A 、⑴⑵B 、⑵⑶C 、⑴⑶D 、⑴⑷7、如果双曲线22221x y a b-=的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么该双曲线的离心率是（ ）H HA CA 、3B 、2C 、34 D 、538、正方形ABCD 的边长为6 cm ，点E 在AD 上，且AE ＝13 AD ，点F 在BC 上，且BF ＝13BC ，把正方形沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C 后，则EF ＝（ ）A 、27 cmB 、215 cmC 、2 6 cmD 、6 cm9、在三棱锥P －ABC 中，G 是△ABC 的重心，F 是△PAB 的重心，D 为PB 上一点，E 为BC 的中点，若DE FG λ=，则数λ的值为（ ）A 、61 B 、31 C 、21D 、2310、如图，甲烷CH 4的分子结构是：碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上 （到正四面体四个顶点的距离都相 等的点叫做正四面体的中心）．设碳原子与4个氢原子连成 的四条线段两两组成的角为θ，则cos θ=（ ） A 、0 B 、 -41C 、-31D 、-21 11、如图，在正方体A BCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点， 若P 到底面ABCD 与直线C 1D 1的距离之比为2，则动点P 的轨迹所在 的曲线是 （ ）A 、直线B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线12、已知A 、B 、C 、D 是空间不共面的4点，它们到平面α的距离之比为1︰1︰1︰3，则满足条件的平面的个数为（ ） A 、4个 B 、6个C 、7个D 、8个长郡中学2020届高二第二次质量检测数学试卷(理科)答卷第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二 、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13、椭圆的离心率等于e 满足：251=+e e ，并且该椭圆与双曲线15422=-y x 有公共的焦点，则该椭圆的方程为14、已知在平行六面体1111D C B A ABCD -中，0190,4=∠===BAD AA AD AB ，,60011=∠=∠DAA BAB 则1AC 的长为_____________15、已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm 、2cm 和3 cm ，则此球的体积为____________ cm 316、点P 是抛物线x y 42=上一动点，则P 到点（0，1）的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是____________三 、解答题：本大题共6小题，共74分。
湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高二上学期入学考试数学模拟试卷及答案
长郡中学新高二入学考试数学模拟试卷数 学时量：120分钟 满分：100分一、单选题(共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案) 1.若集合{}210A x ax x =∈++=R 中只有一个元素，则a 的值为() A.14B.12C.0D.0或142.i 是虚数单位，复数21iz =−，则z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +−=则121a b++的最小值是()A.23B.43C.2D.44.对任意[]1,1a ∈−，函数()()2442f x x a x a =+−+−的值恒大于零，则x 的取值范围是()A.13x << B.1x <或3x > C.12x << D.1x <或2x >5.已知()11,A x y ，()22,B x y 是函数2xy =图象上两个不同的点，若1224x x +=，则y 1+y 22的最小值为( )A.2B.4C.8D.106.已知把函数()3sin cos 34f x x x π⎛⎫=+− ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()()1214g x g x ⋅=，若[]12,,x x ππ∈−，则12x x −的最大值为()A.πB.34π C.32π D.2π7.如图，在ABC △中，2AD DB =，3AE EC =，CD 与BE 交于F ，AF xAB yAC =+，则(),x y 为( )A.11,32⎛⎫⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫− ⎪⎝⎭C.11,23⎛⎫− ⎪⎝⎭D.11,23⎛⎫⎪⎝⎭8.如图ABCDEF 为五面体，其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，3332AB EF AD ===，ADE △和BCF △都是正三角形，则该五面体的体积为( )A.723B.423 C.2D.3229.x 是12100,,,x x x 的平均数，a 是1240,,,x x x 的平均数，b 是4142100,,,x x x 的平均数，则下列各式正确的是( )A.4060100a bx +=B.6040100a bx +=C.x a b =+D.2a bx +=10.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且{},1,2,3,4a b ∈，若1ab ≤，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.38B.58C.316D.51611.在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，且3AB BD DA ===，3CD =，则三棱锥A BCD −的外接球的表面积为( )A.154πB.15πC.32πD.6π12.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC △的面积，且()222S a b c =−−，则222b c bc+的取值范围为( )A.4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭B.4322,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.5922,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.)22,⎡+∞⎣二、多选题(共3个小题，每小题3分，共9分，每小题答案不全得1分，多选或错选得0分)13.下列说法正确的是( )A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1；B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5；C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；D.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则121021,21,,21x x x −−−的标准差为1614.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，且()()02f f ππ⎛⎫==−− ⎪⎝⎭.则ω的可能取值为( )A.23B.2C.13D.115.已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC △沿AC 翻折，下列说法正确的是( )A.在翻折的过程中，直线AD ，BC 所成角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.在翻折的过程中，三棱锥D ABC −体积最大值为38aC.在翻折过程中，三棱锥D ABC −表面积最大时，其内切球表面积为()21483a π−D.在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D '，E 为棱CD 上的一个动点，ED '的最小值为34a 三、填空题(共5个题，每小题3分，共15分)16.若()()211i z a a =−+−为纯虚数，其中a ∈R ，则2i1ia a ++等于__________.17.设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4xf x =，则()520212f f ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭__________. 18.如图，已知二面角A BC D −−，2AB =，2BC =，3CD =，7AD =，且AB BC ⊥，CD BC ⊥，则二面角A BC D −−的余弦值为__________. 19.函数()f x 的定义域为D ，若满足：(1)()f x 在D 内是单调函数；(2)存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“梦想函数”.若函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“梦想函数”，则t 的取值范围是______________.20.在ABC △中，222sin sin sin sin sin B C A B C +−=，点D 在线段BC 上，且3BC BD =，2AD =，则BAC ∠______；ABC △面积的最大值为______.四、解答题(共5个大题，每题8分，共40分)21.某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg )，并绘制频率分布直方图如下：(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)22.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求： (1)从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？23.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos bA B C a+=−. (1)求角A ；(2)若4b c −=，ABC △的外接圆半径为ABC △的边BC 上的高.24.如图，已知四棱锥P ABCE −中，PA ⊥平面ABCE ，平面PAB ⊥平面PBC ，且1AB =，2BC =，BE =，点A 在平面PCE 内的射影恰为PCE △的重心G .(1)证明：BC AB ⊥；(2)求直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值.25.如图，矩形ABCD 中，AB =4BC =，点M ，N 分别在线段AB ，CD (含端点)上，P 为AD 的中点，PM PN ⊥，设APM α∠=.(1)求角α的取值范围；(2)求出PMN △的周长l 关于角α的函数解析式()f a ，并求PMN △的周长l 的最小值及此时α的值.长郡中学新高二入学考试数学模拟数学参考答案一、选择题二、选择题三、填空题16.i17.2−18.319.1,04⎛⎫− ⎪⎝⎭20.3π 2四、解答题21.【解析】(1)如图示：区间[)80,90频率最大，所以众数为85，平均数为：()650.0025750.01850.04950.0351050.011150.002510x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯89.75=.(2)日销售量[)60,90的频率为0.5250.8<，日销量[)60,100的频率为0.8750.8>， 故所求的量位于[)90,100.由0.80.0250.10.40.275=---，得0.27590980.035+≈， 故每天应该进98千克苹果.22.【解析】(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知，得()()()()()()()()()()59231P A B P A P B P B C P B P C P A B C P A P B P C ⎧+=+=⎪⎪⎪+=+=⎨⎪++=++=⎪⎪⎩，解得()()()132949P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13，29，49. (2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4， 从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个， 于是，两个球同色的概率为31653618++=， 则两个球颜色不相同的概率是51311818−=. 23.【解析】(1)由()sin cos bA B C a=−＋， 得sin cos bC C a+=，即sin cos a C a C b +=， 由正弦定理，得sin sin sin cos sin sin cos sin cos A C A C B A C C A +==+， 即sin sin sin cos A C C A =. 又sin 0C ≠，所以sin cos A A =， 即tan 1A =. 又0A π<<， 所以4A π=.(2)由正弦定理得64a π==，由余弦定理得()(22222cos 236a b c bc A b c bc =+−=−+=，所以(102bc =+，设ABC △的BC 边上的高为h ， 因为ABC △的面积11sin 22S bc A ah ==， 所以ABC △的边BC 上的高()()21022521sin 263bc Ah a+⨯+===.24.【解析】(1)过A 作AD PB ⊥于D ，因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB 平面PBC PB =，AD ⊂平面PAB ，∴AD ⊥平面PBC ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴AD BC ⊥.又PA ⊥平面ABCE ，BC ⊂平面ABCE ， ∴PA BC ⊥， 又PAAD A =，∴BC ⊥平面PAB ， ∵AB ⊂平面PAB ， ∴BC AB ⊥.(2)连结PG 并延长交CE 于M ，连结AM ，以B 为原点，分别以BA ，BC 所在的直线为x ，y 轴，以过B 且与平面ABCE 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0B ，()1,0,0A ，()0,2,0C ，设(),,0E x y ，∵AG ⊥平面PCE ，CE ⊂平面PCE ， ∴AG CE ⊥，同理PA CE ⊥， 又AGPA A =，∴CE 平面PAM ， ∴CE AM ⊥， 又G 是PCE △的重心， ∴M 是CE 的中点，∴AC AE =，由(1)知，BC AB ⊥，∴5AC AE ==，(),,0BE x y =，()1,,0AE x y =−，∴()2222815x y x y ⎧+=⎪⎨−+=⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩， ∴()2,2,0E ，设AP a =，则()1,0,P a ，故41,,33a G ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴40,,33a AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21,,33a CG ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， ∴280099a AG GC⋅=−+=，∴a = ∴(P ，∴()1,0,22BP =，()0,2,0BC =，2221,,33CG ⎛⎫=−⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0220200BP n x z y BC n ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，令1z =，则()22,0,1n =−， 设直线CG与平面PBC所成角为θ，则22sin 63CG nCG nθ−⋅===⋅，故直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值为63. 25.【解析】(1)由题意，当点M 位于点B 时，角α取最大值，此时tan α=因为02πα<<，所以3πα=，当点N 位于点C 时，DPN ∠取得最大值，角α取最小值， 由对称性知此时3DPN π∠=，所以min 236πππα=−=，所以角α的取值范围是,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)在直角PAM △中，cos PAPMα=且2PA =， 所以2cos PM α=，在直角PDN △中，cos cos sin 2PD PDN PN παα⎛⎫∠=−== ⎪⎝⎭且2PD =， 所以2sin PN α=， 在PMN △中，由勾股定理得2222222444cos sin cos sin MN PM PN αααα=+=+=， 因为,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以sin 0α>，cos 0α>， 所以2cos sin MN αα=，所以()()21sin cos 222sin cos sin cos sin cos fααααααααα++=++=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得57,41212πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以4t πα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭⎣，又由21sin cos 2t αα−=，可得()()2214112t f t t t +==−−， 因为函数()f t在区间12+⎣上单调递减，当t =时，())min 41f t ==，此时4t πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭4πα=，所以当4πα=时，PMN △的周长l取得最小值，最小值为)41+.。
【全国百强校】湖南省长郡中学2018-2019学年高二学业水平模拟考试(三)数学答案
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湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题及答案
2024—2025第一次阶段性检测数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数3i1iz +=+，则z =（）AB C ．3D ．52．无论λ为何值，直线()()()234210x y λλλ++++-=过定点（）A ．()2,2-B ．()2,2--C ．()1,1--D ．()1,1-3．在平行四边形ABCD 中，()1,2,3A -，()4,5,6B -，()0,1,2C ，则点D 的坐标为（）A ．()5,6,1--B ．()5,8,5-C ．()5,6,1-D ．()5,8,5--4．已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A ．79-B ．79C ．29-D ．295．直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（）A ．4210x y --=B ．4210x y -+=C ．4210x y ++=D ．4210x y +-=6．已知椭圆C ：()22104x y m m +=>，则m =（）A ．B ．C ．8或2D ．87．已知实数,x y 满足()22203y x x x =-+≤≤，则41y x ++的范围是（）A ．[]2,6B ．(][),26,-∞+∞ C ．92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]9,2,4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭8．已知平面上一点(5,0)M 若直线l 上存在点P 使||4PM =则称该直线为点(5,0)M 的“相关直线”，下列直线中不是点(5,0)M 的“相关直线”的是（）A ．3y x =-B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知直线l ：20x y λλ+--=，圆C ：221x y +=，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．若圆C 关于直线l 对称，则2λ=-B ．点O 到直线lC ．存在两个不同的实数λ，使得直线l 与圆C 相切D ．存在两个不同的实数λ，使得圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1210．已知圆1F ：()()222328x y m m ++=≤≤与圆2F ：()()222310x y m -+=-的一个交点为M ，动点M 的轨迹是曲线C ，则下列说法正确的是（）A ．曲线C 的方程为22110064x y +=B ．曲线C 的方程为2212516x y +=C ．过点1F 且垂直于x 轴的直线与曲线C 相交所得弦长为325D ．曲线C 上的点到直线4510x ++=11．在边长为2的正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（）A ．AM 与DB ''所成角的余弦值为10B ．过A ，M ，D ¢三点的正方体ABCD A BCD -''''的截面面积为3C ．当P 在线段A C '上运动时，PB PM '+的最小值为3D ．若Q 为正方体表面BCC B ''上的一个动点，E ，F 分别为AC '的三等分点，则QE QF +的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为1E ，2E ，则12E E =13．直线()243410a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是.14．如图，设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若222PF F Q = ，则直线1PF 的斜率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m +--+=．求：(1)m 取何值时两圆外切？(2)当45m =时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．16．在ΔA 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1）求sin sin CA的值（2）若1cos ,24B b ==，求ΔA 的面积.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，BC AD ∥，4BC =，点M 为PC 的中点，点E 为棱BC 上的动点.(1)求证：//DM 平面PAB ；(2)是否存在点E ，使得平面PDE 与平面ADE 所成角的余弦值为23若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由.18．某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.(1)由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数；(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率；(3)若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s .记总的样本平均数为w ，样本方差为2s ，证明：()(){}22222121s m s x w n s y w m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+.19．已知动直线l 与椭圆C:22132x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y 两个不同点，且OPQ ∆的面积OPQ S ∆,其中O 为坐标原点.(1)证明2212x x +和2212y y +均为定值;(2)设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；(3)椭圆C 上是否存在点D ，E ，G ，使得2ODE ODG OEG S S S === 若存在，判断DEG △的形状；若不存在，请说明理由.1．B【分析】按照复数的除法运算求出复数z 的代数形式，再根据复数的模长公式求解即可.【详解】()()()()23i 1i 3i 33i i i 42i2i 1i 1i 1i 22z +-+-+--=====-++-.z ∴故选：B.2．A【分析】先化简直线分是否有λ两部分，再求交点得出定点.【详解】由()()()234210x y λλλ++++-=得：()()223420x y x y λ++++-=，由220,3420x y x y ++=⎧⎨+-=⎩得2,2,x y =-⎧⎨=⎩∴直线()()()234210x y λλλ++++-=恒过定点()2,2-.故选：A.3．A【分析】由AB DC =即可求解.【详解】设(),,D x y z ，则()5,7,3AB =- ，(),1,2DC x y z =---，又AB DC =，解得：5,6,1x y z ==-=-.即()5,6,1D --.故选：A.4．A【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以由11sin cos 26363πππαα⎛⎫⎛⎫+-=⇒-= ⎪⎝⎭⎝⎭，217cos(2)2cos ()1213699ππαα-=--=⨯-=-，故选：A 5．A【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=的对称点，代入直线2410x y --=中即可得到对称直线方程.【详解】设直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=对称点的坐标为(),P x y '，则0001022y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，整理可得：00x y y x =-⎧⎨=-⎩，2410y x ∴-+-=，即直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为：4210x y --=.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解.求解点(),M a b 关于直线y kx m =+的对称点(),M x y '的基本方法如下：①M 与M '连线与直线y kx m =+垂直，即1y bk x a-⋅=--；②MM '中点在直线y kx m =+上，即22y b x ak m ++=⋅+；③M 与M '到直线y kx m =+=上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点M '坐标.6．C【分析】分焦点在x 轴和y 轴上两种情况，由离心率得到方程，求出8m =或2m =.【详解】椭圆C ：()22104x y m m +=>的离心率为2，当椭圆焦点在x8m =，当椭圆焦点在y=2m =.故选：C.7．A 【分析】由41y x ++的几何意义表示斜率即可求解.【详解】41y x ++表示函数()22203y x x x =-+≤≤图象上的点与()1,4--的连线的斜率，结合图象可知，斜率分别过0,2与相切时取最大值和最小值，由0,2和()1,4--可求斜率6k =，设过()1,4--斜率为1k 的直线与()22203y x x x =-+≤≤图象相切，()141y k x +=+与()22203y x x x =-+≤≤联立可得：()211260x k x k -+-+=，由()()211Δ2460k k =+--=，可得12k =或10-（舍去）结合图象可知：所以41y x ++的范围是[]26,.故选：A.8．D【解析】分别计算点M 到四条直线的距离，结合点M 相关直线的定义得：当距离小于或等于4时，则称该直线为点M 的“相关直线”，利用点到直线距离公式即可得到答案．【详解】由题意，当M 到直线的距离小于或等于4时，则称该直线为点M 的“相关直线”A ，(5,0)M ，直线为3y x =-，所以点到直线的距离为：4d =，即点M 到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点P 使||4PM =成立，是点(5,0)M 的“相关直线”；B ，(5,0)M ，直线为2y =，所以点M 到直线的距离为24<，所以点M 到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点P 使||4PM =成立，是点(5,0)M 的“相关直线”；C ，(5,0)M ，直线为430x y -=，所以点到直线的距离为：4d =，所以点M 到直线的最小值距离等于4，所以直线上存在点P 使||4PM =成立，是点(5,0)M 的“相关直线”；D ，(5,0)M ，直线为210x y -+=，所以点到直线的距离为：4d =，即点M 到直线的最小值距离大于4，所以直线上不存在点P 使||4PM =成立，不是点(5,0)M 的“相关直线”．故选：D ．【点睛】本题解决成立问题的关键是正确理解新定义，结合点到直线的距离公式解决问题，新定义问题这是近几年高考命题的方向．属于中档题.9．ABD【分析】先确定直线过定点()2,1，圆心()0,0C ，半径1r =，再逐项判断即可.【详解】直线l ：20x y λλ+--=过定点()2,1P ，圆C ：221x y +=，圆心()0,0C ，半径1r =，对选项A ：直线过圆心，则20λ--=，解得2λ=-，故选项A 正确；对选项B ：点O 到直线l 的距离的最大值为PC B 正确；对选项C ：直线l 与圆C 相切，则圆心到直线的距离1d ==，解得34λ=-，故选项C 错误；对选项D ：当圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为12时，圆心C 到直线l 的距离12d ==，解得83λ-=，故选项D 正确.故选:ABD.10．BCD【分析】对于A ，B 由椭圆的定义即可判断，对于C ，由通径的概念即可判断，对于D ，将问题转换成求与4510x ++=平行，且与椭圆相切的直线即可判断.【详解】对A 选项与B 选项，由题意知圆1F 与圆2F 交于点M ，则1MF m =，210MF m =-，所以1212106MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，且210a =，26c =，即5a =，3c =，所以4b =，所以曲线C 的方程为2212516x y +=，故A 选项错误，B 选项正确；对C 选项，通径的长度为1632255⨯=，故C 选项正确；对D 选项，设与直线4510x ++=平行的直线l 为40x t ++=，51t ≠，将40x t ++=与2212516x y +=联立得221004000y t ++-=，令()22Δ3004004000t t =--=，解得40t =±，此时直线l 与椭圆相切，当40t =-时，切点到直线4510x ++=的距离最大，直线l 的方程为4400x +-==故曲线C 上的点到直线4510x ++=D 选项正确.故选：BCD.11．AC【分析】建系，由异面直线夹角向量法即可判断A,取CC '的中点N ，连接MN ，D N '，AD '，确定MND A '即为截面即可判断B ，由对称性得到PB PM PD PM +=+''进而可判断C,设点F 关于平面BCC B ''的对称点为F '，连接EF '，可判断当EF '与平面BCC B ''的交点为Q 时，QE QF QE QF +=+'最小，即可判断D.【详解】以A '为坐标原点，A D ''，A B ''，A A '所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2A ，()1,2,2M ，()2,0,0D '，()0,2,0B '，()2,2,0C '，∴()1,2,0AM =，()2,2,0D B ''=- ，∴cos ,10AM D B AM D B AM D B ⋅='⋅''='''，∴AM 与D B ''所成角的余弦值为10，故A 正确；取CC '的中点N ，连接MN ，D N '，AD '，则MN BC AD ''∥∥，故梯形MND A '为过点A ，M ，D ¢的该正方体的截面，∵MN =AD '=AM D N ='=∴梯形MND A '∴梯形MND A '的面积为19222⨯⨯=，故B 错误；由对称性可知，PB PD '='，故PB PM PD PM +=+''，又由于A '，B ，C ，D ¢四点共面，故3PB PM PD PM D M +=+≥''='，当P 为A C '与D M '的交点时等号成立，故C 正确，设点F 关于平面BCC B ''的对称点为F '，连接EF '，当EF '与平面BCC B ''的交点为Q 时，QE QF QE QF +=+'最小，过点E 作AD '的平行线，过点F 作AB 的平行线，两者交于点G，此时133EG AD =='，2G F '=，3EF ='，故D 错误.故选:AC.12．1000【分析】首先根据题意得到12lg 4.8 1.59lg 4.8 1.57E E =+⨯⎧⎨=+⨯⎩，再作差即可得到答案.【详解】由题知：11112222lg 4.8 1.59lg lg 3lg 31000lg 4.8 1.57E E EE E E E E =+⨯⎧⇒-=⇒=⇒=⎨=+⨯⎩.故答案为：100013．π2π,33⎡⎤⎢⎣⎦【分析】分0α=，0α>，0α<讨论即可.【详解】设直线()243410a x ay +-+=的倾斜角为α，当0α=时，直线为310x +=，π2α=；当0α>时，2433tan 44a k a a a α+===+≥，当且仅当34a a =时取等号，∴ππ,32α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当0α<时，24333tan 2444a k a a a a a α+⎛⎫===+=--+≤-- ⎪-⎝⎭当且仅当34a a -=-时取等号，∴π2π,23α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上可得π2π,33α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．12##0.5【分析】连接1PF ，1QF ，利用圆的性质、椭圆的定义，结合勾股定理列式求解即得.【详解】连接1PF ，1QF ，由点P 在以12F F 为直径的圆上，故12PF PF ⊥.又P ，Q 在椭圆上，故有122PF PF a +=，122QF QF a +=.设2QF m =，则22PF m =，122PF a m =-，12QF a m =-，3PQ m =.在1Rt PQF 中，由勾股定理得()()()2223222m a m a m +-=-，解得3a m =，于是B 2=23，143a PF =，故1121tan 2PF k PF F ∠==.故答案为：1215．(1)25+(2)43230x y +-=；【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可；（2）根据两圆公共弦的性质，结合点到直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可.【详解】（1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：()()2222(1)(3)11,(5)66161x y x y m m -+-=-+-=-<，则圆心分别为()()1,3,5,6M N ，25m ==+（2）当45m =4=，则44<<则两圆的公共弦所在直线的方程为：()22222611012450x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，圆心()1,3M 到直线43230x y +-=的距离2d =，所以公共弦长l =16．（1）sin 2sin C A =（2）4【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案．（2）由（1）知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a =，sin B =，从而计算出面积．【详解】（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===，所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A =所以sin 2sin C A=（2）由（1）知sin 2sin c C a A==，即2c a =，又因为2b =，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin B =，故ΔA 的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．17．(1)证明见解析(2)存在，1BE =或3BE =【分析】（1）根据所给条件可建立空间直角坐标系，由平面向量基本定理可证明向量DM与平面PAB 共面，从而证明结果；（2）假设存在点E ，空间向量法计算平面PDE 与平面ADE 所成角的余弦值为23，求解E 点坐标即可.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则()0,0,2P ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,4,0C ，因为点M 为PC 中点，所以()1,2,1M ，()1,0,1DM =，又()0,0,2AP = ，()2,0,0AB =，所以1122DM AP AB =+ ，所以DM ，,AP ，AB为共面向量，则在平面PAB 内存在直线l 与平面PAB 外的直线DM 平行，所以//DM 平面PAB .（2）设()2,,0E a ，04a ≤≤，()0,2,2DP =- ，()2,2,0DE a =-，依题意可知，平面ADE 的法向量为()0,0,2AP =，设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =，则()220220DP n y z DE n x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1z =，则2,1,12a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ .因为平面PDE 与平面ADE 所成角的余弦值为23，所以2cos ,3AP n AP n AP n ⋅==⋅23=，解得1a =或3a =，所以存在点E 使得平面PDE 与平面ADE 所成角的余弦值为23，此时1BE =或3BE =.18．(1)0.03t =，85(2)35(3)证明见解析【分析】（1）首先根据频率和为1求出t ，再根据百分数公式即可得到答案；（2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可；（3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可.【详解】（1）由题意得：()100.010.0150.020.0251t ⨯++++=，解得0.03t =，设第60百分位数为x ，则()0.01100.015100.02100.03800.6x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得85x =，即第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在[)70,80的有85220⨯=人，设为A ，B ，在80,90的有125320⨯=人，设为a ，b ，C.则样本空间为()()()()()()()()()(){}Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c =，()Ω10n =.设事件M =“两人分别来自[)70,80和80,90”，则()()()()()(){},,,,,,,,,,,M A a A b A c B a B b B c =，()6n M =，因此()()()63Ω105n M P M n ===，所以两人得分分别来自[)70,80和80,90的概率为35.（3）由题得①mx ny m nw x y m n m n m n+==++++；②22222111111(()()(m n m n i j i ji j i j s x w y w x x x w y y y w m n m n ====⎡⎤⎡⎤=-+-=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑11221()2()()()i i i i m mx x x x x w m x w m n ==⎡=-+--+-+⎢+⎣∑∑1122()2()()()j j jj nn yy y y y w n y w ==⎤-+--+-⎥⎦∑∑又11()()=()()=()()0m mi i i i x x x w x x w mx x w mx x w mx x w ==--------=∑∑同理1(y )()=0nj j y y w =--∑，∴22222111()()()()m n i ji j s x x m x w y y n y w m n ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑2222121=(++(ms m x w ns n y w m n ⎡⎤+--⎣⎦+(){}2222121(m s x w n s y w m n⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+.得证.19．(1)2222121232x x y y +=+=，；(2)52(3)椭圆C 上不存在三点D E G 、、，使得ODE ODG OEG S S S ===【分析】（1）根据已知设出直线l 的方程，利用弦长公式求出|PQ |的长，利用点到直线的距离公式求点O 到直线l 的距离，根据三角形面积公式，即可求得2212x x +和2212y y +均为定值；（2）由（I ）可求线段PQ 的中点为M ，代入|OM |•|PQ |并利用基本不等式求最值；（3）假设存在1122()(),()D u v E x y G x y ，，，，，满足2ODE ODG OEG S S S ===，由（1）得2213u x +=，2223u x +=，22123x x +=，2212v y +=，2222v y +=，22122y y +=，从而得到D E G 、、的坐标，可以求出DE DG EG 、、方程，从而得出结论.【详解】（1）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以1212x x y y ==-，∵11()P x y ，在椭圆上∴2211132x y +=①又∵OPQ S = ，∴112x y =②由①②得12x =，11y =．此时2222121232x x y y +=+=，；（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，，将其代入22132x y +=得()()222326320kx kmx m +++-=故()()222236123220k m k m ∆=-+-＞即2232k m +>又 122632km x x k +=-+，()21223232m x x k -=+∴PQ ==∵点O 到直线l 的距离为d =∴OPQ S又 2OPQ S =整理得22322k m +=此时()2221212122x x x x x x +=+-()2222326=()233232m km k k ---⨯=++()()()222222121212222y 3342333x x x x y +=-+-=-+=综上所述2222121232x x y y +=+=，．结论成立．（2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由（1）知12OM x ==，122PQ y ==因此OM PQ ⋅=（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，由（1）知221212123321,m 22222x x y y x x k k m k m m m +++-+=-=+==2222212122222916211||322442x x y y k m OM m m m m ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()22222222224322211||12223k m m PQ km m k +--⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭+所以22222211111||||322322OM PQ m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222211322524m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭≤=5||||2OM PQ ⋅≤．当且仅当221132m m-=+，即m =综合（1）（2）得||||OM PQ ⋅的最大值为52.（3）椭圆C 上不存在三点D E G 、、，使得ODE ODG OEG S S S ===证明：假设存在1122()(),()D u v E x y G x y ，，，，，满足ODE ODG OEG S S S ===由（1）得2213u x +=，2223u x +=，22123x x +=，2212v y +=，2222v y +=，22122y y +=解得：2221232u x x ===，222121v y y ===.因此12u x x ，，从集合22⎨⎬⎪⎪⎩⎭中选取，12v y y ，，从集合{}1,1-中选取；因此D E G 、、只能从点集(,1)((1)(1)2222⎧⎫⎪⎪----⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，，这四个点选取三个不同的点，而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与2ODE ODG OEG S S S === 矛盾.所以椭圆C 上不存在三点D E G 、、，使得2ODE ODG OEG S S S ===【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．（3）考查学生观察、推理以及创造性地分析问题解决问题的能力.。
2025届湖南长郡中学高考考前提分数学仿真卷含解析
2025届湖南长郡中学高考考前提分数学仿真卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56π B ．34π C ．23π D ．2π 2．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．231,3⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ C ．)3,⎡+∞⎣ D ．(1,3⎤⎦ 3．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A = B ．A B B ⋃= C ．()U A B =∅ D ．U B A ⊆4．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）A ．764B ．1132C ．5764D ．11165．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥6．设双曲线22221x y a b -=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A ．(1,0)(0,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(2,0)(0,2)- D ．(,2)(2,)-∞-+∞7．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．MN N = B ．()U M N =∅ C ．M N U = D ．()U M N ⊆8．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ）A ．29B ．2932-C ．1923-D ．5 9．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A ．16B ．17C ．18D ．1910．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件 11．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．84二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
人教版各省市-湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题(解析版)
2，
∴
������
=
1
2，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得
出．
本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
9. 命题“数列{������������}前 n 项和是������������ = ������������2 + ������������的形式命题，逆否命
>
0，
∴ ������在第二象限，
故选：B． 将复数的分子分母同乘以1 ‒ 2������，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
2. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方
⃗ ⊥ ⃗ ⃗,⃗ ③已知������ ������，则������ ������与任何向量不构成空间的一个基底；
{⃗,⃗,⃗}
⃗,⃗
⃗ =⃗+⃗
④已知 ������ ������ ������ 是空间的一个基底，则基向量������ ������可以与向量������ ������ ������构成空间另一个基底．
7. 给出下列命题： ⃗ ⊥ ⃗ ⃗ ⋅ (⃗ + ⃗) + ⃗ (⃗ ‒ ⃗) = ⃗ ⋅ ⃗
①已知������ ������，则������ ������ ������ ������ ⋅ ������ ������ ������ ������；
⃗, ⃗ ,⃗ ②������、B、M、N 为空间四点，若������������ ������������ ������������不构成空间的一个基底，则 A、B、M、N 共面；
湖南省长郡中学2022-2023学年高二下学期普通高中学业水平合格性考试模拟试题(含解析)
湖南省长郡中学2022-2023学年高二下学期普通高中学业水平合格性考试模拟试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、阅读理解Do you know what to do when there is an emergency? By calling the police, you can protect yourself and those around you.Call the police in all of the following emergencies:◆ A crime, such as a theft, especially if it is still in progress.◆ A car accident, especially if someone is injured.◆ Domestic violence, such as a child being mistreated.◆ Anything else that seems like an emergency.You may also call the police when you see something suspicious(可疑的)in your neighborhood:◆ Someone you don’t know is frequently walking around in your neighborhood. This could be a sign that the person is trying to break into a house.◆ Someone is trying to open the doors of a car. This could be a sign that the person is trying to steal the car.When you see something suspicious, do not suppose someone else has already called the police. People often hesitate to call the police for fear of danger. However, the police want to help prevent crime.What should you do when you call the police?◆Dial 911 (the U.S. emergency number; the number varies from one country to another—in China, you dial 110 to call the police). Stay calm when calling and give your name, address and phone number. Then, tell the person why you are calling (What happened? Where did it happen? When did it happen? Is it still in progress?). Follow any instructions you are given. For example, the dispatcher (调度员) might say, “Stay on the line,” or “Leave the building.”◆ If you dial the emergency number by mistake.do not hang up. Doing so could make the dispatcher think an emergency really exists. Instead，just tell the person that you called by mistake.Most police departments have a communication center. The communication center staffreach police officers by radio. Police officers carry headsets. like earphones, to stay in touch with the communication center.1．When calling the police, you DON’T need to give ______ to the dispatcher.A．your name B．your phone numberC．your ID card number D．some details of the emergency 2．What should you do if you dial the emergency number by mistake?A．Power off your smartphone.B．Hang up your phone at once.C．Tell the dispatcher you called by mistake.D．Go to a police station to explain your mistake.3．What do the communication center staff in police departments do?A．Monitor police officers.B．Answer emergency calls.C．Tell people what to do in an emergency.D．Reach police officers when there is an emergency.4．What is the purpose of the passage?A．To tell people when and how to call the police.B．To introduce a police officer’s general duties.C．To share the author’s experience of calling the police.D．To thank the police for trying to prevent crimes.Anderson Carey is 12 years old. One day, he saw a magazine article that interested him.It was about prosthetics(假肢), which can be used to replace a hand, arm or leg.The article said people are using 3-D printers to build these devices. Anderson thought this was very cool. He wanted to learn more about it. So Anderson talked to his science teacher, Dr. Holly Martin. He asked if they could build a prosthetic together. The timing(时机的把握) was perfect. Martin had just heard about a group called Enabling the Future. This group asks volunteers to help to build robotic arms and legs. The volunteers build them for people who share their stories on the website.Anderson and Martin looked through the website together. They decided to help a man from the country of Romania. His name is Cornel Crismaru, who lost his leg, hand and part of his arm.In February, Anderson and Martin got to work. Building the robotic arm was not easy. Anderson ran into some problems along the way. He had hoped to use a 3-D Printer at hisschool. One of the pieces for the arm was bigger than the size of the printer, though.Soon Anderson had an idea to solve this problem. He reached out to a 3-D printing company in Woodstock, Georgia. The company agreed to help. Anderson and Martin could use their big 3-D printers. After that, Anderson worked on the arm for about three months.Anderson and Martin sent the arm to Crismaru in May. In August, they received a notice. It is from Crismaru’s son. He thanked Anderson and Martin for their help.Martin said she hopes children and grown-ups who hear about Andersons projects will realize that it may be hard to change the world, but they can start with small acts. Some of these can help a person in a huge way.5．Anderson talked to his science teacher about_______.A．starting a website together B．buying a 3-D printerC．building a prosthetic together D．studying robots6．Anderson and Dr. Martin learned from the website that Crismaru______.A．lost some body parts B．wanted to be a volunteerC．was homeless D．was interested in robots7．How did Anderson solve his problem?A．He made a new 3-D printer.B．Hе took Dr.Martin’s advice.C．He worked together with his school.D．He got help from a 3-D printing company.8．What can we learn from the text?A．All roads lead to Rome.B．Failure is the mother of success. C．Those who help others help themselves.D．Small acts make a big difference.Have you ever wondered what wild animals do when no one is watching? Scientists have been able to record the “private” moments of wildlife with leading-edge technology. Low-cost, dependable and small modern cameras are of big help.Cameras placed in hard-to-reach places have taken videos of everything from small desert cats to later snow-loving felines (猫科动物) in the northern Rocky Mountains. These cameras are important tools to learn new information on wildlife.Some videos help scientists see the effects of climate change. For example, the desert animal javelina (矛牙野猪) and the tree-loving coatimundi (南美浣熊) have been caught on cameras north of their normal home. This could mean global warming is enlarging their二、其他下面文章中有3处需要添加小标题。
2019年湖南省普通高中2018-2019学年高二下学期学业水平考试模拟试卷(二)数学试题(pdf版含答案)
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湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．命题“任意x ∈R ，2240x x -+≤”的否定为（ ） A ．任意x ∈R ，2240x x -+≥ B ．存在0x ∈R ，20240x x -+> C ．任意x ∉R ，2240x x -+≥D ．存在0x ∉R ，20240x x -+> 2．已知{}|43A x x =-≤≤，(){}|lg 10B x x =->，则A B =I （ ） A ．{}|42x x -<≤ B ．{}4|2x x -≤≤ C ．{}|23<<x x D ．{}|23x x <≤3．已知3i1iz +=-，则1z +=（ ）A ．2B ．C ．4D ．4．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数；且在(],0-∞上单调递增，若对于任意的x ∈R ，不等式()()21f ax f x >+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,2-D ．()(),22,∞∞--⋃+5．已知π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()2tan 5αβ+=，则πtan 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （ ）A ．322B ．1318C ．16D ．13226．若函数()e 1xf x m =-+有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．()1,1-C ．()0,1D ．()1,0-7．如图，圆锥底面半径为3，母线12PA =，23AB AP =u u u r u u u r，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，最短路线长度为（ ）A ．B ．16C ．D ．128．在ABC V 中，AC =O 是ABC V 的外心，M 为BC 的中点，8AB AO ⋅=u u u r u u u r，N 是直线OM 上异于M 、O 的任意一点，则AN BC ⋅=uuu r uu u r（ ）A ．3B ．6C ．7D ．9二、多选题9．已知事件A ，B 发生的概率分别为1()3P A =，1()6P B =，则（ ）A ．若()19P AB =，则事件A 与B 相互独立B ．若A 与B 相互独立，则4()9P A B += C ．若A 与B 互斥，则4()9P A B +=D ．若B 发生时A 一定发生，则1()3P AB =10．()(),1,1,1a b λ==-r r ，若a r 在b r 上的投影向量为b r，则（ ）A ．3λ=B ．//a b r rC ．()a ab ⊥-r r r D ．a b -=r r11．已知1,1x y >>，且4xy =，则（ ）A ．45x y ≤+<B ．220log log 1x y <⋅≤C ．2log y x 的最大值为2D ．21log log 2x x y ≤+<三、填空题12．已知函数()()3,02,0x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．13．一组数据42，38，45，43，41，47，44，46的第75百分位数是． 14．直三棱柱 ABC A B C -₁₁₁的各顶点都在同一球面上，若 2π123AB AC AA BAC ===∠=，₁，，则此球的表面积等于.四、解答题15．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==． (1)求ABC V 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ．16．已知函数π()cos()1,()sin2224x x f x g x x =++=.(1)解不等式()1f x ≥；(2)若()()mf x g x ≤对任意的π[0,]4x ∈恒成立，求m 的取值范围.17．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30,ACD E ∠=o 为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.(1)证明：PC //平面BEF ；(2)若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45o ，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值.18．已知函数()f x 满足：x ∀∈R ，1(3)()2f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()f x x x m =--+，函数()1)xg x =-．(1)求实数m 的值；(2)若(0,3]x ∈，且()()0g x f x ->，求x 的取值范围；(3)已知22()3h x x x λλ=-+-+，其中[0,1]x ∈，是否存在实数λ，使得(())(())g h x f h x >恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．19．设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001?··205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ; （2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉; （3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.。
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期入学考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．若222x y +>，则1x >或1y >的否命题是（ ） A ．若222x y +<，则1x ≤或1y ≤ B ．若222x y +<，则1x ≤且1y ≤ C ．若222x y +<，则1x <或1y < D ．若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤【答案】D【解析】将原命题的条件和结论都否定可得出其否命题，进而可得出结论. 【详解】由题意可知，命题“若222x y +>，则1x >或1y >”的否命题是“若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤”.故选：D. 【点睛】本题考查原命题的否命题的改写，但需注意“p q ∨”的否定为“()()p q ⌝∧⌝”，属于基础题.2．在复平面内，复数(1)(1)z a a i =-++（a R ∈，i 为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ） A ．1a ≥- B ．1a >-C ．1a ≤-D ．1a <-【答案】D【解析】试题分析：依题意可得101{,{,1010a a a a ->>+<+<即解得1a <-，故选D.【考点】复数的概念.3．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ） A ．23B ．32C ．23-D ．32-【答案】A【解析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列方程组求解即得. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .101010,70a S ==Q ，1191010910702a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩解得23d =. 故选：A . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 4．设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．13B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：2·,,6,3k k Z k ππωω=∈∴=又0ω>，所以当1k =时，ω的最小值是6，故选C. 【考点】正弦函数的性质.5．已知x y 、满足2213xy +=，则2432u x y x y =+-+--的取值范围为（ ）A ．[]112， B ．[]06，C ．[]012， D ．[]113， 【答案】D【解析】由题意，令,sin x y αα==，所以2sin )4x y αααθ+=+=+<， 所以2442x y x y +-=--，因为22sin )3x y αααβ+=+=+<，所以3232x y x y --=--所以243242373()u x y x y x y x y x y =+-+--=----+=-+07sin )76sin(60)ααα=-+=-+ 所以113u ≤≤，故选D.6．已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，则OM u u u u r 的取值范围是（ ） A ．[)0,3 B ．()0,22C ．)22,3⎡⎣D ．(]0,4 【答案】B【解析】采用数形结合，通过延长1F M 结合角平分线以及10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，利用中位线定理以及椭圆的定义，得到2212242OM a PF PF =-=-u u u u r u u u u r u u u u r，然后根据2PF 的范围，可得结果. 【详解】 如图，延长1F M 交2PF 的延长线于点G ，∵10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，∴1FM MP ⊥u u u u r u u u r . 又MP 为12F PF ∠的平分线，∴1PF PG =u u u r u u u r ，且M 为1F G 的中点.∵O 为12F F 的中点，∴212OM F G =u u u u r u u u u r.∵2212F G PG PF PF PF =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， ∴2212242OM a PF PF =-=-u u u u r u u u u r u u u u r ，∵2422422PF -<<+u u u u r ，且24PF ≠u u u u r，∴(0,22OM ∈u u u u r.故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的应用，属中档题.7．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2670，则判断框中的条件可以为（ ）A ．5?i <B ．6?i <C ．7?i <D ．8?i <【答案】B【解析】阅读流程图，程序运行如下：第一次循环：1,2,12S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第二次循环：4,6,13S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第三次循环：18,21,14S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第四次循环：84,88,15S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第五次循环：440,445,16S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第六次循环：2670S S i =⨯=；由题意可知，此时程序应跳出循环，则判断框中的条件可以为6?i < 本题选择B 选项.点睛：一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．8．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( )A ．35 B ．925 C ．1625D ．25【答案】B【解析】PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π-16π925π25=,故选B.9．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．203C ．263D ．8【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥， 则12111202242223323V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B. 【考点】三视图，几何体的体积10．已知函数224log ,02(){1512,22x x f x x x x <<=-+≥，若存在实数a b c d 、、、，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ）A ．(16,21)B ．(16,24)C ．(17,21)D ．(18,24)【答案】B【解析】试题分析：如下图，由1,10ab c d =+=，得(10)(16,24)abcd cd c c ==-∈．【考点】函数与方程及函数图象的应用.11．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r，则三角形ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是【答案】B【解析】取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r代入计算，再利用向量的线性运算求解． 【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<， 由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r．12．设函数2()ln 2f x x x x =-+，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[(2),(2)]k a k b ++，则k 的取值范围是（ ）A．92ln2[1,]4+B．92ln2(1,)4+C．92ln2[1,]10+D．92ln2(1,]10+【答案】D【解析】判断f（x）的单调性得出f（x）＝k（x+2）在[12，+∞）上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围．【详解】f′（x）＝2x﹣lnx+1，f″（x）＝21x -，∴当x12≥时，f″（x）≥0，∴f′（x）在[12，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（12）＝2﹣ln12＞0，∴f（x）在[12，+∞）上单调递增，∵[a，b]⊆[12，+∞），∴f（x）在[a，b]上单调递增，∵f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，∴()() ()()22f a k af b k b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，∴方程f（x）＝k（x+2）在[12，+∞）上有两解a，b．作出y＝f（x）与直线y＝k（x+2）的函数图象，则两图象有两交点．若直线y＝k（x+2）过点（12，9142+ln2），则k92210ln+=，若直线y＝k（x+2）与y＝f（x）的图象相切，设切点为（x0，y0），则002000000(2)221y k x y x x lnx x lnx k=+⎧⎪=-+⎨⎪--=⎩，解得01x =，k ＝1． ∴1＜k 92210ln +≤， 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.二、填空题13．设{}1,0,1,3a ∈-，{}2,4b ∈-，则以(),a b 为坐标的点落在第四象限的概率为___________. 【答案】14【解析】根据分步计数原理求出以(),a b 为坐标的点的总个数，再求出落在第四象限的点的个数，根据古典概型的概率计算公式求出概率. 【详解】由题意{}1,0,1,3a ∈-,{}2,4b ∈-,则以(),a b 为坐标的点共有428⨯=个， 其中落在第四象限的点为()()1,2,3,2--，有2个， 所以落在第四象限的点的概率为2184P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题考查分步计数原理和古典概型，属于基础题.14．已知向量,a b rr 满足：13a =r ,1b =r ,512a b -≤r r ，则b r 在a r 上的投影的取值范围是 ． 【答案】5[,1]13【解析】试题分析：由13,1,512a b a b ==-≤r r r r，可得2(5)1692510144a b a b -=+-⋅≤r r r r ，整理得5a b ⋅≥rr ，根据则b r 在a r 上的投影长度为a b a⋅rr r513≥，而其投影肯定会不大于1b =r ，所以其范围为5[,1]13． 【考点】向量在另一个向量的方向上的投影的范围问题． 【考点】15．曲线sin y x =与直线,32x x ππ=-=及x 轴所围成的图形的面积是________．【答案】32【解析】试题分析：()()03223200033sin sin sin sin cos |cos |.2S xdx xdx xdx xdx x x ππππππ---=+=+=-+-=⎰⎰⎰⎰【考点】微积分基本定理的应用.【易错点晴】本题主要考查了利用微积分求平面图形的面积问题，属于基础题.解答本题的关键是结合正弦曲线准确表示出所求的面积，由于sin y x =在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象位于x 的下方，积分为负数，而在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象位于x 的上方，积分为正数，如果直接求,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的积分，会出现正负相消的情况，导致出错，所以应该分成两段来求解.16．如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(11)-，处标数字2，点(01)-，处标数字3，点(11)，--处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(01)，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．【答案】()2211n m n ++--【解析】试题分析：从横轴上的点开始点开始计数，从1开始计数第一周共9个格点，除了四个顶点外每一行第一列各有一个格点，外加一个延伸点，第二周从10开始计，除了四个顶点的四个格点外，每一行每一列有三个格点，外加一个延伸点共17个，拐弯向下到达横轴前的格点补开始点的上面以补足起始点所在列的个数，设周数为t ，由此其规律是后一周是前一周的格点数加上8(1)t ⨯-，各周的点数和为()98181t S t t =+-=+，每一行（或列）除了端点外的点数与周数的关系是21b t =-，由于12349172533S S S S ====，，，，22(10)1(21)3f f ==，，，，2(32)5f =，，()2(1)21f n n n ⋯+=+，，．1n m n m >∴≥-Q ，，∴当n m >时，()2()211f m n n m n =++--，．故答案为()2211n m n ++--．【考点】归纳推理．【思路点睛】本题考查归纳推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，求解本题的关键是从特殊数据下手，找出规律，总结出所要的表达式；本题在解答时，由图形，格点的连线呈周期性过横轴，研究每一周的格点数及每一行每一列格点数的变化，得出规律即可．三、解答题17．通过市场调查,得到某种产品的资金投入x (单位:万元)与获得的利润y (单位:万元)的数据,如表所示: 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 23569(1)画出数据对应的散点图;(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$; (3)现投入资金10万元,求获得利润的估计值为多少万元?参考公式：1122211ˆ()ˆ)(()nni i i ii i n ni ii i x x y y x y nxyax x xnx b y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【答案】（1）见解析；（2）$1.7 1.8y x =-；（3）15.2万元【解析】试题分析：(1)依次画出图中所对应的五个点，（2）根据上表提供数据，先求平均数和，然后根据所给的第二个公式，计算，和，代入公式求出以后，再根据回归直线过点，代入直线方程求，得到回归直线方程；（3）当时，代入回归直线方程，得到利润的预报值.试题解析：（1）（2）2345645x ++++==，2356955y ++++==122123334556695451.749162536516ni ii nii x y nxyb xnx ==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===++++-⨯-∑∑∴ 1.8a y bx =-=-，∴ 1.7.8ˆ1yx =- （3）当10x =（万元），ˆ15.2y=（万元） 【考点】1.散点图；2.回归直线方程.18．在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．【答案】(1) 21(1)n n n a n c c -=-+()n *∈N (2)见解析【解析】试题分析：（1）()2101111a c c ==-+，()22221a c c =-+，()232331a c c =-+可归纳猜测()211n n n a n c c-=-+；（2）根据数学归纳法证明原理，01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立．02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+只需证明当1n k =+时，()21111k k k a k cc ++⎡⎤=+-+⎣⎦即可..试题解析：(1) 由11a =，及()1121n n n a ca c n ++=++ ()*n N ∈得()22221321a ca c c c =+⋅=-+，()332221a ca c =+⨯+= ()()22321221c c c c ⎡⎤-++⨯+⎣⎦()23231c c =-+ 于是猜测: ()211n n n a n c c-=-+ ()*n N∈(2)下面用数学归纳法予以证明:01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立． 02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+那么，当1n k =+时， 由()1121k k k a ca ck ++=++ ()211k k c k c c -⎡⎤=-+⎣⎦()121k c k +++ ()212k k k k c c +=++ ()2111k k k c c +⎡⎤=+-+⎣⎦显然结论成立．由01、02知，对任何*n N ∈都有()211n n n a n c c-=-+ ()*n N∈19．已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-v v，且m n ⊥u v v． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角A,B,C 的对边，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．.【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3 ． 【解析】（1）由向量的数量积为0可得函数的解析式，然后根据正弦函数的单调区间可得所求．（2）由（1）及题意可得3A π=，然后由余弦定理和4b c +=可求得4bc =，最后根据三角形的面积公式可得所求． 【详解】 （1）∵，∴，，由，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴函数的递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由（1）得，∴，，，∴．在中，由余弦定理得，，∴，∴．【点睛】将三角函数的内容和解三角形的知识结合在一起考查是常见的题型，此类问题难度一般不大，属于中档题，解题时根据条件及要求逐步求解即可．对于解三角形和三角形面积结合的问题，一般要注意公式的变形和整体思想的运用，如利用()2222a b a b ab +=+-，将a b +和ab 作为整体求解，可提高解题的效率．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值； （2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值． 【答案】（1）1010；（2）3. 【解析】【详解】试题分析：（1）依题意，可以以G 点为原点，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，由向量的夹角公式即可求得两异面直线所成角的余弦值；（2）可设(0,,)F y z ，由和共线得到点F 坐标，求出其长度即可. 试题解析：（1）以G 点为原点，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(0,2,0),(0,0,4)C P ，故()()1,1,0,1,1,0,(0,2,4),E GE PC ==-u u u r u u u r∵，∴GE 与PC 所成角的余弦值为1010． （2）解：设(0,,)F y z ，则，∵，∴，即33(,,)(0,2,0)23022y z y -⋅=-=，∴32y =， 又，即3(0,,4)(0,2,4)2z λ-=-，∴1z=，故3 (0,,1)2F，，∴352352PFFC==【考点】空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.21．已知抛物线C的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c>到直线的距离为322．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线,PA PB，其中,A B为切点．(1) 求抛物线C的方程；(2) 当点()00,P x y为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3) 当点P在直线l上移动时，求AF BF⋅的最小值．【答案】(Ⅰ)24x y=(Ⅱ)00220x x y y--=(Ⅲ)92【解析】试题分析：（1）设拋物线C的方程为24x cy=，利用点到直线的距离,求出1c=,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线,PA PB的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线AB的方程；（3）由拋物线定义可知121,1AF y BF y=+=+，联立直线与抛物线方程,消去x,得到一个关于y的一元二次方程,由韦达定理求得1212,y y y y+的值,还有002x y=+,将AF BF⋅表示成y的二次函数的形式,再求出最值.试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线C 的方程为24x cy =2=结合0c >，解得1c =，所以拋物线C 的方程为24x y =.（2）拋物线C 的方程为24x y =，即214y x =，求导得12y x '=， 设()()1122,,,A x y B x y (其中221212,44x x y y ==)则切线,PA PB 的斜率分别为1211,22x x ， 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=，同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=， 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解， 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.（3）由拋物线定义可知121,1AF y BF y =+=+， 联立方程002220{4x x y y x y--==，消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=.由一元二次方程根与系数的关系可得2212001202,y y x y y y y +=-=，所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以2222000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭， 所以当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值,且取得最小值为92. 【考点】1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于0的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线,PA PB 的方程,得出直线AB 的方程;第三问先用抛物线定义把,AF BF 的值表示出来,联立直线AB 与抛物线方程,得到1212,y y y y +的值, 将AF BF ⋅表示成0y 的二次函数的形式,再求出最值.22．已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈. （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值 【答案】（1）()1,+∞；（2）2 【解析】试题分析：（1）由()10f =可求得2a =，求导后令()0f x '<解不等式可得单调递减区间．（2）构造函数()()()()211ln 112g x f x ax x ax a x =--=-+-+，则问题等价于()0g x <在()0,+∞上恒成立．当0a ≤时，求导可得()g x 在()0,+∞上单调递增，又()31202g a =-+>，故不满足题意．当0a >时，可得()g x 的最大值为11ln 2g a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()1ln 2h a a a =-单调递减，且()1102h =>，()12ln204h =-<，所以当2a ≥时，()0h a <，从而可得整数a 的最小值为2． 试题解析： （1）因为()1102af =-=， 所以2a =，故()2ln ,0f x x x x x =-+>，所以()2121(1)(21)21x x x x f x x x x x-++-+=-+==-'(0)x >， 由()0f x '<，解得1x >，所以()f x 的单调减区间为()1,+∞．（2）令()()()()211ln 112g x f x ax x ax a x =--=-+-+，0x >， 由题意可得()0g x <在()0,+∞上恒成立．又()()()21111ax a x g x ax a x x-+-+=-+-='．①当0a ≤时，则()0g x '>． 所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 又因为()()2131ln11112022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立．②当0a >时，()()()21111a x x ax a x a g x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭==-'， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减． 故当1x a=时，函数()g x 取得极大值，也为最大值，且最大值为()2111111ln 11ln 22g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()1ln ,02h a a a a=->， 则()h a 在()0,+∞上单调递减， 因为()1102h =>，()12ln204h =-<． 所以当2a ≥时，()0h a <， 所以整数a 的最小值为2．。