2024届山东省潍坊市普通高中高三下学期3月第一次质检数学试题试卷
山东省淄博市2024届高三下学期3月第一次模拟考试 数学
淄博市2023-2024学年度高三模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.1,016⎛⎫⎪⎝⎭D.10,16⎛⎫⎪⎝⎭2.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（）A.2B.4C.D.3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375610,35a a a a +==，则6S =（）A.20B.16C.14D.124.已知函数π()sin(23f x x =-，则下列结论中正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期2πT =B.函数()f x 的图象关于点5π(,0)12中心对称C.函数()f x 的图象关于直线π6x =对称D.函数()f x 在区间π[0,4上单调递增5.小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数 2.71828e ≈…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（）A.24B.16C.12D.106.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA uur 与OB uuu r 关于x 轴对称，向量()0,1a =r，若满足20OA a AB +⋅=uur uuu rr 的点A 的轨迹为E ，则（）A.E 是一条垂直于x 轴的直线B.E 是一个半径为1的圆C.E 是两条平行直线D.E 是椭圆7.若π3π,44α⎛⎫∈⎪⎝⎭，ππ6tan 4cos 5cos 244ααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α=（）A.2425 B.1225C.725D.158.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P ，Q ．是它们的两个公共点，且P ，Q ．关于原点对称，223PF Q π∠=，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则22122212313e e e e +++的最小值是（）A.233+ B.133+ C.233D.433二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若样本数据123456,,,,,x x x x x x 的方差为2，则数据12346531,31,31,31,31,31x x x x x x ------的方差为17B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C.用决定系数2R 比较两个模型的拟合效果时，若2R 越大，则相应模型的拟合效果越好D.以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，求得线性回归方程为20.4z x =+$，则c ，k 的值分别是0.4e 和210.已知非零复数1z ，2z ，其共轭复数分别为12z z ，，则下列选项正确的是（）A.1122z z =B.1212z z z z +=+C.若211z +=，则21z -的最小值为2D.1122z z z z =11.把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(OO '中椭圆长轴4AB =，短轴CD =，12,F F 为下底面椭圆的左右焦点，2F '为上底面椭圆的右焦点，4AA '=，P 为线段BB '上的动点，E 为线段A B ''上的动点，MN 为过点2F 的下底面的一条动弦(不与AB 重合)，则下列选项正确的是（）A.当12//F F '平面PMN 时，P 为BB '的中点B.三棱锥22F F CD '-外接球的表面积为8πC.若点Q 是下底面椭圆上的动点，Q '是点Q 在上底面的射影，且1Q F '，2Q F '与下底面所成的角分别为,αβ，则()tan αβ+的最大值为1613-D.三棱锥E PMN -体积的最大值为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列{}n a 共有21n +项，11a =，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q =__________.13.已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '为()f x 的导函数，()f x '定义域也是R ，`()f x 满足(1012)(1013)41f x f x x +--=+，则20241()i f i ='=∑_______.14.设方程e e 0x x ++=，ln e 0x x ++=的根分别为p ，q ，函数()()e xf x p q x =++，令()130,,22a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在△ABC 中，2,3BAC BAC π∠=∠的角平分线交BC 于P 点，2AP =.（1）若8BC =，求△ABC 的面积;（2）若4CP =，求BP 的长.16.如图，多面体ABCDEF 是由一个正四棱锥A BCDE -与一个三棱锥F ADE -拼接而成，正四棱锥A -BCDE 的所有棱长均为//AF CD .（1）在棱DE 上找一点G ，使得面ABC ⊥面AFG ，并给出证明;（2）当12AF CD =时，求点F 到面ADE 的距离;（3）若13AF CD =，求直线DF 与面ABC 所成角的正弦值.17.已知函数()e sin 1x f x x =--.（1）讨论函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性;（2）证明函数()f x 在区间(π,0]-上有且仅有两个零点.18.为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.（1）若把年龄在[20,40)的锻炼者称为青年，年龄在[40,60]的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值0.01α=的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[30,40)与[50,60]的人数分别为,,X Y X Y ξ=-，求ξ的分布列与期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为122,,353，求小明星期天选择跑步的概率.参考公式：()()()()()22.n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++，附：α0.100.050.010.0050.001ax 2.7063.8416.6357.87910.82819.在平面直角坐标系xOy 中，点.)5,0F，点(),P x y 是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆22:1D x y +=相切，记点P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程;（2）设点(1,0),(0,),(0,4)(2)A M t N t t -≠，直线AM ，AN 分别与曲线C 交于点S ，T (S ，T 异于A )，过点A 作AH ST ⊥，垂足为H ，求||OH 的最大值.淄博市2023-2024学年度高三模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.()1,0B.()0,1 C.1,016⎛⎫⎪⎝⎭D.10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线焦点坐标公式即可.【详解】2422y x x ==⨯，即2p =，则其焦点坐标为()1,0，故选：A .2.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（）A.2B.4C. D.【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由题意得到2ππr l =求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，即侧面展开图的半径为l ，侧面展开图的弧长为πl .又圆锥的底面周长为2πr ，所以2ππr l =，即圆锥的母线长2l r =.所以圆锥的侧面积为2π2π16πrl r ==，解得r =.故选：C.3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375610,35a a a a +==，则6S =（）A.20 B.16 C.14D.12【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的性质求得5a ，然后依次求得6a ，公差，最后求得6S ．【详解】∵{}n a 是等差数列，∴375210a a a +==，55a =，所以56657a a a a ==，∴公差652d a a =-=，∴1543a a d =-=-，∴6656(3)2122S ⨯=⨯-+⨯=，故选：D ．4.已知函数π()sin(23f x x =-，则下列结论中正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期2πT =B.函数()f x 的图象关于点5π(,0)12中心对称C.函数()f x 的图象关于直线π6x =对称D.函数()f x 在区间π[0,4上单调递增【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项判断即得.【详解】对于A ，函数π()sin(2)3f x x =-的最小正周期2ππ2T ==，A 错误；对于B ，由5π5ππ()sin(21012123f =⨯-=≠，得函数f (x )的图象不关于点5π(,0)12对称，B 错误；对于C ，由πππ()sin(2)01663f =⨯-=≠，得函数f (x )的图象不关于直线π6x =对称，C 错误；对于D ，当π[0,4x ∈时，πππ2[,]336x -∈-，而正弦函数sin y x =在ππ[,]36-上单调递增，因此函数()f x 在区间π[0,4上单调递增，D 正确.故选：D5.小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数 2.71828e ≈…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（）A.24B.16C.12D.10【答案】B 【解析】【分析】分两个2之间是8和不是8两大类讨论即可.【详解】若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828；828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878；878212，共4种；则总共有16种，故选：B.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA 与OB 关于x 轴对称，向量()0,1a =，若满足20OA a AB +⋅=的点A 的轨迹为E ，则（）A.E 是一条垂直于x 轴的直线B.E 是一个半径为1的圆C.E 是两条平行直线D.E 是椭圆【答案】B 【解析】【分析】设(),A x y ，由题有(),OA x y = ，(),OB x y =- ，代入20OA a AB +-=化简即可得出答案.【详解】设(),A x y ，由题有(),OA x y = ，(),OB x y =-，所以(,)B x y -，()0,2AB y =-，所以22220OA a AB x y y +⋅=+-= ，即()2211x y +-=，所以点(),A x y 的集合是以()0,1为圆心，1为半径的圆.其轨迹E 为半径为1的圆，故选：B ．7.若π3π,44α⎛⎫∈⎪⎝⎭，ππ6tan 4cos 5cos 244ααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α=（）A.2425 B.1225C.725D.15【答案】C 【解析】【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可.【详解】令π4t α=+，π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π4t α=-，则ππ6tan 4cos 5cos 222t t t ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即6tan 4sin 5sin 210sin cos t t t t t +==，整理得()()5cos 3cos 10t t +-=，且cos 0<t ，那么3cos 5t =-，则2π7sin 2sin 2cos 212cos 225t t t α⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.故选：C.8.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P ，Q ．是它们的两个公共点，且P ，Q ．关于原点对称，223PF Q π∠=，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则22122212313e e e e +++的最小值是（）A.23+B.13+C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】设出椭圆的长半轴长1a ，双曲线的实半轴长为2a ，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出12,e e 的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义得：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，112212,PF a a PF a a ∴=+=-，设1222π2,3F F c PF Q =∠=，根据椭圆与双曲线的对称性知四边形12PFQF 为平行四边形，则12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得2221234a a c +=，即2221314e e +=，则22122222121222221212313131311113131361111e e e e e e e e e e ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪+=+=+++⨯ ⎪++ ⎪⎝⎭++++ ⎪⎝⎭2222112222221212113331311111441313661111e e e e e e e e ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢=⨯++≥⨯+⨯⎢⎥⎢++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(12342363+=⨯+=，当且仅当222221221231131134e e e e ⎧⎛⎫⎛⎫⎪+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩，即212233411132493137833e e ⎧+=<⎪⎪⎨+⎪==>⎪-⎩时等号成立，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理得到2221314e e +=，最后对原式变形再利用基本不等式即可求出其最小值.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若样本数据123456,,,,,x x x x x x 的方差为2，则数据12346531,31,31,31,31,31x x x x x x ------的方差为17B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C.用决定系数2R 比较两个模型的拟合效果时，若2R 越大，则相应模型的拟合效果越好D.以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，求得线性回归方程为20.4zx =+ ，则c ，k 的值分别是0.4e 和2【答案】BCD 【解析】【分析】根据方差的性质即可判断A ；根据百分位数计算公式即可判断B ；根据决定系数的概念即可判断C ；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D.【详解】对A ：若样本数据126,,,x x x 的方差为2，则数据12346531,31,31,31,31,31x x x x x x ------的方差为2321817⨯=≠，故A 错误；对B ：580%4⨯=，则其第80百分位数是111211.52+=，故B 正确；对C ，根据决定系数的含义知2R 越大，则相应模型的拟合效果越好，故C 正确；对D ，以模型e b y c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，则ln ln ln e ln kx z y c c kx ==+=+，由题线性回归方程为20.4zx =+ ，则ln 0.4,2c k ==，故,c k 的值分别是0.4e 和2，故D 正确.故选：BCD.10.已知非零复数1z ，2z ，其共轭复数分别为12z z ，，则下列选项正确的是（）A.1122z z =B.1212z z z z +=+C.若211z +=，则21z -的最小值为2D.1122z z z z =【答案】BD 【解析】【分析】设()12i i ,,,R z a b z c d a b c d =+=+∈，，对A 根据复数的乘法运算即可判断，对B 根据共轭复数的概念和复数的加减即可判断；对C 根据复数表示的几何意义即可判断；对D ，根据复数的除法运算和复数模的计算即可判断.【详解】设()12i i ,,,z a b z c d a b c d =+=+∈R ，，对A ，22122i z a ab b =+-，()22221i 2i z a b a ab b =-=--，当,a b 至少一个为0时，1122z z =，当,a b 均不等于0，211z z ≠，故A 错误；对B ，()()12i z z a c b d +=+++，则()()12i z z a c b d +=+-+，而()()12i i i z z a b c d a c b d +=-+-=+-+，故1212z z z z +=+，故B 正确；对C ，若211z +=，即()1i 1c d ++=1=，即()2211c d ++=，则(),c d 在复平面上表示的是以()1,0-为圆心，半径1r =的圆，21z -的几何意义表示为点(),c d 到点()1,0的距离，显然()2211041++=>，则点()1,0在圆外，则圆心到定点()1,0的距离2d =，则点()1,0与圆上点距离的最小值为211d r -=-=，故C 错误；对D ，1122z z z z =，()()()122222i i ii i a b c d ac bd ad bc z a b z c d c d c d++-+++===+++，12z z ===而12z z =，故1122z z z z =，故D 正确；故选：BD.11.把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(OO '中椭圆长轴4AB =，短轴CD =，12,F F 为下底面椭圆的左右焦点，2F '为上底面椭圆的右焦点，4AA '=，P 为线段BB '上的动点，E 为线段A B ''上的动点，MN 为过点2F 的下底面的一条动弦(不与AB 重合)，则下列选项正确的是（）A.当12//F F '平面PMN 时，P 为BB '的中点B.三棱锥22F F CD '-外接球的表面积为8πC.若点Q 是下底面椭圆上的动点，Q '是点Q 在上底面的射影，且1Q F '，2Q F '与下底面所成的角分别为,αβ，则()tan αβ+的最大值为1613-D.三棱锥E PMN -体积的最大值为8【答案】ACD 【解析】【分析】当12//F F '平面PMN 时，可得122//F F F P '，确定P 点位置判断选项A ；几何法求三棱锥22F F CD '-外接球的半径，计算表面积判断选项B ；令12,QF m QF n ==，得()()216tan 212m αβ+=---，由13m ≤≤求最大值判断选项C ；由22E PMNM PEF N PEF V V V ---=+，要使三棱锥E PMN -体积最大，只需2PEF △的面积和,M N 到平面2PEF 距离之和都最大，求结果判断选项D.【详解】由题设，长轴长4AB A B ''==，短轴长CD =，则1221OF OF O F ''===，得22,F F '分别是,OB O B ''中点，而柱体中ABB A ''为矩形，连接OB '，由21//B F OF ''，211B F OF ==，∴四边形12F OB F ''为平行四边形，12//OB F F ''，当12//F F '平面PMN 时，12F F '⊂平面ABB A ''，平面ABB A ''⋂平面2PMN PF =，则122//F F PF '，有2//OB PF '，OBB '△中，2F 是OB 中点，则P 为BB '的中点，A 选项正确；2OF CD ⊥，3CD =，21OF =，则2F CD △中，222CF DF ==，2120CF D ∠= ，2F CD △外接圆半径为2122sin CD r CF D =⨯=∠，22//F F AA ''，则22F F '⊥平面2F CD ，三棱锥22F F CD '-外接球的半径为22222R =+=，所以外接球的表面积为24π32πR =，B 选项错误；点Q 是下底面椭圆上的动点，Q '是点Q 在上底面的射影，且1Q F '，2Q F '与下底面所成的角分别为,αβ，令12,QF m QF n ==，则4m n +=，又4QQ '=，则4tan m α=，4tan n β=，()()4tan tan 16tan 1tan tan 1616m n mn mn αβαβαβ+++===---，()()216tan 212m αβ+=---，由椭圆性质知13m ≤≤，则当1m =或3m =时，()tan αβ+的最大值为1613-，C 选项正确；由22E PMN M PEF N PEF V V V ---=+，要使三棱锥E PMN -体积最大，只需2PEF △的面积和,M N 到平面2PEF 距离之和都最大，222PEF BF EB PBF PEB S S S S ''=-- ，令,EB a PB b '==，且[],0,4a b ∈，则4PB b '=-，()()()21111411422222PEF b a S a b a b -=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯-=+，当4a b ==时，有最大值28PEF S = ，在下底面内以O 为原点，构建如上图的直角坐标系，且()0,2B ，则椭圆方程为22143y x +=，设:1MN y tx =+，联立椭圆得()2234690t x tx ++-=，()214410t ∆=+>，2269,3434M N M N t x x x x t t +=-=-++，()222121434M N M N M N t x x x x x x t +-=+-=+，令211l t =+≥，212121313M N l x x l l l-==++，由对勾函数性质可知13y l l=+在[)1,+∞上递增，max1234M Nx x -==，综上，三棱锥E PMN -体积的最大值为18383⨯⨯=，D 选项正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题是解析几何与立体几何的综合问题，解析几何部分要用好椭圆的定义、方程和性质，确定图形中各点的位置，利用韦达定理解决弦长；椭圆中立体几何部分要用好几何体的结构特征，利用线面平行的性质得线线平行，几何法解决外接球问题，几何法求线面角.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列{}n a 共有21n +项，11a =，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q =__________.【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，借助等比数列定义求解即得.【详解】依题意，1352185n a a a a +++++= ，即24284n a q a q a q +++= ，而24242n a a a +++= ，所以2q =.故答案为：213.已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '为()f x 的导函数，()f x '定义域也是R ，`()f x 满足(1012)(1013)41f x f x x +--=+，则20241()i f i ='=∑_______.【答案】4048【解析】【分析】求导得到()(2025)4f x f x ''+-=，赋值累加即可.【详解】对(1012)(1013)41f x f x x +--=+两边同时求导得(1012)(1013)4f x f x ''++-=，即()(2025)4f x f x ''+-=，则(1)(2024)4f f ''+=，(2)(2023)4f f ''+= (1012)(1013)4f f ''+=，则20241()410124048i f i ='=⨯=∑.故答案为：4048.14.设方程e e 0x x ++=，ln e 0x x ++=的根分别为p ，q ，函数()()e xf x p q x =++，令()130,,22a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为___________.【答案】a c b>>【解析】【分析】根据给定条件，利用反函数性质求出p q +，再计算判断即得.【详解】由e e 0x x ++=，得e e x x =--，由ln e 0x x ++=，得ln e x x =--，依题意，直线e y x =--与函数e ,ln x y y x ==图象交点的横坐标分别为,p q ，而函数e ,ln x y y x ==互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，又直线e y x =--垂直于直线y x =，因此直线e y x =--与函数e ,ln x y y x ==图象的交点关于直线y x =对称，即点(,)p q 在直线e y x =--上，则e p q +=-，()x f x e ex =-，于是11(0)1,()e 122f f ==<，323331(e e )312223f =-=-<⨯=，而3231()()e e 1)022f f -=--=-->，所以31(0)((22f f f >>，即a c b >>.故答案为：a c b>>【点睛】结论点睛：同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在△ABC 中，2,3BAC BAC π∠=∠的角平分线交BC 于P 点，2AP =.（1）若8BC =，求△ABC 的面积;（2）若4CP =，求BP 的长.【答案】（1）31952（2【解析】【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；（2）首先利用余弦定理求出1AC =+，再利用正弦定理求出sin C ，再根据三角恒变换求出sin B ，最后再根据正弦定理即可.【小问1详解】ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-⋅⋅∠，即2264c b b c =++⋅①因ABC MBP MCP S S S =+，即22222222bc c b ⋅=⋅+⋅，整理得22b c b c ⋅=+②①②解得2b c ⋅=+所以1sin 22ABC S bc BAC =∠=.【小问2详解】因为π2,4,3AP CP PAC ==∠=，所以在APC △中由余弦定理可得2222cos CP AP AC AP AC CAP =+-⋅⋅∠，所以21642AC AC =+-解得1AC =，由正弦定理得sin sin AP PCC CAP=∠，即2sin 32C =，解得sin 4C =，所以cos 4C ==，sin sin()sin cos cos sin ,8B BAC C BAC C BAC C -=∠+=∠+∠=ABC 中由正弦定理得sin sin AC BC B BAC=∠393382=，解得143BC +=，所以142433PB BC PC ++=-=-=.16.如图，多面体ABCDEF 是由一个正四棱锥A BCDE -与一个三棱锥F ADE -拼接而成，正四棱锥A -BCDE 的所有棱长均为//AF CD .（1）在棱DE 上找一点G ，使得面ABC ⊥面AFG ，并给出证明;（2）当12AF CD =时，求点F 到面ADE 的距离;（3）若13AF CD =，求直线DF 与面ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）当点G 为DE 中点时，证明见解析（2（3）24221【解析】【分析】（1）当点G 为DE 中点时，面ABC⊥面AFC ，利用面面垂直的判定即可证明；（2）首先证明AF ⊥面DEF ，再利用等体积法即可；（3）建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可.【小问1详解】当点G 为DE 中点时，面ABC⊥面AFC ，证明如下：因为四棱锥A BCDE -是正四棱锥，所以,AD AE AG DE =⊥.在正方形BCDE 中，//DE BC ，所以AG BC ⊥，在正方形BCDE 中，CD BC ⊥，因为//AF CD ，所以AF BC ⊥，因为,,AF AG A AF AG ⋂=⊂面AFG ，所以BC⊥面AFG ，因为BC ⊂面ABC ，所以面ABC ⊥面AFG .【小问2详解】连接BD ，CE 交于点O ，连接AO ，OG ，则//AF OG ，又因为四棱锥A BCDE -是正四棱锥，所以AO ⊥面BCDE ，所以四边形AOGF 为矩形，AF FG ∴⊥，又,AF DE DE FG G ⊥⋂=，,DE FG ⊂面DEF ，AF ∴⊥面DEF ，又11193,333222A FDE FDE FG AO V AF S -==∴=⋅⋅=⨯⨯= ，设点F 到面ADE 的距离为9,2F ADE A FDE h V V --==，即2139342h ⨯⨯⋅=，h ∴=，所以，点F 到面ADE【小问3详解】因为四棱锥A BCDE -是正四棱锥，所以OC ，OD ，OA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,3),(0,3,0),(3,0,0),(0,3,0),(1,1,3)A B C D F --，所以(0,3,3),(3,0,3),(1,2,3)BA CA DF ==-=--，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z = ，则有330330n BA y z n CA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取1z =，则1,1y x =-=，故(1,1,1)n =-，设直线DF 与平面ABC 所成角为θ，则sin 21DF n DF nθ⋅===⋅，所以直线DF 与平面ABC所成角的正弦值为21.17.已知函数()e sin 1x f x x =--.（1）讨论函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性;（2）证明函数()f x 在区间(π,0]-上有且仅有两个零点.【答案】（1）单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再判断导函数值的正负即得.（2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可.【小问1详解】函数()e sin 1x f x x =--，当0x >时，()e cos 1cos 0x f x x x '=->->，所以()f x 在(0,)+∞上的单调递增.【小问2详解】由（1）知，()e cos x f x x '=-，当]ππ,2(x --∈时，()0f x '>，函数()f x 在(π,2]π--上单调递增，π(π)e 10f --=-<，π2π()e 02f --=>，因此函数()f x 在(π,2]π--上有唯一零点；当]π(,02x -∈时，令()e cos x g x x =-，求导得()e sin x g x x '=+，()g x '在π(,0]2-上单调递增，π2π(e 10,(0)102g g -''-=-<=>，则存在0π(,0)2x ∈-，使得00()g x '=，当0π(,)2x x ∈-时，()0g x '<，函数()g x ，即()f x '单调递减，当0(,0)x x ∈时，()0g x '>，函数()g x ，即()f x '单调递增，又π2π(e 02f -'-=>，0()(0)0f x f ''<=，则存在01)π,(2x x -∈，使得1()0f x '=，当1π(,)2x x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当1(,0)x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，而π2π(e 02f --=>，(0)0f =，因此函数()f x π(,0]2-上有唯一零点，所以函数()f x 在区间(π,0]-上有且仅有两个零点.18.为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.（1）若把年龄在[20,40)的锻炼者称为青年，年龄在[40,60]的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值0.01α=的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[30,40)与[50,60]的人数分别为,,X Y X Y ξ=-，求ξ的分布列与期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为122,,353，求小明星期天选择跑步的概率.参考公式：()()()()()22.n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++，附：α0.100.050.010.0050.001ax 2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）有关（2）分布列见解析；期望为4156（3）715【解析】【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论；（2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案；（3）利用全概率公式即可得到答案.【小问1详解】零假设：0H 体育锻炼频率的高低与年龄无关，由题得22⨯列联表如下：青年中年合计体育锻炼频率低12595220体育锻炼频率高75105180合计20020040022400(1251057595)9.091 6.635200*********χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验推断0H 不成立，即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.【小问2详解】由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[30,40),[50,60]内的人数分别为1，2，依题意，ξ的所有可能取值分别为为0，1，2，所以3115523388C C C (0)(0,0)(1,1)C C 6205P P X Y P X Y ξ====+===+=，212525333888C C C 1(1)(0,1)(1,0)(1,2)C C C 5631P P X Y P X Y P X Y ξ====+==+===++，1538C 5(2)(0,2)C 56P P X Y ξ======，所以ξ的分布列：：ξ012P20563156556所以ξ的数学期望为2031541()01256565656E ξ=⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A ，B ，C ，星期天选择跑步为事件D ，则111(),(),()333P A P B P C ===，122(),(),()353P D A P D B P D C ===∣∣∣，所以()()()()()()()P D P A P DA PB P D B PC PD C =++∣∣∣111212733353315=⨯+⨯+⨯=所以小明星期天选择跑步的概率为715.【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解.19.在平面直角坐标系xOy 中，点.)F，点(),P x y 是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆22:1D x y +=相切，记点P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程;（2）设点(1,0),(0,),(0,4)(2)A M t N t t -≠，直线AM ，AN 分别与曲线C 交于点S ，T (S ，T 异于A )，过点A 作AH ST ⊥，垂足为H ，求||OH 的最大值.【答案】（1）22:14y C x -=（21+【解析】【分析】（1）设(,)P x y ，根据1||||12OG PF =±代入坐标化简得到轨迹方程；（2）设直线:ST y mx n =+，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，求出,M N 的纵坐标，从而有1212411y yx x +=---，代入韦达定理式化简得20m n ++=，从而得到直线ST 所过定点，得到H 点轨迹方程，从而得到最大值.【小问1详解】设(,)P x y ，则PF 的中点,22x y G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，根据题意得1||||12OG PF =±，1=，2=，化简整理，得点P 的轨迹方程22:14y C x -=.【小问2详解】设()()1122,,,S x y T x y ，由对称性可知直线ST 的斜率存在，所以可设直线:ST y mx n =+，联立直线ST 与曲线C 的方程，得2214y x y mx n ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消元整理，得()()2224240(2)mxmnx n m ---+=≠±，则22040n m ∆>⇒+->，①212122224,44mn n x x x x m m ++=-=--②所以11:(1)1y AS y x x =--，令0x =，得点M 纵坐标111yt x =--，同理可得点N 纵坐标2241y t x -=--，故1212411y y x x +=---，将1122,y mx n y mx n =+=+代入上式整理，得()1212(24)(4)420m x x n m x x n ++--++-=，将②代入得222220()(2)0m mn n m n m n m n ++++=⇒+++=，若0m n +=，则直线:(1)ST y m x =-，恒过(1,0)A 不合题意；若20m n ++=，则:(1)2ST y m x =--，恒过(1,2)Q -，因为直线ST 恒过(1,2)Q -，且与22:14y C x -=始终有两个交点，又(1,0)A ，AH ST ⊥，垂足为H ，所以点H 轨迹是以AQ 为直径的圆（不含点A ），设AQ 中点为E ，则圆心(1,1)E -，半径为1，所以||||11OH OE ≤+=，当且仅当点H在线段OE上时，OH1.【点睛】关键点点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入化简求Q-，则得到点H轨迹，最后求出最值,出直线ST恒过(1,2)。
山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试 数学试题答案
2024.03高三数学一模试题参考答案一、单选题 1—8．CADA BCBC二、多选题 9—11. ACD AB ACD三、填空题 12.16π 1313+ 14.-1 四、解答题15题解析：(1)由S n =2a n −2 ①当n =1时，S 1=2a 1−2=a 1解得a 1=2 当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2 ②①−②得a n =2a n−1 ∴a n =a 12n−1=2n经验证a 1符合上式，所以a n =2n ---------------------------------------6分 (2)证明：由(1)知a 2n−1=22n−1∴b n =log 2a 2n−1=2n −1，b n+1=2n +1------8分则c n =1bn b n+1=12(12n−1−12n+1)---------------------10分 c 1+c 2+c 3+⋯+c n =12(11−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1)=12(1−12n +1)<12------------------------------------13分16. （1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n ，2n ，n ，则取到异号球的概率 P =2C n 1C 2n1+C n 1C n 1C 4n2=57 -----2分∴2∙5n 24n(4n −1)=57即n 2=2n 解得n =2 -----4分 所以盒中2号球的个数为4个. -----5分 （2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立，记X 为甲获得的奖金总额，则X 可能的取值为0元，100元，600元， P (X =0)=0.2P (X =100)=0.8×(1−0.5)=0.4 P (X =600)=0.8×0.5=0.4X 的分布列为： -----8分X 的均值为 E (X )= -----9分 若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，记Y 为甲获得的奖金总额，则Y 可能的取值为0元，500元，600元， P (Y =0)=0.5P (Y =500)=0.5×(1−0.8)=0.1P (Y =600)=0.8×0.5=0.4 -----12分 Y 的分布列为：Y 的均值为E (Y )=290 -----13分 因为E (Y )>E (X )，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语. -----15分17.(1)取BE 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN //=12BC又∵AD //=12BC ∴MN //=AD∴ANDM 为平行四边形∴DM ∥AN -----3分又DM ⊄平面ABE AN ⊂平面ABE∴DM ∥平面ABE -----5分(2)取AD 中点为F ，过点O 作直线BC 的垂线交BC ̂于点G ，分别以OG ，OC ，OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ∵BC 为直径，∴BE =12BC∴∠BCE =30∘，∠BOE =60∘，∠EOG =30∘，在梯形ABCD 中易求高为√3 -----7分 ∴E(√3，−1，0)，C(0，2，0)，D(0，1，√3)，B(0，−2，0)，A(0，−1，√3) ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−3，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−1，√3)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，1，0)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，√3) ----9分设平面DCE 的法向量为m⃗⃗ =(x ，y ，z) 则{m ⃗⃗ ∙CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ∙CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴{√3x −3y =0−y +√3z =0令y =√3则x =3， z =1∴m ⃗⃗ =(3，√3，1)同理求得平面ABE 的法向量为n ⃗ =(1，−√3，1) -----13分设平面ABE 与平面CDE 所成的角为α 则cos α=|m⃗⃗⃗ ∙n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |∙|n ⃗ ||=√6565∴平面ABE 与平面CDE 所成角的余弦值为√6565. -----15分18.解：（1）由题意得，2222b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解之得2242a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的程为221.42x y +=.----------------3分(2)由（1）知14所以b c AF O π==∠=,设直线AM 、AF 1、AN 的倾斜角分别为1112,tan ,tan ,,4、、、则k k 则MAF F AN αγθπαθβγαβθβγθ+=⎧∠=∠====⎨-=⎩所以πα+β=θ=22，--------------------------------------------------------6分所以所以即πα=-β=αβ==β121tan tan(),tan tan 1,12tan k k ----------------------------------------------------------------------------------------------8分 （3）设直线AM：=+1y k x解方程组⎧=+⎪⎨+=⎪⎩122142y k x x y得221211221212)0,,1212（同理得M Nk x x x x k k ++=∴=-=-++， 由（2）知112211,,2N k k x k =∴=-+ -------------------------------10分2222222221111sin 22()(1)又（y AMNM M M M M SAM AN MAN AM AM AN AM x x k x k x ∴=∠===⋅=+=+=+222222222221122211122222222222221212212111(1)(,,2,1()4,()41(N N N N N N N（）同理，，（）（）M M M N N M N MM N M M M kk AN k x x AM AN x x k k AM AN x y x y x x k x k x x x k AM AN x x AMAN AM AN x x x x k k k ++=+==⋅==+=+∴⋅=∴-⋅=-+=-222221114)(),2N N 1分MM x x k x x k =----------- 1111221111112211111122422211111111211111111221221116163216111,212(12)(2)252252()911,（）（）令t=则AMNM N AMNSk x x k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k o S k ∴==-=---++--=-=-==-----------++++++-+->=12692,,2932773当2即k =取等号，所以的最大值是1分AMN t t t t t S-±≤====+----------------------19.解：（1）由()l )1n(1()，ax R x x bxf x =+=+，223112(),(),(),(),1(1)(1)(1)知a ab f x f x R x R x x x bx bx -''''''==-==++++由题意(0)(0)(0)(0)，f R f R ''==，所以11,212所以a=1,b=a ab =⎧⎨=-⎩ --------------------3分（2）由(1)知，2()2x R x x =+，令()()ln(1)2()(1),2-x Rx x x x f x x ϕ=>-+=-+ 则22214()1(2)(1)(2())，所以x x o x x x x x ϕϕ'=-=>++++在其定义域(-1,+∞)内为增函数，又(0)(0()()(0)0;(0)0,0()0() 1()()(0)0时， 时 ）f R x R x x f x x f x x R x ϕϕϕϕϕ==-=-≥=-=<∴≥<-=<()(); 0 1()().0所以时，时,f x R x f R x x x x ≥-<<<≥--------------7分222()()11()()()()ln(1),()2111(1)ln(1)ln(1)()1(3)由f x h x m f x m x R x xmx x x x h x m x x x x x ==--=+++-++'∴=-++++ ()1()()()()2由f x h x m f x R x =--在(0,+∞)上存在极值，所以()h x '在(0,+∞)上存在变号零点. []2()(1)ln(1),()21ln(1)12ln(1),1()21令则g x mx x x x g x mx x mx x g x m x '=+-++=+-++=-+''=-+()()0,()()(0)0,()()(0)00,,.0为减函数，在①当时，上为减函数，无零点，不满足条件g x g x g x g g x g x m g '''''<<=<=<+∞()()0,()()(00)0,()()(0)0,.,21②当2为增函数，在无零点，不满足1,即时，上为增函数，条件m m g x g x g x g g x g x g '''''+>>>>=>=∞min 11()02,1121101()0,()1()0,()22111()(1)2(1)ln(11)12ln 2;2222 即 当时，为减函数；时，为增函1③当021,0时，令数即，m m g x m x x mx g x g x x g x g x m mg x g m m m m m m''<<<<==∴=-+''''''<<-<>->''∴=-=---+=-+2221()1ln ,01,()0,(1)(12)ln 202110,01,(1)01,1ln(1)ln(1);11()(1)ln(1)1令易证恒成立；，H x x x x H x g m m mmx mx x m x m mx x mx x x x mx x g x x x x '=-+<<<∴-=-+<--><<∴-<∴>-∴+-+>-+++⎡⎤+=+-+⎢⎥+⎣⎦221()ln(1)1ln(1)ln(1)(1)ln(1),11ln(1)()(1)(1)(1)22令易证mx x mx l x x x mx x m x x m x x x m m l x m x m x m x +-=-+=+-+>-+=+-+-+++≤⎡∴>+-=+-++-⎢⎣2216161,1,(1)028(1)022令则1 (0<<)mx x x m m m x m m m m +-≥=-+=∴+-=->216()0,(1)0即l x l m ∴>->由零点存在定理可知，2021216,1()(,)122上存在唯x 在一零点m m m m l x m --⎛⎫+∞-∈ ⎪⎝⎭101()0,(),(0)0,21()0,(0,1)2时，为减函数所以此时，在 又由③知，当内无零点,x g x g x g mg x m''''<<-<='<----------------------------------- ----- ------17分()()10,0,.2上存在变号零点，综上所述实数m 的取值范在围为g x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴。
2024届山东临沂市高三下学期第一次阶段检测试题数学试题
2024届山东临沂市高三下学期第一次阶段检测试题数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2D ．52．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2B ．153C ．163D ．33．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．4．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+5．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞8．复数12i2i+=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 510．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 11．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．13612．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省临沂市2024届高三下学期一模考试数学试题
2024年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，若a ∥b ，则m =（ ）A.1B.-1C.9D.-92.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1520101a a +=，则2024S =（ ）A.1012B.1013C.2024D.20253.若虚数单位i 是关于x 的方程()3210,ax bx bx a b +++=∈R 的一个根，则i a b +=（ ） A.0 B.1D.24.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有15的学生每天玩手机超过1h ，这些人近视率约为12，其余学生的近视率约为38，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A.15 B.716 C.25 D.785.23410111123410x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式中含x 项的系数为（ ） A.9 B.10 C.18 D.20 6.已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则“()()sgn e 1sgn 10x x -+-+=”是“1x >”的.（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在同一平面上有相距14公里的,A B 两座炮台，A 在B 的正东方.某次演习时，A 向西偏北θ方向发射炮弹，B 则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A 改向向西偏北2θ方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M ，则B 炮台与弹着点M 的距离为（ ）A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里8.将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ）A.()27132CB.7713142C CC.6714142C CD.()27142C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()221x f x a a =+∈-R ，则（ ） A.()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+B.()f x 的值域为RC.当1a =时，()f x 为奇函数D.当2a =时，()()2f x f x -+=10.下列结论正确的是（ ）A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点(),i i x y 都在直线0.951y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95B.已知随机变量()3,4N ξ~，若21ξη=+，则()1D η=C.在22⨯列联表中，若每个数据,,,a b c d 均变成原来的2倍，则2χ也变成原来的2倍（()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++） D.分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A =“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，B =“2枚骰子正面向上的点数相同”，则,A B 互为独立事件11.已知圆22:10130C x y x +-+=，抛物线2:4W y x =的焦点为,F P 为W 上一点（ ）A.存在点P ，使PFC 为等边三角形B.若Q 为C 上一点，则PQ 最小值为1C.若4PC =，则直线PF 与C 相切D.若以PF 为直径的圆与C 相外切，则22PF =-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.集合1{lg 1},1A x x B x x ⎧⎫=<=>⎨⎬⎩⎭∣，则R A B ⋂=__________.13.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，点),(0)P t t >在C 上.12tan 2F F P ∠=，则C 的离心率为__________.14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，与之对应的球缺的体积公式是()21π33V h R h =-.如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3CODAOC BOD S ∠∠===扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________（本题第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量()()cos ,2sin ,2cos a x x b x x ==，函数()f x a b =⋅.（1）若()0115f x =，且0ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求0cos2x 的值； （2）将()f x 图象上所有的点向右平移π6个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，解不等式()1g 2x . 16.（15分）某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8､第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.， （1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X 级台阶，求X 的分布列及数学期望()E X ；（2）甲､乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；17.（15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB BC AA ===，点,D E 分别在棱11,AA CC 上，112,2,AD DA C E EC F ==为11B C 的中点.（1）在平面11ABB A 内，过A 作一条直线与平面DEF 平行，并说明理由；（2）当三棱柱111ABC A B C -的体积最大时，求平面DEF 与平面ABC 夹角的余弦值.18.（17分）已知函数()()2ln f x x x a =+.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性； （3）若存在()12,0,x x ∞∈+，且12x x <，使得()()12f x f x =，求证：21121e a x x +>. 19.（17分）动圆C 与圆221:(2)50C x y ++=和圆222:(2)2C x y -+=都内切，记动圆圆心C 的轨迹为E . （1）求E 的方程；（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为222220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，则曲线上一点()00,x y 处的切线方程为：()()()0000000Ax x B x y y x Cy y D x x E y y F ++++++++=，试运用该性质解决以下问题：点P 为直线8x =上一点（P 不在x 轴上），过点P 作E 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B .（i ）证明：直线AB 过定点；（ii ）点A 关于x 轴的对称点为A '，连接A B '交x 轴于点M ，设22,AC M BC M 的面积分别为12,S S，求12S S 的最大值.。
山东省德州市第一中学2024届高三下学期三模试题 数学(含答案)
2024届高三最后一卷 数学试题一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x²-4≤0}, B={x|2x+a≤0}, 且A∩B={x|-2≤x≤1}, 则a=( )A.-4B.-2C.2D.42.已知复数z 满足：z-i(2+z)=0, 则z= ( )A. -1-iB. -1+iC. 1+iD. 1-i3.已知向量ā=(3,4),b=(1,0),c=ā+tb,若((a,c)=(b,c),则实数t=( )A. -6B. -5C. 5D. 64. 设 a =log 49,b =log 25,c =31−log 34, 则a,b,c 的大小关系为( )A. b>a>cB. b>c>aC. a>b>cD. c>b>a5.已知双曲线 :x 2a2−y 2b2=1(a ⟩0,b >0),直线y=-2x 是双曲线C 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为()A.54B.53 c.5 D. 56.若定义在R 的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x 的取值范围是( )A. [-1,1]U[3,+∞).B. [-3,-1]U[0,1]C.[−1,0]∪[1,+∞)D. [-1,0]∪[1,3] 7. 已知3sin α+cos α=−85, 则 cos (2α+π3) 的值为( )A.−725B. 725C.−2425D.24258.过抛物线 y²=2x 上的一点P 作圆(C: (x−4)²+y²=1的切线, 切点为A, B, 则|AB|·|PC|可能的取值是 ( )A. 1B. 4 c. 6 D. 5二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知 f (x )−A sin (ωx +)l (A ⟩0,ω>0,0<<π2)的部分图象如图所示，则( ) A. f(0)=1 B. f(x)在区间 (4π3,11π6)单调递减c. f(x)在区间 [π3,5π6]的值域为 [−1,3]D. f(x)在区间(π2,2π)有3个极值点10. 已知甲组数据为: 1, 1, 3,3, 5, 7, 9, 乙组数据为: 1, 3, 5, 7, 9,则下列说法正确的是( )A.这两组数据的第80百分位数相等 B.这两组数据的极差相等C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变D.甲组数据比乙组数据分散11.已知正方体 A BCD−A₁B₁C₁D₁的棱长为1，空间中一动点P 满足 B P =λBC +μBB (λ,μ∈R ), M ,N,Q 分别为AA ₁，AB ，AD 的中点，则下列选项正确的是( )A. 存在点P, 使得A ₁P∥平面MNQB. 设AC ₁与平面MNQ 交于点K,则 AKC 1K=15C. 若∠PAC=30°, 则点P 的轨迹为抛物线D.三棱锥P-QMN 的外接球半径最小值为5−74三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在 2x 2+1x )0的展开式中，x°的系数是 .13. 在△ABC 中, c =3,a +b =7,cos C =23,则△ABC 的面积为 .14. 已知函数 f (x )=x³+ax²+bx +e 恰有两个零点x ₁，x ₂和一个极大值点 x₁(x₁<x₀<x₂),且x ₁, x ₀, x ₂成等比数列，则 x₂=;若f(x)>f(x ₀)的解集为(5,+∞), 则f(x)的极大值为 .四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15(本题13分) 设Sₙ为数列{an}的前n项和, 已知a₁=1,S₁=10,且{S n}为等差数列.(1) 求{an}的通项公式: (2)若bc={a n n/1a e a+2,n为任意常数,求{bₙ}的前2n项和T₂ₙ.16.(本题15分)已知椭圆的焦点分别是F1(3,0),F2(−3,0),点M在椭圆上，且|ME₁|+|MF₂|=4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y=kx+2与椭圆交于A,B两点, 且OA⊥OB,求实数k的值和△OAB的面积. 17(本题15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形, 点M为PC中点,∠ABC=∠BAD=π2,BC=2AD=4,AB=AP=2,平面PAB⊥平面PBC.(1) 证明: DM//平面PAB(2) 求证:平面PAD⊥平面PAB;(3)若 PD与平面PBC所成的角为30°，求平面PDC与平面ABD所成角的正弦值.218.(本题17分)向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型 Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查 Sora 的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了120名视频从业人员进行调查，结果如下表所示.(1)根据所给数据完成右表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为Sora 的应用与视频从业人员的减少有关?(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展 Sora 培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 23,12,13,每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora.(i)求员工经过培训能应用Sora 的概率.(ii)已知开展Sora 培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元； 开展Sora 培训后，能应用Sora 的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora 培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后开展Sora 培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门?α0.0100.0050.001x 。
山东省潍坊市2024届高三上学期普通高中学科素养能力测评数学试题(3)
一、单选题二、多选题1.已知等差数列的前项和为.若，且，则（ ）A．B．C．D．2. 在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ）A．B．C．D．3. 在正六边形ABCDEF 中，FD 与CE 相交于点G ，设，，则（ ）A．B．C．D．4. 已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C 的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．5. 曲线在点处的切线方程为（ ）A．B．C．D．6. 设复数，则（ ）A．B．C．D．7. 设，分别是两个等差数列，的前n 项和．若对一切正整数n，恒成立，（ ）A．B．C．D．8.复数的虚部是（ ）A．B ．C．D．9. 已知函数的图象过点，则（ ）A．有两个极值点B ．若的图象与直线有两个交点，则或C．的图象存在对称中心D ．直线与曲线相切10. 下列不等式正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，则D ．若，，则11.已知点在棱长为的正方体的表面上运动，且四面体的体积恒为，则下列结论正确的为（ ）A．的轨迹长度为B．四面体的体积最大值为C ．二面角的取值范围为山东省潍坊市2024届高三上学期普通高中学科素养能力测评数学试题(3)山东省潍坊市2024届高三上学期普通高中学科素养能力测评数学试题(3)三、填空题四、解答题D．当的周长最小时，12. 如图，在平面直角坐标系中，线段过点，且，若，则下列说法正确的是（）A ．点A 的轨迹是一个圆B ．的最大值为C．当三点不共线时，面积的最大值为2D．的最小值为13. 已知实数x ，y满足，则的取值范围是__________．14. 集合，，则__________．15. 某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有_________种.（用数字作答）16.已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.17. 已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若存在极大值点，且极大值不大于，求a 的取值范围．18. 如图，在中，点在边上，，，.（1）求边的长；（2）若的面积是，求的值.19.已知（）．(1)讨论的单调性；(2)若，（）是的两根，求的取值范围．20. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在中国北京开幕，简称“北京冬奥会”.某媒体通过网络随机采访了某市100名关注“北京冬奥会”的市民，其年龄数据绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)已知[30，40）､[40，50）､[50，60）三个年龄段的人数依次成等差数列，求的值；(2)该媒体将年龄在[30，50）内的人群定义为高关注人群，其他年龄段的人群定义为次高关注人群，为了进一步了解其关注项目.现按“关注度的高低”采用分层抽样的方式从参与采访的100位关注者中抽取5人，并在这5人中随机抽取2人进行电视访谈，求此2人中恰好来自高关注人群和次高关注人群各一人的概率.21. 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为．（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润(即的数学期望)；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？。
山东省泰安市2024届高三下学期第一次模拟考试 数学含答案
新泰2021级高三高考模拟测试（一）数学试题（答案在最后）2024.04全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-2.已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A.1B.2C.3D.43.已知向量24πlog 3,sin 3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3log 8,b m =，若a b ⊥ ，则m =（）A.-B.C.D.4.函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x-2-101235()f x 2.31.10.71.12.35.949.1A.()xf x ka b=+B.()e xf x kx b=+C.()f x k x b=+D.()2(1)f x k x b=-+5.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，以OA 为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M ，若12AM b =，则C 的离心率为（）A.B.2C. D.46.已知集合1111,,,,2,32323A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数x y a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在(0,)+∞上单调递增的有序数对(,,)a b c 的个数是（）A.16B.24C.32D.487.“ππ()4k k α=+∈Z ”是“22sin 1sin cos αααα+=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知复数1z ，2z 满足1212222z z z z ==-=，则1212z z +=（）A.1B.C.2D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()()221x f x a a =+∈-R ，则（）A.()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞UB.()f x 的值域为RC.当1a =时，()f x 为奇函数D.当2a =时，()()2f x f x -+=10.下列结论正确的是（）A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点(),i i x y 都在直线0.951y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95B.已知随机变量()3,4N ξ ，若21ξη=+，则()1D η=C.在22⨯列联表中，若每个数据a b c d ,,,均变成原来的2倍，则2χ也变成原来的2倍（()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++）D.分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A =“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，B =“2枚骰子正面向上的点数相同”，则,A B 互为独立事件11.已知圆22:10130C x y x +-+=，抛物线2:4W y x =的焦点为F ，P 为W 上一点（）A.存在点P ，使PFC △为等边三角形B.若Q 为C 上一点，则PQ 最小值为1C.若4PC =，则直线PF 与圆C 相切D.若以PF 为直径的圆与圆C相外切，则22PF =-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.随机变量2~(,)X N μσ，若(70)(90)P X P X ≥=≤且(7280)0.3P X ≤≤=，则随机变量X 的第80百分位数是______.13.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()11,,2,,n n n n n a a n -⎧⎪+=⎨⎪⎩为奇数为偶数则10S =______．14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，与之对应的球缺的体积公式是()21π33V h R h =-.如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠∠===扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，.（1）求a 的值：（2）求证：2A B =；（3）πcos 212B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值16.某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游．戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败．（1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X 级台阶，求X 的分布列及数学期望()E X ；（2）①求一位同学参加游戏，他不能获得奖品的概率；②若甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB BC AA ===，点,D E 分别在棱11,AA CC 上，112,2,AD DA C E EC F ==为11B C 的中点.（1）在平面11ABB A 内，过A 作一条直线与平面DEF 平行，并说明理由；（2）当三棱柱111ABC A B C -的体积最大时，求平面DEF 与平面ABC 夹角的余弦值.18.已知函数()()2ln ,f x xx a a =+∈R .（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若存在()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，使得()()12f x f x =，求证：21121e a x x +>.19.动圆C 与圆221:(2)50C x y ++=和圆222(2):2C x y -+=都内切，记动圆圆心C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为222220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，则曲线上一点()00,x y 处的切线方程为：()()()0000000Ax x B x y y x Cy y D x x E y y F ++++++++=，试运用该性质解决以下问题：点P 为直线8x =上一点（P 不在x 轴上），过点P 作E 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B .（i ）证明：直线AB 过定点；（ii ）点A 关于x 轴的对称点为A '，连接A B '交x 轴于点M ，设22,AC M BC M 的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.新泰2021级高三高考模拟测试（一）数学试题2024.04全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列下标和性质计算可得.【详解】因为{}n a 是等比数列，所以2354a a a =，2264a a a =，又3548a a a =，所以48a =，又2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，所以226464m a a a ===.故选：C2.已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log 2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ⋃=，即A B ⊆，所以4a =.故选：D3.已知向量24πlog 3,sin 3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 8,b m =，若a b ⊥ ，则m =（）A.-B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可得答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅= ，即234πlog 3log 8sin 03m ⨯+=，所以2log 802m -=，所以m =故选：C .4.函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x-2-101235()f x 2.31.10.71.12.35.949.1A.()xf x ka b=+B.()e xf x kx b=+C.()f x k x b =+D.()2(1)f x k x b=-+【答案】A 【解析】【分析】由函数()f x 的数据即可得出答案.【详解】由函数()f x 的数据可知，函数()()()()22,11f f f f -=-=，偶函数满足此性质，可排除B ，D ；当0x >时，由函数()f x 的数据可知，函数()f x 增长越来越快，可排除C .故选：A .5.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，以OA 为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M ，若12AM b =，则C 的离心率为（）A.B.2C. D.4【答案】B 【解析】【分析】由渐近线方程和OM ⊥AM 求出12OM a =，由勾股定理得到223b a =，从而求出离心率.【详解】由题意得，OM ⊥AM ，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，故tan bAOM a∠=，即AM b OM a =，又12AM b =，所以12OM a =，由勾股定理得222OM AM OA =+，即2221144a b a +=，解得223b a =，2c e a ===,故选：B.6.已知集合1111,,,,2,32323A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数xy a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在(0,)+∞上单调递增的有序数对(,,)a b c 的个数是（）A.16B.24C.32D.48【答案】B 【解析】【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.【详解】若x y a =和log b y x =在(0,)+∞上单调递增，c y x =在(0,)+∞上单调递减，则有2122A C 4⋅=个；若x y a =和c y x =在(0,)+∞上单调递增，log b y x =在(0,)+∞上单调递减，则有111222C C C 8⋅⋅=个；若log b y x =和c y x =在(0,)+∞上单调递增，x y a =在(0,)+∞上单调递减，则有111222C C C 8⋅⋅=个；若x y a =、log b y x =和c y x =在(0,)+∞上单调递增，则有2122A C 4⋅=个；综上所述：共有488424+++=个.故选：B.【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．（2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．7.“ππ()4k k α=+∈Z ”是“22sin 1sin cos αααα+=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出tan α，再利用齐次式法求值及充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】由ππ()4k k α=+∈Z ，得tan 1α=，由22sin 1sin cos αααα+=+，得2tan 1tan αα=，解得tan 1α=或tan α=，所以“ππ()4k k α=+∈Z ”是“223cos sin 1sin cos αααα+=+”的充分不必要条件，A 正确.故选：A8.已知复数1z ，2z 满足1212222z z z z ==-=，则1212z z +=（）A.1B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.【详解】设12i,i, z a b z c d =+=+则2===所以221a b +=，224,c d +=484()ac bd -+=，即1ac bd +=，则1212z z +====故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()()221xf x a a =+∈-R ，则（）A.()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞UB.()f x 的值域为RC.当1a =时，()f x 为奇函数D.当2a =时，()()2f x f x -+=【答案】ACD 【解析】【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A ，再分210x ->、1210x -<-<分别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B ，根据奇偶性判断C ，根据指数幂的运算判断D.【详解】对于函数()()221xf x a a =+∈-R ，令210x -≠，解得0x ≠，所以()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，故A 正确；因为20x >，当210x ->时2021>-x，所以221x a a +>-，当1210x -<-<时2221x<--，所以2221x a a +<-+-，综上可得()f x 的值域为()(),2,a a -∞-++∞ ，故B 错误；当1a =时()22112121x x x f x +=+=--，则()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---，所以()2121xf x =+-为奇函数，故C 正确；当2a =时()221212121x x x f x +=+=+--，则()()21211122121x x x x f x f x ---+=++-+++=-，故D 正确.故选：ACD10.下列结论正确的是（）A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点(),i i x y 都在直线0.951y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95B.已知随机变量()3,4N ξ ，若21ξη=+，则()1D η=C.在22⨯列联表中，若每个数据a b c d ,,,均变成原来的2倍，则2χ也变成原来的2倍（()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++）D.分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A =“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，B =“2枚骰子正面向上的点数相同”，则,A B 互为独立事件【答案】BCD 【解析】【分析】根据相关系数的概念判断A ，根据正态分布的方差公式及方差的性质判断B ，根据卡方公式判断C ，根据相互独立事件的定义判断D.【详解】对于A ：若所有样本点(),i i x y 都在直线0.951y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为1，故A 错误；对于B ：如()3,4N ξ ，则()4D ξ=，又21ξη=+，即1122ηξ=-则()()2112D D ηξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：在22⨯列联表中，若每个数据a b c d ,,,均变成原来的2倍，则()()()()()()()()222(2222)()222222222n a d b c n ad bc a b c d a c b d a b c d a c b d =⨯-⨯-++++++++，即2χ也变成原来的2倍，故C 正确；对于D ：分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6636⨯=个，事件A =“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件A 包含的基本事件数为1863=⨯个，事件B =“2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件B 包含的基本事件数为616⨯=个，所以()181362P A ==，()61366P B ==，又AB 包含的基本事件有313⨯=个，所以()313612P AB ==，所以()()()P AB P A P B =⨯，则A 、B 互为独立事件，故D 正确；故选：BCD11.已知圆22:10130C x y x +-+=，抛物线2:4W y x =的焦点为F ，P 为W 上一点（）A.存在点P ，使PFC △为等边三角形B.若Q 为C 上一点，则PQ 最小值为1C.若4PC =，则直线PF 与圆C 相切D.若以PF 为直径的圆与圆C 相外切，则22PF =-【答案】AC 【解析】【分析】选项A ，PFC △为等边三角形需保证4PF PC FC ===，设定点P 坐标用两点间距离公式检验即可；选项B ，设定点2(,)4t P t ，将PQ 转化为PQ PC r =-表示，求最小值即可；选项C ，由||4PC =求得点P 坐标，求得直线PF 所在的直线方程，利用点到直线的距离公式检验即可；选项D ，设定点2(,)4t P t ，以PF 为直径的圆与C 相外切，需保证1||||2CE r PF -=，建立关于||PF 的方程，求之即可.【详解】由已知圆22:10130C x y x +-+=的方程化为22:(5)12C x y -+=，得其圆心(5,0)C ，半径r =，由于抛物线方程为2:4W y x =，其焦点为(1,0)F 对于选项A ，若PFC △为等边三角形，当且仅当4PF PC FC ===；若点P 到点(1,0)F 的距离为4，由抛物线的定义可知14P x +=，即3P x =，代入抛物线方程可得(3,P ±，4PC =，故A 正确；对于选项B ，因为点P 在抛物线上，Q 为C上一点，PQ PC r PC =-=-，由于P 为W 上，设2(,)4t P t ，且(5,0)C ，则||4PC =，当且仅当212t =时，原式取得最小值，PQ的最小值41-≠，故B 不正确；对于选项C ，设2(,)4t P t ，且(5,0)C ，若||4PC =4=，得42241440t t -+=，解得212t =，所以此时(3,P ±，不妨取(3,P ，(1,0)F ，此时直线PF 的方程为：23(1)31y x =--，即0y -=，则圆心(5,0)C到该直线的距离为d r ===，所以此时直线PF 与圆C相切，同理可证明(3,P -的情形也成立，故C 正确；对于选项D ，设PF 的中点为E ，若以PF 为直径的圆与C 相外切时，只需保证1||||2CE r PF -=，设2(,)4t P t ，且(5,0)C ，(1,0)F ，得21(,822t t E +，211)24t =+（*），其中2||14t PF =+，反解得：24||4t PF =-代入上式，化简可得：||6(212PF ==-=-显然2212≠--D 不正确.故选：AC.【点睛】客观题圆锥曲线的综合性问题，多数考查数形结合思想，要善于借助圆锥曲线的定义转化条件和问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.随机变量2~(,)X N μσ，若(70)(90)P X P X ≥=≤且(7280)0.3P X ≤≤=，则随机变量X 的第80百分位数是______.【答案】88【解析】【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出μ，再求出()0.8P X k ≤=时的k 即可.【详解】随机变量2~(,)X N μσ，又(70)(90)P X P X ≥=≤，则80μ=，因此(8088)(7280)0.3P X P X ≤≤=≤≤=，则8(8(88)0.508).80P X P X ≤≤≤=+=，所以随机变量X 的第80百分位数是88.故答案为：8813.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()11,,2,,n n n n n a a n -⎧⎪+=⎨⎪⎩为奇数为偶数则10S =______．【答案】1011【解析】【分析】注意到*221,k k a a k -=∈N ，进一步由裂项相消法即可求解.【详解】由题意*221,k k a a k -=∈N ，所以()1013579111112213355779911S a a a a a ⎛⎫=++++=++++⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111101335577991111=-+-+-+-+-=.故答案为：1011.14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，与之对应的球缺的体积公式是()21π33V h R h =-.如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠∠===扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________.【答案】①.72π+②.144π【解析】【分析】首先求出DOC ∠，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB 于点F ，即可求出CE 、OE 、AE 、OF 、BF 、DF ，将扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径6R =的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积与体积.【详解】因为π3AOC BOD ∠=∠=，所以πππ233DOC ∠=-⨯=，设圆的半径为R ，又2π1π236COD S R =⨯=扇形，解得6R =（负值舍去），过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB 于点F ，则πsin3CE OC ==，πcos 33OE OC ==，所以3AE R OE =-=，同理可得33DF =，3OF BF ==，将扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径6R =的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中球缺的高3h =，圆锥的高13h =，底面半径33r =，则其中一个球冠的表面积12π2π6336πS Rh ==⨯⨯=，球的表面积2224π4π6144πS R ==⨯=，圆锥的侧面积3336π=183πS =⨯，所以几何体的表面积21322144π236π2183π72π363πS S S S =-+=-⨯+⨯=+，又其中一个球缺的体积()()22111π3π336345π33V h R h =-=⨯⨯-=，圆锥的体积()221π33327π3V =⨯⨯=，球的体积33344ππ6288π33V R ==⨯=，所以几何体的体积31222288π245π227π144πV V V V =--=-⨯-⨯=.故答案为：72π363π+；144π【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积、体积要合理转化.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，.（1）求a 的值：（2）求证：2A B =；（3）πcos 212B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值【答案】（1）23（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）根据条件结合余弦定理求解；（2）由6cos a B =可得2cos a b B =，利用正弦定理结合0πA <<，得证；（3）由（1）可求得cos ,sin B B ，根据二倍角公式求得sin 2,cos 2B B ，再利用两角差的余弦公式求得结果；或由余弦定理求得cos ,sin A A ，结合2A B =，利用两角差的余弦公式运算得解.【小问1详解】由6cos a B =及余弦定理，得22262a c b a ac+-=⋅，因为31b c ==，，所以212a a ==，.【小问2详解】由6cos a B =及3b =，得2cos a b B =，由正弦定理得sin 2sin cos sin 2A B B B ==，因为0πA <<，所以2A B =或2πA B +=.若2πA B +=，则B C =，与题设矛盾，因此2A B =.【小问3详解】由（Ⅰ）得cos 663a B ===，因为0πB <<，所以sin 3B ===，所以21sin 22sin cos cos 22cos 133B B B B B ===-=-，所以ππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12666B B B B ⎛⎫⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132326-⎛⎫=-⨯+=⎪⎝⎭.另解：因为2221cos ,sin 233b c a A A bc +-==-=，所以ππππcos 2cos 2cos cos sin sin 12666B B A A ⎛⎫⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132326-⎛⎫=-⨯+=⎪⎝⎭.16.某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游．戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败．（1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X 级台阶，求X 的分布列及数学期望()E X ；（2）①求一位同学参加游戏，他不能获得奖品的概率；②若甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；【答案】（1）分布列见解析；期望为7（2）①427；②184729【解析】【分析】（1）设6Y X =-，根据题意分析可知13,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，结合二项分布求分布列，进而可得期望；（2）①结合概率乘法公式求单人不能获奖的概率，②利用独立重复实验概率乘法公式求恰有一人获得奖品的概率.【小问1详解】由题意可知：每次掷骰子上两级台阶的概率为4263=，上三级台阶的概率为2163=，且X 的可能取值为6，7，8，9，设6Y X =-，则13,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则有：()()32860327P X P Y ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，()()21312471C 339P X P Y ⎛⎫====⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()22312282=C 339P X P Y ⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()31193327P X P Y ⎛⎫=====⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X6789P8274929127X 的数学期望()842167897279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问2详解】①因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，结合题意可知：若学员位于第10级台阶，则投掷3次后，学员位于第7级台阶，投掷第4次上三级台阶，所以不能获得奖品的概率为21131214C 33327P ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，②甲、乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率1244184C 12727729P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB BC AA ===，点,D E 分别在棱11,AA CC 上，112,2,AD DA C E EC F ==为11B C 的中点.（1）在平面11ABB A 内，过A 作一条直线与平面DEF 平行，并说明理由；（2）当三棱柱111ABC A B C -的体积最大时，求平面DEF 与平面ABC 夹角的余弦值.【答案】（1）作直线1AB 即为所求，理由见解析（2）29【解析】【分析】（1）连接1AC 交DE 于点M ，连接MF 、AE 、1DC 、1AB ，即可证明四边形1ADC E 为平行四边形，从而得到1AM MC =，则1//MF AB ，即可证明1//AB 平面DEF ；（2）由11113ABC ABC ABC A B C V S BB S -=⋅= ，又因为2sin ABC S ABC =∠ ，则当π2ABC ∠=，即当AB BC ⊥时直三棱柱111ABC A B C -的体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】作直线1AB 即为所求，连接1AC 交DE 于点M ，连接MF 、AE 、1DC 、1AB ，因为12AD DA =，12C E EC =，所以11223AD C E AA ===，又1//AD C E ，所以四边形1ADC E 为平行四边形，所以1AM MC =，又11B F FC =，所以1//MF AB ，又MF ⊂平面DEF ，1AB ⊄平面DEF ，所以1//AB 平面DEF ，所以在平面11ABB A 内，过A 作一条直线与平面DEF 平行的直线为1AB .【小问2详解】因为11113ABC ABC ABC A B C V S BB S -=⋅= ，又因为1sin 2sin 2ABC S AB BC ABC ABC =⋅∠=∠ ，所以当π2ABC ∠=时ABC S 取最大值2，即当AB BC ⊥时直三棱柱111ABC A B C -的体积最大，又1BB ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()2,0,2D ，()0,2,1E ，()0,1,3F ，所以()2,2,1DE =-- ，()0,1,2EF =-，设平面DEF 的法向量为(),,n x y z = ，则22020n DE x y z n EF y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3,2,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，又平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面DEF 与平面ABC 夹角为θ，则229cos 29m n m n θ⋅===⋅ ，所以平面DEF与平面ABC 夹角的余弦值为229 29.18.已知函数()()2ln,f x x x a a=+∈R.（1）若1a=，求曲线()y f x=在点()()1,1f处的切线方程；（2）讨论()f x的单调性；（3）若存在()12,0,x x∈+∞，且12x x<，使得()()12f x f x=，求证：21121e ax x+>.【答案】（1）320x y--=（2）函数()f x在区间12(0,e)a--上单调递减，在区间12(e,)a--+∞上单调递增（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求出()1f和()1f'的值，求切线方程即可；（2）求原函数()f x的导函数()f x'，构造函数()2ln21x x aϕ=++，借助其导数()xϕ'的符号，研究()ϕx 的单调性及符号，()f x的单调性即可解决；（3）从12()()f x f x=出发，将不等式221122(ln)(ln)x x a x x a+<+同构为122(ln)2(ln)12e2(ln)e2(ln)x a x ax a x a++⋅+<⋅+的形式，设定11222(ln),2(ln)t x a t x a=+=+，只需证122t t+<-成立，构造函数()()(2),(1,0)G t g t g t t=---∈-，用极值点偏移的方法解决问题即可.【小问1详解】当1a=时，()()2ln1f x x x=+，所以()11f=，又()()2ln 3f x x x '=+，所以()13f '=，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：320x y --=；【小问2详解】因为0x >，且()()2ln (2ln 21)f x x x a x x x a =++=++'，令()2ln 21x x a ϕ=++，2()x xϕ'=，因为0x >，()0x ϕ'>，即函数()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，由()2ln 210x x a ϕ=++=，得12e a x --=，所以函数()ϕx 在12(0,e )a --上小于零，在12(e ,)a --+∞上大于零，因为0x >，()f x '的符号和函数()ϕx 的符号一致，所以函数()f x 在区间12(0,e )a --上单调递减，在区间12(e ,)a --+∞上单调递增；【小问3详解】因为2(e )(e )(ln e )0a a a f a ---=+=，所以)0,(e a x -∈时，ln ln e 0a x a a -+<+=，且20x >，则()2ln 0x x a +<，即()0f x <，若()()12f x f x =，且()12,0,x x ∞∈+，12x x <，所以12120e e a a x x ---<<<<，取自然对数得：121ln ln 2x a x a <--<<-，即122(ln )12(ln )0x a x a +<-<+<，由12()()f x f x =得：221122(ln )(ln )x x a x x a +=+，即2212ln ln 2212e (ln )e e (ln )e x x a a x a x a +=+，所以122(ln )2(ln )12e 2(ln )e 2(ln )x a x a x a x a ++⋅+=⋅+，令11222(ln ),2(ln )t x a t x a =+=+，设()e ,0t g t t t =<，所以()(1)e t g t t '=+，所以(,1)t ∈-∞-时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；(1,0)t ∈-时，()0g t '>，函数()g t 单调递增；下面证明：122t t +<-，又21t >-，即证1221t t <--<-，即证12()(2)g t g t >--，即证22()(2)g t g t >--，令()()(2),(1,0)G t g t g t t =---∈-，2()()(2)(1)(e e )0t t G t g t g t t --'''=---=+->，所以()G t 在区间(1,0)-上单调递增，所以()(1)0G t G >-=，从而得证；故122(ln )2(ln )2x a x a +++<-，即12ln 21x x a <--，所以21120e a x x --<<，所以21121e a x x +<，得证.【点睛】思路点睛：极值点偏移是一种最常见的考法，其解题步骤大致分为3步，第一步：代根作差找关系，第二步：换元分析化结论，第三步：构造函数证结论.19.动圆C 与圆221:(2)50C x y ++=和圆222(2):2C x y -+=都内切，记动圆圆心C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为222220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，则曲线上一点()00,x y 处的切线方程为：()()()0000000Ax x B x y y x Cy y D x x E y y F ++++++++=，试运用该性质解决以下问题：点P 为直线8x =上一点（P 不在x 轴上），过点P 作E 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B .（i ）证明：直线AB 过定点；（ii ）点A 关于x 轴的对称点为A '，连接A B '交x 轴于点M ，设22,AC M BC M 的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.【答案】（1）22184x y +=（2）（i ）证明见解析，（ii）2【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求解点的轨迹方程；（2）（i ）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点P 坐标后，得出直线AB 的方程，从而得出定点坐标；（ii ）联立直线AB 的方程与椭圆E 的方程，由韦达定理得出1212,y y y y +，进而求解出A B '的定点坐标，表示出12S S -，由基本不等式得出结果.【小问1详解】设动圆C 的半径为r ，由题意得圆1C 和圆2C 的半径分别为，因为C 与1C ，2C 都内切，所以1CC r =-，2CC r =所以12CC CC r r +=+-，又()12,0C -，()22,0C ，故214C C =<，所以点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的椭圆，设E 的方程为：()222210x y a b a b+=>>，则2a =，24c =，所以2224b a c =-=，故E 的方程为：22184x y +=.【小问2详解】（i ）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，()()8,0P t t ≠，由题意中的性质可得，切线PA 方程为11184xx yy +=，切线PB 方程为22184xx yy +=，因为两条切线都经过点()8,P t ，所以1114ty x +=，2214ty x +=，故直线AB 的方程为：14ty x +=，显然当0y =时，1x =，故直线AB 经过定点()1,0.（ii ）设直线AB 的方程为：()10x my m =+≠，联立22128x my x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()222270m y my ++-=，由韦达定理得1221222272m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，又()11,A x y '-，所以直线A B '的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =得，()()()12112211221121212111M y x x y my y my y x y x x x y y y y y y -++++=+==+++2121212212127222211822m my y y y my y m m y y y y m ⎛⎫- ⎪+++⎝⎭==+=+=++-+，所以直线A B '经过定点()8,0M ，又()22,0C ，所以1221212132S S C M y y y y -=-=+26632222mm m m ==≤++，所以12max 322S S -=，当且仅当2m m =时，即m =时取等号.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；(3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
山东省潍坊市2024届高三上学期普通高中学科素养能力测评 数学试题(含解析)
5．B【分析】由同角三角函数的基本关系求出cosβ，最后用两角差的正弦公式求值由图可知，若直线l 与曲线C 有交点，则直线介于由圆心()1,1到直线10kx y k -+-=的距离等于半径得：21121k k d k -+-==+，整理得：24k k -同理，由圆心()1,1-到直线10kx y k -+-=21121k k d k ++-==+，整理得：21k =，解得：由22,MF NF 分别是22,EF A EF B ∠∠的角平分线，又所以2π2MF N ∠=，结合A 分析易知MN EF ⊥在2Rt MF N 中222||||||()EF ME NE c a ==-=故选：BCD 12．BD【分析】将六面体放在长方体中，点T 在对角线13SM SN = ，A 选项，若12λ=，此时点T 在点到A 错误；B 选项，若2λ=，此时点T 为对角线所以SA ∥平面TBC ；C 选项，得到点T 一定在点线SN 的中点，所以2λ=，D 正确.【详解】因为六面体中，SA ，SB ，SC 两两垂直，所以可以将六面体放在长方体中，点T 在对角线以S 为坐标原点，,,SB SC SA 所在直线分别为A 选项，若12λ=，即12SM MT = ，此时点T 在点N 处，此时()()()0,,0,,,0,TC n m n t m t =-=-- ，()0,0,TA t =- 由于()()2,0,,,00TC TA m t m n m ⋅=--⋅--=≠ ，故,TC TA 故TC 与平面TAB 不垂直，A 错误；B 选项，若2λ=，即2SM MT = ，此时点T 为对角线设平面TBC 的法向量为(),,j x y z =，(),,,,0222222m n t m n t j TB x y z x y z ⎧⎛⎫⋅=⋅--=--= ⎪⎪15．3110则线段FN 即为截面AEF 与上底面因为F 为11A C 的中点，1FC AC 所以111233MC CC ==.过点E 作BC 的平行线交CC【详解】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：()220x py p =>即22x y p=2)(0)t p≠，()20x p p >，所以抛物线C 在M 处的切线方程为22tt y p p-=设ACD θ∠=，在ACD）6，得6PB AB ==，且E 为PA 的中点，，F ，连接EF ，BF ，2=，中，222BE AB AE =-=，22AC BF ==，22BF =，E =，EF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ，平面PAC ，则()0,0,0E ，()0,2,0A ，(0,0,2)B ，(P 在ABC 中，可得点C 到PA 距离为7，故可得(7,1,0)C -，(0,2,2)AB =- ，(7,1,2)BC =-- ，PB 设平面ABC 与平面PBC 的一个法向量分别为211所以35m=-，满足0∆>，所以直线的方程为30,⎛⎫。
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2024届山东省潍坊市普通高中高三下学期3月第一次质检数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9B ．10C ．18D ．202．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．103．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）A ．2B ．10C ．34D ．985．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭6．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．147．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A ．12B 3C 25D 58．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-9．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<11．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ）A ．49-B ．23C ．32或49-D ．3212．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．83二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数(),x y 满足330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩则点(),P x y 构成的区域的面积为____，2x y +的最大值为_________14．设x 、y 满足约束条件20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若2z x y =+的最小值是1-，则m 的值为__________.15．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)作倾斜角为135︒的直线l ，已知直线l 与圆2220x y x +-=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于____________．16．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ，b 的夹角等于3π，且（a c -）•（b c -）＝0，则|c |的取值范围是_____．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，上顶点为(0,1)B ，离心率为22，直线:2l y kx =-交y 轴于C 点，交椭圆于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ． （Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求证：BOM BCN S S ⋅△△为定值．18．（12分）已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:22{22x m t y t =+=（t 是参数）.（1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且||14AB =,试求实数m 值. （2）设为曲线上任意一点，求2x y +的取值范围.19．（12分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。
参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为，，求得.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.（i ）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii ）求物理原始分在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望. （附：若随机变量，则，，）20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，11222AB BC AD PB ====，E 为PB 的中点，F 是PC 上的点.（1）若//EF 平面PAD ，证明：EF ⊥平面PAB . （2）求二面角B PD C --的余弦值.21．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为93,x t y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离．22．（10分）数列{}n a 满足12322322n nn a a a na +++++=-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n a b a a +=+⋅+，n T 为{}n b 的前n 项和，求证：23n T <.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B 【解题分析】由已知可得函数f （x ）的周期与对称轴，函数F （x ）＝f （x ）412x x++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x+=--图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，数形结合即可得到答案. 【题目详解】 函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x+=--图象在[9,10]-上交点的个数，由f （x ）＝f （2﹣x ），得函数f （x ）图象关于x ＝1对称，∵f （x ）为偶函数，取x ＝x +2，可得f （x +2）＝f （﹣x ）＝f （x ），得函数周期为2. 又∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，且f （x ）为偶函数，∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝﹣x ， g （x ）44191221242x x x x x ++=-==+---， 作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点， 即函数F （x ）＝f （x ）412x x++-在区间[9,10]-上零点的个数为10. 故选：B . 【题目点拨】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 2、D 【解题分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值． 【题目详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20x y +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩得：()2,4A ，max 10z ∴=故选：D 【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.3、C 【解题分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【题目详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ，C 符合条件，故选C.【题目点拨】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 4、C 【解题分析】由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解. 【题目详解】 由题意运行程序可得：4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=； 4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=； 4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=；4i <不成立，此时输出34s =.故选：C. 【题目点拨】本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题. 5、C 【解题分析】求出导函数()f x '，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论． 【题目详解】()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-，()2221()4f x x bx a c ac '∴=+++-.若()f x 存在极值，则()2221404b ac ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<又2221cos ,cos 22a cb B B ac +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<π． 故选：C ． 【题目点拨】本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键． 6、C 【解题分析】分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【题目详解】由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是233C =；仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是133C =，于是所求的概率2833314P C +==． 故选：C 【题目点拨】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 7、D 【解题分析】根据题意，求得,,A M B 的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果. 【题目详解】由已知可知，M 点为1AF 中点，1F 为BM 中点，故可得120F A M x x x +==，故可得A x c =；代入椭圆方程可得22221c y a b +=，解得2b y a =±，不妨取2A b y a=，故可得A 点的坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则202b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，易知B 点坐标22,2b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将B 点坐标代入椭圆方程得225a c =，所以离心率为5， 故选：D. 【题目点拨】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得,,A B M 点的坐标，属中档题. 8、C 【解题分析】根据正负相关的概念判断． 【题目详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【题目点拨】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础． 9、C 【解题分析】设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于a 的方程，求出方程的解，即可得出结论.【题目详解】设点P的坐标为(a ，直线AB 的方程为122x y-=，即20x y --=， 设点P 到直线AB 的距离为d，则11222PABSAB d d =⋅=⨯=，解得d =另一方面，由点到直线的距离公式得d ==整理得0a =或40a =，0a ≥，解得0a =或1a =或a =综上，满足条件的点P 共有三个． 故选：C. 【题目点拨】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题． 10、A 【解题分析】根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 【题目详解】 ∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 【题目点拨】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 11、D 【解题分析】根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【题目详解】依题意，得()()230a b a b -⋅+=，即223520a a b b -⋅-=.将a b λ=代入可得，21819120λλ--=， 解得32λ=（49λ=-舍去）.故选：D. 【题目点拨】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题. 12、C 【解题分析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选C .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。