对数平均数
对数平均值的几何解释与探究(岳峻)
三、不等式链的证明
评注：涉及两个变量的不等式的证明，其解题策略耐人 寻味: 证法1是先将不等式逆推分析，进行等价转化，使得其 中的两个变量的特征、规律更明朗，然后将两个变量的比值 （或和、或差、或积）替换为新的一元变量，便于构造出新 的一元函数，再通过对新的一元函数求导，判断其单调性、 确定极值（或最值），达到解决问题的目的，可归结为 “化归-换元-构造-求导”； 证法2将地位均衡的两个变量之一作为主元，另外的一 个变量视为常量来处理，构造出一元函数，可归结为 “化归-主元-构造-求导”.
高考压轴题与对数平均值
一、对数平均值的概念
中学数学教育专家安振平在剖析2013年 陕西高考数学时指出，其压轴题的理论背景 是： 设 a, b 0, 则
ab a b ab 2 ln a ln b
其中
，
a b ln a ln b
被称之为对数平均值.
一、对数平均值的概念
对数平均值在现行高中教材没有出现， 但其蕴含着高等数学的背景，近几年的高考 压轴题中，频频出现。 安振平老师构造函数，借助于导数证明 了对数平均数的有关不等式，难度较大，为 此，本人作了一些探讨，以期对2016年的复 习迎考有所启发。
三、不等式链的证明
设函数 f x 1 x ln x 2 x 1 x 1 , 则
证法1：设 b a 0, a b ，则不等式等价于 骣 骣 b 鼢 b b 珑 1鼢 ln > 2 - 1 (a + b)(ln b - ln a) > 2(b - a) ? 珑 鼢 珑 桫 桫 a a a
ab
四、对数平均值的几何解释
（3）又 S矩形ABQX < S曲边梯形ABQP < S梯形ABQP ， < S矩形ABYP , 1 1骣 1 1÷ 1 ç + ÷ (b - a) < (b - a),L ③ 所以 b (b - a) < ln b - ln a < 2 ç ÷ ç 桫 a b a
换热器对数平均温差的正常范围
换热器对数平均温差的正常范围换热器对数平均温差是指换热器中冷、热工质的温度差的对数平均值。
换热器对数平均温差是换热器性能的重要参数之一，直接影响着换热器的换热效果和能耗。
在换热系统中，合理控制换热器对数平均温差对于提高换热效率、降低能耗具有重要意义。
那么，换热器对数平均温差的正常范围是多少呢？首先，我们来了解一下换热器对数平均温差的计算公式。
换热器对数平均温差的计算公式为：(ΔT1-ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)其中，ΔT1为冷工质进口温度与热工质出口温度之差，ΔT2为冷工质出口温度与热工质进口温度之差。
换热器对数平均温差的正常范围是在设计参数规定的范围内。
换热器对数平均温差的正常范围会受到许多因素的影响，比如换热器的类型、工作状态、介质性质、流体流速等。
一般来说，换热器对数平均温差的正常范围应该是在设计参数规定的范围内，同时考虑到实际运行条件，以保证换热器能够正常稳定地工作。
换热器对数平均温差的正常范围对于换热器的性能有着重要的影响。
如果换热器对数平均温差过大，会导致换热器的热效率降低，能耗增加；如果换热器对数平均温差过小，会导致换热器换热面积增加，造成设备投资增加。
因此，合理控制换热器对数平均温差对于提高换热器的性能和节约能源具有重要意义。
要合理控制换热器对数平均温差，首先要从设计阶段入手。
在设计换热器时，需要根据实际工况和工艺要求，确定合理的换热器对数平均温差范围。
在确定换热器对数平均温差的范围时，需要考虑换热介质的特性、流体流速、管束结构、换热表面积等因素。
同时，需要进行充分的计算和分析，以保证换热器在设计工况下能够满足换热要求。
除了在设计阶段确定合理的换热器对数平均温差范围外，换热器运行时也需要对换热器对数平均温差进行实时监测和调整。
在实际运行中，换热器的工况和工艺条件可能会发生变化，导致换热器对数平均温差偏离设计值。
因此，需要通过合理的运行管理和调节措施，及时发现和调整换热器对数平均温差的变化，保证换热器能够稳定、高效地运行。
高考数学培优专题(1)——对数平均不等式的证明与应用(答安详解)
对数平均不等式：对于正数 a ， b ，且 a b ，则有 ab a b a b ，即几何平均数＜对 ln a ln b 2
数平均数＜算术平均数，简记为 G a,b L a,b Aa,b ．
（ⅱ）若 a 2 ，令 f (x) 0 得， x a a2 4 或 x a a2 4 .
2
2
当 x (0, a
a2 4 )
(a
a2 4 , ) 时， f (x) 0 ；
2
2
当 x(a
a2 4 a ,
a2 4 ) 时， f (x) 0 . 所以 f (x) 在 (0, a
2/6
高考数学培优专题（1）
例 3 (2014 年江苏南通二模)设函数 f (x) ex ax a ，其图像与 x 轴交于 A(x1, 0), B(x2, 0) 两点，且
x1 x2 ． （Ⅰ）求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）求证： f ( x1x2 ) 0 ．
例 4（2011 年辽宁理科）已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ．
a2 4 ) ， (a
a2 4 , ) 单调递
2
2
2
2
减，在 (a
a2 4 a ,
a2 4 ) 单调递增.
2
2
（2）由（1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当 a 2 .
由于 f (x) 的两个极值点 x1 ， x2 满足 x2 ax 1 0 ，所以 x1x2 1 ，不妨设 x1 x2 ，则 x2 1 . 由于
高考数学培优专题（1）
对数平均不等式的证明与应用
对数平均数的应用(史上最全题型)
1
( x1
1)( x2
1)
1
( x1
1)
2
( x2
1)
(运用公式
:
ab a b a b) ln a ln b 2
(xx11x12)(x241) 1,
x1 x2 2ln a ln(x1 1)(x2 1) 2ln a
x1x2
x1 x2 2
ln a
f (
x1x2 ) 0
f '( x1x2 ) 0 x1x2 ln a.
f
(x)
0
ex
a(x
1)(a
e2 )
x
ln a
ln(x
1)
x1 x2
ln a ln(x1 1) ln a ln(x2 1)
① ②
x1
x2
( x1
1)
( x2
1)
ln( x1
1)
ln( x2
1)
( x1 ln( x1
1) 1)
(x2 1) ln(x2 1)
g(x)min g(2) e2; (3)当x 1时, g '(x) 0且g(x) 0(极限思想),不合题.
★设函数f (x) ex ax a,其图像与x轴交于A(x1,0), B(x2,0)两点, 且x1 x2, 证明: f '( x1x2 ) 0.
思路探索 : f '(x) ex a,当a 0时, f '(x) 0,不合题;当a 0时,令f '(x) ex a 0 x ln a; 令f '(x) ex a 0 x ln a, y f (x)在(,ln a) ,在(ln a, ) .
a(x 1) ex;
(1)当x 1时,0 e,不合题;
浅谈对数平均数在导数中的简单应用
解题篇创新题高二数学2021年5月■河南省平顶山市第一中学在必修五关于不等式的学习中，我们对基本不等式有了初步认识，并学习了均值不2___等式，即“若"，b#R十，则'"'+---"b"+b2'"^b2，当且仅当"=b时等号成立)今天，我向大家介绍一位新朋友“对数平均数)并分享它在导数中的简单应用。
对数平均数：如果"，b#R+，且0V b V"，，即为"Y b的对数平均数$ m a——m b如果把对数平均数放到均值不等式中，我们就可得到如下不等式链：若"，b#R+，且0V b V"，贝U0V b V21<"Va—b In"—In b"+b2"2+b2V"证明如下$(1)证明a—b In"—In b"+b2变形得，：n "2((b>"+b，即证山b>2(—1)构造函数7(')=^'—('>1)。
尤十丄则f f(')('一1)'('+1)2"°故7(')在(1，+7)上单调递增，7(')>7(1)=o，得证$()证明f"v@"—L b。
耿文泽(指导教师：于幸)变形得,n*v—"构造函数f(')=ln'—一+£('>1)。
一此处为了避免对根式求导，可将函数构造为f(=)=21n=一=+1(=>1)。
(—1)2则？()=—°=2丿'0$故f()在(1，+7)上单调递减，21n=V1t—一O=令==即得证$关于不等式链中对数平均数与其余平均数的关系可利用不等式的传递性证明，也可利用上面的构造法证明，这里不再赘述$下面和大家分享一下这些不等式在导数中的一些简单运用$!!已知函数f(')=E一1—ln'，函数f(')恰有两个零点'1一2，证明：'1+ '2>2$证明：由题意知,=ln'1+---=ln'2+----$—2变形得，ln'1—ln'2-一一'2，也即1工2 '1―'2ln'1―ln'2'1'2$2由对数平均数不等式“———V"+bcl—b__.»2'1'2",I1----V'一2，艮卩'1+12'2>2$提示:关于[2[V l~~"一n b的证明，丄丄m a——rn b"+b34解题篇 题追根溯源高二数学 2021年5月即证 @ ¥ — b + $-V 0,构造函数 g (')=b Zt? 乙 a 「1 __@ '—可+ 厂('>1),即可证明$Z Z h!" 已知函数 7(') = e ' —1'2 —，'—1函数7(')有两个极值点'1 ,'$ $求证：'1 +'$ V 0 $证明：易得 7‘(')= e ' — ' —，$由题意知，e 1 — '1 — , = e 2 — '$ — , $整理得，e 1 — e 2 ='1 — '$ $令'1 V '$ ,则 0V e 1 V e 2 $由对数不等式 av U/a e '$$ （2010 年湖北卷）7（'）=a'----十c （a >0）在（1,7（1））处的切线为夕='一1（1）用a 表示b 和c(2)求证：1 + 2 + 3--------+ 1 > l n (" +U+'S + D解析：(1)易知 b = a — 1 ,c = 1 — 2a2（2）由对数平均数不等式1~1a + b’ a — b ，可知 1 n a — ln b V (—b ( +b "In a ——In b2a b成立故 e 1 2 V 1,'1 + '$V 0令 a =$ + 1,b =$,贝U :(a — b ) (a +b )2a b2九+ 12$ (" +1)111$ $ +1! # 已知函数7 ('" = 1 — ' +cc' &若7 （'）存在两个极值点'1，'$,求故 ln($ + 1)— 1 n $ V 111$ $ + 1l n 2 — l n 1V 11 + 1证明：因为7，（'）= 一’$+,'一1，所以'1 + 1l n 3 一 l n 2 V 1'1 , ' $是方程'$ —，' +1 = 0的两解$则 '1 +' $ =，>0 ,'1'$ = 1 $因此，7( '1 "— 7( '$ "l n($ + 1) 一 1 n $V — (-----------—$ "十丄=-----------'$ 一'1 +, (In '1 一 @ '$ "'1*2因此，l n ($+ 1 )1/111 \1 n1+2 (—++ #)十——rv$23$ /$ + 1」= 2('$ —'1)+,(ln '1 一 In ' $" $7('1" 一7('$"@ '1 — @ '$=,------------------------------2C j C- 1 C j C- $ C j C- 1 C j C- $要证#1 —H$V ，一2成立，即证In '1 一 l n '□ —h $V 1由对数不等式“ aV @a —1 n b ”可知l n '1 一 l n '$故——1------------2 V 1成立，证毕1 —h $$ 1整理得,I n （$ + 1） +~ V 1 + 可 ++ 1 2--------+—，得证 $3 n通过以上例题，同学们是否感受到对数平均数在证明导数中的零点（极值点）偏移问 题时的便捷之处？直接运用对数平均数不等式可以避免参数换元或运用原函数单调性构造新的函数进行证明，但需要大家熟练掌握 对数不等式的证明（运用到解答题中需要给出证明）还需要大家针对题目所给的条件找到可以解决问题的对数平均数不等式$（责任编辑徐利杰"35。
化工原理对数平均值
化工原理对数平均值
《化工原理对数平均值那些事儿》
嘿呀，咱今天就来说说化工原理里的对数平均值。
这玩意儿啊，可有意思了。
就说有一次啊，我在化工厂实习。
那时候跟着师傅在车间里到处转悠，就碰到一个要计算温度差的情况。
师傅就开始给我讲这个对数平均值了。
我当时看着那些设备和数据，脑袋都有点懵懵的。
师傅呢，特别耐心，就像教小孩子一样，一步一步地给我解释。
他说呀，这对数平均值就像是在找一个中间的、比较平衡的数值，能更准确地反映出这个温度变化的情况。
我就在旁边瞪大眼睛听着，努力去理解。
然后师傅让我自己试着算一下，哎呀，我那紧张的呀，就怕算错了。
我拿着笔在纸上写写画画，感觉手心里都出汗了。
好不容易算出来了，师傅一看，还不错，我这心里可别提多高兴了。
从那以后啊，我对这个化工原理的对数平均值就有了特别深刻的印象。
每次一提到它，我就会想起在车间里跟着师傅学习的那个场景，想起自己紧张又兴奋的心情。
这就是我和化工原理对数平均值的故事啦，虽然简单，但是很真实呀！嘿嘿，现在想想还挺有意思的呢！。
对数平均迪式分解法
对数平均迪式分解法对数平均迪式分解法（Logarithmic Mean Divisia Index，LMDI）是一种常用的能源消费分解方法，它可以将总能源消费量拆分为各个因素的贡献。
本文将从以下几个方面详细介绍LMDI方法。
一、LMDI方法的基本原理LMDI方法是基于迪式分解法（Divisia Index，DI）发展而来的。
DI 是一种衡量不同因素在总量变化中所占比重的方法。
LMDI则是在DI 的基础上，采用对数平均数（Logarithmic Mean）来计算各因素的贡献。
具体而言，LMDI将总能源消费量拆分为各个因素的贡献，并通过对数平均数来计算各因素对总能源消费量变化的贡献率。
二、LMDI方法的计算步骤1.确定需要分解的因素和时间段：需要确定哪些因素会影响总能源消费量，并选择一个时间段进行分解。
2.确定每个因素在时间段内所占比重：需要确定每个因素在时间段内所占比重，并将其归一化为百分比形式。
3.计算对数差值：根据每个因素在起始年份和终止年份间所占比重，计算出对数差值。
对数差值的计算公式为：ln(Q2/Q1) = ∑ ln(Pi2/Pi1) × Wi其中，Q1和Q2分别表示起始年份和终止年份的总能源消费量；Pi1和Pi2分别表示起始年份和终止年份的每个因素的消费量；Wi表示每个因素在时间段内所占比重。
4.计算各因素贡献率：根据对数差值，计算出每个因素对总能源消费量变化的贡献率。
各因素贡献率的计算公式为：Ci = (ln(Pi2/Pi1) × Wi) / ln(Q2/Q1)其中，Ci表示第i个因素对总能源消费量变化的贡献率。
5.验证结果：将各因素贡献率相加，得到总能源消费量变化的贡献率。
如果各因素贡献率之和等于总能源消费量变化的贡献率，则说明LMDI 方法分解结果正确。
三、LMDI方法的优点与局限性优点：1. LMDI方法计算简便，只需输入数据即可自动进行分解。
2. LMDI方法可以将总能源消费量拆分为各个因素的贡献，有利于深入了解能源消费的结构和变化。
对数平均温度
对数平均温度
对数平均温度是指一个地区某段时间内的所有温度值取对数后的平均数。
它可以反映温度的波动情况和变化趋势。
对数平均温度的计算方法如下：将地区某段时间内所有温度值逐一取
对数，然后相加，得到总和。
将总和除以温度值的个数，即可求得对
数平均温度。
对数平均温度的优点在于它对温度波动的反应比较弱，因此可以反映
温度的长期变化趋势。
当地区温度波动较大时，简单平均温度容易受
到极端温度值的影响，而对数平均温度则可以较好地平稳这种影响。
可以利用对数平均温度来研究气候变化趋势。
例如，近年来全球气温
呈上升趋势，利用对数平均温度可以更加准确地反映这种趋势。
同时，对数平均温度也可以用来研究季节性变化和不同地区的气温变化规律。
总之，对数平均温度是一种有用的气象指标，可以反映出温度的长期
变化趋势，帮助研究气候变化趋势和季节性变化规律。
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高考又见对数平均数
在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。
2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问，实际上就是对数平均数不等式的应用。
加强对对数平均数的理解，无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。
对于a>b>0，我们把
b
a b
a ln ln --称作a 与
b 的对数平均数，并且有：
算术平均数>对数平均数>几何平均数，即：
2b a +>b
a b
a ln ln -->a
b 证明方法Ⅰ（几何证明）：如图，分别过A(a,0)、B(b,0)、C(
2b a +,0)、D(ab ,0)作x 轴的垂线，与函数y=x
1
交于F 、G 、E 、H 四点，过E 作函数的切线，分别与BG 、AF 交于M 、N 两点。
比较曲边四边形GBAF 的面积S 1与梯形MBAN 的面积S 2，得S 1>S 2，其中：
S 1=⎰a
b dx x
1
=ln a-ln b ，
S 2=
2AN BM +•AB=CE •AB=b
a +2
•(a-b) ∴ ln a-ln b>b
a +2
•(a-b)
即：2b a +>b
a b a ln ln --……①
比较梯形GBDH 的面积S 3与曲边四边形GBDH 的面积S 4，得S 3>S 4，其中：
S 3=21
(GB+HD)•BD=21(b 1+ab 1)(ab -b)=ab
b a 2- S 4=⎰ab
b dx x 1=ln ab -ln b=
2ln ln b a +-ln b=2
ln ln b
a - ∴
ab
b a 2->2ln ln b a -
即：
b
a b
a ln ln -->a
b ……②
综合①②，得：2b a +>b
a b
a ln ln -->a
b (a>b>0)
证明方法Ⅱ（函数证明）： 令f(x)=
2ln x +1
2
+x -1 (x>1)，则有： f`(x)=x 21
-2
)1(1+x =22)1(24)1(+-+x x x x =22)1(2)1(+-x x x >0 ∴ f(x)>f(1)=0，即：
2ln x +1
2
+x -1>0， 令x=b a ，代入整理得： 2ln ln b a ->b a b a +-
即：2b a +>b
a b a ln ln --……①
令g(x)=x-2•ln x-x
1
(x>1)，则有：
g`(x)=1-x 2+21x
=22
)1(x x ->0
∴ g(x)>g(1)=0，即x-2•ln x-x
1
>0， 令x=
b a ，代入整理得：ab
b
a ->ln a-ln b
即：
b
a b
a ln ln -->a
b ……②
综合①②，得：2b a +>b
a b
a ln ln -->a
b (a>b>0)
经过上述证明，我们对对数平均数有了一定的了解，接下来看一看2018年高考数学理科全国Ⅰ卷第21题：
已知函数f(x)=x
1-x+a •ln x (1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 若f(x)存在两个极值点x 1、x 2，求证：
2
121)
()(x x x f x f --<a-2
第一问略。
第二问，由题意可知，x 1、x 2分别为方程：x 2-ax+1=0的两个解，故有：x 1•x 2=1，且x 1+x 2=a>0。
f(x 1)-f(x 2)=(
11x -x 1+a •ln x 1)-(2
1
x -x 2+a •ln x 2) =
2
11
2x x x x -+x 2-x 1+a(ln x 1-ln x 2) (其中x 1x 2=1) =2(x 2-x 1)+a(ln x 1-ln x 2)
∴
2121)()(x x x f x f --=a •2
12
1ln ln x x x x ---2
要证明题目要求的不等式，其实就是证明2
12
1ln ln x x x x --<1。
根据
b
a b
a ln ln -->a
b ，令a 、b 分别等于x 1、x 2，则ab=x 1x 2=1，即：
2
12
1ln ln x x x x -->1。
可以看到，本题其实就是对数不等式的倒数写法。
经典例题：下面是一道在各地区调考、模拟考中的经常出现的一
个题型（当然实际题目会略加变化）。
因其构思精巧，计算复杂，这一题常常被用作压轴题最后一问。
让我们一起来体会一下。
x1、x2是函数y=x
e -ax+a 的两个零点，求证x 1x 2<x 1+x 2 。
依题意有：⎩⎨⎧-=-=)
1()1(2121x a e x a e x x ，两式相除得：21x x e -=11
21--x x ，
两边取对数得：x 1-x 2=ln(x 1-1)-ln(x 2-1)， ∴
)
1ln()1ln()
1()1(2121------x x x x =1
根据对数不等式有：
)
1ln()1ln()
1()1(2121------x x x x >)1)(1(21--x x
即：1>)1)(1(21--x x ，整理得：x 1x 2<x 1+x 2 证毕。
从上述例子中我们可以体会到对数平均数不等式的巧妙应用。
在各地区历年高考压轴题中，这样的例子有很多。
对数不等式对基本不等式进行了很好的补充，在指数函数、对数函数的计算中有着广泛的应用。