北师大版八年级数学下 第六章《平行四边形》单元测试卷(含答案)
(北师大版)西安市八年级数学下册第六单元《平行四边形》检测题(含答案解析)
一、选择题1．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC是对角线，则CAB∠的大小是（）A．22.5︒B．21.5︒C．23.5︒D．24.5︒2．一个多边形的每个外角都等于相邻内角的13，这个多边形为（）A．六边形B．八边形C．十边形D．十二边形3．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB ＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．12 B．11 C．10 D．94．已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°5．已知如图：为估计池塘的宽度BC，在池塘的一侧取一点A，再分别取AB、AC的中点D、E，测得DE的长度为20米，则池塘的宽BC的长为（）A．30米B．60米C．40米D．25米6．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形7．如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A ．AB //CD,AB CD =B ．,AB CD AD BC ==C ．B DAB 180,AB CD ︒∠+∠==D ．B D,BCA DAC ∠=∠∠=∠8．如图，□ABCD 中，AB =3，BC =5，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，则CE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．如图所示，EF 过▱ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB ＝4，BC ＝5，OE ＝1.5，那么四边形EFCD 的周长是( )A ．10B ．11C ．12D ．13 10．如图，M 是正五边形ABCDE 的边CD 延长线上一点．连接AD ，则ADM ∠的度数是( )A ．108︒B ．120︒C ．144︒D ．150︒ 11．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边BC 于点E ，已知AD ＝7，CE ＝3，则AB 的长是（ ）A ．7B ．3C ．3.5D ．412．如图，已知ABC ∆周长为1，连接ABC ∆三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，则第2020个三角形的周长是（ ）A ．201912B ．202012 C ．12019 D ．12020二、填空题13．如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，4AB =，2DC =．对于MN 的长，给出了四种猜测：①4MN =；②3MN =；③2MN =；④1MN =．猜测错误的是（______） A ．① B ．② C ．③ D ．④14．如图，已知正五边形ABCDE ，过点A 作CD 的平行线，交CB 的延长线于点F ，点P 在正五边形的边上运动，运动路径为A B C D →→→．当AFP 为等腰三角形时，则AFP 的顶角为______度．15．正五边形每个内角的度数是_______．16．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则A DB '∠=________．17．△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为______．18．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m．19．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝320°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是_____．20．如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有______次．三、解答题21．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=6，BC=16，AB=8，∠ABC=60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）设△BPQ的面积为s，求s与t之间的函数关系式；（2）当t=时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；（3）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？22．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多720 ，求该多边形的边数；（2）如图，已知AD是ABC的角平分线，CE是ABC的高，AD与CE相交于点F ，30CAD ∠=︒，50B ∠=︒，求ADC ∠和AFC ∠的度数．23．已知：如图，在BEDF 中，点A 、C 在对角线EF 所在的直线上，且AE CF =．求证：四边形ABCD 是平行四边形．24．如图，在平行四边形AFCE 中，EF 是对角线，B 、D 是直线EF 上的点，且DE BF =．求证：四边形ABCD 是平行四边形．25．如图，五边形ABCDE 的内角都相等，EF 平分∠AED ．求证：EF ⊥BC ．26．如图，在四边形ABCD 中，A ∠与C ∠互补，ABC ∠、ADC ∠的平分线分别交CD 、AB 于点E 、F ．//EG AB ，交 BC 于点 G ，（1）1∠与2∠有怎样的数量关系？为什么？（2）若100A ∠=︒，142∠=︒，求CEG ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】求出正八边形的内角和，算出每个内角的度数，再根据△ABC 为等腰三角形以及内角和为180°，可求出∠CAB 的大小【详解】解：∵正八边形的内角和为：()8-2180=1080⨯︒︒每个内角的度数为10808=135︒÷︒又∵AB =BC∴△ABC 是等腰三角形 ∴()1=180-135=22.52CAB ∠︒︒︒ 故选：A【点睛】本题考查多边形内角和与等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键 2．B解析：B【分析】设一个外角是x ，则一个内角是3x ，列得3x+x=180°，求得x ，再用外角和360°除以x 即可得到答案．【详解】设一个外角是x ，则一个内角是3x ，3x+x=180°，解得：x=45°，由于多边形的外角和为360°，则边数为360°÷45°=8，故选：B ．【点睛】此题考查多边形内角与外角互补计算，多边形外角和，求多边形边数，熟记多边形外角与内角的关系是解题的关键．3．A解析：A【分析】延长BN 交AC 于D ，证明△ANB ≌△AND ，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．【详解】解：延长BN 交AC 于D ，在△ANB 和△AND 中，90NAB NAD AN ANANB AND ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△ANB ≌△AND ，∴AD=AB=8，BN=ND ，∵M 是△ABC 的边BC 的中点，∴DC=2MN=4，∴AC=AD+CD=12，故选：A ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．A解析：A【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C ，∵∠A+∠C=110°，∴∠A=∠C=55°，∴∠B=125°．故选：A．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．5．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理可得DE=12BC，代入数据可得答案．【详解】解：∵线段AB，AC的中点为D，E，∴DE=12BC，∵DE=20米，∴BC=40米，故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C符合题意；D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．【详解】根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．故选C．【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．8．B解析：B【分析】利用平行四边形性质得∠DAE=∠BEA，再利用角平分线性质证明△BAE是等腰三角形,得到BE=AB即可解题.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=3，∴CE=BC-BE=5-3=2，故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,属于简单题,熟悉平行线加角平分线得到等腰三角形这一常用解题模型是解题关键.9．C解析：C【解析】试题根据平行四边形的性质，得AO=OC，∠EAO=∠FCO，又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OF=OE=1.5，CF=AE，根据平行四边形的对边相等，得CD=AB=4，AD=BC=5，故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD=OE+OF+AE+ED+CD=1.5+1.5+5+4=12．故选C.10．A解析：A【分析】根据多边形的内角和公式求出正五边形的五个角的度数之和，进而求出每个内角的度数，即可得出∠ADE的度数，再根据正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数，然后根据角的和差关系计算即可．【详解】正五边形的内角和为：(5-2)×180°=540°，∴∠E=540÷5=108°，∵AE=DE，∴∠ADE=1×(180°−∠E)=36°，2由多边形的外角和等于360度可得∠EDM=360°÷5=72°，∴∠ADM=∠ADE+∠EDM=36°+72°=108°．故选：A．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度，相邻的内角与外角和等于180度等知识点．11．D解析：D【分析】先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而由EC的长求出BE即可解答．【详解】解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=7，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∵EC=3，∴BE=BC-EC=7-3=4，∴AB=4，故选D．【点睛】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB 是解决问题的关键．12．A解析：A【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解．【详解】根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半， 那么第二个三角形的周长=△ABC 的周长1111222⨯=⨯=， 第三个三角形的周长=△ABC 的周长2211112222⎛⎫⨯⨯== ⎪⎝⎭， ，第n 个三角形的周长112n -=， ∴第2020个三角形的周长201912=．故选：A ．【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第n 个三角形的周长与第一个三角形的周长的规律．二、填空题13．ABD 【分析】连接BD 取BD 中点G 连接MGNG 根据三角形中位线平行且等于第三边的一半可得：AB ＝2MGDC ＝2NG 再根据三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边即可得出MN 的取值范围继而即可求解【解析：ABD【分析】连接BD ，取BD 中点G ，连接MG 、NG ，根据三角形中位线平行且等于第三边的一半可得：AB ＝2MG ，DC ＝2NG ，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可得出MN 的取值范围，继而即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，取BD 中点G ，连接MG 、NG ，∵点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴MG 是△ABD 的中位线，NG 是△BCD 的中位线，∴AB ＝2MG ，DC ＝2NG ，∵4AB =，2DC =，∴MG =2，NG =1，由三角形三边关系：MG －NG ＜MN ＜MG ＋NG ，∴1＜MN ＜3，∴③2MN =猜测正确，故答案为：ABD ．【点睛】本题考查三角形中位线定理及三角形三边关系，熟练掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解题的关键是根据不等关系作辅助线构造以MN 为一边的三角形．14．36或72或108【分析】根据题意可以分情况谈论：①当AP=AF ；②当PF=FA ；③当FA=PF ；分别求其顶角的度数；【详解】解：易知正五边形的内角为：；∴∠CBA=108°=∠BAE ∴∠ABF=1解析：36或72或108【分析】根据题意可以分情况谈论：①当AP=AF ；②当PF=FA ；③当FA=PF ；分别求其顶角的度数；【详解】 解：易知正五边形的内角为：540=1085︒︒ ； ∴∠CBA=108°=∠BAE ，∴∠ABF=180°-108°=72°， ∠BAF=180108362︒-︒=︒ ， ∴∠BFA=180°-72°-36°=72°；∴AB=AF ， 若P 在AB 边上，不可能有PF=FA ，①若PA=PF ，则∠PAF=∠PFA=36°，∴顶角为∠APF=180°-36°×2=108°；②若PA=AF ，则P 与B 重合，此时顶角为∠PAF=36°；若P 在BC 边上，连接AC ，易知AC=CF ，不存在PA=AF ；①若PF=FA ，此时顶角为∠ PFA=72°，②若PA=PF ，则P 与C 重合，顶角为36°；若P 在CD 上，不存在等腰三角形；综上：顶角为108°或36°或72°；故答案为：36或72或108；【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式和三角形的内角和问题，要注意分类讨论的问题，不要遗漏.15．【分析】先求出正n 边形的内角和再根据正五边形的每个内角都相等进而求出其中一个内角的度数【详解】解：∵正多边形的内角和为∴正五边形的内角和是则每个内角的度数是故答案为：【点睛】此题主要考查了多边形内角 解析：108︒【分析】先求出正n 边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【详解】解：∵正多边形的内角和为2180()n -⨯︒，∴正五边形的内角和是5218540(0)-⨯︒=︒，则每个内角的度数是5405108︒÷=︒．故答案为：108︒【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．16．10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=45°再利用三角形的内角和求解【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=×90°=45°∴∠ADC解析：10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA ′D=50°，∠ACD=∠A ′CD=45°，再利用三角形的内角和求解．【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°，∠ACD=∠A′CD=12×90°=45°， ∴∠ADC=∠A′DC=180°−45°−50°=85°，∴∠A′DB=180°−85°×2=10°．故答案为：10°．【点睛】本题利用对折考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 17．18【解析】∵点DE 分别是△ABC 的边ABAC 的中点∴DE 是△ABC 的中位线∴AB=2AD=2×3=6AC=2AE＝2×2=4BC=2DE=2×4=8∴AB+AC+BC=18即△ABC的周长为18故解析：18【解析】∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2AD=2×3=6，AC=2AE＝2×2=4，BC=2DE=2×4=8，∴AB+AC+BC=18，即△ABC的周长为18，故答案为18.【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理的内容是解题的关键. 18．100【分析】先判断出DE是△ABC的中位线再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE问题得解【详解】∵点DE分别是ACBC的中点∴DE是△ABC的中位线∴AB=2DE=2解析：100【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×50=100米．故答案为100．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．19．70°【分析】根据五边形的内角和等于540°由∠A+∠B+∠E＝320°可求∠BCD+∠CDE的度数再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和进一步求得∠CPD的度数【详解】解：∵五边形的内解析：70°【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝320°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠CPD的度数．【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝320°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣320°＝220°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD＝12（∠BCD+∠CDE）＝110°，∴∠CPD＝180°﹣110°＝70°．故答案是：70°．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．20．3【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=12AD∥BC∵四边形PDQB 是平行四边形∴PD=BQ∵P的速度是1cm/秒∴两点运动的时间为12÷1=12s∴Q 运动的路程为12×4=48cm∴解析：3【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12,AD∥BC，∵四边形PDQB是平行四边形，∴PD=BQ，∵P的速度是1cm/秒，∴两点运动的时间为12÷1=12s，∴Q运动的路程为12×4=48cm，∴在BC上运动的次数为48÷12=4次．第一次PD=QB时，12−t=12−4t，解得t=0，不合题意，舍去；第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12−t=4t−12，解得t=4.8；第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12−t=36−4t，解得t=8；第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12−t=4t−36，解得t=9.6.∴在运动以后，以P、D. Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，故答案为3.点睛：本题考查了平行四边形的判定．注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．三、解答题21．（1）S＝−t＋（0＜t≤6）；（2）103；（3）2秒或143秒【分析】（1）作AM⊥BC于M，求出∠BAM＝30°，由直角三角形的性质得出BM＝12AB＝4，＝，由题意得CQ＝2t，得出BQ＝BC−CQ＝16−2t，由三角形面积公式即可得出答案；（2）由题意得；AP＝t，CQ＝2t，则PD＝AD−AP＝6−t，由梯形面积公式求出四边形PQCD的面积＝12（PD＋CQ）×AM＝12（6−t＋2t）×43，由题意得出方程，解方程即可；（3）有两种情况，①当Q运动到E和B之间，②当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD＝QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．【详解】解：（1）作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝12AB＝4，AM3BM＝3由题意得：CQ＝2t，∴BQ＝BC−CQ＝16−2t，∴S＝12BQ×AM＝12（16−2t）3＝−3＋3即S＝−3＋30＜t≤6）；（2）由题意得；AP＝t，CQ＝2t，则PD＝AD−AP＝6−t，∵AD∥BC，∴梯形PQCD的面积＝12（PD＋CQ）×AM＝12（6−t＋2t）3＝33，∵△BPQ的面积＝四边形PQCD的面积相等，∴3＋333t，解得：t＝103，即t＝103时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；故答案为：103；（3）解：∵AD∥BC，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，PD＝EQ，∵E是BC的中点，∴BE ＝CE ＝12BC ＝8， 分两种情况： ①当Q 运动到E 和B 之间，则得：2t−8＝6−t ，解得：t ＝143， ②当Q 运动到E 和C 之间，则得：8−2t ＝6−t ，解得：t ＝2，综上所述，当运动时间t 为2秒或143秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握梯形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．22．（1）该多边形的边数为8；（2）80ADC ∠=︒；120AFC ∠=︒．【分析】（1）根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立关于边数的方程，求解即可； （2）根据角平分线的性质得到30CAD BAD ∠=∠=︒，再由三角形的外角性质可得ADC BAD B ∠=∠+∠，根据CE 是ABC 的高及三角形的外角性质可得AFC BAD AEF ∠=∠+∠．【详解】解：（1）设该多边形的边数为n ，由已知，得(2)180360720n -︒=︒+︒，解得8n =，∴该多边形的边数为8；（2）∵AD 是ABC 的角平分线，且30CAD ∠=︒，∴30CAD BAD ∠=∠=︒，60BAC ∠=︒，又∵50B ∠=︒，∴80ADC BAD B ∠=∠+∠=︒，∵CE 是ABC 的高，∴90AEF ∠=︒，∴120AFC BAD AEF ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查多边形的内角与外角、三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的内角和定理及三角形外角的性质．23．见解析.【分析】如图，连接BD ，交AC 于点O ．由平行四边形的对角线互相平分可得OD OB =，OE OF =,结合已知条件证得OA OC =，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD 是平行四边形.【详解】如图，连接BD ，交AC 于点O ．∵四边形BEDF 是平行四边形，∴OD OB =，OE OF =．又∵AE CF =，∴AE OE CF OF +=+，即OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定，作出辅助线，证明OD OB =、OA OC =是解决问题的关键.24．见解析【分析】连接AC 交BD 于点O ，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC ，OE=OF ，然后求出OB=OD ，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．【详解】连接AC 交BD 于点O ，如图所示：∵四边形AFCE 是平行四边形，∴OA=OC ，OE=OF ，∵DE=BF ，∴OE+DE=OF+BF ，即OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出OB=OD 是解题的关键．25．证明见详解【分析】根据多边形内角和度数可得每一个角的度数，然后再利用四边形DFBC 内角和计算出∠EFC的度数即可证明．【详解】解：解：∵五边形ABCDE 的内角都相等，∴∠C=∠D=∠AED=180°×（5-2）÷5=108°， 又 EF 平分∠AED ∴°1542FED AED ∠=∠= ∴在四边形DFBC 中°=360-D-C-FED EFC ∠∠∠∠=90°∴EF ⊥BC【点睛】此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n 为整数）．26．（1）1∠与2∠互余，理由见解析；（2）4°【分析】（1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出∠1+∠2=90°；（2）根据∠A 与∠C 互补可得∠C 的度数，根据∠1与∠2互余可得∠2的度数，根据平行线的性质可得∠ABE 的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可．【详解】解：（1）1∠与2∠互余，理由如下：四边形ABCD 内角和为360，180A C ∠+∠=360180180ABC ADC ∴∠+∠=-= BC 、DF 平分ABC ∠、ADC ∠112ADC ∴∠=∠，12ABE ABC ∠=∠ //EG AB2ABE ∴∠=∠11129022ADC ABC ∴∠+∠=∠+∠= 即1∠与2∠互余（2）100A ∠=，142∠=∴80C ∠=，248∠=48ABE CBE ∴∠=∠=180488052BEC ∴∠=--=52484CEG ∴∠=-=【点睛】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义；弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》检测卷(包含答案解析)(4)
一、选择题1．下列命题是假命题的是（ ）A ．三角形的外角和是360°B ．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C ．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等2．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C ．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D ．有两组对角相等的四边形是平行四边形3．若一个正多边形的每个内角度数都为135°，则这个正多边形的边数是（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．124．如图，在周长为20厘米的平行四边形ABCD 中，AB ADAC BD ≠，，相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，则ABE △的周长为（ ）A ．10厘米B ．12厘米C ．14厘米D ．16厘米 5．如图，AD 、BE 分别是ABC 的中线和角平分线，AD BE ⊥，4AD BE ==，F 为CE 的中点，连接DF ，则AF 的长等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．256．如图，在ABCD 中，AD= 10，点M 、N 分别是BD 、CD 的中点，则MN 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．不能确定 7．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交CD 边于E ，AD ＝3，EC ＝2，则AB的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．58．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于12 AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB 9．一个多边形每个外角都等于30°，则这个多边形是几边形( )A．9 B．10 C．11 D．1210．如图，在□ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )A．7 B．10 C．11 D．1211．正多边形的一个外角的度数为72°，则这个正多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．712．如图，平行四边形ABCD的对角线,AC BD相交于点O，且14,5AC BD CD+==，则ABO∆周长是（）A．10B．14C．12D．22二、填空题13．如图，小亮从点A出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°…… 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，共走了_____米．14．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，∠BCD的平分线交AD点E，若CD=3，四边形ABCE 的周长为13，则BC 长为__．15．某数学学习小组发现：通过连多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角钱共有3条，那么该多边形的内角和是______度．16．现有①正三角形、②正方形、③正五边形三种形状的地砖，只选取其中一种地砖镶嵌地面，不能进行地面镶嵌的有___________（填序号）．17．如图，在ABCD 中，E 为边BC 延长线上一点，且2CE BC =，连结AE 、DE .若ADE 的面积为1，则ABE △的面积为____.18．一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是边形__________边形．19．如图，1角硬币边缘镌刻的是正九边形，则这个正九边形每个内角的度数是________．20．如图，将平行四边形OABC 放置在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，若点C 的坐标是()1,3，点A 的坐标是()5,0，则点B 的坐标是________．三、解答题21．如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作MN ∥BC ．分别交AB 、AC 于M 、N ．（1）求证：BM+CN＝MN．（2）如图2，若△ABC是等边三角形，请从以下两个问题任选一题作答．若两题都作答，以问题①计分．问题①BC＝6，求MN的长．问题②求证：O是MN的中点．22．已知一个多边形，它的内角和等于1800︒，求这个多边形的边数．=．求23．已知：如图，在BEDF中，点A、C在对角线EF所在的直线上，且AE CF证：四边形ABCD是平行四边形．OA=，24．如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中4 OB=，63AD=，E是线段OD的中点．（1）直接写出点C，D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，P为AB上一个点，将线段CP绕点C逆时针旋转90°得到线段CD，连接PD，BD ．（1）判断BD与AP的关系，并证明你的结论．（2）如图2，设点B关于直线CP的对称点为E，连接BE，CE．① 依题意补全图2；② 证明：BE∥CD；③ 当四边形CDBE为平行四边形时，求AP的长．26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC=8，CD=5，则CE= ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据三角形外角和的性质即可对A进行判断；根据垂直平分线的性质即可对B进行判断；根据等边三角形的判定即可对C进行判断；根据三角形全等的证明即可对D进行判断；【详解】A、三角形的外角和为360°，故A正确；B、垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故B正确；C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故C正确；D、由两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故D错误；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理，命题的真假是就命题的内容而言，正确掌握定理是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A 不符合题意；B 、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B 不符合题意；C 、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C 符合题意；D 、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 3．B解析：B【分析】根据题意可先求出这个正多边形的每个外角度数，再根据多边形的外角和是360°即可求出答案．【详解】解：因为一个正多边形的每个内角度数都为135°，所以这个正多边形的每个外角度数都为45°，所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选：B ．【点睛】本题考查了正多边形的有关概念和多边形的外角和，属于基本题目，熟练掌握多边形的基本知识是解题的关键．4．A解析：A【分析】由平行四边形求出OB=OD ，再利用等腰三角形的三线合一求出BE=DE 由此即可求出ABE △的周长.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =．∵OE BD ⊥，∴BE DE =，∴ABE △的周长为20210AB AE BE AB AE DE AB AD ++=++=+=÷=（厘米），故选：A.【点睛】此题考查平行四边形的对角线互相平分、对边相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质. 5．D解析：D【分析】已知AD是ABC的中线，F为CE的中点，可得DF为△CBE的中位线，根据三角形的中位线定理可得DF∥BE，DF=12BE=2；又因AD BE⊥，可得∠BOD=90°，由平行线的性质可得∠ADF=∠BOD=90°，在Rt△ADF中，根据勾股定理即可求得AF的长.【详解】∵AD是ABC的中线，F为CE的中点，∴DF为△CBE的中位线，∴DF∥BE，DF=12BE=2；∵AD BE⊥，∴∠BOD=90°，∵DF∥BE，∴∠ADF=∠BOD=90°，在Rt△ADF中，AD=4，DF=2，∴22224225AD DF+=+=故选D.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及勾股定理，利用三角形的中位线定理求得DF∥BE，DF=12BE=2是解决问题的关键.6．B解析：B【分析】利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=10，∵点M、N分别是BD，CD的中点，∴MN=12BC=5，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．7．D解析：D【分析】首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，AB=CD，∴∠DEA=∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=3，∴CD=CE+DE=2+3=5，∴AB=5．故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．8．D解析：D【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．【详解】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题．9．D解析：D【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数计算即可．【详解】∵一个多边形的每个外角都等于30°，外角和为360°，∴n=360°÷30°=12，故选D．【点睛】本题主要考查了多边形外角和、利用外角求正多边形的边数的方法，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明10．B解析：B【分析】由平行四边形的性质得出DC=AB=4，AD=BC=6，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB=4，AD=BC=6，∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE=CE，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6+4=10；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．11．B解析：B【分析】正多边形的外角和是360°，且正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．【详解】∵正多边形的外角和是360°，∴360÷72＝5，那么它的边数是5．故选B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟练掌握．12．C解析：C【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，AB=CD=5，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，AB=CD=5，∵AC+BD=14，∴AO+BO=7，∴△ABO的周长是：AO+BO+ AB=7+5=12．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO的值是解题关键．二、填空题13．【分析】根据多边形的外角和=360°求解即可【详解】解：∵多边形的外角和为360°∴边数==12即12×15米=180米故答案为：180【点睛】本题考查了多边形的外角和能熟记多边形的外角和定理是解此解析：【分析】根据多边形的外角和=360°求解即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360°，∴边数=360=12，30即12×15米=180米，故答案为：180．【点睛】本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°．14．5【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行进而得出DE=CD=3再求出AE+BC=7BC-AE=3即可求出BC的长【详解】∵CE平分∠BCD交AD边于点E∴∠ECD=∠ECB∵在平行四边形ABCD解析：5【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出DE=CD=3，再求出AE+BC=7，BC-AE=3，即可求出BC的长．【详解】∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD=∠ECB，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC，∠D=∠B=60°，∴∠DEC=∠ECB，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=CD=3，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD=3，∵四边形ABCE的周长为13，∴AE+BC=13-3-3=7①，∵AD-AE═DE=3，即BC-AE=3②，由①②得：BC=5；故答案为：5．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠DEC=∠DCE是解题关键．15．720【分析】由多边形的一个顶点出发的对角线共有（n-3）条可求出边数然后求内角和【详解】∵多边形的一个顶点出发的对角线共有（n-3）条∴n-3=3∴n=6∴内角和=（6-2）×180°=720°故解析：720【分析】由多边形的一个顶点出发的对角线共有（n-3）条可求出边数，然后求内角和．【详解】∵多边形的一个顶点出发的对角线共有（n-3）条，∴n-3=3，∴n=6，∴内角和=（6-2）×180°=720°，故答案是：720．【点睛】本题运用了多边形的内角和定理，关键是要知道多边形的一个顶点出发的对角线共有（n-3）条．16．③【分析】根据正多边形的内角度数解答即可【详解】∵正三角形的每个内角都是60度能将360度整除故可以用其镶嵌地面；∵正方形的每个内角都是90度能将360度整除故可以用其镶嵌地面；∵正五边形的每个内角解析：③【分析】根据正多边形的内角度数解答即可.【详解】∵正三角形的每个内角都是60度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；∵正方形的每个内角都是90度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；∵正五边形的每个内角都是108度，不能将360度整除，故不可以用其镶嵌地面，故答案为：③.【点睛】此题考查正多边形的性质，镶嵌地面问题，正确计算正多边形的每个内角的度数与360度的整除关系是解题的关键.17．3【分析】首先根据平行四边形的性质可得AD=BC 又由可得BE=3BC=3AD 和的高相等即可得出的面积【详解】解：∵∴AD=BCAD ∥BC ∴和的高相等设其高为又∵∴BE=3BC=3AD 又∵∴故答案为3解析：3【分析】首先根据平行四边形的性质，可得AD=BC ，又由2CE BC =，可得BE=3BC=3AD ，ADE 和ABE △的高相等，即可得出ABE △的面积.【详解】解：∵ABCD ， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∴ADE 和ABE △的高相等，设其高为h ，又∵2CE BC =，∴BE=3BC=3AD ，又∵1=12ADE S AD h =△，1=2ABE S BE h △ ∴11=3322ABE S BE h AD h =⨯=△ 故答案为3.【点睛】此题主要考查利用平行四边形的性质进行等量转换，即可求得三角形的面积.18．八【分析】首先设这个多边形的边数为n 由n 边形的内角和等于180（n-2）即可得方程180（n-2）=1080解此方程即可求得答案【详解】解:设这个多边形的边数为n 根据题意得:180（n-2）=108解析：八【分析】首先设这个多边形的边数为n,由n 边形的内角和等于180︒（n-2）,即可得方程180（n-2）=1080,解此方程即可求得答案．【详解】解:设这个多边形的边数为n,根据题意得:180（n-2）=1080,解得:n=8,故答案为:八．【点睛】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单,注意熟记公式是准确求解此题的关键,注意方程思想的应用．19．140°【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和再求出每一个内角的度数【详解】解：该正九边形内角和=180°×（9-2）=1260°则每个内角的度数=故答案为：140°【点睛】本题主要考解析：140°【分析】先根据多边形内角和定理：180(2)n ︒•-求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【详解】解：该正九边形内角和=180°×（9-2）=1260°，则每个内角的度数=12601409︒=︒． 故答案为：140°．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n-2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和． 20．【分析】利用平行四边形的性质即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA=BCOA ∥BC ∵A （50）∴OA=BC=5∵C （13）∴B （63）故答案为：（63）【点睛】本题考查平行四边解析：()6,3【分析】利用平行四边形的性质即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=BC ，OA ∥BC ，∵A （5，0），∴OA=BC=5，∵C （1，3），∴B （6，3），故答案为：（6，3）．【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．（1）见解析；（2）①MN=4；②见解析【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质可证得∠MOB=∠MBO ，∠NOC=∠NCO ，再根据等角对等边的性质可得BM=MO ，CN=ON ，再由MO+ON=MN 即可证得结论；（2）①过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，可证得四边形MEFN为平行四边形，可得MN=EF，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，进而有∠BME=∠CNF=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可证得BE=12BM，CF=12CN，由BC=BE+EF+CF和BM+CN=MN可得BC=32MN，即可求得MN的长；②过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，可证得四边形MEFN为平行四边形，可得ME=NF，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，再根据全等三角形的判定可证得△MEB≌△NFC，则有BM=CN，由（1）中BM=MO，CN=ON可得MO=ON，即可证得结论．【详解】（1）证明：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=∠MBO，∠OCB=∠NCO，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，∴BM=MO，CN=ON，∴BM+CN=MO+ON=MN，即BM+CN =MN；（2）若选①，解：如图2，过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则ME∥NF,∠MEB=∠NFC=90°，∵MN∥BC，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN=EF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∠MEB=∠NFC=90°，∴∠BME=∠CNF=30°，∴BE=12BM，CF=12CN，∵BC=BE+EF+CF=12BM+MN+12CN=32MN=6，∴MN=4；若选②，证明：如图2，过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则ME∥NF，∠MEB=∠NFC=90°∵MN∥BC，∴四边形MEFN为平行四边形，∴ME=NF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∠MEB=∠NFC=90°，∴△MEB ≌△NFC （AAS ），∴BM=CN ，∵ BM=MO ，CN=ON∴MO=ON ，即O 为MN 的中点．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各知识点的运用，借助作辅助线进行计算或证明解答的关键．22．十二边形．【分析】设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和定理即可列方程求解．【详解】解：设这个多边形是n 边形，根据题意得：()21801800n ︒︒-⨯=， 解得：12n =．故这个多边形是十二边形．【点睛】解题的关键是读懂题意，根据多边形的内角和：180°（n-2），正确列方程求解． 23．见解析.【分析】如图，连接BD ，交AC 于点O ．由平行四边形的对角线互相平分可得OD OB =，OE OF =,结合已知条件证得OA OC =，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD 是平行四边形.【详解】如图，连接BD ，交AC 于点O ．∵四边形BEDF 是平行四边形，∴OD OB =，OE OF =．又∵AE CF =，∴AE OE CF OF +=+，即OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定，作出辅助线，证明OD OB =、OA OC =是解决问题的关键.24．（1）C (3，0)，D (6，4)；（2）存在，1N (3，6)，2N (9，2)，3N (3-，2-)【分析】（1）根据平行四边形的性质可求得OC 的长，从而求得点C ，D 的坐标；（2）分AD 为对角线，DE 为对角线，AE 为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式即可求解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=6，∵OB=3，∴OC=6-3=3，∴点C 的坐标为(3，0)，点D 的坐标为(6，4)；（2）存在，理由如下：∵E 是线段OD 的中点，∴点E 的坐标为(602+，402+)，即(3，2)， 设点N 的坐标为(x ，y )，当AD 为对角线时，36022x ++=，242y +=， 解得：3x =，6y =，∴1N 的坐标为(3，6)；当DE 为对角线时，06322x ++=，44222y ++=， 解得：9x =，2y =，∴2N 的坐标为(9，2)；当AE 为对角线时，60322x ++=，40222y ++=， 解得：3x =-，2y =-，∴3N 的坐标为(3-，2-) ．【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按对角线进行分类讨论，画出图形再计算．25．（1）BD ⊥AP ，BD =AP ，证明见解析；（2）①见解析；②见解析；③2【分析】（1）由旋转的性质及题意易得△ACP ≌△PCD ，进而问题得证；（2）①根据题意直接作图即可；②根据轴对称的性质及题意可直接得证；③由（1）及平行四边形的性质可得AP =BD ，然后根据对称可求解．【详解】解：（1）结论：BD ⊥AP ，BD =AP证明：∵∠ACB =90°，∠PCD =90°∴ ∠ACP =∠BCD ， ∠A =∠ABC =45°∵AC =BC ，PC =DC∴△ACP ≌△BCD∴BD =AP ， ∠A =∠CBD =45°∴ ∠ABD =∠ABC+∠CBD=90°∴BD ⊥AP（2）① 如图② ∵点B关于直线CP的对称点为E∴CG⊥BE∵∠PCD=90°即CG⊥CD∴BE∥CD③∵四边形CDBE为平行四边形∴BD=CE由（1）可得AP=BD∵B、E关于直线CP的对称∴BC=CE∴AP=BC=2．【点睛】本题主要考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．26．（1）见解析；（2）3．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；根据平行四边形的性质可知AB=CD=5，AD∥BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAE=∠BEA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．【详解】（1）如图所示：E点即为所求．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE是∠A 的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴BE=BA=5，∴CE=BC﹣BE=3．考点：作图—复杂作图；平行四边形的性质。
北师大版八年级下册数学第六章单元平行四边形测试卷
八年级下册数学北师大版第六章单元测试卷时间:60分钟满分:120分一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)1.若一个多边形的内角和等于1 260°,则该多边形的边数是()A.8B.9C.10D.112.如图,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F,G分别是AD,AE的中点,且FG=2 cm,则BC的长度是() A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm第2题图第3题图第4题图3.如图,在▱ABCD中,∠ABC的平分线BM交CD于点M,且MC=2,▱ABCD的周长是14,则DM等于()A.1B.2C.3D.44.如图,直线a∥b,点A,B位于直线a上,点C,D位于直线b上,且AB∶CD=1∶2,若△ABC的面积为6,则△BCD的面积为()A.6B.8C.10D.125.下列说法正确的有()①对角线互相平分的四边形是平行四边形;②平行四边形的对角互补;③平行线间的线段相等;④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形;⑤平行四边形的四内角之比可以是2∶3∶2∶3.A.1个B.2个C.3个D.4个,则这个正多边形是() 6.正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的14A.正十二边形B.正十边形C.正八边形D.正六边形7.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,点D ,E 分别是边AB ,AC 的中点,延长BC 到点F ,使CF=12BC.若AB=10,则EF 的长是( )A.6B.5C.3D.528.四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,给出下列四组条件:①AB ∥CD ,AD ∥BC ;②AB ∥CD ,∠BAD=∠BCD ;③AO=CO ,BO=DO ;④AB ∥CD ,AD=BC.一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件有 ( ) A.1组 B.2组 C.3组D.4组9.如图1,点A 1,B 1,C 1是△ABC 三边的中点;如图2,点A 2,B 2,C 2是△A 1B 1C 1三边的中点;如图3,点A 3,B 3,C 3是△A 2B 2C 2三边的中点……按照这样的规律,则第n 个图形中平行四边形的个数是 ( ) A .n +1B .3nC .3n +1D .n图1 图2 图3第9题图 第10题图10.如图,在▱ABCD 中,∠DBC=45°,DE ⊥BC 于点E ,BF ⊥CD 于点F ,DE ,BF 交于点H ,延长BF 与AD 的延长线交于点G ,下面给出四个结论:①BD=√2BE ;②∠A=∠BHE ;③AB=BH ;④△BCF ≌△DCE.其中正确的结论是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分)11.如图,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,两条对角线的和为18,AD 的长为8,则△OBC 的周长为 .第11题图第12题图第13题图12.如图,在△ABC中,AB=BC,D,E,F分别是BC,AC,AB边的中点.若AB=12 cm,则四边形BDEF的周长为.13.如图,E是平行四边形ABCD边BC上一点,且AB=BE,连接AE并延长与DC的延长线交于点F.若∠F=65°,则∠D的度数是.14.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,作DE∥AB交直线AC于点E.若AC=7,DE=5,则DF=.15.在平面直角坐标系中,已知A(0,0),B(4,0),C(3,3),若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为.16.如图,平行四边形ABCD中,∠B=30°,AB≠BC,将△ABC沿AC翻折至△AB'C,连接B'D.若AB=2√3,∠AB'D=75°,则BC=.三、解答题(本大题共6小题,共72分)17.(10分)一个多边形的内角和与外角和相加正好是一个九边形的内角和,试求这个多边形的边数.18.(10分)如图,在△ABC中,中线BD,CE相交于点O,F,G分别为OB,OC的中点.求证:四边形DEFG为平行四边形.19.(12分)在一次课题学习中,老师让同学们合作编题.某学习小组受赵爽弦图的启发,编写了下面这道题,请你来解一解.如图,将平行四边形ABCD的四边DA,AB,BC,CD分别延长至点E,F,G,H,使得AE=CG,BF=DH,连接EF,FG,GH,HE.求证:四边形EFGH为平行四边形.20.(12分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,连接DE.(1)求证:DE⊥BE;(2)设CD与OE交于点F,若OF2+FD2=OE2,CE=3,DE=4,求线段CF的长.21.(13分)如图,在▱ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别在CD,AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB.(1)求证:四边形AFCE是平行四边形;(2)若去掉已知条件∠DAB=60°,(1)中的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.22.(15分)如图,在平面直角坐标系中,AB∥OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),且a,b满足b=√a-21+√21−a+16.一动点P从点A出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动;动点Q从点O出发,在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.点P,Q分别从点A,O同时出发,当点P运动到点B时停止运动,点Q随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)求B,C两点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCB是平行四边形?请求出此时P,Q两点的坐标.(3)当t为何值时,△PQC是以PQ为腰的等腰三角形?请求出此时P,Q两点的坐标.第六章综合能力检测卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B C C D C B B C B A11.1712.24 cm13.50°14.2或1215.(1,-3),(7,3)或(-1,3)16.3+√31.B【解析】设这个多边形的边数为n,由多边形的内角和等于1 260°,可得(n-2)×180°=1 260°,解得n=9.故选B.2.C【解析】在△ADE中,F,G分别是AD,AE的中点,∴FG是△ADE的中位线,∴DE=2FG=4 cm.∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE 是△ABC的中位线,∴BC=2DE=8 cm.故选C.3.C【解析】∵BM是∠ABC的平分线,∴∠ABM=∠CBM.∵AB∥CD,∴∠ABM=∠BMC,∴∠BMC=∠CBM,∴BC=MC=2.∵▱ABCD的周长是14,∴BC+CD=7,∴CD=5,∴DM=CD-MC=3.故选C.4.D【解析】过点C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,∵a∥b,∴CM=BN.∵S△ABC=12BA·CM,S△CDB=12CD·BN,∴S△ABC∶S△CDB=AB∶CD=1∶2.∵△ABC的面积为6,∴△BCD的面积为12.故选D.5.C【解析】①④⑤显然正确;平行四边形的对角相等,故②错误;平行线间的平行线段相等,故③错误.故选C.6.B 【解析】 设该正多边形的一个外角的度数为x ,则与它相邻的内角的度数为4x ,由题意得x+4x=180°,解得x=36°,360°36°=10,所以这个正多边形为正十边形.故选B .7.B 【解析】 由题意知,DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥BC ,DE=12BC ,又∵CF=12BC ,∴DE=CF ,又∵AE=EC ,∠AED=∠ECF=90°,∴△ADE ≌△EFC ,∴EF=AD.∵AD=12AB=5,∴EF=5.故选B .8.C 【解析】 ①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可判定四边形ABCD 是平行四边形;②∵AB ∥CD ,∴∠ABC+∠BCD=180°,又∵∠BAD=∠BCD ,∴∠BAD+∠ABC=180°,∴AD ∥BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形;③根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可判定四边形ABCD 是平行四边形;④由AB ∥CD ,AD=BC ,可得四边形ABCD 是等腰梯形或平行四边形.综上所述,一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的有3组.故选C .9.B 【解析】 题图1中平行四边形的个数为3,题图2中平行四边形的个数为6,题图3中平行四边形的个数为9,依此规律,可知第n 个图形中平行四边形的个数是3n.故选B .10.A 【解析】 在Rt △DBE 中,∠DBC=45°,DE ⊥BC ,∴BE 2+DE 2=BD 2,BE=DE ,∴BD=√2BE ,故①正确;∵DE ⊥BC ,BF ⊥DC ,∴∠BHE+∠HBE=90°,∠C+∠HBE=90°,∴∠BHE=∠C.在▱ABCD 中,∠A=∠C ,∴∠A=∠BHE ,故②正确;在△BEH 和△DEC 中,{∠BHE =∠C,∠HEB =∠CED,BE =DE,∴△BEH ≌△DEC ,∴BH=CD.∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AB=CD ,∴AB=BH ,故③正确;利用已知条件不能得到△BCF ≌△DCE ,故④错误.故选A .11.17 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA=OC ,OB=OD ,BC=AD=8,又∵两条对角线的和为18,∴OB+OC=9,∴△OBC 的周长为9+8=17.12.24 cm 【解析】 因为D ,E ,F 分别是BC ,AC ,AB 边的中点,所以EF ∥BC ,EF=12BC ,ED ∥AB ,ED=12AB ,所以四边形BDEF 为平行四边形.因为AB=BC=12 cm ,所以EF=DE=6 cm .则四边形BDEF 的周长为6×4=24(cm ). 13.50° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥DC ,∠B=∠D ,∴∠BAE=∠F=65°.∵AB=BE ,∴∠BEA=∠BAE=65°,∴∠B=50°,∴∠D=50°. 14.2或12 【解析】 如图1,当点D 在线段BC 上时,∵DE ∥AB ,DF ∥AC ,∴四边形AEDF 是平行四边形,∠FDB=∠C ,∴DE=AF=5.∵AB=AC=7,∴BF=7-5=2,∠B=∠C ,∴∠B=∠FDB ,∴DF=BF=2.如图2,当点D 在BC 的延长线上时,同法可得,DE=AF=5,FB=FD ,∵AB=AC=7,∴DF=FB=5+7=12.综上所述,DF 的值为2或12.15.(1,-3),(7,3)或(-1,3) 【解析】 如图,分三种情况讨论:①AB 为平行四边形的对角线时,点D 1的坐标为(1,-3);②BC 为平行四边形的对角线时,点D 2的坐标为(7,3);③AC 为平行四边形的对角线时,点D 3的坐标为(-1,3).综上所述,点D 的坐标是(1,-3),(7,3)或(-1,3).16.3+√3 【解析】 如图,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD ,BC=AD ,∠B=∠ADC.由折叠的性质,得AB'=AB ,B'C=BC ,∠AB'C=∠B ,∴AB'=CD ,B'C=AD ,∠AB'C=∠ADC.在△AB'C 和△CDA中,{AB'=CD,∠AB'C =∠CDA,B'C =DA,∴△AB'C ≌△CDA (SAS ),∴∠ACB'=∠CAD.设AD ,B'C 相交于点E ,∴AE=CE ,∴△ACE 是等腰三角形.∵B'C=AD ,AE=CE ,∴B'E=DE ,∴∠CB'D=∠ADB',又∵∠AEC=∠B'ED ,∠ACB'=∠CAD ,∴∠ADB'=∠DAC ,∴B'D ∥AC.∵∠AB'C=∠B=30°,∠AB'D=75°,∴∠CB'D=45°.∵B'D ∥AC ,∴∠ACB'=∠CB'D=45°.∵∠ACB=∠ACB',∴∠ACB=45°.过点A 作AG ⊥BC 于点G ,∴AG=CG.∵∠B=30°,∴AG=12AB=√3,∴CG=√3,BG=3,∴BC=BG+CG=3+√3.17.【解析】 设这个多边形的边数为n , 根据题意,得(n-2)·180°+360°=(9-2)×180°, 解得n=7,所以这个多边形的边数为7.18.【解析】 ∵E 为AB 的中点,D 为AC 的中点,∴ED 为△ABC 的中位线, ∴ED ∥BC 且ED=12BC. ∵F ,G 分别为OB ,OC 的中点, ∴FG 为△OBC 的中位线, ∴FG ∥BC 且FG=12BC , ∴ED ∥FG 且ED=FG ,∴四边形DEFG 为平行四边形.19.【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,∠BCD=∠BAD.∵∠HCG=180°-∠BCD,∠EAF=180°-∠BAD,∴∠HCG=∠EAF.∵BF=DH,∴AF=CH,又∵CG=AE,∴△HCG≌△FAE(SAS),∴EF=GH.同理EH=GF,∴四边形EFGH为平行四边形.20.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.∵OB=OE,∴OE=OD,∴∠OED=∠ODE.∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB.∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°,∴∠OEB+∠OED=90°,∴DE⊥BE.(2)由(1)知OE=OD,∵OF2+FD2=OE2,∴OF2+FD2=OD2,∴△OFD为直角三角形,且∠OFD=90°.在Rt△CED中,∠CED=90°,CE=3,DE=4,∴CD2=CE2+DE2,∴CD=5,又∵12CD·EF=12CE·DE,∴EF=125.在Rt△CEF中,∠CFE=90°,CE=3,EF=125,根据勾股定理,得CF=95.21.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°,AB=CD,AD=BC,∴∠ADE=∠CBF=60°,又∵AE=AD,CF=CB,∴△AED,△CFB都是等边三角形,∴AE=DE=AD,BC=CF=BF,又∵AB=CD,AD=BC,∴EC=AF,AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形.(2)(1)中的结论仍然成立.证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠CDA=∠CBA,∴∠ADE=∠CBF.∵AE=AD,CF=CB,∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF,∴∠AED=∠CFB,又∵AD=CB,∴△ADE≌△CBF,∴DE=BF,AE=CF,又∵CD=AB,∴DE+CD=BF+AB,即EC=AF,又∵EC∥AF,∴四边形AFCE是平行四边形.22.【解析】(1)∵b=√a-21+√21−a+16,AB∥OC,A(0,12),∴a=21,b=16,c=12,∴B(21,12),C(16,0).(2)由题意,得AP=2t,QO=t,则PB=21-2t,QC=16-t.∵AB∥OC,∴当PB=QC时,四边形PQCB是平行四边形,∴21-2t=16-t,解得t=5,∴当t=5时,四边形PQCB是平行四边形.此时P(10,12),Q(5,0).(3)当PQ=CQ时,过点Q作QN⊥AB于点N,由题意,得QN=12,PN=2t-t=t,PQ=CQ=16-t,则122+t2=(16-t)2,解得t=72,故P(7,12),Q(72,0).当PQ=PC时,过点P作PM⊥x轴于点M,由题意,得QM=2t-t,CM=16-2t,则QM=CM,即t=16-2t,∴t=163,2t=323,故P(323,12),Q(163,0).综上,当t=72或163时,△PQC是以PQ为腰的等腰三角形,对应的P,Q两点的坐标为P(7,12),Q(72,0)或P(323,12),Q(163,0).11 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北师大版八年级数学下册第六章平行四边形专项测试题附解析
第六章平行四边形专项测试题 (二)一、单项选择题〔本大题共有15 小题，每题3 分，共 45 分〕1、关于四边形：① 两组对边分别相等；② 一组对边平行且相等；③ 一组对边平行且另一组对边相等；④ 两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形是平行四边形的有〔〕 .A. ①②③④B. ①③④C. ①②D. ③④2、在平行四边形中，，的度数之比为，那么等于〔〕A.B.C.D.3、如图，，，，，垂足分别为、,下列说法错误的选项是〔〕 .A.B.C.、两点之间的距离就是的长度D.与之间的距离是的长度4、如果从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，那么所得的平行四边形的周长等于这个等腰三角形的〔〕A.周长B.周长的一半C.两腰长D.两腰长的倍5、每个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的，那么这个多边形为〔〕.A.六边形B.五边形C.八边形D.七边形6、如果三角形的两条边分别为和，那么连结该三角形三边中点所得的三角形的周长可能是以下数据中的〔〕.A.B.C.D.7、不能判定一个四边形是平行四边形的条件是〔〕A.两组对边分别平行B.一组对边平行，另一组对边相等C.一组对边平行且相等D.两组对边分别相等8、如图，在平行四边形中，，，对角线、相交于点，那的取值范围是〔〕么A.B.C.D.9、在直角坐标系中，假设以( ) 、、三点为顶点要画平行四边形，那么第四个顶点不可能在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10、以下命题中是真命题的有( ).① 相等的角是对顶角；② 两直线被第三条直线所截，内错角相等；③假设，那么；④ 平行四边形的对角线互相平分；⑤一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形.A.个B.个C.个D.个11、如图，在中，，，点分别是直角边的中点，那么的长为〔〕A.B.C.D.12、设四边形的内角和等于，五边形的外角和等于，那么与的关系是〔〕A.B.C.D.13、以下条件中，不能判断四边形是平行四边形的为〔〕A.B.C.D.14、一个多边形的每个内角均为，那么这个多边形是〔〕A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形15、四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是〔〕A.四边形的边长B.四边形的周长C.四边形内角的大小D.四边形的内角和二、填空题〔本大题共有5 小题，每题 5 分，共 25 分〕16、内角都相等的五边形的每一个外角都等于.17、如图：将面积为的沿的方向平移至离是边长的两倍，那么图中的四边形的面积为：的位置，平移的距_____.18、如图，要测出池塘的宽度，小强在池塘边上取一个能直接到达、两点的点为，连结、，分别取，的中点、，测量得到，那么池塘宽.19、以不在同一直线上的三点、、为顶点画平行四边形，一共可以画个．20、如图是一个平行四边形，请用符号表示图中的平行线：____________________．三、解答题〔本大题共有3 小题，每题 10 分，共 30 分〕21、：多边形的内角和与外角和的比是，求这个多边形是几边形22、如图，、、、是五边形的个外角，假设．求的度数．23、垂直平分，，，证明四边形是平行四边形．第六章平行四边形专项测试题(二) 答案局部一、单项选择题〔本大题共有15 小题，每题3 分，共 45 分〕1、关于四边形：① 两组对边分别相等；② 一组对边平行且相等；③ 一组对边平行且另一组对边相等；④ 两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形是平行四边形的有〔〕.A. ①②③④B. ①③④C. ①②D. ③④【答案】 C【解析】解：∵ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴① 能判定；∵ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴② 能判定；∵ 一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，∴③ 不一定能；〕∵ 两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，∴④ 不一定能；以上四种条件中，可以判定四边形是平行四边形的有①②；故答案为①②.2、在平行四边形中，，的度数之比为，那么等于〔A.B.C.D.【答案】 C【解析】解：在平行四边形中，∵，∴，，的度数之比为，∴，，∴.故答案为：.3、如图，列说法错误的选项是〔，〕 .，，，垂足分别为、,下A.B.C.、两点之间的距离就是D.与之间的距离是的长度的长度【答案】D【解析】解：∵ ∴ 四边形，是平行四边形，，∴，故本选项正确；∵，于点，于点，平行线间的距离相等，∴，故本选项正确；、两点之间的距离就是连接两点之间线段的长度，即的长度，故本选项正确；平行线间的距离应为平行线间垂线段的长度，而与两条平行线都不垂直，故与之间的距离是的长度错误.故答案为 :与之间的距离是的长度.4、如果从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，那么所得的平行四边形的周长等于这个等腰三角形的〔〕A.周长B.周长的一半C.两腰长D.两腰长的倍【答案】 C【解析】解：如图，是等腰三角形，，∵，，那么四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴，，所以：平行四边形的周长等于，即等于两腰长．故答案为:两腰长 .5、每个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的，那么这个多边形为〔〕.A.六边形B.五边形C.八边形D.七边形【答案】 B【解析】解：设多边形的一个内角为，那么一个外角为，依题意得，即，．．故答案为：五边形 .6、如果三角形的两条边分别为和，那么连结该三角形三边中点所得的三角形的周长可能是以下数据中的〔〕.A.B.C.D.【答案】 B【解析】解：设三角形的三边分别是、、，令，，根据三角形三边关系得，，那么，∴三角形的周长，故连结该三角形三边中点三角形的周长．7、不能判定一个四边形是平行四边形的条件是〔〕A.两组对边分别平行B.一组对边平行，另一组对边相等C.一组对边平行且相等D.两组对边分别相等【答案】 B【解析】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故该选项正确；一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故该选项错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该选项正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故该选项正确.故答案应选：一组对边平行，另一组对边相等.8、如图，在平行四边形中，，，对角线、相交于点，那的取值范围是〔〕么A.B.C.D.【答案】 C【解析】解：，，，四边形是平行四边形，，．9、在直角坐标系中，假设以、、三点为顶点要画平行四边形，那么第四个顶点不可能在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 C【解析】解：如图，当为对角线时，第四个顶点在第二象限；当为对角线时，第四个顶点在第四象限；当为对角线时，第四个顶点在第一象限 .故答案应选：第三象限 .10、以下命题中是真命题的有 ( ).①相等的角是对顶角；②两直线被第三条直线所截，内错角相等；③假设，那么；④平行四边形的对角线互相平分；⑤一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 .A.个B.个C.个D.个【答案】 B【解析】解：① 相等的角不一定是对顶角，故错误；② 两直线被第三条直线所截，且这两条直线平行时，内错角相等，故错误；③ 当与互为相反数时，，故错误；④ 平行四边形的对角线互相平分，正确；⑤一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是等腰梯形.故正确答案是个.11、如图，在中，，，点分别是直角边的中点，那么的长为〔〕A.B.C.D.【答案】 A【解析】解：如图，在中，，，．又点、分别是、的中点，是的中位线，．12、设四边形的内角和等于，五边形的外角和等于，那么与的关系是〔〕A.B.C.D.【答案】 B【解析】解：四边形的内角和等于，．五边形的外角和等于，，．13、以下条件中，不能判断四边形是平行四边形的为〔〕A.B.C.D.【答案】 C【解析】，可以根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；，可以根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形 ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；可以根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形 ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意．14、一个多边形的每个内角均为，那么这个多边形是〔〕A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形【答案】 C【解析】解：外角是，，那么这个多边形是六边形．15、四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是〔〕A.四边形的边长B.四边形的周长C.四边形内角的大小D.四边形的内角和【答案】 C【解析】解：当四边形形状改变时，发生变化的是四边形的内角的度数．二、填空题〔本大题共有5 小题，每题 5 分，共 25 分〕16、内角都相等的五边形的每一个外角都等于.【答案】 72【解析】解：因为五边形的各内角都相等,所以每个外角都相等，又因为外角和为，所以每一个外角为：，故答案为：．17、如图：将面积为的沿的方向平移至的位置，平移的距离是边长的两倍，那么图中的四边形的面积为：_____.【答案】【解析】解：根据平移的性质可得：，，由题意得：四边形是平行四边形，，与四边形的高相等，设高为：四边形面积为：的面积为四边形面积的，四边形的面积为：，故正确答案为：.18、如图，要测出池塘的宽度，小强在池塘边上取一个能直接到达、两点的点为，连结、，分别取，的中点、，测量得到，那么池塘宽.【答案】 120【解析】解：∵ 线段，的中点为，，∴，∵∴故答案为：，，．19、以不在同一直线上的三点、、为顶点画平行四边形，一共可以画个．【答案】 3【解析】解：三点为、、，连接、、，分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边，可构成的平行四边形有三个：平行四边形，平行四边形边形．故答案为：．，平行四20、如图是一个平行四边形，请用符号表示图中的平行线：____________________．【答案】，【解析】解：根据平行四边形可知，，．三、解答题〔本大题共有3 小题，每题 10 分，共 30 分〕21、：多边形的内角和与外角和的比是，求这个多边形是几边形【解析】解：设这个多边形的边数为，那么有，解得：．∴ 这个多边形是九边形．22、如图，求、、、是五边形的度数．的个外角，假设．【解析】解：∵∴ 与相邻的外角的度数是：，∵ 多边形外角和为，∴．23、垂直平分，，，证明四边形【解析】证明：，是平行四边形．垂直平分，，在与中，，〔〕，，，，，，，四边形是平行四边形．。
(北师大版)厦门市八年级数学下册第六单元《平行四边形》检测题(答案解析)
一、选择题1．一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（ ）A ．1440°B ．1080°C ．720°D ．360° 2．已知平行四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝110°，则∠B 的度数为（ ）A ．125°B ．135°C ．145°D ．155° 3．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 作线段EF ，使点E ，点F 分别在边AD ，BC 上（不与四边形ABCD 顶点重合），连结EB ，EC ．设ED kAE =，下列结论：①若1k =，则BE CE =；②若2k =，则EFC 与OBE △面积相等；③若ABE FEC ≌，则EF BD ⊥．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．②③ 4．如图，作ABC 关于直线对称的图形A B C '''，接着A B C '''沿着平行于直线l 的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（ ）A ．对应点连线相等B ．对应点连线互相平行C ．对应点连线垂直于直线lD ．对应点连线被直线平分5．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，28ABE ∠︒＝，且CE BC ＝，AE DE ＝，则下列选项正确的为（ ）A ．56BAE ∠=︒B ．68AED ∠=︒C ．112AEB ∠=︒D ．122C ∠=︒6．如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A．AD//BC，AB=CD B．∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COBC．OA=OC，OB=OD D．AB=AD，CB=CD7．如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，若点E是AB的中点，则线段OE与线段AE 的和为（）A．18cm B．12cm C．9cm D．6cm8．如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF，分别交AD，BC于点E，F，当AE ＝ED时，△AOE的面积为4，则四边形EFCD的面积是（）A．8 B．12 C．16 D．329．一个多边形每个外角都等于30°，则这个多边形是几边形( )A．9 B．10 C．11 D．1210．如图，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称.若E点的坐标是（7，－33），则D点的坐标是 ( )A．(4,0) B．(92,0) C．(5,0) D．(112,0)11．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（）A．13 B．14 C．15 D．16 12．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（）A ．∠BDC ＝∠ABDB ．∠DAB ＝∠DCBC ．AD ＝BCD ．AC ⊥BD 二、填空题13．如图，小明从A 点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A 时，共走路程为____米．14．如图，ABC 的中线AD 与高CE 交于点F ，AE EF =，2FD =，24ACF S =△，则AB 的长为__________．15．一枚小小的硬币上有很多的文化信息．铸造时间就体现了一段时期社会背景事件，还有就是硬币的铸造工艺与防伪技术，正面图案的含义万分，背面的国徽更是权力与主权的象征等等，如下图，1角硬币边缘镌刻的是正九边形，则这个正九边形每个内角的度数是______°．16．已知直角坐标系内有四个点A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x ，y)，若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，则D 点的坐标为___________________．17．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE ＝50m ，则AB 的长是_______m ．18．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()1,0-，()3,0，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，则D 的坐标为_______，连接AC ，BD ．在y 轴上存在一点P ，连接PA ，PB ，使AB PAB DC S S ∆=四边形．则点P 的坐标为_______．19．将正三角形、正方形、正五边形，按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则123∠+∠+∠=__________度．20．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若BD 、AC 的和为18cm ，CD ：DA =2：3，△AOB 的周长为15cm ，那么BC 的长是_____________cm ．三、解答题21．如图，点E 和点F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，连接DE 、DF 、BE 和BF ，ADE CBF ∠=∠．求证：四边形BEDF 是平行四边形．22．如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作MN ∥BC ．分别交AB 、AC 于M 、N ．（1）求证：BM +CN ＝MN ．（2）如图2，若△ABC 是等边三角形，请从以下两个问题任选一题作答．若两题都作答，以问题①计分．问题①BC ＝6，求MN 的长．问题②求证：O 是MN 的中点．23．已知一个多边形，它的内角和等于1800︒，求这个多边形的边数．24．如图，ABCD 的周长是32cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC AB ⊥于点A ，点E 是BC 中点，AOD ∆的周长比AOB ∆的周长多4cm ．（1）求边AB 、BC 的长；（2）求AE 的长度；（3）求ABCD 的面积．25．如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都相等，连接AD .（1）若148∠=︒，求2∠的度数；（2）求证：//AB DE .26．如图，已知M ，N 是▱ABCD 对角线AC 上的两点， 且AM CN =．求证：四边形MBND 是平行四边形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数，由多边形内角和公式可求解．【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数是：360°÷60°=6，∴这个多边形的内角和=180°×（6-2）=720°，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．2．A解析：A【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∵∠A+∠C=110°，∴∠A=∠C=55°，∴∠B=125°．故选：A．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．3．B解析：B【分析】由1k =，则有E ，F 分别是AD ，BC 的中点，进而可判定①，当2k =时，则有EFC 的面积=12BEF S ，OBE △的面积=12BEF S ，然后可判定②；若EF ⊥BD 成立，则必须BE BF =，因为前提ABE △≌FEC ，BE CE =，进而可判定③．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴∠EDO=∠FBO ，∠DEO=∠BFO ，∵点O 是对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∴△DEO ≌△BFO （AAS ），∴DE=BF ，∵1k =，∴E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴EC AF BE =≠，故①错；连接EC ，如图所示：∵2k =，∴EFC 的面积=12BEF S ， ∵点O 是EF 的中点， ∴OBE △的面积=12BEF S ，所以EFC 与OBE △面积相等，故②对；若EF ⊥BD 成立，则必须BE BF =，因为前提ABE △≌FEC ，BE CE =，得不到CE BF =，故③错；故选B ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．4．D解析：D【分析】作点A 关于直线l 的对称点D ，交直线l 于F ，将点D 向下平移得到点A '，连接A A '交直线l于E，则AD被对称轴垂直平分，利用EF是△A A'D的中位线，得到AE=E A'，同理可知：图形中对应点连线被直线平分．【详解】根据题意，作点A关于直线l的对称点D，交直线l于F，将点D向下平移得到点A'，连接A A'交直线l于E，∵A、D关于直线l对称，∴AD被对称轴垂直平分，又∵EF∥A'D，∴EF是△A A'D的中位线，∴AE=E A'，即A A'被对称轴平分，同理可知：图形中对应点连线被直线平分，故选：D．．【点睛】此题考查平移的性质，轴对称的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．5．B解析：B【分析】解根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC，利用平行四边形的性质解答即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠BEC＝28°，∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝28°，∴∠ABC＝56°，∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∵AE＝ED，∴∠D＝∠DAE＝56°，∴∠BAE＝124°−56°＝68°，∴∠AED＝180°−56°−56°＝68°，∴∠AEB＝180°−68°−28°＝84°，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC解答．6．C解析：C【分析】由平行四边形的判定可求解．【详解】A、由AD∥BC，AB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；B、由∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB不能判定四边形ABCD为平行四边形；C、由OA=OC，OB=OD能判定四边形ABCD为平行四边形；D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．7．C解析：C【分析】结合已知证明EO是△ABC的中位线，进而得出答案．【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为36cm，∴AB+BC＝18cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又∵点E是AB的中点，∴EO是△ABC的中位线，∴EO＝12BC，AE＝12AB，∴AE+EO＝12×18＝9（cm）．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和中位线定理，熟知“平行四边形的对角线互相平分”和“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”是解题关键．8．C解析：C【分析】根据等底等高的三角形面积相等可得S△DOE＝S△AOE＝4，进而可得S△COD＝S△AOD＝8，再由平行四边形性质可证明△COF≌△AOE（ASA），S△COF＝S△AOE＝4，即可得S四边形EFCD＝16．【详解】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，OB＝OD∴∠DAC＝∠ACB，∵∠AOE＝∠COF∴△COF≌△AOE（ASA）∵S△AOE＝4，AE＝ED∴S△COF＝S△DOE＝S△AOE＝4，∴S△AOD＝8∵AO＝CO∴S△COD＝S△AOD＝8∴S四边形EFCD＝S△DOE+S△COD+S△COF＝4+8+4＝16；故选C．【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识点，关键要会运用等底等高的三角形面积相等．9．D解析：D【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数计算即可．【详解】∵一个多边形的每个外角都等于30°，外角和为360°，∴n=360°÷30°=12，故选D．【点睛】本题主要考查了多边形外角和、利用外角求正多边形的边数的方法，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明10．C解析：C【详解】解：如图，∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，3∴C的坐标为（7，3∴CH3CE3，∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，∴AC3∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D点的坐标是（5，0），故答案为（5，0）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．11．C解析：C【解析】试题分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，故选C．考点：多边形内角与外角．12．D解析：D【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，故选项A正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB ＝∠DCB ，故选项B 正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，故选项C 正确；由四边形ABCD 是平行四边形，不一定得出AC ⊥BD ，故选D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的相关知识点是解答本题的关键．二、填空题13．64【分析】根据题意可知他需要转360÷45=8次才会回到原点所以一共走了8×8=64米【详解】解：设边数为n 多边形外角和为360°所以n=360°÷45°=8总边长为8×8=64米故答案为：64【解析：64【分析】根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．【详解】解：设边数为n ，多边形外角和为360°，所以n=360°÷45°=8，总边长为8×8=64米，故答案为：64．【点睛】此题考查多边形的外角和，正多边形的性质，正确理解题意是解题的关键．14．【分析】延长AD 作交于点H 过点D 作根据题意可证明是等腰直角三角形结合中位线的性质证明继而证明是等腰直角三角形由勾股定理解得再根据三角形面积公式解得CH 的值设EF=x 由线段和差关系得到从而解出x 的值即 解析：【分析】延长AD ，作AH CH ⊥交于点H ，过点D 作DQ CF ⊥，根据题意可证明AEF 是等腰直角三角形，结合中位线的性质，证明//DQ BE ，继而证明FDQ 是等腰直角三角形，由勾股定理解得FQ DQ ==CH 的值，设EF=x ，由线段和差关系得到EF FQ FC FQ +=-，从而解出x 的值即可．【详解】延长AD ，作AH CH ⊥交于点H ，过点D 作DQ CF ⊥，CE AB ⊥且AE=AF ，AEF ∴是等腰直角三角形，45EAF EFA ∴∠=∠=︒又90DQC BEC ∠=∠=︒，D 为BC 中点，//DQ BE ∴，且Q 为CE 中点EQ CQ ∴=即：EF+FQ=FC-FQ45AEF ∠=︒45QFD ∴∠=︒FDQ ∴是等腰直角三角形，又2FD =2FQ DQ ∴==设EF=x ，在等腰直角三角形AEF 中，AE=EF=x ，2AF x =1242ACF S AF CH ∴=⋅⋅= 242CH x ∴=在等腰直角三角形FHC 中，48CF x∴= EF FQ FC FQ +=-4822x x ∴=22248222480x x x x x ∴=∴+-=42x ∴=62x =-（舍去）42EF AE ∴==1//,2QE BE QE BE =BE ∴=AB ∴==故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、中位线的性质、勾股定理等知识，是重要考点，有一定难度，掌握相关知识是解题关键．15．140°【分析】根据多边形的内角和定理：求出该多边形的内角和继而可求出每个内角的度数【详解】解：正九边形的内角和为：则每个内角的度数为：故答案为：【点睛】本题考察多边形的内角和定理解题的关键是熟练掌 解析：140°【分析】根据多边形的内角和定理：()1802n ︒⨯-，求出该多边形的内角和，继而可求出每个内角的度数．【详解】解：正九边形的内角和为：()180921260︒⨯-=︒， 则每个内角的度数为：12601409︒=︒， 故答案为：140︒．【点睛】本题考察多边形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和定理． 16．(52)(-36)(1-2)【分析】D 的位置分三种情况分析；由平行四边形对边平行关系用平移规律求出对应点坐标【详解】解：根据平移性质可以得到AB 对应DC 所以由BC 的坐标关系可以推出AD 的坐标关系即D解析：(5，2)，(-3，6)，(1，-2) ．【分析】D 的位置分三种情况分析；由平行四边形对边平行关系，用平移规律求出对应点坐标．【详解】解：根据平移性质可以得到AB 对应DC ，所以，由B ，C 的坐标关系可以推出A ，D 的坐标关系，即D(-1-2，2+4)，所以D 点的坐标为(-3，6)；同理，当AB 与CD 对应时，D 点的坐标为(5，2)；当AC 与BD 对应时，D 点的坐标为(1，-2)故答案为：(5，2)，(-3，6)，(1，-2)．【点睛】本题考核知识点：平行四边形和平移.解题关键点：用平移求出点的坐标．17．100【分析】先判断出DE是△ABC的中位线再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE问题得解【详解】∵点DE分别是ACBC的中点∴DE是△ABC的中位线∴AB=2DE=2解析：100【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×50=100米．故答案为100．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．18．（42）（04）或（0-4）【分析】（1）根据平移规律直接得出点D的坐标；（2）设点P到AB的距离为h则S△PAB=×AB×h根据S△PAB=S四边形ABDC列方程求h的值确定P点坐标【详解】解：∵解析：（4，2）（0，4）或（0，-4）【分析】（1）根据平移规律，直接得出点D的坐标；（2）设点P到AB的距离为h，则S△PAB=12×AB×h，根据S△PAB=S四边形ABDC，列方程求h的值，确定P点坐标．【详解】解：∵点B的坐标为(3，0)，将点B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点D，∴D(4，2)；设点P到AB的距离为h，S △PAB =12×AB×h=2h ，S 四边形ABDC =AB×y D =8， ∵S △PAB =S 四边形ABDC ，∴2h=8，解得h=4，∴P(0，4)或(0，-4)．故答案为：(4，2)；(0，4)或(0，-4)．【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，解题的关键是理解平移的规律．19．102°【分析】根据领补角的定义正多边形的内角和及三角形内角和进行求解即可【详解】解：由题意得如图所示正五边形的每个内角为108°正方形的每个内角为90°正三角形的每个内角为60°所以因为所以可得故解析：102°【分析】根据领补角的定义、正多边形的内角和及三角形内角和进行求解即可．【详解】解：由题意得，如图所示，正五边形的每个内角为108°，正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，所以2418010872∠+∠=︒-︒=︒，3618060120∠+∠=︒-︒=︒，151809090∠+∠=︒-︒=︒，因为54+6180∠+∠∠=︒，所以可得1+2372+120+90180102∠∠+∠=︒︒︒-︒=︒． 故答案为102°．【点睛】本题主要考查三角形内角和、正多边形的内角，关键是根据图形得到角之间的等量关系，然后利用三角形内角和进行求解即可．20．9【分析】根据平行四边形的性质先求出AB 的长再根据所给比值求出AD 的长即可求得BC 的长【详解】∵平行四边形ABCD ∴OA+OB=(BD+AC)=9(cm)又∵△AOB 的周长为15cm ∴AB=CD=1解析：9【分析】根据平行四边形的性质，先求出AB的长，再根据所给比值，求出AD的长，即可求得BC 的长．【详解】∵平行四边形ABCD∴OA+OB=12(BD+AC)=9(cm)，又∵△AOB的周长为15cm，∴AB=CD=15-9=6(cm)，又∵CD：DA=2：3，∴BC=DA=9(cm)，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，得出AB的长是解题的关键．三、解答题21．证明见详解【分析】证明△ADE≌△CBF（ASA），得DE＝BF，∠AED＝∠CFB，则∠DEF＝∠BFE，证出DE∥BF，即可得出四边形BEDF是平行四边形．【详解】解：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，ADE CBF AD CBDAE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（1）见解析；（2）①MN=4；②见解析【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质可证得∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，再根据等角对等边的性质可得BM=MO，CN=ON，再由MO+ON=MN即可证得结论；（2）①过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，可证得四边形MEFN为平行四边形，可得MN=EF，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，进而有∠BME=∠CNF=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可证得BE=12BM，CF=12CN，由BC=BE+EF+CF和BM+CN=MN可得BC=32MN，即可求得MN的长；②过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，可证得四边形MEFN为平行四边形，可得ME=NF，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，再根据全等三角形的判定可证得△MEB≌△NFC，则有BM=CN，由（1）中BM=MO，CN=ON可得MO=ON，即可证得结论．【详解】（1）证明：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=∠MBO，∠OCB=∠NCO，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，∴BM=MO，CN=ON，∴BM+CN=MO+ON=MN，即BM+CN =MN；（2）若选①，解：如图2，过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则ME∥NF,∠MEB=∠NFC=90°，∵MN∥BC，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN=EF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∠MEB=∠NFC=90°，∴∠BME=∠CNF=30°，∴BE=12BM，CF=12CN，∵BC=BE+EF+CF=12BM+MN+12CN=32MN=6，∴MN=4；若选②，证明：如图2，过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则ME∥NF，∠MEB=∠NFC=90°∵MN∥BC，∴四边形MEFN为平行四边形，∴ME=NF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∠MEB=∠NFC=90°，∴△MEB ≌△NFC （AAS ），∴BM=CN ，∵ BM=MO ，CN=ON∴MO=ON ，即O 为MN 的中点．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各知识点的运用，借助作辅助线进行计算或证明解答的关键．23．十二边形．【分析】设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和定理即可列方程求解．【详解】解：设这个多边形是n 边形，根据题意得：()21801800n ︒︒-⨯=， 解得：12n =．故这个多边形是十二边形．【点睛】解题的关键是读懂题意，根据多边形的内角和：180°（n-2），正确列方程求解． 24．（1）AB ＝6cm ，BC ＝10cm ；（2）5cm ；（3）248cm【分析】（1）由ABCD 的性质以及周长可得出边AD 与AB 的长度和，由AOD △的周长比AOB 的周长多4cm 可得出边AD 与AB 的长度差，即可求出边AB 、BC 的长； （2）由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半求出AE 的长度即可；（3）由勾股定理求出AC 的长度，根据平行四边形面积公式求出ABCD 的面积即可．【详解】（1）ABCD ， AD BC ∴=，AB DC =，BO DO =， ABCD 的周长是32cm ，16AD AB cm ∴+=， AOD 的周长比AOB 的周长多4cm ，4AD AB cm ∴-=，10AD cm BC ∴==，6AB cm =；（2）AC AB ⊥，点E 是BC 中点，152AE BC cm ∴==；（3）在Rt ABC 中，8AC cm =， ABCD 的面积248AB AC cm =⨯=．【点睛】 本题主要考查平行四边形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，熟记平行四边形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理并灵活运用是解题关键．25．(1)248∠=︒；（2）证明见解析；【分析】（1）先求六边形ABCDEF 的每个内角的度数，再根据四边形的内角和是360°，求∠2的度数．（2）由（1）中∠ADC 的度数，可得∠BAD=∠ADE ，利用内错角相等，两直线平行，可证AB ∥DE ．【详解】（1）∵六边形ABCDEF 的每个内角的度数是（6-2）×180°÷6=120°∴∠FAB=120°,∵∠1=48°∴∠FAD=∠FAB-∠1=120°-48°=72°,∴∠2=360°-120°-120°-72°=48°．（2）∵∠1=48°,∠2=48°，∴AB ∥DE ．【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．注意平行于同一条直线的两直线平行．26．详见解析【分析】连接BD ，交AC 于点O ．由▱ABCD 的“对角线互相平分的性质”推知OA=OC ，OB=OD ．然后根据图形中相关线段间的和差关系证得OM=ON ，即四边形BMDN 的两条对角线互相平分．【详解】连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM=CN，∴OA-AM=OC-CN，即OM=ON，∴四边形MBND为平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．。
北师大版八年级下册数学第六章 平行四边形含答案
北师大版八年级下册数学第六章平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在五边形 ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=α，DP，CP 分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P 的度数是（）A.90°+ αB. α﹣90°C. αD.540° - α2、一个多边形的每一个内角都等于140°，则它的边数是（）A.7B.8C.9D.103、如图，点P是四边形ABCD内的一点，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，设∠C+∠D的大小为x，∠P的大小为y，则x，y的关系是（）A. B. C. D.4、若多边形的边数增加1，则其内角和的度数（）A.增加180°B.其内角和为360°C.其内角和不变D.其外角和减少5、若多边形的边数由3增加到n(n为大于3的正整数)，则其外角和的度数( )A.增加B.减少C.不变D.不能确定6、若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A.7B.10C.35D.707、一个多边形的内角和是外角和的5倍，这个多边形是（）A.正六边形B.正八边形C.正十边形D.正十二边形8、若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）A.6B.8C.9D.109、如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1 的大小为（）．A.120°B.36°C.108°D.90°10、若一个多边形的内角和是900度，则这个多边形的边数为（）A.6B.7C.8D.1011、如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数是（）A.40 0B.45 0C.50 0D.60 012、若一个多边形每一个内角都是120º，则这个多边形的边数是（）A.6B.8C.10D.1213、如果一个多边形的每一个内角都是135°，那么这个多边形的边数是（）A.5B.6C.8D.1014、若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为( )A.90°；B.105°；C.130°；D.120°.15、一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A.2B.C.1D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，六边形ABCDEF是正六边形，那么∠α的度数是________．17、四边形具有不稳定性.如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则________.18、如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为________．19、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC =3，则S△BCF=________．20、八边形的外角和等于________°．21、如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________.22、如图，在正六边形ABCDEF中，连接AD，AE，则∠DAE=________．23、如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBO的位置，点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为________.24、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°.BE⊥CD.BF⊥AD，垂足分别为E.F.BE＝1，BF＝2.则DF＝________.25、已知□ABCD中，若∠B+∠D＝200°，则∠A的度数为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．27、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．求证：OE=OF．28、如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．29、如图，已知四边形ABCD为平行四边形，其对角线相交于点O，，，求的正弦值．30、已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于0，点E，F分别在AO，CO 上，且AE=CF，求证：四边形BEDF是平行四边形．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、B4、A5、C6、C7、D8、C9、C10、B11、A12、A14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、30、。
北师大版2020八年级数学下册《第6章 平行四边形 》单元练习试题【含答案】
∵AC＝8，
∴AO＝4，
∵AB＝6，AC⊥AB，
∴BO＝
＝
＝2 ，
∴BD＝2BO＝4 ． 19．解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC， ∵点 E 为 OA 中点，AD＝AO，AD＝2 ，
∴OE＝ ，OC＝2 ，
∴CE＝OE+OC＝3 ，
∵DE⊥CD，CD＝6，
∴DE＝
＝3；
（2）证明：取 AD 的中点 F，连接 OF， ∵AD＝AO，点 E 为 OA 中点， ∴AE＝AF， 在△ADE 和△AOF 中，
三．解答题（共 7 小题） 16．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，延长 CE 交 BA 的延长线于点 F．
（1）求证：AB＝AF； （2）若 BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE 的度数．
17．已知：如图，在▱ABCD 中，点 E、F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝CF．求证： BF∥DE．
8，CD＝10，点 F、M、N 分别是 BC、BD、CE 的中点，则 MN 的长为（ ）
A．
B．6
C．4
D．3
10．如图，正五边形 ABCDE 绕点 A 顺时针旋转后得到正五边形 AB′C′D′E′，旋转角
为 α （0°＜α＜90°），若 DE⊥B′C′，则∠α 为（ ）
A．36°
B．54°
C．60°
22．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，连接 BE、CE，EB 平分∠AEC． （1）如图 1，判断△BCE 的形状，并说明理由； （2）如图 2，∠A＝90°，BC＝5，AE＝1，求线段 BE 的长．
一．选择题（共 10 小题） 1． D． 2． A． 3． B． 4． D． 5． B． 6． D． 7． D． 8． A． 9． A． 10． B． 二．填空题（共 5 小题） 11． ．
(北师大版)长沙市八年级数学下册第六单元《平行四边形》检测(有答案解析)
一、选择题1．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAD 交BC 于点E ，且ADC 60∠=，12AB BC =，连接OE ．下列结论：①AE CE >；②ABCSAB AC =⋅；③ABEAOE SS=；④14OE BC =；成立的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．一个多边形的每个外角都等于相邻内角的13，这个多边形为（ ） A ．六边形B ．八边形C ．十边形D ．十二边形3．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 作线段EF ，使点E ，点F 分别在边AD ，BC 上（不与四边形ABCD 顶点重合），连结EB ，EC ．设ED kAE =，下列结论：①若1k =，则BE CE =；②若2k =，则EFC 与OBE △面积相等；③若ABE FEC ≌，则EF BD ⊥．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．②③ 4．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．125．若过n 边形的一个顶点的所有对角线正好将该n 边形分成8个三角形，则n 的值是( ) A ．7B ．8C ．9D ．106．如图，设M 是ABCD 边AB 上任意一点，设AMD ∆的面积为1S ，BMC ∆的面积为2S ，CDM ∆的面积为S ，则（ ）A ．12S S S =+B ．12S S S >+C ．12S S S <+D ．不能确定7．四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的为（ ） A ．88︒，108︒，88︒ B ．108︒，108︒，82︒ C ．88︒，92︒，92︒D ．108︒，72︒，108︒8．在四边形ABCD 中，若∠A 与∠C 之和等于四边形外角和的一半，∠B 比∠D 大15°，则∠B 的度数等于（ ） A ．150° B ．97.5° C ．82.5° D ．67.5° 9．在ABCD 中，6AB =，4=AD ，则ABCD 的周长为（ ） A ．10 B ．20 C ．24 D ．12 10．如果一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．811．如图，P 为□ABCD 对角线BD 上一点，△ABP 的面积为S 1，△CBP 的面积为S 2，则S 1和S 2的关系为 （ ）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法判断12．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB AC ⊥，若6AB =，8AC =，则BD 的长是（ ）A ．10B ．213C ．413D ．12二、填空题13．如图，已知正五边形ABCDE ，过点A 作CD 的平行线，交CB 的延长线于点F ，点P 在正五边形的边上运动，运动路径为A B C D →→→．当AFP 为等腰三角形时，则AFP 的顶角为______度．14．如图，小明从A 点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A 时，共走路程为____米．15．如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得30ACB ∠=︒，则这个正多边形的边数是_________．16．多边形每一个内角都等于108°，多边形一个顶点可引的对角线的条数是________条． 17．现有①正三角形、②正方形、③正五边形三种形状的地砖，只选取其中一种地砖镶嵌地面，不能进行地面镶嵌的有___________（填序号）．18．如图，在四边形ABCD 中，已知AB =CD ，再添加一个条件_________（写出一个即可，图形中不再添加助线），则四边形ABCD 是平行四边形．19．点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，若△ABC 的周长是16，则△DEF 的周长是_____．20．已知//,AD BC 要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是____．(填一个你认为正确的条件)．三、解答题21．（1）如图1，在△ABC 中，已知OB ，OC 分别平分∠ABC ，∠ACB ，BP ，CP 分别平分∠ABC ，∠ACB ，的外角∠DBC ，∠ECB ．①若∠A=50º，则∠O=______，∠P=______；②若∠A=α，则∠O=______，∠P=______．（用含α的式子表示）（2）如图2，在四边形ABCD 中，BP ，CP 分别平分外角∠EBC ，∠FCB ，请探究∠P 与∠A ，∠D 的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在六边形ABCDEF 中，CP ，DP 分别平分外角∠GCD ，∠HDC ，请直接写出∠P 与∠A ，∠B ，∠E ，∠F 的数量关系______．22．已知，如图，CD 是Rt △FBE 的中位线，A 是EB 延长线上一点，且AB=12BE ． （1）证明：四边形ABCD 是平行四边形； （2）若∠E=60°，AD=3cm ，求BE 的长．23．如图，四边形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点G ，DF ⊥AC 于点F ，已知AF=CE ，AB=CD ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）如果∠GBC=∠BCD ，AG=6，GE=2，求AB 的长．24．在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个项点的位置如图所示，现将ABC ∆沿'AA 的方向平移，使得点A 移至图中的点'A 的位置．（1）在直角坐标系中，画出平移后所得'''A B C ∆ (其中','B C 分别是,B C 的对应点)． （2）求ABC ∆的面积．（3）以A B C D 、、、为顶点构造平行四边形，则D 点坐标为__________．25．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于点E ，E 是BD 的中点，延长CD 到点F ，使DF CD =，连接AF ．（1）求证：AE CE =．（2）求证：四边形ABDF 是平行四边形．26．如图，已知：平行四边形ABCD 中，,ABC BCD ∠∠的平分线交于点E ，且点E 刚好落在AD 上，分别延长,BE CD 交于F()1AB 与AD 之间有什么数量关系？并证明你的猜想 ()2CE 与BF 之间有什么位置关系？并证明你的猜想【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】利用平行四边形的性质可得60ABC ADC ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，利用角平分线的性质证明ABE ∆是等边三角形，然后推出12AE BE BC ==，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可． 【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，60ABC ADC ∴∠=∠=︒，120BAD ∠=︒， AE ∵平分BAD ∠，60BAE EAD ∴∠=∠=︒ ABE ∴∆是等边三角形，AE AB BE ∴==，60AEB ∠=︒，12AB BC =，12AE BE BC ∴==， AE CE ∴=，故①错误； 可得30EAC ACE ∠=∠=︒ 90BAC ∴∠=︒，ABCDSAB AC ∴=⋅，故②正确；BE EC =， E ∴为BC 中点，ABE ACE S S ∆∆∴=，AO CO =，1122AOE EOC AEC ABE S S S S ∆∆∆∆∴===，2ABE AOE S S ∆∆∴=；故③不正确；四边形ABCD 是平行四边形， AC CO ∴=，AE CE =，EO AC ∴⊥， 30∠=︒ACE ，12EO EC ∴=， 12EC AB =， 1144OE BC AD ∴==，故④正确； 故正确的个数为2个，【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得ABE ∆是等边三角形是关键．2．B解析：B 【分析】设一个外角是x ，则一个内角是3x ，列得3x+x=180°，求得x ，再用外角和360°除以x 即可得到答案． 【详解】设一个外角是x ，则一个内角是3x ，3x+x=180°， 解得：x=45°，由于多边形的外角和为360°， 则边数为360°÷45°=8， 故选：B ． 【点睛】此题考查多边形内角与外角互补计算，多边形外角和，求多边形边数，熟记多边形外角与内角的关系是解题的关键．3．B解析：B 【分析】由1k =，则有E ，F 分别是AD ，BC 的中点，进而可判定①，当2k =时，则有EFC 的面积=12BEFS，OBE △的面积=12BEF S ，然后可判定②；若EF ⊥BD 成立，则必须BE BF =，因为前提ABE △≌FEC ，BE CE =，进而可判定③．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴∠EDO=∠FBO ，∠DEO=∠BFO ， ∵点O 是对角线BD 的中点， ∴BO=DO ，∴△DEO ≌△BFO （AAS ）， ∴DE=BF ， ∵1k =，∴E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴EC AF BE =≠，故①错； 连接EC ，如图所示：∵2k =， ∴EFC 的面积=12BEFS，∵点O 是EF 的中点， ∴OBE △的面积=12BEFS ，所以EFC 与OBE △面积相等，故②对；若EF ⊥BD 成立，则必须BE BF =，因为前提ABE △≌FEC ，BE CE =，得不到CE BF =，故③错； 故选B ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．4．B解析：B 【分析】先根据多边形的外角和等于360︒可得其内角和的度数，再根据多边形的内角和公式即可得． 【详解】设这个多边形的边数为n ，这个多边形的内角和是外角和的4倍，∴其内角和为36041440︒⨯=︒，由多边形的内角和公式得：180(2)1440n ︒-=︒， 解得10n =， 故选：B ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．5．D解析：D 【分析】根据n 边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n 的值． 【详解】解：经过n 边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成()2n -个三角形，由题意，得28n -=，解得10n =． 故选D ． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n 的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n ．6．A解析：A 【分析】如图（见解析），过点M 作//MN BC ，交CD 于点N ，先根据平行四边形的判定可得四边形AMND 和四边形BMNC 都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得． 【详解】如图，过点M 作//MN BC ，交CD 于点N ， 四边形ABCD 是平行四边形，//,//AB CD AD BC ∴，////AD BC MN ∴，∴四边形AMND 和四边形BMNC 都是平行四边形，12,DMNCMN SS SS ∴==， 12DMNCMNS S SS S ∴=+=+，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．7．D解析：D 【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，根据所给的三个角的度数可以求出第四个角，然后根据平行四边形的判定方法验证即可． 【详解】A 、第四个角是76°，有一组对角不相等，不是平行四边形；B 、第四个角是72°，两组对角都不相等，不是平行四边形；C 、第四个角是88°，而C 中相等的两个角不是对角，不是平行四边形；D 、第四个角是72°，满足两组对角分别相等，因而是平行四边形． 故选：D ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意角的对应的位置关系，并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形．8．B解析：B【分析】根据∠A与∠C之和等于四边形外角和的一半，四边形的外角和为360°，得到∠A+∠C=180°，根据四边形的内角和为360°∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180°①，根据∠B 比∠D大15°，得到∠B-∠D=15°②，所以①+②得：2∠B=195°，所以∠B=97.5°．【详解】解：∵∠A与∠C之和等于四边形外角和的一半，四边形的外角和为360°，∴∠A+∠C＝180°，∴∠B+∠D＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°①，∵∠B比∠D大15°，∴∠B﹣∠D＝15°②，①+②得：2∠B＝195°，∴∠B＝97.5°．故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记四边形的内角和与外角和．9．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质得出ABCD的周长为：2AB+2AD，求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=6，AD=BC=4，∴ABCD的周长为：2AB+2AD=2(6+4)=20，故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．10．D解析：D【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．解：多边形的边数是：3608 45=，故选D．11．B解析：B【解析】分析：根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等.详解：∵在□ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h.∴S1= S△ABP=12BP h ,S2= S△CPB=12BP h.∴S 1=S2,故选B.点睛：本题主要考查的平行四边形的性质，关键在于理解等底等高的三角形的面积相等的性质.12．C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC=12AC=4，由AC⊥AB，根据勾股定理求出OB，即可得出BD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC=12AC=4，∵AB⊥AC，∴由勾股定理得：=＝∴故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出OB是解题的关键．二、填空题13．36或72或108【分析】根据题意可以分情况谈论：①当AP=AF；②当PF=FA；③当FA=PF；分别求其顶角的度数；【详解】解：易知正五边形的内角为：；∴∠CBA=108°=∠BAE∴∠ABF=1解析：36或72或108根据题意可以分情况谈论：①当AP=AF ；②当PF=FA ；③当FA=PF ；分别求其顶角的度数；【详解】 解：易知正五边形的内角为：540=1085︒︒ ； ∴∠CBA=108°=∠BAE ，∴∠ABF=180°-108°=72°， ∠BAF=180108362︒-︒=︒ ， ∴∠BFA=180°-72°-36°=72°；∴AB=AF ， 若P 在AB 边上，不可能有PF=FA ，①若PA=PF ，则∠PAF=∠PFA=36°，∴顶角为∠APF=180°-36°×2=108°；②若PA=AF ，则P 与B 重合，此时顶角为∠PAF=36°；若P 在BC 边上，连接AC ，易知AC=CF ，不存在PA=AF ；①若PF=FA ，此时顶角为∠ PFA=72°，②若PA=PF ，则P 与C 重合，顶角为36°；若P 在CD 上，不存在等腰三角形；综上：顶角为108°或36°或72°；故答案为：36或72或108；【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式和三角形的内角和问题，要注意分类讨论的问题，不要遗漏.14．64【分析】根据题意可知他需要转360÷45=8次才会回到原点所以一共走了8×8=64米【详解】解：设边数为n 多边形外角和为360°所以n=360°÷45°=8总边长为8×8=64米故答案为：64【解析：64【分析】根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．【详解】解：设边数为n ，多边形外角和为360°，所以n=360°÷45°=8，总边长为8×8=64米，故答案为：64．【点睛】此题考查多边形的外角和，正多边形的性质，正确理解题意是解题的关键．15．12【分析】根据瓷片为正多边形及可知正多边形的外角为进而可求得正多边形的边数【详解】如图延长BC 可知∠1为正多边形的外角∵瓷片为正多边形∴AD=DB=BC ∠ADB=∠DBC ∴四边形ACBD 为等腰梯形解析：12【分析】根据瓷片为正多边形及=30ACB ∠︒，可知正多边形的外角为30︒，进而可求得正多边形的边数．【详解】如图，延长BC ，可知∠1为正多边形的外角，∵瓷片为正多边形，∴AD=DB=BC ，∠ADB=∠DBC ，∴四边形ACBD 为等腰梯形，∴BD ∥AC ，∴∠1==30ACB ∠︒，∴正多边形的边数为：360=1230︒︒， 故答案为：12．【点睛】本题考查正多边形的外角和，掌握相关知识点是解题的关键． 16．2【分析】多边形的每一个内角都是108°则每个外角是72°多边形的外角和是360°这个多边形的每个外角相等因而用360°除以外角的度数就得到外角的个数外角的个数就是多边形的边数再根据从n 边形的一个顶解析：2【分析】多边形的每一个内角都是108°，则每个外角是72°．多边形的外角和是360°，这个多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．再根据从n 边形的一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n−2）个三角形，依此作答．【详解】根据题意得：360°÷（180°−108°）＝360°÷72°＝5，那么它的边数是五，从它的一个顶点出发的对角线共有5−3＝2条，故答案为：2．【点睛】此题考查了多边形内角与外角，根据多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．另外需要记住从n边形的一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，把这个多边形分割成（n−2）个三角形．17．③【分析】根据正多边形的内角度数解答即可【详解】∵正三角形的每个内角都是60度能将360度整除故可以用其镶嵌地面；∵正方形的每个内角都是90度能将360度整除故可以用其镶嵌地面；∵正五边形的每个内角解析：③【分析】根据正多边形的内角度数解答即可.【详解】∵正三角形的每个内角都是60度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；∵正方形的每个内角都是90度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；∵正五边形的每个内角都是108度，不能将360度整除，故不可以用其镶嵌地面，故答案为：③.【点睛】此题考查正多边形的性质，镶嵌地面问题，正确计算正多边形的每个内角的度数与360度的整除关系是解题的关键.18．AD=BC（答案不唯一）【分析】可再添加一个条件AD=BC根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形四边形ABCD是平行四边形【详解】解：根据平行四边形的判定可再添加一个条件：AD=BC故答案为：AD解析：AD=BC（答案不唯一）【分析】可再添加一个条件AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD 是平行四边形．【详解】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD=BC故答案为：AD=BC（答案不唯一）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．19．【分析】据DEF分别是ABACBC的中点可以判断DFFEDE为三角形中位线利用中位线定理求出DFFEDE与ABBCCA的长度关系即可解答【详解】如图∵DEF 分别是ABBCAC的中点∴EDFEDF为△解析：【分析】据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．【详解】如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴ED、FE、DF为△ABC中位线，∴DF 12=BC ，FE 12=AB ，DE 12=AC ，∴DF +FE +DE 12=BC 12+AB 12+AC 12=（AB +BC +CA ）12=⨯16＝8．故答案为8．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路．20．AD=BC(答案不唯一)【分析】在已知一组对边平行的基础上要判定是平行四边形则需要增加另一组对边平行或平行的这组对边相等或一组对角相等均可【详解】解：根据平行四边形的判定方法知需要增加的条件是AD=解析：AD=BC(答案不唯一) 【分析】在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可．【详解】解：根据平行四边形的判定方法，知需要增加的条件是AD=BC 或AB ∥CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D ．故答案为：AD=BC （或AB ∥CD ）．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．三、解答题21．（1）①115º；65º；②1902α︒+，1902α︒-；（2）1180()2A D P ︒=-+∠∠∠ ，理由见解析 ；（3）1360()2P A B E F ︒∠=-∠+∠+∠+∠ 【分析】（1）①由OB ，OC 分别平分∠ABC ，∠ACB ，可得∠ABO=1BC 2A ∠，∠ACO=1CB 2A ∠，由外角推出∠O=90°+12A ∠=115°，由BP ，CP 分别平分∠ABC ，∠ACB 的外角∠DBC ，∠ECB ，可得∠DBP=1DBC 2∠，∠ECP=1ECB 2∠，可推求出，1P=90-A 2∠︒∠即可，②由①得∠O=90°+12A ∠，1P=90-A 2∠︒∠ ，把∠A=α 代入可得∠O=90°+12α，1P=90-2α∠︒； （2）由BP ，CP 分别平分外角∠EBC ，∠FCB ，可得∠CBP=1EBC 2∠；∠BCP=1FCB 2∠，推出 1P 180()2A D ︒∠=-∠+∠； （3）延长CB ，DE 交直线AF 与M 、N 如图，由（2）得1180()2M N P ︒=-+∠∠∠，由外角可求∠M=∠FAB+∠CBA-180º，∠N=∠EFA+∠DEF-180º，可求∠M+∠N=∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360º，即可推出结论．【详解】解：（1）①连结AO 并延长到Q ，连结PA∵OB ，OC 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠ABO=1BC 2A ∠；∠ACO=1CB 2A ∠， ∴∠BOQ=∠ABO+∠BAO ，∠QOC=∠OCA+∠OAC ，∴∠BOC=∠BOQ+∠QOC=∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC ，∴∠BOC=∠BAC+1BC 2A ∠+1CB 2A ∠， =∠A+1BC 2A ∠（+CB A ∠），=∠A+180°-12A ∠ ，=90°+12A ∠，=115°，BP ，CP 分别平分∠ABC ，∠ACB 的外角∠DBC ，∠ECB ，∴∠DBP=1DBC 2∠；∠ECP=1ECB 2∠， ∠DBP=∠BAP+∠BPA ，∠ECP=∠CAP+∠CPA ，∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA=∠A+∠P ， ∴()1DBC+ECB =A+P 2∠∠∠∠， ∴()1180+A =A+P 2︒∠∠∠， ∴90º+1A=A+P 2∠∠∠， ∴1P=90-A=90-25=652∠︒∠︒︒︒， 故答案为：115º；65º； ②由①得∠O=90°+12A ∠，1P=90-A 2∠︒∠ ， ∵∠A=α，∴∠O=90°+12α，1P=90-2α∠︒， 故答案为：∠O=90°+12α，1P=90-2α∠︒， ()2解：1180()2A D P ︒=-+∠∠∠， 理由如下：在四边形ABCD 中，BP ，CP 分别平分外角∠EBC ，∠FCB ，∴∠CBP=1EBC 2∠；∠BCP=1FCB 2∠， ()180B P P C PCB =︒-∠+∠∠， ()11802EBC FCB =︒-∠+∠， ()11801801802ABC DCB =︒-︒-∠+︒-∠， ()11803602ABC DCB =︒-︒-∠-∠， 1180()2A D ︒=-∠+∠； （3）延长CB ，DE 交直线AF 与M 、N 如图，由（2）得1180()2M N P ︒=-+∠∠∠，∴∠M=∠FAB+∠CBA-180º，∠N=∠EFA+∠DEF-180º，∴∠M+∠N=∠FAB+∠CBA-180º+∠EFA+∠DEF-180º=∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360º， ∴1180(BAF+ABC+FED+AFE-360)2P ︒=-∠∠∠∠︒∠， ∴1180(BAF+ABC+FED+AFE +1028)P ︒=-∠∠∠∠∠， ∴1360(A+B+E+F)2P ︒=-∠∠∠∠∠， 故答案为：1360(A+B+E+F)2P ︒=-∠∠∠∠∠．【点睛】本题考查两内角平分线夹角的性质，与两外角平分线夹角性质，掌握角平分线的性质，多边形内角和公式，外角与内角关系是解题关键．22．（1）见解析；（2）3cm【分析】（1）由CD 是Rt △FBE 的中位线与AB=12BE ，可得CD ∥BE ，CD=AB ，即可证得四边形ABCD 是平行四边形；（2）由BC 是Rt △FBE 斜边上的中线，可求得BC=CE ，又由∠E=60°，可得△BCE 是等边三角形，继而求得答案．【详解】解：（1）证明：∵CD 是Rt △FBE 的中位线，∴CD ∥BE ，CD=12BE ， ∴AB=12BE ， ∴AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=3cm ，∵CD 是Rt △FBE 的中位线，∴BC=CE=1EF，2∵∠E=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=3cm．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意利用三角形中位线的性质，证得CD∥AB，CD=AB是解此题的关键．23．（1）见解析（2）9【分析】（1）先证明Rt△ABE≌Rt△CDF，得到AB∥CD，即可判定平行四边形；（2）证明AB=GB，根据勾股定理构造方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）∵AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，∴AE=CF，∵BE⊥AC，DF⊥AC，，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF，∴∠BAE=∠DCF，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠DAB=∠BCD，∴∠AGB=∠GBC，∵∠GBC=∠BCD，∴∠AGB=∠BAG，∴AB=GB，设AB=GB=x，则BE=x-2，∵BG⊥AC，∴2222-=-，AB BE AG GE∴()2222--=-，x x262解得x=9，∴AB=9．【点睛】本题考查了平行四边的判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据已知条件合理选择定理是解题关键．24．（1）画图见解析；（2）5.5；（3） (-1，-1)，(5，3)，(-3，5)．【分析】（1）'AA 长度为32，将,B C 沿着'AA 平行方向分别平移32个单位长度即可； （2）应用割补法，ABC ∆的面积等于大矩形面积减去三个小三角形面积；（3）分别以ABC ∆的三边为对角线讨论，因此应该有三种情况．【详解】（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）△ABC 的面积11134413231 5.5222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=； （3）分别以AB 、AC 、BC 三边为对角线，平移另外两条边， 第一种情况：以AC 为对角线，平移AB 和BC ，得到交点1D (-1，-1)；第二种情况：以BC 为对角线，平移AB 和AC ，得到交点2D (5，3)；第三种情况：以AB 为对角线，平移AC 和BC ，得到交点3D (-3，5)；因此，点1D 、2D 、3D 的坐标分别为：(-1，-1)，(5，3)，(-3，5)．【点睛】本题考查了平移变换，割补法求组合图形的面积，以及平行四边形的判定，要注意应以三角形三边分别为平行四边形的对角线，不要漏掉条件．25．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质和中点性质证得ADE CBE △≌△，利用全等三角形的性质即可证得AE CE =；（2）根据AE CE =，BE DE =证得四边形ABCD 是平行四边形，进而证得AB ∥CD ，AB=CD=DF ，利用平行四边形的判定即可证得结论．【详解】证明：（1）∵E 是BD 的中点，∴BE DE =，∵//AD BC ，∴ADE CBE ∠=∠，在ADE 和CBE △中，ADE CBE DE BEAED CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADE CBE ASA ≌（）△△， ∴AE CE =；（2）∵AE CE =，BE DE =，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB CD ，AB CD =，∵DF CD =，∴DF AB =，∵DF AB =，//DF AB ，∴四边形ABDF 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识的综合运用是解答的关键．26．（1）AD=2AB ，证明见解析；（2）CE ⊥BF ，证明见解析．【分析】（1）结论：AD=2AB ．只要证明AB=AE ，CD=DE 即可解决问题；（2）结论：CE ⊥BF ．只要证明∠EBC+∠BCE=90°即可；【详解】解：（1）结论：AD=2AB ．理由：∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠FBC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠FBC=∠AEB ，∴∠AEB=∠ABE ，∴AB=AE ，同理可证：CD=DE ，∴AD=AE+ED=AB+CD=2AB ．（2）结论：CE ⊥BF ．理由：∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABC=2∠EBC ，∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCD=2∠BCE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴2∠EBC+2∠BCE=180°，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠BEC=90°，即CE⊥BF．【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．。
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北师大版八年级数学下第六章《平行四边形》单元测试卷一．选择题（共12小题）1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等;B．一组对边相等，一组对角相等;C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线;D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线2．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（）A．5 B．7 C．8 D．103．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S34．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120°D．100°5．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF 的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．66．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．707．如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）A．B．4C．2D．8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．269．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°10．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE11．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种12．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A．4 B．8 C．2D．4二．填空题（共6小题）13．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．14．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是．15．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为．16．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=；（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．18．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．三．解答题（共8小题）19．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．20．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．21．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．22．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．23．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．24．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．25．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．26．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）参考答案一．选择题1．c2．B3．A4．B5C6．B7．C8．D9．C10．B11．B12．B13．：55°．14．：24．15．：AD∥B C．16．：4n﹣3．17．：3．18．:14．三．解答题19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，∵E是▱ABCD的边CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE===4，∴CD=2DE=8．20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABE=∠FCE，∵E为BC中点，∴BE=CE，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA），（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，∴AD=DF，∵△ABE≌△FCE，∴AE=EF，∴DE⊥AF．21．．解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；∴AE=EF，又∵BE=CE∴四边形ABFC是平行四边形．22．证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．23．解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．24．解：（1）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四边形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，∴EM=BE=，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=，∴MC=3，在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，∴EC===10．∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为10．25．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．26．（1）证明：如图1中，连接B D．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，B D．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=AC，FG=BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．。