九年级数学一模试卷
2024年浙江省杭州市钱塘区中考数学一模试卷及答案解析
2024年浙江省杭州市钱塘区中考数学一模试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦，据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（）A．34.45×108B．3.445×109C．3.445×1010D．0.3445×10102．（3分）下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．（3分）某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解2月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示：册数12345人数41216171关于这组数据，下列说法正确的是（）A．平均数是3B．方差是3C．中位数是3D．众数是174．（3分）在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别是（4，﹣4），（1，3），将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，则关于点A，C的位置关系描述正确的是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称5．（3分）下列因式分解正确的是（）A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1）B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a）C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2D．a2﹣8a+16＝（a﹣8）26．（3分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B，点C在直线l2上，连结AC．若∠1＝45°，∠2＝100°，则∠3的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°7．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠BAC＝2∠OAB，则∠AOB等于（）A．144°B．135°C．130°D．120°8．（3分）如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF．若cos A＝，△BEF的面积为2，则菱形ABCD的面积为（）A．18B．24C．30D．369．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，且该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，则d的值不可能是（）A．﹣3B．﹣1C．2D．410．（3分）如图，已知正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形MNPQ，连结MF并延长交NP于点O，设正方形EFGH的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，若，则的值为（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）计算：（﹣2）3＝．12．（3分）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”．已知一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮24秒，黄灯亮6秒，则当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为．13．（3分）已知x＝1﹣，y＝1+，则x2+3xy+y2的值为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y1＞y2时，x的取值范围是．15．（3分）如图，分别以等边△ABC的顶点A，B，C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为2π，则莱洛三角形的面积为．16．（3分）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝y，则y关于x的函数表达式是．三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）解不等式：．18．（6分）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．（1）如图1，在线段AC上找一点D，使得；（2）如图2，在三角形内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A．19．（8分）某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）该学校抽样调查的学生人数是人．（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．（3）若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和“待合格”的总人数．20．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA，AD⊥BC交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：△ACD≌△BCE．（2）若AC＝4，DC＝3，求AB的长．21．（10分）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）（1）求点D到地面BC的距离；（2）求该建筑物的高度AB．22．（10分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且．（1）若AC＝25，求线段AE，GF的长．（2）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积．23．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a（a是常数，a≠0）．（1）若a＝﹣，求该函数图象顶点坐标．（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（1，﹣2），（2，﹣5）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．（3）若﹣5≤a≤﹣2，当﹣3≤x≤0时，y＝ax2﹣2x+2﹣a的最大值记为m，最小值记为n，求am﹣n 的最小值．24．（12分）如图1，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的点，且AC∥OD，连结BC交OD于点E．（1）求证：OD⊥BC．（2）如图2，连结CD，AD，BD，若sin∠ABC＝，求△ACD与△OBD的面积之比．（3）如图3，连结BD，作CP∥BD交AB于点P，连结PD．求证：BD2＝BO•BP．2024年浙江省杭州市钱塘区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：34.45亿＝3445000000＝3.445×109，故选：B．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】根据二次根式的性质对各个选项中的式子进行计算，然后判断即可．【解答】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；C．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；D．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．3．【分析】先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．【解答】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：（1×4+2×12+3×16+4×17+5×1）÷50＝2.98；∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是3；∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是3，∴这组数据的中位数为3，∵这组样本数据的平均数为2.98，∴这组样本数据的方差不是整数．故选：C．【点评】本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．4．【分析】根据平移规律确定C的坐标即可得出结论．【解答】解：∵将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，∴C的坐标为（4，4），∵A点的坐标是（4，﹣4），∴A与C关于x轴对称．故选：A．【点评】本题考查了点的平移规律以及点的对称性，掌握规律轻松解答，属于基础题型．5．【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可．【解答】解：A．4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故本选项不符合题意；B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a），故本选项符合题意；C．a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2，故本选项不符合题意；D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了利用公式法分解因式，能熟记平方差公式和完全平方公式是解本题的关键．6．【分析】由平行线的性质得到∠ABC＝∠1＝45°，由三角形外角的性质即可求出∠3＝∠2﹣∠ABC＝55°．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠ABC＝∠1＝45°，∴∠3＝∠2﹣∠ABC＝100°﹣45°＝55°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠ABC＝∠1．7．【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠AOC＝∠BOC，结合等腰三角形的性质进而求出∠OBA＝∠OAB＝∠AOB，再根据三角形内角和定理求解即可．【解答】解：连接OC，如图：∵C为的中点．∴＝，∴∠BAC＝∠AOC＝∠BOC，∵∠BAC＝2∠OAB，∴∠OAB＝∠BAC＝∠AOC＝∠AOB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝∠AOB，∵∠AOB+∠OBA+∠OAB＝180°，∴∠AOB＝180°，∴∠AOB＝144°，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．8．【分析】过点F作FG⊥AB于点G，证明△ADE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，则BE＝BF，设BE＝BF ＝3a，再由平行线的性质得∠FBG＝∠A，进而由锐角三角函数定义得BG＝BF＝2a，则FG＝a，由三角形面积公式求出3a2＝4，然后由勾股定理求出DE＝3a，即可解决问题．【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于点G，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFG＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠A＝∠C，AD∥BC，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝BC﹣CF，即BE＝BF，设BE＝BF＝3a，∵AD∥BC，∴∠FBG＝∠A，∴cos∠FBG＝＝cos A＝，∴BG＝BF＝2a，∴FG＝＝＝a，＝BE•FG＝•3a•a＝2，∵S△BEF∴3a2＝4，∵cos A＝＝＝，∴BE＝AB，∴AB＝3BE＝9a，∴AE＝AB＝6a，∴DE＝＝＝3a，＝AB•DE＝9a•3a＝9×4＝36，∴S菱形ABCD故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．9．【分析】根据y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再根据二次函数的性质进而求解．【解答】解：如图，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，∴二次函数开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∵该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，∴点M（3，m+1）关于对称轴的对称点为（﹣5，m+1），∴﹣5＜d＜3，∴d不可能是4．故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，结合图象求解．10．【分析】根据，设S1＝4k2，S2＝49k2，则正方形EFGH边长为2k，正方形MNPQ的边长为7k，即FG＝2k，NP＝7k，设NC＝a，PC＝b，依题意得BF＝CG＝NC＝BM＝a，BG＝BN＝CP＝b，则，解得，则NC＝BM＝2.5k，CP＝4.5k，证BC∥MO，得△BNC∽△MNO，则BN：MN＝NC：NO，即4.5k：7k＝2.5k：NO，由此得NO＝，则OC＝NO﹣NC＝，进而得OP＝CP﹣OC＝，据此可得的值．【解答】解：，∴设S1＝4k2，S2＝49k2，∴正方形EFGH边长为2k，正方形MNPQ的边长为7k，即FG＝2k，MN＝NP＝7k，设NC＝a，PC＝b，依题意得：△AMB，△AFB，△BNC，△BGC，△CPD，△XHD，△DQA，△DEA都全等，∴BF＝CG＝NC＝BM＝a，BG＝BN＝CP＝b，∴BG﹣BF＝FG，NC+CP＝NP，∴，解得，∴NC＝BM＝2.5k，CP＝4.5k，∵AM＝AF，∴点A在线段AF的垂直平分线上，∴BF＝BM，∴点B在线段AF的垂直平分线上，∴AB是线段AF的垂直平分线，即AB⊥MO，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∴BC∥MO，∴△BNC∽△MNO，∴BN：MN＝NC：NO，即4.5k：7k＝2.5k：NO，∴NO＝，∴OC＝NO﹣NC＝﹣2.5k＝，∴OP＝CP﹣OC＝4.5k﹣＝，∴＝．故选：B．【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．11．【分析】（﹣2）3表示3个﹣2相乘．【解答】解：（﹣2）3＝﹣8．【点评】乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．12．【分析】直接利用概率公式可得答案．【解答】解：由题意得，当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．13．【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出x+y、xy，根据完全平方公式把所求的式子变形，代入计算即可．【解答】解：∵x＝1﹣，y＝1+，∴x+y＝（1﹣）+（1+）＝2，xy＝（1﹣）（1+）＝1﹣2＝﹣1，则x2+3xy+y2＝x2+2xy+y2+xy＝（x+y）2+xy＝22﹣1＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键．14．【分析】利用待定系数法求得点B坐标，结合图象，利用数形结合法解答即可．【解答】解：∵反比例函数y2＝的图象经过点A（﹣2，2），B（n，﹣1），∴﹣1×n＝（﹣2）×2，∴n＝4．∴B（4，﹣1）．由图象可知：第二象限中点A的右侧部分和第四象限中点B右侧的部分满足y1＜y2，∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．故答案为：x＜﹣2或0＜x＜4．【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，利用数形结合法解答是解题的关键．15．【分析】根据莱洛三角形的周长，可求出等边△ABC的边长，进而可求出莱洛三角形的面积．【解答】解：由题知，莱洛三角形的周长可转化为半径长为AB的圆周长的一半．又因为莱洛三角形的周长为2π，所以，则AB＝2，所以等边△ABC的边长为2．过点A作BC的垂线，垂足为M，则BM＝．在Rt△ABM中，AM＝．所以莱洛三角形的面积为：．故答案为：．【点评】本题考查扇形面积的计算，能根据所给莱洛三角形的周长得出等边三角形的边长是解题的关键．16．【分析】首先解析的性质证明△AFD∽△FEC，然后利用相似三角形的性质和折叠的性质即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠FEC+∠EFC＝90°，由折叠得：BE＝EF，AB＝AF＝DC＝DF+CF，∠B＝∠AFE＝90°，∵∠EFC+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠FEC，∴△AFD∽△FEC，∴＝，∴＝，而＝y，∴y＝，∴y＝1+，∴y＝1+．故答案为：y＝1+．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），函数关系式，熟练掌握一线三等角模型相似是解题的关键．三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】根据解一元一次不等式的方法可以解答本题．【解答】解：，去分母，得：3（x+1）﹣6≤2（2x﹣1），去括号，得：3x+3﹣6≤4x﹣2，移项及合并同类项，得：﹣x≤1，系数化为1，得：x≥﹣1．【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．18．【分析】（1）分别取格点M，N，使AM：CN＝1：4，且AM∥CN，连接MN，交AC于点D，结合相似三角形的判定与性质可知，点D即为所求．（2）分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点P，结合线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质可知，点P即为所求．【解答】解：（1）如图1，分别取格点M，N，使AM：CN＝1：4，且AM∥CN，连接MN，交AC于点D，则△ADM∽△CDN，∴＝，则点D即为所求．（2）如图2，分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点P，连接BP并延长，交格点于点D，连接CP并延长，交格点于点E，则∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，∴∠APD＝∠ABP+∠BAP＝2∠BAP，∠APE＝∠ACP+∠CAP＝2∠CAP，∴∠DPE＝∠APD+∠APE＝2（∠BAP+∠CAP）＝2∠BAC，∴∠BPC＝∠DPE＝2∠BAC，则点P即为所求．【点评】本题考查作图—应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．【分析】（1）由“优秀”的有36人，占45%，可求被抽样调查的学生人数；（2）由（1）可求出“良好”的人数，继而补全条形统计图；根据被抽样调查的学生人数和求“合格”人数可得扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角；（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．【解答】解：（1）被抽样调查的学生人数是：36÷45%＝80（人），故答案为：80；（2）“良好”的人数：80﹣36﹣16﹣4＝24（人），补全图形如下：360°×＝72°，∴扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为72度；（3）估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的人数为：1600×＝1600×＝400（人），答：估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数为400人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．20．【分析】（1）由“AAS”可证△ACD≌△BCE；（2）由勾股定理可求AB的长．【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠CBA，∴AC＝BC，又∵∠D＝∠E＝90°，∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（AAS），（2）解：∵AC＝4，DC＝3，∴AD2＝AC2﹣CD2＝7，BD＝7，∴AB＝＝＝2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，根据三角函数的定义得到CE＝5，根据勾股定理得到DE＝＝5（m）；（2）过点D作DF⊥AB于点F，则BF＝DE＝5m，设BC＝x m，则BE＝DF＝（5+x）m，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵cosα＝，解得CE＝5，∴DE＝＝5（m）．∴点D到地面BC的距离为5m．（2）过点D作DF⊥AB于点F，则BF＝DE＝5m，设BC＝x m，则BE＝DF＝（5+x）m，在Rt△ABC中，tan60°＝，解得AB＝x，∴AF＝（x﹣5）m，在Rt△ADF中，tan30°＝＝＝，解得x＝5，经检验，x＝5是原方程的解且符合题意，∴AB＝＝15（m）．∴该建筑物的高度AB为15m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．22．【分析】（1）根据平行四边形的性质求出DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，即可判定△ADE∽△ABC，△BFG∽△BCE，根据相似三角形的性质及比例的性质求解即可；＝75，再结合比例的性（2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”及比例的性质求出S△BCE 质、三角形面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵四边形DFCE是平行四边形，∴DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AC＝25，∴AE＝10，∴CE＝25﹣10＝15，∵＝＝，∴＝，∵DF∥AC，∴△BFG∽△BCE，∴＝＝，∴GF＝9；（2）∵△BFG∽△BCE，＝，∴＝＝，+S四边形GFCE＝S△BCE，∵S△BFG∴＝＝，∵四边形GFCE的面积为48，＝75，∴S△BCE∵＝，AE+CE＝AC，∴＝，∴＝，＝125．∴S△ABC【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．23．【分析】（1）当a＝﹣时，二次函数y＝﹣x2﹣2x+，化成顶点式即可求出顶点坐标；（2）先判断抛物线过点（2，﹣5），代入解析式即可求得a＝﹣1，从而求得抛物线的解析式；（3）二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a，由﹣5≤a≤﹣2得出﹣≤≤﹣，抛物线开口向下，即可得出x＝时，y＝m，x＝﹣3时，y＝n，进而得出am﹣n＝﹣a2+2a﹣1﹣8a﹣8＝﹣a2﹣6a﹣9＝﹣（a+3）2，根据﹣5≤a≤﹣2求得最小值为﹣4．【解答】解：（1）当a＝﹣时，二次函数y＝﹣x2﹣2x+＝﹣（x+2）2+，∴顶点坐标为（﹣2，）；（2）∵y＝ax2﹣2x+2﹣a＝a（x2﹣1）﹣2（x﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）（ax+a﹣2），当x＝1时，y＝0≠﹣2，因此不过（1，﹣2）点，当x＝﹣1时，y＝4≠1，因此不过（﹣1，1）点，故抛物线过点（2，﹣5），代入得，4a﹣4+2﹣a＝﹣5，∴a＝﹣1，∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；（3）∵二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a，∴对称轴为直线x＝，∵﹣5≤a≤﹣2，∴﹣≤≤﹣，抛物线开口向下，∵﹣3≤x≤0时，y＝ax2﹣2x+2﹣a的最大值记为m，最小值记为n，∴x＝时，y＝m，x＝﹣3时，y＝n，∴m＝﹣+2﹣a＝2﹣a﹣，n＝9a+6+2﹣a＝8a+8，∴am＝﹣a2+2a﹣1，∴am﹣n＝﹣a2+2a﹣1﹣8a﹣8＝﹣a2﹣6a﹣9＝﹣（a+3）2，∵﹣5≤a≤﹣2，∴当a＝﹣5时，am﹣n有最小值，为﹣4．【点评】本题是主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据题意用关于a的式子表示出m、n．24．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据平行线的性质得到∠BEO＝∠ACB＝90°，求得OD⊥BC；＝，由AC∥OD，得到S△ACD （2）由（1）知，OD⊥BC，根据三角形的面积公式得到S△OBD＝AC•BC，根据sin∠ABC＝，得到AB＝AC，根据勾股定理得到BC＝＝S△ABC＝2AC，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）由（1）知，OE⊥BC，根据垂径定理得到，求得∠1＝∠3，根据平行线的性质得到∠PCB ＝∠3，得到∠PCD＝2∠1，由∠BOD＝2∠1，得到∠BOD＝∠PCD，推出点P，O，D，C四点共圆，记为⊙M，根据圆周角定理得到∠CPD＝∠COD，求得∠CPD＝∠DOB，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC∥OD，∴∠BEO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC；（2）解：由（1）知，OD⊥BC，＝，∴S△OBD∵AC∥OD，＝S△ABC＝AC•BC，∴S△ACD∵sin∠ABC＝，∴AB＝3AC，∴BC＝＝2AC，∵AB＝2OD，BE＝BC，＝•BE•OD＝AC2，∴S△OBD＝S△ABC＝AC2，∴S△ACD：S△OBD＝2：3；∴S△ACD（3）证明：连接OC，由（1）知，OE⊥BC，∴，∴∠1＝∠3，∵CP∥DB，∴∠PCB＝∠3，∴∠1＝∠PCB＝∠3，∴∠PCD＝2∠1，∵∠BOD＝2∠1，∴∠BOD＝∠PCD，∵∠POD+∠POD＝180°，∴∠PCD+∠POD＝180°，∴点P，O，D，C四点共圆，记为⊙M，∴∠CPD＝∠COD，∵，∴∠COD＝∠DAB，∴∠CPD＝∠DOB，∵CP∥DB，∴∠CPD＝∠BDP，∠DBO＝∠PBD，∴△BDO∽△BPD，∴，∴BD2＝BO•BP．【点评】本题考查了相似形的综合题，考查了勾股定理，圆周角定理，平行线的性质，四点共圆，相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键。
2024北京海淀区初三一模数学试题及答案
2024北京海淀初三一模数 学2024.04学校________姓名__________准考证号________第一部分 选择题一、迭择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为2.据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成.将17 500 000用科学记数法表示应为 (A)175×105(B)1.75×106(C)1.75×107(D)0.175×1083.如图，AB ⊥BC ，AD ∥BE ，若∠BAD=28°，则∠CBE 的大小为 (A)66° (B)64° (C)62°(D)60°4.实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(A)a ≥-2(B)a<-3(C)-a>2(D)-a ≥35.每一个外角都是40°的正多边形是 （A ）正四边形（B ）正六边形（C ）正七边形（D）正九边形6.若关于x 的一元二次方程x 2+2x +m =0有两个相等的实数根，则实数m 的值为 (A)1(B)-1(C)4(D)-47.现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正而花色分别为◆， ， ，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中碗机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为(A)16(B)13(C)12(D)238.如图.AB 经过圆心O ，CD 是⊙O 的一条弦，CD ⊥AB ，BC 是⊙O 的切线.再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得AD=BC. 条件①：CD 平分AB条你②OA 条件③：AD 2=AO ·AB 则所有可以添加的条件序号是 (A) ①(B) ①③(C) ②③(D) ①②③第二部分 非选择题二、填空题(共16分，每题2分)9.x 的取值范围是_______. 10.分解因式：a 3-4a=_______. 11.方程1231x x =− 的解为_______.12.在平面直角坐标系xOy 中,若函数(0)ky k x=≠的图象经过点A (a ，2)和B (b ，-2).则a +b 的值为_______.13.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,AB=5,AC=3.点D 在射线BC上运动(不与点B 重合).当BD 的长为______时, AB=AD. 14.某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测.近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x (单位：cm).数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示.若高度不低于300cm 的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有_________棵.15.如图，在正方形ABCD 中.点E ，F ，G 分别在边CD ，AD ，BC 上，FD<CG.若FG=AE ，∠1=a ，则∠2的度数为_____（用含a 的式子表示）.16.2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“π节”.某校今年“π节”策划了五个活动，规则见下图：小云参与了所有活动.（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为__________;（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“π币”数量的所有可能取值为______.三、解答题（共68分，第17-19题,每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题,每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算：112sin 601()2−︒+−+18.解不等式组：435,212.3x x x −<⎧⎪+⎨>−⎪⎩19.已知240b a −=,求代数式241(1)2a b b+−+的值.20.如图，在ABCD 中，O 为AC 的中点，点E ，F 分別在BC ，AD 上，EF 经过点O ，AE=AF.(1)求证：四边形AECF 为菱形；(2)若E 为BC 的中点，AE=3，AC=4.求AB 的长.21.下图是某房屋的平面示意图.房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖.将房间地面全部铺设完预计需要花费10 000元，其中包含安装费1270元.若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是5:3，求每平方米木地板和瓷砖的价格.22.在平面直角坐标系xOy 中，函数y =kx +b (k ≠0)的图象经过点A(1，2)和B(0，1). (1)求该函数的解析式；(2)当x <l 时.对于x 的每一个值，函数y =mx -1(m ≠0)的值小于函数y =kx +b (k ≠0)的值，直接写出m 的取值范围.23.商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅.下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： a.计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：100%100%−−=⨯⨯当周售价前周售价当周成本前周成本售价涨跌幅，成本涨跌幅=；前周售价前周成本b.规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；c.甲、乙两种商品成本与售价信息如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）甲商品这五周成本的平均数为___________,中位数为___________;（2）表中m 的值为____________,从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高；（3）记乙商品这40周售价的方差为 21S ，若将规定“当周售价涨跌福为当周成本涨跌福的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌辐的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为22S ,则21S ____22S ；（填“>”“=”或“<”）.24.如图.AB 、CD 均为⊙O 的直径.点E 在BD ̂上，连接AE ，交CD 于点F,连DE ，∠EDB+∠EAD=45°,点G 在BD 的延长线上，AB=AG. (I)求证：AG 与⊙O 相切；(2)若BG=1tan 3EDB ∠=，求EF 的长.25.某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取60min 听书时长；方式二：第一天打卡可领取5min 听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍. （1）根据上述两种打卡奖励方式补全表二：表一 每天领取听书时长达了变化趋势.其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a 或b ）,从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一；（3）现有一本时长不超过60min 的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物.若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t （单位：min ）的取值范围是______.26.在平面坐标系xOy 中，点(m ，n )在抛物线2(0)y ax bx a =+>上，其中m ≠0. (1)当m =4，n =0时.求抛物线的对称轴； (2)已知当0<m <4时，总有n <0. ①求证：4a +b ≤0;②点12(,),(3,)P k y Q k y 在该抛物线上，是否存在a ，b ，使得当1<k <2时，都有12y y <?若存在，求出a 与b 之间的数量关系；若不存任，说明理由.27.在△ABC 中.∠ACB=90°,∠ABC=30°，将线段AC 绕点A 顺时针旋转α((0°<α≤60°)得到线段AD.点D 关于直线BC 的对称点为E.连接AE ，DE.(1)如图1，当α=60°时，用等式表示线段AE 与BD 的数量关系，并证明； (2)连接BD ，依题意补全图2.若AE=BD ，求α的大小.28.在平面直角坐标系xOy中，对于图形M与图形N给出如下定义：P为图形N上任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转90°得到M’，将所有M’组成的图形记作M’,称M’是图形M关于图形N的“关联图形”.(1)已知A(-2，0)，B(2，0)，C(2，t)，其中t≠0.①若t=1,请在图中画出点A关于线段BC的“关联图形”；②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点.立接写出t的取值范围；(2)对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为r的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标的最大值和最小值的差为d，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围(用含a和r的式子表示).海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷参考答案第一部分 选择题一、选择题 （共16分，每题2分）第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．1x ≥ 10．(2)(2)a a a −+11．1x = 12．0 13．8 14．94015．180α︒−16．（1）鲁班锁；（2）1，2，3三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解：原式212=++− 12=+−3=18. 解：原不等式组为435212.3x x x −<⎧⎪⎨+>−⎪⎩，①②解不等式①，得2x <.解不等式②，得1x >. ∴原不等式组的解集为12x <<. 19. 解： 原式241212a b b b +=−++2411a b +=+.∵240b a−=，∴24b a=.∴原式41 41aa+ =+1 =.20．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD // BC.∴AFO CEO∠=∠，FAO ECO∠=∠.∵O为AC的中点，∴AO CO=.∴△AOF≌△COE.∴AF EC=.∵AF//EC，∴四边形AECF为平行四边形.∵AE AF=，∴四边形AECF为菱形.（2）解：∵O为AC的中点，4AC=，∴122OA AC==.∵四边形AECF为菱形，∴AC EF⊥.∴90AOE∠=︒.∴在Rt△AOE中，由勾股定理得OE=.∵E为BC的中点，∴2AB OE==.21. 解：设每平方米木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元.由题意可得，123(3615)5100001270x x⨯++⨯=−.解得30x=.∴5150x=，390x=.答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元.22．解：（1）∵函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(1,2)A 和(0,1)B ，∴21.k b b +=⎧⎨=⎩，解得11.k b =⎧⎨=⎩，∴该函数的解析式为1y x =+. （2）13m ≤≤.23．解：（1）32，25；（2） 60，四； （3） ＞.24.（1）证明：∵BE BE =，∴BAE BDE ∠=∠. ∵45EDB EAD ∠+∠=︒，∴45BAE EAD ∠+∠=︒，即45BAD ∠=︒. ∵AB 为O 的直径， ∴90ADB ∠=︒. ∴AD BG ⊥. ∵AB AG =，∴45BAD GAD ∠=∠=︒. ∴90BAG ∠=︒. ∴AB AG ⊥.∵AB 为O 的直径， ∴AG 与O 相切.（2）解：连接BE ，如图.∵AB AG =，AD BG ⊥，BG =∴12BD BG == 在Rt △ADB 中，90ADB ∠=︒，45BAD ∠=︒，可得AB =∴12OA AB ==. ∵BAE BDE ∠=∠， ∴1tan tan 3BAE BDE ∠=∠=.∵AB 为O 的直径，∴90AEB ∠=︒.在Rt △AEB 中，1tan 3BAE ∠=，可得13BE AE =.由勾股定理得 222BE AE AB +=.∴2221()3AE AE +=.∴6AE =. ∵290BOD BAD ∠=∠=︒. ∴90AOF ∠=︒.在Rt △AOF 中，1tan 3BAE ∠=，OA =OF =.由勾股定理得 103AF =. ∴108633EF AE AF =−=−=. 25.解：（1）60n ，525n ⨯−；（2） a ，7； （3）1535t <≤.26.解：（1）由题意可知，点(40)，在抛物线2(0)y ax bx a =+>上，∴1640a b +=. ∴4b a =−. ∴4222b aa a−==−−. ∴抛物线的对称轴为直线2x =.（2）① 法一：令0y =，则20(0)ax bx a +=>. 解得0x =或b x a=−. ∴抛物线2(0)y ax bx a =+>与x 轴交于点(00)，，(0)b a−，. ∵0a >，∴抛物线开口向上. (ⅰ)当0b <时，0ba−>.∴当0bx a <<−时，0y <；当0x <或b x a>−时，0y >. ∵当04m <<时，总有0n <. ∴4ba−≥.∵0a >， ∴40a b +≤. (ⅱ)当0b >时，0ba−<. ∴当0bx a −<<时，0y <；当b x a<−或0x >时，0y >. ∴当04m <<时，0n >，不符合题意. 综上，40a b +≤. 法二：∴由题意可知，2am bm n +=.若0n <，则2()0am bm m am b +=+<. ∵0m >， ∴0am b +<. ∵0a >， ∴b m a<−. ∴当0bm a<<−时，0n <. ∵当04m <<时，总有0n <. ∴4ba−≥.∵0a >， ∴40a b +≤. ② 存在.设抛物线的对称轴为x t =，则2b t a=−. ∵，∴当x t ≥时，y 随x 的增大而增大；当x t ≤时，y 随x 的增大而减小. ∵12k <<，∴336k <<，3k k <. (ⅰ)当1t ≤时，∵3t k k ≤<. ∴12y y <，符合题意. (ⅱ)当12t <≤时，当2t k ≤<时， ∵3t k k <<. ∴12y y <. 当1k t <<时，设点1()P k y ，关于抛物线对称轴x t =的对称点为点01'(,)P x y ， 则0x t >，0t k x t −=−. ∴02x t k =−. ∵1k t <<，12t <≤， ∴23t k −<. ∴03t x <<. ∵336k <<. ∴03t x k <<. ∴12y y <.∴当12t <≤时，符合题意. (ⅲ)当23t <≤时，令12k t =，332k t =，则12y y =，不符合题意.(ⅳ)当36t <<时，令3k t =，则3k k t <≤. ∴12y y >，不符合题意. (ⅴ)当6t ≥时，∵3k k t <<，∴12y y >，不符合题意. ∴ 当2t ≤，即22ba−≤时，符合题意. ∵0a >， ∴40a b +≥. 由①可得40a b +≤. ∴40a b +=.27.（1）线段AE 与BD的数量关系：AE .证明：连接BE ，如图1.∵点D ，E 关于直线BC 对称， ∴直线BC 是线段DE 的垂直平分线. ∴BD BE =.∴30DBC EBC ∠=∠=. ∴60DBE ∠=.∴△DBE 是等边三角形.∴BD BE DE ==，60BDE BED ∠=∠=. ∵△ABC 中，90ACB ∠=，30ABC ∠=， ∴2AB AC =.依题意，得AD AC =，点D 在AB 上. ∴2AB AD =. ∴.BD AD = ∴.DE AD =∴30.DAE DEA ∠=∠= ∴90.BEA ∠= ∴在Rt △ABE 中，tan tan 60 3.AEABE BE=∠== ∴AE. ∴.AE =（2）依题意补全图2，如图.B图1方法一：解：延长AC 至F ，使CF AC =，连接BF ，BE ，EF ，CD ，CE ，如图2. ∵90ACB ∠=， ∴.AB BF = ∵60BAC ∠=，∴△ABF 是等边三角形. ∴AB AF BF ==,60BFC ∠=. ∵点D ，E 关于直线BC 对称， ∴直线BC 是线段DE 的垂直平分线. ∴BD BE =，CD CE =. ∴DCB ECB ∠=∠. ∵90ACB DCF ∠=∠=， ∴DCA ECF ∠=∠. ∵AC FC =， ∴△DAC ≌△EFC . ∴CAD CFE ∠=∠. ∵AE BD =, ∴BE AE =.∵EF EF =,BF AF =， ∴△BEF ≌△AEF .∴30BFE AFE ∠=∠=. ∴30CAD AFE ∠=∠=. ∴30.α= 方法二：解：如图3，取AB 中点F ，连接DF ，BE ，CD ，CE ，设DBC β∠=.F∵点D ，E 关于直线BC 对称， ∴直线BC 是线段DE 的垂直平分线. ∴BD BE =，CD CE =. ∴DBC EBC β∠=∠=.∴30EBA β∠=︒+，30DBA β∠=︒−. ∵AE BD =, ∴AE BE =.∴30EAB EBA β∠=∠=︒+. ∵90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒. ∴30EAC β∠=︒−. ∴EAC DBA ∠=∠. 由（1）可得2.AB AC = ∵F 为AB 中点， ∴22.AB AF BF == ∴.AC AF BF ==∵AC BF =，EAC DBA ∠=∠,AE BD =, ∴△ACE ≌△BFD . ∴CE FD =. ∴CD FD =.∵AD AD =，AF AC =, ∴△ADF ≌△ADC . ∴30FAD CAD ∠=∠=︒. ∴30α=︒.28.（1）①如图，线段B'C'即为所求.②4t ≤−或2t ≥.图3FD≤≤+. （2）d a。
山东省济南市历城区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)
2024年九年级学业水平模拟测试(一)数学试题(2023.4)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.)1.下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是( )2.根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；近地点高度约384000米；将数据394900用科学记数法可以表示为( )A. 39.49×10⁴B. 0.3949×10⁶D. 3.949×10⁶3. 如图, 已知直线AB∥CD, EG平分∠BEF, ∠1=36°,则∠2的度数是( )A. 70°B. 72°C. 36°D. 54°4.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是( )A. a+c<0B. a+b<a+cC. ac>bcD. ab>ac5.下列运算中,正确的是( )A.x⁹÷x³=x³D.x³+x=x6.每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球” 某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是( )7.如图，正比例函数. 的图象与反比例函数y2=k2(k2鈮?)的图x象相交于A ，B 两点，已知点B 的横坐标为3，当y ₂<y ₁时，x 的取值范围是 ( )A. x<-3或0<x<3B. x<-3C. x>3D. -3<x<0或x>38.在项目化学习中，“水是生命之”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学(两名男生，两名女生)中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是 ( )A. B. C.12 D. Error! Cannot insertreturn character.9. 如图, 在△ABC 中, 分别以A, B 为圆心, 以大于 Error! Digitexpected.的长为半径作弧，两弧相交于F ，G 两点，作直线 FG 分别交AB, BC 于点M, D; 再分别以A, C 为圆心,以大于 Error! Digit expected.的长为半径作弧，两弧相交于H ，I 两点，作直线HI分别交AC, BC于点N, E; 若 BD =32,DE =2,EC =52,则AC 的长为 ( ) A.3102B.332C.352D.32210. 阅读材料: 已知点P(x ₀, y ₀) 和直线y=kx+b, 则点P 到直线y=kx+b 的距离d 可用公式 d =|kx 0―y 0+b|1+k 2计算.例如:求点P(-2,1)到直线y=x+1的距离.其中k=1,b=1.所以点P (-2, 1) 到直线y=x+1的距离为 d =|kx 0―y 0+b|1+k 2=|ln(―2)―1+1|1+12=22=2.根据以上材料，有下列结论：①点(2,0) 到直线y=-2x 的距离是 LJ②直线y=-2x 和直线y=-2x+6的距离是 ʏ③抛物线 y =x²―4x +3上存在两个点到直线y=-2x 的距离是. Error! Digit expected.④若点 P 是抛物线 y =x²―4x +3上的点，则点P 到直线y=-2x 距离的最小值是 ÿ其中，正确结论的个数是 ( ) A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分.)11. 分解因式: m 2―4m +4=.12.不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有个.13. 方程Error! Digit expected.的解为.14. 如图, 正八边形ABCDEFGH的边长为3, 以顶点A为圆心, AB的长为半径画圆, 则阴影部分的面积为(结果保留π)15.中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹.雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km.一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y₁(km)与时间x(h)之间的函数关系，线段AN表示轿车离西昌距离y₂(km)与时间x(h)之间的函数关系，则货车出发小时后与轿车相遇.16. 如图, 正方形ABCD中, AB=4, 点E为AD上一动点, 将三角形ABE沿BE折叠, 点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE=.三、解答题(本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (6分) 计算:18. (6分) 解不等式组并写出其所有整数解.19.(6分)如图, 在▱ABCD中, E, G, H, F分别是AB, BC, CD, DA上的点, 且BE=DH,AF=CG.求证：EF=GH.20.(8分)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知( CD=8m,CD的坡度为i=13,点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为：(1) 求DE的长;(2) 求塔AB的高度. (结果精确到1m)(参考数据：21.(8分)某校开展“图书月”活动，为了解七年级学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了部分学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析.下面是其中的部分信息：a.将学生每天阅读时长数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表.七年级学生每天阅读时长情况统计表组别每天阅读时长(单位: 分钟)人数(单位: 人)A 0≤x<308B 30≤x<60nC 60≤x<9016D90≤x<1208b. 每天阅读时长在60≤x<90的具体数据如下: 60, 60, 66, 68,69, 69, 70, 70, 72,73, 73, 73, 80, 83, 84, 85根据以上信息，回答下列问题：(1) 表中n=, 图中m=;(2)C 组这部分扇形的圆心角是°；(3)每天阅读时长在60≤x<90这组具体数据的中位数是 ，众数是；(4)各组每天平均阅读时长如表：组别A 0≤x<30B 30≤x<60C 60≤x<90D 90≤x<120平均阅读时长(分钟)204575.599求被调查学生的平均阅读时长.22.(8分)如图, AB 是⊙O 的直径, C 是⊙O 上一点, 过点C 作⊙O 的切线CD, 交AB 的延长线于点D ，过点A 作.于点 E.(1) 若 ∠DAC =25°,求的度数；(2) 若( OB =4,BD =2,求CE 的长.23.(10分)2023年中国新能汽车市场火爆.某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能汽车进行销售.据了解，1辆A型新能汽车、3辆B型新能汽车的进价共计55万元；4辆A型新能汽车、2辆B 型新能汽车的进价共计120万元.(1)求A，B型新能汽车每辆进价分别是多少万元.(2)公司决定购买以上两种新能汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能汽车可获利0.9万元，销售1辆B型新能汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能汽车多少辆时获利最大?最大利润是多少?24.(10分) 如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线y=2x+4与函数的图象交于点A(1,m), 与x轴交于点B.(1) 求m, k的值;(2) 过动点P (0, n) (n>0) 作平行于x轴的直线, 交直线y=2x+4于点C，交函数的图象于点D,①当n=2时，求线段CD的长；②若CD鈮?OB,，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.25.(12分) 如图所示, 中, 若D是内一点，将线段CD绕点C顺时针旋转Error! Digit expected.得到CE, 连结AD, BE.(1) ①如图1，判断AD与BE的位置关系并给出证明；②如图2, 连接AE, BD, 当. AE=AB时，请直接用等式表示线段BD和CD的数量关系；(2) 如图3，O是斜边AB的中点，M为BC上方一点，且CM与斜边AB的交点在线段OA上, 若求. BM的长.26.(12分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数. y =x²+bx +c 的图象与x 轴交于点. A (―1,0)和点B (3, 0), 与y 轴交于点C.(1)求二次函数的表达式；(2)如图，二次函数图象的顶点为.对称轴与直线BC 交于点D ，在直线BC 下方抛物线上是否存在一点 M (不与点 N 重合)，使得 S NDC =S MDC ?若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)将线段AB 先向右平移一个单位，再向上平移6个单位，得到线段EF ，若抛物线与线段EF 只有一个公共点，请直接写出a 的取值范围.2024年九年级学业水平模拟测试（一）数学试题（答案）一、选择题12345678910D C B D C C A B A D二、填空题11.；12. 6；13.；14.；15. 1.8；16. .三、解答题17.原式=……………………………………………………………………………4分==………………………………………………………………………………………………………………6分18.解：解不等式①得：，………………………………………………………………………………2分解不等式②得：，..........................................................................................4分该不等式组的解集为：， (5)分该不等式组的整数解为：．………………………………………………………………………6分19.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，…………………………………………………………………………………………2分又∵BE=DH，∴AB-BE=CD-DH，∴AE=CH， (3)分在△AEF和△CHG中，∴△AEF≌△CHG(SAS) (5)分∴EF=HG． (6)分20. （1）解：在Rt△DCE中，的坡度为，，∴， (1)分∴．即的长为． (2)分（2）解：设，在Rt△DCE中，，∴．…………………………………………………………………3分在Rt△BCA中，由，，，则．∴．…………………………………………………………………………………4分即的长为．如图，过点作，垂足为．根据题意，，∴四边形是矩形．∴，．可得．………………………………………………………………………………5分在中，，∴，………………………………………………………………………………………………6分解得：………………………………………………………………………………………………7分15m答：塔的高度约为． (8)分21. (1)； (2)分(2)72； (3)分(3)，； (5)分(4)20×10%+45×60%+75.5×20%+99×10%=54（分钟）． (8)分22.（1）解：连接OC，∵O与CD相切于点C，∴OC⊥CD，∠OCD=90°，……………………………………1分∵于点，∴，∴∠AEC=∠OCD，∴AE∥OC，∴∠EAC=∠ACO，…………………………………………………………………………………………2分又∵OA=OC，∴∠DAC=∠ACO,……………………………………………………………………………………3分∴∠EAC=∠DAC=25°…………………………………………………………………………………4分（2）解：，，，．…………………………………………………………………………………5分，， (6)分，……………………………………………………………………………………………………7分． (8)分23. （1）设A型新能汽车每辆进价为a万元，B型新能汽车每辆进价为b万元．…………………1分由题意，得……………………………………………………………………………………3分解得 (4)分答：A型新能汽车每辆进价为25万元，B型新能汽车每辆进价为10万元．…………………………5分（2）设购买A型新能汽车x辆，则购买B型新能汽车辆．………………………………6分由题意，得．解得．……………………………………………………………………………………………………7分设销售A型新能汽车x辆所获利润为W万元．则．…………………………………………………………………………8分∵，∴W随x的增大而增大．∴当时，W有最大值46万元.…………………………………………………………………………9分答：当销售A型新能汽车12辆时获利最大,最大利润为46万元．……………………………………10分24. 解：（1）直线经过点，，………………………………………………………………………………………………1分反比例函数的图象经过点，；………………………………………………………………………………………………2分（2）①当时，点的坐标为，当时，，解得，点D的坐标为，……………………………………………………………………………………4分当时，，解得，点C的坐标为，……………………………………………………………………………………6分；……………………………………………………………………………………………7分②的取值范围为（1分）或（2分）．………………………………………………10分25. 解：（1）AD⊥BE…………………………………………………………………………………………1分延长AD交CB于O点，交BE于H点．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，由旋转的性质得：CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠BCE+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），…………………………………………………………………………3分∴∠CAD=∠CBE又∵∠AOC=∠BOH；∴△AOC∽△BOH，∴∠BHO=∠ACO=90°；∴AD⊥BE．…………………………………………………………………………………………5分（2）BD＝CD；………………………………………………………………………………8分（3）解：如图，过点O作ON⊥OM，且ON＝OM，连接NM、NC，N C交BM于点H，ON交MB于F点，连接OC，则∠NOM＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AB的中点，∴CO⊥AB，CO＝AB＝OB，∴∠COB＝∠NOM＝90°，∴∠NOC＝∠MOB，∴△NOC≌△MOB（SAS），………………………………………………………………………………9分∴CN＝BM，∠ONC＝∠OMB，又∵∠OFM＝∠HFN，∴∠MHN＝∠MOF＝90°，∵∠BMC＝45°，∴△CMH是等腰直角三角形，∴CH＝MH＝CM＝12，……………………………………………………………………………10分在Rt△NOM中，NM＝OM＝＝13，…………………………………………………11分在Rt△NHM中，NM＝13，MH＝12，∴NH=5∴CN=CH+HN=17，∴BM=CN=17………………………………………………………………………………………………12分（此题方法不唯一，阅卷组可根据不同方法设置不同标准.）26.解：（1）把A（-1,0），B（3,0）代入二次函数y＝x2+bx+c可得，，…………………………………………………………………………………………2分解得：，…………………………………………………………………………………………3分∴二次函数的表达式为y＝x2-2x-3.………………………………………………………………………4分（2）由题意可得：N（1，-4），…………………………………………………………………………5分∵S△NDC=S△MDC，∴过点N作CD的平行线，与抛物线交于点M，由B（3,0），C（0，-3）可得直线DC的表达式为，……………………………………6分∵MN∥DC，N（1，-4），∴直线MN的表达式为，…………………………………………………………………7分∴，解得：，………………………………………………………………………8分∴M（2，-3）.…………………………………………………………………………………………9分（3）………………………………………………………………………12分（答出一种情况得1分）。
2024年广东省广州市中考数学一模试卷
2024年广东省广州市中考数学一模试卷本试卷共25小题，满分120分。
考试用时120分钟。
第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．=（ ）A ．2024-B ．2024C ．12024-D ．120242．如图1所示的几何图形由6个小正方体组合而成，其三视图为轴对称图形的是（ ）．图1A ．主视图B ．左视图C ．俯视图D ．以上都不是3．学校举行投篮比赛，某班有7名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，6，4，6．下列关于这组数据描述不正确的是（ ）．A ．众数为6B ．平均数为5C ．中位数为5D ．方差为14．下列运算正确的是（ ）．A 3=B =C ．()3263a b a b =D ．221a a a-+=5=成立的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）． A ． B ．C ．D ． 6．关于x 的方程22220x cx a b -++=有两个相等的实数根，若,,a b c 是ABC △的三边长，则这个三角形一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．如图2，为测量河两岸,A B 两点间的距离，在河的一岸与AB 垂直的方向上取一点C ，测得200AC =米，ACB α∠=，则AB 的长度为（ ）米．图2A ．200tan α⋅B ．200sin α⋅C ．200cos α⋅D ．200tan α8．九年级同学去距离学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，剩余同学坐汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的2倍，设骑车的同学速度为x 千米/小时，则下列方程正确的是（ ）A ．1020202x x -=B ．1020202x x -=C ．1010123x x -=D ．1020123x x -= 9．如图3，在ABC △中，,100,AC BC ACB O =∠=︒e 分别与,AB BC 切于点,D C ，连接CD ，则A C D ∠的度数为（ ）图3A ．50︒B ．40︒C ．30︒D ．20︒10．在平面直角坐标系中，P 是双曲线(0)y x x=<上的一点，点P 绕着原点O 顺时针旋转90°的对应点()1,P m n 落在直线21y x =-+上，则代数式24m n+的值是（ ）A ．B ．C ．-8D ． 第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．将4.23亿用科学计数法表示为______．12．已知()()122,,3,A y B y -在抛物线2y x x m =++上，则1y ______2y ．（填“<”或“>”或“=”） 13．某中学对九年级共450名学生进行“综合素质”评价，评价的结果分A ，B ，C ，D 共4个等级．现随机抽取30名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图4所示的条形图，据此估算全级学生中“综合素质”评价等级为“B ”学生约有______人．若将评价等级按所占比例绘制成扇形统计图，则评价等级为“D ”对应扇形的圆心角度数为______°．图414．如图5，在菱形ABCD 中，点,E F 分别是边,CD BC 上的动点，连接,AE EF ，点,G H 分别为线段,AE EF 的中点，连接GH ，若45,B AB ∠=︒=GH 长度的最小值为______．图515．如图6，正方形ABCD 的边长为2，点,E F 为正方形边的中点，以EF 为半径的扇形交正方形的边于点,G H ，则GH 长为______．图616．如图7，在AOB △中，90,6,AOB AO BO ∠=︒==O 到线段AB 的距离为______．以点O 为圆心，以2为半径作优弧DE ，交AO 于点D ，交BO 于点E ，点M 在优弧DE 上从点D 开始移动，到达点E 时停止，连接,AM BM ，则ABM △面积S 的取值范围是______．图7三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分4分）解不等式：()32723x +>．18．（本小题满分4分）如图8，,,,AB CF DF CF AC DF AB DE ⊥⊥=∥，求证：BF CE =．图819．（本小题满分6分）如图9所示，在平面直角坐标系中xOy 中，点()4,1,A ABC -△的三个顶点都在格点上．将ABC △在坐标系中平移，使得点A 平移至图中点()1,1D -的位置，点B 对应点E ，点C 对应点F ．图9（1）点B 的坐标为______，点F 的坐标为______；（2）在图中作出DEF △，并连接AD ；（3）求在线段AB 平移到线段DE 的过程中扫过的面积；20．（本小题满分6分） 已知()22142T a a a =---． （1）化简T ；（2）在条件①和条件②两个条件中任选一个．．．．作为已知条件，求T 的值． 条件①：若点(),2P a a +是反比例函数8y x =上的一个点； 条件②：若a 是方程28x x x +=-的一个根．21．（本小题满分8分）甲、乙两位同学相约玩纸牌游戏．（1）有4张背面相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别有四个不同的数字32,2-，将这四张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．若甲从中随机选择一张牌翻开，求他选中的牌面数字是整数的概率；（2）双方约定：两人各摸出一张牌，放回洗匀后再摸一张，若摸出的两张牌面数字之积为正数，那么甲赢，否则乙赢．这个规定是否公平？为什么？22．（本小题满分10分）某药物研究院开发一种抗菌新药，经多年动物实验后，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与()h x 之间的函数关系如图10所示，当410x ≤≤时，y 与x 成反比例．图10（1）根据图像，求出血液中药物浓度下降阶段y 与x 的函数表达式；（2）求血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间．23．（本小题满分10分）如图11，AB 为O e 的直径，C 是圆上一点，D 是BC 的中点．图11（1）尺规作图：过点D 作AB 的垂线，交半圆AB 于点E ，交线段直径AB 于点F （保留作图痕迹，不写做法）；（2）点P 是AE 上一点，连接,,6,2BP CP AC BF ==．①求tan BPC ∠的值；②若CP 为ACB ∠的角平分线，求CP 的长．24．（本小题满分12分）已知点()1,0A 是抛物线2(,,y ax bx m a b m =++为常数，0,0)a m ≠<于x 轴的一个交点． （1）当1,3a m ==-时，求该抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的另一个交点为(),0M m ，于y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF=．①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE EF=时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当MN的最小值是2时，求m的值．25．（本小题满分12分）如图12，等边三角形ABC边长为2，点D是直线BC上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转120︒后得到AE．连接,DE AC与DE交于点F．图12（1）若AD BC⊥，求线段EF的长；（2）连接CE．①记点E的运动路径为l．试判断l与AC的位置关系：②在点D在运动的过程中，CE是否有最小值？如果有，请求出，并求此时BDAD的值；如果没有，请说明理由．。
2023年北京市大兴初三一模数学试卷及答案
2023北京大兴初三一模数 学2023．5第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．如图所示的圆柱，其俯视图是A ．B ．C ．D ．2．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在距离地球约400 000米的中国空间站开讲，数据400 000用科学记数法表示为A ．40×104B ．4×105C ．4×106D ．0.4×1063．已知M ，N ，P ，Q 四点的位置如图所示，下列结论正确的是A ．∠NOQ ＝40°B ．∠NOP＝140° C ．∠NOP 比∠MOQ 大D ．∠MOQ 与∠MOP 互补4．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是A ．a ＜−2B ．b ＞2C ．b −a ＜0D ．a ＞−b5．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求两次摸出小球的标号相同的概率是A ．13B ．23C ．19D ．296．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有实数根，则实数m 的取值范围为 A ．m ＜1 B ．m ≤1 C ．m ＞1D ．m ≥17．如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 是网格线交点，△ABC 与△DEF 关于某点成中心对称，则其对称中心是A ．点GB ．点HC ．点ID ．点J 8．下面的三个问题中都有两个变量：①面积一定的等腰三角形，底边上的高y 与底边长x ；②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y 与放水时间x ； ③计划从A 地到B 地铺设一段铁轨，每日铺设长度y 与铺设天数x ． 其中，变量y 与变量x 满足反比例函数关系的是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是___________． 10．分解因式：2363m m ++=__________． 11．方程123x x=−的解为___________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数(0)ky k x =≠的图象经过点23（，）A 和点()2，B m −，则m 的值为________．13．九年级（1）班同学分6个小组参加植树活动，此活动6个小组的植树棵数的数据如下：5，7，3，x ，6，4（单位：株）．若这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是 ．14．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB =BC ，若∠AOB =68°，则∠BDC =____°．F第14题图 第15题图15．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且AE =2DE ,连接CE 交对角线BD 于点F .若BD =10,则DF 的长为______．16．某校需要更换部分体育器材，打算用1800元购买足球和篮球，并且把1800元全部花完．已知每个足球60元，每个篮球120元，根据需要，购买的足球数要超过篮球数，并且足球数不超过篮球数的2倍，写出一种满足条件的购买方案____________________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题， 每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：()02sin 601︒+−π 18．解不等式组：()3241 1.3≥，x x x x ⎧+−⎪⎨−<+⎪⎩19．已知210x x +−=，求代数式(21)(21)(3)x x x x +−−−的值．20．下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，请选择其中一种，完成证明．21．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 的交于点O ，延长CB 到E ，使得BE =BC ．连接AE ．过点B 作BF //AC ，交AE 于点F ，连接OF ．（1）求证：四边形AFBO 是矩形； （2）若∠ABC =60°，BF =1，求OF 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点（1，1），（2，3）. （1）求该函数的解析式；（2）当1x >−时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出m 的取值范围．23．某校为了解九年级学生周末家务劳动时长的情况，随机抽取了50名学生，调查了这些学生某一周末家务劳动时长（单位：分钟）的数据，并对数据（保留整数）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息： a ．学生家务劳动时长的数据在70≤x ＜80这一组的具体数据如下：72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，79 b ．学生家务劳动时长的数据的频数分布直方图如下：根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图；（2）学生家务劳动时长的数据的中位数为 ；（3）若该校九年级有学生500人，估计该校九年级学生家务劳动时长至少90分钟的 有 人．24．如图，AB 是☉O 的直径，C 为圆上一点，连接AC ，BC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ．过点A 作☉O 的的切线交OD 的延长线于点P ，连接CP ． （1）求证：CP 是☉O 的切线；（2）过点B 作BE ⊥PC 于点E ，若CE =4，cos ∠CAB =45，求OD 的长．25．羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系式：2()(0)y a x h k a =−+≠．某次发球时，羽毛球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：（1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 2()(0)y a x h k a =−+≠；（2）已知羽毛球场的球网高度为 1.55m ，当发球点O 距离球网5m 时羽毛球____________（填“能”或“不能”）越过球网．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()12，y −，()22，y ，()33，y 在抛物线2221y x tx t =−++上． （1）抛物线的对称轴是直线 （用含t 的式子表示）； （2）当12y y =，求t 的值；（3）点()()33，m y m ≠在抛物线上，若231＜＜y y y ，求t 取值范围及m 的取值范围．27．在△ABC 中，AC =BC ，∠C =90°，点D 为射线CB 上一动点（不与B ，C 重合），连接AD ，点E 为AB 延长线上一点，且DE =AD ，作点E 关于射线CB 的对称点F ，连接BF ，DF ． （1）如图1，当点D 在线段CB 上时， ①依题意补全图形，求证：∠DAB =∠DFB ；②用等式表示线段BD ，BF ，BC 之间的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，请直接用等式表示线段BD ，BF ，BC 之间的数量关系．图28．在平面直角坐标系xOy 的一个顶点在⊙O 上，除这个顶点外△ABC 与⊙O 存在且仅存在一个公共点，则称△ABC 为⊙O 的“相关三角形”． （1）如图1，⊙O 的半径为1，点C （2，0），△AOC 为⊙O 的“相关三角形”． 在点P 1（0，1），P 2，（12） P 3（1，1）这三个点中，点A 可以与点 重合；图1 图2（2）如图2，⊙O 的半径为1，点A （0，2），点B 是x 轴上的一动点，且点B 的横坐标x B 的取值范围是−1<x B <1，点C 在第一象限，若△ABC 为直角三角形，且△ABC 为⊙O 的“相关三角形”．求点C 的横坐标x C 的取值范围；（3）⊙O 的半径为r ，直线y =与⊙O 在第一象限的交点为A ，点C （2，0）,若平面直角坐标系xOy 中存在点B （点B 在x 轴下方），使得△ABC 为等腰直角三角形，且△ABC 为⊙O 的“相关三角形”．直接写出r 的取值范围.备用图参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．≥1x 10．23(1)m +11．6x = 12．3−13．5 14．34 15．5216．答案不唯一， 9个篮球，12个足球；8个篮球，14个足球 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17．解：原式1 …………………………………………………………4分 =1．…………………………………………………………………………….…5分18．解：3(2)4,1 1.3x x x x +−⎧⎪⎨−<+⎪⎩≥①②解不等式①，得52x ≥．………………………………………………………………………2分解不等式②，得2＞-x ．………………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为52x ≥． (5)分19．解：(21)(21)(3)x x x x +−−−22=413x x x −−+………………………………………………………………………2分 2=331x x +−．…………………………………………………………………………3分 ∵210x x +−=，∴21x x +=，……………………………………………………………………………………4分 ∴2333x x +=， ∴原式312=−=．…………………………………………………………………………………………………………………5分 20．选择方法一．证明：∵22142（）a+b ab c =⨯+， ……………………………………………………………3分∴222+2+=2+a ab b ab c ，……………………………………………………………………4分 ∴222+=a b c ．…………………………………………………………………………………5分 选择方法二．证明：∵22142（）b a ab c −+⨯=， ……………………………………………………………3分∴2222++2=-b ab a ab c ， ……………………………………………………………………4分 ∴222+=a b c ．…………………………………………………………………………………5分 21．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AO =OC ，AC ⊥BD ， ∴∠AOB =90°． ∵BE =BC ， ∴OB ∥AE ． 又∵BF ∥AC ，∴四边形AFBO 是平行四边形． 又∵∠AOB =90°，∴四边形AFBO 是矩形．………………………………………………………………………3分 （2）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABO =12∠ABC ． ∵∠ABC =60°， ∴∠ABO =30°．∵四边形AFBO 是矩形，∴OB ∥AF ，OF =AB ，∠BF A =90°， ∴∠F AB =∠ABO ， ∴∠F AB =30°．又∵在△ABF 中，∠BF A =90°，BF =1， ∴AB =2BF =2，∴OF =2．………………………………………………………………………………………5分22．（1）解：依据题意，得12 3.k b k b +=⎧⎨+=⎩，…………………………………………………1分解得2,1.k b =⎧⎨=−⎩…………………………………………………………3分∴该函数的解析式为21y x =−．（2）23≤≤m ．…………………………………………………………………………………5分 23．解：（1）如图………………………2分（2）74.5； ……………………………………………………………………………………4分 （3）40． ………………………………………………………………………………………6分 24．（1）证明：连接OC ． ∵AP 是⊙O 的切线， ∴AP ⊥OA ， ∴∠P AO =90°． ∵OD ⊥AC ， ∴AD =CD ， ∴AP =CP ，又∵OA=OC ，OP=OP ， ∴△AOP ≌△COP ， ∴∠P AO =∠PCO =90°， ∴OC ⊥PC .又∵点C 在⊙O 上，∴CP 是⊙O 的切线．…………………………………………………………………………3分 （2）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°． ∴∠ACO+∠OCB=90°． ∵CP 是⊙O 的切线， ∴∠OCE =90°， ∴∠OCB+∠ECB=90°， ∴∠ECB=∠OCA ． ∵OA =OC ， ∴∠CAB=∠OCA ， ∴∠CAB=∠ECB ． ∵cos ∠CAB =45, ∴cos ∠BCE =45．A∵BE ⊥PC ， ∴∠CEB=90°．在△BCE 中，∵CE =4，cos ∠BCE =CE CB =45， ∴CB =5．∵OA =OB ，AD =CD ， ∴OD =12BC =52．………………………………………………………………………………6分 25．解：（1）最大值是53m ．……………………………………………………………………1分 根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为543（，）， ∴54,3h k ==， ∴()()25403y a x a =−+≠． ∵当0x =时，1y =， ∴()250413a −+= 解得124a =−， ∴函数关系为()2154243y x =−−+．………………………………………………4分 （2）能．………………………………………………………………………………………6分 26．解：（1）x t =．…………………………………………………………………………1分 （2）∵点()12y −，，()22y ，在抛物线上，且12y y =，∴2(2)t t −=−−．解得0t =．………………………………………………………………………………3分（3）∵点()12，y −，()22，y ，()33，y 在抛物线2221y x tx t =−++上，∴21441y t t =+++，22441y t t =−++，23961y t t =−++． 由23y y ＜，得52t ＜．由31y y ＜，得12t ＞．∴1522t ＜＜．………………………………………………………………………………5分 ∵点()()33m y m ≠，在抛物线上，∴点3（，）m y ，33（，）y 关于抛物线的对称轴x t =对称，且m t <．∴3t t m −=−， 解得23m t =−．∴22m −<<．……………………………………………………………………………6分 27.（1）①补全图形，如下图．………………………………………………………………1分 证明： ∵DE =AD ， ∴∠DAB =∠DEA ．∵点E 关于射线CB 的对称点为F ， ∴△DBF ≌△DBE ， ∴∠DFB =∠DEB ，∴∠DAB =∠DFB ．分 ②=+BC BD ．……….……………………………………………………………4分 证明：设EF 与射线CB 交于点G ． ∵点E关于射线CB的对称点为F ， ∴△DBF ≌△DBE ，EF ⊥CB ，∴∠BDF =∠BDE ，DF =DE ，∠DFB =∠DEB ． ∵AC =BC ，∠C =90°， ∴∠BAC =∠CBA =45°， ∴∠ABC =∠BDE +∠DEB =45°， ∴∠DFB +∠BDF =45°． ∵∠CAD +∠DAB =45°， 又∵∠DAB =∠DFB ， ∴∠CAD =∠BDF ． ∵DE =AD ，DF =DE ， ∴AD =DF ．∵∠C =90°，EF ⊥CB ， ∴∠C =∠FGD =90°， ∴△ACD ≌△DGF ， ∴CD =FG ．∵∠FBG =∠DFB +∠BDF =45°， ∴△FBG 为等腰直角三角形， ∴=FB ， ∴=FG FB ，∴CD=．∵BC=BD+CD，∴=BC BD．.…….…………………………………………………………………6分（2）−BC BD．…….………………………………………………………………7分28．（1）2P；………………………………………………………………………………1分（2）图2-1 图2-2解：由条件可知，点C在⊙O上，如图2-1所示，当 B（-1，0），D（1，0）时，连接AD，与⊙O交于点C，∴BD为⊙O直径，∴∠BCD=∠ACB=90°．∵在Rt△AOD中，∠AOD=90°，由勾股定理得AD．∵在Rt△BCD中，cos∠CDB=DCBD，在Rt△AOD中，cos∠CDB=ODAD，∴DCBD=ODAD，∴2DC，∴CD=．过点C作CE⊥BD．∴在Rt △CED 中，cos ∠CDB =DE CD =∴2=5DE ．∵OD=1， ∴3=5OE ，∴3=5C x ．………………………………………………………………………………………3分如图2-2所示，当B 位于原点，AC 与圆O 相切时，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ． ∵AC 与⊙O 相切， ∴∠ACO =90°，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理得AC ∵在Rt △DCA 中，sin ∠DAC =DCAC， 在Rt △OCA 中，sin ∠DAC =OCAO， ∴DC OCAC AO=， 12=，∴DC =∴2C x =．综上所述，35C x ＜．………………………………………………………………………5分（3）r 1r ≤．………………………………………………………………7分。
九年级中考数学一模考试试卷及答案
九年级数学试卷第1页（共10页）九年级数学试卷第2页（共10页）学校________________班级________________姓名_________________密封线内不能答题初中学业水平考试模拟测试九 年 级 数 学考生须知1．本试卷共10页，共三道大题，28道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．右图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）三棱柱（B ）长方体（C ）圆锥（D ）圆柱2．2021年我国加大农村义务教育薄弱环节建设力度，提高学生营养改善计划补助标准，约37000000学生受益.将37000000用科学计数法表示应为（A ）603710.⨯（B ）63710.⨯（C ）73710.⨯（D ）63710⨯3．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（A ）0b c -<（B ）2b >-（C ）0+ac >（D ）b c>4．下列多边形中，内角和为720°的是（A ）（B ）（C ）（D ）5．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（A ）平行四边形（B ）等腰三角形（C ）正五边形（D ）矩形6．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB 的长是（A ）3cm （B ）3cm （C）cm （D ）4cm7．2022年2月4日晚，举世瞩目的北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（A ）正比例函数关系（B ）一次函数关系（C ）反比例函数关系（D ）二次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式11x -有意义，则实数x 的取值范围是.10．如图，在△ABC 中，ABAC =，AB 的垂直平分线MN交AC于D 点.若BD 平分ABC ∠，则A ∠=°.11．已知关于x 的一元二次方程22210（）x a x a +-+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是.124小的无理数.高山滑雪速度滑冰冰球单板滑雪冰壶2022.4九年级数学试卷第3页（共10页）九年级英语试卷第4页（共10页）密封线内不能答题13．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若20∠OCB =°，则∠A 的度数为_________.14．已知点A （1，2），B 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，若OA=OB ，则点B 的坐标为_________．15．下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：甲乙丙平均数9.359.359.34方差6.66.96.7根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_________．16．某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A 、B 两种树种．经过试种后发现，种植A 种树苗a 棵，种下后成活了（）棵，种植B 种树苗b 棵，种下后成活了棵．第一阶段两种树苗共种植了40棵，且两种树苗的成活棵树相同，则种植A 种树苗_________棵.第二阶段，该园林局又种植A 种树苗m 棵，B 种树苗n 棵，若，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A 种树苗成活棵数_________种植B 种树苗成活棵数（填“＞”“＜”或“＝”）．三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21—22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：()2012cos3022+-⎛⎫︒-π-- ⎪⎝⎭.18．解不等式组：21115≤，x . x x ⎧⎪⎨⎪⎩-+<-19．已知230m m +-=，求代数式2211+m m m m m +⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭的值．20．已知：如图，点M 为锐角∠APB 的边PA 上一点．求作：∠AMD ，使得点D 在边PB 上，且∠AMD =2∠P ．作法：①以点M 为圆心，MP 长为半径画圆，交PA 于另一点C ，交PB 于点D ；②作射线MD ．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点P ，C ，D 都在⊙M 上，∠P 为 CD所对的圆周角，∠CMD 为 CD 所对的圆心角，∴∠P =12∠CMD （）（填推理依据）．∴∠AMD =2∠P ．九年级数学试卷第5页（共10页）九年级数学试卷第6页（共10页）学校________________班级________________姓名_________________密封线内不能答题21．如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米.设距左侧墙壁水平距离为x 米的地点，隧道高度为y 米.请解决以下问题：（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系,根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；（3）今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道.22．如图，在□ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD 交CD 的延长线于点E ，过点C 作C F//EB交AB 的延长线于点F.（1）求证：四边形BFCE 是矩形；（2）连接AC ，若AB =BE =2，tan ∠FBC =12，求AC 的长.23．如图，一次函数y ＝kx +4k （k ≠0）的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且经过点C （2，m ）．（1）当92m =时，求一次函数的解析式并求出点A 的坐标；（2）当x ＞-1时，对于x 的每一个值，函数y ＝x 的值大于一次函数y ＝kx+4k （k ≠0）的值，求k 的取值范围．24．如图，BE 是⊙O 直径，点A 是⊙O 外一点，OA ⊥OB ，AP 切⊙O 于点P ，连接BP交AO 于点C .（1）求证：∠PAO =2∠PBO ；（2）若⊙O 的半径为5，tan ∠PAO 34=，求BP 的长．九年级数学试卷第7页（共10页）九年级英语试卷第8页（共10页）密封线内不能答题25．为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试.该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x ＜90，90≤x≤100）；b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：808182838383.583.58484858686.587888989c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数七年级87.28591八年级85.3m90根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m的值为；（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在年级抽样学生中排名更靠前，理由是；（3）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．26．已知二次函数2y x bx c=++（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P.（1）求二次函数的解析式及P点坐标；（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是－4≤y≤2m，求m的值.27．已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l.点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D.（1）如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP=∠PCB；②用等式表示线段BC ，BD，BP之间的数量关系，并证明；（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系.l备用图l图1九年级数学试卷第9页（共10页）九年级数学试卷第10页（共10页）学校________________班级________________姓名_________________密封线内不能答题28．如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P ，Q两点（Q 在P ，H 之间）．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ ·PH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为（0，4），半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A ，B ，C ，D ．①过点E 作垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点（填“A ”，“B ”，“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为；②若直线n 的函数表达式为y ＝3x ＋4，求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点M （1，4），点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，3为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N （－1，0）是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是66，直接写出直线l 的函数解析式．图1图2初中学业水平考试模拟测试九年级数学学科参考答案一、 选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.A 、2.C 、3.B 、4.D 、5.D 、6.B 、7.B 、8.D二、 填空题（共16分，每题2分）9.x ≠1 10. 36 11.a <1412.答案不唯一13.70°14.（2,1） 15.甲16.22，＞三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21—22题，每题6分,第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：()2012cos30+224+1−⎛⎫︒−π− ⎪⎝⎭−− …………………………………………4分=3…………………………………………5分18.解：21115x x x ⎧⎪⎨⎪⎩−+<−≤②①x 由①得：≤3…………………………………………2分15546x x x +<−−<−由②得：32x >…………………………………………4分 32x ∴不等式组的解集为≤3.<……………………………………… 5分19.解：()()2222221+121+11+1+1m m m m m m m m m m m m m m m m +⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭++=⨯+=⨯=2=m m+ …………………………………………3分230m m +−=23m m ∴+=…………………………………………4分 =3 3.∴∴原式代数式的值为 …………………………………………5分20.(1) 补全图形，如图所示 ……………………3分 (2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半…………………………………………5分21.解：略…………………………………………6分22.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥∵//CF EB∴四边形BFCE 是平行四边形∵BE CD ⊥∴90E ∠=︒∴四边形BFCE 是矩形…………………………………………3分 （2）解：∵四边形BFCE 是矩形∴90F ∠=︒，CF EB =∵2AB BE ==∴2CF =……………………………………………4分∵1tan 2FBC ∠=ECD FA B∴4BF =∴6AF = ……………………………………………5分在Rt AFC △中，90F ∠=︒，AC == …………………6分23.解：（1）∵92m =∴将点9(2)2C ，代入4y kx k =+，得34k = ……………………………1分∴一次函数表达式为334y x =+，点A 的坐标为(4,0)−. ……………………………3分 （2）∵当1x −＞时，对于x 的每一个值，函数y x =的值大于一次函数40y kx k k =+≠（）的值 结合函数图象可知，当=1x −时，41kx k +−≤即可，解得13k −≤∴13k −≤………………………………………………5分24.（1）证明： 连接PO∵AP 切⊙O 于点P ∴OP AP ⊥∴90A AOP ∠+∠=︒ ∵OA OB ⊥∴90POE AOP ∠+∠=︒ ∴=A POE ∠∠∵2POE PBO ∠=∠ ∴2PAO PBO∠=∠……………………………………………3分（2）解：过点P 作PM EB ⊥于点M∵3tan 4PAO ∠=∴3tan 4POM ∠=∴设3,4PM k MO k ==∴5OP k =∵⊙O 半径为5 ∴5OB OP ==∴1k =∴3,4PM MO ==∴9BM BO MO =+=∴在Rt PMB △中，=90PMB ∠︒PB == ……………………………………………6分25.解：（1）83……………………………………………1分 （2）八 该学生的成绩大于八年级样本数据的中位数83，在八年级成绩中排名21名；该学生成绩小于七年级样本数据的中位数，在七年级排名在后25名 ………………………………………3分（3）20300=12050⨯（人）答：估计八年级达到“优秀”的人数是120人. ………………………5分 26.解：（1）∵二次函数的2y x bx c =++图象经过点(1,0)A 与点(0.3)C −∴103b c c ++=⎧⎨=−⎩解得23b c =⎧⎨=−⎩∴二次函数的表达式是223y x x =+−…………………………………………2分顶点P 的坐标为14−−（，）…………………………………………3分 （2）∵二次函数的顶点P 的坐标为14−−（，） ∴当1x =−时，y 有最小值是4−∵当1m x m +≤≤时，y 的取值范围是y m -4≤≤2 ∴21m −−≤≤① 当322m −−≤≤时，当x m =时，=2y m 即2232m m m +−=解得，m =∴m =②当312m −＜≤-时，当1x m =+时，=2y m即212132m m m+++−=（）（）解得，12=0,2m m =−（不合题意）综上所述，m =……………………………………………………6分27.（1）①补全图形如图所示，…………………………………………………1分证明：设PD 交BC 于点E ∵ABC △是等边三角形∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒∵将射线PC 绕点P 顺时针旋转60° ∴60DPC ∠=︒ ∵//l AC∴60DBE ACB ∠=∠=︒ ∴60DBE CPE ∠=∠=︒ ∵BED PEC ∠=∠ ∴BDP PCB ∠=∠……………………………………………………3分 ②BC BD BP=+在BC 上取一点Q 使得BQ =BP ，连接PQ ∵60ABC ∠=︒∴PBQ △是等边三角形 ∴PB =PQ ，∠BPQ =60° ∴BPD CPQ ∠=∠ 又∵BDP PCB ∠=∠ ∴PBD PQC △≌△ ∴BD QC =∵BC BQ QC =+∴BC BD BP =+ …………………………………………………5分（2）BC BD BP =− …………………………………………………7分28（1）①D,10 …………………………………………2分 ②∵直线n 的函数表达式为y ＝3x ＋4∴E (0,4)，F(3−,0)∴tan 3OF FEO OE ∠== ∴30FEO ∠=︒ OM ME ⊥2OM ∴=∵⊙O 的半径为16PM PN ∴⋅=即⊙O 关于直线n 的“特征数”为6. ………………………………5分（2）直线l 的函数解析式为12977y x =−+或5y x =−+. ……………7分。
2024年北京市门头沟区九年级中考一模数学试题(原卷版)
门头沟区2024年初三年级综合练习（一）数学考生须知：1．本试卷共10页，共三道大题，28个小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）A. B. C. D.2. 近几年全国各省市都在发展旅游业，让游客充分感受地域文化，据统计，某市2023年的游客接待量为210000000人次，将210000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.4. 一个正n 边形的每一个外角都是60°，则这个正n 边形是（ ）A 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形5. 数轴上的两点所表示的数分别为a ，b ，且满足，下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，，平分交于点，，则（）.72.110⨯82.110⨯92.110⨯102.110⨯·0,0a b a b >+<0,0a b >>0,0a b <<0,0a b ><0,0a b <>AB CD AD BAC ∠CD D 130∠=︒CAB ∠=A. B. C. D. 7. 同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上的一面点数之和为整数的平方的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在等边三角形中，有一点P ，连接、、，将绕点B 逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.的取值范围是__________．10 因式分解：______．11. 如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是_______．12. 在中，，，，点P 在线段上（不与B 、C 两点重合），如果的长度是个无理数，则的长度可以是______．（写出一个即可）.30︒45︒60︒90︒16736142936ABC PA PB PC BP 60︒BD PD AD BPC BDA ≌ BDP △150BPC ∠=︒²²²PA PB PC =+x 22mx mx m -+=ABC 90C ∠=︒3AB =2AC =BC AP AP13. 已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值_________．14. “洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为米，则该门洞的通过面积为_______平方米．15. 下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表：月用电量x（千瓦时/户/月）户数（户）61511144已如月用电量第三档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第三档的家庭有______户．16. 5月20日是中国学生营养日，青少年合理膳食是社会公共卫生关注的问题之一．某食堂为了均衡学生的营养，特设置如下菜单，每种菜品所含的热量，脂肪和蛋白质如下：编号菜名类别热量/千焦脂肪/g蛋白质/g1宫保鸡丁荤菜1033187 2炸鸡排荤菜12541920 3糖醋鱼块荤菜211218144土豆炖牛肉荤菜109523165香菇油菜素菜911117 20x ax b++=1240x≤240300x<≤300350x<≤350400x<≤400x>6家常豆腐素菜102016137清炒冬瓜素菜564718韭菜炒豆芽素菜491239米饭主食3601810紫菜鸡蛋汤汤10058学校规定每份午餐由1份荤菜，2份素菜，1份汤和1碗米饭搭配．小明想要搭配一份营养午餐，那么他摄入的脂肪最低量是____________g ．（12岁岁的青少年男生午餐营养标准：摄入热量为2450千焦，摄入蛋白质为65g ，蛋白质越接近标准越营养）三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. ．18. ．19. 已知，求代数式的值．20. 如图所示，在长为11、宽为10矩形内部，沿平行于矩形各边的方向割出三个完全相同的小矩形，求每个小矩形的面积．21. 如图，在四边形中，，，，点E 为中点，射线交的延长线于点F ，连接．的14-011(2021)22sin 45()3π---+︒-()2131242x x x x ⎧+>-⎪⎨-<+⎪⎩23210x x +-=22(1)(2)(2)3x x x x +-+-+ABCD AD BC ∥90A ∠=︒BD BC =CD BE AD CF（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由的图象向上平移2个单位得到，反比例函数 的图象过点．（1）求一次函数表达式及m 的值；（2）过点平行于x 轴的直线，分别与反比例函数一次函数的图象相交于点M 、N ，当时，画出示意图并直接写出n 的值．23. 某市统计局为研究我国省会及以上城市发展水平与人均之间关系，收集了年个城市的人均数据（单位：万元）以及城市排名，进行了相关的数据分析，下面给出了部分信息．．城市的人均的频数分布直方图（数据分成组：，，，，）：频数（城市个数）的BCFD 1AD =2CF =BF xOy ()0y kx b k =+≠1y x =()20m y m x=≠()14A ，()0P n ，2m y x =y kx b =+PM MN =GDP 202331GDP GDP a GDP 558x <≤811x <≤1114x <≤1417x <≤1720x <≤．城市的人均（万元）的数值在这一组的是：；．以下是个城市年的人均（万元）和城市排名情况散点图：根据以上信息，回答下列问题（1）某城市的人均为万元，该城市排名全国第_____；（2）在个城市年的人均和城市排名情况散点图中，请用“”画出城市排名的中位数所表示的点；（3）观察散点图，请你写出一条正确结论．24. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点．（1）求证：直线是以点为圆心，为半径的的切线；（2）如果：，，求的半径．25. 如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O 的正上方4米处的A 点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d 米的地点，运动员距离地面高度为h 米．获得如下数据：水平距离d /米02468垂直高度h /米488的b GDP 1114x <≤12.313.213.613.8，，，c 312023GD GDP GDP 13.8GDP 312023GDP GDP GDP ABC 90C ∠=︒CAB ∠CB D D OD CB ⊥AB O CD O OA O 3sin 5CAB ∠=3BC =O OA 132172请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米；（3）求h 关 于d 的函数表达式；（4）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作．26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．（1）如果抛物线经过点，求的值；2C 215463h d d =-++OA 1d 2d 1223d d ≤≤-xoy ()1,A x m ()2,B x n ()240y ax bx a =++>x h =()2,4h（2）如果对于，，都有，求取值范围；（3）如果对于，或，存在，直接写出的取值范围．27. 如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接．（1）如图1，当点在线段上时．①用等式表示与的数量关系；②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系；（2）如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明．28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，点P 、Q 是平面内的点，如果点P 关于点Q 的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P 关于点Q 的“等距点”．（1）已知如图1点．①如图1，在点 中，上存在点P 关于点Q 的“等距点”的是________；②如图2，点 ，上存在点P 关于点Q 的“等距点”，则m 的取值范围是________；（2）如图3，已知点，点P 在的图象上，若上存在点P 关于点Q 的“等距点”，14x h =-23x h =m n >h 142h x h -≤≤+21x ≤212x ≥m n >h AB BC =90ABC ∠=︒P AB 90CEP ∠=︒F EP EF EC =AF AF G EG H GH GE =AH P AB AH CE BH BE BH BE P AB xOy O O 40（，）P ()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O (),Q m n O ()1,1Q y x b =-+O求b的取值范围．。
2024年安徽省合肥市蜀山区中考一模数学试卷含详解
2024年九年级质量调研检测（一）数学试卷温馨提示：1．数学试卷4页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间．2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷．4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.在12,3--）A.2- B.13- C.0D.2.我国渤海深层油气田勘探再获新发现，新增油气探明储量超4000万立方米，其中数据4000万用科学记数法表示为（）A.3410⨯ B.7410⨯ C.8410⨯ D.60.410⨯3.下列运算正确的是（）A.235x x x ×= B.()325x x = C.623x x x ÷= D.235x x x +=4.一个几何体的三视图如图所示，根据图中的相关数据求得该几何体的侧面积为（）A.260πcm B.240πcm C.230πcm D.224πcm 5.小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形ABCD 为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与AD 的交点为E ，当水杯底面AB 与水平面的夹角为37︒时，CED ∠的大小为（）A .27︒ B.37︒ C.53︒ D.63︒6.如图为甲、乙两种物质的m v -图象．下列说法正确的是（）A.甲物质的密度与质量成正比B.体积为320cm 的甲物质的质量为13.5gC.甲物质的密度比乙的密度小D.甲、乙质量相同时，乙的体积是甲的4.5倍7.如图，O 是ABC 的外接圆，35ABO ∠=︒，则C ∠的度数等于（）A.35︒B.40︒C.55︒D.65︒8.如图，点,,,,P A B C D 均为小正方形的顶点，若从,,,A B C D 中任取两个点，则与点P 构成的三角形是直角三角形的概率是（）A.12 B.13 C.23 D.169.已知反比例函数()0k y k x=≠在第二象限内的图象与一次函数()0y mx n m =+≠的图象如图所示，则函数21y mx nx k =+-+的图象可能为（）A. B.C. D.10.如图，正方形ABCD 中，4AB =，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，点P 在对角线AC 上，EF AC ∥，PE PF m +=．下列结论错误．．的是（）A.若2BE =，则m 的最小值为4B.若m 的最小值为4，则2BE =C.若0.5BE =，则m 的最小值为5D.若m 的最小值为5，则0.5BE =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.不等式213x -<的解集是______．12.因式分解：24100x -=______．13.如图，ABC 中，高,AD BE 相交于点H ，连接DE ，若BD AD =，5,2BE AE ==，则DE =______．14.在平面直角坐标系xOy 中，()()1122,,,M x y N x y 是抛物线()()20y a x h k a =-+<上任意两点．（1）若对于121,5x x ==，有12y y =，则h =______；（2）若对于1201,45x x <<<<，都有12y y >，则h 的取值范围是______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：()1202411432-⎛⎫-+⨯-- ⎪⎝⎭．16.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，CD 是一座长为600米的东西走向的大桥，小莉同学研学旅途中乘坐的汽车在笔直的公路MN 上由南向北行驶，在A 处测得桥头C 在北偏东30︒方向上，继续行驶500米后到达B 处，测得桥头D 在北偏东60︒方向上，求点C 到公路MN 的距离．（结果保留根号）18.如图是由小正方形组成的148⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ABC 的三个顶点都是格点．（1）以A 为旋转中心，将ABC 按顺时针方向旋转90︒，得到11AB C △，请画出11AB C △；（2）作出ABC 关于直线AC 对称的ADC △；（3）连接BD ，在BD 上作点E ，使12BE ED =::，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案（1）第5个图案有______颗黑色棋子，第n 个图案中黑色棋子的颗数为______；（2）据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由．20.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上不同于,A B 的一点，I 是ABC 的内心，A I 的延长线交半圆O 于点D ，连结,,BI BD IO．（1）求证：DI DB =；（2）若2,BD IO BI =⊥，求A I 的长．六、（本大题满分12分）21.为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表．参加五个社团活动人数统计表社团活动舞蹈篮球象棋足球农艺人数40a b 80c请根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的学生共有______人，m =______；（2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高(单位：cm )如下：190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是______cm ；（3）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？七、（本大题满分12分）22.如图，ABC 中，90,A AB AC ∠=︒=，点D E 、分别在边AB BC 、上，连接CD DE 、，恰好ADC BDE ∠=∠，过点E 作CD 的垂线，垂足为点F ，且交边AC 于点G ．（1）设ADC α∠=，用含α的代数式表示CEG ∠为______；（2）求证：BDE CGE ∽△△；（3）求AD CG的值．八、（本大题满分14分）23.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线2x =，且与y 轴相交于点()0,5C ．（1）求抛物线2y x bx c =++的表达式；（2）如图2，点,A B 在x 轴上（B 在A 的右侧），且()03,1OA t t AB =<<=，过点A ，B 分别作x 轴的垂线交抛物线于点,D E ，连接,,CD CE DE ，并延长AD 交CE 于点F ．①求DF 的长（用含t 的代数式表示）；②若CDF 的面积记作1,S EDF △的面积记作2S ，记21S S S -=，则S 是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由．2024年九年级质量调研检测（一）数学试卷温馨提示：1．数学试卷4页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间．2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷．4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.在12,3--）A.2- B.13- C.0D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了有理数的大小比较，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，根据有理数的大小比较法则比较即可．【详解】解：∵1203-<-<<∴最小的数是2-，故选：A ．2.我国渤海深层油气田勘探再获新发现，新增油气探明储量超4000万立方米，其中数据4000万用科学记数法表示为（）A.3410⨯ B.7410⨯ C.8410⨯ D.60.410⨯【答案】B【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数即可求解，解题的关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：7400040000000410==⨯万，故选：B ．3.下列运算正确的是（）A.235x x x ×= B.()325x x = C.623x x x ÷= D.235x x x +=【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂乘法可以判断A ；幂的乘方可以判断B ；根据同底数幂除法可以判断C ；根据同类项可以判断D ．【详解】解：23235x x x x +⋅==，故选项A 正确；()3265x x x =≠，故选项B 错误，不符合题意；626243x x x x x -÷==≠，故选项C 错误，不符合题意；23x x +不能合并，故选项D 错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方，合并同类项，熟练掌握这些运算法则是解答本题的关键．4.一个几何体的三视图如图所示，根据图中的相关数据求得该几何体的侧面积为（）A.260πcm B.240πcm C.230πcm D.224πcm 【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了三视图的知识和圆锥侧面面积的计算，由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，进而得出圆锥的高以及母线长和底面圆的半径，再利用圆锥侧面积公式求出即可，解题的关键是灵活运用三视图得到立体图形及熟练掌握圆锥的侧面面积公式运用．【详解】解：依题意知几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体是圆锥，通过三视图可知圆锥的母线10cm l =，底面半径6cm 3cm 2r ==，则由圆锥的侧面积公式得()210330cmS rl πππ==⨯⨯=，故选：C ．5.小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形ABCD 为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与AD 的交点为E ，当水杯底面AB 与水平面的夹角为37︒时，CED ∠的大小为（）A.27︒B.37︒C.53︒D.63︒【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的判定和性质．过点A 作AF BH ∥，可得37BAF ABG ∠=∠=︒，从而得到903753EAF ∠=︒-︒=︒，再由CE BH ∥，可得CE AF ∥，即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AF BH ∥，∴37BAF ABG ∠=∠=︒，矩形ABCD 中，90BAD ∠=︒，∴903753EAF ∠=︒-︒=︒，根据题意得：CE BH ∥，∴CE AF ∥，∴53CED ∠=︒．故选：C6.如图为甲、乙两种物质的m v -图象．下列说法正确的是（）A.甲物质的密度与质量成正比B.体积为320cm 的甲物质的质量为13.5gC.甲物质的密度比乙的密度小D.甲、乙质量相同时，乙的体积是甲的4.5倍【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的图象，根据图象分析逐项求解即可，解题的关键是熟练掌握从图象中获取信息．【详解】A 、甲物质的密度与质量无关，密度是物质的特性，不随其质量的变化而变化，故此选项错误；B 、由图象可知，甲物质的密度为()327 6.75g/cm 4=，当体积为320cm 时的甲物质的质量为()2720135g 4⨯=，故此选项错误；C 、甲物质的密度为()327 6.75g/cm 4=，乙物质的密度为()312 1.5g/cm 8=，∵336.75g/cm 1.5g/cm >，∴甲物质的密度比乙的密度大，故此选项错误；D 、∵甲物质的密度为()327 6.75g/cm 4=，乙物质的密度为()312 1.5g/cm 8=，设甲、乙质量为g m 时，∴甲的体积为()346.75cm 27m m ÷=，乙的体积为()321.5cm 3m m ÷=，则24 4.5327m m ÷=，故此选项正确；故选：D ．7.如图，O 是ABC 的外接圆，35ABO ∠=︒，则C ∠的度数等于（）A.35︒B.40︒C.55︒D.65︒【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆．连接AO ，根据OA OB =，可得35BAO ABO ∠=∠=︒，从而得到110AOB ∠=︒，再由圆周角定理，即可求解．【详解】解：如图，连接AO ，∵O 是ABC 的外接圆，∴OA OB =，∴35BAO ABO ∠=∠=︒，∴110AOB ∠=︒，∴5251C AOB ∠=∠=︒．故选：C ．8.如图，点,,,,P A B C D 均为小正方形的顶点，若从,,,A B C D 中任取两个点，则与点P 构成的三角形是直角三角形的概率是（）A.12 B.13 C.23 D.16【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．根据题意，列出表格，可得共有12种情况，其中与点P 构成的三角形是直角三角形的有4种，再由概率公式计算，即可求解．【详解】解：根据题意，列出表格如下：A B C DA B ，A C ，A D ，AB A ，BC ，BD ，BC A ，C B ，CD ，CD A ，D B ，D C ，D共有12种等可能结果，其中与点P 构成的三角形是直角三角形的有4种，所以与点P 构成的三角形是直角三角形的概率是41=123．9.已知反比例函数()0k y k x=≠在第二象限内的图象与一次函数()0y mx n m =+≠的图象如图所示，则函数21y mx nx k =+-+的图象可能为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象和性质，根据反比例函数图象和一次函数函数的图象得到0k <，0,m >0n >，再根据二次函数进行观察图象即可判断，解题的关键是根据函数图象确定 k m n 、、的取值范围．【详解】解：根据题意和已知图像关系，可知反比函数ky x =分布在第二象限，∴0k <，又∵函数y mx n =+图像主要分布在一、三象限，且y 随着x 增加而增加，∴0,m >且0n >，∴21y mx nx k =+-+的对称轴为：0,22bnx a m ==-<故D 不符合题意；将0x =代入函数，可得到10,y k =->故B 和C 不符合题意，A 符合题意；10.如图，正方形ABCD 中，4AB =，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，点P 在对角线AC 上，EF AC ∥，PE PF m +=．下列结论错误．．的是（）A.若2BE =，则m 的最小值为4B.若m 的最小值为4，则2BE =C.若0.5BE =，则m 的最小值为5D.若m 的最小值为5，则0.5BE =【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题．熟练掌握正方形的性质，轴对称性质，平行线性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．在AD 上取点E 关于AC 的对称点G ，连接FG 交AC 于点P ，则PE PG =，得到m 的最小值为FG ，根据4AG AE BE ==-，BF BE =，得到()2224EG BE =-，222EF BE =，得到FG =，当2BE =时，4FG =，判断A 正确；当4FG =时，4=,2BE =，判断B 正确；当0.5BE =时，5FG =，判断C 正确；当5FG =时，5=，0.5BE =,或 3.5BE =，判断D 不正确．【详解】如图，根据正方形的对称性，在AD 上取点E 关于AC 的对称点G ，连接FG 交AC 于点P ，则PE PG =，∴PE PF PG PF FG +=+=，为m 的最小值，∵4AG AE BE ==-，90BAD ∠=︒，∴()22222224EG AE AG AE BE =+==-，∵EF AC ∥，∴45BEF BAC ∠=∠=︒，45BFE BCA ∠=∠=︒，∴BF BE =，∴22222EF BE BF BE =+=，∵FG AC ^，∴EG EF ⊥，∴90FEG ∠=︒，∴FG ==当2BE =时，4FG ==，∴A 正确；当4FG =时，4=,2=，∴()2244BE -+=，∴()220BE -=，∴2BE =，∴B 正确；当0.5BE =时，5FG ==，∴C 正确；当5FG ==时，()225244BE -+=，∴()2924BE -=，∴322BE -=±，∴0.5BE =,或 3.5BE =，∴D 不正确．故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.不等式213x -<的解集是______．【答案】5x <【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去分母，再移项合并同类项，即可求解．【详解】解：213x -<，去分母得：23x -<，移项合并同类项得：5x <．故答案为：5x <12.因式分解：24100x -=______．【答案】()()455x x +-【解析】【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法因式分解，先提取公因式4，再利用平方差公式计算即可得出答案．【详解】解：()()()224100425455x x x x -=-=+-，故答案为：()()455x x +-．13.如图，ABC 中，高,AD BE 相交于点H ，连接DE ，若BD AD =，5,2BE AE ==，则DE =______．【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质．过点D 作DN DE ⊥于点D ，证明ADE BDN ≌，可得DN DE =，2BN AE ==，从而得到3NE =，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，过点D 作DN DE ⊥于点D ，∵,AD BE 是ABC 的高，∴90ADC BDH AEB EDN ∠=∠=∠=∠=︒，∴ADE BDN ∠=∠，∵AHE BHD ∠=∠，∴DAE DBN ∠=∠，∵BD AD =，∴ADE BDN ≌，∴DN DE =，2BN AE ==，∵5BE =，∵22222NE DN DE DE =+=，∴DE =．14.在平面直角坐标系xOy 中，()()1122,,,M x y N x y 是抛物线()()20y a x h k a =-+<上任意两点．（1）若对于121,5x x ==，有12y y =，则h =______；（2）若对于1201,45x x <<<<，都有12y y >，则h 的取值范围是______．【答案】①.3②.2h ≤【解析】【分析】本题考查二次函数的性质：（1）把121,5x x ==代入，可得()()2215a h k a h k -+=-+即可；（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出()11,M x y 与()22,N x y 的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．【详解】解：（1）∵对于121,5x x ==，有12y y =，∴()()2215a h k a h k -+=-+，解得：3h =；故答案为：3（2）∵1201,45x x <<<<，∴121223,2x x x x +<<<，∵12y y >，a<0，∴当x h >时，y 随x 的增大而减小，点()11,M x y 距离对称轴的距离小于点()22,N x y 距离对称轴的距离，且点()()1122,,,M x y N x y 的中点在对称轴x h =的右侧，∴2h ≤．故答案为：2h ≤三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：()1202411432-⎛⎫-+⨯-- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算，先进行有理数的乘方，负整数次幂和化简绝对值，再计算乘法，最后加减即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：原式1423=+⨯-，183=+-，6=．16.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？【答案】有3只大船，有5只小船【解析】【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．设有x 只大船，则有()8x -只小船，根据大船坐的人数加小船坐的人数等于38人，列出方程即可．【详解】解：设有x 只大船，则有()8x -只小船，根据题意得：()64838x x +-=，解得：3x =，经检验，符合题意，∴85x -=，答：有3只大船，有5只小船．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，CD 是一座长为600米的东西走向的大桥，小莉同学研学旅途中乘坐的汽车在笔直的公路MN 上由南向北行驶，在A 处测得桥头C 在北偏东30︒方向上，继续行驶500米后到达B 处，测得桥头D 在北偏东60︒方向上，求点C 到公路MN 的距离．（结果保留根号）【答案】(300+米【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，延长DC 交MN 于点E ，设CE x =米，则()600DE x =+米，分别在Rt ACE 和Rt BDE △中，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：如图，延长DC 交MN 于点E，设CE x =米，则()600DE x =+米，在Rt ACE 中，30CAE ∠=︒，∴tan 33CE AE CAE ===∠米，在Rt BDE △中，60DBE ∠=︒，∴tan DE BE DBE ==∠米，∵AB BE AE +=，500+=，解得：(300x =+，即点C 到公路MN的距离为(300+米．18.如图是由小正方形组成的148⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ABC的三个顶点都是格点．（1）以A 为旋转中心，将ABC 按顺时针方向旋转90︒，得到11AB C △，请画出11AB C △；（2）作出ABC 关于直线AC 对称的ADC △；（3）连接BD ，在BD 上作点E ，使12BE ED =::，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；（2）根据轴对称的性质作图即可；（3）根据相似三角形的判定与性质即可求解；本题考查了作图—旋转，轴对称即相似三角形，熟练掌握性质及应用是解题的关键．【小问1详解】如图，根据∴11AB C △即为所求；【小问2详解】如图，∴ADC △即为所求；【小问3详解】如图，∵BF CD ∥，∴BFE DCE ∽，∴::BE ED BF CD =，∵52BE =，5CD =，∴12BE ED =::，∴点E 即为所求．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案（1）第5个图案有______颗黑色棋子，第n 个图案中黑色棋子的颗数为______；（2）据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由．【答案】（1）34；221n n +-（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据图形中黑色棋子的个数总结规律，即可求解；（2）令第n 个图形的代数式等于2024，求得n 的值为正整数就能，否则就不能．【小问1详解】解：由图可得，第一个图形有2102⨯+=个黑色棋子；第二个图形有3217⨯+=个黑色棋子；第三个图形有43214⨯+=个黑色棋子；第四个图形有54323⨯+=个黑色棋子；⋯，由此可得，第五个图形有654=34⨯+个黑色棋子，第n 个图形有()()211=21n n n n n +⨯+-+-个黑色棋子；故答案为：34；221n n +-；【小问2详解】解：不能；理由如下：设第n 个图形有2024颗黑色棋子，由（1）可得，221=2024n n +-，解得，=1n -±，∴用2024颗黑色棋子不能摆放成一个图案．20.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上不同于,A B 的一点，I 是ABC 的内心，A I 的延长线交半圆O 于点D ，连结,,BI BD IO ．（1）求证：DI DB =；（2）若2,BD IO BI =⊥，求A I 的长．【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角三角性的判定和性质，三角形的内心等知识：（1）根据AB 是半圆O 的直径，可得90C D ∠=∠=︒，从而得到()1452BID BAD ABI BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，进而得到IBD BID ∠=∠，即可求证；（2）过点O 作OE AD ⊥于点E ，可得∥OE BD ，从而得到AOE ABD ∽ ，进而得到12OE OA AE BD AB AD ===，可得到1OE =，6AD =，再证得OIE 是等腰直角三角形，可得1IE OE ==，即可求解．【小问1详解】证明：∵I 是ABC 的内心，∴,AI BI 是ABC 的角平分线，∴11,22BAD BAC ABI ABC ∠=∠∠=∠，∵AB 是半圆O 的直径，∴90C D ∠=∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，∴()1452BID BAD ABI BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴45IBD ∠=︒，∴IBD BID ∠=∠，∴DI DB =；【小问2详解】解：如图，过点O 作OE AD ⊥于点E ，∴90AEO D ∠=∠=︒，∴∥OE BD ，∴AOE ABD ∽ ，∴12OE OA AE BD AB AD ===，∵2BD =，∴1OE =，∵2DI DB ==，∴3DE =，∴6AD =，∵IO BI ⊥，∴90AEO BIO ∠=∠=︒，∴90OIE BID ∠+∠=︒，∴45OIE ∠=︒，∴OIE 是等腰直角三角形，∴1IE OE ==，∴624AI AD ID =-=-=．六、（本大题满分12分）21.为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表．参加五个社团活动人数统计表社团活舞篮象足农动蹈球棋球艺人数40a b 80c请根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的学生共有______人，m =______；（2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高(单位：cm )如下：190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是______cm ；（3）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？【答案】（1）200；40（2）182（3）400【解析】【分析】本题考查统计表，扇形统计图，求中位数，用样本估计总体等知识，将舞蹈和足球看出整体，并用它们的总数和占比求抽取的学生总数是解题的关键．（1）根据统计表得出舞蹈和足球的总人数，根据扇形统计图得出舞蹈和足球的总占比，再作除法即可得出总人数，继而求出m ；（2）将数据按大小关系重新排序，再求中间两数的平均数即可；（1）用全校人数乘以样本中参加舞蹈社团活动的学生占比即可得解．【小问1详解】解：抽取的学生人数为：()()4080115%10%15%200+÷---=，∴参加足球社团活动的学生占比为：80%100%40%200m =⨯=，∴40m =，故答案为：200；40；【小问2详解】他们身高按从小到大排列得：168，172，174，180，184，184，188，190，中间两数是：180，184，∴他们身高的中位数是：()180184182cm 2+=，故答案为：182；【小问3详解】402000400200⨯=(人)，答：估计全校参加舞蹈社团活动的学生有400人．七、（本大题满分12分）22.如图，ABC 中，90,A AB AC ∠=︒=，点D E 、分别在边AB BC 、上，连接CD DE 、，恰好ADC BDE ∠=∠，过点E 作CD 的垂线，垂足为点F ，且交边AC 于点G ．（1）设ADC α∠=，用含α的代数式表示CEG ∠为______；（2）求证：BDE CGE ∽△△；（3）求AD CG的值．【答案】（1）135α︒-（2）见解析（3）12【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：（1）根据直角三角形的两锐角互余，即可求解；（2）根据ADC BDE ∠=∠，可得CGF BDE ∠=∠，再由45ACB B ∠=∠=︒，即可求证；（3）过点C 作CM CA ⊥，过点B 作BM AB ⊥交CM 于点M ，延长CE 交BM 于点P ，连接CP ，过点P 作PN AC ⊥于点N ，则90ACM ABM A ∠=∠=∠=︒，可得四边形ACMB 是正方形，证明BDE BPE ≌，可得BD BP =，再由四边形CMPN 是矩形，可证明ADC NGP ≌，可得AD NG =，即可求解．【小问1详解】解：∵ADC α∠=，90A ∠=︒，∴90ACD α∠=︒-，∵EG CD ⊥，即90CFG ∠=︒，∴90CGF ACD α∠=︒-∠=，ABC 中，∵90,A AB AC ∠=︒=，∴45ACB B ∠=∠=︒，∴180135CEG CGE ACB α∠=︒-∠-∠=︒-；故答案为：135α︒-【小问2详解】证明：∵90CGF ACD ADC ACD ∠+∠=∠+∠=︒，∴CGF ADC ∠=∠，∵ADC BDE ∠=∠，∴CGF BDE ∠=∠，∵45ACB B ∠=∠=︒，∴BDE CGE ∽△△；【小问3详解】解：如图，过点C 作CM CA ⊥，过点B 作BM AB ⊥交CM 于点M ，延长CE 交BM 于点P ，连接CP ，过点P 作PN AC ⊥于点N ，则90ACM ABM A ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACMB 是矩形，∵AC AB =，∴四边形ACMB 是正方形，∴45PBE DBE ∠=∠=︒，AC BM ∥，AB BM CM AC ===，∴CGE BPE BDE ∠=∠=∠，∵BE BE =，∴BDE BPE ≌，∴BD BP =，∵AB BM =，∴AD PM =，∵90ACM CNP M ∠=∠=∠=︒，∴四边形CMPN 是矩形，∴CN PM AD ==，PN CM AC ==，∵90,A PNG EGN ADC ∠=∠=︒∠=∠，∴ADC NGP ≌，∴AD NG =，∴NG CN =，∴12AD CN CG CG ==．八、（本大题满分14分）23.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线2x =，且与y 轴相交于点()0,5C．（1）求抛物线2y x bx c =++的表达式；（2）如图2，点,A B 在x 轴上（B 在A 的右侧），且()03,1OA t t AB =<<=，过点A ，B 分别作x 轴的垂线交抛物线于点,D E ，连接,,CD CE DE ，并延长AD 交CE 于点F ．①求DF 的长（用含t 的代数式表示）；②若CDF 的面积记作1,S EDF △的面积记作2S ，记21S S S -=，则S 是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由．【答案】（1）245y x x =-+（2）①DF t =；②S 有最大值，最大值为18【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式：（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）①先求出点()2,45D t t t -+，点()21,22E t t t +-+，再直线CE 的解析式，可得点()2,35F t t t -+，即可求解；②分别过点,E C 作,ME DF CN DF ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，则,1CN t ME ==，可得2211122S t S S t ==--，再根据二次函数的性质，即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线2x =，且与y 轴相交于点()0,5C ．∴225b c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，∴45b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为245y x x =-+；【小问2详解】解：①∵()03,1OA t t AB =<<=，∴1OB t =+，∴点()(),0,1,0A t B t +，当x t =时，245y t t =-+，∴点()2,45D t t t -+，当1x t =+时，()()22141522y t t t t =+-++=-+，∴点()21,22E t t t +-+，设直线CE 的解析式为11y k x b =+，∴()21111225k t b t t b ⎧++=-+⎨=⎩，解得：1135k t b =-⎧⎨=⎩，∴直线CE 的解析式为()35y t x =-+，当x t =时，()23535y t t t t =-+=-+，∴点()2,35F t t t -+，∴()()223545DF t t t t t =-+--+=；②S 有最大值，最大值为18，如图，分别过点,E C 作,ME DF CN DF ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，则,1CN t ME ==，∴2211111,2222S DF ME t S DF CN t =⨯==⨯=，∴()22221111111222228S S S t t t t t ⎛⎫=-=-=--=--+ ⎪⎝⎭，∵102-<，∴当12t =时，S 取得最大值，最大值为18．。