拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应用
拉格朗日中值定理在高中数学不等式证明中的巧妙运用
拉格朗日中值定理在高中数学不等式证明中的巧妙运用作者：左代丽来源：《新校园(下)》2016年第03期摘要：本文首先介绍了拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用形式和应用范围，对拉格朗日中值定理予以三种方式证明，并结合相关证明不等式例题，介绍了拉格朗日中值定理在高中不等式证明中的巧妙运用。
关键词：拉格朗日中值定理；不等式；证明；应用拉格朗日中值定理是微积分中值定理（包含罗尔定理、柯西定理以及拉格朗日定理）中的一种，对于微积分理论构造有重要的作用。
不等式的证明作为高中数学中较为常见的题型，也是高考中较为常见的题型。
对于不等式证明的解题方式有很多，利用中值定理解不等式是一种常见的方式。
但高中生并没有深入学习微积分，对此种方法的理解不够深入，应用起来稍显笨拙。
一、拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用1.极限问题的求解。
极限问题是高中数学中极限学习的考察重点，在高中数学教学中，许多教师都向学生介绍了洛必达法则、夹逼定理、泰勒公式等解题方式。
这些解题方式原理简单，解题思路顺畅，解题效果较好，极容易被学生吸收。
而利用拉格朗日中值定理来求解极限问题的教学比较少见，一方面，拉格朗日中值定理相对复杂，通常用来解决复杂的极限问题，另一方面，学生对于复杂的极限题目往往具有畏难心理，常常在解题过程中选择放弃。
实际上，利用拉格朗日中值定理来解决复杂的极限问题，其实质在于分解题目，实现对题型的转变，运用拉格朗日中值定理求极限的时候要把握好拉格朗日中值定理与极限问题之间的关联，寻找两者之间的连接点，做好式子的简化，这样才能快速解题。
2.不等式证明的求解。
不等式证明题是不等式教学中最基本的题型之一，解决不等式证明的常规方法有许多，例如：数形结合、导数法等。
利用拉格朗日中值定理来解决不等式证明题，其核心在于对函数的构建，以及进一步探索导数与构建的函数之间的关系，利用这种关系，进一步确定在特定条件下函数成立，继而证明不等式。
常规方法证明较复杂的不等式需要耗费大量的演算时间，且容易在求解过程中产生思维冲突，不利于正确解题，但直接运用拉格朗日中值定理非常简单，能够快速求解。
高考数学冲刺拉格朗日中值定理考点突破
高考数学冲刺拉格朗日中值定理考点突破在高考数学的冲刺阶段，拉格朗日中值定理作为一个重要的考点，常常让同学们感到困惑和棘手。
但只要我们掌握了它的核心概念和解题方法，就能在考试中应对自如，为取得高分增添一份保障。
一、拉格朗日中值定理的定义及内涵拉格朗日中值定理是指：如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，那么在开区间（a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(b) f(a) ＝ f'（ξ)（b a) 。
简单来说，就是在一个连续且可导的函数区间内，一定存在某个点的导数等于区间两端点连线的斜率。
这个定理看似抽象，但实际上蕴含着深刻的数学思想。
为了更好地理解它，我们可以通过一些具体的函数来进行分析。
比如，对于函数 f(x) ＝ x²，在区间 0, 2 上，f(2) f(0) ＝ 4 0 ＝ 4，而 f'（x) ＝ 2x，令2ξ ＝ 2，解得ξ ＝ 1，此时 f'（1) ＝ 2，恰好满足拉格朗日中值定理。
二、拉格朗日中值定理在解题中的应用1、证明不等式在证明不等式的问题中，拉格朗日中值定理常常能发挥重要作用。
例如，要证明当 x ＞ 0 时，x ／（1 ＋ x) ＜ ln(1 ＋ x) ＜ x 。
我们可以令 f(x) ＝ ln(1 ＋ x) ，在区间 0, x 上应用拉格朗日中值定理，得到 ln(1 ＋ x) ln(1 ＋ 0) ＝ f'（ξ)x ，其中 0 ＜ξ ＜ x 。
因为 f'（ξ) ＝ 1 ／（1 ＋ξ) ，且 1 ／（1 ＋ x) ＜ 1 ／（1 ＋ξ) ＜ 1 ，所以可以得到 x ／（1 ＋x) ＜ ln(1 ＋ x) ＜ x 。
2、求函数的取值范围当给定一个函数，要求其在某区间内的取值范围时，拉格朗日中值定理也能提供思路。
比如对于函数 f(x) ＝ x³ 3x ＋ 1 在区间 0, 2 上，我们可以先求出其导数 f'（x) ＝ 3x² 3 。
再谈拉格朗日中值定理的应用
例
１
已
知
x
＞
０,求
证
:x １＋x
＜ln(１＋x)＜
x.
证 明 :构 造 辅 助 函 数 f(x)＝ln(１＋x),于 是 函 数 f(x)
＝ln(１＋x)在闭 区 间 [０,x]上 连 续,在 开 区 间 (０,x)内 可
导,于是依据拉氏定 理 在 开 区 间 (０,x)内 至 少 存 在 一 点ξ(０ ＜ξ ＜x),使等式f(x)－f(０)＝f′(ξ)(x －０)成立;
函 数f(x)＝ex －e－x 在闭区间[０,x]上连续,在开区间
(０,x)内 可 导 ,
所以函数f(x)＝ex －e－x 满足拉氏定理的条件,
从而根据拉氏定理在开区间(０,x)内至少存在 一 点ξ(０ ＜ξ ＜x),使等式f(x)－f(０)＝f′(ξ)(x －０)成立,
又 因 为 f(x)＝ex －e－x ,f(０)＝e０ －e－０ ＝１－１＝０,
证明的不等式的结构特征,建立了和拉格 朗 日 中 值 定 理 相 联
系的桥梁,最后利用放缩法完成了证明. 这 不 但 充 分 体 现 出 拉氏定理解决数学问题的价值所在,而且 也 充 分 体 现 出 拉 氏
定理与其他数学知识的完美交汇,淋漓尽 致 地 展 现 出 拉 氏 定
理的数学之美. 二 、巧 用 拉 氏 定 理 求 参 数 的 取 值 范 围
又因为 f(x)＝ln(１＋x),f(０)＝ln１ ＝ ０,f′(x)＝
１＋１x,f′(ξ)＝
１ ,所 １＋ξ
以ln(１＋x)＝
x; １＋ξ
又
因
为
０＜ξ
＜x,１＜１＋ξ
＜１＋x,１＋１x
１ ＜ １＋ξ
＜
拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用
拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用拉格朗日中值定理（LagrangeMeanValueTheorem）是一种经典的微积分定理，它于1784年由法国数学家拉格朗日首次提出。
它有助于我们解决很多不等式计算问题，使这些问题更加容易推理出正确的结论。
在不等式证明中，拉格朗日中值定理可以作为一个重要的工具，帮助我们建立证明的逻辑链条，以验证不等式的正确性。
首先，让我们介绍拉格朗日中值定理的基本概念。
拉格朗日中值定理是指：给定一个定义在实数闭区间上的函数f，如果该函数在闭区间内连续，那么在这个闭区间内存在某个α，使得：f(α)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
其中a为闭区间的左端点，b为闭区间的右端点。
既然介绍了拉格朗日中值定理背后的基本原理，那么我们就可以来看一看如何运用拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用。
如果要证明某一不等式，那么第一步必须是建立一个函数，用它来描述不等式。
拉格朗日中值定理告诉我们，当一个函数在闭区间上连续时，存在一点，使得函数f(α)=(f(b)-f(a))/(b-a)，那么我们就可以利用这一性质，来进行证明。
例如，我们有f(x) = x + x - 1，要证明f(x) 0，当-1 x 1时成立。
首先，将范围[-1,1]表示为[a,b]，根据拉格朗日中值定理，求出f(x)在[a,b]区间内的中点α，通过求导数等方法，使f(α)=(f(b)-f(a))/(b-a)，即有f(-1/2) = 5/32，由于f(-1/2) > 0，得出f(-1/2) 0，又因为f(x)在[a,b]区间内是连续的，即可知f(x)在[a,b]区间内也是连续的，由此可以说明f(x) 0，当-1 x 1时成立。
再如另一个例子，f(x) = 1-2x+x，要证明f(x) 0，当-1 x 1时成立。
按照上述方法，先找出f(x)的中点α，计算f(0) = 1，由于f(0) > 0，又因为f(x)在[a,b]区间内是连续的，所以f(x) 0，当-1 x 1时成立。
拉格朗日中值定理证明不等式题目
拉格朗日中值定理证明不等式题目拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了实数空间上的函数在某个区间内的导数与函数值之间的关系。
下面将通过证明一个不等式的例子来说明拉格朗日中值定理的应用。
我们来证明当$x>0$时，$1-\cos x<\frac{1}{2}x^2$。
首先，我们定义一个函数$f(x)=1-\cos x-\frac{1}{2}x^2$，我们需要证明当$x>0$时，$f(x)<0$。
由于$f(x)$是连续函数，而且$x>0$时，$f(x)$是可导函数，因此我们可以使用拉格朗日中值定理来证明。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点$c \in (0,x)$，使得$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
接下来，我们先求出$f'(x)$，然后再求出$c$的取值范围，最后对$f(c)$进行估计。
首先求导得到$f'(x)=\sin x-x$。
要使$f(c)<0$，则有$f'(c)<0$。
我们来求方程$f'(c)=0$的解，即 $\sin c =c$。
这个方程的解并不容易求出来。
不过我们可以使用图像法来估计这个方程的解。
我们可以画出$f'(c)$和$y=x$在坐标系上的图像。
根据图像，我们可以发现这个方程在$x=0$和$x=π$之间有两个解：$c_1$和$c_2$。
首先我们来估计下$c_1$的取值范围。
当$x \in (0,c_1)$时，根据$f'(x)$与函数$y=x$的关系可以得到$f'(x)<x$。
进一步得到\[f'(c_1)<c_1\]\[ \sin c_1 - c_1 <0\]而当$x\in (0,\frac{\pi}{2})$时，有$\sin x>0$，因此$\sin c_1-c_1<0$。
然后我们来估计下$c_2$的取值范围。
拉格朗日中值定理在高等数学中的应用探索
㊀㊀㊀㊀㊀拉格朗日中值定理在高等数学中的应用探索拉格朗日中值定理在高等数学中的应用探索Һ陆华勇㊀（盐城生物工程高等职业技术学校，江苏㊀盐城㊀２２４０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ从微积分来看，拉格朗日中值定理是一块非常重要的内容，它在导数和函数之间架起了桥梁，并且该定理已被应用于各个领域．本文采取举例的方式对该定理如何被应用于高等数学进行了展示．ʌ关键词ɔ拉格朗日中值定理；应用；证明引㊀言从微分学来看，微分中值定理是基本定理之一，学生要想把微分学这块内容学好，最重要的是对该定理的成立条件及其证明过程形成深刻的认识．在高等数学这门课中，微分学是其中的重要知识之一，该门课研究的是以实数集为定义域的函数具有哪些性质，在对函数性质进行探究的过程中，微分中值定理就是其中的一个不可或缺的重要工具．作为有效工具之一的微分中值定理，探讨的是如何根据导数具有的性质推断函数具有哪些性质，将导数知识用到了函数性质的探究中，在两者之间起到了桥梁作用．微分学中最为基础的是拉格朗日中值定理，对其进行推广得到了柯西中值定理，而取其特殊情况又得到了罗尔定理，所以说拉格朗日中值定理充当着核心角色．对函数具有的包括最值㊁单调性以及极值等性质进行的探究，以及对曲线表现出的凹凸性进行的探讨都是以拉格朗日中值定理为基础的．本文围绕着拉格朗日中值定理展开，对证明这一定理时构造辅助函数的若干种方法进行了介绍，并采取举例的方式对该定理怎样在例题中得到应用展开了分析．一㊁拉格朗日中值定理的概念基本内容：存在一个函数ｆ（ｘ），在闭区间［ａ，ｂ］上为连续函数，在开区间（ａ，ｂ）上为可导函数，那么在该开区间内至少有一点ξ，满足ａ＜ξ＜ｂ，使等式ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ成立．解释如下：（１）该定理也可以叫作有限增量定理，在导数和函数之间搭建起了桥梁，通过导数具有的性质就可以对函数具有的性质展开探究．（２）该定理是基础，进行推广得到了柯西中值定理，特殊化处理则得到了罗尔定理，拉格朗日公式相当于０阶泰勒公式．（３）该定理既能够在不等式以及等式的证明中得到应用，也能够用于对函数具有的连续性㊁单调性以及凹凸性等多项性质展开探究．（４）在对很多定理进行证明时，是否存在ξ是其中的一种理论工具．该定理指出存在至少１个的中值ξ，但是有些时候可能没有办法求解得到．例如，假设将ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ看作一个方程，那么存不存在ξ就等同于方程存不存在根这个问题．该定理的本质是对ξ是（ａ，ｂ）中的一个无法确定位置的点形成深入认识，但是考虑到ξ是有范围的，也就是ａ＜ξ＜ｂ，此时可通过导数ｆᶄ（ｘ）推断得到ｆᶄ（ξ）的取值区间，而后得到分式的取值区间，这样不等式就得证了．（５）使用该定理解题时，其中的难点之一在于辅助函数的构造或者是选取．针对于此，可将等式ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ视为分式，并以之为着手点构造函数ｆ（ｘ），同时将取值区间（ａ，ｂ）确定下来，最后求解得到导数ｆᶄ（ｘ）．为得出ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，作出部分变形处理是很有必要的，如ｌｎｘｘ－１＝ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ－１），ｘ－１＜ξ＜ｘ，当然构造辅助函数Ｌ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）也是可取的．也可构造函数Ｌ（ｘ）＝ｅｇ（ξ）ｆ（ｘ），进行求导操作得到ｅｇ（ξ）［ｆᶄ（ξ）＋ｆ（ξ）ｇᶄ（ξ）］等各种变形，最终达到解题目的．二㊁拉格朗日中值定理的证明从拉格朗日中值定理来看，在对其进行证明时，应用的技巧是以构造辅助函数为主的，而辅助函数是有非常多种构造方法的，最为常见的有行列式法㊁Ｋ值法等，在这些方法中，最易掌握的是倒推法，应用得也相当广泛，下文对倒推法用于辅助函数的构造的具体步骤进行了展示．根据拉格朗日中值定理得到的结论不难发现：∃ξɪ（ａ，ｂ），ｓ．ｔ．ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ．考虑到区间（ａ，ｂ）内该函数为可导函数，因而导数在ξ点的取值就是Ｆᶄ（ξ），可以表示成ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ｘ）｜ｘ＝ξ，但是函数ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ的导数是常数ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，所以待证结论能够改写为：ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ－ｆ（ｘ）[]ᶄ｜ｘ＝ξ＝０，此时便可构造下述辅助函数：Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ－ｆ（ｘ）．考虑到ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ－ｆ（ｘ）[]ᶄ｜ｘ＝ξ＝０，所以有Ｆ（ξ）＝０．考虑到区间［ａ，ｂ］上Ｆ（ｘ）为连续函数，（ａ，ｂ）上则是可导函数，而且有Ｆ（ａ）＝ａｆ（ｂ）－ｂｆ（ａ）ｂ－ａ＝Ｆ（ｂ），故而根据罗尔定理可知，肯定会有一个ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ξ）＝０，也就是Ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ－ｆᶄ（ξ）＝０，等同于ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ．三㊁拉格朗日中值定理的应用１．证明恒等式．考虑到该定理得到的结论实质上为一个等式，所以该定理可在部分等式的证明中得到应用．（１）证明单介值等式命题．从这种命题来看，其题型往往是：肯定会有不少于１个㊀㊀㊀㊀㊀㊀的点ξɪ（ａ，ｂ），Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）以令Ｇ（ξ，ｆ（ξ），ｆ（ｎ）（ξ））＝０成立．在对这种命题进行证明的时候，其中的关键在于辅助函数的选取，辅助函数选取得精确，可将问题化繁为简．通常而言，倒推法用于辅助函数的构造是较为可取的，具体步骤如下：第一步，用ｘ来代替待证等式内的ξ；第二步，进行恒等变换，将等式化简成导数符号易于消除的形式；第三步，仔细观察，得到ｆ（ｘ）．例１㊀假定存在一个函数ｆ（ｘ），在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，试证：（ａ，ｂ）内会存在不少于１个的点ξ，使ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ））＋ａｆ（ａ）成立．思路：针对ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ）＋ａｆ（ａ）），用ｘ来代替其中的ξ，这时会有ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ｘ）＋ｘｆᶄ（ｘ））＋ａｆ（ａ）．对其变形，得到ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｆ（ｘ）＋ｘｆᶄ（ｘ），观察发现，辅助函数选取为Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）．证明：构造函数Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ），那么该函数在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，由拉格朗日中值定理不难发现，势必会有不少于１个的点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）ｂ－ａ＝Ｆᶄ（ξ）成立，所以ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ），也就是ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ））＋ａｆ（ａ）．（２）证明双介值等式命题．从这种命题来看，其题型往往是：中值共有２个，用ξ，ηξʂη()来表示，且它们存在某种关系．这种命题的证明和单介值命题类似，辅助函数也是要构造的，区别在于这种命题通常需要构造两个函数，题干中已知的仅仅是其中之一，有一个是未知的，这时就需要与结论得到的关于η的关系式相结合进行变换，具体步骤如下：第一步，对待证等式进行变形，得到两个表达式，一个是与ξ相关的，另一个是与η相关的；第二步，仔细观察，得到Ｆ（ｘ）．例２㊀假定存在一个函数ｆ（ｘ），在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，而且有ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝１，试证：（ａ，ｂ）内会存在不少于１个的点ξ和η，使ｅη－ξ［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝１成立．思路：针对待证等式ｅη－ξ［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝１，把ξ和η分开，也就是ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝ｅξ，等同于［ｅｘｆ（ｘ）］ｘ＝η＝（ｅｘ）ｘ＝ξ，此时可构造下述两个辅助函数，一个是Ｆ（ｘ）＝ｅｘｆ（ｘ），另一个是Ｇ（ｘ）＝ｅｘ．证明：假定Ｆ（ｘ）＝ｅｘｆ（ｘ），那么Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）内为可导函数，根据拉格朗日中值定理不难发现，（ａ，ｂ）内会有不少于１个的点η，使Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）ｂ－ａ＝Ｆᶄ（η）成立，也就是ｅｂｆ（ｂ）－ｅａｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］，故而有ｅｂ－ｅａｂ－ａ＝ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］．（１）假定Ｇ（ｘ）＝ｅｘ，那么Ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，根据拉格朗日中值定理不难发现，（ａ，ｂ）内会有不少于１个的点ξ，使Ｇ（ｂ）－Ｇ（ａ）ｂ－ａ＝Ｇᶄ（ξ）成立，也就是ｅｂ－ｅａｂ－ａ＝ｅξ．（２）综合（１）和（２）可知ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝ｅξ，等同为：ｅη－ξ［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝１．２．证明不等式．在对不等式进行证明的过程中，拉格朗日中值定理的应用是按照下述步骤展开的：第一步，对辅助函数ｆ（ｘ）进行构造；第二步，选取合理的应用区间（ａ，ｂ）；第三步，确定中值ξ的取值空间．其中的重点在于第一㊁二这两个步骤．从实际应用来看，辅助函数ｆ（ｘ）通常是以待证不等式为依据来确定的，并据此选取合理的应用区间（ａ，ｂ）．下文采取举例的方式对如何构造辅助函数进行了阐述．（１）证明函数不等式命题．在对这种命题进行证明时，如果用到的是拉格朗日中值定理，那么待证命题牵涉的往往只是同一函数在不同点的取值的差异，也就是待证不等式的某端通过变形之后形如ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）．解题思路如下：这种命题往往需要结合待证不等式对辅助函数ｆ（ｘ）进行构造，对该函数可以应用拉格朗日中值定理进行验证，即为ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ），而后按需放大或者是缩小，最后把其内的带有ξ的项去掉，此时待证不等式就可得证．例３㊀试证：在ｘ＞０的情况下ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ成立．思路：对ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ进行逆推，ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）ｘ＜１，ｌｎ（１＋ｘ）ｘ可变形成ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，因为ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，所以１１＋ｘ＜ｆᶄ（ξ）＜１（ξ的取值应当合理）．ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－０ｘ－０＜１⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ１ｘ－０＜１⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０．根据ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ这种形式，猜想出ｆ（ｂ）＝ｌｎｎ（１＋ｘ），ｆ（ａ）＝ｌｎ（１＋０），而且有ｂ－ａ＝ｘ－０，也就是ｂ＝ｘ，ａ＝０，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）．构造的辅助函数是ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ），应用区间确定为（０，ｘ）．显而易见的是，从区间（０，ｘ）来看，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）可以应用拉格朗日中值定理，也就是（０，ｘ）内肯定会有１个以上的点ξ，可让ｆᶄ（ξ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０成立．ｆᶄ（ｘ）＝１１＋ｘ⇒ｆᶄ（ξ）＝１１＋ξ（０＜ξ＜ｘ），１１＋ｘ＜ｆᶄ（ξ）＜１也就是１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０＜１．可以看到，辅助函数以及选定的应用区间均合理，下文对证明过程进行了详细的阐述．证明：假定ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ），那么从区间（０，ｘ）来看，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）可以应用拉格朗日中值定理，所以（０，ｘ）内肯定会有１个以上的点ξ，可让ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（０）ｘ－０成立，即ｆᶄ（ξ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０．理由是ｆᶄ（ｘ）＝１１＋ｘ，因而ｆᶄ（ξ）＝１１＋ξ，０＜ξ＜ｘ，所以有１１＋ｘ＜ｆᶄ（ξ）＜１，即１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０＜１，１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）ｘ＜㊀㊀㊀㊀㊀１，因而在ｘ＞０的情况下，ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ成立．从上述例题不难发现，若不等式成立的条件是ｘ＞ａ，那么应用区间选取（ａ，ｘ）会较为合理．（２）证明中值不等式命题．这里所说的中值不等式命题指的是不等式关系内存在的中值命题．拉格朗日中值定理用于这种命题的证明时同样要用倒推法，据此得出辅助函数，方法还是以结论为主要着眼点，相较于等式的证明而言，区别在于：一端进行变号处理，转移至另一端，而后观察，得出解题需要用到的辅助函数．例４㊀存在一个函数ｆ（ｘ），在区间［０，１］上为连续函数，在区间（０，１）内为可导函数，而且有ｆ（ｕ）＝ｕ，试证：假定［０，１］上ｆ（ｘ）有非零值，那么在（０，１）内一定存在点ξ，可使ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＞ｕ成立．思路：此处需证ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＞ｕ．由于ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＝ｆ２（ｘ）２[]ᶄｘ＝ξ，故而需要构造下述辅助函数：Ｆ（ｘ）＝ｆ２（ｘ）２．证明：假定Ｆ（ｘ）＝ｆ２（ｘ）２，那么Ｆ（ｘ）在区间［０，１］上为连续函数，在区间（０，１）内为可导函数，ｆ（ｕ）＝ｕ，因而存在ａɪ（ｕ，１），可以使得Ｆ（ａ）＝ｆ２（ａ）２成立，这时有Ｆ（ｘ）在区间［０，ａ］上为连续函数，在区间（０，ａ）内为可导函数，即能够应用拉格朗日中值定理，故而存在ξɪ（０，１），会有Ｆᶄ（ξ）＝Ｆ（１）－Ｆ（０）＝Ｆ（１）＞ｕ，等同于：Ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＞ｕ．３．证明根的存在性．例５㊀区间［０，１］上ｆ（ｘ）为可导函数，而且有０＜ｆ（ｘ）＜１，又由于ｘɪ［０，１］时ｆᶄ（ｘ）ʂ－１，试证：区间（０，１）上方程ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０有且仅有一个实根．证明：先通过构造法对存在根进行证明，而后通过拉格朗日中值定理对有且仅有一个根进行证明．（１）根的存在性．假定ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘ－１，此时有ｇ（０）＝ｆ（０）－１，ｇ（１）＝ｆ（１）．考虑到ｘɪ［０，１］时有０＜ｆ（ｘ）＜１，由于ｇ（０）＝ｆ（０）－１＜０，ｇ（１）＝ｆ（１）＞０，故而有ｇ（０）㊃ｇ（１）＜０，由根的存在性定理不难发现，区间（０，１）内ｇ（ｘ）必定会有实根．（２）根的唯一性．为证区间（０，１）内ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０有且仅有一个根，通常会提出区间（０，１）内ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０共有２个实根的假设，而后得到和已知不符的结论，这样唯一性就可得证．下文对拉格朗日中值定理用于唯一性证明的详细过程进行了说明：先假定区间（０，１）内ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０共有２个实根，用α和β来表示，并且假定α＜β，这样就能够得到ｆ（α）＝１－α，ｆ（β）＝１－β，将拉格朗日中值定理用到［α，β］区间上的ｆ（ｘ）中，可知ｆ（α）－ｆ（β）＝ｆᶄ（ω）（α－β），整理可得ｆ（α）－ｆ（β）α－β＝ｆᶄ（ω），也就是：（１－α）－（１－β）α－β＝－１，与已知条件ｆᶄ（ω）ʂ－１不符．所以唯一性得证．４．求解函数最值．在对函数最值问题进行求解时，只有符合一定形式才能够应用拉格朗日中值定理，例如，能够化简为ｔȡｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２或者ｔɤｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２这种形式，只有这样才能够用拉格朗日中值定理来求解．例６㊀存在一个函数ｆ（ｘ），假定ｋ为一个实数，ｘ１和ｘ２是其定义域中任取的两个点，有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜ɤｋ｜ｘ１－ｘ２｜成立，那么函数ｆ（ｘ）（ｘɪＤ）就可以称之为符合利普希茨条件，如果函数ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘȡ１）符合利普希茨条件，求ｋ的最小值．解：由题意可知，ｋȡｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２，由拉格朗日中值定理有ｆᶄ（ω）＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２，所以有ｋȡｆᶄ（ω），这样就能够求出ｆᶄ（ω）的最大值．因为ｆ（ｘ）＝ｘ，所以ｆᶄ（ｘ）＝１２ｘɤ１２，故而ｆᶄ（ｘ）的最大值是１２，即ｋ的最小值是１２．５．求解函数极限．在对函数极限问题进行求解时，拉格朗日中值定理同样可以得到应用．如果待求函数的极限是同种函数的差值，自变量之间的差值只是一个常数，那么拉格朗日中值定理就能够对其进行简化，而后再进行求解．例７㊀试求极限ｌｉｍξң＋ɕｘ２ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ[]．思路：可以看到，该题是一种０㊃ɕ型未定式．从区间［ｘ，ｘ＋１］来看，ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ可以应用拉格朗日中值定理，有：ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ＝１１＋ξ２，且ξɪｘ，ｘ＋１()．可以看到，ｘң＋ɕ时ξң＋ɕ，而且有ｌｉｍξң＋ɕ１１＋ξ２＝０．考虑到ｌｉｍξң＋ɕｘ２＝ɕ，这时极限ｌｉｍｘң＋ɕｘ２１＋ξ２存在与否取决于ξ的一些细节，意味着对中值点进行的粗糙估计无法得出原极限，通过其他工具的应用进行支持还是很有必要的．第一种解法（对中值点进行精细估计），考虑到ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ＝１１＋（ｘ＋θ）２，且有θɪ（ｕ，１）．这时ｌｉｍξң＋ɕｘ２ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ[]＝ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋（ｘ＋θ）２＝１．第二种解法（采取夹逼准则），考虑到ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ＝１１＋（ｘ＋θ）２，且有ξɪ（ｘ，ｘ＋１），所以有ｌｉｍξң＋ɕｘ２ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ[]＝ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋ξ２，可以看到ｘ＜ξ＜ｘ＋１，所以ｘ２１＋（１＋ｘ）２ɤｘ２１＋ξ２ɤｘ２１＋ｘ２，（下转２４页）㊀㊀㊀㊀㊀㊀（５）教师在教学过程中培养学生的数学思想方法．数学思想方法是人们在长期从事数学实践活动过程中智慧的结晶，是学生认知结构不断形成与发展的纽带，是沟通知识能力的桥梁，是促进人们智力及能力发展的重要因素．教师在数学教学过程中渗透数学思想方法，能够使学生对数学知识点以及解决问题有强烈的逻辑思维能力，让学生真正地理解数学内涵，产生对数学研究的欲望，增强学生的数学应用意识，使学生能够持续思考，并提出问题㊁分析问题㊁解决问题．四㊁结束语教学设计是教师教学的指南针，是完成教学目标的依据．教学设计反映了教师对该知识点的理解程度和教学水平，因此教师要高度重视教学设计．本文是在理论情境中和教师探讨设计而成，没有经过实际课堂的操作，在以后的实际教学过程中希望得以实践，再进行深入研究，以期对教师的教学有所帮助．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１７．［２］张乃达，过伯祥．张乃达数学教育：从思维到文化［Ｍ］．济南：山东教育出版社．２００７．［３］过大维，钱军先．高中数学教学中学生的问题意识及其培养［Ｊ］．中学数学月刊，２０１９（０１）：５－８．［４］王红燕，孟丹，胡丹．浅析教学设计在教学中的作用及其能够解决的问题［Ｊ］．新校园（阅读），２０１６（０９）：７１－７２．［５］庞志雷．在翻转课堂中体验数学之美： 斐波那契数列 教学案例［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（２２）：２０－２３，２９．［６］陈萍．从特殊到一般的思想方法在初中数学教学中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１０（２２）：１３１．［７］徐利治，徐本顺．数学美与数学教学中的审美［Ｊ］．山东教育，１９９７（１１）：３０－３５．［８］刘露露．探究高中数学教学中的数学思想方法［Ｄ］．长春：东北师范大学出版社，２０１３．［９］黄毅蓉．基于 问题意识 的问题驱动教学法的探讨［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０８）：１７－１８．［１０］王碧莹．培养高中生数学问题意识的方法［Ｊ］．课程教育研究，２０１９（１６）：１３６．㊀（上接２１页）而且有ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋（１＋ｘ）２＝ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋ｘ２＝１，故而ｌｉｍξң＋ɕｘ２ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ[]＝ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋ξ２＝１．如果极限是包括ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）这种未定式的，作为重要工具之一的拉格朗日中值定理可以达到让计算得到简化的目的．通过事实发现：相较于对中值点进行粗糙估计来说，第二种解法显然得到了更为广泛的使用．通常来说，粗糙估计只可以在ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ξ）存在而且不等于０的这种情况下适用，但第二种解法并不会受到这种情况的限制．第二种解法不单单能够在ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ξ）存在而且不等于０的情况下适用，在ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ξ）＝０与ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ξ）＝ɕ这两种情况下也能够适用，且应用更为广泛．但是只是从公式复杂程度来看的话，在形式上第一种解法显然更为简洁．所以，在对包括ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）在内的这种未定式极限的求解过程中，先采取第一种解法来分析是可行的，假使无法得到结果，常常会用到下述策略：（１）对中值点进行修改，使之变成精细估计形式，而后再展开更为深入的分析；（２）针对粗糙估计得到的中值点作放缩处理，而后通过夹逼准则的应用完成计算．结束语微分学的发展就是基于微分中值定理的，而且从实际应用来看，该定理的应用也是极为广泛的，恰恰是因为这个定理这么重要，所以也被叫作微分基本定理．从三大基本定理可以看出，应用最为广泛的当属拉格朗日中值定理，原因在于它对于函数并没有提出很严格的要求．在对问题进行求解时，关键点在于基于命题分解得到待求问题需要用到的函数，使得函数不单单可以应用拉格朗日中值定理，又能够让求解得到简化．本文对该定理在包括等式㊁极限求解等在内的多个方面的应用进行了介绍．从该定理的整个应用过程来看，最为重要的问题有两个，一个是辅助函数的构造，另一个是区间的确定．从整个过程可以看出，应用该定理求解问题的思路相对比较简单．但是为了让该定理能够得到灵活应用，对本文总结得出的思想方法需进行灵活运用．ʌ参考文献ɔ［１］王康．拉格朗日中值定理的应用［Ｊ］．安顺学院学报，２０１２（０２）：１２６－１２７．［２］刘三阳，长丁民．用拉格朗日中值定理求极限［Ｊ］．高等数学研究，１９９８（０３）：２７－２９．［３］毛纲源．高等数学解题方法技巧归纳（上册）［Ｍ］．武汉：华中科技大学出版社，２００１．［４］尹龙国．微分中值定理及其应用［Ｊ］．大众商务，２００９（０９）：２０４．［５］马秀芬．中值定理在高等数学解题中的应用［Ｊ］．濮阳职业技术学院学报，２０１５（０５）：１５２－１５３．［６］王希超，刘长文，万林梅．拉格朗日中值定理的巧用［Ｊ］．山东农业大学学报，２００２（０２）：１２３－１２４．［７］曹金亮，谢锦涛．微分中值定理常见题型的解题方法［Ｊ］．浙江海洋学院学报（自然科学版），２０１４（０５）：９４－９８．。
拉格朗日中值定理的证明及其应用
拉格朗日中值定理的证明及其应用【摘要】拉格朗日中值定理是微积分中重要定理之一，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，再应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算、区间套定理四个方面分析构造辅助函数的思路和方法，利用该辅助函数证明了拉格朗日中值定理，并以具体实例说明如何应用拉格朗日中值定理.【关键词】罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；辅助函数1 引言拉格朗日中值定理是微分学的重要定理之一，它的证明通常以罗尔中值定理作为预备定理，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，而辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件，证明的过程就是对辅助函数应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.罗尔定理中这个条件很特殊，它使罗尔定理的应用受到限制.如果把这个条件取消，但仍保留另外两个条件，并且相应改变结论，即得微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算三种方法证明了拉格朗日中值定理，并从具体实例说明了如何应用拉格朗日中值定理.2 拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理的证明过程就是对所构造的辅助函数（该辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件）应用罗尔中值定理.由于构造辅助函数的思路不同，拉格朗日中值定理的证法有多种.首先我们给出罗尔中值定理和拉格朗日中值定理[1]如下：罗尔中值定理若函数满足以下条件：（1）在连续；（2）在可导；（3）.则至少存在一点，使.拉格朗日中值定理若函数满足以下条件：（1）在连续；（2）在可导，则在内至少存在一点，使.2.1 利用坐标旋转构造辅助函数如果函数在闭区间上连续；在内可导.图2.1如图2.1所示，由坐标旋转图形的不变形可知，只要把坐标轴旋转到与直线重合，在新坐标下图形显然满足罗尔定理条件，通过罗尔定理即可得出结论.为此可引入旋转坐标变换[2].因为，所以有逆变换.记.取旋转角时，在上连续；在内可导，由，可得，即，因此，满足罗尔定理的条件，故至少存在一点使，亦即，.2.2 利用分析表达式构造辅助函数由拉格朗日中值定理结论可知，欲证，即要证，换言之即证在区间内有零点.据此利用罗尔定理可得拉格朗日中值定理.证明令，则在区间连续，在内可导，且，即.故由罗尔定理知，至少存在一点，使.即.注意这辅助函数所表示的曲线是曲线和直线之差，而这直线通过原点且与曲线在上两端点的连线平行，从而使得满足罗尔中值定理的条件.2.3 利用向量运算构造辅助函数引理 2.1[3]在平面直角坐标系中，已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC面积为.于是可以引用引理证明拉格朗日中值定理如下：若在内连续，在内可导，则在内连续，在内可导，且，所以由罗尔中值定理知：在内至少存在一点使得，而.故.通过对拉格朗日中值定理的证明方法的分类总结，发现证明方法的确多种多样.一般来说大多采用的是构造辅助函数的方法，我们从分析和几何的角度加以分析总结，分析法构造辅助函数主要有原函数构造法；几何法是利用图形的特征进行分析，从而构造出需要的辅助函数，与分析法有异曲同工之妙，同时也可以认为是上面某些分析方法的几何解释.另外我们还总结了一些特殊方法，它们不需要构造辅助函数，仍可以得证，如区间套定理证明法.通过分类总结，有助于开阔我们的思路，对微分中值定理的认识也会更加深入.3 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础.它作为中值定理的核心，有着广泛的应用，在很多题型中都起到了化繁为简的作用.下面通过举例说明拉格朗日中值定理在四个方面的应用.3.1 证明不等式证明不等式的方法很多，但对于某些不等式，用初等解法不一定解得出来.拉格朗日中值定理在不等式中有很重要的应用，往往能够化难为易.在应用中关键是取适当函数，利用中值公式将所要证明的不等式与导函数联系起来，在根据的某些性质证出所要求的不等式.比如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函数增量形式等题型.例 3.1 证明对一切都成立.证明设，取闭区间.因为在上满足拉格朗日中值定理条件.所以，至少存在一点，使得.即. （3.1）因为，即，又.所以，（3.2）又因为，所以由（3.1）﹑（3.2）知，即.3.2 函数单调性的判定由拉格朗日中值定理得到下面的结论：设函数上连续，在内可导，则（1）如果，则上单调递增.（2）如果，则上单调递减.下面我们具体的看一下它的应用.例 3.2 证明在上单调增加.证明若令，则只需证明单调增加.，对函数应用拉格朗日中值定理得到，得到.因此，由上面结论推出单调增加，从而在上单调增加.3.3 证明方程根的存在性在拉格朗日中值定理的条件下，若加上条件，则可知在开区间内至少存在一点，使得这是拉格朗日中值定理的特殊情形，称为罗尔中值定理，可用于证明方程的根的存在性.证明方程根的存在性时所给根的范围就是区间，把所给方程设为函数，就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性.例 3.5 证明若方程有正根，则方程必有一个小于的正根.证明设= ，.易证在上满足拉格朗日中值定理条件，并且.所以，由罗尔中值定理可知，至少存在一点，使得，即方程，有一个小于的正根.由上面的例题，我们见到了中值定理在求解初等数学题中的优越性.因此，将微积分的方法应用于初等数学中，将它作为教学的辅助手段是可取的.3.4 证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是拉格朗日中值定理应用中很重要的一项，在证明等时中起到了化繁为简的作用，为以后的等式证明提供了方面.例 3.7 设在上连续，在内可导，且，试证，，使得.证明令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，由条件，可得，再令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，综合上述两式可得，即.用初等数学的方法解数学题，有时需要很高的技巧，并且很繁琐，往往此时利用微积分方法会化繁为简，化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用定理结论或推论，经过适当的变形或运算等得出所要的结论.结束语著名的拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有着及其重要的意义.该定理叙述简单明了，并有明确的几何意义，一般掌握问题不大，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度.熟练掌握定理本质，在解题时会化繁为简，化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用定理结论或推论，经过适当的变形或运算等得出所要的结论.参考文献：[1]刘士强.数学分析（上）[M].南宁：广西民族出版社，2000.[2]刘振航.关于拉格朗日中值定理的证明[J].天津商学院学报，2002，22（3）：35-36.[3]张娅莉，汪斌.拉格朗日中值定理的证明和应用[J].信阳农业高等专科学校学报，2005，15（4）：88-90.。
拉格朗日中值定理的应用
本科生毕业论文题目:拉格朗日中值定理的应用名:姓学号:业:专级:年院:学完成日期:指导教师:目录1引言12拉格朗日中值定理的应用22.1拉格朗日中值定理在求极限中的应用 (3)2.2拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用 (5)2.3拉格朗日中值定理在研究函数在区间上性质的应用 (6)2.4拉格朗日中值定理在证明恒等式中的应用 (7)2.5拉格朗日中值定理在证明根的存在性中的应用82.6拉格朗日中值定理在证明等式中的应用 (9)2.7拉格朗日中值定理在判定级数收敛性中的应用102.8拉格朗日中值定理在求解估值问题中的应用..11 3结束语11致谢13参考文献13拉格朗日中值定理的应用作者:指导教师:摘要:拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一,它有着广泛的应用.本文探讨拉格朗日中值定理在求极限、证明不等式、研究函数区间上的性质、证明恒等式等方面的应用.关键词:拉格朗日中值定理;极限;不等式;函数在区间上的性质Application of Lagrange’s mean value theoremAbstract:Lagrange’s mean value theorem is one of the basic theorems of differential calculus. It has a wide range of applications.In this paper,we discuss the application of the Lagrange’s mean value theorem in the limit,proving the inequality,studying the property of function on the interval,proving the identity and so on.Keywords:Lagrange’s mean value theorem;limit;inequality;the property of function on the interval1.引言在数学领域上对微分中值定理的研究,从微积分建立之后就开始了.1691年,法国数学家罗尔给出了罗尔定理,1797年,法国数学家拉格朗日了拉格朗日定理,并给出定理原始的证明方法.微分中值定理是微分学理论的重要组成部分,在导数应用中起着桥梁的作用,也是研究函数变化形态的纽带,在微分学中占有重要的位置.微分中值定理是一系列中值定理的总称,主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理.以罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的微分中值定理是整个微分学的理论基础,它们建立了导数值与函数值之间的定量联系,微分中值定理的主要作用在于证明和理论分析,应用导数判断函数的重要性态,例如函数的单调性、极值、凹凸性等.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论,它架起了利用微分研究函数的桥梁.而拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心,可以说其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广,例如,在拉格朗日定理中,如果f(a)=f(b),则变成罗尔定理;在柯西中值定理中,如果g(x)=x,则变成拉格朗日定理.因此,罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况,柯西中值定理是拉格朗日定理的推广.拉格朗日中值定理是微分学应用的桥梁,在理论和实际中具有极高的研究价值.课本并没有对拉格朗日中值定理的应用有作专门的讲解,而许多习题集上也只是笼统的概括拉格朗日中值定理的应用[1][2][3],目前,在国内发表有关拉格朗日中值定理的应用的文章也大多只是在单方面的研究,并没有系统的总结,例如:拉格朗日中值定理在初等数学中的应用[4],拉格朗日中值定理在求极限中的应用[5],拉格朗日中值定理在证明不等式的应用[6][7],还有高等教学方面的应用探究,如拉格朗日中值定理及其应用的教学探究[8]等,因此,本文在别人研究的基础之上,通过自己的理解,对拉格朗日中值定理的应用进行探讨和归纳,并通过具体例子进行说明.希望通过对拉格朗日中值定理的应用研究,能对拉格朗日中值定理的应用有更深入的理解,并熟练正确应用.拉格朗日（Lagrange）中值定理[9]：若函数f满足如下条件:(i)f在闭区间[a,b]上连续;(ii)f在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a,拉格朗日中值定理的两个重要推论[10]:推论1若函数f(x)在(a,b)上可导,且f′(x)=0,那么函数在该区间上是一个常数.推论2若函数f(x)与g(x)在开区间I内可导,且f′(x)=g′(x),那么f(x)=g(x)+C, C为常数.拉格朗日（Lagrange)中值定理的几种等价形式[9]:1.f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),a<ξ<b;2.f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a),0<θ<1;(称为有限增量定理)3.f(a+ℎ)−f(a)=f′(a+θℎ)ℎ,0<θ<1.2.拉格朗日中值定理的应用微分中值定理是一系列中值定理的总称,是微分学的基本定理,也是应用数学研究函数在区间上整体性的有力工具,而拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心,可以说其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广,是微分学应用的桥梁,在理论和实际中具有极高的研究价值.本章就通过对拉格朗日中值定理的应用进行探讨和归纳,并通过具体的例子来说明其在高等数学中的应用有求极限、证明不等式、研究函数在区间上的性质、证明恒等式、证明等式、估值问题、证明级数收敛以及研究函数根存在性问题等.2.1拉格朗日中值定理在求极限中的应用运用拉格朗日中值定理求解函数极限的原理:由于对于函数极限表达式有拉格朗日中值定理中的f(b)−f(a)或f(b)−f(a)b−a形式的时候,可以使极限转化为f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)或者f(b)−f(a)b−a=f′(ξ),因为ξ在[a,b]区间内,然后根据题意,通过变量的趋近值,求出ξ的趋近值,最后求出函数极限值.运用拉格朗日中值定理求解函数极限的解题思路:对于函数极限表达式当中出现拉格朗日中值定理中的f(b)−f(a)或f(b)−f(a)b−a形式的时候,先用拉格朗日中值定理将极限进行转化,然后在求解,可达到化繁为简的效果.例2.1.求极限limt→0e t−e sin t t−sin t.解法一：因为所求极限的函数是00型未定式,可运用洛必达法则lim t→0e t−e sin tt−sin t=limt→0e t−e sin t cos t1−cos t=limt→0e t−e sin t cos2t+e sin t sin tsin t=limt→0e t−e sin t cos3t+2e sin t cos t sin t+e sin t cos t sin t+e sin t cos tcos t=1.解法二:运用拉格朗日中值定理求解设f(x)=e x显然f(x)在[t,sin t]上连续,在(t,sin t)内可导.运用拉格朗日中值定理,故存在ξ∈(t,sin t),f′(ξ)=e sin t−e tsin t−t=e t−e sin tt−sin t=eξ,当t→0时,则sin t→0,由介值定理得ξ→0,则lim t→0e t−e sin tt−sin t=limt→0eξ=1.例2.2.求极限limx→1(a1−x a−b1−x b),(a=b,a>0,b>0).解法一：运用洛必达法则求解lim x→1(a1−x a−b1−x b)=limx→1a(1−x b)−b(1−x a)(1−x a)(1−x b)=limx→1a−b−ax b+bx a1−(x a+x b)+x a+b=limx→1−abx b−1+abx a−1−ax a−1−bx b−1+(a+b)x a+b−1=limx→1−ab(b−1)x b−2+ab(a−1)x a−2−a(a−1)x a−2−b(b−1)x b−2+(a+b)(a+b−1)x a+b−2=limx→1−ab(b−1)+ab(a−1)−a(a−1)−b(b−1)+(a+b)(a+b−1)=−b−a2=a−b2.解法二：运用拉格朗日中值定理求解令函数f(x,y)=y1−x y,显然,f(x,y)在[b,a]上连续,在(b,a)内可导,所以f(x,y)满足拉格朗日中值定理,故存在一点ξ∈(b,a),有f(a)−f(b)=f′(ξ)(a−b),则a1−x a−b1−x b=1−xξ+ξxξln x(1−xξ)2(a−b),所以,极限lim x→1(a1−x a−b1−x b)=limx→1(a−b)1−xξ+ξxξln x(1−xξ)2=(a−b)limx→1−ξxξ−1+ξ2xξ−1ln x+ξxξ−12(1−xξ)(−ξxξ−1)=(a−b)limx→1−ξln x2(1−xξ)=(a−b)limx→1−ξ2(−ξxξ−1)=a−b2.注：我们知道求函数极限的方法很多,常用的有运用洛比达法则和一些重要的极限等,但通过以上例题两种解题方法的比较,对于某些函数在运用洛必达法则求解时,计算量比较大,而在运用拉格朗日中值定理求解把极限转化为简单的表达形式时,计算量减小,可达到化繁为简的效果.例2.3.函数g(x)在R上可导,极限limx→∞g(x)与limx→∞g′(x)都存在,证明:极限limx→∞g′(x)=0.证明:∀x∈(−∞,∞),则g(x)在[x,x+1]上可导,记limx→∞g(x)=A,则limx→∞g(x+1)=A,因此limx→∞[g(x+1)−g(x)]=0,由拉格朗日中值定理知g(x+1)−g(x)=g′(ξ),x<ξ<x+1,当x→+∞时,ξ→+∞,于是lim x→∞g′(ξ)=limx→∞[g(x+1)−g(x)]=0,又由limx→∞g′(x)存在及归结原则得lim x→∞g′(x)=limξ→∞g′(ξ)=0.2.2拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用运用拉格朗日中值定理证明不等式的原理:由于拉格朗日中值定理f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)中的ξ在区间(a,b)内,因此f′(ξ)必然存在最大值和最小值,因此,可以运用拉格朗日中值定理证明不等式.拉格朗日（Lagrange)中值定理证明不等式的解题思路:在应用中关键是构造适当函数f(x),运用拉格朗日中值定理f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),将所要证明的不等式与f′(ξ)联系起来,再根据f′(ξ)的某些性质（如有界性,放缩性等),得出要证明的不等式.一、双边不等式的证明例2.4.求证：1−n m<ln m n<m n−1,(0<n<m).证明:构造函数,令g(x)=ln x.x∈[n,m],显然g(x)在[n,m]上满足拉格朗日中值定理的条件,则存在x∈[n,m]且g′(x)=1x.使g(m)−g(n)=g′(ξ)(m−n)=1ξ(m−n),因为n<ξ<m,所以1m<1ξ<1n.因为1m<ln m−ln nm−n<1n,所以m−nm<ln m−ln n<m−nn.即1−n m<ln m n<m n−1.二、含绝对值的不等式的证明例2.5.证明:对任意的实数t1,t2,都有|sin t2−sin t1|≤|t2−t1|.证明:设f(t)=sin t,对∀t1,t2∈R,设t1<t2,因此f(x)在[t1,t2]上满足拉格朗日中值定理,故存在一点ξ∈[t1,t2],有|sin t2−sin t1|=|cosξ||t2−t1|,由|cos t|≤1,所以|sin t2−sin t1|≤|t2−t1|.2.3拉格朗日中值定理在研究函数在区间上性质的应用运用拉格朗日中值定理研究函数在区间上性质的原理:由于拉格朗日中值定理建立了导数值与函数值之间的联系,因此,可用导数的性质去了解函数在定义域区间上的性质,例如研究函数的单调性,函数符号,函数凸性与函数一致连续性等等.因此,可以通过拉格朗日中值定理求解函数在区间性质的应用.一、证明函数的单调性例2.6.设g(x)在[0,∞)上连续,在(0,∞)内可导且g(x)=0,g′(x)在(0,∞)内严格单调递增.证明:g(x)x在(0,∞)严格单调递增.证明:要证g(x)x在(0,∞)严格单调递增,则有(g(x)x)′=xg′(x)−g(x)x2>0,x∈(0,∞),则需证g′(x)>g(x)x,由题意可知,g(x)满足Lagrange中值定理,故存在ξ∈(0,x),使得g′(ξ)=g(x)−g(0)x−0=g(x)x,又g′(x)在(0,∞)内严格单调递增,显然,g′(x)>g′(ξ),所以xg′(x)−g(x)=x[g′(x)−g(x)x]=x[g′(x)−g′(ξ)]>0,于是(g(x)x)′=x′g(x)−g(x)x2>0,故g(x)x在(0,∞)内严格单调递增.二、证明函数的有界性例2.7.证明:若函数f(x)在有限区域(c,d)内可导,但无界,则其导函数f′(x)在(c,d)内必无界.证明:反证法,若f′(x)在(c,d)内有界,则存在m使得|f′(x)|≤m,任取一点x=t, a∈(c,d),f(t)有界,对任意的x∈(c,d),f(t)满足拉格朗日中值定理,故存在ξ∈(t,x),则有f(x)−f(t)=f′(ξ)(x−t),所以|f(x)|=|f(x)−f(t)+f(t)|≤|f(x)−f(t)|+|f(t)|=|f′(ξ)(x−t)|+|f(t)|≤m(d−c)+|f(t)|,则有f(x)在(c,d)上有界,与条件矛盾,故有f′(x)在(c,d)内无界.三、证明函数的一致连续性例 2.8.证明:若函数f(x)于有穷或无穷的区间(c,d)内有有界的导函数f′(x),则f(x)于(c,d)中一致连续.证明:由条件可知,当x∈(c,d)时,存在m使得|f′(x)|≤m,对任意的x1,x2∈(c,d), f(x)满足拉格朗日中值定理,故存在ξ∈(x1,x2),则有f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1),对于∀ξ>0,取δ=ξm,则当x1,x2∈(c,d)时,且|x2−x1|<δ,则有|f(x2)−f(x1)|=|f′(ξ)(x2−x1)|≤m|x2−x1|<ξ,由一致连续的定义可知,即f(x)于(c,d)中一致连续.2.4拉格朗日中值定理在证明恒等式中的应用运用拉格朗日中值定理证明恒等式的原理：由于拉格朗日中值定理中f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a,若函数f(x)在某区间的导数恒为零,所以f′(ξ)=0,有f(a)=f(b),则f(x)在该区间是一个常数,因此可以运用拉格朗日中值定理证明恒等式.运用拉格朗日中值定理证明恒等式的解题思路：在解答这类型题的时候,关键在于构造合适的函数,然后根据拉格朗日中值定理的推论1进行解答，这个推论可以证明一类反三角函数恒等式的题目.例2.9.证明:对于x在区间[−12,12]上,有3arccos x−arccos(3x−4x3)=π.证明:令g(x)=3arccos x−arccos(3x−4x3),当x∈[−12,12]时,则g′(x)=−3√1−x2+3(1−4x2)√︀1−(3x−4x3)2=−3√1−x2+3(1−4x2√︀(1−4x2)2(1−x2)=0.因此当x在开区间(−12,12)时,g(x)为常函数,则g(x)=c（c为常数),又g(0)=π,则当x∈(−12,12)时,有g(x)=π.且g(−12)=g(12)=π,所以当x∈[−12,12]时,恒有g(x)=π.即有x在区间[−12,12]上,有3arccos x−arccos(3x−4x3)=π.2.5拉格朗日中值定理在证明根的存在性中的应用运用拉格朗日中值定理证明根的存在性的关键在于:构造辅助函数,运用拉格朗日中值定理或者它的特殊情形罗尔定理与连续函数的介质性等证明方程根的存在性.例2.10.证明方程t5+t−1=0只有唯一的正根.证明:设g(t)=t5+t−1=0,则g(0)=−1<0,g(1)=1>0.由连续函数的根存在性定理可知,存在t0∈(0,1),使得g(t0)=0.所以t0为方程t5+t−1=0的一个正根.设方程t5+t−1=0的另一个正根t1,且t1>t0,则g(t)在[t0,t1]上满足拉格朗日中值定理条件,并且g(t1)=g(t0)=0,由拉格朗日中值定理的特殊情形罗尔定理知,存在ξ∈(t0,t1)使得g(ξ)=0,即4ξ4+1=0,显然,这样的ξ在实数范围内是不存在的.所以,原方程只有一个正根.例2.11.设f(x)在[b,∞)上二阶可导,且f(b)>0,f′(b)<0.又当x>b时,f′′(b)<0,证明:方程f(x)=0在(b,∞)内必有唯一实根.证明:由f′′(x)<0,所以f′(x)<0在[b,∞)上严格单调递减,从而当x>b时, f′(x)<f′(b)<0,由拉格朗日中值定理知,当x>b,有f(x)=f(x)−f(b)+f(b)=f′(ξ)(x−b)+f(b)≤f′(b)(x−b)+f(b),又limx→∞[f′(b)(x−b)+f(b)]=−∞,所以limx→∞f(x)=−∞,又f(b)>0,从而由连续函数的介值性知,方程f(x)=0在(b,+∞)内有必有的实根.假设有x1,x2,使f(x1)=f(x2)=0,由拉格朗日中值定理的特殊情况罗尔定理可知,存在着ξ,使得f′(ξ)=0,与已知条件矛盾,故只有唯一实根.2.6拉格朗日中值定理在证明等式中的应用拉格朗日中值定理证明等式,常用于证明至少一点ξ1,ξ2∈(a,b)且ξ1=ξ2满足某种关系式的命题,证明的关键在于构造函数,找出与拉格朗日中值定理类似的式子.例2.12.设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:存在t1,t2∈(0,1),使得f′(t1)f′(t2)=1.证明:构造函数,令g(x)=f(x)+x−1,则有g(0)=−1,g(1)=1.由连续函数的根存在性定理可知,则存在一点b∈(0,1),使得g(b)=0,可推出f(b)=1−b.当t1∈(0,b)时,f(x)满足拉格朗日中值定理,可得f(b)−f(0)=f′(t1)b,同理,当t2∈(b,1)时,f(1)−f(b)=f′(t2)(1−b),则有f′(t1)f′(t2)=bf(b)1−b1−f(b)=b1−b1−b1−(1−b)=1.所以可证得f′(t1)f′(t2)=1.例2.13.若f(x)在[0,1]内连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1.证明:对任意的正数c和d,存在t1,t2∈(0,1),使得cf′(t1)+df′(t2)=c+d.证明:构造函数ℎ=cc+d,则0<ℎ<1,因为f(0)=0,f(1)=1,由连续性函数的介质性可知,存在x0∈(0,1),使得f(x0)=ℎ,由拉格朗日中值定理可知,t1∈(0,x0), t2∈(x0,1),使f′(t1)=f(x0)−f(0)x0=ℎx0,f′(t2)=f(1)−f(x0)1−x0=1−ℎ1−x0,于是c f′(t1)+df′(t2)=cx0ℎ+d(1−x0)1−ℎ=c+d.2.7拉格朗日中值定理在判定级数收敛性中的应用判断级数收敛性的方法有正项级数收敛方法、莱布尼茨判别式、绝对收敛和条件收敛等,但对于某些级数,可以运用拉格朗日中值定理求解.例2.14.证明调和级数∞∑︀x=11x是发散的.证明:构造函数,令f(t)=ln t,且t∈[N,N+1],N∈Z+.显然,f(t)在[N,N+1]上连续,在(N,N+1)可导,由拉格朗日中值定理可知,故存在一点ξ∈(N,N+1),使ln(N+1)−ln(N)=f′(ξ)(N+1−N)=1ξ<1N,则有当N=1时,有ln2−ln1<1,当N=2时,有ln3−ln2<12,当N=3时,有ln4−ln3<13,当N=n时,有ln(x+1)−ln x<1x,对上面的式子相加,得ln(x+1)<1+12+13+ (1x)右端之和正是调和级数∞∑︀x=11x的前n项之和,则有S n=1+12+13+······+1x,∵lim x→∞ln(x+1)=+∞,∴limx→∞S n=+∞,因此,调和级数∞∑︀x=11x是发散的.2.8拉格朗日中值定理在求解估值问题中的应用对于求解或者证明估值问题时,常用的方法是选用泰勒公式证明,特别是二阶及二阶以上的导函数估值时,使用比较简便,但对于某些积分估值,可以采用拉格朗日中值定理来证明.例2.15.设导函数f′(x)在[a,c]上连续且f(a)=f(b)=0,记M=maxa≤x≤c|f′(x)|.求证：4 (c−a)2∫︁caf(x)dx≤M.证明:对任意的b∈[a,c],由拉格朗日中值定理可知:∫︁c a f(x)dx≤∫︁ca|f(x)dx|=∫︁ba|f(x)−f(a)|dx+∫︁cb|f(c)−f(x)|dx =∫︁ba|f′(ξ1)||x−a|dx+∫︁cb|f′(ξ2)||c−x|dx≤M[∫︁ba(x−a)dx+∫︁cb(c−x)dx]=M[(b−a)22+(c−b)22].令b=a+b2,[(b−a)22+(c−b)22]=(c−a)24,所以4(c−a)2∫︁caf(x)dx≤M.3.结束语本文主要研究了对拉格朗日中值定理的应用进行归纳和探讨,并且通过具体的例子举例说明,本文的侧重点在于应用拉格朗日中值定理在求极限、证明不等式、研究函数在区间上的性质、证明恒等式这四个方面,并给出了详细的解答原理和解题方法以及解答过程,本文的结论是总结出拉格朗日中值定理在高等数学中的八个方面的应用,分别是求极限、证明不等式、研究函数在区间上的性质、证明恒等式、证明根的存在性、证明等式、证明级数收敛性以及在估值方面的应用.课本并没有对拉格朗日中值定理的应用有作专门的讲解,而许多习题集上也只是笼统的概括拉格朗日中值定理的应用,目前,在国内发表有关拉格朗日中值定理的应用的文章也大多只是在单方面的研究,并没有系统的总结.因此,本文的创新之处在于对拉格朗日中值定理的应用进行归纳总结,得出了其在求极限、证明等式、研究函数在区间上的性态、证明级数收敛等八个方面的应用,并且总结出拉格朗日中值定理在求极限,证明不等式,研究函数的性态,证明恒等式这四个方面的解题原理和解题思路.希望通过对拉格朗日中值定理的应用研究,能使同学们对拉格朗日中值定理的应用有更深入的理解,并熟练正确应用.致谢在论文的准备和撰写过程中,我得到了老师的悉心指导和精心点拨,在此对她表示衷心的感谢和诚挚的敬意!参考文献:[1]华东师范大学.数学分析习题解析[M].陕西:陕西师范大学出版社,2004.[2]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003．[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.[4]程玲华.拉格朗日中值定理在初等代数中的应用[J].合肥:合肥教育学院学报,2003(02):63-65.[5]刘三阳,常丁民.用拉格朗日中值定理求极限[J].西安:高等数学研究,1998(03):27-29.[6]石正华.浅谈拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用[J].北京:中国科教创新导刊,2012(02):106.[7]崔瑞霞.拉格朗日中值定理在分析不等式中的应用[J].武汉:高等函授学报,2010(01):30-32.[8]杜广怀,王佳秋,李焱.拉格朗日中值定理及其应用的教学探究[J].黑龙江:高师理科学刊,2010(36):37.[9]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.[10]马锐.微积分[M].北京:高等教育出版社,2010.。
拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应用
厂 （ ）一 ，
少存在 一点 （ 口＜ ＜ ６ ）使
＞ ．４ ［］
证 明 作 辅助 函数
）一 ）＋ （ － ａ ｘ－ ）
从 而有
厂 （ ）＞ ，
Ｏ— ｄ
．
则 ｇ ）为形 如 Ａ （ ｘ＋Ｂ 的 函数 ． 因为 厂 ）不为形 如 Ａｘ＋ Ｂ 的函数 ， 以至 （ 所 少存在 一点 ｃ∈ （ ，） 使 ｎ６ ， 厂ｃ ≠ ｇｃ， ，口 （） （） 但 （ ）一 ｇ 口 ， （ ）一 ｇ ６ （）厂 ６ （） 情 形 一 （）＞ ｇ ｃ ， ｃ （） 此时
ａ 一 ｂ 一 （ 口一 ６ ）
至少 存 在 一 个 值 ， 厂（ 使 ｎ＋ Ｏｂ一 口 ）一 （ ）
Ｄ 一 口
因为 Ｘ 当Ｐ＞ １ 为单调增 函数 ， ＜ ＜ ａ 时 ｂ ，
所 以
６ ＜ ＜ ｎ川 ，
或 厂（） （ ） ６ 一厂 口 一 （ ＋ ６ ａ ） ６ （ － ） （
关 于拉格 朗 日中值 定理 的证明及 应用有 许多
专 门的研 究 ， 利用 拉格 朗 日中值定 理 证 明不 等 式 有许 多方便 之 处． 文 着重 介 绍 如何 利 用拉 格 朗 本 日中值定 理来分 析证 明一些 常见 的不 等式 。
又因为
ｆＯ 引≤ １ Ｓ Ｃ
所 以原式 成立 。
．
ａ
两边 同 时取绝对 值
ｌｉ —ｓ Ｉ Ｓ — Ｉ ｎ ｓ ｉ Ｙ — （ ） ｎ ｌ Ｃ Ｏ
即
证 明 设 ， ｚ （ ）＝ ｌｘ （ ｎ ，ｚ＞ Ｏ ， 其在 ［ ， ）则 口 ６ ］上连 续 ， 口 ６ 上 可导 ， ｆ （ ）＝ ． 在（ ，） 且 ｚ ： ： 由拉
拉格朗日中值定理证明不等式的技巧
拉格朗日中值定理证明不等式的技巧为了证明不等式，我们可以利用拉格朗日中值定理来转化函数的性质。
以下是一些常见的技巧：1. 构造函数：我们可以人为地构造一个满足定理条件的函数。
例如，我们可以定义一个新函数g(x) = f(b) - f(a) - kf'(x)(b - a) ，其中k为一些常数。
然后，我们可以使用拉格朗日中值定理来证明不等式，即证明g(x)满足一些条件。
通过巧妙地选择k的值，我们可以得到需要的结果。
2.使用导数的性质：通过研究函数的导数，我们可以从函数的变化率中获得有关不等式的信息。
例如，如果我们证明了函数f(x)在[a,b]上的导数满足一些条件，比如导数大于零或导数单调递增，那么可以推断出函数在这个区间上是递增的，从而可以得到不等式。
若证明f'(x)>0,则有f(a)<f(b),即f(x)在[a,b]上是单调递增的函数。
3.利用函数的凸性与凹性：如果函数f(x)在一些区间上是凸函数，那么可以使用拉格朗日中值定理来证明不等式。
如果函数f(x)满足f''(x)≥0，那么我们可以通过证明f(b)-f(a)≥f'(c)(b-a)，其中c∈(a,b)，来得到所需的不等式。
4.最大最小值：如果函数在一些区间上的最大值或最小值发生在区间的端点上，那么可以利用拉格朗日中值定理来证明不等式。
通过假设函数的最大值或最小值在(a,b)之间的特定点c处达到，我们可以使用函数的导数来推导出不等式的限制条件。
5.二分法与中值的选择：在证明不等式时，我们可以应用二分法来选择合适的区间，并使用拉格朗日中值定理来证明不等式。
通过逐步缩小区间的范围，并选择合适的中值点，我们可以得到不等式的证明过程。
这些技巧只是在使用拉格朗日中值定理证明不等式时的一些常见方法和思路。
在具体的证明过程中，我们还需要根据不等式的具体形式和所给的条件灵活选择合适的方法。
同时，还需要注意在使用拉格朗日中值定理时，对函数和导数的要求，以及定理条件的合理性。