高中数学分段函数的几个问题-新人教版

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高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时分段函数》课件

题型一分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x，＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)．综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算；当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．

分段函数相关问题盘点

厂（ｍ）＞２，求ｍ的取值范围。
解析由题可撇＞２等价于１【ｍｌｏ＞ｇｏ。ｆｍ＜０， ÷ ｍ＞２＝ｌｏｇ￣－１，或（＿ ’ ２＿ｌ０ｇ２４
甫，、篮工
，
‘
．
．０＜ｍ＜｛或ｍ＜＿４ ’ 即ｍ ∈ （－－－，一４）Ｕ（０，＿１＿）。
点评求分段函数解析式时，应根据已知条件将定义域划分为若干个不同的区间，分别求出函数在各区间的解析式。
五、分段函数奇偶性的判断
例５判断函数厂（）：ｆ（一）（＜ｏ）的奇偶性。
＋１（。＜０），
ａ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
・・・
口
（）等价于｛２２ ÷ 或｛ｎ＋－＝＋， ‘ ・・口＝或＝一。
，
ｆａ＞Ｏ，ｆ０，
ｆｌｏｇＬｘ（ｘ＞Ｏ），
例３设函数）＝｛
解）或』Ｉ，．．一３。ｒ上＋ｌ＝－２．
拓展在本例中“ ）１）＝０ ” 改为“ （。）（】 ” ，则求口的值。
ａ
解析。《【ａ＋１（ｎ＜Ｕ）． ‘ ．＼ａ
２７（ａ＞Ｏ），
￣ｘ＜ＯＵ－，ｊ，一ｘ＞Ｏ，．・．－厂（一）＝一（１－ｘ）＝－ｆ（ｘ）（ｘ＜Ｏ），

分段函数-(新教材)人教A版高中数学必修第一册全文课件

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第分三段章函数-3【.1新.2教材第】2课人时教分A版段高函中数数-【学新必教修材第】一人册教优A秀版课（2件01-9p） pt 高中数学必修第一册课件(共 74张PP T) 第分三段章函数-3【.1新.2教材第】2课人时教分A版段高函中数数-【学新必教修材第】一人册教优A秀版课（2件01-9p） pt 高中数学必修第一册课件(共 74张PP T)
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2020版新教材高中数学第三章函数3.1.1.4分段函数课件新人教B版必修1

2
2.已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是 ________.
【解析】因为f(x)的图像由两条线段组成，
所以结合函数图像和一次函数解析式的求法可得
f(x)=
x 1，1 x 0， x，0 x 1.
答案：f(x)=
x 1，x [1，0)， x，x [0，1]
类型三分段函数的综合问题
角度1 范围问题
【典例】已知f(x)=
1, x 0, 1, x 0,
则不等式x+(x+2)·f(x+2)
≤5的解集是世纪金榜导学号( )
A.[-2，1] C.[2, 3]
2
B.(-∞，-2] D. ( , 3 ]
2
【思维·引】分x+2≥0，x+2&[-4，2] D.(-4，2]
【解析】选B.因为f(x)≥-1，
x 0,
所以
1 2
x
1
1,
或
x 0, (x 1)2
1,
所以-4≤x≤0或0<x≤2，即-4≤x≤2.
2.若f(x)=
x 7, x [1,1], 2x 6, x [1, 2],

1 4
(x－2)2－1，x

0.
x 1，－1 x 0，
答案：f(x)=

1 4
(x－2)2－1，x

0
【内化·悟】已知分段函数的函数值求自变量的值时需要注意什么？提示：分段求，求出的自变量的值要符合相应段的定义域.
【类题·通】 1.分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.

新人教版高中数学必修第一册分段函数ppt课件及课时作业

f(1)＝3×1＋5＝8，f
f
－52＝f
－52＋1
＝f －32＝3×－32＋5＝12.
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.
因为a2＋2≥2，所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得 a≥1 或 a≤－12，即实数 a 的取值范围是－∞，－12∪[1，＋∞).
则23cc＋＋dd＝＝46，，解得cd＝＝20，，所以f(x)＝2x，
x＋2，x<－1，
所以 f(x)＝x2，－1≤x≤2， 2x，x>2.
三
分段函数在实际问题中的应用
例3 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是 “一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)＝ 180x＋100；当产量大于50万盒时，h(x)＝x2＋60x＋3 500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完. 求 “ 冰墩墩 ” 玩具手办销售利润 y( 万元 ) 关于产量 x( 万盒 ) 的函数关系式.(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝固定成本＋生产中投入成本)
延伸探究 1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去；当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－23∈(－2,2)，符合题意；当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意. 综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－23 或2.

高中数学-分段函数及题型

x高中数学-分段函数及题型【解析】4x 3 (x0)例1 •求函数f(x)x 3 (0 x 1)的最大值.x 5 (x1)【解析】当x时，fmax(x)f(0)3,当 0 x 1 时，f max (X ) f (1) 4,当 x 1 时,x 51 5 4,综上有f max (x)4 .【经典例题赏析】例2.在同一平面直角坐标系中 x 0,f( x)(x)2( 1) x 2(x0, x 0, f( x)x)2( x1)任意 x R 都有 f( x)f (x),所以f(x)为偶函数.例4 •判断函数 f(x)x 3 x (x 0)2 x的单调性.(x 0)1) f (x),当 x2x (x 1) f (x)因此，对于函数y f(x)和y g(x)的图象关于直线 y x 对称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位 ,再沿y 轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线 (如图所示)，则函数f (x)的表达式为(B. C. 2x 2 (1x 0) x 22 (0x 2) y i f k2x 2 (1 x 0) 3'/x 2 2 (0x 2)2 “7 2x 2 (1 x 2)/x 21 (2 x 4) -2 -1o12x 6 (1 x 2)x2 3 (2 x 4)例3 •判断函数f(x)x 2(x 1)x 2(x(x 0) 的奇偶性.1)(x0)答案A.)f(x)f(x)f(x)► x D. f(x)【解析】显然f(x)连续.当x 0时，f (x) 3x 21 1恒成立，所以f(x)是单调递增函数，当x 0时,在R 上是单调递增函数例5•写岀函数 f(x) |12x| |2 x|的单调减区间.3x 1 (x2)【解析】f (x)3 x (； x 2),画图易知单调减区间为(,；]3x 1(x 2)2 x 1 (x0)例6 •设函数f(X )1,若f (x 0) 1,则x 0得取值范围是()答案Dx 2(x 0)故选A 项.A.( 1,1)B.( 1,)C.( J2)(x1)2(x 1)例7 •设函数 f(x)4 - ,x 1(x 1)范围为()A •(,2] [0,10]B(0, ) D- ( , 1) (1,)则使得f (x) 1的自变量x 的取值 (,2] [0,1]f '(x)2x 0恒成立，f (x)也是单调递增函数所以f (x)在R 上是单调递增函数或画图易知f(x)C. ( , 2] [1,10]【解析】D. [ 2,0] [1,10]2当 x 1 时，f (X )1 (x 1)x 2或x 0 , 所以x2或 0 x 1 ,当 x 1 时,f(x) 14 、、x 1 1 1 3 x 10，所以1 x 10,综上所述x 2或 0 x 10,t 20,4.某商品在近30天内每件的销售价格（元）与时间（天）的函数关系是p t 100,该商品的日销售量 Q （件）与时间t （天）的函数关系是 Q t 40 （0 t 金额的最大值，并指岀日销售金额最大的一天是30天中的第几天？2、针对性课堂训练x 的图象是1 .函数y 函数 A . B. C. y ig x ( 是偶函数，在区间是偶函数，在区间是奇函数，在区间是奇函数，在区间画岀函数y |x 3x 2( 4 3x 2(1 x(0, (0,,0）上单调递增 ,0）上单调递减）上单调递增）上单调递减1| 1) 3)|2x3 1在区间［4,3）的图象0 t 25,t N, 25 t 30,t N.30, t N ），求这种商品的日销售。

高中数学第三章函数-分段函数教师用书新人教B版必修第一册

第3课时分段函数问题导学预习教材P90－P92的内容，思考以下问题：1．什么是分段函数？2．分段函数是一个函数还是多个函数？1．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．■名师点拨(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．(2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．2．分段函数的图像分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图像．■名师点拨在画每一段函数图像时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图像即可，即“分段作图”．3．常数函数值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0是分段函数．( )(3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④答案：B已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0B ．13 C ．1D ．2解析：选C.f (2)＝2－1＝1.函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，－2，x <0的定义域为______________，值域为______________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)分段函数的定义域、值域(1)已知函数f (x )＝|x |x，则其定义域为( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0<x <1，0，x ＝0，x 2－1，－1<x <0的定义域为________，值域为________．【解析】 (1)要使f (x )有意义，需x ≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由已知得，f (x )的定义域为{x |0<x <1}∪{0}∪{x |－1<x <0}＝{x |－1<x <1}，即(－1，1)，又0<x <1时，0<－x 2＋1<1，－1<x <0时，－1<x 2－1<0，x ＝0时，f (x )＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．【答案】 (1)D (2)(－1，1) (－1，1)(1)分段函数定义域、值域的求法①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集．(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1，则函数的定义域为________，值域为________．解析：由已知得，f (x )的定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R ，又x ∈[－1，1]时，x 2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]．答案：R [0，1]分段函数的求值问题已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．【解】由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，－2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34.(变问法)本例条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值．解：①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0，所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3.因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)，所以a ＝1符合题意． ③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意．综合①②③知，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.(1)分段函数求函数值的方法①确定要求值的自变量属于哪一段区间；②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知函数值求字母取值的步骤 ①先对字母的取值范围分类讨论； ②然后代入到不同的解析式中； ③通过解方程求出字母的值；④检验所求的值是否在所讨论的区间内．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f (x －1)，x ≥2，则f (2)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．解：当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )>2，得x ＋2>2，解得x >0，故x >0；当x <－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )>2，得－x －2>2，解得x <－4，故x <－4. 综上可得：x >0或x <－4.分段函数的图像及应用角度一分段函数图像的识别(2019·济南检测)函数y＝x2|x|的图像的大致形状是( )【解析】因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图像为选项A.【答案】 A角度二分段函数图像的画法分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1.(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x <－2，－3x ，－2≤x ＜2，－3，x ≥2.【解】各函数对应图像如图所示：由图像知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．角度三分段函数图像的应用某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图像是一条折线(如图所示)，根据图像解下列问题：(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？【解】 (1)当0≤x ≤100时，设函数关系式为y ＝kx . 将x ＝100，y ＝65代入，得k ＝0.65，所以y ＝0.65x .当x >100时，设函数关系式为y ＝ax ＋b . 将x ＝100，y ＝65和x ＝130，y ＝89代入，得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋b ＝65，130a ＋b ＝89，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.8，b ＝－15. 所以y ＝0.8x －15.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.65x ，0≤x ≤100，0.8x －15，x >100.(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．(3)当x ＝62时，y ＝62×0.65＝40.3(元)；当y ＝105时，因为0.65×100＝65<105，故x >100，所以105＝0.8x －15，x ＝150.即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．分段函数图像的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像．(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．已知函数f (x )＝|x |－x2＋1(－2<x ≤2)．(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数； (2)在坐标系中画出该函数的图像，并写出函数的值域．解：(1)①当0≤x ≤2时，f (x )＝x －x2＋1＝1.②当－2<x <0时，f (x )＝－x －x2＋1＝－x ＋1.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，－x ＋1，－2<x <0.(2)函数f (x )的图像如图所示：由图可知，函数f (x )的值域为[1，3)．1．函数f (x )＝y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{y |0≤y ≤2或y ＝3}解析：选D.值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y |0≤y ≤2或y ＝3}．2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是 ( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52解析：选A.当x ≤0时，x 2＋1＝5，x ＝－2.当x >0时，－2x <0，不合题意．故x ＝－2. 3．函数y ＝x ＋|x |x的图像是( )解析：选C.对于y ＝x ＋|x |x ，当x >0时，y ＝x ＋1；当x <0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，故其图像应为C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，所以f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4.所以x 0＝4.[A 基础达标]1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )解析：选B.根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D.然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D.f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139.3．(2019·广东深圳中学期中考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0<x ≤3，若f (x )＝3，则x 的值是( )A. 3 B ．9C ．－1或1D ．－3或 3解析：选A.依题意，若x ≤0，则x ＋2＝3，解得x ＝1，不合题意，舍去．若0<x ≤3，则x 2＝3，解得x ＝－3(舍去)或x ＝ 3.故选A.4．函数f (x )＝x 2－2|x |的图像是( )解析：选C.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，分段画出，应选C.5．已知函数f (x )的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于 ( ) A ．－13B.13 C ．－23D.23解析：选B.由题图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0<x <1，x ＋1，－1<x <0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，则f (8)＝________．解析：因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.答案：77．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________．解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ，求得a ＝43.答案：438．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月交水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应交水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.答案：139．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图像；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围；(3)求f (x )的值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图像，如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14，结合此函数图像可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)由图像知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0，1]． 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值；(2)画出函数f (x )的图像．解：(1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1，即f (f (f (5)))＝－1.(2)图像如图所示．[B 能力提升]11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x <0}解析：选A.当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1，所以0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x <0.综上，x ≤1.12．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1，1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34. 答案：－3413．如图，△OAB 是边长为4的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t (0<t <6)左侧的图形的面积为f (t )，求函数f (t )的解析式．解：当0<t ≤2时，f (t )＝12×t ×3t ＝3t 22；当2<t ≤4时，f (t )＝12×4×23－12(4－t )×3(4－t )＝－32t 2＋43t －43；当4<t <6时，f (t )＝12×4×23＝4 3. 所以函数f (t )的解析式为 f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 22，0<t ≤2，－32t 2＋43t －43，2<t ≤4，43，4<t <6. 14．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f (f (x 0))∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ，所以0≤x 0<12，且f (x 0)＝x 0＋12，又12≤x 0＋12<1，所以 x 0＋12∈B ，所以f (f (x 0))＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0，又f (f (x 0))∈A ，所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12，解得14＜x 0≤12，又0≤x 0＜12，所以14<x 0<12. [C 拓展探究]15．讨论方程x 2－4|x |＋5＝m 的实根的个数．解：将方程x 2－4|x |＋5＝m 的实根个数问题转化为函数y ＝x 2－4|x |＋5的图像与直线y ＝m 的交点个数问题．作出函数y ＝x 2－4|x |＋5＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x ＜0的图像，如图所示．由图像可以看出：①当m ＜1时，直线y ＝m 与该图像无交点，此时方程无解；②当m ＝1时，直线y ＝m 与该图像有2个交点，此时方程有2个实根；③当1＜m ＜5时，直线y ＝m 与该图像有4个交点，此时方程有4个实根； ④当m ＝5时，直线y ＝m 与该图像有3个交点，此时方程有3个实根；⑤当m ＞5时，直线y ＝m 与该图像有2个交点，此时方程有2个实根．。

分段函数的几个常见问题1

探究分段函数的几个常见问题河南正阳高级中学吕玉光分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明.学生对此认识比较肤浅，理解上有些吃力，由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：1.分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数.对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 2.分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 解析：作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 3.分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f . 解析：因为311222()|1|2f =--=-,所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-. 4.分段函数的最值例3. 求函数23(0)3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最小值解析：（方法1）先求每个分段区间上的最值，后比较求值.当0x ≤时,()23,y f x x ==+此时显然有max (0)3;y f == 当01x <≤时，()3,y f x x ==+此时max (1)4;y f ==当1x >时，y =()5,y f x x ==-+此时y 无最大值.比较可得当x =1时,max 4.y =11o 322-1y x-1（方法2）利用函数的单调性由函数解析式可知，()f x 在(,0)x ∈-∞上是单调递增的，在(0,1)x ∈上也是递增的，而在(1,)x ∈+∞上是递减的，由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4 （方法3）利用图像，数形结合求得作函数y =()f x 的图像（图1），显然当x =1时max 4y =.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得. 5．分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 解析：当[2,0]x ∈-时,121y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-,当[0,1]x ∈时,21y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得解析式2(2)1124y x x =-+-=-,所以 12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得Y4 3 2 10 1 2 3 4 5 x-12131o-2y x222(10)()2(02)xx x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A . 6．分段函数的奇偶性例5．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.解析：当0x >时,0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==当0x <,0x ->,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+= 因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数. 7．分段函数的单调性例6．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.解析：显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立,()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例7．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.解析：121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-. 8．解分段函数的方程例8．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为解析：若142x -=, 则222x --=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =, 则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求. yx52o -12529．解分段函数的不等式例9．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞解析1：首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.解析2：因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例10．设函数2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃解析：当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()14111310f x x x x ≥⇔--≥⇔-≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.点评：以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.xy1-11。

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分段函数的几个问题分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。

学生对此认识比较肤浅，本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：1、分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。

对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

[来源:学_科_网Z_X_X_K]2、求分段函数的函数值例1已知函数132(0)()1)log (1)xx f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,求{[()]}f f f a (a <0)的值。

[来源:]分析求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。

()f x 是分段函数，要求{[()]}f f f a ，需要确定[()]f f a 的取值范围，为此又需确定()f a 的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解。

解 ∵a <0, ∴()2af a =, ∵0<2a<1,∴[()]f f a =(2)af =3,∵3>1,∴{[()]}f f f a=f=13log =－21,3、求分段函数的解析式[来源:学科网]例2 已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。

解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数， ∴(0)f =0.[来源:学科网ZXXK] 又当x ＜0时，－x >0,故有()f x -=－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。

[来源:学科网ZXXK]再由()f x 是奇函数,()f x =－()f x =x (5+x )－1.∴(5)1(0)()0(0)(5)1(0)x x x f x x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪+-<⎩[来源:Z§xx§] 例3求函数()f x =2x +(2－6a )x +32a (0≤x ≤1)的最小值。

解 ()f x =[x －(3a －1)]2－62a +6a －1 ∵0≤x ≤1,当3a －1<0时，()f x 的最小值为f(0)=32a ,当0≤3a －1≤1时，()f x 的最小值为f(3a －1)=－62a +6a －1；当3a －1>1时，()f x 的最小值为f(1)=32a －6a +3。

因此函数()f x 的最小值可表示成关系于a 的分段函数.22213()312()661()332363()3a a g a a a a a a a ⎧<⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩4、求分段函数的最值例4 求函数23(0)3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最小值[来源:Z#xx#]方法1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。

当x ≤0时,y =()f x =2x +3,此时显然有y maX = (0)f =3; 当0<x ≤1时，y =()f x =x +3,此时y max =(1)f =4当x >1时，y =()f x =－x +5，此时y 无最大值.比较可得当x =1时,y max =4. 方法2 利用函数的单调性[来源:学科网ZXXK]由函数解析式可知，()f x 在x ∈(∞,0)上是单调递增的，在x ∈(0,1)上也是递增的，而在x ∈(1,+∞)上是递减的，由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4方法3 利用图像，数形结合求得[来源:学科网ZXXK] 作函数y =()f x 的图像（图1），显然当x =1时y max =4.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.都是“定义域”惹的祸函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．一、求函数解析式时例1．已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式 . 错解：令1+=x t ，则1-=t x ，2)1(-=t x ，1)1(2)1()(22-=-+-=∴t t t t f ，1)(2-=∴x x f剖析：因为x x x f 2)1(+=+隐含着定义域是0≥x ，所以由1+=x t 得1≥t ，1)(2-=∴t t f 的定义域为1≥t ，即函数)(x f 的解析式应为1)(2-=x x f （1≥x ）这样才能保证转化的等价性.正解：由x x x f 2)1(+=+，令1+=x t 得1≥t ，()21-=∴t x 代入原解析式得1)(2-=t t f （1≥t ），即1)(2-=x x f （1≥x ）．二、求函数最值（或值域）时例2．若,62322x y x =+求22y x +的最大值．错解：由已知有 x x y 32322+-= ①，代入22y x +得 22y x +()2932132122+--=+-=x x x ，∴当3=x 时，22y x +的最大值为29．剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件x y x 62322=+中x 的限制条件．正解：由032322≥+-=x x y 得20≤≤x ， ∴22y x +()2932132122+--=+-=x x x ，[]2,0∈x ，因函数图象的对称轴为3=x ，∴当[]2,0∈x 是函数是增函数，故当当2=x 时，22y x +的最大值为4．例3．已知函数()()32log 19f x x x =+≤≤，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（）A ．33B ．22C ．13D ．6错解：()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦=()22332log 2log x x +++=()23log 33x +-在()19x ≤≤上是增函数，故函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在9x =时取得最大值为33．正解：由已知所求函数()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦的定义域是21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩得13x ≤≤，()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦=()22332log 2log x x +++=()23log 33x +-在13x ≤≤是增函数，故函数()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦在3x =时取得最大值为13．例4．已知()()4232≤≤=-x x f x ，求()[]()2121x f x f y --+=的最大值和最小值．错解：由()()4232≤≤=-x x f x 得91≤≤y ．∴()()91log 231≤≤+=-x x x f ．∴()[]()()6log 6log log 2log 232323232121++=+++=+=--x x x x x f x f y()33log 23-+=x ． ∵91≤≤x ，∴2log 03≤≤x ．∴22max =y ，6min =y ．剖析：∵()x f 1-中91≤≤x ，则()21x f -中912≤≤x ，即31≤≤x ，∴本题的定义域应为[]3,1．∴1log 03≤≤x ．正解：（前面同上）()33log 23-+=x y ，由31≤≤x 得1log 03≤≤x ．∴13max =y ，6min =y ．例5．求函数3254-+-=x x y 的值域．错解：令32-=x t ，则322+=t x ，∴()1253222++=+-+=t t t t y87874122≥+⎪⎭⎫⎝⎛+=t ．故所求函数的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,87．剖析：经换元后，应有0≥t ，而函数122++=t t y 在[)+∞,0上是增函数，随着t 增大而无穷增大．所以当0=t 时，1min =y ．故所求函数的值域是[)+∞,1．三、求反函数时例6．求函数)20(242≤≤++-=x x x y 的反函数．错解：函数)20(242≤≤++-=x x x y 的值域为[]6,2∈y ,又6)2(2+--=x y ，即 y x -=-6)2(2∴y x -±=-62，∴所求的反函数为()6262≤≤-±=x x y ．剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域，没有对x 进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式．正解：由242(02)y x x x =-++≤≤的值域为[]6,2∈y , 因y x -=-6)2(2，又02≤-x ∴y x --=-62，∴所求的反函数为()6262≤≤--=x x y ．四、求函数单调区间时例7．求函数)4lg()(2x x f -=的单调递增区间.错解：令24x t -=，则t y lg =，它是增函数. 24x t -= 在]0,(-∞上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数)4lg()(2x x f -=在]0,(-∞上为增函数，即原函数的单调增区间是]0,(-∞.剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间．正解：由042>-x ，得)(x f 的定义域为)2,2(-.24x t -= 在]0,2(-上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数)4lg()(2x x f -=的单调增区间是]0,2(-.例8．求()23log 27.0+-=x x y 的单调区间．错解：令232+-=x x t ，t y 7.0log =，⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈23,x 时，232+-=x x t 为减函数，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 时，232+-=x x t 为增函数，又t y 7.0log =为减函数，故以复合函数单调性知原函数增区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,，减区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23．。