高考数学必考点专项第3练 对数与对数函数(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
2023届高考数学《对数与对数函数》综合练习题(含答案解析)
2023届高考数学《对数与对数函数》综合练习题（含答案解析）1、已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则()A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0D[由a，b＞0且a≠1，b≠1，及log a b＞1＝log a a可得，当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，代入验证只有D项满足题意．]2、已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则()A．f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数B．f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数C．f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数D．f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数D[函数f(x)的定义域为(－10，10)，又∵f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．又f(x)＝lg(100－x2)，令t＝100－x2，易知t在(0，10)上是减函数，结合复合函数可知，故f(x)在(0，10)上是减函数，故选D.]3、关于函数f(x)＝lg x2＋1|x|(x≠0，x∈R)有下列命题：①函数y＝f(x)的图像关于y轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；③函数f(x)的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数．其中是真命题的序号为________．①③④[∵函数f(x)＝lg x2＋1|x|(x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故①正确；当x ＞0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x ＝lg(x ＋1x )，令t (x )＝x ＋1x ，x ＞0，则t ′(x )＝1－1x 2，可知当x ∈(0，1)时，t ′(x )＜0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )＞0，t (x )单调递增，即f (x )在x ＝1处取得最小值lg2.由偶函数的图像关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.]4、已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围．[解] (1)因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎨⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，由f (x )＞0，得x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1.所以x 的取值范围是(0，1)．5、设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a ＜b ＜10，则abc 的取值范围是________．(0，1) [由题意知，在(0，10)上，函数y ＝|lg x |的图像和直线y ＝c 有两个不同交点，所以ab ＝1，0＜c ＜lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1)．]6、若函数f (x )＝log a (2x －a )在区间[12，23]上恒有f (x )＞0，求实数a 的取值范围． [解] 当0＜a ＜1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )＞0，即0＜43－a ＜1，又2×12－a ＞0，解得13＜a ＜43，且a ＜1，故13＜a ＜1；当a ＞1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )＞0，即1－a ＞1，且2×12－a ＞0，解得a ＜0，且a ＜1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．一、选择题1、函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是( )A ．[1，2]B ．[1，2)C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．(23，＋∞)C [由⎩⎨⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.] 2、若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝() A ．log 2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2A [由题意知f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)．∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .]3、(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 2 0.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aB [∵a ＝log 20.2＜0，b ＝20.2＞1，c ＝0.20.3∈(0，1)，∴a <c <b .故选B.]4、(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1A [由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，所以52lg E 1E 2＝－1.45－(－26.7)＝25.25， 所以lg E 1E 2＝25.25×25＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.] 5、设函数f (x )＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)＞f (2)B ．f (a ＋1)＜f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定A [由已知得0＜a ＜1，所以1＜a ＋1＜2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)＞f (2)．]二、填空题1、计算：lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝________． －1 [原式＝lg 10－3＋ln e 12＋2log 232＝－3＋12＋32＝－1.]2、函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a ＞1)的单调递增区间是________．(5，＋∞) [由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5＞0，得x ＜－1或x ＞5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a ＞1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．]3、设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________． [0，＋∞) [当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x ＞1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x ＞1.综上可知x ≥0.]三、解答题1、设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．[解] (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.2、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)＞－2.[解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )． 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以x ＜0时，f (x )＝log 12(－x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12（－x ），x ＜0.(2)因为f(4)＝log14＝－2，f(x)是偶函数，2所以不等式f(x2－1)＞－2可化为f(|x2－1|)＞f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0＜|x2－1|＜4，解得－5＜x＜5且x≠±1，而x2－1＝0时，f(0)＝0＞－2，所以－5＜x＜ 5.本课结束。
新高考数学文科一轮总复习课时练习3.2对数式与对数函数(含答案详析)
1．(2012年安徽)log 29×log 34＝( )A.14B.12C ．2D ．42．(2011年北京)如果12log x <12log y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x3．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)4．已知A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在A 上的函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的最大值比最小值大1，则底数a 的值为( )A.2πB.π2C ．π－2 D.π2或2π5．(2013年四川资阳一模)已知a ＞0，b ＞0且ab ＝1，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )A B C D6．设a ，b ，c 分别是方程⎝⎛⎭⎫122＝log 2x,2x ＝12log x ，⎝⎛⎭⎫12x ＝12log x 的实数根，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．b <a <c7．设函数f (x )是函数g (x )＝12x 的反函数，则f (4－x 2)的单调递增区间为( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[0,2)D ．(－2,0]8．关于x 的方程lg(ax －1)－lg(x －3)＝1有解，则a 的取值范围是____________．9．已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．10．若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围．1．D 解析：log 29×log 34＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4. 2．D 解析：12log x <12log y ⇒x >y ，12log y <0⇒y >1，即1<y <x .3．A4．D 解析：分0<a <1和a >1两种情况进行讨论．5．B 解析：∵ab ＝1，且a ＞0，b ＞0，∴a ＝1b .又g (x )＝－log b x ＝log b －1x ＝1log bx ＝log a x ，所以f (x )与g (x )的底数相同，单调性相同．故选B.6．B 解析：在同一坐标系下分别画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 2x ，y ＝2x ，y ＝12log x 的图象，将a ，b ，c 看做相应两函数图象的交点，数形结合可得b <c <a .故选B.7．C 解析：显然f (x )＝12log x ，从而得f (4－x 2)＝12log (4－x 2)，其定义域为(－2,2)，x ∈(－2,0)时，4－x 2单调递增；x ∈[0,2)时，4－x 2单调递减．故选C.8.13<a <10 解析：显然有x ＞3，原方程可化为ax －1x －3＝10，故有(10－a )·x ＝29，x ＝2910－a＞3，即2910－a －3>0.化简得3a －1a －10<0，解得13＜a ＜10. 9．解：(1)若f (x )的定义域为R ，则关于x 的不等式ax 2＋2x ＋1＞0的解集为R ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－4a <0.解得a ＞1. (2)若f (x )的值域为R ，则ax 2＋2x ＋1能取一切正数，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0≤a ≤1. 10．解：原方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，(x －2)2＝1－m . 设曲线y 1＝(x －2)2，x ∈(0,3)和直线y 2＝1－m ，如图D46可知：图D46①当1－m ＝0时，有唯一解x 0＝2，此时m ＝1；②当1≤1－m <4时，有唯一解，此时－3<m ≤0.所以当m ＝1或－3<m ≤0时，方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0,3)内有唯一解．。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)10 对数与对数函数 (含详解)
专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212ab c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝ea 增大a 增大C ．28ln 2ab <D ．ln6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <- C ．01b a << D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a <<B．b a <Ca b <D．a b <<例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．a 例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（ ）A．sin sin a b > B ．11a b> C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（ ） A ．a c <B ．b a <C ．c a <D ．a b <例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln xx -+=_______．【过关测试】一、单选题 1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（ ） A ．1393.1610s ⨯ B ．1391.5810s ⨯ C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（ ） A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在0,1上单调递增B ．是奇函数，且在0,1上单调递减C ．是偶函数，且在0,1上单调递增D ．是偶函数，且在0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点 A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ）A b a <<B ．b a <C a b <D ．a b <<二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b+的最小值是4 B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（ ）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（ ）AB C D三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论： ①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--； ④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减． 其中所有正确结论的序号为______． 四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M . (1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O为坐标原点，记AMO的面积为S，求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-． 【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可； （2）利用指对互化可得实数x 的值；（3）先求出a ，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；a 增大a 增大（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=（2）由37b =得到3log 7b =， 由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】【分析】（1）设3461a b c k ===>，应用指对数的互化有346log ,log ,log a k b k c k ===，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求21a b +、2c，即可证结论；（2）应用指对数互化有6060log 3,log 5a b ==，应用对数的运算性质求12(1)a bb ---，进而可求12(1)12a b b ---的值.【详解】（1）设346a b c k ===，则1k >. ∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k+=+=+=+==， 而6222log 6log k c k==， ∴212a b c+=. （2）由题设知：6060log 3,log 5a b ==，得606011log 5log 12b -=-=，60606011log 3log 5log 4a b --=--=， ∴60121260log 42log 21log 22(1)2log 122a b b --===-， 则121log 22(1)12122a b b ---==.例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100 B ．b －a ＝e C ．28ln 2ab < D ．ln6b a ->【答案】D 【解析】 【分析】利用指数和对数互化，得到a ，b 后逐项判断. 【详解】对于A ，由e 4a =，e 25b =，得ln 4a =，ln 25b =，所以ln 4ln 25ln100a b +=+=，故A 错误；对于B ，25ln 25ln 4ln4b a -=-=，故B 错误； 对于C ，2ln 4ln 252ln 2ln168ln 2ab =⨯>⨯=，故C 错误；对于D ，25ln 25ln 4lnln 64b a -=-=>，故D 正确． 故选：D ．例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】 根据y x x y =得到lg lg x xy y =，再利用换底公式得到2x y=，利用lg 2lg x y =，即2x y =，求出4x =，2y =，所以6x y +=.【详解】由y x x y =，得lg lg y x x y =，lg lg x xy y=. 由log 4y x x y +=，lg log lg y x x y =，所以lg 4lg x x y y+=， 所以4x xy y +=，解得：2x y=，则lg 2lg x y =，即2x y =， 所以4x =，2y =，所以6x y +=， 故选：C.例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减， 由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．【答案】12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 分1x ≤、12x <≤和2x >，依次解不等式，再取并集即可.【详解】当1x ≤时，不等式()(1)f x f x <-为2211(1)x x -<--，解得112x <≤； 当12x <≤时，不等式()(1)f x f x <-为212log 1(1)x x <--，易知21122log log 10,1(1)0x x <=--≥，解得12x <≤；当2x >时，不等式()(1)f x f x <-为1122log log (1)x x <-，解得2x >；综上，解集为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.故答案为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】12log x，（log a x ，(0<a <1)都对）【解析】 【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质； 【详解】对于条件①，不妨设12x x <，则210x x ->，∵()()21210f x f x x x -<-，∴()()210f x f x -<∴12()()f x f x >，∴()f x 为()0,+∞上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数. 故答案为:12log x.（log ax ，(0<a <1)都对）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值. 【答案】（1）9x =或181x =；（2）2a =. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出()f x 范围，换元借助一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）由已知得()31f =，即log 31m =，则3m =，于是得()3log f x x =， 方程222()(1)()10()2()80f x m f x m f x f x +-+-=⇔+-=， 从而得()2f x =或()4f x =-，即3log 2x =或3log 4x =-，9x =或181x =， 所以原方程的根为9x =或181x =； （2）依题意，函数()3log f x x =中，1,93x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得()3log 1,2x ∈-.又()()()()3310log 1log 0f x a f x x x a +⋅->⇔+⋅-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令3log x t =， 即一元二次不等式()()10t t a +⋅-<的解集为()1,2-，因此有-1，2是关于t 的方程()()10t t a +⋅-=的两根，则2a =， 所以实数a 的值为2.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >【答案】C 【解析】 【分析】结合函数()f x 的图象可得1a >和10b -<<，然后逐项分析即可求出结果. 【详解】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确； 因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A．3-B ．1C ． 3+D ．2+【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质，可得()2,1A --，可得21m n +=，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】解：因为函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --，所以210m n --+=，即21m n +=， 所以()1111223n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 又0mn >，所以0,0n mm n>>所以2333n m m n ++≥=，当且仅当2n m m n =，即1n =时取等号.故选：C.（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a x f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a +≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】ln 31[,)3e【解析】 【分析】由分段函数解析式，结合导数研究|()|f x 的性质，再将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，应用数形结合的思想有(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或(1)y a x =+过(2,ln 3)时参数a 的值，即可知a 的取值范围. 【详解】由题设，20x -≤<上239()2()48f x x =--+，故值域为[14,0]-且单调递增；02x ≤≤上()f x '=101x -<+，故()f x 值域为[ln 3,0]-且单调递减； ∴|()|f x 在20x -≤<上值域为[0,14]且单调递减；在02x ≤≤上值域为[0,ln 3]且单调递增； 要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如下：∴由图知：要使函数图象有3个交点，则(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点， 由02x ≤≤，1()|()|ln1g x f x x ==-+，则1()|()|1g x f x x '==+，此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切时，切点为(,(1))m a m +， ∴111ln (1)1a m a m m ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=+⎪+⎩，可得1e a =，当(1)y a x =+过(2,ln 3)时，有3ln3a =，得ln 33a =， ∴ln 313ea ≤<. 故答案为：ln 31[,)3e【点睛】关键点点睛：根据已知研究|()|f x 的性质，并将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+的交点问题，应用导数的几何意义、数形结合的思想求参数范围.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性法则“同增异减”即可求解.【详解】函数()22log 43y x x=+-的定义域为()1,4-.要求函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间，只需求243y x x =+-的增区间，只需32x <. 所以312x -<<. 所以函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解. 【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】 【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a ->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =>3log y x =单调性，b >解. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-， 因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <， 其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <． 故选：A例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．a【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性可求出结果. 【详解】∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log ax 在[a 2，a ]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝log aa 2＝2． 故选：C例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．C ．⎛ ⎝⎭D ．)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，则0∆>，即可求出a 的大致范围，再令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，对a 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得a >a <()1,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23a x =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，分1a >和01a <<两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】当1a >时，由1(0,)2x ∈，可得log 0a x <，则log 0a x ->，又由20x >，此时不等式2log 0a x x -<不成立，不合题意；当01a <<时，函数log a y x =在1(0,)2上单调递减，此时函数log a y x =-在1(0,)2上单调递增，又由2yx 在1(0,)2上单调递增，要使得不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立，可得211()log 022a -≤，解得1116a ≤<.故选：A.例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A 【解析】根据题意，先求得12a =，把不等式()()1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，转化为402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <； 由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A. 例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】将问题转化为在对应区间上max max ()()f x g x ≥，结合对勾函数、对数函数的性质求()f x 、()g x 的区间最值，即可求a 的范围. 【详解】若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ， 由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可.在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立， 由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =. 在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+， 所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】12ea ≥. 【解析】 【分析】把不等式作等价变形，构造函数()ln g x x x =+，借助其单调性可得2e x a x ≥，分离参数构造函数并求出最大值作答. 【详解】函数()ln f x x x =-定义域为(0,)+∞，则(0,)∀∈+∞x ：222()e ln 0e ln l 2n e ln ln x x x f x a a a a x a a x x x x++≥⇔+≥⇔+≥+++22e e )n ln(l x x a a x x ⇔≥++，令()ln g x x x =+，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，则有原不等式等价于()()2e xg a g x ≥22e e x xx a x a ⇔≥⇔≥， 令2()e x x h x =，0x >，求导得：212()exx h x -'=，当102x <<时，()0h x '>，当12x >时，()0h x '<， 因此，函数()h x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减，当12x =时，max 11()()22eh x h ==，则12ea ≥， 所以实数a 的取值范围是12ea ≥. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，进而得260+-=a a ，解方程得2a =；（2）根据题意，将问题转化为对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立，进而求函数的最值即可. 【详解】解：（1）因为函数,log (0,1)xa y a y x a a ==>≠在[1,2]上的单调性相同， 所以函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，所以函数()f x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为2log 26log 2a a a a ++=+，所以260+-=a a ，解得2a =和3a =-（舍） 所以实数a 的值为2.（2）由（1）得2()2log x f x x =+，因为对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，所以对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立， 当[2,)x ∈+∞时，2()2log x f x x =+为单调递增函数， 所以()()25f x f ≥=，所以11()5f x ≤，即15k ≥ 所以实数k 的取值范围1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立求解.例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)13a =；(2)()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由()32f =可求得log 3a 的值，进而可求得实数a 的值；（2）由()6f x >可得出log 3a x <-或log 1>a x ，分01a <<、1a >两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：因为()32f =，所以()2log 32log 332a a ++=，所以()2log 310a +=，所以log 31a =-，解得13a =.(2)解：由()6f x >，得()2log 2log 30a a x x +->，即()()log 3log 10a a x x +->，即log 3a x <-或log 1>a x .当01a <<时，log 12log log 8a a a x ≤≤，则log 83a <-或log 121a >，因为log 12log 10a a <=，则log 121a >不成立，由log 83a <-可得318a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得112a <<；当1a >时，log 8log log 12a a a x ≤≤，则log 123a <-或log 81a >，因为log 12log 10a a >=，则log 123a <-不成立，所以log 81a >，解得18a <<. 综上，a 的取值范围是()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；。
高考真题与模拟训练 专题03 指数、对数函数、幂函数(解析版)
专题3 指数、对数函数、幂函数一、单选题1．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【解析】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈. 故选：C.2．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】B【解析】()()2222ln1.01ln1.01ln 10.01ln 120.010.01ln1.02a b ===+=+⨯+>=,所以b a <;下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+,则()00f =,()2121x f x x -='=+， 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>,()1x >+,()0f x '>,所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=,即2ln1.011>,即a c >;令()()ln 121g x x =+,则()00g =,()212212x g x x -=-=+', 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<,所以()0g x '<,即函数()g x 在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=,即ln1.021<,即b <c ;综上，b c a <<, 故选：B.3．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222xxy -=+D ．4ln ln y x x=+【答案】C【解析】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x xx x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．4．（2020·海南高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】D【解析】由2450x x -->得5x >或1x <-所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以5a ≥ 故选：D5．（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.6．（2020·全国高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C 【解析】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.7．（2020·全国高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ）A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.8．（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称， 又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 故选：D.9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.10．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．11．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b∴+=1101a b ∴<+<,即01a b ab+<< 又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.二、填空题12．已知常数0a >，函数()22xx f x ax=+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______．【答案】6【解析】函数f （x ）=22xx ax+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．则：226112255p q pq ap aq +=-=++， 整理得：22222222p q p q p qp q p q aq ap aq ap a pq+++++++++=1，解得：2p+q=a 2pq ， 由于：2p+q =36pq ， 所以：a 2=36， 由于a ＞0， 故：a=6． 故答案为613．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．【答案】-1【解析】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}， 幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1． 故答案为﹣1．一、单选题1．设1n n c q -=，n T 是{}n c 的前n 项和.若{}n c 是递增数列，且对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n T c T c +-≤-.则q 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．[2,)+∞【答案】D 【解析】1n n c q-=，1nn c q +=，11mm q T q-=-，因为{}n c 是递增数列， 所以1q >．因为10m nm n T c T c +-≤-，所以对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得1n m n c T c +≤<， 即：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得111m n n q qq q--≤<-， ①当12q <<时，由题意可知：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，11mn qq q-<-成立， 则()(1)[1]m nmin min q qq -<-成立，而(1)0mmin q -=，()[1]0nmin qq -=，解不等式00<无解．②当2q ≤时，由题意可知：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，11mn q q q-<-成立，则()(1)[1]m nmin min q qq -<-成立，而(1)1mmin q -=，()[1]2nmin qq -=，恒成立.故选：D ．2．若实数a ，b 满足1a b >>，()log log a a m b =，()2log a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ） A ．m l n >> B ．l n m >> C ．n l m >> D ．l m n >>【答案】B【解析】∵实数a ，b 满足1a a a b m log log b=＞＞，（），2()a n log b =，2a l logb =， 01110a a a a a a log log b log a m log log blog ∴==∴==＜＜，（）＜，0＜ 2()a n log b = 1＜，1＞ 2a l log b = 2a log b =＞ 2()a n log b =．∴m ，n ，l 的大小关系为l n m >>． 故选B ．3．已知函数()()1ln 11xxxf x e ex--=+-+，若()1f a =，则()f a -=（ ） A ．1 B ．1-C ．3D ．3-【答案】D 【解析】由题得111(ln11,(ln 2,(ln 2,111a a a a a a a a ae e e e e e a a a-----++-=∴+=∴-+=++-））） 1(ln2.1a a ae e a-+∴+=--） 所以1()(ln 121 3.1a aa f a e e a-+-=+-=--=--）故答案为D 4．函数xy a =（0a >且1a ≠）与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称，则函数()y f x =与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为函数xy a =（0a >且1a ≠）与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称，所以()log a f x x =，在选项A 中，对数函数的图像单调递增，所以a >1, 所以a -1>0,所以二次函数的抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为1102(1)2(1)x a a -=-=>--所以选项A 是正确的， 故选A ..5．设函数21,2()5,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ） A ．(16,32) B ．(18,34)C ．(17,35)D ．(6,7)【答案】B【解析】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<． 故选：B ．6．已知函数ln ,010()(20),1020x x f x f x x ⎧<≤=⎨-<<⎩，设方程()()f x t t R =∈的四个不等实根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列判断中错误的是（ ）A ．123440x x x x +++=B ．121=x xC ．34361x x =D ．()3434203990x x x x -++=【答案】C【解析】由题意知函数()f x 的图象关于直线10x =对称，故142320x x x x +=+=，123440x x x x +∴++=，故A 正确；又1212ln ln ,1x x x x -==，故B 正确；又()()()()343421122039920202040399x x x x x x x x -++=----++⎡⎤⎣⎦()()12121240020800203990x x x x x x =-++-+++=，故D 正确；故选：C . 二、填空题7．已知函数()1log a x x f =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图象过点(2,4)，则a 的值为 . 【答案】48．已知函数lg(1),0,()1,0,2xx x f x x +>⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩则[(0)][(2)]f f f f +-=___________．【答案】1【解析】由题意01(0)()12f ==，21(2)()42f --==，∴[(0)][(2)](1)(4)lg 2lg51f f f f f f +-=+=+=． 故答案为：1．9．若函数()f x ，()g x 满足：()0,x ∀∈+∞，均有()f x x >，()g x x <成立，则称“()f x 与()g x 关于y x =分离”.已知函数()xf x a =与()log a g x x =（0a >，且1a ≠）关于y x =分离，则a 的取值范围是________.【答案】1,ee ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】函数()xf x a =与()log a g x x =的图象关于y x =对称当()f x 与()g x 相切于y x =上一点()00,M x y 时，()()000f x g x x ==，()()001f x g x ''==即()()00ln 1,111,2ln x a a x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由()2可得01ln x a =，代入（1）得1ln ln 1a a a =所以1ln 1ln aaa =，两边同时取对数得1ln 1ln ln ln a a a=，即11ln ln 1ln ln a a a == 所以1ln e a =，解得1e a e = 此时000log x a ax x ==，即()()00f x g x =又因为11ea a e ⎛⎫>> ⎪⎝⎭越大，()x f x a =的图象越靠近y 轴，()log a g x x =的图象越靠近x 轴所以当函数()xf x a =与()log a g x x =关于y x =分离时，1,e a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故答案为：1,ee ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知n ∈N *,2nn a =，21n b n =-，{}1122max ,,,n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-，其中{}12max ,,,s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．数列{}n c 的前n 项和为n T ，若 0n n a T λ+≥对任意的n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值是______． 【答案】89【解析】设212nn n n d b a n n n =-=--()()112112212220n n nn n d d n n n n ++⎡⎤-=+-+---=-≤⎣⎦， 即123n d d d d =>>>>∴11112n c d b a n n ==-=-∴()21122n n n T n -+-==-即220nn λ-≥，22nnλ≤由2y x =与y 2x=图象可知：在第一象限n 取正整数时，仅有n=3时，22n n ＜即2289n n ≥ ∴89λ≤，即实数λ的最大值是89 故答案为89三、解答题11．已知函数4()()2x xmf x m R +=∈. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()y f x =为R 上的偶函数，且关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）1m =，偶函数；1m =-，奇函数；1m ≠±，非奇非偶函数，理由见解析；（2）1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）f （﹣x ）＝2﹣x +m •2x ，若f （x ）是偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），即2﹣x +m •2x ＝2x +m •2﹣x ， 所以（m ﹣1）（2x ﹣2﹣x ）＝0对任意实数x 成立，所以m ＝1；若f （x ）是奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即2﹣x +m •2x ＝﹣2x ﹣m •2﹣x ， 所以（m +1）（2x +2﹣x ）＝0对任意实数x 成立，所以m ＝﹣1．综上，当m ＝1时，f （x ）是偶函数；当m ＝﹣1时，f （x ）是奇函数；当m ≠±1时，f （x ）既不是奇函数也不是偶函数．（2）f （x ）412x x+=＞0，3k 2+1＞0， 且2k •f （x ）＞3k 2+1在（﹣∞，0）上恒成立，故原不等式等价于()22131k k f x +＞在（﹣∞，0）上恒成立，又x ∈（﹣∞，0），所以f （x ）∈（2，+∞）， 所以()1102f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 从而221312k k ≥+，即有3k 2﹣4k +1≤0， 因此，113k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 12．已知()12)f x g x =，其中b 是常数. (1)若()y f x =是奇函数，求b 的值；(2)求证：()y f x =的图像上不存在两点A B 、，使得直线AB 平行于x 轴. 【答案】(1) 1b =. (2)见解析.【解析】(1)设()y f x =定义域为D ， 因为()y f x =是奇函数，所以对任意x D ∈, 有()()0f x f x +-=，))lg2lg20x x +=整理得lg 0b =，故1b =.此时()12)f x g x =，D R =，为奇函数. (2)若0b >，则D R =， 若0b =，则()0,D =+∞， 若0b <，则D ⎫=+∞⎪⎪⎣⎭， 设定义域D 内任意12x x <，设()2h x x =+，x D ∈.1212()()22h x h x x x -=2212]x x =-122()x x =-1)+.当0b <12x x ≤<，12122()122x xx x+>=+，得12()()h x h x<；当0b=时，1=，得12()()h x h x<；当0b>时，12x x-<12x≥22x≥，11∴-<<，得12()()h x h x<，故总有()h x在定义域D上单调递增，所以总有()f x 在定义域D上单调递增.()y f x∴=的图像上不存在两点,使得所连的直线与x轴平行.13．已知数列{}n a是公比为2的等比数列，且2a，31a+，4a成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）记21221log?lognn nba a++=，nT是数列{}n b的前n项和，若0.99nT>，求n的最小值.【答案】（I）12nna.（II）n的最小值为100.【解析】（I）∵2a，31a+，4a成等差数列，∴()3242+1a a a=+，又数列{}n a是公比为2的等比数列，∴()11124+128a a a=+，解得11a=，∴12nna-=．（II）由（Ⅰ）得()21221111log log11nn nba a n n n n++===-++，∴1211111111223111n nnT b b bn n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由0.99n T >，得0.991nn >+， ∴99n >， 又*n N ∈，∴n 的最小值为100. 14．已知函数22,?10,()=1,? 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩(1) 求函数()f x 的反函数1()f x -；(2)试问:函数()f x 的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若方程()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足:123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值．【答案】（1）1,? 0<2,2?10.x x x ⎧-≤⎪-≤≤；（2）存在点1,2(12)A B --关于原点对称；（3【解析】(1)()22,10,=1,0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩∴当10x -≤<时，()()2,02f x x f x =-<≤.由2y x =-，得12x y =-，互换,x y ，可得()11(02)2f x x x -=-<≤. 当01x ≤≤时，()()21,10f x x f x =--≤≤.由21y x =-，得x =,x y ，可得())110fx x -=-≤≤.()11,0<2,210.x x f x x -⎧-≤⎪∴=-≤≤(2) 答：函数图象上存在两点关于原点对称.设点()()00000,(01),A x y x B x y <≤--、是函数图象上关于原点对称的点，则()()000f x f x +-=，即200120x x -+=，解得001(1,x x ==舍去），且满足01x <≤ .因此，函数图象上存在点()1,2,12AB -关于原点对称.(3) 考察函数()y f x =与函数y =的图象，可得当12x -≤≤-时，有()f x ≥4240x ax ---=，解得2+2x a =-，且由21+22a -≤-≤-，得02a ≤≤.当1x <≤时，有()f x <240ax -=，化简得()22440ax ax ++=，解得24=0+4a x x a =-，(当02a ≤≤时，24024aa -<-<+). 于是，123224,,024ax x x a a =-=-=++.由()32212x x x x -=-，得22442=2(+)+442a a a a a -++，解得a =因为312a -=<-，故32a --=不符合题意，舍去；02a <=<，满足条件.因此，所求实数a =.。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数的图象大致是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为f(－x)＝f(x)，可知函数图象关于y轴对称，且f(0)＝0，可知选A【考点】对数的性质，函数的图象2.函数f(x)＝log(2x－1)的定义域为________________.2【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c 的取值范围为（）A．（）B．（）C．（，12）D．（6，l2）【答案】B【解析】由,可知,,则, ,位于函数的减区间，所以将和代入，得到结果（），故选B.【考点】1.分段函数的图象；2.对勾函数求最值.4.等比数列的各项均为正数，且，则 .【答案】.【解析】由题意知，且数列的各项均为正数，所以，，.【考点】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算，属于中等偏难题.5.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.6. [2014·济南调研]下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1]B．C．D．[1,2)【答案】D【解析】当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增．7.函数的定义域是．【答案】【解析】只需，∴，所以函数的定义域是.【考点】函数的定义域.8.若，且，则（）A．0B．C．1D．2【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】对数的运算.9.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.10.设且.若对恒成立,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】时显然不成立.当时，结合图象可知：.【考点】对数函数与三角函数.11.定义两个实数间的一种运算“”：，、.对任意实数、、，给出如下结论：；②；③.其中正确的个数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题中的定义，对于命题，左边，右边，左边右边，命题正确；对于命题②，左边，右边左边，命题②正确；对于命题③，左边，右边，左边右边，命题③也正确.故选D.【考点】新定义12.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，根据的图象，设，∵关于x的方程有有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上．设，①当有一个根为时，，，此时另一根为，符合题意．②当没有根为时，则：，解得，综上可得，m 的取值范围是．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．13. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值． 【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B －x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.14. 计算：(lg5)2＋lg2×lg50＝________． 【答案】1【解析】原式＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.15. 计算:lg -lg +lg7= .【答案】【解析】原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+ lg5=2lg2+(lg2+lg5)-2lg2=.16. 下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．C ．D ．[1,2)【答案】D【解析】法一：当2－x>1，即x<1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.法二：f(x)＝|ln(2－x)|的图像如图所示．由图像可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.17.已知函数，则．【答案】【解析】.【考点】对数函数求值18.在各项均为正数的等比数列中，若，则．【答案】2【解析】因为，所以，所以，因为数列是等比数列，所以【考点】1.对数的运算；2.等比数列的性质。
专题3.6 对数与对数函数(精练)(解析版)
专题3.6 对数与对数函数一、选择题1．（2019·陕西西安中学高考模拟（理））已知集合A ={x|−1<x <3}，B ={x|y =lg(x −1)}，则A ∩(∁R B)=（ ） A ．(1,3) B ．(−1,3) C ．(−1,1) D ．(−1,1]【答案】D 【解析】∵B ={x|x >1}； ∴∁R B ={x|x ≤1}； ∴A ∩(∁R B)=(−1,1]． 故选：D ．2．（2018·全国高考真题（文））下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是( ) A ．ln(1)y x =- B ．ln(2)y x =- C ．ln(1)y x =+ D ．ln(2)y x =+【答案】B 【解析】函数y lnx =过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有()y ln 2x =-过此点. 故选项B 正确3．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））已知函数()log a y x b =-的大致图象如下图，则幂函数ba y x =在第一象限的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由()log a y x b =-的图象可知，1log (1)0log (2)0a a a b b >⎧⎪-<⎨⎪->⎩，所以101121a b b >⎧⎪<-<⎨⎪->⎩，得1a >，01b <<，所以01ba<<，所以幂函数b a y x =在第一象限的图象可能为B . 故选：B.4．（2019·北京高考模拟（文））已知3log a e =，ln 3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】32.7182o 8l g e x y ⋯＝，＝是增函数，所以33log e >log 2，即a c ＞，33log e <log 31a ==， ln3log 3log 1e e b e ==>=，所以b a c ＞＞, 故选：D5．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））已知2log 6a =，5log 15b =，7log 21c =则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】由于22log 6log 42a =>=，772log 211log 3,c a c >==+∴> 552log 151log 3b >==+， 33log 7log 5>，可得b c >，综合可得a b c >>， 故选B.6.（2019·山西省静乐县第一中学高三月考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，2()log (1),f x x =-则(7)f =（ ）．A ．3-B ．2log 6C ．3D ．2log 6-【答案】A 【解析】由题意得，()()227log 17log 83f -=--==⎡⎤⎣⎦，函数()y f x =为奇函数，所以，()()773f f =--=-，故选：A. 7.（2019·河南高考模拟（理））设lg6a =，lg 20b =，则2log 3=（ ） A ．11a b b +-+B ．11a b b +--C ．11a b b -++D ．11a b b -+-【答案】D 【解析】2312a lg lg b lg =+⎧⎨=+⎩ ，2131lg b lg a b =-⎧∴⎨=-+⎩ ，则2lg31log 3lg21a b b -+==-. 故选：D8.（2019·河北高三月考（理））已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ）A.43- B.2332 C.34D.38-【答案】A 【解析】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数，由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选：A.9.（2019·山东高考模拟（文））设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由“l 22og log a b <”，得2211log log a b<，得22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞， 即011a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜， 由222a b ＞＞，得1a b ＞＞， 故“22log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：C ．10.（2019·安徽高考模拟（理））若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a < B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】D 【解析】当x 2≤时，f （x ）＝22x 22x --=，单调递减，∴f （x ）的最小值为f(2)=1，当x ＞2时，f （x ）＝()2log x a +单调递增，若满足题意，只需()21log x a +≥恒成立， 即2x a +≥恒成立，∴2x min a （）≥-，∴a ≥0，故选：D ． 二、多选题11．（2020·全国高一课时练习）已知函数2222()(log )log 3f x x x =--，则下列说法正确的是（ ）A ．(4)3f =-B ．函数()y f x =的图象与x 轴有两个交点C ．函数()y f x =的最小值为4-D ．函数()y f x =的最大值为4E.函数()y f x =的图象关于直线2x =对称 【答案】ABC 【解析】A 正确，2222(4)(log 4)log 433f =--=-；B 正确，令()0f x =，得22(log 1)(log 3)0x x +-=， 解得12x =或8x =，即()f x 的图象与x 有两个交点； C 正确，因为22()(log 1)4(0)f x x x =-->，所以当2log 1x =， 即2x =时，()f x 取最小值4-； D 错误，()f x 没有最大值；E 错误，取1x =，则(1)3(3)f f =-≠. 故选：ABC .12．（2020·泊头市第一中学高二开学考试）已知a ，b 均为正实数，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则ab=（ ）A ．12B ．2C D ．2【答案】AD 【解析】 令log a t b =， 则152t t +=， 22520t t ∴-+=，(21)(2)0t t --=，12t ∴=或2t =， 1log 2a b ∴=或log 2a b =2a b ∴=或2a b =b a a b =，代入得 22b a b ==或22b a a ==2b ∴=，4a =或2a =，4b =∴2a b =．或12a b = 故选：AD.13．（2019·山东省高三月考）已知函数()()1lg ,0,,0.x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩，若()()12f f a +=，则a 的所有可能值为（ ） A ．1 B ．1-C ．10D ．10-【答案】AD 【解析】()()1lg ,0,,0.x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩∴()1111f e -==()()12f f a +=∴()1f a =当0a ≥时，由()11f = 可得1a =当0a <，()1f a = 可得()lg 1a -= 解得10a =-∴a 的所有可能值为：1a =或10a =-故选：AD.14．（2019·福建省厦门一中高一期中）已知函数()()2lg 1f x x ax a =+--，给出下述论述，其中正确的是（ ）A ．当0a =时，()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞B ．()f x 一定有最小值；C ．当0a =时，()f x 的值域为R ；D ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4|a a ≥- 【答案】AC 【解析】对A ,当0a =时,解210x ->有()(),11,x ∈-∞-+∞,故A 正确对B ,当0a =时,()()2lg 1f x x =-,此时()(),11,x ∈-∞-+∞,()210,x -∈+∞,此时()()2lg 1f x x =-值域为R ,故B 错误.对C ,同B ,故C 正确.对D , 若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增,此时21y x ax a =+--对称轴22ax =-≤. 解得4a ≥-.但当4a =-时()()2lg 43f x x x =-+在2x =处无定义,故D 错误.故选AC 三、填空题15．（2020·北京高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞16.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=log 2(x 2+a )，若f (3)=1，则a =________． 【答案】-7【解析】根据题意有f(3)=log 2(9+a)=1，可得9+a =2，所以a =−7，故答案是−7..17.（2018·上海市大同中学高一期末）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()1,2 【解析】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立， 由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数， 所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅， 当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数， 所以0a -<，即0a >，所以1a >， 综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为：()1,2.18．（浙江省重点中学2019届高三12月期末热身）若2a =3b ＝6，则4−a ＝_ __；1a+1b ＝__ _.【答案】136 1 【解析】由题可得：a =log 26，b =log 36，所以4−a =4−log 26=122log 26=12log 262=162=136，1a+1b=1log 26+1log 36=log 62+log 63=log 6(2×3)=1.19.（浙江省嘉兴市2019 届高三上期末）计算：2lg2+lg25=______ ，方程log 2(x +1)=3的解为______. 【答案】2 x =7； 【解析】根据对数的运算得到2lg2+lg25=lg4+lg25=lg100=2; 方程log 2(x +1)=3,即8=x +1⇒x =7. 故答案为：(1). 2;(2)x =7.20.（浙江省温州九校2019届高三第一次联考）若，则________,________【答案】1;52. 【解析】∵2a =3,∴a =log 23, 则ab =log 23⋅log 32=log 23⋅1log23=1,3b +3−b =3log 32+3−log 32=2+12=52. 即答案为(1). 1 (2). 5221．（浙江省2019届高考模拟卷（一)）已知函数f(x)={x 2+2x ，x ≤0，log 2(x +1)，x >0，则f(f(−3))=____，f (x )的最小值为_____． 【答案】 2 −1 【解析】函数f (x )={x 2+2x,x ≤0log 2(x +1),x >0，则f(f (−3))=f (9−6)=f (3)=log 24=2， 当x ≤0时，二次函数开口向上，对称轴x =−1， ∴函数的最小值为f (−1)=1−2=−1；当x ≥0时，函数是增函数，x =0时函数取得最小值为0，∴x >0时，f (x )>0，综上函数的最小值为−1，故答案为 2， −1. 四、解答题22．已知函数()lg(3)f x ax =-的图像经过定点(2,0)． (1)求a 的值；(2)设(3),(5)f m f n ==，求21log 63（用,m n 表示）； 【答案】（1）2a =；（2）2m nm n++【解析】(1)由已知得231a -=得：2a =(2)由(1)得()()lg 23f x x =-，则()()3lg3,5lg7f m f n ====， ∴21lg632lg3lg72log 63lg21lg3lg7m nm n++===++ 23.已知2a >，函数()()()44log 2log f x x a x =---. （1）求()f x 的定义域；（2）当4a =时，求不等式()()253f x f -≤的解集. 【答案】（1）(2,)a ；（2）7(,4]2. 【解析】（1）由题意得：200x a x ->⎧⎨->⎩，解得2x x a >⎧⎨<⎩因为2a >，所以2x a << 故()f x 的定义域为()2,a（2）因为4a =，所以()()()4425log 27log 92f x x x -=---，()443log 1log 10f =-=， 因为()()253f x f -≤，所以()()44log 27log 920x x ---≤，即()()44log 27log 92x x -≤-从而2709202792x x x x->⎧⎪->⎨⎪-≤-⎩，解得742x <≤故不等式()()253f x f -≤的解集为7,42⎛⎤⎥⎝⎦. 24.已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠）在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2.（1）求a 的值；（2）若01a <<，求使得(()2)0f f x ->成立的x 的取值范围.【答案】（112；（2）1184x <<. 【解析】 （1）由题意，当1a >时，函数()log a f x x =在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，因此max ()(2)log 22a f x f ===，解得a =当01a <<时，函数()log a f x x =在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 因此14max 1()()log 24a f x f ===，解得12a =.综上可知：a =12a =. （2）由不等式(()2)0f f x ->，即log (()2)log 1a a f x ->，又01a <<，根据对数函数的性质，可得0()21f x <-<， 即122log 3x <<，解得1184x <<. 25.已知函数f(x)=log a (ax −1)(a >0且a ≠1)．(1)当a =3时，f(x)<1，求实数x 的取值范围．(2)若f(x)在[3,6]上的最大值大于0，求a 的取值范围．【答案】（1）{x |13<x <43 }；（2）(13，23)∪(1，+∞)【解析】（1）当a=3时，log 3(3x −1)＜1，0＜3x −1＜3，得13<x <43（2）∵a ＞0，∴y =ax −1在定义域内单调递增，当a ＞1时，函数f (x )在[3,6]上单调递增，f (x )max =f (6)=log a (6a −1)＞0，得6a −1＞1，即a ＞13，又a ＞1，故a ＞1；当0<a ＜1时，函数f (x )在[3,6]上单调递减，f (x )max =f (3)=log a (3a −1)＞0，得0＜3a −1＜1，13<a <23；又因为y =ax −1＞0在[3,6]上恒成立，故a ＞1x ，即a ＞13综上：a 的取值范围(13，23)∪(1，+∞)26.已知函数()a f x log x(a 0,a 1)=>≠的图象过点1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． (Ⅰ)判断函数()()()g x f 1x f 1x =++-的奇偶性并求其值域；(Ⅰ)若关于x 的方程()2f x tx 82-+=在[]1,4上有解，求实数t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(],0∞-； （Ⅰ）[]4,5.【解析】函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的图象过点1,24⎛⎫-⎪⎝⎭ 即：1log 24a =- 2a ⇒= ()2log f x x ∴=（Ⅰ）()()()()()()222211log 1log 1log 1g x f x f x x x x =++-=++-=- 则()g x 的定义域为()1,1-，关于原点对称且()()()()()2222log 1log 1g x x x g x -=--=-= 故()g x 为偶函数又由()1,1x ∈- (]210,1x ⇒-∈ 故()(],0g x ∈-∞，即()g x 和值域为(],0-∞（Ⅰ）若关于x 的方程()282f x tx -+=在[]1,4上有解 即284x tx -+=，即240x tx -+=在[]1,4上有解 即244x t x x x+==+在[]1,4上有解 由对勾函数的图象和性质可得：当2x =时，4x x +取最小值4；当1x =或4x =时，4x x+取最大值5 故实数t 的取值范围是[]4,527.（江西省景德镇一中2018-2019学年高一上期中）已知函数2()log (9)(0,1)a f x x ax a a =-+->≠.（1）当10=a 时，求f (x )的值域和单调减区间；（2）若f (x )存在单调递增区间，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),16;5,9lg -∞（2）6a >【解析】（1）当10a =时，()()()(221010log 109log [516f x x x x ⎤=-+-=--+⎦， 设()22109516t x x x =-+-=--+， 由21090x x -+->，得21090x x -+<，得19x <<，即函数的定义域为()1,9，此时()(]25160,16t x =--+∈，则1010log log 16y t =≤，即函数的值域为(],16lg -∞，要求()f x 的单调减区间，等价为求()2516t x =--+的单调递减区间， ()2516t x =--+的单调递减区间为[)5,9， ()f x ∴的单调递减区间为[)5,9．（2）若()f x 存在单调递增区间，则当1a >，则函数29t x ax =-+-存在单调递增区间即可，则判别式2360a ∆=->得6a >或6a <-舍，当01a <<，则函数29t x ax =-+-存在单调递减区间即可，则判别式2360a ∆=->得6a >或6a <-，此时a 不成立，综上实数a 的取值范围是6a >．。
2024全国高考真题数学汇编：对数与对数函数
2024全国高考真题数学汇编对数与对数函数一、单选题1．（2024天津高考真题）若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>2．（2024全国高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞3．（2024北京高考真题）生物丰富度指数 1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =4．（2024北京高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 5．（2024全国高考真题）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1二、填空题 6．（2024全国高考真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．参考答案1．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B2．B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1x f x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1a a -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-.故选：B.3．D 【分析】根据题意分析可得12112.1, 3.15ln ln S S N N --==，消去S 即可求解. 【详解】由题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N --==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =. 故选：D.4．B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x +++>=，故B 正确，A 错误； 对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.5．C 【分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∞∈-+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b ++，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立， 所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤； ()1,x b ∞∈-+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当11,22a b =-=时，等号成立， 所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 6．64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=， 2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >， 所以622log 6log 2a ==，故6264a == 故答案为：64.。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)【答案】Ｄ【解析】首先由得函数的定义域为(－∞，－2) (2，＋∞)；再令，则在（０，＋∞）是减函数，又因为在(－∞，－2)上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间为(－∞，－2)；故选Ｄ．【考点】复合函数的单调性．2.已知函数为奇函数则实数的值为【答案】1【解析】由奇函数得：，，，因为，所以【考点】奇函数3.计算．【答案】2【解析】【考点】对数式的运算.4.已知函数为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，的图象是由的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知，故选D.【考点】对数函数的图象和性质.5.设且.若对恒成立,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】时显然不成立.当时，结合图象可知：.【考点】对数函数与三角函数.6.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.7. (1)解方程：(2)已知命题命题且命题是的必要条件，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解对数方程，一般把利用对数的运算法则把对数方程变形为，转化为代数方程，但解题过程中要注意对数函数的定义域，即，；（2）这类问题的解决，首先要把两个命题化简，本题中命题化为：，命题是命题的必要条件，说明由命题成立可推导出命题也成立，若把命题成立时的变量的集合分别记为，从集合角度，即有，由此我们可得出关于的不等关系，从而求出的取值范围. 试题解析：（1）解：由原方程化简得，即：所以，，解得.（2）解：由于命题是的必要条件，所以，所以.【考点】（1）对数方程；（2）充分与必要条件.8.函数f(x)＝ln是________(填“奇”或“偶”)函数．【答案】奇【解析】因为f(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．9.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．【答案】(3，＋∞)【解析】因为f(a)＝f(b)，即|lga|＝|lgb|，所以a＝b(舍去)或b＝，得a＋2b＝a＋.又0<a<b，所以0<a<1<b.令f(a)＝a＋，则f′(a)＝1－＜0，所以f(a)在a∈(0，1)上为减函数，得f(a)>f(1)＝1＋2＝3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．10.设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则a、b、c的大小关系是________．【答案】a＞c＞b【解析】本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c＝lge，作商比较知c>b，故a>c>b.x|,正实数m、n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2, 11.已知函数f(x)=|log2则m+n等于()A．-1B．C．1D．2【答案】B【解析】由函数f(x)=|log2x|的图象知,当m<n且f(m)=f(n),得mn=1,且0<m<1<n.∴0<m2<m<1<n.∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,∴|log2m2|=2,∴m=,n=2,∴m+n=.12.设则a，b，c的大小关系为A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.13.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，∀x1≥0，∀x2≥0，若x1≠x2，则＜0.如果f＝，4f()＞3，那么x的取值范围为()A．B．C．∪(2，＋∞)D．∪【答案】B【解析】依题意得，函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f()＞3等价于f()>，f(||)＞f，||＜，即－＜＜，由此解得＜x＜2，故选B.14.计算:lg-lg+lg7=.【答案】【解析】原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+lg5=2lg2+(lg2+lg5)-2lg2=.15.已知函数.（1）若，当时，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）这实质上是解不等式，即，但是要注意对数的真数要为正，，；（2）上奇函数满足，可很快求出，要求在上的反函数，必须求出在上的解析式，当时，，故，当然求反函数还要求出反函数的定义域即原函数的值域；（3）可转化为，这样利用对数函数的性质得，变成了整式不等式，问题转化为不等式在区间上有解，而这个问题通常采用分离参数法，转化为求相应函数的值域或最值．试题解析：（1）原不等式可化为 1分所以，， 1分得 2分（2）因为是奇函数，所以，得 1分当时，2分此时，，所以 2分（3）由题意， 1分即 1分所以不等式在区间上有解，即 3分所以实数的取值范围为 1分【考点】(1)对数不等式；（2）分段函数的反函数；（3）不等式有解问题．16.设，则之间的关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在上单调增，因为，则，综上所述选A．【考点】1.对数函数;2.幂函数的单调性17.使不等式（其中）成立的的取值范围是．【答案】【解析】即，而，所以，，答案为.【考点】对数函数及其性质18.已知，，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，因为且，所以.【考点】对数的运算.19.设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数的值为．【答案】．【解析】由题意函数的值域为，，则，当即时，，；当即时，，，．【考点】对数函数的值域.20.设，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】对数比较大小21.函数，其中满足且∥，则_________。
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高考数学必考点专项第3练 对数与对数函数习题精选一、单选题1. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =，已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A. 10.110B. 10.1C. lg10.1D. 10.110-2. 已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是( ) A. c b a <<B. b a c <<C. a c b <<D. a b c <<3. 32041lg8lg125()161)(7-+-++= )A. 38-B. 37-C. 39-D. 40-4. 若对数式有意义，则实数a 的取值范围为( )A. (,3)-∞B. 1(,3)2C. 1(,1)(1,)2⋃+∞D. 1(,1)(1,3)2⋃5. 已知a ，b 为实数，则“a b >”是“0.50.5log (21)log (21)a b -<-”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=⋅计算火箭的最大速度(/)v m s ，其中0(/)v m s 是喷流相对速度，()m kg 是火箭(除推进剂外)的质量，()M kg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若A 型火箭的喷流相对速度为1000/m s ，当总质比为500时，A 型火箭的最大速度约为(lg 0.434,lg 20.301)e ≈≈( )A. 4890/m sB. 5790/m sC. 6219/m sD. 6825/m s7. 函数1lg (1)1lg xy x x-=+的值域是( )A. [1,1]-B. [1,1)-C. (1,1]-D. (1,1)-8. 设函数2=log (++)a y ax x a 的定义域是R 时，a 的取值范围为集合M ；它的值域是R 时，a 的取值范围为集合N ，则下列的表达式中正确的是( )A. M N ⊇B. =M N R ⋃C. M N ⋂=∅D. =M N9. 设a ，b ，c 均为正数，且132log a a =，121()log 3b b =，31()log 2c c =，则 ( )A. b a c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a b c <<10. 已知实数a ，b ，c 满足2211||||044a b c b a c -+++--+，则函数log ()a y x b =+的图象可以是( )A.B.C.D.11. 若242log 42log a b a b +=+，则 ( ) A. 2a b >B. 2a b <C. 2a b >D. 2a b <12. 已知544558,138<<，设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则( ) A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<13. 设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =，则( ) A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c a b <<二、多选题14. 关于函数20.4log (34)y x x =-++，下列说法正确的是 ( ) A. 定义域为(1,4)- B. 最大值为2C. 最小值为2-D. 单调递增区间为3(,4)215. 给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是( ) A. 若函数的定义域为，则函数的定义域是；B. 函数其中0a >，且1)a ≠的图象过定点；()f x (1,0)C. 当0α=时，幂函数y x α=的图象是一条直线；D. 若1log 12a>，则a 的取值范围是16. 已知n m <，函数的值域是[1,1]-，则下列结论正确的是 ( )A. 当0n =时，1(,2]2m ∈B. 当1[0,)2n ∈时，(,2]m n ∈C. 当1[0,)2n ∈时，[1,2]m ∈D. 当12n =时，1(,2]2m ∈ 三、填空题17. 若2424log 2log 1m n m n -+-=，则2m n -=__________18. 设a ，b ，c 均为正数，且ln a e a =-，e ln b b -=-，e ln c c -=，则a ，b ，c按从小到大的顺序排列为__________.19. 已知函数()|lg |f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b +-的最小值等于__________. 四、解答题20. 已知函数，函数(1)求函数的值域； (2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数x 的取值范围．()f x答案和解析1.【答案】A解：设太阳的星等是126.7m =-，天狼星的星等是2 1.45m =-， 由题意可得：1251.45(26.7)lg 2E E ---=， 1250.5lg10.15E E ∴==，则10.11210.E E =故选：.A2.【答案】C解：55881log 2log log log 32a b =<==， 即.a c b << 故选.C3.【答案】B解：原式3424lg(8125)721⨯=⨯-++34981=-++ 37.=-故选.B4.【答案】D解：由已知，得，解得132a <<且1a ≠， 所以实数a 的取值范围为1(,1)(1,3)2⋃ 故选.D5. 【答案】B6. 解：0.50.51log (21)log (21)212102a b a b a b -<-⇔->->⇔>>.故“a b >”是“0.50.5log (21)log (21)a b -<-”的必要不充分条件． 故选.B6.【答案】C解：因为A 型火箭的最大速度0lg500ln1000ln 5001000lg M m eνν=⋅=⨯=⨯ 3lg 230.301100010006219/lg 0.434m s e --=⨯≈⨯≈， 故选.C7.【答案】C解：由题意：函数1lg 2(1lg )211lg 1lg lg 1x x y x x x --+===-++++201lg 1y x ≠∴≠-+，又1x ，20 2.lg 1x ∴<+则：21(1,1],lg 1y x =-+∈-+ 所以得原函数的值域为(1,1],- 故选.C8.【答案】C解：由函数2=log (++)a y ax x a 的定义域是R ，可得2++0ax x a >恒成立，0a >且 1.a ≠2140a ∴∆=-<，求得1a 2<且1a ≠， 故1=(,1)(1,).2M ⋃+∞ 当函数的值域为R 时，2140a ∆=-，再结合0a >且1a ≠，求得10a 2<，故1=(0,].2N 故有M N ⋂=∅， 故选.C9.【答案】D解：因为0a >，所以132log 1a a =>，可得10;3a <<因为0b >，所以1210()log 13b b <=<，可得11;2b <<因为0c >，所以31()log 02c c =>，可得 1.c >所以a b c <<， 故选.D10.【答案】D解：由2211||||044a b c b a c -+++--+， 得2104a b c -++=且2104b ac --+=， 两式相加得2211044a b b a -++-+=， 即2211()()022a b -+-=，得12a b ==， 则函数，即函数的定义域为1(,)2-+∞，排除A ，B ， 且在定义域上函数为减函数，排除C ， 故选：.D11.【答案】B解：解法一：令2()2log xf x x =+，因为2x y =在(0,+)∞上单调递增，2log y x =在(0,+)∞上单调递增，所以2()2log xf x x =+在(0,+)∞上单调递增.又2224222log 42log 2log 2log (2)a b b b a b b b +=+=+<+，所以()(2)f a f b <，所以2.a b <故选B 。
解法二：由2422log 42log 4log a b b a b b +=+=+，取1b =，得22log 4,aa +=令2()2log 4x f x x =+-，则()f x 在(0,+)∞上单调递增，且(1)0f <，(2)0f >，所以(1)(2)0f f <，2()2log 4x f x x =+-在(0,+)∞上存在唯一的零点，所以12a <<，故22a b >=，2a b <都不成立，排除A ，;D取2b =，得22log 17,aa +=令2()2log 17x g x x =+-，则()g x 在(0,+)∞上单调递增，且(3)0g <，(4)0g >，所以(3)(4)0g g <，2()2log 17xg x x =+-在(0,+)∞上存在唯一的零点，所以34a <<，故24a b >=不成立，排除.C 故选.B12.【答案】A解：5ln 3log 3ln 5a ==，8ln 5log 5ln 8b ==，13ln 8log 8ln 13c == ，222ln 3ln 8()(ln 5)ln 3ln 5ln 3ln 8(ln 5)2ln 5ln 8ln 5ln 8ln 5ln 8a b +-⋅--=-=<⋅⋅ (ln 24ln 25)(ln 24ln 25)04ln 5ln 8+-=<⋅ ；544ln 845ln 84ln 13ln 8ln 1305ln 1355ln 135ln 13c ---=-==>；544ln 545ln 54ln 8ln 5ln 80;5ln 855ln 85ln 13b ---=-==< 综上所述，4,5a b c <<< 即,a b c << 故选.A13.【答案】B解：2ln1.01ln1.0201a ==，ln1.02b =，a b ∴>，令()2ln(1)1)f x x =+-，01x <<，t =，则1t <<214t x -∴=，223()2ln()12ln(3)12ln 44t g t t t t +∴=-+=+-+-，2222443(1)(3)()10333t t t t t g t t t t ----∴'=-==->+++，1t <<()g t ∴在上单调递增，()(1)2ln 4112ln 40g t g ∴>=-+-=，()0f x ∴>，即2ln(1)1x +>，01x <<，取0.01x =，则2ln1.011>， 即a c >，同理令()ln(12)1)h x x =+-，01x <<，t =，则1t <<214t x -∴=，221()ln()1ln(1)1ln 22t t t t t ϕ+∴=-+=+-+-，2222(1)()1011t t t t t ϕ--∴'=-=<++，1t <<()t ϕ∴在上单调递减， ()(1)ln 211ln 20t ϕϕ∴<=-+-=，()0h x ∴<，即ln(12)1x +<，同样的，取0.01x =，则ln1.021<， 即c b >，.a c b ∴>>故选：.B14.【答案】ACD解：令2340x x -++>，得14x -<<，即函数20.4log (34)y x x =-++的定义域为(1,4)-，故A 正确；2232534()24x x x -++=--+，22534(0,],4x x ∴-++∈20.4log (34)[2,),y x x ∴=-++∈-+∞故B 错误，C 正确；令234t x x =-++，则其在3(1,)2-上单调递增，在3(,4)2上单调递减， 又0.4log y t =在(0,+)∞上单调递减，由复合函数的单调性得20.4log (34)y x x =-++的单调递增区间为3(,4)2，故D 正确．故选.ACD15.【答案】ABD解： 对A ，函数的定义域为，则，224x，故函数的定义域是，故A 正确；对B ，将定点(1,0)代入函数，满足，故B 也正确；对C ，当0α=时，幂函数1y x α==，(x 不等于0)，其图象是一条直线，去掉一点，故C()f x错误； 对D ，1lo 1log 2aa g a >=，若1a >，则12a >，不满足题意；若01a <<，则12a <，应满足112a <<，所以a 的取值范围是，故D 正确.综上所述，故选择.ABD16.【答案】CD解：当1x >时，10x ->， 此时2|1|32323x x y ---=-=-，单调递减，当11x -<<时，10x -<， 此时2|1|12323x x y --+=-=-，单调递增，所以在单调递增，在单调递减，所以当1x =时，取最大值为1， ∴绘出函数12log (1)y x =-与函数2|1|23x y --=-的图象，如图：对于A ：当0n =时，，由函数图象可知：要使()f x 的值域是，则[1,2]m ∈，故A 错误， 对于B ，C ：当1[0,),[1,]2n x n ∈∈-时，1[1,2]x n -∈-，此时2|1|23x y --=-(1,1)-2|1|23x y --=-[1,1]-1122()log (1)[1,log (1)]f x x n =-∈--，此时121()log (1)1f x n --<，因为()f x 的值域为[1,1]-，则(,]x n m ∈时，()1f x =必有解，即，解得1x =，由图知[1,2]m ∈，故C 正确，B 错误，对于D ：当12n =时，，()f x 在上单调递增，此时()f x 的最小值为12(1)log 21f -==-，()f x 的最大值为1211()log (1)122f =-=，要使()f x 的值域为[1,1]-，由图知1(,2]2m ∈ ，故D 正确。