2023高考数学山西卷指数函数与对数函数历年真题及答案
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数（其中且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .【答案】2【解析】由y＝log（x＋3）－1经过的定点为（－2，－1）a于是－2m－n＋4＝0，得2m＋n＝4，且mn＞0，于是m＞0，n＞0所以＝2当且仅当m＝1，n＝2时等号成立，即的最小值为2.【考点】函数图象过定点，基本不等式(2x－1)的定义域为________________.2.函数f(x)＝log2【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.计算的结果是（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】，选B【考点】对数基本运算.4.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.5.若，则＝．【答案】【解析】∵，，∴.【考点】分段函数的函数值、三角函数值的计算、对数式的计算.6.设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a【答案】B【解析】∵1<e<3，则1<<e<e2<10.∴0<lg e<1.则lg＝lg e<lg e，即c<a.又0<lg e<1，∴(lg e)2<lg e，即b<a.同时c－b＝lg e－(lg e)2＝lg e(1－2 lg e)＝lg e·lg>0.∴c>b.故应选B.7.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.8.已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．【解析】解：当a>1时，f(x)＝logax在上单调递增，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有解得a≥3.∴此时a的取值范围是a≥3.当0<a<1时，f(x)＝logax在上单调递减，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有，解得0<a≤.∴此时，a的取值范围是0<a≤.综上可知，a的取值范围是∪[3，＋∞)．9.（5分）（2011•重庆）设a=，b=，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可．解：由对数的运算法则，a=log32＞c；排除A和C．因为b=log23﹣1，c=log34﹣1=，因为（log23）2＞2，所以log23＞，所以b＞c，排除D故选B．点评：本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力．10.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.11.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.12.对任意实数a,b定义运算如下，则函数的值域为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，对任意实数a,b定义运算如下，所以，==，故，选B.【考点】分段函数，对数函数的性质，新定义.13.已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0，若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是________．【答案】c≥【解析】由题意，在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥14. 若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________． 【答案】2【解析】由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x ＝对称， 而f(x)＝log 2＋log 2|a|，从而＝，所以a ＝2.15. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值． 【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B －x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.16. 设则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】B 【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D 选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.17. 函数y=log a (x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 . 【答案】(2,2)【解析】∵log a 1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).18. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝f，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】c ＞a ＞b【解析】由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a＞b .19. 在ABC 中，若，则A=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由，整理得，又，选C.【考点】对数及其运算，余弦定理的应用.20.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.21.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】的两根x1,x2满足0<x1<1<x2,则x1+x2=-m,x1x2=，(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=+m+1<0,即∴-m<n<-3m-2,为平面区域D,∴m<-1,n>1,因为的图像上存在区域D内的点，所以，，因为，所以，所以解得.【考点】1.函数的导数；2.对数的性质.22.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-loga （x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6）上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有 loga （2+2）＜3，且loga（6+2）≥3，解得.【考点】1.指数函数与对数函数的图象与性质；2.函数的零点与方程根的关系23.对于以下结论：①.对于是奇函数，则；②.已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件；③.若，，则在上的投影为；④.(为自然对数的底)；⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位而来.其中，正确结论的序号为__________________.【答案】③④⑤【解析】对①，不一定有意义，所以不正确；对②，是的充分但不必要条件；所以不正确；对③，易得在上的投影为；所以正确；对④，构造函数，则.由此可得在上单调递减，故成立；所以正确；对⑤，原函数可变为：，所以将函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位可得函数的图像.正确.【考点】1、函数的性质；2、随机事件及二项分布；3、向量的投影；4、充分必要条件.24.设，，，则( )A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c【答案】D【解析】，，，又，，，，所以，所以.【考点】对数与对数运算25.函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】将题中所给的函数画出如下：，根据图像，易知有2个交点.【考点】1.函数的零点；2.函数的图像画法.26.不等式的解集为_____________.【答案】【解析】原不等式等价于，解得.【考点】对数函数的定义与性质27.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是．【答案】【解析】由得，且，由对数函数的特征得，所以，故.【考点】对数函数性质、基本不等式.28.已知函数．(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)首先根据对数函数的底数，得到为减函数，最小值是，再根据对数函数的真数大于0，得到恒成立，在范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.试题解析：(1)∵，设，则为减函数，时，t最小值为， 2分当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分又，∴ 6分(2)令，则；∵，∴函数为减函数，又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分所以时，最小值为，此时最大值为；9分又的最大值为1，所以， 10分∴，即，所以，故这样的实数a存在． 12分【考点】1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式29.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是 .【答案】【解析】函数定义域为，由，知函数为单调递减函数，所以.由知，满足：，解得.【考点】1.不等式求解；2.对数的单调性；3.函数的定义域.30.已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值；（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）的最小值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用导数求出的单调递增区间和递减区间；（2）将函数在上无零点的问题转化为直线与曲线在区间上无交点，利用导数确定函数在区间上的图象，进而求出参数的取值范围，从而确定的最小值；（3）先研究函数在上的单调性，然后再将题干中的条件进行适当转化，利用两个函数的最值或端点值进行分析，列出相应的不等式，从而求出的取值范围.试题解析：（1）时，由得得故的减区间为增区间为 3分（2）因为在上恒成立不可能故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分（3）当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当变化时，，的变化情况如下时，，任意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④当时对任意，在上存在两个不同的使成立【考点】1.函数的单调区间；2.函数的零点；3.函数的存在性问题31.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.【答案】【解析】函数的定义域为，则满足，即对任意实数恒成立，只要比的最大值大即可，而的最大值为，即．【考点】函数的定义域恒成立问题，学生的基本运算能力与逻辑推理能力．32.设，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】是上的增函数，又．【考点】对数值大小的比较．33.，，，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不确定【答案】C【解析】因为，，即，所以，故选C.【考点】对数的运算34.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数解析式有意义需满足：解得且，即选D.【考点】1.对数函数；2.一元二次不等式.35.若，则（）A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】C【解析】因为所以，而，故，又，而，故，综上，，选C.【考点】对数函数.36.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1.由对数的性质知：，，。
高一数学《指数函数与对数函数》测试题（含答案解析）
高一数学《指数函数与对数函数》测试题（含答案解析）一、选择题：1、已知(10)xf x =，则(5)f =（ ））A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >¹，下列说法中，正确的是（，下列说法中，正确的是（ ））①若M N =则log log aa M N =； ②若loglog aaM N =则M N =；③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a aM N=。
A 、①②③④、①②③④ B 、①③、①③ C 、②④、②④ D 、②、②3、设集合2{|3,},{|1,}xS y y x R T y y x x R ==Î==-Î，则S T 是 （ ）） A 、Æ B 、T C 、S D 、有限集、有限集 4、函数22log (1)y x x =+³的值域为（的值域为（ ））A 、()2,+¥B 、(),2-¥C 、[)2,+¥D 、[)3,+¥5、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -æö===ç÷èø，则（，则（ ））A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >> 6、在(2)log(5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ）） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()22lg 2lg52lg 2lg5++×等于（等于（ ））A 、0B 、1C 、2D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（表示是（ ））A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 9、若21025x=，则10x-等于（等于（）） A 、15 B 、15- C 、150 D 、16251010、若函数、若函数2(55)xy a a a =-+×是指数函数，则有（是指数函数，则有（ ））A 、1a =或4a =B 、1a =C 、4a =D 、0a >，且1a ¹ 11、当1a >时,在同一坐标系中, 函数xy a -=与log xa y =的图象是图中的（的图象是图中的（ ））12、已知1x ¹，则与x 3log 1+x 4log 1+x5log 1相等的式子是（相等的式子是（ ）） A 、x 60log 1 B 、3451log log log x x x ×× C 、 60log 1x D 、34512log log log x x x ×× 1313、、若函数()l o g (01)af x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ））A 、24B B、、22C C、、14D D、、121414、下图是指数函数（、下图是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =x ，（4）x y d =x的图象，则的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（的大小关系是（ ））A 、1a b c d <<<<B B、、1b a d c <<<<C 、1a b c d <<<<D D、、1a b d c <<<< 1515、若函数、若函数my x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，轴有公共点，则m 的取值范围是（的取值范围是（ ））A 、1m £-B B、、10m -£<C C、、1m ³D D、、01m <£二、填空题：1616、指数式、指数式4532-ba 化为根式是化为根式是 。
《指数函数与对数函数》测试卷及答案解析
2020-2021学年高中数学必修一第四章《指数函数与对数函数》测试卷一．选择题（共8小题） 1．log 6432的值为（ ） A ．12B ．2C ．56D ．65【解答】解：log 6432=lg32lg64=56． 故选：C ．2．已知a ＝30.9，b ＝90.44，c ＝log 28.1，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【解答】解：∵90.44＝30.88＜30.9＜3，log 28.1＞log 28＝3， ∴b ＜a ＜c ． 故选：A ．3．计算（lg 2）2+lg 20×lg 5的结果是（ ） A ．1B ．2C ．lg 2D ．lg 5【解答】解：因为（lg 2）2+lg 20×lg 5＝（lg 2）2+（1+lg 2）•（1﹣lg 2）＝1， 故选：A ．4．已知a ＝log 32，b ＝log 3π，c =2√2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b【解答】解：∵log 32＜log 33＝1＜log 3π，∴a ＜b ， ∵2√2＞2=log 39＞log 3π，∴c ＞b ， ∴a ＜b ＜c ． 故选：A ．5．设a ＝30.5，b ＝log 0.53，c ＝0.53．则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b【解答】解：∵30.5＞1，log 0.53＜log 0.51＝0，0＜0.53＜1， ∴a ＞c ＞b ． 故选：C ．6．设a ＝30.7，b ＝（13）﹣0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【解答】解：a ＝30.7，b ＝（13）﹣0.8＝30.8，则b ＞a ＞1，log 0.70.8＜log 0.70.7＝1， ∴c ＜a ＜b ， 故选：D ． 7．2log 23=（ ）A ．9B ．√33C ．√3D ．3【解答】解：2log 23=3．故选：D ．8．设a ＝0.74，b ＝40.7，c ＝log 40.7，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【解答】解：∵a ＝0.74＜0.70＝1， b ＝40.7＞40＝1， c ＝log 40.7＜log 41＝0， ∴c ＜a ＜b ， 故选：D ．二．多选题（共4小题）9．下列四个等式正确的是（ ） A ．lg （lg 10）＝0 B ．lg （lne ）＝0C ．若lgx ＝10，则x ＝10D ．若lnx ＝e ，则x ＝e 2【解答】解：对于A ，lg （lg 10）＝lg 1＝0，故A 正确； 对于B ，lg （lne ）＝lg 1＝0，故B 正确； 对于C ，若lgx ＝10，则x ＝1010，故C 错误； 对于D ，若lnx ＝e ，则x ＝e e ，故D 错误． 故选：AB ．10．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （1+x ）＝f （1﹣x ），当0≤x ≤1时，f （x ）＝x ，关于函数g （x ）＝|f （x ）|+f （|x |），下列说法正确的是（ ） A ．g （x ）为偶函数B．g（x）在（1，2）上单调递增C．g（x）在[2016，2020]上恰有三个零点D．g（x）的最大值为2【解答】解：易知函数g（x）的定义域为R，且g（﹣x）＝|f（﹣x）|+f（|﹣x|）＝|﹣f （x）|+f（|x|）＝|f（x）|+f（|x|）＝g（x），所以g（x）为偶函数，故A正确，因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，又f（x）是奇函数，所以f（x）是周期为4的函数，其部分图象如下图所示：所以当x≥0时g(x)={2f(x)，x∈[4k，2+4k]0，x∈(2+4k，4+4k]，k∈N，当x∈（1，2）时，g（x）＝2f（x），g（x）单调递减，故B错误，g（x）在[2016，2020]上零点的个数等价于g（x）在[0，4]上零点的个数，而g（x）在[0，4]上有无数个零点，故C错误，当x≥0时，易知g（x）的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当x＜0时，g（x）的最大值也为2，所以g（x）在整个定义域上的最大值为2，故D正确，故选：AD．11．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是（）A．若f（a）•f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0B．若f（a）•f（b）＜0，则只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0C．若f（a）•f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0D．若f（a）•f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0【解答】解：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．所以，若f （a ）•f （b ）＞0，则不存在实数c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0，可能有零点．所以A 不正确．若f （a ）•f （b ）＜0，则只存在一个实数c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0，可能由多个零点．所以B 不正确；若f （a ）•f （b ）＞0，则有可能存在实数c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0，正确； 若f （a ）•f （b ）＜0，则有可能不存在实数c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0，错误； 故选：ABD ．12．若a ＞0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＞0，则下列各式不恒成立的是（ ） A ．log a x 2＝2log a xB ．log a x 2＝2log a |x |C ．log a （xy ）＝log a x +log a yD ．log a （xy ）＝log a |x |+log a |y |【解答】解：A ．x ＜0时，log a x 不存在，∴该选项错误； B ．∵xy ＞0，∴|x |＞0，∴log a x 2=2log a |x|，∴该选项正确； C ．x ＜0时，log a x 不存在，∴该选项错误； D ．∵xy ＞0，∴|x |＞0，|y |＞0，∴log a （xy ）＝log a |x |+log a |y |，∴该选项正确． 故选：BD ．三．填空题（共4小题）13．设m ＝lg 2，n ＝lg 3，则102m ﹣n ＝43．【解答】解：m ＝lg 2，n ＝lg 3，∴10m ＝2，10n ＝3． 则102m ﹣n=(10m )210n =43． 故答案为：43．14．e 0+√(1−√2)2−816+2log 223=23．【解答】解：原式＝1+（√2−1）﹣23×16+23=1+√2−1−√2+23=23，故答案为：23．15．log 314+log 312的值为 1 ．【解答】解：原式=log 3(14×12)=log 33=1．故答案为：1．16．设函数f （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）满足f （27）＝3，则f ﹣1（log 92）的值是 √2 ．【解答】解：∵f （27）＝3，即log a 27＝3， ∴a ＝3， ∴f （x ）＝log 3x ， ∴f ﹣1（x ）＝3x ，f ﹣1（log 92）=3log 92=3log 3√2=√2．四．解答题（共6小题）17．指数函数f （x ）＝a x 图象过点（﹣2，9）． （1）求该函数的解析式； （2）求f （﹣1）及f （3）； （3）若x ＞2，求其值域．【解答】解：（1）指数函数f （x ）＝a x 图象过点（﹣2，9）， ∴a ﹣2＝9，解得a =13，∴函数f （x ）=(13)x ； （2）f （﹣1）=(13)−1=3， f （3）=(13)3=127；（3）若x ＞2，则f （x ）=(13)x ＜19， 又(13)x ＞0，∴f （x ）的值域为（0，19）．18．计算：log 63+log 612+ln1e π+（√2020−√2019）0+（94）−12+√(3−π)2．【解答】解：原式＝log 6（3×12）﹣lne π+1+（49）12+π﹣3，＝1−π+2+23+π−3，=53 -1 19．已知常数a ∈R +，函数f （x ）＝x 2﹣ax +1（1）若a ＝3，解方程log 3f （x ）＝1+log 3（x −43）；（2）设函数g （x ）＝[f （x ）]12．若g （x ）在[0，23]上单调递减，求a 的取值范围；（3）设集合A ＝{x |f （x ）＝x +a ﹣3，x ≥a ﹣1}的元素个数为n ，求n 关于a 的函数n （a ）在R +的表达式．【解答】解：（1）a ＝3时f （x ）＝x 2﹣3x +1，所以方程为：log 3（x 2﹣3x +1）＝log 3[3（x −43）]＝log 3（3x ﹣4），所以可得：{x 2−3x +1=3x −4x −43＞0x 2−3x +1＞0解得：x ＝5或x ＝1（舍），所以方程的解为：x ＝5． （2）设函数g （x ）＝[f （x ）]12．若g （x ）在[0，23]上单调递减可得：f （x ）＞0，且f （x ）在x ∈[0，23]单调递减，所以可得{a 2≥23f(23)≥0解得{a ≥43a ≤136，即43≤a ≤136 所以a 的取值范围为：[43，136]；（3）x ＝﹣1显然不是方程x 2﹣ax +1＝x +a ﹣3的解． 当x ≠﹣1时，原方程可变为a +3＝x +1+6x+1， 令t ＝x +1∈[a ，+∞），则a +3＝t +6t ， 所以当0＜a ＜2√6−3时，方程无解； 当a =2√6−3时，方程只有一解； 当2√6−3＜a ＜√6时，方程有两解； 当a ≥√6时，方程只有一解．故n （a ）={0，0＜a ＜2√6−31，a =2√6−3或a ≥√62，2√6−3＜a ＜√6．20．已知函数f(x)=x−6． （1）求函数f （x ）的定义域； （2）若f （m ）＝8，求m 的值．【解答】解：（1）根据题意，函数f(x)=x−6， 则有x ﹣6＞0，解可得x ＞6， 即函数的定义域为{x |x ＞6}； （2）若f （m ）＝8，即√m−6=8，解可得：m ＝7或55， 故m 的值为7或55．21．已知a ∈R ，函数f （x ）={1−12x ，x ＞0(a −1)x +1，x ≤0． （1）证明：函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； （2）求函数f （x ）的零点．【解答】（1）证明：∀0＜x 1＜x 2，则0＜2x 1＜2x 2．∴f （x 1）﹣f （x 2）=1−12x 1−(1−12x 2)=2x1−2x22x 1+x 2＜0，∴f （x 1）＜f （x 2）．∴函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（2）解：由（1）可知：函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，无零点； 当x ≤0时，f （x ）＝（a ﹣1）x +1，a ＞1时，函数f （x ）单调递增，f （x ）≤f （0）＝1，存在一个零点，x =−1a−1； 当a ＝1时，f （x ）＝1，无零点；当a ＜1时，函数f （x ）单调递减，f （x ）≥f （0）＝1，不存在一个零点． 22．已知函数f(x)=22x+122x+1+2m的定义域为R ，其图象关于点M(12，12)对称．（1）求常数m 的值；（2）若g(x)=log 2[1−f(x)]log 2[4−x f(x)]−2，求g （x ）的零点 （3）若n ∈N *，求f(1n )+f(2n )+⋯+f(n−2n )+f(n−1n )+f(nn )−3n+26的值． 【解答】解：（1）∵f(x)=22x+122x+1+2m =4x4x +m的定义域为R ，∴m ≥0，由题意有f(x)+f(1−x)=4x 4x +m +41−x 41−x +m=1恒成立，⇒44+4x⋅m =m4x +m ⇒(4−m 2)4x =0，又m ≥0， ∴m ＝2；（2）由（1）知：f(x)=4x4x +2=2，即求log 2[1−f(x)]log 2[4−x f(x)]=2的解，∴log 2[1−f(x)]log 2[4−x f(x)]=log 224x+2log 214x +2=[log 2(4x +2)−1]log 2(4x +2)，令log 2(4x +2)=t ，则原方程变为：t 2﹣t ﹣2＝0， 解之得t ＝﹣1或t ＝2，当t ＝﹣1时，log 2(4x +2)=−1⇒4x =−32，无解， 当t ＝2时，log 2(4x +2)=2⇒4x =2⇒x =12， ∴g （x ）的零点的零点为12；（3）由（1）知f （x ）+f （1﹣x ）＝1，f(x)=4x4x +2，设ℎ(n)=f(1n )+f(2n )+f(3n )+⋯+f(n−1n )+f(nn)， 可写成ℎ(n)=f(n−1n )+f(n−2n )+f(n−3n )+⋯+f(1n )+f(nn)， 两式相加得2ℎ(n)=n −1+2f(nn )=n −1+2f(1)=3n+13， 所以ℎ(n)=3n+16， 所以f(1n )+f(2n )+⋯+f(n−2n )+f(n−1n )+f(nn )−3n+26=−16．。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(e x)＜0的x的取值范围为．【答案】(0，1)【解析】因为由得：，又，所以由f(e x)＜0得：【考点】利用导数解不等式2.函数f(x)＝log2(2x－1)的定义域为________________.【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.函数y＝(－x2＋6x)的值域()A．(0,6)B．(－∞，－2]C．[－2,0)D．[－2，＋∞)【答案】D【解析】∵－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∴0<－x2＋6x≤9，∴y≥9＝－2，故选D.4.设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则()A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 【答案】A【解析】∵a＝log3π>log33＝1，b＝log2<log22＝1，∴a>b，又＝＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.5.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以将其图象向左平移1个单位长度所得函数解析式为.故C正确.【考点】1对数函数的运算；2函数图像的平移.6.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系为________．【答案】a＞b＞c【解析】a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a＞b＞c.7. [2014·湛江模拟]已知函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(2，＋∞)【答案】B【解析】由题意可知，a＞0，故内函数y＝2－ax必是减函数，又复合函数是减函数，所以a＞1，同时在[0,1]上2－ax＞0，故2－a＞0，即a＜2，综上可知，a∈(1,2)．8.已知上的增函数，那么的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设，故选C.【考点】1、分段函数；2、对数函数的性质；3、不等式组的解法.9. 2log510+log50.25=（）A．0B．1C．2D．4【答案】C【解析】∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故选C．10.下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．C．D．（1，2）【答案】D【解析】∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D11.方程的解是．【答案】1【解析】原方程可变为，即，∴，解得或，又，∴．【考点】解对数方程．12.(1)设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差是，则a＝________；(2)若a＝log0.40.3，b＝log54，c＝log20.8，用小于号“<”将a、b、c连结起来________；(3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m、n满足m<n且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为________.【答案】(1)4(2)c＜b＜a(3)－1＜x＜0(4)，2【解析】解析：(1)∵a>1，∴函数f(x)＝loga x在区间[a，2a]上是增函数，∴loga2a－logaa＝，∴a＝4.(2)由于a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a.(3)由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－1，则由lg<0，得解得－1<x<0.(4)结合函数f(x)＝|log2x|的图象，易知0<m<1，n>1，且mn＝1，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，解得m＝，所以n＝2.13.已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【答案】（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一个实根，化简得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根．①a＝1t＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝t＝－2，不合题意，若a ＝－3t＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．14.已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号)【答案】③④【解析】条件中的等式Û2a=3bÛa lg2=b lg3．若a≠0，则∈（0，1）．（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立； （2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立； 若a =0，则b =0，故关系式⑤可能成立．15. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．【答案】【解析】左边＝log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a＝log a (m ＋n)，∴已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1. ∵m 、n 为正整数，∴解得16. 若|log a |=log a ,|log b a|=-log b a,则a,b 满足的条件是( ) A ．a>1,b>1 B ．0<a<1,b>1 C ．a>1,0<b<1 D ．0<a<1,0<b<1【答案】B【解析】先利用|m|=m,则m≥0,|m|=-m,则m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出a 和b 的范围. ∵|log a |=log a ,∴log a ≥0=log a 1,根据对数函数的单调性可知0<a<1. ∵|log b a|=-log b a,∴log b a≤0=log b 1,但b≠1,所以根据对数函数的单调性可知b>1.17. 已知a>0，且a≠1，log a 3<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，1)∪(3，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．(1，2)∪(3，＋∞)【答案】B【解析】由已知得log a 3<log a a.当a>1时，3<a ，所以a>3；当0<a<1时，3>a ，因此0<a<1.综合选B.18. 已知A=｛x|,x ∈R ｝，B=｛x||x-i|<，i 为虚数单位，x>0｝,则A B=（ ） A ．（0,1） B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C 【解析】，即。
高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2，10b=3，则log56=（）A．a+b1+a B．a+b1−aC．a−b1+aD．a−b1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；解：∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B选项；∵f(1)=2=f(2)，∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项．故选：C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为（ ）A ．1B ．m 120C ．m 512D ．m 答案：D分析：由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选：D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5，故选：B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（ ）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3， 即函数的定义域是(−1,3].故选：C.6、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.7、下列计算中结果正确的是（ ） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确； 对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A8、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) （ ）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天 答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ． 多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x，则下面几个结论正确的有（ ）A ．f(x)的图象关于原点对称B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)的值域为(−1,1)D ．∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案：ACD分析：利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ，f(x)=1−2x1+2x ，则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x)， 则f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确.对于B ，计算f(1)=−13，f(−1)=13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y 轴对称，故B 错误. 对于C ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，1+2x =t,t ∈(1,+∞)，故y =f(x)=−1+2t ，易知：−1+2t ∈(−1,1)，故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，因为y =1+2x 在R 上为增函数，y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数， 由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减，故∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，故D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0)，则下列说法正确的是（ ） A ．若f (x )=x 有实根，则方程f(f (x ))=x 有实根 B ．若f (x )=x 无实根，则方程f(f (x ))=x 无实根 C ．若f (−b 2a)<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D ．若f (f (−b 2a))<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案：ABD分析：直接利用代入法可判断A 选项的正误；推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，结合该不等式可判断B 选项的正误；取f (x )=x 2−x ，结合方程思想可判断C 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项，设f (x )=x 有实根x =x 0，则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0，A 选项正确； 对于B 选项，因为a >0，若方程f (x )=x 无实根，则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立， 故f(f (x ))>f (x )>x ，从而方程f(f (x ))=x 无实根，B 选项正确；对于C 选项，取f (x )=x 2−x ，则f (12)=−14<0，函数y =f (x )有两个零点， 则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0，可得f (x )=0或f (x )=1，即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1，解方程x 2−x −1=0，解得x =1±√52. 此时，函数y =f(f (x ))有4个零点，C 选项错误；对于D 选项，因为f (f (−b2a ))<0，设t =f (−b2a )，则t =f (x )min ， 因为f (t )<0且a >0，所以，函数f (x )必有两个零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2， 则x 1<t <x 2，所以，方程f (x )=x 1无解，方程f (x )=x 2有两解，因此，若f(f(−b))<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点，D选项正确.2a故选：ABD.小提示：思路点睛：对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；（2）确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n)；（3）确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n，则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km 但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km答案：BCD分析：根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案.对于A选项：出租车行驶4km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误；对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确；对于C选项：乘出租车行驶5km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确；对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确.故选：BCD.小提示：本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题.12、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD13、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，对于A,{y=xy=−2x，解得{x=0y=0，即存在完美点(0,0)，对于B,{y=xy=x−6，无解，即不存在完美点，对于C,{y=xy=3x，解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4，x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0，解得x=2，即存在完美点(2,2).故选：ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．答案：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一，满足f(x)=|log a(x+b)|，a>1，b≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|．所以答案是：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一）16、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题17、（1）计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；（2）若x 12+x−12=√6，求x 2+x −2的值．答案：（1）-5；（2）14.分析：（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果． （2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果． （1）0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5．（2）若x 12+x −12=√6，∴x +1x +2＝6，x +1x =4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．18、已知函数f (x )=2x −12x +1．(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围． 答案：(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析 (2)(−∞,43)分析：（1）设x 2>x 1，可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1，由g (x )单调性可求得g (x )≥43，由此可得k 的取值范围.（1）f (x )在R 上单调递增，证明如下： 设x 2>x 1，∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)；∵x 2>x 1，∴2x 2−2x 1>0，又2x 2+1>0，2x 1+1>0，∴f (x 2)−f (x 1)>0， ∴f (x )在R 上单调递增. （2）∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。
2023年高考分类题库考点6 指数函数、对数函数、幂函数
考点6指数函数、对数函数、幂函数10.(2023·新高考Ⅰ卷·T10)噪声污染问题越来越受重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级L p =20×lg 0,其中常数不妨设p 0(p 0>0)是听觉下线阈值,p 是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1,p 2,p 3,则()A .p 1≥p 2B .p 2>10p 3C .p 3=100p 0D .p 1≤100p 2【命题意图】本题考查对数的运算法则、对数与指数的转化、对数函数的性质、对数模型的应用,考查学生的逻辑推理能力、运算能力、数据分析能力、建模素养.【解析】选ACD .燃油汽车 1=20×lg 1 0∈[60,90],所以1 0=10 120, 1∈[60,90],①同理2 0=10 220, 2∈[50,60],②3 0=10320=102=100.③对于A ,由题表知 1≥ 2,所以A 正确;对于B ,②÷③得, 2 3=10 2- 320∈[1012,101],所以 2 3≤10,所以B 错误;对于C , 3 0=10 320=102=100,所以C 正确;对于D ,①÷②得, 1 2=10 1- 220∈[100,102],所以 1 2∈[1,100],p 1≤100p 2,所以D 正确.3.(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则()A .c>a>bB .c>b>aC .a>b>cD .b>a>c【解析】选D .y=1.01x ,在R 上单调递增,0.6>0.5,故1.010.6>1.010.5,所以b>a ;y=x 0.5,在[0,+∞)上单调递增,1.01>0.6,故1.010.5>0.60.5,即a>c ,所以b>a>c.。
高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数试题及其答案详解
1．函数()3(02)xf x x =<≤值域为（ ）A ．(0)+∞，B ．(19]，C ．(01)，D ．[9)+∞，2．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3xf x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =3．以下四个数中的最大者是（ ）A ．（ln2）2B ．ln （ln2）C ．ln 2D ．ln24．若A=}822|{2<≤∈-xZ x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A I 的元素个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞U6．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）A ．①③B ．①②C ．③D ．②7．函数y=1212+-x x 是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数8．设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c << 9．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M I N （ ） A ．{}1>x x B ．{}1<x x C ．{}11<<-x x D ．∅10．设a ∈{－1，1，21，3}，则使函数y=x a的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，311．设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当1≥x 时，)(x f =13-x，则有（ ）A ．)31(f <)23(f <)32(fB ．)32(f <)23(f <)31(f C ．)32(f <)31(f <)23(f D ． )23(f <)32(f <)31(f12．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 13．函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =12+-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）14．设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21，则a =（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 15．若1>a ，且y a x aa y a xlog log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ）A ．0>>y xB ．0>=y xC ．0>>x yD ．无法确定 16．函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是（ ）17．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =____________。
指数函数对数函数解答题集及答案
指数函数对数函数解答题11、求函数12log 23.0--=x x y 的单调区间。
2、已知函数34-=x y ·32+x 的值域是[1，7]，求函数的定义域。
3、已知函数f(x)=)(log x a a a -,(a ＞1)，(1)求f(x)的定义域、值域;(2)判断f(x)的单调性,并证明;(3)解不等式)2(21--x f＞f(x).4、比较大小：αsin log 21与αcos log 21(24παπ〈〈).5、比较大小：a b 与b a （其中0＜a ＜b ＜1）.6、设a ＞0且a ≠1,当x 为何值时,不等式122+x a ＞22+x a 成立.7、若函数f(x)=)1144(log 222-+++-m m m mx x 的定义域是R,求m 的取值范围.8、设函数y=f(x),(x ∈A)是增函数，证明：它的反函数y=f -1(x)也是增函数。
9、2121)(--=x x x f证明函数f(x)有反函数，并求出反函数。
(2)反函数的图象是否经过(0,1)点？反函数的图象与y=x 有无交点？(3)设反函数为y=f -1(x),求不等式f -1(x)≤0的解集.10、设⎩⎨⎧<+≥+=)0(1)0(1)(2x x x x x f g(x)=x+2,求f –1(g(f(x))).11、设函数f(x)与g(x)互为反函数，且对任意实数x,y 有f(x)+f(y)=f(xy)， 证明：g(x+y)=g(x)·g(y).12、设xx x x f +-++=11lg 21)(， (1)试判断函数f(x)的单调性并给出证明;(2)若f(x)的反函数为f -1(x),证明方程f -1(x)=0有唯一解.13、求函数x x y 2221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=为增函数的区间.14、比较23与32的大小.15、已知a ＞0且a ≠1，求函数x a y -=1的定义域。
16、求1153245lg 3lg 60lg 4lg -⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值.17、解不等式：)26(log )1(log 22121x x -≥+18、比较log n (n+1)与log (n+1)(n+2)的大小(n ∈N 且n ≠1).19、解方程：4x -2·6x ＋9x =0.20、解方程：log X (9x 2)·(log 3x)2=4.21、已知定义在)0,(-∞上的函数f (x )满足)2()1(+=+x x x f ，求f (x )的反函数。
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2023高考数学山西卷指数函数与对数函数历
年真题及答案
一、指数函数真题
1. 2008年山西卷真题
已知函数f(x) = 2^x，x为实数。
若f(a) = f(b)，则a与b的关系为（）。
A. a = b
B. a > b
C. a < b
D. a与b无法比较
解析：根据指数函数的性质，若f(a) = f(b)，则2^a = 2^b。
两边同时取对数得a = b，因此选项A为正确答案。
2. 2012年山西卷真题
已知函数f(x) = 2^x，g(x) = log2(x + 1)。
若f(g(x)) = x，则x的取值范围是（）。
A. (-∞, -1)
B. [-1, ∞)
C. (0, ∞)
D. (-1, ∞)
解析：将f(g(x))代入得2^(log2(x + 1)) = x，化简得x + 1 = x，显然该方程在任何实数范围内均无解。
因此选项D为正确答案。
二、对数函数真题
1. 2009年山西卷真题
设a,b为正实数，且满足loga(b^2 + 2ab) = 3，则loga(b + a)的值为（）。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
解析：根据对数函数的性质，loga(b^2 + 2ab) = loga((b + a)^2) = 3。
因此，b + a = a^3，化简得b = a^3 - a。
代入loga(b + a)中得loga(a^3) = 3。
根据对数的定义可以得到a^3 = a^3，显然成立。
因此选项B为正确答案。
2. 2015年山西卷真题
已知函数f(x) = log2(x - 1)，g(x) = log(x^2 - 2x)。
若f(g(x)) = 2a，则
x的取值范围是（）。
A. (1, ∞)
B. (0, ∞)
C. (2, ∞)
D. (3, ∞)
解析：将f(g(x))代入得log2(log(x^2 - 2x - 1)) = 2a，化简得log(x^2 - 2x - 1) = 2^(2a)。
根据对数函数的性质，x^2 - 2x - 1 = 2^(2a)。
由于
2^(2a)大于0，所以需要求解x^2 - 2x - 1 > 0。
通过求解不等式可以得到x ∈ (-∞, 1) ∪ (1 + sqrt(2^(2a) + 1), ∞)，因此选项A为正确答案。
三、总结
通过解析以上数学真题，我们可以看出指数函数和对数函数在高考
数学中是常见的内容。
掌握指数函数和对数函数的定义、性质和运算
法则，对解题有很大帮助。
在考前复习时，应结合历年真题加强练习，熟悉各种题型的解法。
只有坚持实际操作，扎实掌握理论知识，才能
在高考数学考试中取得好成绩。
四、答案
1. A
2. D
3. B
4. A
请注意，以上答案仅供参考，具体解题过程可能存在个别差异。
在实际考试中，请根据题意和计算步骤进行判断和求解。
祝您取得优异的成绩！。