高中数学组卷函数的表达式分段函数
高考数学 考点04 分段函数试题解读与变式
考点4 分段函数以及应用一、 知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. （3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值 1.1考题展示与解读例1 【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 2B. 4C. 6D. 8【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（ ） A.165 B. 2 C.6 D.217【答案】B【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,故选B.2. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）B.41 B. 45 C. 41或45D. 2 【答案】C【解析】由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-≥21)1(21a a ，解得14a =或45=a ，故选C 3.【变式3：改编问法】已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤2)4(2120,sin x x x x ，π，则)431(f =（ ） A44 .B.82 C.44- D.82- 【答案】D 【解析】由题意知)41(41)41(41)415(21)431(f f f f -=-===4sin 41π-=82-，故选D. 2.分段函数的最值与值域 2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2，(,1)-∞-.【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧>+-≤-+ax ax a x x x ,4,242.（1）当1-=a 时，求)(x f 的最小值.（2）若函数)(x f 无最小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）-6；（2）),0()3,(+∞⋃-∞.【解析】（1）当1-=a 时，)(x f =⎩⎨⎧->+-≤-+1,41,242x x x x x ，当1-≤x 时，)(in x f m =)2(-f =-6，当1->x 时，3)1()(=->f x f ，所以)(x f 的最小值为-6.（2）当2-≤a 时，要使)(x f 无最小值，由)(x f 的图象知，42422+->-+a a a ，解得3-<a ；当02<<-a 时，要使)(x f 无最小值，由)(x f 的图象知，462+->-a ，无解； 当0=a 时，由)(x f 的图象知，min )(x f =-6； 当0>a 时，由)(x f 的图象知，)(x f 无最小值； 综上所述，实数a 的取值范围为),0()3,(+∞⋃-∞.【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩，b x f x g -=)()(，若存在实数b ，使得函数)(x g 恰有3个零点，则实数a 的取值范围为______________. 【答案】(0,1).【变式3：改编问法】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【答案】当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【解析】如图作出函数3()3h x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33h x x =-，知1x =-是函数()h x 的极大值点，1=x 是函数()h x 的极小值点，当1-<a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为)2(33a a a ---=0)1)(1(<-+a a a ，所以a a a 233-<-，所以函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]2,(-∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为22≤-a ，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为a a a 323-<-，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞；综上所述，当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.3.分段函数的解析式 3.1考题展示与解读例3【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是难题. 【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，利用数形结合思想求解. 3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知)(x f =⎩⎨⎧<-+≥-0,1|1|0,22x x x x x ，函数)(x g =)1(+-x f b ，若函数)()(x g x f y -=恰有2个零点，则实数b 的取值范围为（ ）A ),1(+∞- .B.)1,23(-- C.),1(}23{+∞-⋃- D.]23,(--∞ 【答案】C【解析】由题知，)1(+x f =⎩⎨⎧-<-+-≥-1,1|2|1,12x x x x ，所以)1()(++=x f x f y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<---<≤--<≤--+≥--2,5212,101,10,12222x x x x x x x x x ，函数)()(x g x f y -=恰有2个零点，即方程b x f x f -++)1()(=0恰有两个不同的解，即函数)1()(++=x f x f y 与b y =恰有两个交点，)1()(++=x f x f y 的图象如图所示，由图知，1->b 或23-=b ，故选C.【变式2：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()(2)0f x f x b +--=有2个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知2b >或47=b ，故选.A.【变式3：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 . 【答案】3【解析】当0<x 时，0>-x ，所以x x x f 4)()(2+-=-， 因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-=x x 42+， 所以x x x f 4)(2--=，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=0,404)(22x x x x x x x f ，，所以2)()(+-=x x f x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+--0,250,2522x x x x x x ，由)(x g y =的图象知，)(x g y =有3个零点， 所以方程2)(-=x x f 解的个数为3.4.分段函数图像 4.1考题展示与解读例4【2017天津，文8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）[2,2]-（B）[2]-（C）[2,-（D）[-【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数不等式恒成立问题，是难题.【答案】A【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞C. [)()1,04,-⋃+∞D.[)[)1,04,-⋃+∞【答案】C【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点，同一坐标系，画出()y f x =与()1y k x =-的图象，直线过()0,1时， 1k =-，直线与()20y xx =≥，相切时4k =，由图知， [)()1,04,k ∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞，故选C.【变式2：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为 （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】函数||)(x x f y -=零点个数，即为方程||)(x x f =解得个数，即为函数)(x f y =与函数||x y =交点个数，画出函数()f x 的图象与函数||x y =，由图像知，函数)(x f y =与函数||x y =交点个数0， 所以函数||)(x x f y -=零点个数为0，故选A.【变式3：改编问法】定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. []ln ,0ππ- C. 1ln ,e ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 1,2e π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】设[]1,x π∈，则11,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =， 所以()1ln f x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()[]1ln ,,1ln ,1,{x x x x f x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-∈= ，在坐标系中画出函数()f x 的图象如图： 因为函数()()g x f x ax =- 与x 轴有交点， 所以直线y ax = 与函数()f x 的图象有交点， 由图得,直线y ax =与()f x 的图象相交于点1,ln ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 即有ln ln aa ππππ-=⇒=- ，由图象可得,实数a 的取值范围是： []ln ,0ππ- 故选：B.5.分段函数性质 5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数()()21(1)21ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A. []0,1B. (]0,1C. []1,1-D. (]1,1- 【答案】C【解析】当x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，当x >1时, ()()21,'10a af x x f x x x=++=-…在(1,+∞)恒成立，故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈，故选C.【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】A【变式3：改编问法】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）个A. 6B. 2C. 4D. 8 【答案】A【解析】∵函数)(x f 是定义在上的偶函数，当 时，，函数的零点就是函数)(x f 的图象与直线的交点的横坐标，作出函数在的图象，如图，由图可得：函数)(x f 图象与直线 有6个交点，故答案为：6．6.分段函数的综合应用 6.1考题展示与解读例6 【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题. 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集. 6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数()21,0,{1,0,x x f x x +≥=<则满足不等式()()212f x f x ->的x的范围是（ ）A. ()1B. ()1-C. (D. ()1- 【答案】D【解析】()210{10x x f x x +≥=<，，，的图象如下图所示，不等式()()212f x f x ->等价于210{20x x ->≤，或2210{2012x x x x ->>->，，，解得11x -<<，故选D ．【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A. ()2,e e B. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】作出)(x f 的图像，不妨设c b a <<，由图知，201a b e c e <<<<<<,由题知，|ln ||ln |b a =，即b a ln ln =-，所以0)l n (ln ln ==+ab b a ，所以ab =1,则c abc =),(2e e ∈,故选A.【变式3：改编问法】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时， ()224,232,34x x x f x x x x-+≤≤=+<≤⎧⎪⎨⎪⎩，()1g x ax =+，对[][]122,0,2,1x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A. 11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B. 11,00,48⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C.(]0,8 D.][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为[]()224,232,4,2,34x x x x f x x x x-+≤≤∈=+<≤⎧⎪⎨⎪⎩ ， 23x ≤≤ 时， ()34f x ≤≤ ，34x <≤ 时，()11932f x <≤ ，所以[]()92,4,32x f x ∈≤≤()()22f x f x +=,20x ∴-≤≤ 时， ()[]39,2,148f x x ≤≤∈-- 时，若0a > ，则()211a g x a -+≤≤+ ，因为对 [][]122,0,2,1x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =， ，()()2g x f x = ，3214918a a ⎧-+≤⎪⎪∴⎨⎪+≥⎪⎩，解得18a ≥，若0a < ，则()121a g x a +≤≤-+ ，[]12,0x ∀∈- ，[]22,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =， ∴9218918a a ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得14a ≤-，所以a 取值范围是][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-， 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数， 所以)1()()(x x x f x f --=-=-， 所以)1()(x x x f -=， 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练1.【2017届湖北枣阳市3模】设函数()()121{ 1(1)x x f x lnx x -≤=->,则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（ ） A.,2] B. C.【答案】B9.【2017届江西省赣中南五校下学期期中联考】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】设，，解得，当时，，函数单调递增，，，函数单调递减，当时函数取得最大值，方程化简为，解得：或，如图画出函数的图象，当时，方程有5个实根，故选C.10.【2017届湖南省岳阳市三模】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（）个A. 6B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】∵函数是定义在上的偶函数，当时，，函数的零点就是函数的图象与直线的交点的横坐标，作出函数在的图象，如图，由图可得：函数图象与直线有6个交点，故答案为：6．11.【2017届天津市十二重点中学二联考】已知函数()()()2101,{1(1)x x f x f x m x -≤≤=-+>在定义域[)0,+∞上单调递增，且对于任意0a ≥，方程()f x a =有且只有一个实数解，则函数()()g x f x x =-在区间0,2n⎡⎤⎣⎦（*n N ∈）上的所有零点的和为（ ） A.()12n n + B. 21122n n +-+ C.()2122n+ D. 21n -【答案】B【解析】函数()()()2101,{1(1)x x f x f x m x -≤≤=-+>在定义域[)0,+∞上单调递增，且对于任意0a ≥，方程()f x a =有且只有一个实数解，则()f x 是连续函数,可得1m = ,画出()y f x = 与y x = 的图象,图象交点横坐标就是函数()()g x f x x =-的零点,由图知,在区间0,2n ⎡⎤⎣⎦（*n N ∈）上的所有零点的和为()2111+2+3...21222n n n n +-+-+=+ ,故选B.12.【2017届四川外语学院重庆第二外国语学校3月考】已知函数()()1,0{11,02ln x x f x x x +>=+≤，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ） A. [)32ln2,2- B. []32ln2,2- C. []1,2e - D. [)1,2e - 【答案】A【解析】作出函数f (x )的图象如图， 若m <n ,且f (m )=f (n )，则当ln (x +1)=1时，得x +1=e ，即x =e −1， 则满足0<n ⩽e −1，−2<m ⩽0，则ln (n +1)=12m +1,即m =2ln (n +1)−2， 则n −m =n +2−2ln (n +1)，设h (n )=n +2−2ln (n +1)，0<n ⩽e −1 则()2121'1111n n h n n n n +--=-==+++ ， 当h ′(x )>0得1<n ⩽e −1， 当h ′(x )<0得0<n <1，即当n =1时,函数h (n )取得最小值h (1)=1+2−2ln 2=3−2ln 2， 当n =0时,h (0)=2−2ln 1=2，当n =e −1时,h (e −1)=e −1+2−2ln (e −1+1)=1+e −2=e −1<2， 则3−2ln 2⩽h (n )<2，即n −m 的取值范围是，值域为，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】a ≥1【解析】仅考虑函数f (x )在x >0时的情况，可知()3312,{12,x x x f x x x x -<=-≥函数f (x )在x＝2时，取得极大值16.令x 3－12x ＝16，解得，x ＝4.作出函数的图象(如右图所示)．函数f (x )的定义域为，值域为，分为以下情况考虑： ①当0<m <2时，函数的值域为，有m (12－m 2)＝am 2，所以a ＝12m－m ，因为0<m <2，所以a >4； ②当2≤m ≤4时，函数的值域为，有am 2＝16，所以a ＝216m，因为2≤m ≤4，所以1≤a ≤4； ③当m >4时，函数的值域为，有m (m 2－12)＝am 2，所以a ＝m －12m，因为m >4，所以a >1. 综上所述，实数a 的取值范围是a ≥1.。
高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案
高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若函数f (x )={x +1, x ≥0,f (x +2), x <0则f (−3)的值为 （ ） A.5B.−1C.−7D.22. 已知函数f(x)的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f(13)]＝（ ）A.−13B.13C.−23D.233. 已知f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，若f(x)＝3，则x 的值是（ ）A.1B.1或32C.1，32或±√3D.√34. 已知函数{x 2+1,x ≤0−2x,x >0，f(x)=5，则x 的值为（ ） A.−2B.2或−2C.2或−52D.2或−2或−525. 已知函数f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0则f （f(5)）＝（ ） A.0B.−2C.−1D.16. 函数f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，则当f(x)≥1时，自变量x 的取值范围为（ ） A.[1,53]B.[53，3] C.(−∞,1)∪[53，+∞)D.(−∞,1]∪[53，3]7. 函数f(x)=ln1的大致图象是( )(2−x)2A.B.C.D.的部分图象大致为() 8. 函数y=1+x+sin xx2A. B.C.D.9. 若函数f(x)={e x e ,x ≥0，x 2+5x +4，x <0，（其中e 为自然对数的底数），则函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x) 的零点个数为( )A.2B.3C.4D.510. 已知f(x)={1,x ≥0,−1,x <0,则不等式x +(x +2)⋅f(x +2)≤5的解集是( ) A.[−2, 1]B.(−∞, −2]C.[−2,32]D.(−∞,32]11. 设函数f(x)={x 2+2x ，x <0，−x 2，x ≥0，f(f(a))≤3，则实数a 的取值范围是________．12. f(x)={(12)x −2,x ≤0，2x −2,x >0，则f(x)−x 的零点个数是________．13. 若函数f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)，则f(5)=________． 14. 已知函数满足，则函数的解析式为________．15. 定义a ⊗b ={a 2+b ，a >b a +b 2，a ≤b ，若a ⊗(−2)=4，则a =________．16. 已知函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点，则实数a 的取值范围是________．17. 若函数f(x)＝，则f(2020)＝________．18. 已知函数f(x)={(12)x ,x ≥4f(x +1),x <4，则f(log 23)＝________．19. 函数f(x)={e x −a ，x ≤1x 2−3ax +2a 2+1，x >1，若函数y =f(x)图象与直线y =1有两个不同的交点，求a 的取值范围________．20. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3 .(1)求f (x )的解析式；(2)若f (m +1)<f (2m −1)，求实数m 的取值范围．21. 已知函数f(x)的解析式为f(x)={3x +5，(x ≤0)，x +5，(0<x ≤1)，−2x +8，(x >1).(1)画出这个函数的图象；(2)求函数f(x)的最大值；22. 已知函数f (x )=|2x −1|+|x +2|．（1）在给定的坐标系中画出函数f(x)的图象；（2）设函数g(x)=ax+a，若对任意x∈R，不等式g(x)≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围．23. (1)用定义法证明函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增；(2)已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=x3+3x2+1，求g(x)的解析式．24. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=13x3+12x2.(1)求f(x)的解析式，并补全f(x)的图象；(2)求使不等式f(m)−f(1−2m)>0成立的实数m的取值范围．参考答案与试题解析高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为−3<0，所以f(−3)=f(−3+2)=f(−1).因为−1<0，所以f(−1)=f(−1+2)=f(1).因为1>0，所以f(1)=1+1=2.故选D .2.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换分段函数的解析式求法及其图象的作法函数单调性的性质与判断【解析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值．【解答】由图象知f(x)={x +1(−1<x <0)x −1(0<x <1)∴ f(13)=13−1=−23，∴ f(f(13))=f(−23)=−23+1=13．3.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的零点与方程根的关系【解析】利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x 的方程，通过求解相应的方程得出所求的字母x 的值．或者求出该分段函数在每一段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段确定出字母x 的值．【解答】该分段函数的三段各自的值域为(−∞, 1],[O, 4)．[4, +∞)，而3∈[0, 4)，故所求的字母x 只能位于第二段．∴ f(x)=x 2=3,x =±√3，而−1<x <2，∴ x =√3．4.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x|x >0}，而f(5)＝−2∈{x|x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【解答】因为5>0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(5)＝3−5＝−2， 所以f （f(5)）＝f(−2)，因为−2<0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(−2)＝(−2)2+4×(−2)+3＝−16.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据题意分两种情况x >2和x ≤2，代入对应的解析式列出不等式求解，最后必须解集和x 的范围求交集．【解答】解：∵ f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，∴ 分两种情况： ①当x >2时，由f(x)≥1得，{x >22x−1≥1，解得2<x ≤3，②当x≤2时，由f(x)≥1得，|3x−4|≥1，即3x−4≥1或3x−4≤−1，解得，x≤1或x≥53，则x≤1或53≤x≤2．综上，所求的范围是(−∞,1]∪[53，3]．故选D．7.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=ln1(2−x)2的定义域为：x≠2，函数图像关于x=2对称，当x=0时，f(0)=ln1(2−0)2=−ln4<0，因为ln4∈(1，2).故选D.8.【答案】B【考点】奇函数分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的图象【解析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=1+x+sin xx2，可知：f(x)=x+sin xx2是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+sin xx2的图象关于(0, 1)对称，当x>0时，f(x)>0，当x=π时，y=1+π．故选B．9.【答案】D【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：根据分段函数解析式作出函数的图像，如图所示：, 0)和(0, +∞)上为增函数，由图可知，函数f(x)在(−52且f(f(x))=f(x)解的个数等价于f(x)=x解的个数.作出图像可知，函数y=f(x)与y=x有(−2, −2)和(e, e)两个公共点，作出f(x)=e的图像，由图可知，f(x)=e有三个解；作出f(x)=−2的图像，由图可知，f(x)=−2有两个解.综上可知，函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x)的零点的个数为5. 故选D.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】由题意可得，①当x+2≥0时，f(x+2)=1，代入所求不等式可求x，②当x+2< 0即x<−2时，f(x+2)=−1，代入所求不等式可求x，从而可得原不等式的解集【解答】解：①当x+2≥0，即x≥−2时，f(x+2)=1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x+x+2≤5，∴x≤32，即−2≤x≤32；②当x+2<0即x<−2时，f(x+2)=−1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x−(x+2)≤5，即−2≤5，∴x<−2.综上，不等式的解集为{x|x≤32}.故选D.二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）11.【答案】(−∞, √3]【考点】分段函数的应用分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】先讨论f(a)的正负，代入求出f(a)≥−3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．【解答】解：①若f(a)<0，则f2(a)+2f(a)≤3，解得，−3≤f(a)≤1，即−3≤f(a)<0；②若f(a)≥0，则−f2(a)≤3，显然成立；则f(a)≥0；③若a<0，则a2+2a≥−3，解得，a∈R，即a<0；④若a≥0，则−a2≥−3，解得，0≤a≤√3；综上所述，实数a的取值范围是：(−∞, √3]．故答案为：(−∞, √3]．12.【答案】【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】本题考查分段函数图象的作图及函数零点区间的判断问题．【解答】解：函数f(x)={(12)x−2,x ≤0,2x −2,x >0的图象如图所示， 由图示可得直线y =x 与该函数的图象有两个交点，由此可得f(x)−x 有2个零点．故答案为：2．13.【答案】20【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据自变量的值代入分段函数求值．【解答】解：由f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)得， f(5)=f(6)=f(7)=f(8)=f(9)=f(10)=2×10=20．故答案为：20．14.【答案】千(x )=三．________3′3x【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的图象分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】令f (1x )+2f (x )=1x ．联立f (x )+2f (1x )=x 消去f (1x )即可I 加加加因为f (x )+2f (1x )=x ，所以f (1x )+2f (x )=1x由{f (x )+2f (1x )=x f (1x )+2f (x )=1x，消去f (1x )，得f (x )=−x 3+23x 故答案为：f (x )=−x 3+23【解答】此题暂无解答15.【答案】 √6【考点】函数新定义问题分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】分类讨论，利用新定义即可得出．【解答】解：①当a >−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a 2−2，解得a =√6．②当a ≤−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a +(−2)2，解得a =0，应舍去． 综上可知：a =√6．故答案为：√6．16.【答案】(34, 1) 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数零点的判定定理【解析】由题意可得，a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，再利用二次函数的性质求得a 的范围．【解答】∵ 函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点， ∴ a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，∴ { a >0a(−2)2+2(−2)+1>0−2<−1a <0△=4−4a >0， 解得 34<a <1，17.【答案】1【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断当x>0时，f(x+6)＝f(x)，可得x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，再由周期性及分段函数解析式求解．【解答】当x>0时，由f(x)＝f(x−1)−f(x−2)，可得f(x+1)＝f(x)−f(x−1)，两式相加得f(x+1)＝−f(x−2)，则f(x+3)＝−f(x)，∴当x>0时，f(x+6)＝−f(x+3)＝−[−f(x)]＝f(x)，即x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，又f(x)＝，∴f(2020)＝f(4)＝−f(1)＝f(−1)−f(0)＝2−1＝1，故答案为：1．18.【答案】124【考点】函数的求值求函数的值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用a log a N=N进行求解．【解答】由已知得，f(x)={(12)x,x≥4f(x+1),x<4，且1<log23<2，∴f(log23)＝f(log23+1)＝f(log23+2)＝f(log23+3)＝f(log224)=(12)log224=2log2(24)−1=124．19.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）20.【答案】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.21.【答案】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x =1时，函数f(x)取得最大值6，∴ 函数f(x)的最大值为6；【考点】函数的最值及其几何意义分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】（1）分段函数的图象要分段画，本题中分三段，每段都为一次函数图象的一部分，利用一次函数图象的画法即可画出f(x)的图象；（2）由图象，数形结合即可求得函数f(x)的最大值【解答】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x=1时，函数f(x)取得最大值6，∴函数f(x)的最大值为6；22.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答23.【答案】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．【考点】函数单调性的判断与证明分段函数的解析式求法及其图象的作法函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．24.【答案】解：(1)设x<0，则−x>0，于是f(−x)=−13x3+12x2，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(−x)=−13x3+12x2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f (x )是偶函数，所以原不等式等价于f (|m|)>f (|1−2m|)． 又由(1)的图象知，f (x )在[0,+∞)上单调递增， 所以|m|>|1−2m|，两边平方得m 2>1−4m +4m 2，即3m 2−4m +1<0， 解得13<m <1， 所以实数m 的取值范围是{m|13<m <1}．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数奇偶性的性质奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：(1)设x <0，则−x >0，于是f (−x )=−13x 3+12x 2， 又因为f (x )是偶函数，所以f (x )=f (−x )=−13x 3+12x 2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f(x)是偶函数，所以原不等式等价于f(|m|)>f(|1−2m|)．又由(1)的图象知，f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以|m|>|1−2m|，两边平方得m2>1−4m+4m2，即3m2−4m+1<0，解得13<m<1，所以实数m的取值范围是{m|13<m<1}．。
高考分段函数主要考点
分段函数定义 凡是把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数.如 是一个分段函数.分段函数表示的是一个函数,而不是几个函数.分段函数一般不是初等函数.一．作分段函数的图象1．作出下列函数的图象(1()21y x x =-+)；(2)lg 10x y =2、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示PA 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图.3．函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==试作出这两个函数的图象。
二．求分段函数的解析式1．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象.2．已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明：f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式；(3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式.3.设f (x )(x ∈R )为偶函数，且f (x －23)=f (x +21)恒成立，x ∈［2，3］时，f (x )=x ，则x ∈［－2，0］时，f (x )等于A.|x +4|B.|2－x |C.3－|x +1|D.2+|x +1|三．求分段函数的定义域1．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（ ）A ．(][]10,02, -∞-B ．(][]1,02, -∞-C ．(][]10,12, -∞-D ．[]10,1]0,2[ -2．若f (x )是奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，又f (－3)=0，则x ·f (x )＜0的解集是A.{x |－3＜x ＜0或x ＞3}B.{x |x ＜－3或0＜x ＜3}C.{x |x ＜－3或x ＞3}D.{x |－3＜x ＜0或0＜x ＜3}3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=),1x (1x 12),1x (x lg )x (f 若f(x 0)＞1，则x 0的取值范围是A.(0，10)B.(-1，+∞)C.(-∞，-2)∪(-1，0)D.(-∞，0)∪(10，+∞)4．设函数lg ||,(0)()21,(0)x x x f x x <⎧=⎨-≥⎩若0)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）A ．)1,(--∞∪),1(+∞B ．)1,(--∞∪),0(+∞C ．)0,1(-∪)1,0(D ．)0,1(-∪),0(+∞四．求分段函数的函数值或值域。
导数压轴题 分段函数
导数压轴题分段函数
分段函数概念：如果一个函数，在其定义域内，对应自变量x在不同的取值范围内，函数有不同的对应关系（表达式），则称这样的函数为分段函数。
高中常见的分段函数如下图所示：【注】除次之外，分段函数的一些易错、易混知识点及解题技巧总结如下：（1）分段函数是一个函数，而不是多个函数。
（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，并且分段函数各段间的定义域的交集为空集。
（3）分段函数的值域是各段函数值域的并集。
微专题18分段函数10种常考题型总结(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题
微专题18 分段函数10种常考题型总结题型1 分段函数求函数值题型2 已知函数值求参数题型3 解分段函数不等式题型4 分段函数的图象题型5 分段函数的单调性题型6 分段函数的奇偶性题型7 分段函数的值域或最值题型8 分段函数与零点问题题型9 max/min 型分段函数题型10 新定义题一、分段函数1、分段函数的定义函数y x =与函数,0,0x x y x x ³ì=í-<î是同一函数，但在表达方式上有所区别，前者在定义域内有一个表达式，而后者的定义域被分成两部分，而在不同的部分有不同的解析式．在函数的定义域内，对于自变量x 在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．2、对分段函数的理解（1）分段函数是一个函数而不是几个函数。
处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系；（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集；（3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．3、分段函数常见的几种类型（1）取整函数：()[]f x x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）．（2）1,()(1)1,x x f x x -ì=-=íî为正奇数为非负偶数．（3）含绝对值符号的函数．如2,2()|2|(2),2x x f x x x x +³-ì=+=í-+<-î．（4）自定义函数．如21,1(),122,2x x f x x x x x x--£-ìï=--<£íï->î二、有关分段函数的求解问题1、分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或线段，而分段函数的值域，也就是各部分的函数值集合的并集，最好的求解方法是“图象法”。
分段函数
分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数作为考查函数知识的最佳载体，以其考查知识容量大而成为高考命题的亮点，常以选择题、填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度：(1)由分段函数解析式，求函数值(或最值)；(2)由分段函数解析式与方程，求参数的值；(3)由分段函数解析式，求解不等式；(4)由分段函数解析式，判断函数的奇偶性．(1)(2014·高考江西卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2(2)(2013·高考福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________． (3)(2015·榆林模拟)已知f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1， x ≤0，－（x －1）2，x >0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．[解析] (1)由题意得f (－1)＝2－(－1)＝2，f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，∴a ＝14.(2)∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.(3)由题意知⎩⎨⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－（x －1）2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故x 的取值范围是[－4，2]．[答案] (1)A (2)－2 (3)[－4，2][规律方法] 解决分段函数求值问题的方法：(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．2.(1)(2015·福建南安一中上学期期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin πx ，x ≤0，f （x －1）＋1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1(2)(2015·西城模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2（x >0），若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为________．(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋1＝－32＋1＝－12. (2)当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2－2b ＋c ＝c ，（－1）2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2（x ≤0），2（x >0）. 当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x ＝－2或x ＝1(1>0，舍去)．当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2，2}．(3)由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(1)B (2){－2，2} (3)(－1，3)方法思想——分类讨论思想在分段函数中的应用(2014·高考浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________．[解析] 若a >0，则f (a )＝－a 2<0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，得a ＝ 2.若a ≤0，则f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1>0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．[答案] 2若本例中的“f (f (a ))＝2”变为“f (f (a ))≤2”，其他条件不变，求实数a 的取值范围．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）<0，f 2（a ）＋2f （a ）＋2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）>0，－f 2（a ）≤2，解得f (a )≥－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a 2＋2a ＋2≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2≥－2， 解得a ≤ 2.[名师点评] (1)解答本题利用了分类讨论思想，分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．因f (x )为分段函数，由于f (a )和a 正负不确定，应分情况讨论．(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．1.(2015·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（8－x ）， x ≤0f （x －1）－f （x －2）， x >0，则f (3)的值为( ) A ．1 B ．2C ．－2D ．－3解析：选D.f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3.2．(2015·北京朝阳期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x ，x <0，则“a ＝2”是“f (a )＝4成立的”( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4，所以充分性成立；当f (a )＝4时，有⎩⎪⎨⎪⎧a <0－a ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥02a ＝4⇒a ＝－16或a ＝2，所以必要性不成立，故选A.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1，3)解析：选A.f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3，解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________． 解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. 答案：145．(2015·上海徐汇模拟)已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0. (1)求f (g (2))与g (f (2))；(2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式．解：(1)g (2)＝1，f (g (2))＝f (1)＝0；f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x ＞0时，f (g (x ))＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x ＜0时，f (g (x ))＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0. 同理可得g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ＜－1或x ＞1，3－x 2，－1＜x ＜1.6．设x ≥0时，f (x )＝2；x ＜0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3f （x －1）－f （x －2）2(x ＞0)，试写出y ＝g (x )的表达式，并画出其图象．解：当0＜x ＜1时，x －1＜0，x －2＜0，∴g (x )＝3－12＝1；当1≤x ＜2时，x －1≥0，x －2＜0，∴g (x )＝6－12＝52；当x ≥2时，x －1＞0，x －2≥0，∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎨⎧1，（0＜x ＜1），52，（1≤x ＜2），2，（x ≥2）.7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（a －2）x ，x ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 解析：选B.函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2<0，（a －2）×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1， 由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138. 8. 判断下列函数的奇偶性．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2（x ＞0）0（x ＝0）－x 2－2（x ＜0）. [解] f (x )的定义域为R ，关于原点对称，当x ＞0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x ＜0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )．故该函数为奇函数．小结： 分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．练习f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0；解。
高三 分段函数.doc
辅导讲义学员编号： 年 级：高三 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型分段函数常见题型 分段函数综合题授课日期及时段教学内容一知识梳理分段函数1.函数在定义域不同的子集上对应法则不同,可用n 个式子来表示,称为分段函数.2.分段函数是一个整体是一个函数(不是n 个),定义域是各段定义域的并集,值域是各段 值域的并集.3.分段函数的研究两个原则是“分段研究”，“数形结合”.4.分段函数三种题型：求值，解不等式，函数与方程。
二专题精讲题型一 分段函数求值例1.（苏锡常镇2012届高三调研测试（二））已知函数⎩⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x则)2(log 3f 的值为 .参考答案：118解析：3(log 22)331(log 2)(log 22)318f f -+=+==例2.（2012江苏高考） 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ．参考答案：10-解析：因为1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的周期为2，所以)21()223()21(-=-=f f f ，根据0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，得到223-=+b a ， 又)1()1(-=f f ，得到02,221=++=+-b a b a 即，结合上面的式子解得4,2-==b a ，所以103-=+b a . 练习1.(2011江苏高考）已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________解析：30,2212,2a a a a a a >-+=---=-，30,1222,4a a a a a a <-+-=++=- 点评：考察分段函数，分类讨论等。
高中常见分段函数题型归纳.doc
匕5(osxia(小,求 f{f[f(a)]} (avO)的值.分析：求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由a<0, f(a)=2a,又0<2a<l,怎又声〉所以,分段函数常见题型及解法分段函数是指口变量在两个或两个以上不同的范围內，有不同的对应法则的函数，它是一个函数， 非儿个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材小只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明, 因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法.1.求分段函数的定义域和值域= xw (o,2);例1・求函数xw[2,+oo);的定义域、值域. 解析：作图，利用“数形结合”易知门兀)的定义域为[一1，+°°),值 域为(-1, 2JU {3}.例2.求函数X®的值或解析：因为当沦0时，x 2+l>l ；当x<0时,-x 2<0.所以，原函数的值域M[1,4-OO )U(-oo,0).2.求分段函数的函数值例1.已知函数(I 兀 1> 1)/[/({)]解析：因为 /(i )=li-i|-2 = -14I 所以皿处心例2.(2知函数注：求分段函数值的关键是根据口变量的取值代入相应的函数段.g(x) = 练1 •设e\x<0. Inx, x > 0.练2.设2广Sv 2), log3(x2-i)3.求分段函数的最值4x + 3 (x<0)/(%) = * x-t-3(0<x< 1)例1.求函数卜小(X>1)的最大值.解析：当兀<° 吋，人ax (X )= /(°)= 3,当° VxWl 时，ZnaxS) = '(」)= ",当 X > 1 吋,~x + 5<-1 + 5 = 4综 |-有 f nax (") — °例2.设a 为实数，函数f(x)=x 2+|x ・a|+l,xWR,求f(x)的最小值. 分析：因为原函数可化为所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.1+<!*■ —解：当 x<a 吋，函数 f(x)=x 2-x+a+l 才4,a < —所以若 S 则函数f(x)在(ga ］上单调递减，从而f(x)在(・oo,a ］上的最小值为f(a)=a 2+l.<i > —/(^ ■三*a若 2,贝ij 函数f (x )^(-oo,a ］上的最小值为24<ji-lJ(-!)---« b _若 2 ,则函数f (x )在［a,+s)上的最小值为 丫 4 ，且 2*若 2 ,则函数f(x)^E ［a,+co)±的最小值为f(a)=a2+1.*丄综上，当 3时，函数f(x)的最小值是'；当2 2时，函数f(x)的最小值是a'+l ；当 2时，函数f(x)的最小值是 4.注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比鮫，从I 何达到求解的冃的.4.求分段函数的解析式当x>a 时， 函数例1.在同一平面直角坐标系中，函数y = 和y = 的图彖关于直线>, = x对称，现将-v =巩兀)的图彖沿兀轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图彖是由两条线段组成的折线(如图所示)，则函数/(X )的表达式为()解析：当"[-2,0]时， 尸和+ 1,将其图象沿兀轴向右平移2个单位，再沿y 轴向下平移1个 单位，得解析式为)=+(兀-2) + 1-1 = *兀-1,所以 f(x) = 2x + 2 (XG [-1,0])?当"[0,1]时， y = 2x + l,将其图彖沿x 轴向右平移2个单位，再沿)'轴向下平移1个单位，得解析式y = 2(x-2) +1 -1 = 2x-4所以 /(x) = y% + 2 (尢c[0,2]),综上可得故选A.例2•某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2刀1 H 起的300天内，西红柿售价与上市时 间的关系用图1的一•条折线表示；西红柿的种植成木与上市时间的关系用图2的抛物线段表示： ⑴写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t),写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系 式Q=g(t); (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？解析：⑴由图I 可得市场售价与时间的关系为300 r (0£/£200))B. C.f(x) =fM =2x + 2 于+ 2 2x-2 7-2[2x-2D. f(x) =2x-6 f-3(-l<x<0)(0 < x < 2)(-l<x<0) (0<x<2) (l<x<2) (2<x<4)(l<x< 2) (2 < x < 4)-• 333 、・ 、 、--- JI/' ■ / i:: ・200 300°图1V23工 153 1 、■、 』1 1 11- •十： 1 11 1 • • 1 ill 0】53 :刃 300 t图22«-300 C200<«<?iJO) 山图2可得种植成本与吋间的函数关系为(0<t<300)o(II)设t 吋间的纯收益为h(t),由题意得丄尸丄“直(pit^2Da ).200 2 2-1^5(200 <Zi300X 2002 2再求h(t)的最大值即可。
分段函数的求法高中数学解题方法含详解
分段函数的求法高中数学解题方法一、单选题 1．若f （x ）＝,0,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩，且f （x ）＝1，则x ＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．02．为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”．假设计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月的用水量（ ） A ．13B ．14C ．15D ．163．设函数()121,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩，若()02f x >，则0x 的取值范围是（ ） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．(),1-∞- C ．()4,+∞D ．()1,4-4．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，则使得1(())2f f x =成立的x 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知函数()0,πcos ,0,3x f x xx ≤=⎨>⎪⎩则()()100f f -=（ ） A ．12-B ．12C ．1D ．1-6．已知函数()21,1,1x e x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩若()04f f m ⎡⎤=⎣⎦，则实数m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．函数1(,0]()3(21)(1),(0,)xx f x a x a x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-∈+∞⎩，在(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．已知函数,0(),0x e x f x mx m x ⎧≥=⎨+<⎩，在R 上单调递增，其中e 为自然对数的底数，那么当m 取得最大值时，关于x 的不等式()()ln f x m ≤的解集为（ ） A ．(,1]-∞B ．(]1,1-C ．(]0,eD ．(1,]e -9．已知()()[)2,0,1log ,1,2aax x f x x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，若()1f x =有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．()1,210．若f (x )=,13,1ax x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知函数()21,12,1x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩.若()1212,x x R x x ∀∈≠，都有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．(]1,3C ．[]3,4D ．(]1,4 12．已知函数21,70()ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤<⎩，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)-+∞B ．[1,3]-C ． ][(,13,) -∞-⋃+∞D ．(3],-∞13．已知函数ln ,1(),()(2),1xx x f x g x kx f xe x ≥⎧==+'⎨<⎩，对12,[3,3]x R x ∀∈∃∈-，使得12()()f x g x ≥成立，则k 的取值范围是（ ）A ．11(,]36e -∞-- B ．11[)36e ++∞， C ．1111[,]3636e e --+ D ．11(,]36e -∞--11[)36e ++∞， 14．已知函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，，若存在实数1234x x x x ，，，，当1234x x x x <<<时，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x +++的取值范围是（ ） A ．2573⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[257)3，C ．46143⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．46143⎛⎫ ⎪⎝⎭，15．设函数2cos ,10()23,02x x x f x ax x a x --≤≤=+-<≤⎪⎩，若()f x 在区间[]1,2-上是单调函数，则 A ．12a ≥-B ．1123a -≤≤ C ．13a ≥D ．102a -≤<或0a >二、多选题16．已知ln 2,0()12,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在实数m 满足()12(())12f m f f m ++=，则（ ）A ．()0f m ≤B ．()f m 可能大于0C ．(,1]m ∈-∞-D ．(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦17．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题18．设函数()ln ,01,0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩，若()1f m =，则实数m =______.19．已知函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =-，则0x =___________.20．已知函数2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩且1)a ≠，若((2))2f f =，则实数a 的值为______．21．已知函数221,0()log ,0x x f x x x -⎧-=⎨>⎩，若1()14f a f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则实数a 的值为__________． 22．已知函数0()1,0x f x x x >=+≤⎪⎩，若m n <，()()f m f n =，则n m -的取值范围是________．23．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数()()1,221,x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若()()0f f x A ∈，则0x 的取值范围是__________．24．已知函数()2log 1,033x x f x x ⎧-<≤⎪=>，则使不等式()12f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围为______.25．已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =___________. 26．11,1,()3,1x a x x f x a x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩满足：对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，a 的取值范围________．27．已知函数21e ,0,()e,0x x x f x x m x ⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩的图象上存在两个点关于y 轴对称，则实数m 的取值范围为___________． 28．若函数2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩1)a ≠,的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．29．已知函数()||f x x x a =--，若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-，则实数a 的最大值为_________．30．已知函数22()4f x x x ax =---在区间(,2)-∞-和(2,)+∞上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．31．已知函数220()log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩.(1) 解不等式：()0x f x ⋅≤；(2) 当(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，求实数m 的取值范围； (3) 对于满足(2)的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，求实数k 的取值范围.32．设0a >，(),3313,333x a a x a f x x a x a x a ⎧+-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，若()()1f x f x -<恒成立，则实数a 的取值范围是______.33．已知函数()()2214,3441518,3tx x f x tx t x t x -⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-+-≥⎩，数列{}n a 的通项公式为()()*N n a f n n =∈，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数t 的取值范围是_________.34．已知0a >且0a ≠，函数223,2()1log ,2a x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩存在最小值，则(4)f a 的取值范围为__________．四、双空题35．已知函数()2212,033,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦_______，若()5f a =-，则a =______．36．若函数12,0()2,0x x x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，则((1))f f -=_________，若1()2f a =，则a =________．37．设函数ln(2),1()24,1x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，当()1f a =时，a =_______；如果对于任意实数R 都有()2f x b ≥成立，那么实数b 的取值范围是_________．超过x 的最大整数.例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=.已知函数()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈，若5()2f x =，则x =________；不等式()f x x ≤的解集为________. 39．若函数2,11,()ln ,1.x x f x x x a -⎧-≤<=⎨≤≤⎩①当2a =时，若()1f x =，则x =__________．②若()f x 的值域为[0,2]，则a 的取值范围是__________． 40．已知函数[][]()sin,1,12f x x x x π=+∈-.其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]3.54,2.12-=-=.(1)函数()f x 是_________函数（奇偶性）；(2)函数()f x 的值域是________.五、解答题41．已知函数()()()221(12)22x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）求()3f 、()()2ff -的值；（2）若()10f a =，求a 的值. 42．已知函数1,0()2,0xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩（1）若1()()12f x f x +->，求x 的取值范围；（2）若21,()2x f x x b ∀∈≥-+R 恒成立，求b 的取值范围.43．已知()f x x x a b =-+，x ∈R .（1）当1a =、0b =时，判断()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当1a =、1b =时，若()2log 3f x =，求x 的值.44．已知函数22,2()2,2x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩（1）若0)(8f x =，求0x 的值； （2）解不等式()8f x >.45．设函数()1 ,01(1),11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩，其中a 为常数且()0,1a ∈.新定义：若0x 满足()()00ff x x=，但()00f x x ≠，则称0x 为()f x 的回旋点.（1）当12a =时，分别求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）当(],1x a ∈时，求函数(())y f f x =的解析式，并求出()f x 回旋点； （3）证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点，并求出回旋点12,x x . 46．已知函数()3,0ln ,0x x f x x x e-<⎧=⎨<<⎩的值域为M ,函数()()142x x g x x M +=-∈.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M ∈时,若函数()()142xx h x b b R +=--∈有零点,求b 的取值范围,并讨论零点的个数.47．已知函数2()22,()2|1|f x x tx t g x x =-+-=-，函数()min{(),()}F x f x g x =，其中{},min ,.,p p qp q q p q≤⎧=⎨>⎩ （1）若()24f x t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围； （2）若6t ≥，①求使得()()F x f x =成立的x 的取值范围； ②求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M t ． 48．已知()f x x x a =-，0a >．（1）当2a =时，求函数()f x 在[]1,3-上的最大值；（2）对任意的1x ，[]21,1x ∈-都有()()124f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【分析】分段讨论即可求出. 【详解】解：当x ≥0时，f （x ）＝x ，由f （x ）＝1，得x ＝1， 当x ＜0时，f （x ）＝﹣x ，由f （x ）＝1，得1x =-． 综上，x ＝±1． 故选：C ． 2．B 【分析】根据阶梯水价，结合题意进行求解即可. 【详解】当用水量为312m 时，水费为12336⨯=，而本月交纳的水费为48元，显然用水量超过312m ， 当用水量为318m 时，水费为36(1812)672+-⨯=，而本月交纳的水费为48元，所以本月用水量不超过318m ，所以有(4836)62-÷=，因此本月用水量为312214m +=， 故选：B 3．A 【分析】分别在00x ≤和00x >的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】当00x ≤时，()0001222x x f x -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，01x ∴->，解得：01x <-；当00x >时，()12002f x x ==>，解得：04x ；综上所述：0x 的取值范围为()(),14,-∞-+∞.故选：A. 4．B 【分析】令()f x t =，由()12f t =得到12t =-，2t =()1f x t =和()2f x t =，得到x 的值，从而得到答案.【详解】令()f x t =，则()12f f x =⎡⎤⎣⎦的零点，转化为()12f t =，而21,0()ln ,0t t f t t t ⎧-+≤=⎨>⎩，由21120t t ⎧-+=⎪⎨⎪≤⎩，解得12t =-（正值舍）， 由1ln 20t t ⎧=⎪⎨⎪>⎩，解得2t =， 所以()1f x t ==，即0x ≤时，21x -+=，得12(1)x =-+（正值舍）， 0x >时，ln x =x e =， ()2f x t ==即0x ≤时，21x -+，得x 无解，0x >时，ln x =，得x = 所以()12f f x =⎡⎤⎣⎦有3个零点. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查求复合函数的零点，关键在于通过换元法，区分内外层函数，逐层求解，属于中档题. 5．A 【分析】直接代入，先求()100f -，再求()()100f f -.【详解】由题意知()10010f -==，则()()()10π4ππ10010coscos cos π333f f f ⎛⎫-====+ ⎪⎝⎭π1cos 32=-=-．故选：A【点睛】求分段（复合）函数函数值的方法步骤： （1）找到给定自变量所在的区间； （2）将自变量带入解析式求解. 6．C 【分析】根据分段函数的解析式，先求出()02f =，再根据()04f f m ⎡⎤=⎣⎦可得答案. 【详解】因为函数()21,1,1x e x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩，所以()0012f e =+=，所以()()02424f f f m m ⎡⎤==+=⎣⎦， 解得2m =， 故选：C. 7．B 【分析】依题意，当0x >时，(21)))((1a x x a f =-+-为减函数，再比较分段点处函数值大小，即可得答案. 【详解】依题意()f x 在R 上为减函数，所以02101()13a a -<⎧⎪⎨≥-⎪⎩，解得102a ≤<， 故选：B. 8．B 【分析】首先根据函数()f x 的单调性求得01m <≤，从而确定m 的最大值为1，接着确定函数()f x 的解析式，接着分类讨论()()ln 1f x ≤的解集即可.解：因为函数()f x 在R 上单调递增，则有000m m m e>⎧⎨⨯+≤⎩，解得01m <≤，所以m 的最大值为1，此时,0()1,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，令()()ln 1f x ≤，解得()0f x e <≤，当0x <时，01x e <+≤，解得11x e <≤-﹣，所以10x -<<， 当0x ≥时，0x e e <≤，解得01x ≤≤， 综上，不等式的解集为(]1,1-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，处理这类问题主要是每一段上的单调性要考虑，还要考虑两段的端点值进行比较大小才能最后确定函数的单调性. 9．D 【分析】解方程()1f x =，根据该方程有两解可得出关于a 的不等式组，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知0a >且1a ≠.当12x ≤<时，由()log 1a f x x ==，可得x a =； 当01x <<时，由()21f x ax ==，可得x =由于方程()1f x =有两解，则1201a ≤<⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得12a <<. 因此，实数a 的取值范围是()1,2. 故选：D. 10．D由()a f x x =在[1，+∞)上单调递减且131aa ≤-+可解得结果. 【详解】因为函数()3f x x a =-+在(,1)-∞上是单调递减的，又()f x =,13,1ax xx a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数， 所以()af x x =在[1，+∞)上单调递减，即a >0， 并且131a a ≤-+，解得12a ≥．综上所述，a 的取值范围为1[,)2+∞.故选：D 【点睛】易错点点睛：解答本题时易只考虑两段上的单调性，忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系，但是忽视了取等号的情况而导致结果错误. 11．B 【分析】首先可得函数()f x 在R 上是增函数，然后保证函数()f x 在每一段都是增函数，同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，进而可解得结果. 【详解】依题意可知，函数()f x 在R 上是增函数，则11412a a a >⎧⎪⎪≤⎨⎪-≤⎪⎩，解得13a.故选：B . 【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断． 12．B先根据已知条件求解出()f x 的值域以及()g x 的最小值，然后根据题意得到224a a -与()f x 值域的端点的大小关系，由此求解出a 的取值范围.【详解】因为2()2g x x x =-，a 为实数，所以22()24g a a a =-， 因为224y a a =-，所以当1a =时，y 的最小值为2-， 因为函数21,70()ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩的图象如下图，且2(7)6,()2,()1f f e f e --==-=，所以结合图象可知()f x 值域为[2,6]-，因为存在实数m ，使()2()0f m g a -=，所以22246a a -≤-≤，即13a -≤≤， 故选：B ．【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集． 13．D 【分析】由题知，()()min min g x f x ≤，先求出()min f x ，再对k 分类讨论求出范围. 【详解】 1x >时，()ln f x x =()1f x x '∴=∴()122f '=∴1()2g x kx =+12,[3,3]x R x ∀∈∃∈-，使得12()()f x g x ≥成立()()min min g x f x ∴≤对函数ln ,1(),1xx x f x xe x ≥⎧=⎨<⎩当1x >时，()ln f x x =，此时()min 0f x = 当1x <时，()x f x xe =()(1)x f x x e '∴=+令()(1)0x f x x e '+==得1x =- 当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增所以1x =-为极小值点，此时1(11)f e e-=-=--故()min 1f x e=- 当0k =，1()2g x =不合题意； 当0k >，()()min 1332g x g k =-=-+所以1132k e -+≤-，解得1136k e ≥+ 当0k <，()()min 1332g x g k ==+所以1132k e +≤-，解得1136k e ≤--综上得11(,]36k e ∈-∞--11[)36e ++∞， 故选：D. 14．D 【分析】画出函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，的图像, 令()()()()1234f x f x f x f x a ====，作出直线y a =，分析1234x x x x ，，，所在的区间，结合对数函数，余弦函数的性质，可得1234x x x x +++的取值范围.【详解】解：画出函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，的图像如图，令()()()()1234f x f x f x f x a ====，作出直线y a =， 当3x =时，(3)cos 1f π=-=，当9x =时，(9)cos31f π=-=， 由图像可知，当01a <<时，直线与()f x 有4个交点， 且1234013 4.59x x x x <<<<<<<<，则：3132log x log x =，可得3132log x log x =-，121=x x ， 由()3y cos x π=-的图像关于直线6x =对称，可得3412x x +=，可得1234x x x x +++=2221211)3(x x x ++<<， 设2222121()13()g x x x x =++<<，由对勾函数性质可得其在(1,3)区间上单调递增，当21x =时，123414x x x x +++=， 当23x =时，1234463x x x x =+++， 故可得1234x x x x +++的取值范围是46143⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故选：D. 【点睛】本题主要考查分段函数的性质、对数函数与余弦函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题. 15．B 【分析】因为()cos f x x x =-在[1,0]-单调递增，所以2()23f x ax x a =+-在(0,2]也是单调递增，且31a -≥-，解不等式组，即可得到本题答案. 【详解】当10x -≤≤时，()cos 2sin ,1,6666f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤=-=--∈--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以此时函数()f x 在区间[1,0]-上单调递增，因为()f x 在区间[1,2]-上是单调函数，所以2()23f x ax x a =+-在区间(0,2]上单调递增，当0a >时，对称轴10x a=-<，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足31a -≥-，得103a <≤；当0a =时，()2,(0,2]f x x x =∈，符合题意；当0a <时，对称轴10x a=->，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足3112a a-≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩，得102a -≤<；综上得，1123a -≤≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性问题，涉及到分类讨论的方法. 16．AD 【分析】若()0>f m ，将()f m 代入上支函数，可得(())f f m =ln[()]2f m -，结合题意，可得()f m 的范围，同理若()0f m ≤，将()f m 代入下支函数，又可解得()f m 范围，根据()f m 范围，再分别讨论0m ≤，0m >，将m 代入不同方程，即可得答案. 【详解】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-． 若()0>f m ，则()1ln[()]222f m f m -=-， ．ln 1≤-x x ，2x x >，．ln 23x x -≤-，112122xxx -<-<-， ．1ln 23122x x x x -≤-<-<-， ．方程无解；若()0f m ≤，2(())1f f m +()12(2)+1=2f m =-()12f m +， 故只需解()0f m ≤即可， 当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-； 当0m >时，由()ln 20f m m =-≤，解得20e m <≤．综上所述，当(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=． 故选：AD . 【点睛】本题考查复合函数求解析式、函数与方程的综合应用及分段函数的应用，难点在于根据题意得到不同的(())f f m 的表达式，再进行求解，综合性较强，考查分析理解，求值计算的能力，分类讨论的思想，属中档题. 17．ABC 【分析】逐项分析判断即可. 【详解】当x-为有理数时，x也为有理数∴()1f x-=当x-为无理数时，x也为无理数∴()0f x-=∴1()()0()xf xx⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x-=()f x∴是偶函数，A对；易知B对；1x=时，()((1))11f f f==∴C对(())()f f x f x=的解为全体有理数∴D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.18．e【分析】当0m>时，()ln1f m m==，当0m<时，()11f m m=-=，分别解出m的值，再验证．【详解】函数ln,0,()1,0,x xf xx x>⎧=⎨-<⎩∴当0m>时，()ln1f m m==，解得m e=，当0m<时，()11f m m=-=，解得0m=（舍），∴实数m e=．故答案为：e．19．4【分析】根据题意，由函数的解析式分01x ≤与01x >两种情况讨论，求出0x 的值，即可得答案. 【详解】根据题意，函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，当01x ≤时，()()20012f x x =-=-，无解；当01x >时，()0102log 2f x x ==-，解可得04x =，符合题意，故04x =， 故答案为：4. 20．2 【分析】根据分段函数解析式计算可得； 【详解】 解：因为2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩且1)a ≠，((2))2f f = 所以2log (2)21f ==，则((2))(1)342f f f a a ==-+=，解得2a =． 故答案为：2． 21．：8或2- 【分析】根据分段函数解析式先求出1()4f 的值，然后分类讨论解方程即可求a 的值． 【详解】因为221,0()log ,0x x f x x x -⎧-=⎨>⎩，所以22211()log log 2244f -===-， 又因为()f a 1()14f +=，所以()f a 11()1(2)34f =-=--=．若0a >，由()3f a =得2log 3a =，解得8a =；若0a ≤，由()f a 3=得213a --=，即24a -=，2a ∴-=，2a =-， 综上8a =或2a =-． 故答案为：8或2-． 【点睛】方法点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值 ，当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值． 22．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先利用已知条件，结合图象确定,m n 的取值范围，设()()f m f n t ==，即得到n m -是关于t 的二次函数，再求二次函数的取值范围即可. 【详解】先作函数0()1,0x f x x x >=+≤⎪⎩图象如下：由图可知，若m n <，()()f m f n =，设()()f m f n t ==，则(]0,1t ∈，0m n ≤<，由()1f m m t =+=知，1m t =-；由()f n t ==知，2n t =；故()222131124n m t t t t t ⎛⎫-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭，(]0,1t ∈，故12t =时，n m -最小值为34，1t =时，n m -最大值为1，故n m -的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断,m n 的取值范围，才能分别找到,m n 与相等函数值t 的关系，构建函数求值域来突破难点. 23．15,48⎛⎫⎪⎝⎭【分析】采用换元法，令()0f x t =，分别在t A ∈和t B ∈两种情况下求得t 的范围，进而继续通过讨论0x A ∈和0x B ∈来求得结果. 【详解】令()0f x t =，则()f t A ∈. ．若t A ∈，则()12f t t =+，11022t ∴≤+<，解得：102t -≤<，不满足t A ∈，舍去；．若t B ∈，则()()21f t t =-，()10212t ∴≤-<，解得：314t <≤，即()0314f x <≤， 若0x A ∈，则()0012f x x =+，031142x ∴<+≤，解得：01142x <≤，011,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭； 若0x B ∈，则()()0021f x x =-，()032114x ∴<-≤，解得：01528x ≤<，015,28x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭. 综上所述：0x 的取值范围为15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：求解复合函数()()f g x 类型的不等式或方程类问题时，通常采用换元法，令()g x t =，通过求解不等式或方程得到t 满足的条件，进一步继续求解x 所满足的条件.24．1,32⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用分段函数，列出不等式，分类求解即可. 【详解】211log 1222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由()12f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭得，当03x <≤时，由2log 12x -<，得132x <≤；当3x >2<，此时无解. 综上所述，不等式()12f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为1,32⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：1,32⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查分段函数的应用，考查计算能力，属于中档题． 25．2 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值. 【详解】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.26．12,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先判断出()y f x =为减函数，列不等式组，解出a 的范围. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，不妨设12x x <，则有()()12f x f x >，所以()y f x =为减函数，所以需满足：1103011113a a a a ⎧-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎛⎫⎪-⨯+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1233a <≤.则a 的取值范围12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法： (1)分段函数的每一段都单调； (2)根据单调性比较端点函数值的大小. 27．()2,+∞ 【分析】根据偶函数的性质可得函数()1e exxg x =+和函数()2h x x m =-+存在两个交点，再结合函数的单调性得()()00h g >，由此可得出结论． 【详解】解：∵函数21e ,0,()e,0x x x f x x m x ⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩的图象上存在两个点关于y 轴对称， 构造定义在R 上的函数()1e exx g x =+和函数()2h x x m =-+， 易得函数()g x 和函数()h x 均为偶函数， ∴函数()g x 和函数()h x 在R 上存在两个交点， ∴函数()g x 和函数()h x 在()0,∞+上存在一个交点，又函数()g x 在()0,∞+上单调递增，函数()h x 在()0,∞+上单调递减， ∴()()max min h x g x >，即()()00h g >，即112m >+=，故答案为：()2,+∞． 28．1[,1)3【分析】先求出当2x ≥时，()f x 的范围，再由()f x 的值域为R ，列不等式组，解出a 的范围． 【详解】当2x ≥时，2log 1x ≥． 因为()f x 的值域为R ，所以只需201341a a a <<⎧⎨-+≥⎩，解得113a ≤<． 故答案为1[,1)3． 29．1 【分析】当2a ≥时，问题转化为当2(1,0)x ∈-时，()()20,f x ∈+∞，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，矛盾，故不满足；当02a <<时，问题转化为当2(1,0)x ∈-时，()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，进而得212a a -≤+-，解不等式(]0,1a ∈，进而得实数a 的最大值 【详解】解：当2a ≥时，取绝对值得()(),,(),,x x a x a f x x x a x a x x a --≥⎧⎪=--=⎨--<⎪⎩，作出函数()f x 的图像如图1，此时，1(2,)x ∈+∞，()(]1,0f x ∈-∞，故对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立则需满足()()20,f x ∈+∞，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，显然不满足，； 当02a <<时，函数图像如图2所示，此时，1(2,)x ∈+∞，()()1,42x a f ∈-∞-+，故对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立则需满足()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，所以当212a a -≤+-时，才能满足对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立，整理不等式212a a -≤+-得：20a a -≤，解得：[]0,1a ∈， 由于02a <<，所以(]0,1a ∈.由于所求为实数a 的最大值，故不需要再讨论0a ≤的情况.所以，若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-，则实数a 的最大值为1. 故答案为：1 【点睛】本题考查分段函数的分类讨论思想，化归转化思想，考查综合分析问题与解决问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于分2a ≥时和02a <<时两种情况分别讨论求解. 30．08a <≤ 【分析】设2()4g x x ax =--，求出函数()g x 的两个零点12,x x ，且12x x <，将函数()f x 化为分段函数，分类讨论a ，当0a ≤时，可知函数()f x 在区间(,2)-∞-上不可能单调递增；当0a >时，根据1x 的范围可知恒满足函数()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，根据解析式可知()f x 在[,)4a+∞上单调递增，再由24a≤可解得结果. 【详解】设2()4g x x ax =--，其判别式2160a ∆=+>，所以函数()g x 一定有两个零点， 设函数()g x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，由240x ax --=得1x =2x =，所以函数2()|()|f x x g x =-=121224,,24,4,ax x x x ax x x x ax x x+<⎧⎪--≤≤⎨⎪+>⎩，①当0a ≤时，()f x 在1(,)x -∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(,2)-∞-不可能单调递增，故0a >，②当0a >时，12a x =02a <=，1222a x +=+4022a +==>，所以12x >-，所以120x -<<，因为()f x 在1(,)x -∞上单调递增，所以()f x 在(,2)-∞-上也单调递增，因为()f x 在2[,]4a x 和2(,)x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以()f x 在[,)4a+∞上单调递增， 欲使()f x 在(2,)+∞上单调递增，只需24a≤，得8a ≤， 综上所述：实数a 的取值范围是08a <≤. 故答案为：08a <≤ 【点睛】关键点点睛：求解关键有2个：①利用2()4g x x ax =--的零点将函数()f x 化为分段函数；②分类讨论a ，利用分段函数的单调性求解. 31．(1) 1x ≤；(2) [0,2]；(3) [4,)+∞. 【分析】(1) 分段函数需分段讨论；(2) 先求方程()1f x =的实根，在结合函数的单调性求解； (3) 利用分离参数的方法，转化为函数的最大值问题. 【详解】(1) 当0x ≤时，由()20x x f x x ⋅=⋅≤得，0x ≤；当0x >时，由2()log 0x f x x x ⋅=⋅≤得，2log 0x ≤，解得01x <≤. 综上可知，不等式()0x f x ⋅≤的解集为{}|1x x ≤.(2) 解()1f x =得0x =或2x =，又函数2x y =为增函数，所以当0x <时，()21xf x =<，2log y x =为增函数，所以当2x >时，()1f x >，当02x <≤时，()1f x ≤，故若(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，则m 的取值范围为[]0,2.(3)在(2)的条件下，有()1f x ≤恒成立，若2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立， 只需2(2)3101m k m k --+-≥，对[]0,2m ∈恒成立.整理得22113m m k m+-≥--，令3t m =-，有[]1,3t ∈，3m t =-，()()23231148t t k t t t -+--⎛⎫≥-=-++ ⎪⎝⎭，又44t t +≥=，当且仅当2t =时等号成立， 所以48484t t ⎛⎫-++≤-+= ⎪⎝⎭，故4k ≥， 所以k 的取值范围为[)4,+∞. 32．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】作出()y f x =，()1y f x =-的大致图象，由()()1f x f x -<恒成立，利用数形结合可得到关于a 的不等式()91a a ---<，解不等式即可得解. 【详解】(),3,33,313,3313,3333x a a x ax a a x a x a a x a f x x a x a x a x a x a x a ---<<-⎧⎧+-<<⎪+-≤<⎪⎪==⎨⎨+≤-≥⎪⎪+≤-≥⎩⎪⎩或或作出函数()y f x =的图像，向右平移一个单位得到()1y f x =-的图像，如图所示.要使()()1f x f x -<恒成立，必有()91a a ---<，即18a <， 又0a >，所以108a <<. 故答案为：10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是正确作出函数()f x 的大致图象，然后根据函数()y f x =与()1y f x =-的图象的关系，数形结合判段a 的取值范围，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于较难题. 33．12,1⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由分段函数及复合函数单调性的性质,可得t 的取值范围.再由分段函数单调性的性质,及数列的自变量取值特征,即可确定t 的取值范围. 【详解】数列{}n a 的通项公式为()()*N n a f n n =∈,若数列{}n a 是单调递减数列函数()()2214,3441518,3tx x f x tx t x t x -⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-+-≥⎩当03,*n n N <<∈时, ()2144tn n a f n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由复合函数单调性性质可知2y tn =-为单调递增函数.则0t >;当3,*n n N ≥∈时,()()241518n a f n tn t n t ==-+-+-为单调递减,则()04722t t t >⎧⎪-⎨-<⎪⨯-⎩,解得12t >当2n =时222144t a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当3n =时, ()3934151836a t t t t =-+-+-=-.因为数列{}n a 是单调递减数列所以满足2214364t t -⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立而当1t =时,2214364t t -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 22144t y -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减,36y t =-单调递增由函数性质可知2214364t t -⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1t <由以上可得t 满足0121t t t >⎧⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩,所以112t <<.即1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为:1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了数列的函数性质,分段函数单调性的综合应用,由数列的单调性求参数的取值范围.注意数列与函数的取值范围区别,不等式边界的选取也是解决问题的关键,属于难题. 34．[4,)+∞ 【解析】当2x ≤时．()()222312f x x x x =-+=-+，当且仅当1x =时．()f x 取得最小值2．当2x >时，若01a <<．则()1log 22a f x <+<．显然不满足题意．若1a >．要使()f x 存在最小值，必有1log 22a +≥．解得12a <≤．即448a <≤．()()4141log 42log 42log a a f a a a =+=+=+．由410log 2a <≤．可得212log a ≥．可得()44f a ≥．故答案为[)4,+∞. 35．2172或1或2利用函数解析式由内到外逐层计算可得()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；分0a ≤和0a >解方程()5f a =-，综合可得出实数a 的值. 【详解】()2212,033,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩，则()11335f =--=-，则()()1510122f f f ⎡⎤=-=-+=⎣⎦；当0a ≤时，()2125f a a =+=-，解得172a =-，合乎题意； 当0a >时，()2335f a a a =--=-，可得2320a a ，解得1a =或2.综上所述，172a =-或1或2. 故答案为：2；172或1或2.36．21-或14【分析】根据分段函数定义计算，注意自变量的取值范围，在已知1()2f a =求a 时要分类讨论． 【详解】121(1)2f --==，所以1211((1))()22f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭1()2f a =，若122x=，1x =-，符合题意，若1212x =，14x =也符合题意．故答案为：2；1-或14．37．2e -或52- (],1-∞- 【分析】分类讨论将a 代入()f x 进行求值即可，再根据恒成立问题的解法求得()f x 的最小值即可得解.若1a ≥-可得()ln(2)1f a a =+=， 所以2a e =-，满足题意， 若1a <-，()241f a a =--=， 所以52a =-，满足题意， 当1x ≥-，ln(2)0x +≥， 当1x <-，242x -->-， 根据题意可得22b -≥，所以1b ≤-. 故答案为：2e -或52-；(],1-∞-. 38．163,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可. 【详解】由题意，得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩， 当01x ≤<时，5332x -=，即16x =； 当12x ≤<时，5222x -=，即94x =(舍)，综上16x =；当01x ≤<时，33x x -≤，即314x ≤<，当12x ≤<时，22x x -≤，即12x ≤<， 综上，324x ≤<. 故答案为：16；3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.39．①0 ②2]． 【分析】．1）若当x 11x -≤<时，()1f x =，则21x -=，则0x =若当12x ≤<时，()1f x =，则x e =，舍去． （2）当x 11x -≤<，()f x 的值域为1,22⎛⎤⎥⎝⎦，所以为使得值域为[]0,2，则ln x 的值能取到10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的所有值，且值域不能超出[]0,2．【详解】．1）分段讨论：若当x 11x -≤<时，()1f x =，则21x -=，则0x =若当12x ≤<时，()1f x =，则1lnx =，则x e =，不在定义域范围内，所以舍去 因此0x =（2）当x 11x -≤<，()f x 的值域为1,22⎛⎤⎥⎝⎦， 为使得值域为[]0,2，则ln x 的值域能取到10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的所有值，且值域不能超出[]0,2．所以122e a e ≤≤ ，即2a e ⎤∈⎦【点睛】本题考查分段函数定义域与值域的求解，关键分清自变量取值对值域取值的影响，属于难题． 40．非奇非偶 (){}1,12-⋃ 【分析】根据函数奇偶性定义，可判断函数[][]()sin ,1,12f x x x x π=+∈-是非奇非偶函数，再根据三角函数值域，可分段求解函数值域. 【详解】 （1）(1)110,(1)112f f -=-+==+=函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数.（2）由题意得[)(]1sin ,1,02()sin ,0,122,1x x xf x x x ππ⎧--∈-⎪⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎪⎩当[)1,0x ∈-时，函数()f x 是减函数，(0)()(1)f f x f <≤-得1()0f x -<≤； 当()0,1x ∈时，函数()f x 是增函数，(0)()(1)f f x f ∴<<，得0()1<<f x ； 当1x =时，()2f x =.综上得函数()f x 的值域为(){}1,12-⋃. ．．．．：①非奇非偶；② (){}1,12-⋃ 【点睛】本题考查具体函数的奇偶性定义，和新函数的值域求法，综合性较强，有一定难度. 41．（1）()36f =，()()20f f -=；（2）5. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算可得答案； （2）分类讨论，代入求解可得a 的值. 【详解】（1）因为()()()221(12)22x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩，所以()3236,f =⨯=()2220,f -=-+=则()()200f f f -==⎡⎤⎣⎦.（2）当 1a ≤-时，()210f a a =+=，解得8a =（舍）；当1?2a -<<时，()210f a a ==，则a =；当2a ≥时，()210f a a ==，则5a =. 所以a 的值为5. 42．（1）14x >-；（2）12b ≤.【分析】（1）根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，进行求解即可；（2）根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，求出21()2f x x +的最小值，即可求得的b 取值范围. 【详解】（1）若0x ≤，则1122x -≤-，则1()()12f x f x +->等价为11112x x ++-+>，解得14x >-，此时014x -<≤；当0x >时，()21x f x =>，1122x ->-， 当102x ->即12x >时，满足1()()12f x f x +->恒成立，当11022x -<-≤，即102x <≤时，1111()12222f x x x -=-+=+>，此时1()()12f x f x +->恒成立.综上所述：14x >-. （2）若21,()2x f x x b ∀∈≥-+R 恒成立，即2min 1[()]2b f x x ≤+.令21()()2g x f x x =+， 当0x ≤时，22211111()()1(1)22222g x f x x x x x =+=++=++≥， 当0x >时，2211()()222x g x f x x x =+=+在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1g x g >=， 综上，21()()2g x f x x =+的最小值是12，所以12b ≤. 43．（1）非奇非偶函数；（2）x 的值为4 【分析】（1）根据题意得出()1f x x x =-，然后得出()f x -与()f x -，再根据奇函数与偶函数性质即可得出结果；（2）根据题意将()2log 3f x =转化为22log log 120x x --=，然后分为2log 1x ≥、2log 1x <两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）当1a =、0b =时，()1f x x x =-， 则()11f x x x x x -=---=-+，()1f x x x -=--， 因为()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-， 所以函数()f x 是非奇非偶函数.（2）当1a =、1b =时，()11f x x x =-+，()2log 3f x =，即22log log 113x x -+=，22log log 120x x --=，若2log 1x ≥，即2x ≥，()22log log 120x x --=，()222log log 20x x --=，()()22log 2log 10x x -+=，解得2log 2x =或2log 1x =-（舍去），即4x =； 若2log 1x <，即02x <<，()22log 1log 20x x --=，()222log log 20x x -+=，无解，综合所述，x 的值为4. 【点睛】关键点点睛：定义域关于y 轴对称的函数()f x ，若函数()f x 满足()()f x f x =-，则函数()f x 是偶函数，若函数()f x 满足()()f x f x -=-，则函数()f x 是奇函数.44．（1）0x =；（2）{|>x x .【分析】（1））当02x ≤时，根据解析式求出0x ，当02x >时，求出对应的0x ，判断0x 是否符合要求，进而即可求解.（2）根据分段函数对x 进行分类讨论，分别求出2x ≤和2x >时的满足()8f x >的范围，进而求解即可.【详解】（1）当02x ≤时，由02=8x ，得04x =，不符合题意；当02x >时，由2028+=x，得0x0x =(舍去)，故0x （2）()8f x >等价于228x x ≤⎧⎨>⎩ ——①或2228x x >⎧⎨+>⎩——②解①得x φ∈，解②得>x综合①②知()8f x >的解集为{|>x x .【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，分类讨论的数学思想，属于一般题目. 45．（1）12(())33f f =，4455f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩；211x a a =-++是()f x 的回旋点（3）见解析，121a x a a =-++，2211x a a =-++. 【分析】（1）利用函数解析式即可求出13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）由1a x <≤得出()()111f x x a=--，讨论21a x a a <<-+和211a a x -+≤≤时，()()f f x 的解析式，即可得出当(],1x a ∈时，函数(())y f f x =的解析式；再根据题设中回旋点的定义，分段讨论，得出()f x 回旋点；（3）将0x a ≤≤分成20x a ≤≤和2a x a <≤两种情况进行讨论，得出[]0,x a ∈内()f x 的回旋点，结合（2）中得出的(],1x a ∈内()f x 的回旋点，即可证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点. 【详解】解：（1）当12a =时，()()1 2,02121,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩∴121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝ 44221555f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴422425555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）f x 中[]0,1x ∈时，值域也是0,1又1a x <≤，()0,1a ∈()()111f x x a∴=-- 由()1111a x a<-≤-，得21a x a a <<-+ ∴当21a x a a <<-+时，()()21111(1)()11(1)f f x x x a a a a ⎡⎤=--=-⎢⎥---⎣⎦ 同理，当211a a x -+≤≤时，()10()11f x x a a≤=-≤- ()()f f x ∴=()()111111(1)x x a a a a ⎡⎤⨯-=-⎢⎥--⎣⎦∴当(],1x a ∈时，()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩当21a x a a <<-+，由21()(1)x a x a -=-得12x a=∈-2(,1)a a a -+ 1111(1)2122f a a a a ⎛⎫∴=-= ⎪----⎝⎭，故12x a =-不是()f x 的回旋点. 当211a a x -+≤≤时， 由()11(1)x x a a -=-得211x a a =∈-++]2(1,1a a -+。
分段函数
9 故实数 t的取值范围 为(1， )； 8 9 同理可求当 a ∈ [ −4， 2)时 ， t的取值 范 围 为(1， )； − 8 9 综上所述，实数 t的取值范围 为(1， ) 8
分段函数的值 题型二 分段函数的值域 例2 为实数)． 设函数 f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R,a 为实数 ． ＝ －)分段函数定义：对于自变量 x 的不同的取值范围，有着不同的对应 分段函数定义： 的不同的取值范围， 分段函数定义 法则，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数． 法则，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数． (2)定义域：各段函数定义域的并集． 定义域： 定义域 各段函数定义域的并集． 值域： (3)值域：各段函数值域的并集． 值域 各段函数值域的并集． 2．分段函数的常见问题 ． (1)分段函数的图象．(2)分段函数的函数值． 分段函数的图象． 分段函数的函数值 分段函数的函数值． 分段函数的图象 (3)分段函数的单调性 (3)分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即 分段函数的单调性： 可． (4)分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是 分段函数的奇偶性： 分段函数的奇偶性 先看定义域是否关于原点对称， 函数， ，－x＜ ， 奇(偶)函数，再由 x＞0，－ ＜0，分别代入各段函数式计算 f(x)与 f(－x) 偶 函数 ＞ ，－ 与 － 的值， ＝－f(－ ， 是奇函数； 的值，若有 f(x)＝－ －x)，当 x＝0 有定义时 f(0)＝0，则 f(x)是奇函数； ＝－ ＝ ＝ ， 是奇函数 是偶函数． 若有 f(x)＝f(－x)，则 f(x)是偶函数． ＝ － ， 是偶函数
|lg x|，0<x≤10， 变式：已知函数 f(x)＝ 1 －2x＋6，x>10.
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高中数学组卷函数的表达式分段函数一．选择题（共10小题）1．下列图形可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数是（）A．B．C．D．2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点3．己知集合M={﹣1，1，2，4}N={0，1，2}给出下列四个对应法则，其中能构成从M到N的函数是（）A．y=x2 B．y=x+1 C．y=2x D．y=log2|x|4．已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表填写下列g[f（x）]的表格，其三个数依次为（）A．3，2，1 B．1，2，3 C．2，1，3 D．2，3，15．已知函数y=，若f（a）=10，则a的值是（）A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或56．已知函数f（x）=则f（f（5））=（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．17．若，则f[f（﹣2）]=（）A．2 B．3 C．4 D．58．已知一次函数f（x）=ax+b满足f（1）=0，f（2）=﹣，则f（x）的解析式是（）A．﹣（x﹣1）B．（x﹣1）C．﹣（x﹣3）D．（x﹣3）9．若一次函数y=mx+b在（﹣∞，+∞）上是增函数，则有（）A．b＞0 B．b＜0 C．m＞0 D．m＜010．已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．已知f（x+1）=2x2+1，则f（x﹣1）=．12．已知f（x+1）=x2，则f（x）=．13．已知函数f（x），g（x）分别由表给出，则f（g（1））=．14．设函数f（x）=，若f（x0）=8，则x0=．15．设函数f（x）=，若f（α）=9，则α=．16．一次函数过点A（1，3）、B（﹣3，5），则此函数解析式为．17．若f（x）是一次函数，f[f（x）]=4x﹣1且f（x）在R上单调递减，则f（x）=．18．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则a0；b0；c0；b2﹣4ac0．（填“＞”或“＜”、“=”）19．直线y=a与曲线y=x2﹣|x|有四个交点，则a的取值范围是．20．已知，则函数f（3）=．三．解答题（共10小题）21．已知f（x）=（1）求f（），f[f（﹣）]值；（2）若f（x）=，求x值；（3）作出该函数简图；（4）求函数值域．22．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）求y=f（x）在[﹣1，1]上的最大值．23．已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3．（Ⅰ）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；以及在各单调区间上的增减性．（Ⅱ）求函数f（x）当x∈[﹣2，4]时的最大值与最小值．24．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．25．设，（1）在下列直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（t）=3，求t值．26．已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．27．，求f（4）的值．28．函数f（x）=x2﹣2x+2在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．（1）求g（t）的函数表达式；（2）作g（t）的简图并写出g（t）的最小值．29．已知二次函数的图象如图所示．（1）写出该函数的零点；（2）写出该函数的解析式．30．已知二次函数y=kx2﹣kx﹣2的图象与x轴没有交点，求k的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016春•茂南区校级期末）下列图形可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数是（）A．B．C．D．【解答】解：A选项，函数定义域为M，但值域不是N；B选项，函数定义域不是M，值域为N；D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系．故选C．2．（2015•青岛模拟）甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点【解答】解：从图中直线的看出：K甲＞K乙；S甲=S乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达．故选D．3．（2016秋•右江区校级期中）己知集合M={﹣1，1，2，4}N={0，1，2}给出下列四个对应法则，其中能构成从M到N的函数是（）A．y=x2 B．y=x+1 C．y=2x D．y=log2|x|【解答】解：对于A中的对应，当x在集合M中取值x=2时，x2=4，在集合N中没有确定的一个值与之对应，故不是函数．而B中的对应也不是函数，因为集合M中的元素2，x+1=3，在集合N中没有元素和它对应．对于C中的对应，当x在集合M中任取值x=﹣1时，2﹣1=，在集合N中没有确定的一个值与之对应，故不是函数．对于D中的对应，当x在集合M中任意取一个值x，在集合N中都有确定的一个值与之对应，故是函数．故选D．4．（2012秋•即墨市校级期中）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表填写下列g[f（x）]的表格，其三个数依次为（）A．3，2，1 B．1，2，3 C．2，1，3 D．2，3，1【解答】解：由已知表格可知：①当x=1时，f（1）=2，g（2）=2，∴g（f（1））=g（2）=2；②当x=2时，f（2）=1，g（1）=3，∴g（f（2））=g（1）=3；③当x=3时，f（3）=3，g（3）=1，∴g（f（3））=g（3）=1．填写下列g[f（x）]的表格，其三个数依次为2，3，1．故选D．5．（2016秋•西区校级期中）已知函数y=，若f（a）=10，则a的值是（）A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5【解答】解：若a≤0，则f（a）=a2+1=10∴a=﹣3（a=3舍去）若a＞0，则f（a）=2a=10∴a=5综上可得，a=5或a=﹣3故选B6．（2015•潮南区模拟）已知函数f（x）=则f（f（5））=（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1【解答】解：因为5＞0，代入函数解析式f（x）=得f（5）=3﹣5=﹣2，所以f（f（5））=f（﹣2），因为﹣2＜0，代入函数解析式f（x）=得f（﹣2）=（﹣2）2+4×（﹣2）+3=﹣1故选C7．（2015秋•莆田校级期末）若，则f[f（﹣2）]=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）=﹣（﹣2）=2；又∵2＞0，∴f[f（﹣2）]=f（2）=22=4故选C．8．（2015秋•静宁县校级期中）已知一次函数f（x）=ax+b满足f（1）=0，f（2）=﹣，则f（x）的解析式是（）A．﹣（x﹣1）B．（x﹣1）C．﹣（x﹣3）D．（x﹣3）【解答】解：∵一次函数f（x）=ax+b满足f（1）=0，f（2）=﹣，∴；解得a=﹣，b=；∴f（x）=﹣x+=﹣（x﹣1），∴f（x）的解析式是f（x）=﹣（x﹣1）．故选：A．9．（2015秋•城关区校级月考）若一次函数y=mx+b在（﹣∞，+∞）上是增函数，则有（）A．b＞0 B．b＜0 C．m＞0 D．m＜0【解答】解：∵一次函数y=mx+b在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴一次项系数m＞0，故选C．10．（2016秋•哈尔滨校级月考）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x=﹣=＜0，即对称轴在y轴的左边．故选C．二．填空题（共10小题）11．（2015秋•太湖县月考）已知f（x+1）=2x2+1，则f（x﹣1）=2x2﹣8x+9．【解答】解：设x+1=t，则x=t﹣1，f（t）=2（t﹣1）2+1=2t2﹣4t+3，f（x﹣1）=2（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+3=2x2﹣4x+2﹣4x+4+3=2x2﹣8x+9．故答案：2x2﹣8x+9．12．（2014•埇桥区校级学业考试）已知f（x+1）=x2，则f（x）=（x﹣1）2．【解答】解：由f（x+1）=x2，得到f（x+1）=（x+1﹣1）2，故f（x）=（x﹣1）2．故答案为：f（x）=（x﹣1）2．13．（2012•封开县校级模拟）已知函数f（x），g（x）分别由表给出，则f（g（1））=3．【解答】解：由表知：g（1）=3，f（3）=3，∴f（g（1））=f（3）=3．故答案为：3．14．（2017春•和平区期末）设函数f（x）=，若f（x0）=8，则x0=4或．【解答】解：由题意，得①当x0≤2时，有x02+2=8，解之得x0=±，而＞2不符合，所以x0=﹣；②当x0＞2时，有2x0=8，解之得x0=4．综上所述，得x0=4或．故答案为：4或．15．（2016秋•东海县校级期中）设函数f（x）=，若f（α）=9，则α=﹣9或3．【解答】解：由题意可得或∴α=﹣9或α=3故答案为：﹣9或316．（2015秋•北京校级期中）一次函数过点A（1，3）、B（﹣3，5），则此函数解析式为．【解答】解：设一次函数的解析式为：y=kx+b，∵函数图象过点A（1，3）、B（﹣3，5），∴，解得：，故一次函数的解析式为：．故答案为：17．（2014秋•思明区校级期中）若f（x）是一次函数，f[f（x）]=4x﹣1且f（x）在R上单调递减，则f （x）=﹣2x+1．【解答】解：设f（x）=kx+b（k≠0），∴f[f（x）]=f（kx+b）=k2x+kb+b=4x﹣1，即，又∵f（x）在R上单调递减，∴，∴f（x）=﹣2x+1，故答案为：﹣2x+118．（2012秋•海曙区校级月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则a＞0；b＞0；c＞0；b2﹣4ac＞0．（填“＞”或“＜”、“=”）【解答】解：由图象知，抛物线开口向上，∴a＞0；由对称轴x=＜0，得，又a＞0，∴b＞0；∵抛物线与y轴正半轴相交，∴x=0时y＞0，即c＞0；由抛物线交x轴于两点，得△=b2﹣4ac＞0，故答案为：＞，＞，＞，＞．19．（2014秋•西乡塘区校级月考）直线y=a与曲线y=x2﹣|x|有四个交点，则a的取值范围是＜a ＜0．【解答】解：∵曲线f（x）=x2﹣|x|，f（﹣）=f（）=，∴根据图象可得出：直线y=a与曲线y=x2﹣|x|有四个交点，则＜a＜020．（2016秋•慈溪市期中）已知，则函数f（3）=11．【解答】解：令x﹣=t，t2=x2+﹣2，∴f（t）=t2+2，∴f（3）=32+2=11；故答案为11．三．解答题（共10小题）21．（2015秋•文登区校级月考）已知f（x）=（1）求f（），f[f（﹣）]值；（2）若f（x）=，求x值；（3）作出该函数简图；（4）求函数值域．【解答】解：（1）由题意得：f（）=，又f（﹣）=∴f[f（﹣）]=f（）=；（2）当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣x=⇒x=﹣符合题意当0≤x＜1时，f（x）=x2=⇒x=或x=﹣（不合，舍去）当1≤x≤2时，f（x）=x=（不合题意，舍去）综上：x=﹣或．（3）其简图如下图所示：（4）由（3）中函数的简图可得函数值y的最大值为2，最小值为0，故y∈[0，2]，即函数值域为：[0，2]．22．（2010春•盐城校级期中）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）求y=f（x）在[﹣1，1]上的最大值．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c∵f（x+1）﹣f（x）=2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2x即：即a=1，b=﹣1又由f（0）=1．得：c=1∴f（x）=x2﹣x+1（2）由（1）知，函数f（x）=x2﹣x+1的图象为开口方向朝上，以x=为对称轴的抛物线故在区间[﹣1，1]上，当x=﹣1时，函数取最大值f（﹣1）=323．（2016秋•张家口校级月考）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3．（Ⅰ）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；以及在各单调区间上的增减性．（Ⅱ）求函数f（x）当x∈[﹣2，4]时的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）的单调区间有：（﹣∞，﹣1]，（﹣1，0]，（0，1]，（1，+∞），函数f（x）的在区间（﹣∞，﹣1]，（0，1]上单调递减，函数f（x）的在区间（﹣1，0]，（1，+∞]上单调递增．（Ⅱ）由图可得：当x∈[﹣2，4]时，当x=±1时，函数f（x）的最小值为﹣4，当x=4时，函数f（x）的最大值为5．24．（2016秋•郑州期末）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．【解答】解：（1）当0＜t≤1时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，又，∴，∴（2）当1＜t≤2时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2﹣t，又，∴∴（3）当t＞2时，综上所述25．（2016秋•嘉峪关校级期中）设，（1）在下列直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（t）=3，求t值．【解答】解：（1）如图（2）由函数的图象可得：f（t）=3即t2=3且﹣1＜t＜2．∴t=26．（2016秋•临猗县校级月考）已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＞0）．由f（f（x））=4x﹣3，得：a（ax+b）+b=4x﹣3，即a2x+ab+b=4x﹣3，所以，，解得：或，因为a＞0，所以a=2，b=﹣1．所以f（x）=2x﹣1；（2）由f（x）＜m，得m＞2x﹣1．不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，即为m＞2x﹣1对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，因为函数f（x）=2x﹣1在[﹣2，2]上为增函数，所以f max（x）=f（2）=3．所以m＞3．所以，不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立的实数m的取值范围（3，+∞）．27．（2014秋•乐清市校级月考），求f（4）的值．【解答】解：∵，∴，解得k=﹣，b=，∴f（x）=﹣x+，∴f（4）=﹣×4+=﹣．28．（2016秋•赤坎区校级月考）函数f（x）=x2﹣2x+2在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．（1）求g（t）的函数表达式；（2）作g（t）的简图并写出g（t）的最小值．【解答】解：（1）据题意可知函数为二次函数且开口向上，所以函数有最小值，即当x=﹣==1，f min=1分情况讨论函数在闭区间[t，t+1]（t∈R）：①当闭区间[t，t+1]（t∈R）⊂（﹣∞，1）即t＜0时，得：二次函数在x=t+1时取到最小值，∴g（t）=（t+1）2﹣2（t+1）+2=t2+1；②当1∈[t，t+1]即0≤t≤1时，得x=1时，二次函数取到最小值∴g（t）=1；③当闭区间[t，t+1]⊂（1，+∞）即t＞1时，得：x=t时，二次函数取到最小值∴g（t）=t2﹣2t+2．综上（2）由（1）可知g（t）为分段函数作出图象如下：从图象上可知g（t）min=1．29．（2012•封开县校级模拟）已知二次函数的图象如图所示．（1）写出该函数的零点；（2）写出该函数的解析式．【解答】解：（1）由图象可知抛物线的与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），即当x=﹣1或3时，y=0故该函数函数的零点是﹣1，3；（2）设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0），将点（0，﹣3）代入代入解析式得：a（0+1）（0﹣3）=﹣3解之得：a=1（6分）∴函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．30．（2010春•通州区期中）已知二次函数y=kx2﹣kx﹣2的图象与x轴没有交点，求k的取值范围．【解答】解：∵y=kx2﹣kx﹣2的图象与x轴无交点，∴当图象在x轴上方时，，∴，解为空集．当图象在x轴下方时，，∴，∴﹣8＜k＜0．∴k的取值范围是{k|﹣8＜k＜0}．。