一次函数与一次不等式的关系
2.5一元一次不等式与一次函数的关系(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元一次不等式与一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
针对以上教学难点，教师应采取以下措施：
1.采用直观的图像演示和实际例题，帮助学生理解一元一次不等式的解法；
2.通过绘制一次函数图像的过程，引导学生观察、分析图像的性质；
3.设计具有启发性的问题和练习题，让学生在实际操作中发现不等式与函数的关系；
4.结合实际情境，引导学生运用一元一次不等式和一次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
2.教学难点
（1）一元一次不等式的求解：学生在求解过程中可能会出现移项错误、符号错误等问题。
举例：在解不等式2x - 3 > 5时，学生可能会错误地将不等式两边同时加上3，而忘记改变不等号的方向。
（2）一次函数图像的理解：学生对一次函数图像的斜率、截距等概念理解不透彻，导致在分析图像性质时出现困难。
2.5一元一次不等式与一次函数的关系（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第七章第二节“一元一次不等式与一次函数的关系”，主要包括以下内容：
1.一元一次不等式的解法及性质；
2.一次函数的图像及性质；
3.一元一次不等式与一次函数的关系；
4.应用一元一次不等式及一次函数解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学符号进行逻辑推理的能力，通过一元一次不等式的解法及性质，提高学生抽象思维和逻辑推理素养；
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数【基础知识精讲】1.一元一次不等式与一次函数的关系。
两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。
另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。
事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。
2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。
一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。
【考点聚焦】本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。
题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。
【典例精析】例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。
思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。
解：由图象可知：（1）当x＞3时，y＞0；（2）当x＜3时，y＜0；（3）当x＞6时，y＞3。
评注：（1）两点确定一条直线。
（2）大于往右看，小于往左看。
【试解相关题】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。
已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？思路点拨：此题两问均牵扯到不等式问题，但需先列函数关系式。
解：设当时间为x秒时，跑过的路为y米，则y哥哥=4x，y弟弟=3x＋9如图所示，由图象知9秒前弟弟跑在哥哥前面；9秒后，哥哥跑在弟弟前面。
评注：通过以上两例，体会：刻画运动变化的规律需要用函数模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型。
一元一次不等式与一次函数(第2课时)(课件)八年级数学下册(北师大版)
探究新知
解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行 社时，所需的费用为 y 1 元，选择乙旅行社时，所需的费 用为 y 2 元，则 y 1 = 200 × 0.75 x， 即 y 1 = 150 x； y 2 = 200 × 0.8（x - 1），即 y 2 = 160 x - 160.
探究新知
例 3 ： 为绿 化 校园 ， 某校 计 划购 进 A， B两 种 树苗 ， 共 21 棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种 树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)y与x的函数关系式为________； (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种
千米收取的费用比乙租赁公司多 D．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每
千米收取的费用比乙租赁公司少
随堂练习
4.某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定 月租费10元，每通话1 min收费0.3元；乙种业务不收月 租费，但每通话1 min收费0.4元.你认为何时选择甲种业 务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
情境导入
一次函数与一元一次不等式的关系是什么？ 一次函数与一元一次不等式的关系： 任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为 常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次 函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围． 从 图 象 上 看 ， ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 的 解 集 是 使 直 线 y ＝ ax ＋ b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围．
探究新知
核心知识点一： 一元一次不等式与一次函数的综合应用
例1：某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规 定月租费10元，每通话1min收费0.3 元；乙种业务不收月租 费，但每通话1min收费0.4 元. 你认为何时选择甲种业务对 顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的两个重要概念，它们的关系如下：
一元一次不等式：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的不等式，例如：2x+1>5 或者x-3<7。
一次函数：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的函数，例如：y=2x+1 或者y=x-3。
这两个概念之间的关系在于，我们可以将一元一次不等式转化为一次函数的形式进行分析和解决。
具体来说，我们可以将不等式中的未知数视为函数的自变量x，将不等式的两边分别视为函数的因变量y，例如：2x+1>5 可以转化为y=2x+1 和y=5 两个函数，我们可以画出这两个函数的图像，通过比较函数图像来解决不等式的解集。
例如，将不等式x-3<7 转化为一次函数的形式，得到y=x-3 和y=7 两个函数，我们可以在坐标系中画出这两个函数的图像，发现两个函数的交点在x=10 处，因此不等式的解集为x<10。
总之，一元一次不等式和一次函数之间有着紧密的联系，将不等式转化为函数的形式可以帮助我们更好地分析和解决问题。
5 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
5 一元一次不等式与一次函数第1课时一元一次不等式与一次函数的关系情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入图2-5-1[说明与建议] 说明:通过熟悉的寓言,既吸引了学生的学习兴趣,又激发了他们的学习欲望,同时也揭示了本节课的主题,一举三得.建议:首先让学生对所出示的问题进行猜想,然后让学生说出要用到的知识点.复习导入活动内容:问题1:我们学习了一元一次不等式的定义和解法,无论是定义还是解法都雷同于一元一次方程,那么不等式与方程二者是否存在某种内在的关联呢?问题2:在一次函数y=2x-5中,当y=0时,有方程2x-5=0;当y>0时,有不等式2x-5>0;当y<0时,有不等式2x-5<0.由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于0时即为不等式.我们既可以运用函数图象解不等式,也可以运用解不等式研究函数问题,二者相互渗透,互相作用.[说明与建议] 说明:以“旧”引“新”,由原有的知识为基础,探讨新的内容,初步得到一元一次不等式与一次函数的关系.学生在回忆中探索本课时的内容,从而降低了学生们“入室”的门槛.建议:问题1引起学生思考.问题2师生共同解答,在解答中思考一元一次不等式与一次函数之间的相通之处.[命题角度1] 根据图象确定不等式的解集解决此类问题的关键是仔细观察图形,求出几个关键点(交点等)的坐标,根据关键点的坐标解决所要求的问题.如教材P51习题2.6第2题.例1如图2-5-2,直线y=kx+b交坐标轴于A(-2,0),B(0,3)两点,则不等式kx+b>0的解集是 (D)图2-5-2A.x>3B.-2<x<3C.x<-2D.x>-2例2[菏泽中考]如图2-5-3,函数y1=-2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2),则关于x的不等式-2x>ax+3的解集是(D)A.x>2B.x<2C.x>-1D.x<-1图2-5-3[命题角度2] 一元一次不等式与一次函数图象的应用对于图象信息题,了解横、纵坐标表示的意义很重要,另外理解两直线交点坐标的含义是解决问题的关键.例如图2-5-4,l1表示某产品一天的销售收入y1(万元)与销售量x(件)的关系;l2表示该产品一天的销售成本y2(万元)与销售量x(件)的关系.销售收入y1与销售量x之间的函数表达式为y1=x ;销售成本y2与销售量x之间的函数表达式为y2=1x+2;当一天的销售量超过42件时,生产该产品才能获利.(利润=收入-成本)图2-5-4P50 随堂练习已知y 1＝－x ＋3，y 2＝3x －4，当x 取哪些值时，y 1＞y 2？你是怎样做的？与同伴交流．解：x ＜74. P 51 习题2.61．已知y 1＝－x ＋3，y 2＝3x －4，当x 取哪些值时，y 1＜y 2？你是怎样做的？解：x ＞74. 2．如图，l 1反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，l 2反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？解：销售量超过4 吨时，生产该产品才能盈利．3．甲、乙两辆摩托车从相距20 km 的A ，B 两地相向而行，图中l 1，l 2分别表示甲、乙两辆摩托车离A 地的距离s(km )与行驶时间t(h )之间的函数关系．(1)哪辆摩托车的速度较快？(2)经过多长时间，甲车行驶到A ，B 两地的中点？解：(1)乙快；(2)0.3 h .4．小明和小新同时去上学，从家到学校的距离都是2 km ，他们走路的速度为6 km /h ，跑步的速度为10 km /h .请你根据以上信息，设计一个可以用一元一次不等式解决的问题，并给出解决方案．解：答案不唯一．例如可设他们到达学校至少需t h ．则6t ＞2或10t ＞2.P 52 随堂练习某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折．这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠．请你帮助他们选择购票方案．解：设有女士x 人，每人票价y 元．先假设两种方式票价相同，即0．8×40y＝(40－x)y ＋0.5xy解得x ＝16.当x<16时，0．8×40y<(40－x)y ＋0.5xy ；当x>16时，0．8×40y>(40－x)y ＋0.5xy.答：当女士多于16人时，按五折优惠方式买票较划算；当女士少于16人时，买团体票划算．——详见电子资源一元一次不等式与一次函数的综合运用你还记得一次函数的性质吗？它和一元一次不等式有关系吗？要问答这些问题，我们还是以中考试题为例说明如下：例1（衡阳市）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量，x (吨)与应付水费(元)的函数关系如图1.（1）求出当月用水量不超过5吨时，y 与x 之间的函数关系式；（2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少?分析 显然由图象可知，这个图象是分段的，即分0≤x ≤5和x ≥5，前者是正比例函数，后者是一次函数.解（1）由图象可知：当0≤x ≤5时是一段正比例函数，设y ＝kx ，由x ＝5时，y ＝5，得5＝5k ，即k ＝1.所以0≤x ≤5时，y ＝x.图1（2）当x ≥5时可以看成是一条直线，设y ＝k 1x +b 由图象可知1155,12.510.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1 1.5,2.5.k b =⎧⎨=-⎩所以当x ≥5时，y ＝1.5x －2.5；当x ＝8时，y ＝1.5×8－2.5＝9.5(元). 说明 确定正比例函数的表达式需要一个独立的条件；确定一次函数的表达式需要两个独立的条件.对于在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值.在处理本题的问题时，只需利用待定系数法，构造出相应的二元一次方程组求解.另外，在处理这类问题时，一定要从图形中获取信息，并把所得到的信息进行联系处理.例2（南安市）近两年某地外向型经济发展迅速，一些著名跨国公司纷纷落户该地新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，其信息如下：［信息一］招聘对象：机械制造类和规划设计类人员共150名.［信息二］工资待遇：机械类人员工资为600元/月，规划设计类人员为1000元/月. 设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x 人、y 人.（1）用含x 的代数式表示y ；（2）若公司每月付给所招聘人员的工资为p 元，要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍，求p 的取值范围.分析 由于机械制造类和规划设计类人员共150名，则有x +y ＝150，即（1）容易求解；对于（2），要求每月付给所招聘人员的工资为p 元的范围，根据题意若能求出p 关于x 的一次函数的关系式，再利用一次函数的性质即可求解.解（1）因为机械制造类和规划设计类人员共150名，所以x +y ＝150，即y ＝150－x .（2）根据题意，得：y ≥2x ，所以150－x ≥2x ，解得：x ≤50，又x ≥0，150－x ≥0，即0≤x ≤50，所以p ＝600x +1000(150－x )＝－400x +150000； 又因为p 随x 的增大而减小，并且0≤x ≤50，所以－400×50+150000≤p ≤－400×0+150000，即130000≤p ≤150000.说明 在确定的范围时也可以这样来考虑：由0≤x ≤50，而x ＝400150000p -，所以0≤400150000p -≤50，解得：130000≤p ≤150000. 例3（长沙市）我市某乡A 、B 两村盛产柑桔，A 村有柑桔200吨，B 村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A ，B 两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为y A 元和y B 元.（1）请填写下表，并求出y A 、y B 与x 之间的函数关系式； CD 总计 A x 吨200吨 B300吨 总计240吨 260吨 500吨 （2）试讨论A ，B 两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B 村的经济承受能力，B 村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值.分析 要解决本题中的三个问题，首先得解决第（1）小问题，由于从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，则从A 村运往D 仓库的柑桔重量应为(200－x )吨，同样从B 村运往C 仓库的柑桔重量为(240－x )吨，从B 村运往D 仓库的柑桔重量应为(300－240+x )吨，即(60+x )吨.所以表中C 栏中填上(240－x )吨，D 栏中人上到下依次填(200－x )吨、(60+x )吨.从而可以求出y A 、y B 与x 之间的函数关系式，进而可以分别求解.解（1）依题意，从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，则从A 村运往D 仓库的柑桔重量应为(200－x )吨，同样从B 村运往C 仓库的柑桔重量为(240－x )吨，从B 村运往D 仓库的柑桔重量应为(300－240+x )吨，即(60+x )吨.所以表中C 栏中填上(240－x )吨，D 栏中人上到下依次填(200－x )吨、(60+x )吨.从而可以分别求得y A ＝－5x +5000(0≤x ≤200)，y B ＝3x +4680(0≤x ≤200).（2）当y A ＝y B 时，－5x +5000＝3x +4680，即x ＝40；当y A ＞y B 时，－5x +5000＞3x +4680，即x ＜40；当y A ＜y B 时，－5x +5000＜3x +4680，即x ＞40；所以当x ＝40时，y A ＝y B 即两村运费相等；当0≤x ≤40时，y A ＞y B 即B 村运费较少；当40＜x ≤200时，y A ＜y B 即A 村费用较少.（3）由y B ≤4830，得3x +4680≤4830，所以x ≤50.设两村运费之和为y ，所以y ＝y A +y B ，即y ＝－2x +9680，又0≤x ≤时，y 随x 增大而减小，即当x ＝50时，y 有最小值为9580y （元）.所以当A 村调往C 仓库的柑桔重量为50吨，调往D 仓库为150吨，B 村调往C 仓库为190吨，调往D 仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元.收地运 地。
探究一次函数与一次不等式的关系
探究一次函数与一元一次不等式的关系
一、教学目标
知识技能：理解一次函数与一元一次不等式的关系。
会利用一次函数图象解决一元一次不等式求解集的问题。
数学思考：经历用函数的观点研究方程、不等式的探讨过程，学习用联系的观点看待数学问题的思想。
解决问题：综合运用函数与不等式的关系解决问题，培养学生的识图能力，用“数”“形”结合的思想解决问题。
情感态度：体验数、图形是描述世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具。
通过从函数的角度看问题，让学生体会数学的价值。
二、教学重点、难点
1、教学重点：理解一次函数与一元一次不等式的关系；
2、教学难点：学生认识到利用函数图象确定一元一次不等式解集的直观性，体会函数对于方
程和不等式的统领作用。
三、学情分析
1、学生的年龄与认知特征：学生思维灵活，好奇心强，正处于形象思维向抽象思维的过渡期，
有勇于克服困难的精神，这些优点为本节课的学习提供了情感保
障。
2、学生已具备的知识和技能：学生已经会画一次函数的图象、会解一元一次不等式。
3、学生有待提高的知识与技能：学生缺乏抽象思维，对事物的认知停留在单一知识点上，很
难将数与形结合起来。
四、教法分析
1、自主学习：通过学生对相关知识的回顾，特别是用函数图象求解一元一次方程方法的复习，
激发学生主动寻求新知识，并运用类比方法，得到运用函数观点求解一元一次
不等式的方法。
2、合作学习策略：通过小组协作、积极探究，实现生生互动，积极参与，使教学效果最大化。
一元一次不等式与一次函数图象的关系
由上述讨论易知： “关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一次不等式的问题” ；
反过来， “关于一次不等式的问题”
可变换成 “关于一次函数的值的问题”
。 因此，
我们既可以运用函数图象解不等式 ，
也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ，
二者相互渗透 ，互相作用。
不等式与函数 、方程是紧密联系着 的一个整体 。
学习活动2：
y
如果y=-2x-5, 那么当x取何
4 y=-2x-5 3
2
1
值时，y>0?
-3 -2 -1-01
解：由图可知，当
-2 -3
x<-2.5时,y>0
-4
-5
当x取哪些值时，y<1?
x 12 3 4
学习活动3：
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才 开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。 列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答 下列问题： （1）何时哥哥追上弟弟？ （2）何时弟弟跑在哥哥前面？ （3）何时哥哥跑在弟弟前面？ （4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
y/m
100
90 80 70
60
50
40
30
20 10
y
弟
y
哥
y
哥
y
弟
（1）何时哥哥追上弟弟？ （2）何时弟弟跑在哥哥前面？ （3）何时哥哥跑在弟弟前面？ （4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ (5 ) 你是怎样求解的？与同伴交流。
-2 0 2 4 6 8 10
x /s
学习活动4：
4
作出函数y=2x-5的图象，
3 2
观察图象回答下列问题： 1
一次方程、一次不等式、一次函数间的关系
∧y 1 -1 O > x
∧y
4
5
>x
y=x+1
②请同学们作出直线y=2x-4,求出它与x轴交点的横 坐标；再看看这个横坐标是不是方程2x-4=0的解.
分析: x 0 2 y -4 0 图像如图所示.
∧y 3 2 1 -3 -2 -1 O 1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 5 >x
一次方程、一次不等式、一次函数间的关系
一、一次函数y=kx+b(k≠0)与一次方程kx+b=0(k≠0)的关系
3 3 ①观察直线y=- x+3,如图,由图像可知 2 4 1 直线与x轴的交点坐标是(4,0). -3 -2 -1 O 1 2 3 3 -1 方程- x+3=0的解是x=4. -2 4 3 可见:直线y=- x+3与x轴交点的横坐标(x=4) 4 3 和一次方程- x+3=0的解(x=4)是相同的. 4
∧
y
y2=k2x+b2 y1=k1x+b1 o 1 2 3 2
x > P(2,-1)
y1<0,且y2<0. y1>0,且y2>0.
直线y=2x+2在x轴的下方部分对应的x的取值范围(x<-1) 就是不等式2x+2<0的解集.
观察图像：
∧y y=kx+b b b k O ∧y b
y=kx+b
当y 0时，x
x >
b y 0时，x k x
>பைடு நூலகம்
b k
b k
y 0时，x
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一次函数与一次不等式的关系
一次函数是一类特殊的函数，其性质是变量和函数值之间满足一次关系，即函数根据定义一元一次函数的定义可以表示为：f(x)=ax+b。
其中a和b为常数，x为变量。
一次函数在函数图像上对应的是一条直线，而一次不等式也是一次函数的特殊形式，用来表示变量与函数值之间满足的一次关系的不等式式子。
一次不等式与一次函数在形式上关系密切，而且他们的解也有一定的关系。
事实上，一次函数可以由一次不等式来表示。
任何一次不等式都可以表示为f(x)=ax+b≤0或f(x)=ax+b≥0的形式，其中a和b为常数，x为变量。
而一次不等式的解，只要满足一次函数f(x)=ax+b ≤0或f(x)=ax+b≥0，即可以确定一次不等式的解。
因此，一次函数与一次不等式之间存在一定的关联关系，一次函数可以由一次不等式来表示，而一次不等式的解，只要满足一次函数f(x)=ax+b≤0或f(x)=ax+b≥0，即可以确定一次不等式的解。
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