对数的发明
对数的创始人
为了知道x到底等于多少，我们先来研究 对数的有关概念
定义： 一般地，如果
aa 0, a 1
的b次幂等于N, 就是 ab N ，那么数 b叫做
以a为底 N的对数，记作 log a N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
例如：
42 16
log 4 16 2
102 100
log10 100 2
1
42 2
log
4
2
1 2
102 0.01
log10 0.01 2
探究： ⑴零与负数有没有对数？
(2) loga aN ?
(3)aloga N ?
(3)aloga N N
思考：在对数式b=logaN中a,b,N的取值范围分别是？
x 16
练习4.计算下列各式的值:
(1)2log2 4 ; (3)10lg105 ;
(2)3log3 27 ; (4)5log 5 1125.
思考？
（3）log2 3 2 3 ? 解法一： 设 x log2 3 2 3
则
2
x
3 2
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 （Napier，1550年~1617年）。在纳皮尔所处 的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始 流行，这导致天文学成为当时的热门学科。 可是由于当时常量数学的局限性，天文学家 们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的 “天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生 的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱 好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数 字的计算技术，终于独立发明了对数。
如log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10
对数发明的历史
对数发明的历史1、对数发明的背景16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。
德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2 ,cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2 .大大简化了三角函数连乘的计算。
比如，计算sin67°34'×sin9°3'，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。
但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。
（请你不用计算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了：sin67°34'×sin9°3'＝cos(67°34'-9°3')－cos(67°34'+9°3')＝[cos(58°31')－cos(76°37')]/2＝[0.52225052-0.23146492]/2＝0.14539280这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a ,sin β=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β)，再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β) ,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。
由于大于1的数可用小于1的数乘上10n表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。
北师大版高中数学必修1-3.5对数的发明者约翰-纳皮尔
对数的发明者约翰·纳皮尔
约翰，纳皮尔，苏格兰数学家、神学家.1550年出生于苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿，是梅奇斯顿城堡的第八代地主.他一生研究数学，对数字计算特别有研究.
他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因天文学的发展而兴起的．他重新建立了用于解球面直角三角形的10个公式的巧妙记法——圆的部分法则(“纳皮尔圆部法则”)，建立了解球面非直角三角形的两个公式——“纳皮尔比拟式”，发明了做乘除法用的“纳皮尔算筹”．此外，他还发明了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根.
而约翰·纳皮尔主要的数学成就，则是发明对数运算.那时候天文学家在进行天文学研究时，需要进行很多非常繁琐的计算，工作量大得让他们苦不堪言，伤透脑筋，因此他们向约翰·纳皮尔求助，寻求更为简捷的运算方法，由此拉开了对数运算发现的序幕.
而约翰·纳皮尔完成这个发现过程花费了他整整20年的工夫．1614年6月他在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数.
1616年亨利·布里格斯去拜访纳皮尔，建议将对数改良为以10作底.可惜纳
皮尔于隔年春天去世，所以这项工作后来就由布里格斯以毕生精力完成.布里格斯以10为底列出一个很详细的对数表，这也就是后来的常用对数表.自从有了对数，天文学家就可省去一半计算时间.
难怪著名的天体力学专家拉普拉斯会说：“对数的发明简化了计算，使天文学家的寿命增加了一倍．”约翰·纳皮尔也因此青史留名．。
近代数学中的革命性发明——对数
近代数学中的革命性发明——对数欧洲文艺复兴之后，科学也也迎来大发展时代，而出于实际的需要，天文和航海等领域的研究更是进行得如火如荼。
但到了十六世纪后，科学家们往往会被一个问题所困扰，那就是处理数据时所进行的复杂数字运算。
为此，不少数学家都在寻找一种可以减少计算量的更先进的数字处理方法，对数的概念也就应运而生。
以今天的眼光来看，对数的发明无疑是数学计算史上革命性的里程碑事件。
对数的概念萌芽于德国数学家施蒂费尔(Stifel)，他在自己1544年的著作《整数算术》中详细探讨了几何级数1，r,r^2,r^3……中的各项与其指数之间的关系，例如我们今天所熟知的两数相乘所得之数的指数为原两数指数之和，更进一步，他还将这种运算规律推广到了指数为负数和分数的情形。
如今这样的规律初中学生都已熟知，但在施蒂费尔的时代，这样的问题仍是模糊的，甚至在当时并没有“指数”这样的概念。
但可惜的是，限于时代的陈旧观念，施蒂费尔并没有提出类似于对数的概念，遗憾地错失了这次数学大发现和名垂千古的机会。
发明，或者说发现对数的重要功劳当属苏格兰数学家纳皮尔。
纳皮尔(John Napier,1550~1617)本是苏格兰地区的贵族，对天文学尤其是相关的计算很有兴趣，擅长于把天文问题转化为球面三角的问题。
如今没有资料显示纳皮尔产生对数概念的具体过程，但这显然与他长期从事天文计算研究相关。
大约在1594年，纳皮尔得到了对数概念的雏形，为此他专门写信将想法告诉了当时著名的天文学家第谷(Tycho Brahe,1546~1601,近代天文学奠基人，开普勒的老师)。
而后经过长时间的思考，纳皮尔的对数概念开始逐渐清晰起来，和当时的传统做法一样，纳皮尔需要著作来详细阐释他的思想，为此他完成了两本著作：《论述对数的奇迹》(1614)和《做出对数的奇迹》(1619)。
纳皮尔的出发点与之前的施蒂费尔完全不同，他借助了物理中的直线运动和连续几何变量来引入对数。
对数的发明
对数的发明16、17世纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展，对大数的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法、提高计算速度和准确度成了当务之急。
苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，标志着对数的诞生。
在这本书中，纳皮尔借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。
如图1，假定两点P ，Q 以相同的初速度运动。
点Q 沿直线CD 作匀速运动，CQ=x ；点P 沿线段AB （长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB=y ）。
令P 与Q 同时分别从A,C 出发，那么，定义x 为y 的对数。
用现在的数学符号来叙述，纳皮尔的对数中，x 与y 的对应关系就是Y=107710x e 1⎪⎭⎫ ⎝⎛其中e 为自然对数的底数。
利用对数，纳皮尔制作了'190~0每隔︒︒ 的八位三角函数表，但是这种方法不够方便和简捷。
把对数加以改造并使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯。
他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，是的对数为0,10的对数为1，这样就得到了现在所用的以10为底的常用对数。
由于我们的数系是十进制，因此他在数值计算上具有优越性。
1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1~20 000及90 000~100 000的14位常用对数表。
根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺。
300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器。
尽管作为一种计算工具，对数计算尺、对数表现在都不再重要了，但是，对数的思想方法，即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，在今天仍然具有生命力。
从对数发明的过程可以发现，纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，主要是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多年后的1637年由法国数学家笛卡尔开始使用。
对数产生
对数产生16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。
欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。
他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。
他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。
在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：Nap．㏒x=10㏑(107/x)由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。
1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。
正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。
又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。
对数的发明者是谁
对数的发明者是谁
数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔和瑞士的乔伯斯特·布尔基。
布尔基原是个钟表技师，1603年被选入担承布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文计算的一些具体情况。
他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法。
对数的应用
对数在数学内外有许多应用。
这些事件中的一些与尺度不变性的概念有关。
例如，鹦鹉螺的壳的每个室是下一个的大致副本，由常数因子缩放。
这引起了对数螺旋。
Benford关于领先数字分配的定律也可以通过尺度不变性来解释。
对数也与自相似性相关。
例如，对数算法出现在算法分析中，通过将算法分解为两个类似的较小问题并修补其解决方案来解决问题。
自相似几何形状的尺寸，即其部分类似于整体图像的形状也基于对数。
对数刻度对于量化与其绝对差异相反的值的相对变化是有用的。
对数的起源
对数的起源对数的起源对数产生于以加减运算代替乘除运算的探索中．以加（减）代乘（除）的想法早就存在了．一个简单的三位数乘法（例如265×438），一般需要四次运算才能得出结果，但同样数字的加法却只需一次运算．涉及的数字越大，则乘（或除）所需要的运算次数比加（或减）所需的运算次数相差得越多．因此，在6世纪以前，就曾有人作尝试，试图实现以加（减）代乘（除）．但由于压力不大，并不感到非如此不可，因此未能达到目的．16世纪中叶，由于天文和航海而引起的大数计算日益激增，这种计算不仅花去了人们大量的精力，而且难以精确，于是，以加（减）代乘（除）的设想再次被提出，并被作为必须解决的问题加以考虑了．起初，曾采用以下两个公式来实现乘除向加减的转化：但由于它们都需要通过另一种运算（三角或平方）来实现转化，并不真正地提高效率，所以很快就被搁置不用了．能不能使乘（除）直接向加（减）转化呢？能！1484年，法国数学家舒开（Chuquet，?—1500）通过把等差数列与等比数列，如：0，1，2，3，4，… 等差1，2，4，8，16，… 等比或0，1，2，3，4，… 等差1，3，9，27，81，… 等比比较发现：等比数列中任何两项的积，可以用与这两项序号对应的等差数列的和来表示（注：这一点最早由阿基米德发现）．由于当时舒开并不力图解决这个问题，因此他仅提出了这个发现，而没加以深入地研究．半个世纪后，同样的事实再次被德国数学家史提非提出．史提非以如下一组数列为例指出：“等比数列中数的乘、除、乘方、开方可以转化为等差数列中数的加、减、乘、除来实现．”如4×8，因为4和8对应的等差数列的数分别是2和3，而2+3=5，所以4×8的结果是5所对应的等比数中的数32．又如82，因为8对应的等差数列中的数是3，3×2=6，所以82的结果是6所对应的等比数列中的数64．就这样，史提非轻巧地实现了运算的转化，并且他意识到：“只要把这个思想进一步发挥，那么必定能得出关于数的性质的全新的论述．”遗憾的是史提非后来再也没进行深入的研究，他放弃了进一步发挥思想的权利，因而也就失去了对数发明者的资格．布尔基与耐普尔数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（John Naeipr，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（JobstBürgi，1552－1632）．布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．为了做到这一点，布尔基采取尽可能细密地列出等比数列的办法．他给出的等比数列相当于：1，1.0001，(1.0001)2，(1.0001)3，…，（1.0001）104，…其相应的等差数列是：0，0.0001，0.0002，0.0003，…，1，…这里，等差数列中的1，对应于等比数列中的（1.0001）104．就是说，布尔基在造表时，把对数的底取为（1.0001）104=2.71814593…，与自然对数的底e=2.718281828…相差不远．但需要的指出是，无论是布尔基还是后面要讲到的耐普尔，他们都没有关于对数“底”的观念．因为他们都不是从a x=N的关系出发来定义对数x=log a N的．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．1614年，耐普尔发表了他的《关于奇妙的对数表的说明》一书，书中不仅提出数学史上的第一张对数表（布尔基的对数表发表于1620年），而且阐述了这个发明的思想过程．他说：假定有两个质点P和Q，分别沿着线段AZ和射线A'Z'以同样的初速运动，其中Q保持初速不变，而P作减速运动，其速度与这个点离Z的距离成正比，现在，如果当P位于某点B时，Q位于B'，那么，A'B'就是BZ的对数！同样的A'C'是CZ的对数，等等（图1）．建立了这个模型以后，耐普尔通过代入具体的数字得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列数值为：，…以及作为它们的对数的A'B'，A'C'，A'D'，A'E'，A'F'，…一系列数值为：1，2，3，4，5，…显然，这也是一组相互对应的等比数列和等差数列，因此耐普尔实质是把等差数列中的数定义为对应的等比数列中的数的对数！这说明，耐普尔借助于质点运动建立起来的对数概念，其原理仍不外乎等比数列与等差数列关系的合理运用．对数的由来英语名词：logarithms如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。
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类型：研究性学习课题（数学）课题负责人：成员：指导老师：班级：完成时间：1、对数发明的背景16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。
德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2 ,cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2 .大大简化了三角函数连乘的计算。
比如，计算sin67°34'×sin9°3'，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。
但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。
（请你不用计算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了：sin67°34'×sin9°3'＝cos(67°34'-9°3')－cos(67°34'+9°3')＝[cos(58°31')－cos(76°37')]/2＝[0.52225052-0.23146492]/2＝0.14539280这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a ,sin β=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β)，再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β) ,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。
由于大于1的数可用小于1的数乘上10n表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。
但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方，因此,寻找更好的计算迫在眉睫。
2、对数产生的前奏请你观察下面两个数列,并找出规律:1, 2, 4, 8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, 4096，8192，16384⋯⋯0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12， 13， 14⋯⋯德国数学家Stifel (1487～1567)在观察上述两个数列时,称上排的数为“原数”, 下排的数为“代表数” (德文Exponent) , Stifel发现,上一排数之间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系。
Stifel 指出：“欲求上边任两数的积（商），只要先求出其下边代表数的和（差），然后再把这个和（差）对向上边的一个原数，则此原数即为所求之积（商）。
”比如，计算16×1024，只要计算16的“代表数” 4、1024的“代表数” 10之和4+10=14，再查出与“代表数” 14相对应的“原数” 16384，就得到16×1024的乘积。
实际上, Stifel已经掌握了对数运算法则，因为Stifel所谓的“代表数”,本质上是“原数”以2为底的对数。
说明：上一排原数可写为以2为底的指数函数,则数列对为：2０，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210，211，212, 213214⋯⋯0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10，11，12，13 14 ⋯⋯则16×128实际上就是24×27＝24+7＝211＝2048。
此法可推广到任何二个数的乘除运算。
比如计算17951235×0.08304115,设17951235＝a X, 0.08304115＝a Y，则17951235×0.08304115＝a X×a Y＝a X+Y。
这里x是17951235的(以a为底的)对数，y是0.08304115的(以a为底的)对数。
底a是可以任意指定的，我们指定a=10,则只要查表得到这二个数的常用对数(以10为底的对数称为常用对数) x=lg 17951235=7.2540943323和y=lg0.08304115＝-1.0807066451，计算x+y=6.1733876872，再查表得6.1733876872的(以10为底的)指数函数，106.1733876872＝1490691.1983就得到了17951235的乘积。
这就是后来的“对数简化运算”的方法。
但由于当时没有分数指数的概念，人们还完全想不到这样的原理。
Stifel尝试做任何两个数乘除时，遇到用数列不能解决的情况,他感到束手无策,他说:“这个问题太狭窄了,所以不值得研究”,只好“鸣金收兵”。
3、对数的发明对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的。
那时候天文学是热门学科。
可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。
Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍。
”经20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"），中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(NaplogX)。
这让他在数学史上被重重地记上一笔。
1616年Briggs(亨利·布里格斯，1561–1630)去拜访Napier，建议将对数改良一下以10为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。
可惜Napier隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，他于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对数表的方法，1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数。
对数表这一惊人发明很快传遍了欧洲大陆。
开普勒利用对数表简化了行星轨道的复杂计算。
伽利略发出了豪言壮语：“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。
”数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”。
对数表曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家和科学家广泛使用。
今天，随着计算机的迅猛发展，对数表、计算尺就像过时的法律一样被废弃了，但对数与指数本身已成为数学的精髓部分，也是每一个中学生必学的内容。
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。
当时在log2=0.3010中，2叫做“真数”，0.3010叫做“假数”，真数与假数对列成表，故称对数表。
后来“真数”改称为“底数”，“假数”改称为“对数”。
当今中学数学教科书是先讲“指数”，后以反函数形式引出“对数”的概念。
但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。
Briggs曾向Napier提出用幂指数表示对数的建议。
最早使用指数符号的是法国数学家Descartes (笛卡尔，1596～1650)，他于1637年用符号a n表示正整数幂。
分数指数幂在17世纪初开始出现，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师Stevin，以后又有人将其扩展到负指数，直到18世纪初英国数学家Newton(牛顿，1642～1727)开始使用a X表示任意实数指数幂．这样，指数概念才由最初的正整数指数逐步扩展到实数指数．一直到18世纪，瑞士数学家Euler (欧拉，1707～1783)才发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们接受．4、Napier发明对数的思想方法假设有两个质点P和Q分别沿着线段AB和射线CD,以同样的初速运动,其中质点Q沿直线CD匀速运动,而质点P在线段AB上任何一点的速度等于它到端点B的距离。
Napier定义CQ为PB的对数。
也就是说，设X=CQ为Y=PB,则X＝NaplogY（Naplog是纳皮尔对数的符号）。
当P和Q从A和C出发时，其初速度的数值等于线段AB的长度(设为Y0)，此后在相等时间间隔情况下，时刻t1,t2,t3,t4⋯时,Q位于C1,C2,C3,C4⋯，P位于A1,A2,A3,A4⋯。
由于Q沿CD做匀速运动，C,C1,C2,C3,C4是等距的，与端点C的距离形成等差数列（0,Y0△t,2Y0△t,3Y0△t,4Y0△t,⋯），而A,A1,A2,A3,A4,⋯与端点B的距离形成等比数列（Y0,Y0(2-△t)/(2+△t),Y0[(2-△t)/(2+△t)]2,Y0[(2-△t)/(2+△t)]3,Y0[(2-△t)/(2+△t)]4,⋯）。
X与Y的关系：Y＝Y0[(2-△t)/(2+△t) 1/(Y0△t)]X。
根据微积分理论，△t→0时，(2-△t)/(2+△t)1/△t＝1/e,则可得到Y＝Y0（1/e）X/Y0Napier认为，质点运动的时间间隔△t应尽量小，他选择了(2-△t)/(2+△t)＝1-10-7＝0.9999999，相应△t＝2/(2×107-1)），为了避免小数的麻烦,他又规定Y0＝107,于是得到纳皮尔对数X＝Nap㏒Y＝107㏑(107/Y)Napier的核心思想是从等差数列与等比数列的关系中定义对数, Napier没有底的概念。
他从连续的几何量出发，定义的对数是连续的. 由数列定义的对数是离散的。