2021-2022年高考压轴卷数学(理科)含解析

2021年高考压轴卷数学（理科）含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知，其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为（）A． B． C． D．2.已知函数，，且，，，则的值为A.正B.负C.零D.可正可负3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+ B．4+ C．4+ D．4+4.如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x xωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么( )A．-1 B．C．D．15.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A． B．C． D．7.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x∈[0，1]时，，则方程在区间[﹣3，3]上的根的个数为（）A．5B．4C．3D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．9.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a aB a a a=+-=--+，若，则实数的值为________________.10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a指向①时输出的结果S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果S＝n，求m＋n的值．11.若是等差数列的前项和,且，则的值为．12.展开式中有理项共有项．13.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_______14.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15.已知向量)4cos,4(cos),1,4sin3(2xxnxm==．记(I)求的周期；(Ⅱ)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a—c)B=b，若，试判断ABC的形状．16.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）篮球排球总计男同学16 6 22女同学8 12 20总计24 18 42（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？ （Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”． ①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题.17.已知正四棱柱中，. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为. 求证: 为定值.19.已知数列的各项均为正数，记,,342(),1,2,n C n a a a n +=+++= .（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.20.已知函数（）.（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且， 求证：（其中是的导函数）．xx北京市高考压轴卷数学理word版参考答案1.【答案】D【解析】1()1,2,1,12xx xi yi x yi=-=-∴==+故选D．2.【答案】B【解析】∵，∴函数在R上是减函数且是奇函数，∵，∴，∴，∴，∴，同理：，，∴.3.【答案】A【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+．故选A．4.【答案】A.【解析】5.【答案】C【解析】①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，mγ，γ∩β=c∴m∥c，∵mα，cα，∴c∥α，∵nβ，cβ，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选C6.【答案】C.【解析】由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选7.【答案】C.【解析】设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选C．8.【答案】A.【解析】由f（1+x）=f（1﹣x）可得函数f（x）的图象关于x=1对称，方程在区间[﹣3，3]根的个数等价于f（x）与y=图象的交点的个数，而函数y=图象可看作y=的图象向下平移1个单位得到，作出它们的图象如图：可得两函数的图象有5个交点，故选A【解析】①若a-3=-3,则a=0，此时：}1,1,3{},3,1,0{--=-=B A ,,与题意不符，舍 ②若2a-1=-3,则a=-1，此时： }2,4,3{},3,1,0{--=-=B A ，，a=-1 ③若a2+1=-3,则a 不存在 综上可知：a=-1 10. 【答案】20.【解析】当箭头指向①时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0，S ＝1； i ＝2，S ＝0，S ＝2； i ＝3，S ＝0，S ＝3； i ＝4，S ＝0，S ＝4； i ＝5，S ＝0，S ＝5； i ＝6结束． ∴S＝m ＝5．当箭头指向②时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0， S ＝1； i ＝2，S ＝3； i ＝3，S ＝6； i ＝4，S ＝10； i ＝5，S ＝15； i ＝6结束． ∴S＝n ＝15． ∴m＋n ＝20． 11. 【答案】44【解析】由83456786520S S a a a a a a -=++++==,解得,又由611111611211()114422a a a S a ⨯+====【解析】展开式通项公式为T r+1==若为有理项时，则为整数，∴r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项， 故答案为：3 13.【答案】4.【解析】设过坐标原点的一条直线方程为，因为与函数的图象交于P 、Q 两点，所以，且联列解得22,2,,2P k Q k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝，所以()222122284PQ kk k k ⎛⎫⎛⎫=+=+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14. 【答案】【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a ≠1，构造函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1，y 2=x 2﹣ax ﹣1，它们都过定点P （0，﹣1）． 考查函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1：令y=0，得M （，0）， ∴a ＞1；考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣1，显然过点M （，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）． 故答案为：15. 【解析】2311()3cos cos cos 4442222xx x x x f x +=++ （I ）（Ⅱ 根据正弦定理知：()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒= ∵ ∴ 113sin 262263A A πππ+⎛⎫+++= ⎪⎝⎭或或而，所以，因此ABC 为等边三角形.……………12分 16. 【解析】（Ⅰ）由表中数据得K 2的观测值k 42×(16×12－8×6)224×18×20×2225255≈4.582>3.841. ……2分所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分 （Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学． 方法一：令事件A 为“甲被抽到”；事件B 为“乙丙被抽到”，则 P(A∩B)，P(A).所以P(B|A)P(A∩B )P(A)217×16 1136. ……7分方法二：令事件C 为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”， 则P(C)217×161136.②由题知X 的可能值为0，1，2.依题意P(X0)3551；P(X1)517；P(X2)151.从而X 的分布列为……10分 于是E(X)0×3551＋1×517＋2×151175113. ……12分17. 【解析】证明：(Ⅰ)因为为正四棱柱，所以平面，且为正方形. ………1分 因为平面，所以. ………2分 因为,所以平面. ………3分因为平面,所以. ………4分 (Ⅱ) 如图，以为原点建立空间直角坐标系.则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B………5分所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-. 设平面的法向量. 所以 .即……6分 令，则. 所以.由（Ⅰ）可知平面的法向量为.……7分所以10cos ,5522DB <>==⋅n . ……8分 因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为. ………9分 (Ⅲ)设为线段上一点,且.因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---. ………10分 即.所以. ………11分 设平面的法向量. 因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+，所以 .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. ………12分 令，则.所以. ………13分若平面平面，则. 即，解得.所以当时，平面平面. ………14分18. 【解析】（Ⅰ）由条件…………2分故所求椭圆方程为. …………4分 （Ⅱ）设过点的直线方程为：. …………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立. 设点，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………8分因为直线的方程为：，直线的方程为：， ………9分 令，可得，，所以点的坐标. ………10分直线的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x k x x x x -++=⋅-++ …………12分 2222222241282341434341284244343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++所以为定值. …………13分19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意，三个数是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分 所以, ………2分 即. ………3分所以数列是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分 所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分 （Ⅱ）（１）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得即. ………7分因为当时，由可得， ………8分所以. 因为，所以.即数列是首项为，公比为的等比数列， ………9分 （２）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有 . ………10分 因为，所以均大于.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分 231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.………13分综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数组成公比为的等比数列. ………14分20. 【解析】（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即. ···························································································· 2分（Ⅱ），则22(1)(1)()2x x g x x xx-+-'=-=，∵，故时，.当时，；当时，.故在处取得极大值. ··················································································································· 4分 又，，，则，∴在上的最小值是. ··················································································································· 6分 在上有两个零点的条件是解得，∴实数的取值范围是. ··············································································································· 8分（Ⅲ）∵的图象与轴交于两个不同的点， ∴方程的两个根为，则两式相减得1212122(ln ln )()x x a x x x x -=+--.又，，则1212124()()2x x f x x a x x +'=-+++. 下证（*），即证明，，∵，∴，即证明在上恒成立.·································································································· 10分∵22222(1)2(1)114(1)()(1)(1)(1)t t t u t t t tt t t -+---'=+=-=+++，又，∴， ∴在上是增函数，则，从而知， 故（*）式＜0，即成立………….12分。