2017_2018学年八年级数学下册4因式分解4.2.2提公因式法课时训练(新版)北师大版
2017年春季新版北师大版八年级数学下学期4.2、提公因式法素材8
提公因式法应注意的几个问题提公因式法是因式分解中最基本、最简单的方法，掌握好该法，应注意以下几个方面的问题：一、注意对原多项式的调整当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内第一项的系数变为正数，但必须注意：在提出“—”号时，多项式的各项都要变号．如：2227918m n mn mn -+-=22(27918)m n mn mn --+．当多项式的每项又含多项式因式时，可把多项式因式视为一个整体；若多项式因式内字母顺序不一致，可适当调成一致．常见的几个恒等变形是：①()b a a b -=--；②22()()b a a b -=-；③33()()b a a b -=--．如：224()m n y x -＋236()mn x y -=22234()6()m n x y mn x y -+-．二、注意公因式的确定多项式公因式的确定可记为“三找”：一找各项系数绝对值的最大公约数，如2227918m n mn mn -+各项系数绝对值的最大公约数是9，22234()6()m n x y mn x y -+-各项系数绝对值的最大公约数是2；二找各项都含有的字母，如2227918m n mn mn -+各项都含有字母,m n ，22234()6()m n x y mn x y -+-各项都含有字母,,()m n x y -；三找相同字母的最小指数，如2227918m n mn mn -+中字母,m n 的最小指数均为1，22234()6()m n x y mn x y -+-中字母,,()m n x y -的最小指数分别为1，1，2．所以2227918m n mn mn -+的公因式为9mn ，22234()6()m n x y mn x y -+-的公因式为22()m n x y -． 三、注意提出公因式后余下的因式把公因式从多项式的每项中提出来后，千万要注意余下的因式：1．可视为每一项除以公因式后的商；2．不要漏项，即当多项式中某一项恰好是公因式或公因式的相反数时，很容易错误地认为此项提公因式后就没有了，从而漏掉一项1或－1．如2822(41)m n m n m n m +=+． 四、注意因式分解结果的书写形式写因式分解的结果时，单项式因式要放在多项式因式的前面，若有相同的因式，一定要写成幂的形式，并对提公因式后剩下的因式加以整理，化为最简形式．如：224()m n y x -＋236()mn x y -=22234()6()m n x y mn x y -+-=[]22()23()mn x y m n x y -+-=22()(233)mn x y m nx ny -+-．。
【北师大版】八年级下册数学：4.2《提公因式法》同步练习(含答案)
《提公因式法》习题一、填空题1.单项式－12x 12y 3与8x 10y 6的公因式是________．2.-xy 2(x+y)3+x(x+y)2的公因式是________．3.把4ab 2-2ab+8a 分解因式得________．4.5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．5.当n 为_____时，（a-b ）n ＝（b-a ）n ；当n 为______时，（a-b ）n ＝-（b-a ）n 。
（其中n 为正整数）6.多项式－ab （a-b ）2＋a （b-a ）2-ac （a-b ）2分解因式时，所提取的公因式应是_____.7.（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×________.8.多项式18x n+1-24x n 的公因式是_______.二、选择题1.多项式8x m y n-1-12x 3m y n 的公因式是（ ）A ．x m y nB ．x m y n-1C ．4x m y nD ．4x m y n-12.把多项式－4a 3+4a 2-16a 分解因式（ ）A ．-a(4a 2-4a+16)B ．a(-4a 2+4a －16)C ．-4(a 3-a 2+4a)D ．-4a(a 2-a+4)3.如果多项式-51abc+51ab 2-a 2bc 的一个因式是-51ab,那么另一个因式是（ ） A ．c-b+5ac B ．c+b-5ac C ．c-b+51ac D ．c+b-51ac 4.用提取公因式法分解因式正确的是（ ）A ．12abc-9a 2b 2=3abc(4-3ab)B ．3x 2y-3xy+6y=3y(x 2-x+2y)C ．-a 2+ab-ac=-a(a-b+c)D ．x 2y+5xy-y=y(x 2+5x)5.下列各式公因式是a 的是（ ）A. ax+ay+5 B．3ma-6ma2C．4a2+10ab D．a2-2a+ma6.-6xyz+3xy2+9x2y的公因式是（）A.-3x B．3xz C．3yz D．-3xy7.把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果是（）A．8（7a-8b）（a-b）;B．2（7a-8b）2 ;C．8（7a-8b）（b-a）;D．-2（7a-8b）8.把（x-y）2-（y-x）分解因式为（）A．（x-y）（x-y-1）B．（y-x）（x-y-1）C．（y-x）（y-x-1）D．（y-x）（y-x+1）9.下列各个分解因式中正确的是（）A．10ab2c+ac2+ac＝2ac（5b2+c）B．（a-b）3-（b-a）2＝（a-b）2（a-b+1）C．x（b+c-a）-y（a-b-c）-a+b-c＝（b+c-a）（x+y-1）D．（a-2b）（3a+b）-5（2b-a）2＝（a-2b）（11b-2a）10观察下列各式: ①2a+b和a+b，②5m（a-b）和-a+b，③3（a+b）和-a-b，④x2-y2和x2+y2.其中有公因式的是（）A．①② B.②③C．③④D．①④三、解答题1．请把下列各式分解因式（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2（3）(x+y)2+mx+my （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)（5）15×（a-b）2-3y（b-a）（6）（a-3）2-（2a-6）（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）2.满足下列等式的x的值．①5x2-15x=0 ②5x(x-2)-4(2-x)=03.a=-5,a+b+c=-5.2，求代数式a2(-b-c)-3.2a(c+b)的值．4.a+b＝-4，ab＝2，求多项式4a2b+4ab2-4a-4b的值.参考答案一、填空题1.答案：4x10y3；解析：【解答】系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x10y3，∴公因式为4x10y3．【分析】运用公因式的概念，找出各项的公因式即可知答案.2. 答案：x(x+y)2；解析：【解答】）-xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是x（x+y）2；【分析】运用公因式的概念，找出各项的公因式即可知答案.3. 答案：2a(2b2-b+4) ；解析：【解答】4ab²- 2ab + 8a= 2a( 2b² - b + 4 )，【分析】把多项式4ab²- 2ab + 8a运用提取公因式法因式分解即可知答案.4. 答案：(m-n)4，（5+m-n）解析：【解答】5(m－n)4-(n-m)5=(m－n)4（5+m-n）【分析】把多项式5(m－n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可知答案.5. 答案：偶数奇数解析：【解答】当n为偶数时，（a-b）n=（b-a）n；当n为奇数时，（a-b）n=-（b-a）n．（其中n为正整数）故答案为：偶数，奇数．【分析】运用乘方的性质即可知答案.6. 答案：-a（a-b）2解析：【解答】-ab（a-b）2+a（a-b）2-ac（a-b）2=-a（a-b）2（b+1-c），故答案为：-a（a-b）2．【分析】运用公因式的概念，找出各项的公因式即可知答案.7. 答案：（a-b+x-y）解析：【解答】（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×（a-b+x-y）.故答案（a-b+x-y ）.【分析】把多项式（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2运用提取公因式法因式分解即可.8. 答案：6x n解析：【解答】系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是x n ， ∴公因式为6x n ．故答案为6x n【分析】运用公因式的概念，找出各项的公因式即可知答案.二、选择题1. 答案：D解析：【解答】多项式8x m y n-1-12x 3m y n 的公因式是4x m y n-1．故选D ．【分析】运用公因式的概念，找出各项的公因式即可知答案.2. 答案：D解析：【解答】-4a 3+4a 2-16a=-4a （a 2-a+4）．故选D ．【分析】把多项式-4a 3+4a 2-16a 运用提取公因式法因式分解即可.3. 答案：A解析：【解答】-51abc+51ab 2-a 2bc=-51ab （c-b+5ac ），故选A. 【分析】运用提取公因式法把多项式-51abc+51ab 2-a 2bc 因式分解即可知道答案. 4. 答案：C解析：【解答】A ．12abc-9a 2b 2=3ab （4c-3ab ）,故本选项错误； B ．3x 2y-3xy+6y=3y （x 2-x+2）,故本选项错误；C ．-a 2+ab-ac=-a （a-b+c ）,本选项正确； D ．x 2y+5xy-y=y （x 2+5x-1）,故本选项错误；故选C.【分析】根据公因式的定义,先找出系数的最大公约数,相同字母的最低指数次幂,确定公因式,再提取公因式即可.5. 答案：D ；解析：【解答】A.ax+ay+5没有公因式，所以本选项错误；B.3ma-6ma 2的公因式为：3ma ，所以本选项错误；C.4a 2+10ab 的公因式为：2a ，所以本选项错误；D.a 2-2a+ma 的公因式为：a ，所以本选项正确．故选：D．【分析】把各选项运用提取公因式法因式分解即可知答案.6. 答案：D；解析：【解答】-6xyz+3xy2-9x2y各项的公因式是-3xy．故选D．【分析】运用公因式的概念，找出即可各项的公因式可知答案.7. 答案：C；【解答】(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)(7a-8b)=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b) 解析：=8(7a-8b)(b-a).故选C【分析】把(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)(7a-8b)运用提取公因式法因式分解即可知答案.8. 答案：C；解析：【解答】（x-y）2-（y-x）=（y-x）2-（y-x）=（y-x）（y-x-1），故答案为：C. 【分析】把(x-y)2-（y-x）运用提取公因式法因式分解即可知答案.9. 答案：D；解析：【解答】10ab2c+6ac2+2ac=2ac（5b2+3c+1），故此选项错误；（a-b）3-（b-a）2=（a-b）2（a-b-1）故此选项错误；x（b+c-a）-y（a-b-c）-a+b-c=x（b+c-a）+y（b+c-a）+（b-c-a）没有公因式，故此选项错误；（a-2b）（3a+b）-5（2b-a）2=（a-2b）（3a+b-5a+10b）=（a-2b）（11b-2a），故此选项正确；故选：D．【分析】把各选项运用提取公因式法因式分解即可知答案.10. 答案：B.解析：【解答】①2a+b和a+b没有公因式；②5m（a-b）和-a+b=-（a-b）的公因式为（a-b）；③3（a+b）和-a-b=-（a+b）的公因式为（a+b）；④x 2 -y 2和x 2 +y 2没有公因式．故选B．【分析】运用公因式的概念，加以判断即可知答案.三、解答题1.答案：（1）(x-y)(x+y)；（2）-3x(2x-y)2；（3）(x+y)(x+y+m)；（4）(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)；（5）3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）（a-5）；（7）-2q（m+n）. 解析：【解答】（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)（2）-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2（3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)（4）a(x-a)(x+y)2－b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab) （5）15x（a-b）2-3y（b-a）=15x（a-b）2+3y（a-b）=3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）2-（2a-6）=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）；（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）=（m+n）（p-q-q-p）=-2q（m+n）【分析】运用提取公因式法因式分解即可.42．答案：（1）x=0或x=3；（2）x=2或x=-5解析：【解答】（1）5x2-15x=5x(x-3)=0，则5x=0或x-3=0，∴x=0或x=34（2）(x-2)(5x+4)=0，则x-2=0或5x+4=0，∴x=2或x=-5【分析】把多项式利用提取公因式法因式分解，然后再求x的值.3．答案：1.8解析：【解答】∵a=-5,a+b+c=-5.2,∴b+c=-0.2∴a2(-b-c)-3.2a(c+b)=-a2(b+c)-3.2a·(b+c)=(b+c)(-a2-3.2a)=-a(b+c)(a+3.2)=5×(-0.2)×(-1.8)=1.8【分析】把a2(-b-c)-3.2a(c+b)利用提取公因式法因式分解，再把已知的值代入即可知答案.4. 答案：-16解析：【解答】4a2b+4ab2-4a-4b=4（a+b）（ab-1），∵a+b＝-4，ab＝2，∴4a2b+4ab2-4a-4b=4（a+b）（ab-1）=-16.【分析】把4a2b+4ab2-4a-4b利用提取公因式法因式分解，再把已知的值代入即可知答案.。
八年级数学下册4.2提公因式法(第2课时)能力提升(新版)北师大版
提公因式法知能操练提高能力提高1.以下各组代数式中, 没有公因式的是()A.3a-3b与b-aB.与x+mymx+yC.(1) 3与(1) 3D.a+b 与-()m---m b+a2. 若 a, b, c 为△ ABC的三边长,且( a-b ) b+a( b-a ) =a( c-a ) +b( a-c ),则△ ABC是()A. 直角三角形B. 等腰三角形C.等边三角形D. 等腰直角三角形3. ( x+y-z )( x-y+z )和( y+z-x )( z-x-y )的公因式是()A. x+y-zB. x-y+zC.y+z-xD. 不存在4. 多项式 -ab ( a-b )2+a( b-a )2-ac ( a-b )2因式分解时,所提公因式应是.5. 假如( m+n)( m-n)2+2mn( m+n) =( m+n)· M,那么 M=.6.因式分解:(1)3 m( x-y ) -n ( y-x );(2)- 3+2- 7a n;(3)( x-y ) 4+x( x-y ) 3-y ( y-x ) 3;(4)2( a- 3) 2-a+3.7.已知a+b=-4, ab=2, 求多式4ab( a+b) - 4a- 4b的.8.不解方程求(2 x-y ) 3- (2 x-y ) 2·(x- 3y) 的.新用9.先以下因式分解的程, 再回答所提出的:1+x+x( x+1) +x( x+1) 2=(1 +x)[1 +x+x( x+1)]=(1 +x)2(1 +x)(1) 3= +x .(1)上述因式分解的方法是, 共用了次;(2)若因式分解 1( 1)( 1) 2 ⋯( 1) 2 016 , 需用上述方法次, 果+x+x x++x x+++x x+是;(3)写出因式分解 1(1)(1)2⋯( 1) n(n 正整数 ) 的果.+x+x x++x x+++x x+答案：能力提高1.B2.B3.A4.-a ( a-b ) 25.m2+n26.解 : (1) 原式=3m( x-y ) +n( x-y ) =( x-y ) ·(3 m+n);(2)原式 =-a n(3 a2- 2a+7);(3)原式 =( x-y )4+x( x-y )3+y( x-y )3=( x-y )3·[( x-y ) +x+y] =2x( x-y )3;(4)原式 =2( a- 3)2- ( a- 3) =( a- 3)·[2( a- 3) - 1] =( a- 3)(2 a- 7) .7.解 : 原式=4( a+b)( ab- 1) .当 a+b=-4, ab=2时,原式 =-16.32228.解 : (2 x-y ) - (2 x-y )( x- 3y) =(2 x-y )·[(2x-y ) - ( x- 3y)] =(2 x-y ) ( x+2y) . 由于2x-y= 12, x+2y=11,因此原式 =122×11=1 584 .创新应用9 .解 : (1) 提公因式法 2 (2)2 016(1)2017+x(3)(1 +x) n+1。
八年级数学下册随堂训练第4章因式分解4.2提公因式法课件新版北师大版
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
4．把多项式－x2＋x 提取公因式－x 后，余下的部分是( B )
A．x
B．x－1
C．x＋1
D．x2
5．把多项式(x－2)2－4x＋8 分解因式，哪一步开始出现了错误( C ) 解：原式＝(x－2)2－(4x－8)…A
＝(x－2)2－4(x－2)…B
＝(x－2)(x－2＋4)…C
八年级数学(下册)·北师大版
第四章 因式分解
4.2 提公因式法
1．多项式中各项都含有的 相同 因式，叫做这个多项式各项的公因式． 2．如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式 提出来 ， 从而将多项式化成两个因式 乘积 的形式．这种因式分解的方法叫做提公因
式法．
公因式
1．多项式 15m3n2＋5m2n－20m2n3 的公因式是( C )来自A．5mnB．5m2n2
C．5m2n
D．5mn2
2．(1)－9a2b＋3ac2－6abc 各项的公因式是 －3a ；
(2)4x(m－n)＋8y(n－m)2 中各项的公因式是4(m－n) .
用提公因式法分解因式
3．把 a2－4a 多项式分解因式，结果正确的是( A )
A．a(a－4)
B．(a＋2)(a－2)
6．分解因式：2a(b＋c)－3(b＋c)＝ (2a－3)(b＋c) .
7．如图，一次函数 y＝x＋5 的图象经过点 P(a，b)和 Q(c，d)，则 a(c－d)－
b(c－d)的值为 25 .
8．把下列各式分解因式： (1)2m(m－n)2－8m2(n－m)； (2)－8a2b＋12ab2－4a3b3. 解：(1)2m(m－n)(5m－n)； (2)－4ab(2a－3b＋a2b2)．
八年级数学下册第四章因式分解4.2提公因式法(1)典型训
描述，请写出一个符合条件的多项式__3_x_3_－__3_x__2 __．
三、解答题 13．把下列各式因式分解．
(1)mx＋my＋mz；
解：原式＝m(x＋y＋z)．
(2)2x＋4x2；
解：原式＝2x(1＋2x)．
(3)4x3－6x2；
解：原式＝2x2(2x－3)．
解：原式＝－3ab(b－2b2＋4)．
(9)－2a2－12ab2＋8ab3.
解：原式＝－2a(a＋6b2－4b3)．
14．设 x 为满足 x2 002＋2 0022 001＝x2 001＋2 0022 002 的整数，则 x
＝_2__0_0_2__．
15．化简：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋……＋x(1＋x)2 016＋x(1＋
D．－1
7．将 3a2m－6amn＋3a 分解因式，下面是四位同学分解的结果：
①3am(a－2n＋1)；②3a(am＋2mn－1)；
③3a(am－2mn)；④3a(am－2mn＋1)．
其中，正确的是( D )
A．①
B．②
C．③
D．④
8．边长为 a，b 的长方形周长为 12，面积为 10，则 a2b＋ab2 的
值为( B )
A．120
B．60
C．80
D．40
二、填空题
9．因式分解：m2－m＝__m__(_m_－___1_)__．
10．把 6x2y－8xy2 分解因式时应该提取公因式___2_x_y__. 2
11．已知 2x－y＝13，xy＝2，则 2x2y－xy2＝_3___．
12．课堂上，老师给出了一个只含字母 x 的多项式，并让同学们
2017年春季新版北师大版八年级数学下学期4.2、提公因式法课件72
开放的延伸
分解因式 (x＋y)m+1＋(x＋y)m
解：
原式＝(x＋y)m(x＋y)＋(x＋y)mБайду номын сангаас1
＝ (x＋y)m(x＋y＋1)
课时小结
知识点
1. 公因式含有多项式时的确定方法 自我评价 √？×
2. 整体思想的应用
3. 符号相反时的处理(符号)
√？×
√？×
4. 提公因式后要整理，结果只能含小括号
2 2 (6) s 2 t 2 ___( s t ) -
练习
把下列各式分解因式：
① a(m－2)＋b(2－m) ② 2(y－x)2＋3(x－y) ③ mn(m－n)－m(n－m)2
① 原式＝a(m－2)－b(m－2) ＝(a－b)(m－2) ② ③ 原式＝2(x－y)2＋3(x－y) 原式＝mn(m－n)－m(m－n)2 ＝(x－y)[2(x－y)＋3] ＝m(m－n)[n－(m－n)] ＝(x－y)(2x－2y＋3) ＝m(m－n)(2n-m)
√？×
作
业
课本P52知识技能第1题偶数小题，第2题 完成《A本》P14~15 • 预习课本 P54~55的内容，并完成P55 随堂练习。 完成《B本》P14
•
课时目标
1. 进一步熟练掌握提公因式法分解因式 2. 公因式是多项式时能用整体法进行分 解因式。
开放的情境
一元二次方程
公因式 整 式 乘 法
分解因式
提 公 因 式 法
公 式 法
分解因式 简便计算
求值
证明
课前测试
把下列各式分解因式 ① 8m2n＋2mn ② 3x3－3x2－9x ③ －4a3b3＋6a2b－2ab ④ －3ma3＋6ma2－12ma ① 2mn(4m＋1) ② 3x(x2－x－3) ③ －2ab(2a2b2－3a＋1) ④ －3ma(a2－2a＋4)
八年级数学下册 第四章 因式分解4.2 提公因式法第1课时 公因式为单项式的因式分解习题课件北师大版
（2）-10m4n2+8m4n-2m3n. 解：原式 = -m3n(10mn-8m+2)
随堂练习
4.利用因式分解进行计算：
（1）20202-2019×2020; 解：20202-2019×2020 =（2020-2019）×2020 =2020.
（2）31×3.14+27×3.14+42×3.14. 解：31×3.14+27×3.14+42×3.14 =（31+27+42）×3.14 =100×3.14
=314.
课堂小结
提公因式法 （单项式）
确定公因式
方法
提取公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年4月28日星期四下午9时16分28秒21:16:2822.4.2 8
课程讲授
2 公因式为单项式的因式分解
(3)8a3b2 －12ab3c+ab=ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1= ab(8a2b －12b2c+1)； (4)－24x3+ 12x2－28x =－(24x3 －12x2+28x)=－(4x·6x2 － 4x·3x+4x·7)=－4x(6x2 －3x+7).
随堂练习
1.把a2-2a分解因式，正确的是（ A ） A.a(a-2) B.a(a+2) C.a(a2-2) D.a(2-a)
随堂练习
2.下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是（ B ） A.x2-y2 B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2
4.2 提公因式法 北师大版数学八年级下册同步练习(含解析)
第四章 因式分解2 提公因式法基础过关全练知识点1 公因式1.下列各个多项式的各项中,有公因式的是( )A.x 2-9y 2B.x 2-3x +5C.a 3+b 3D.a 3b -ab 2+ab2.(2021河北邢台威县期末)将12m 2n +6mn 用提公因式法分解因式,应提取的公因式是( )A.6mB.m 2nC.6mnD.12mn3.(2022重庆沙坪坝期中)把多项式x 2y 5-xy n z 因式分解时,提取的公因式是xy 5,则n 的值可能为( )A.6B.4C.3D.2知识点2 提公因式法分解因式4.(2022辽宁葫芦岛兴城期末)多项式m 2-4m 分解因式的结果是 ( )A.m (m -4)B.(m +2)(m -2)C.m (m +2)(m -2)D.(m -2)25.(2020陕西西安碑林月考)如果多项式15abc +15ab 2-a 2bc 各项的一个因式是15ab ,那么另一个因式是 ( )A.c -b +5acB.c +b -5acC.15acD.-15ac 6.(2022河北石家庄二模)计算(-2)2 021+(-2)2 022的结果是 ( )A.22 021B.-2C.-22 021D.-17.下列各式成立的是()A.-x-y=-(x-y)B.y-x=x-yC.(x-y)2=(y-x)2D.(x-y)3=(y-x)38.(2022陕西西安碑林期中)把5(a-b)+m(b-a)提公因式后,一个因式是(a-b),则另一个因式是()A.5-mB.5+mC.m-5D.-m-59.(2022山东潍坊潍城一模)将多项式(a-1)2-a+1因式分解,结果正确的是() A.a-1 B.(a-1)(a-2)C.(a-1)2D.(a+1)(a-1)10.【新独家原创】村委会计划在半山腰打一口井,既能方便植树造林改变环境,也能方便居民用水,他们计划造一个长方形水槽便于存水,如图,长和宽分别为a、b的长方形水槽的周长为68,面积为280,则a2b+ab2的值为.11.若9a2(x-y)+3a(x-y)2=m(3a+x-y),则m=.12.因式分解:4(x-y)3-6(y-x)2=.13.把下列各式因式分解:(1)-18m2n+27mn2-9mn;(2)2x m y n+1-4x m+1y n-1;(3)6a(a-b)2-3(a-b);(4)a(x-2)(x+2)-a(2-x)2;(5)3(m-n)3-6m(n-m)2.能力提升全练14.(2022四川眉山中考,13,)分解因式:2x2-8x=.15.(2022山西省实验中学期中,21,)分解因式:6m-3m2=.16.(2022重庆南开中学期中,14,)若mn=3,n-m=2,则mn2-m2n=.17.(2022辽宁本溪期中,13,)计算:4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2=.18.(2022辽宁本溪期中,21,)因式分解:(1)-24x3+12x2-28x;(2)6(m-n)3-12(m-n)2.19.(2022江西萍乡湘东期中,15,)因式分解:(1)a(m-n)+b(n-m);(2)(a-3)2+2a-6.素养探究全练20.【应用意识】阅读理解:把多项式am+an+bm+bn分解因式.解法一:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).解法二:am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).(1)分解因式:m2x-3m+mnx-3n;(2)已知a,b,c为△ABC的三边长,且a3-a2b+5ac-5bc=0,试判断△ABC的形状.答案全解全析基础过关全练1.D D 选项中,各项的公因式是ab.2.C 12m 2n +6mn 中,各项的公因式是6mn.故选C .3.A 把多项式x 2y 5-xy n z 因式分解时,提取的公因式是xy 5,则n ≥5,故选A .4.A m 2-4m =m (m -4),故选A .5.B 15abc +15ab 2-a 2bc =15ab (c +b -5ac ), 故另一个因式为c +b -5ac.故选B.6.A (-2)2 021+(-2)2 022=(-2)2 021×(1-2)=22 021.故选A .7.C -(x -y )=-x +y ,故A 不成立;y -x =-(x -y ),故B 不成立;(x -y )2=[-(y -x )]2=(y -x )2,故C 成立;(x -y )3=[-(y -x )]3=-(y -x )3,故D 不成立.故选C .8.A 原式=5(a -b )-m (a -b )=(a -b )(5-m ),∴另一个因式是5-m ,故选A .9.B (a -1)2-a +1=(a -1)2-(a -1)=(a -1)(a -1-1)=(a -1)(a -2).故选B .10.答案 9 520解析 由已知得2(a +b )=68,ab =280,∴a +b =34,∴a 2b +ab 2=ab (a +b )=280×34=9 520.11.答案3a(x-y)解析∵9a2(x-y)+3a(x-y)2=3a(x-y)(3a+x-y)=m(3a+x-y),∴m=3a(x-y).12.答案2(x-y)2(2x-2y-3)解析4(x-y)3-6(y-x)2=4(x-y)3-6(x-y)2=2(x-y)2(2x-2y-3).13.解析(1)-18m2n+27mn2-9mn=-9mn(2m-3n+1).(2)2x m y n+1-4x m+1y n-1=2x m y n-1(y2-2x).(3)6a(a-b)2-3(a-b)=3(a-b)[2a(a-b)-1]=3(a-b)(2a2-2ab-1).(4)a(x-2)(x+2)-a(2-x)2=a(x-2)(x+2)-a(x-2)2=a(x-2)[(x+2)-(x-2)]=4a(x-2).(5)3(m-n)3-6m(n-m)2=3(m-n)3-6m(m-n)2=3(m-n)2(m-n-2m)=3(m-n)2(-m-n)=-3(m-n)2(m+n).能力提升全练14.答案2x(x-4)解析直接提取公因式2x.15.答案3m(2-m)解析6m-3m2=3m(2-m).16.答案 6解析∵mn=3,n-m=2,∴mn2-m2n=mn(n-m)=3×2=6.17.答案 2 022解析4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2=202.2×(4.3+7.6-1.9)=202.2×10=2 022.18.解析(1)原式=-4x(6x2-3x+7).(2)原式=6(m-n)2(m-n-2).19.解析(1)原式=a(m-n)-b(m-n)=(a-b)(m-n).(2)原式=(a-3)2+2(a-3)=(a-3)(a-3+2)=(a-3)(a-1).素养探究全练20.解析(1)原式=m(mx-3)+n(mx-3)=(mx-3)(m+n).(2)∵a3-a2b+5ac-5bc=0,∴a2(a-b)+5c(a-b)=0,∴(a-b)(a2+5c)=0,∵a,b,c为△ABC的三边长,∴a2+5c≠0,∴a-b=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形.。
4.2 提公因式法 第1课时 北师大版数学八年级下册教案
4.2提公因式法（第1课时公因式是单项式的因式分解）教学目标1.学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解.2.通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想.教学重点难点重点：理解公因式的意义.难点：会用提公因式法因式分解.教学过程复习巩固1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.2. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式.教师：多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？学生：都含有相同的因式依次为b, x,b.探究新知探究点一公因式的定义把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.活动2（学生交流，教师点评）【问题2】（师生互动）教师：尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积.学生：ab+bc＝b（a+c），3x2+x＝x（3x+1），mb2+nb-b＝b(mb+n-1).【思考】如何找3x 2– 6 xy的公因式分析：系数：3，6的最大公约数是3.字母：相同的字母x.指数：相同字母x的最低次幂.解：3x 2– 6 xy的公因式是3x.探究点二确定公因式的方法活动3（学生交流，教师点评）确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.【例1】多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.答案：D【即学即练】多项式6ab2-8a4b3c中各项的公因式是_________.答案：2ab2探究点三提公因式法活动4（学生交流，教师点评）【例2】因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .分析：将原式各项提取公因式即可得到结果.解：(1) 8a3b2+12ab3c＝4ab2(2a2+3bc).（2）-24x3-12x2+28x＝-(24x³+12x²-28x)＝-(4x·6x²+4x·3x-4x·7)＝-4x(6x²+3x-7).【题后总结】(学生总结，老师点评)提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式.【总结】提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.【思考】提公因式法因式分解的步骤?(小组交流，教师点评)【总结】第一步，找出公因式；第二步，提取公因式，即用公因式去除这个多项式,所得的商式作为另一个因式，将多项式化为两个因式的积.【即学即练】计算：(1)39×37-13×91；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14.分析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可.解：(1)39×37-13×91＝3×13×37-13×91＝13×(3×37-91)＝13×20＝260；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14＝20.15×(29+72+13-14)＝2015.【方法总结】在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便.课堂练习1.多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式是()A.−3xyB.3yzC.3xzD.−3x2.多项式mx+n可分解为m(x−y)，则n表示的整式为()A.mB.myC.−yD.−my3.将3x(a−b)−9y(a−b)因式分解，应提的公因式是()A.3x−9yB.3x+9yC.a−bD.3(a−b)4.(−2)2 017+(−2)2 018的值为()A.2B.−2C.−22 017D.22 0175.将多项式−6a3b2−3a2b2+12a2b3因式分解时，应提取的公因式是()A.−3a2b2B.−3abC.−3a2bD.−3a3b3参考答案：1.A解析：因为−9x2y＝−3xy·3x，3xy2＝−3xy·(−y)，−6xyz＝−3xy·2z，所以多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式为−3xy.2.D解析：∵m(x−y)＝mx−my，∴n＝−my.故选D.3.D解析：各项系数的最大公约数是3，相同的因式是a−b，所以应提的公因式是3(a−b).4.D解析：(−2)2 017+(−2)2 018＝(−2)2 017×(1−2)＝22 017.故选D.5. A解析：各项系数的最大公约数是−3，相同字母的最低指数次幂是a2b2，所以应提取的公因式是−3a2b2.故选A.课堂小结(学生总结，老师点评)一、公因式把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.二、确定公因式的方法三、提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.布置作业教材第96页习题4.2板书设计2提公因式法第1课时公因式是单项式的因式分解一、公因式的定义【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.例1多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是() A.abc B.3a2b2 C.3a2b2c D.3ab例2因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .二、提公因式法1.定义2.步骤。
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第四章 因 式 分 解
4.2.2 提公因式法
1.在横线上填入“+”或“-”号，使等式成立。
(1)a-b=______(b-a) (2)a+b=______(b+a)
(3)(a-b)2=______(b-a)2 (4)(a+b)2=______(b+a)2
(5)(a-b)3=______(b-a)3 (6)(-a-b)3=______(a+b)3
2.多项式6(x-2)2+3x(2-x)的公因式是______________
3.5(x-y)-x(y-x)=(x+y)·_____________
4.a(b-c)+c-b=(b-c)·_____________
5.p(a-b)+q(b-a)=(p-q)·_____________
6.分解因式a(a-1)-a+1=_______________
7.x(y-1)-(____________)=(y-1)(x+1)
8.分解因式：(a-b)2(a+b)+(a-b)(a+b)2=(__________)(a-b)(a+b)
9.下列各组的两个多项式，没有公因式的一组是 （ ）
(A)ax-bx与by-ay (B)6xy+8x2y与-4x-3
(C)ab-ac与ab-bc (D)(a-b)3x与(b-a)2y
10.将3a(x-y)-9b(y-x)分解因式，应提取的公因式是 （ ）
(A)3a-9b (B)x-y (C)y-x (D)3(x-y)
11.下列由左到右的变形是因式分解的是 （ ）
(A)4x+4y-1=4(x+y)-1 (B)(x-1)(x+2)=x2+x-2
(C)x2-1=(x+1)(x-1) (D)x+y=x(1+xy)
12.下列各式由左到右的变形，正确的是 （ ）
(A)-a+b=-(a+b) (B)(x-y)2=-(y-x)2
(C)(a-b)3=(b-a)3 (D)(x-1)(y-1)=(1-x)(1-y)
13.把多项式m(m-n)2+4(n-m)分解因式，结果正确的是 （ ）
(A)(n-m)(mn-m2+4) (B)(m-n)(mn-m2+4)
(C)(n-m)(mn+m2+4) (D)(m-n)(mn-m2-4)
14.下列各多项式，分解因式正确的是 （ ）
(A)(x-y)2-(x-y)=(x-y)(x-y)2 (B)(x-y)2-(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2
(C)(x-y)2-(x-y)=(x-y)(x-y-1) (D)a2(a-b)-ab(b-a)=a(a-b)(a-b)=a(a-b)2
15.分解因式
1.3xy(a-b)2+9x(b-a) 2.(2x-1)y2+(1-2x)2y
3.a2(a-1)2-a(1-a)2 4.ax+ay+bx+by
16.分解因式： (1)6m(m-n)2-8(n-m)3 (2)15b(2a-b)2+25(b-2a)3
(3)a3-a2b+a2c-abc (4)4ax+6am-20bx-30bm