2016-2017《创新设计》同步人教A版选修1-22.2.1

2.2.1综合法和分析法明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．3．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考1请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.总结：此证明过程运用了综合法．综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C ，① 由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3，③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤ 由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．反思与感悟 综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C . 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C .探究点二 分析法思考1 回顾一下：基本不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答 要证a ＋b2≥ab ，只需证a＋b≥2ab，只需证a＋b－2ab≥0，只需证(a－b)2≥0，因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．思考2证明过程有何特点？答从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件．小结分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．思考3综合法和分析法的区别是什么？答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．例2求证：3＋7<2 5.证明因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以3＋7<25成立．反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．跟踪训练2 求证：a－a－1<a－2－a－3(a≥3)．证明方法一要证a－a－1<a－2－a－3，只需证a＋a－3<a－2＋a－1，只需证(a＋a－3)2<(a－2＋a－1)2，只需证2a－3＋2a2－3a<2a－3＋2a2－3a＋2，只需证a2－3a<a2－3a＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，所以a－a－1<a－2－a－3(a≥3)．方法二∵a＋a－1>a－2＋a－3，∴1a＋a－1<1a－2＋a－3，∴a－a－1<a－2－a－3.探究点三 综合法和分析法的综合应用思考 在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q ；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P .若P ⇒Q ，则结论得证． 例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α， ① sin θcos θ＝sin 2β. ② 求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β).证明 因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 所以将①②代入，可得 4sin 2α－2sin 2β＝1. ③另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)，即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2(1＋sin 2βcos 2β)， 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．反思与感悟 用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为： P ⇒P 1→P 1⇒P 2→…→P n ⇒P ′ ⇓Q ′⇒Q m ←…←Q 2⇒Q 1←Q 1⇒Q跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)． 证明 由tan(α＋β)＝2tan α 得sin (α＋β)cos (α＋β)＝2sin αcos α，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.① 要证3sin β＝sin(2α＋β)，即证3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]， 即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. 这就是①式．所以，命题成立．1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)2 答案 C解析 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3， 只需证：(2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明 因为1log b a＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2， 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证． [呈重点、现规律]1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．一、基础过关1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错；对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错；对于C ：若a 3>b 3且ab <0，则⎩⎨⎧ a >0b <0，所以1a >1b ，故C 对；对于D ：若⎩⎨⎧a <0b <0，则D 不成立．2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sinB ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab .又因为a ＋b ＝2>2ab ，故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .5．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba ≤－2成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0 答案 C解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，ba <0，即ab <0.又若ab <0，则a b <0，ba <0.∴a b ＋b a ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－a b ＋⎝⎛⎭⎫－b a ≤－2⎝⎛⎭⎫－a b ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－2，综上，ab <0是a b ＋ba≤－2成立的充要条件，∴a >0，b <0是a b ＋ba≤－2成立的一个充分而不必要条件．6．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. 证明 方法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0， 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.方法二 要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2， 只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0， 只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，∵a ≥b >0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立． 二、能力提升8.已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c 的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正、负不能确定答案 B解析 ∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝0， 又abc >0，∴a ，b ，c 均不为0，∴a 2＋b 2＋c 2>0. ∴ab ＋bc ＋ca <0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋caabc<0.9．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 a >c >b解析 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a >c .∵cb ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b .10.已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 、q 的大小关系为________．答案 p >q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2·(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p . 11.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 答案 对角线互相垂直解析 本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．12．若－1<x <1，－1<y <1，求证：(x －y 1－xy)2<1.证明 要证明(x －y 1－xy )2<1，只需证明(x －y )2<(1－xy )2，即x 2＋y 2－2xy <1－2xy ＋x 2y 2，只需证明x 2＋y 2－1－x 2y 2<0，只需证明(y 2－1)(1－x 2)<0，即(1－y 2)(1－x 2)>0(*) 因为－1<x <1，－1<y <1，所以x 2<1，y 2<1.从而(*)式显然成立， 所以(x －y 1－xy)2<1.13．求证：抛物线y 2＝2px (p >0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．证明(如图)作AA ′、BB ′垂直于准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直于准线． 只需证|MM ′|＝12|AB |.由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|.因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．三、探究与拓展14.已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明 要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证log x (a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2)<log x (abc )．由已知0<x <1，得只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0. 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc .即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。