一元一次不等式与一次函数的关系
一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数与一元一次不等式的关系一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。
本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。
一、一次函数的定义一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。
其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。
二、一元一次不等式的定义一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。
其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。
三、一次函数的性质1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。
2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。
3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。
四、一元一次不等式的性质1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。
2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。
3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交换。
五、一次函数和一元一次不等式的关系1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。
例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在$y>0$ 区域的图像。
2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。
例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数$y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。
3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。
2.5第1课时一元一次不等式与一次函数的关系-北师大版八年级下册数学教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元一次不等式与一次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（3）实际问题中的一元一次不等式与一次函数关系：将实际问题转化为数学模型，找到关键信息，对部分学生来说是一个挑战。
解决方法：引导学生学会从实际问题中提取关键信息，建立数学模型，运用所学知识解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元一次不等式与一次函数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要比较两个数的大小关系的情况？”（如购物时比较价格）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元一次不等式与一次函数的奥秘。
4.在探索不等式与一次函数关系中，激发学生的创新意识和团队合作精神，培养他们严谨、勤奋的数学态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解一元一次不等式与一次函数的关系：重点讲解一元一次不等式的图像表示，以及一次函数图像与不等式解集之间的对应关系。
举例：对于不等式2x - 3 > 0，理解其图像表示为一条直线y = 2x - 3在x轴上的交点右侧部分。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我深刻地感受到了学生们对一元一次不等式与一次函数关系的探究热情。从导入新课的提问开始，他们就积极参与，分享自己在生活中遇到的实际问题。这一点让我觉得，将数学知识与现实生活相结合的教学方法对学生来说非常具有吸引力。
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数【基础知识精讲】1.一元一次不等式与一次函数的关系。
两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。
另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。
事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。
2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。
一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。
【考点聚焦】本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。
题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。
【典例精析】例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。
思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。
解：由图象可知：（1）当x＞3时，y＞0；（2）当x＜3时，y＜0；（3）当x＞6时，y＞3。
评注：（1）两点确定一条直线。
（2）大于往右看，小于往左看。
【试解相关题】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。
已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？思路点拨：此题两问均牵扯到不等式问题，但需先列函数关系式。
解：设当时间为x秒时，跑过的路为y米，则y哥哥=4x，y弟弟=3x＋9如图所示，由图象知9秒前弟弟跑在哥哥前面；9秒后，哥哥跑在弟弟前面。
评注：通过以上两例，体会：刻画运动变化的规律需要用函数模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型。
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的两个重要概念，它们的关系如下：
一元一次不等式：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的不等式，例如：2x+1>5 或者x-3<7。
一次函数：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的函数，例如：y=2x+1 或者y=x-3。
这两个概念之间的关系在于，我们可以将一元一次不等式转化为一次函数的形式进行分析和解决。
具体来说，我们可以将不等式中的未知数视为函数的自变量x，将不等式的两边分别视为函数的因变量y，例如：2x+1>5 可以转化为y=2x+1 和y=5 两个函数，我们可以画出这两个函数的图像，通过比较函数图像来解决不等式的解集。
例如，将不等式x-3<7 转化为一次函数的形式，得到y=x-3 和y=7 两个函数，我们可以在坐标系中画出这两个函数的图像，发现两个函数的交点在x=10 处，因此不等式的解集为x<10。
总之，一元一次不等式和一次函数之间有着紧密的联系，将不等式转化为函数的形式可以帮助我们更好地分析和解决问题。
一元一次不等式与一次函数的关系 优秀课教案
2．5 一元一次不等式与一次函数 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系1．学会使用图象法解一元一次不等式；(重点)2．理解并掌握一元一次不等式与一次函数之间的关系，能够运用其解决问题．(重点，难点)一、情境导入小华准备将平时的零用钱储存起来，他已经存有300元，现在起每月存50元．小华的同学小丽以前没有存过零用钱，在听说小华存零用钱后，表示从现在起每月存70元，争取超过小华．根据以上信息，你能帮助小丽计算出她需要多久才能超过小华吗？二、合作探究 探究点一：不等式的解集 如图，函数y ＝2x 和y ＝－23x ＋4的图象相交于点A . (1)求点A 的坐标； (2)根据图象，直接写出不等式2x ≥－23x ＋4的解集．解析：(1)联立两直线解析式，解方程组即可得到点A 的坐标；(2)根据图形，找出点A 右边部分的x 的取值范围即可．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－23x ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝3.∴点A 的坐标为(32，3)；(2)由图象得不等式2x ≥－23x ＋4的解集为x ≥32.方法总结：通过联立两直线解析式求交点坐标的方法，求出交点坐标．求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应函数值的大小．探究点二：一元一次不等式与一次函数的关系【类型一】 根据一次函数的值求一元一次不等式的解集一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中两个变量x 、y 的部分对应值如下表所示： x…－2－112…y … 8 5 2 －1 －4 … 那么关于x 的不等式kx ＋b ≥－1的解集是________．解析：由表格得到函数的增减性后，再得出y ＝－1时，对应的x 的值即可．当x ＝1时，y ＝－1，根据表可以知道函数值y随x 的增大而减小，∴不等式kx ＋b ≥－1的解集是x ≤1.故答案为x ≤1.方法总结：此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．【类型二】 根据一次函数图象求不等式的解集如图，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点B(2，0)，与函数y＝2x 的图象交于点A，则不等式0＜kx＋b＜2x的解集为()A．x＞0B．0＜x＜1C．1＜x＜2D．x＞2解析：先利用正比例函数解析式确定A 点坐标，然后观察函数图象得到，当1＜x ＜2时，直线y＝2x都在直线y＝kx＋b的上方，于是可得到不等式0＜kx＋b＜2x的解集．把A(x，2)代入y＝2x得2x＝2，解得x ＝1，则A点坐标为(1，2)，∴当x＞1时，2x＞kx＋b.∵函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点B(2，0)，即不等式0＜kx＋b＜2x的解集为1＜x＜2.故选C.方法总结：本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在y轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．三、板书设计1．通过函数图象确定一元一次不等式的解集2．一元一次不等式与一次函数的关系本课时主要是掌握运用一次函数的图象解一元一次不等式，在教学过程中采用讲练结合的方法，让学生充分参与到教学活动中，主动、自主的学习.第2课时平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)一、情境导入小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？二、合作探究探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形【类型一】利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD 中点．求证：(1)△AOC ≌△BOD ； (2)四边形AFBE 是平行四边形． 解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 就可以了．证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝OB ，∠AOC ＝∠BOD ，∠C ＝∠D ，∴△AOC ≌△BOD (AAS)；(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝12OC ，∴EO ＝FO ，又∵AO ＝BO ，∴四边形AFBE 是平行四边形． 方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．【类型二】 利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等如图，在平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点，请判断线段BE ，DF 的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA ＝OC ，OB ＝OD ，利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE 是平行四边形，从而得出BE ＝DF ，BE ∥DF .解：BE ＝DF ，BE ∥DF .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ，OB ＝OD .因为E ，F 分别是OA ，OC 的中点，所以OE ＝OF ，所以四边形BFDE 是平行四边形，所以BE ＝DF ，BE ∥DF .方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．探究点二：平行线间的距离如图，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 的面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴S △EGO ＝S △FHO .方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．探究点三：平行四边形判定和性质的综合如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC ，∠B ＝90°，AG ∥CD 交BC 于点G ，点E 、F 分别为AG 、CD 的中点，连接DE 、FG .(1)求证：四边形DEGF 是平行四边形；(2)如果点G 是BC 的中点，且BC ＝12，DC ＝10，求四边形AGCD 的面积．解析：(1)求出平行四边形AGCD ，推出CD ＝AG ，推出EG ＝DF ，EG ∥DF ，根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G 是BC 的中点，BC ＝12，得到BG ＝CG ＝12BC＝6，根据四边形AGCD 是平行四边形可知AG ＝DC ＝10，根据勾股定理得AB ＝8，求出四边形AGCD 的面积为6×8＝48.解：(1)∵AG ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形AGCD 是平行四边形，∴AG ＝DC .∵E 、F 分别为AG 、DC 的中点，∴GE ＝12AG ，DF ＝12DC ，即GE ＝DF ，GE ∥DF ，∴四边形DEGF 是平行四边形；(2)∵点G 是BC 的中点，BC ＝12，∴BG ＝CG ＝12BC ＝6.∵四边形AGCD 是平行四边形，DC ＝10，AG ＝DC ＝10，在Rt △ABG 中，根据勾股定理得AB ＝8，∴四边形AGCD 的面积为6×8＝48.方法总结：本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．三、板书设计 1．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；2．平行线的距离；如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．3．平行四边形判定和性质的综合．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，在探究两条平行线间的距离时，要让学生进行合作交流．在解决有关平行四边形的问题时，要根据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑思维能力.。
一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数之间有着密切的联系，这一联系表现在以下几个方面：
一、当令一元一次不等式中等号左边的表达式为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式：
1. 一元一次方程组：
a. 当一元一次方程组中等式左右两边分别为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式。
b. 两个一次方程涉及到同一个未知数时，可以最终得出结果，即将一元一次不等式化简为一次函数的形式。
2. 一元二次不等式：
a. 当一元二次不等式左边为一次函数时，也可以将其化简为一次函数形式。
b. 二次不等式的解也可以表现为一次函数的形式，即分段函数。
二、求解一元一次不等式可以利用一次函数的性质：
1. 关于一元一次方程：
a. 利用一次函数求函数图像实现一元一次方程的求解，从而得到不
等式的解。
b. 利用一次函数的性质验证不等式的正确性，从而得到不等式的解。
2. 关于一元二次方程：
a. 利用一次函数的对称性，判断不等式的大小，从而得到不等式的解。
b. 利用一次函数的单调性，得到不等式上下界，从而得到不等式的解。
综上所述，一元一次不等式与一次函数有着密切的联系，一元一次不
等式可以化简为一次函数形式，求解一元一次不等式也可以利用一次
函数的性质。
专题12.4一次函数与方程不等式的关系(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题12.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】【沪科版】【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 (1)【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 (2)【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 (3)【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 (3)【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 (4)【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 (4)【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 (5)【题型8 绝对值函数与不等式】 (6)【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】 (8)【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 (10)【题型1 一次函数与一元一次方程的解】【例1】（2022秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是．【变式11】（2022春•安阳县期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为．【变式12】（2022春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝4的解是（）A．x＝3B．x＝4C．x＝0D．x＝b【变式13】（2022秋•招远市期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n ＝0的解是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣3C．D．【题型2 两个一次函数与一元一次方程】【例2】（2022秋•双流区期末）已知一次函数y＝5x+m的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点（﹣2，4）（k，m是常数），则关于x的方程5x＝kx﹣m的解是．【变式21】（2022秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣1的图象交于点P，则关于x的方程kx﹣1＝2x+b的解是．【变式22】（2022秋•苏州期末）已知一次函数y＝kx+1与的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx +b ＝0的解．【变式23】（2022秋•包河区期末）已知直线y ＝x +b 和y ＝ax +2交于点P （3，﹣1），则关于x 的方程（a ﹣1）x ＝b ﹣2的解为 ．【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】【例3】（2022春•江都区校级月考）若一次函数y ＝kx +b （k 为常数且k ≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x 的方程k （x ﹣5）+b ＝0的解为 ．【变式31】（2022•姜堰区一模）若一次函数y ＝ax +b （a 、b 为常数，且a ≠0）的图象过点（2，0），则关于x 的方程a （x +1）+b ＝0的解是 ．【变式32】（2022秋•庐阳区校级期中）若关于x 的一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （﹣1，0），则方程k （x +2）+b ＝0的解为 ．【变式33】（2022秋•庐阳区校级期中）将直线y ＝kx ﹣2向下平移4个单位长度得直线y ＝kx +m ，已知方程kx +m ＝0的解为x ＝3，则k ＝ ，m ＝ ． 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】【例4】（2022春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组{y =kx +3y =ax +b的解为 ．【变式41】（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象如图所示，则关于x ，y 的方程组{y −k 1x =b 1y −k 2x =b2的解是 ．【变式42】（2022秋•西乡县期末）已知二元一次方程组{x −y =−5x +2y =−2的解为{x =−4y =1，则在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x +5与直线l 2：y =−12x ﹣1的交点坐标为（ ）A ．（4，1）B ．（1，﹣4）C ．（﹣1，﹣4）D ．（﹣4，1）【变式43】（2022•德城区二模）若以关于x 、y 的二元一次方程x +2y ﹣b ＝0的解为坐标的点（x ，y ）都在直线y =−12x +b ﹣1上，则常数b 的值为（ ）A ．12B ．1C ．﹣1D ．2【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】【例5】（2022秋•泰兴市校级期末）已知关于x ，y 的方程组{y =kx +by =(3k −1)x +2（1）当k ，b 为何值时，方程组有唯一一组解； （2）当k ，b 为何值时，方程组有无数组解； （3）当k ，b 为何值时，方程组无解．【变式51】（2022秋•苏州期末）若二元一次方程组{3x +y =−12x +my =−8有唯一的一组解，那么应满足的条件是（ ） A ．m =23B ．m ≠23C ．m =−23D ．m ≠−23【变式52】（2022春•覃塘区期中）如果关于x ，y 的方程组{x +y =1ax +by =c 有唯一的一组解，那么a ，b ，c的值应满足的条件是（ ） A ．a ≠bB ．b ≠cC ．a ≠cD ．a ≠c 且c ≠1【变式53】（2022春•高明区期末）k 为何值时，方程组{kx −y =−133y =1−6x 有唯一一组解；无解；无穷多解？【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数y ＝kx +b 中x 取不同值时，y 对应的值列表如下：x … ﹣m 2﹣1 1 2 … y…﹣2n 2+1…则不等式kx +b ＞0（其中k ，b ，m ，n 为常数）的解集为（ ） A ．x ＞1B ．x ＞2C ．x ＜1D ．无法确定【变式61】（2022春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （﹣3，2），B （1，0），则关于x 的不等式kx +b ＜2解集为 ．【变式62】（2022春•湖南期中）已知关于x 的不等式ax +1＞0（a ≠0）的解集是x ＜1，则直线y ＝ax +1与x 轴的交点是（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，0）C ．（0，﹣1）D ．（1，0）【变式63】（2022春•高明区校级期末）如图，直线y ＝kx +b 与直线y =−12x +52交于点A （m ，2），则关于x 的不等式kx +b ≤−12x +52的解集是（ ）A ．x ≤2B ．x ≥1C ．x ≤1D ．x ≥2【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】【例7】（2022•钟山县校级模拟）直线l 1：y ＝k 1x +b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 2x ＞k 1x +b 的解集为（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣1【变式71】（2022•烟台）如图，直线y ＝x +2与直线y ＝ax +c 相交于点P （m ，3），则关于x 的不等式x +2≤ax +c 的解集为 ．【变式72】（2022春•楚雄州期末）已知关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，4）、B（0，3）．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若关于x的一次函数y＝mx+n（m＜0）的图象也经过点A，则关于x的不等式mx+n≥kx+b的解集为．【变式73】（2022春•潮安区期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面积．【题型8 绝对值函数与不等式】【例8】（2022秋•临海市校级月考）小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函数y＝a|x﹣b|+c 的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的图象；（2）猜想函数y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1|﹣3的图象关系；（3）尝试归纳函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质；（4）当﹣2≤x≤5时，求y＝﹣2|x﹣3|+4的函数值范围．【变式81】（2022秋•玄武区期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y ＝|x |的图象和性质，并解决问题．（1）完成下列步骤，画出函数y ＝|x |的图象； ①列表、填空；x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y …31123…②描点； ③连线．（2）观察图象，当x 时，y 随x 的增大而增大； （3）根据图象，不等式|x |＜12x +32的解集为 ．【变式82】（2022春•确山县期末）画出函数y ＝|x |﹣2的图象，利用图象回答下列问题： （1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y 的最小值； （2）利用图象直接写出不等式|x |﹣2＞0的解集；（3）若直线y ＝kx +b （k ，b 为常数，且k ≠0）与y ＝|x |﹣2的图象有两个交点A （m ，1），B （12，−32），直接写出关于x 的方程|x |﹣2＝kx +b 的解．【变式83】（2022春•重庆期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|2x+4|+x+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）如表是部分x，y的对应值：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…0n﹣2﹣3﹣4﹣1258…根据表中的数据可以求得m＝，n＝；（2）请在给出的平面直角坐标系中，描出以如表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数的图象；（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；（4）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），结合你所画的函数图象，直接写出不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集．【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】【例9】（2022秋•青田县月考）如图，可以得出不等式组{ax+b＜0cx+d＞0的解集是（）A ．x ＜﹣1B ．﹣1＜x ＜0C ．﹣1＜x ＜4D ．x ＞4【变式91】（2022春•南康区期末）如图，直线y ＝﹣x +m 与直线y =12x +3交点的横坐标为﹣2．则关于x 的不等式组{−x +m ＞12x +312x +3＞0的解集为 ．【变式92】（2022•富阳区二模）如图，直线y ＝kx +b 经过点A （﹣1，3），B （−52，0）两点，则不等式组0＜kx +b ＜﹣3x 的解集为 ．【变式93】（2022•青羊区校级自主招生）如图，直线y 1＝ax +2与y 2＝bx +4交于点N （1，a +2），将直线y 1＝ax +2向下平移后得到y 3＝ax ﹣5，则能使得y 3＜y 2＜y 1的x 的所有整数值分别为（ ）A ．1，2，3B ．2，3C ．2，3，4D ．3，4，5【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】【例10】（2022•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）A ．{2x +y ≥53x +4y ≥9y ≥0B ．{2x +y ≤53x +4y ≤9y ≥0C ．{2x +y ≥53x +4y ≥9x ≥0D ．{2x +y ≤53x +4y ≥9x ≥0【变式101】（2022秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ）A ．x ﹣y ≤﹣5B ．x +y ≥﹣5C ．x +y ≤5D ．x ﹣y ≤5【变式102】（2012春•南岸区期末）如图，用不等式表示阴影区域为（ ）A ．x +y ≤0，且x ﹣y ≥0B ．x +y ≥0，且x ﹣y ≥0C ．x +y ≥0，且x ﹣y ≤0D ．x +y ≤0，且x ﹣y ≤0【变式103】（2022春•广水市期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x ﹣y ＝0的一个解{x =1y =1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x ﹣y ＝0的解为坐标的点的全体叫作方程x ﹣y ＝0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x ﹣y ＝0的图象称为直线x ﹣y ＝0．直线x ﹣y ＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M （x 0，y 0）的坐标满足不等式x ﹣y ≤0，那么点M （x 0，y 0）就在直线x ﹣y ＝0的上方区域内．特别地，x ＝k （k 常数）表示横坐标为k 的点的全体组成的一条直线，y ＝m （m 为常数）表示纵坐标为m 的点的全体组成的一条直线．请根据以上材料，探索完成以下问题：（1）已知点A （2，1）、B （83，32）、C （136，54）、D （4，92），其中在直线3x ﹣2y ＝4上的点有 （只填字母）；请再写出直线3x ﹣2y ＝4上一个点的坐标 ；（2）已知点P （x ，y ）的坐标满足不等式组{0≤x ≤40≤y ≤3则所有的点P 组成的图形的面积是 ； （3）已知点P （x ，y ）的坐标满足不等式组{0≤x ≤10≤y ≤2x −y ≥0，请在平面直角坐标系中画出所有的点P 组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积．。
一元一次不等式与一次函数
知识回顾：1、定义：不等式：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。
2、不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3、解不等式：把不等式变为x>。
或x<a的形式。
一、知识要点:1、一次函数的定义:若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，kHO）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量）。
当b=0时，y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的解析式：y=kx+b（kH0）注:一次函数的解析式的形式是y=d+b,要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式.一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过（0,b）和（-纟，0）两点的一条直线，我们称它为直线ky=kx+b,它可以看作由直线尸kx平移|b|个单位长度得到.（当b〉0时，向上平移；当b〈0时，向下平移）（1）解析式：（k、b是常数，kHO）（2）必过点：和（3）走向：k>0,b=0,图象经过第象限；k<0,b二0,图象经过象限O直线经过第象限O直线经过第象限Z?>0\b<0<O C>直线经过第象限P<0<=>直线经过第象限\b>Q[b<0（4）增减性：k>0,y随x的增而；k<0,y随x增大而（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于轴；|k|越小，图象越接近于轴.（6）图像的平移：上加下减；左加右减将函数y=kx+b图像向上平移3个单位变为,然后再向右平移3个单位变为;将函数y=kx+b图像向下平移3个单位变为然后再向左平移3个单位变为2、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线, 所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点,.即横坐标或纵坐标为0的点.34、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（设、列、解、答）（1）设：根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）列：将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解：解方程得出未知系数的值；（4）答：将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.二、典型例题：1、若点（inji）在函数y=2x+l的图象上，则2m-n的值2、己知正比例函数y=kx伙工0),点⑵-3)在函数上，则y随x的增大而3、如果一次函数空+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是4、地面气温是20°C,如果每升高100m，气温下降6°C,则气温t(°C)与高度h(m)的函数关系式是o5、己知一次函数尸kx+b的图象如图所示，则k,b的符号是()(A)k>0,b>0(B)k>0,b<0(C)k<0,b>0(D)k<0,b<06、已知一次函数尸kx+b的图象经过点(-1,-5),且与正比例函数尸**的图象相交于点(2,a),(1)求a的值，(2)k,b的值，(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积。
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导学案：一元一次不等式与一次函数的关系学校____________ 班级____________ 姓名____________【学习目标】1、一元一次不等式与一次函数的关系。
2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较。
3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养数形结合意识。
【学习重点】了解一元一次不等式与一次函数之间的关系。
【学习难点】根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。
【学习过程】一、复习导学前面我们学习过一次函数、一元一次方程与一元一次不等式，我们知道一元一次方程的解就是一次函数图象与x轴交点的横坐标，也就是说：“一元一次方程ax+b=0”与“求当x为何值时，y=ax+b的值为0”是同一问题，那么一元一次不等式与一次函数之间有怎样的关系呢？如：下面两个问题是同一问题吗？（1）解不等式：2x-4＜0（2）当x为何值时，函数y=2x-4的值小于0？-42yx今天我们就来探究类似这样的问题？二、自主探究、合作交流1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系：还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式．如y=2x－5为一次函数．在一次函数y=2x－5中，当y=0时，有方程2x－5=0；当y＞0时，有不等式2x－5＞0；当y＜0时，有不等式2x－5＜0．由此可见：_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________．2．做一做：作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题．（1）x取哪些值时，2x－5=0？（2）x取哪些值时，2x－5＞0？（3）x取哪些值时，2x－5＜0？（4）x取哪些值时，2x－5＞1？请回答：（1）（2）（3） （4）3．试一试如果y =－2x －5，那么当x 取何值时，y ＞0？ 首先要画出函数y =－2x －5的图象，如图：x从图象上可知:_____________________________________________________ __________________________________________________________________． 4．练一练函数y 1=2x -5和y 2=x -2的图象如图所示，观察图象回答下列问题：x -2x（1）x 取何值时，y 1＝y 2？（2）x 取何值时，y 1＞y 2？ （3）x 取何值时，y 1＜y 2？ 从图象上看:总结一次函数与一元一次不等式的关系： 从数的角度看从形的角度看三、应用新知、拓展提升 （一）基础演练1．已知函数y =3x +8，当x ________________________时，函数的值等于0．当x _________________________时，函数的值大于0．当x __________________________________时，函数的值不大于2．2．如图，直线l 1，l 2交于一点P ，若y 1≥y 2，则（ ） A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．2≤x ≤ 3 D ．x ≤4PO 43l 2l 1y x（二）典例示范例1 ．作出函数y 1=2x －4与y 2=－2x +8的图象，并观察图象回答下列问题： （1）x 取何值时，2x －4＞0？（2）x取何值时，－2x+8＞0？（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程．例2．一次函数y=-3x+12中，x为何值时：（1）当x取何值时，y＞0；（2）当x取何值时，y＝0；（3）当x取何值时，y＜0 ．（三）拓展提升例3．已知y1=－x+3，y2=3x－4，当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？四、课堂小结1．转化思想：转化__________问题___________问题2．解函数问题的方法：图象法：_________________________________．3．一次函数与一元一次不等式的关系：从数的角度看从形的角度看五、课堂检测1．已知y 1＝x －5，y 2＝2x ＋1．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＞5 B ．x ＜12C ．x ＜－6D ．x ＞－6 2．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当x ＜1时，y 的取值范围是（ ）A ．－2＜y ＜0B ．－4＜y ＜0C ．y ＜－2D ．y ＜－43．若一次函数y ＝(m －1)x －m ＋4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是________．4．已知1213222y x y x =-=+，，试确定x 取何值时2y 不小于1y ？5.在同一坐标系中画出一次函数y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的交点P 的坐标． （2）直接写出：当x 取何值时y 1＞y 2；y 1＜y 2参考答案：－4 y O2x一、复习导学二、自主探究、合作交流1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式．2．做一做：（1）当y =0时，2x －5=0， ∴x =25， ∴当x =25时，2x －5=0． （2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件．当x ＞25时，由y =2x －5可知y ＞0．因此当x ＞25时，2x －5＞0． （3）同理可知，当x ＜25时，有2x －5＜0； （4）要使2x －5＞1，也就是y =2x －5中的y 大于1，那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （3，1），则当x ＞3时，有2x －5＞1．3．试一试从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x －5=0，得x =－2.5，所以当x 取小于－2.5的值时，y ＞0．4．练一练 从图象上看，（1）y 1=y 2时，两个一次函数的图象交于一点，此点的横坐标就是方程2x -5=x -2的解；（2）一次函数y 1=2x -5的图象在y 2=x -2的图象上方的部分对应点的横坐标就是不等式2x-5＞x-2的解；（3）一次函数y1=2x-5的图象在y2=x-2的图象下方的部分对应点的横坐标就是不等式2x-5＜x-2的解．总结一次函数与一元一次不等式的关系：从数的角度看求ax+b＞0（或＜0）(a，b是常数，a≠0)的解集就是求函数y=ax+b的函数值大于0（或小于0）时x的取值范围．从形的角度看求ax+b＞0（或＜0）(a，b是常数，a≠0)的解集就是求直线y=ax+b在x轴上方或下方时自变量的取值范围三、应用新知、拓展提升（一）基础演练1．＝83-，﹥83-，﹤﹣2．2．B（二）典例示范例1．分析：要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积．解：（1）当x＞2时，2x－4＞0；（2）当x ＜4时，－2x +8＞0；（3）当2＜x ＜4时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立； （4）由2x －4=0，得x =2． 由－2x +8=0，得x =4． 所以AB =4－2=2． 由2428y x y x =-⎧⎨=-+⎩，，得交点C （3，2）．所以△ABC 中AB 边上的高为2． 所以S =21×2×2=2． 例2．解：（1）当y ＞0时，则有-3x +12＞0， -3x ＞－12， x ＜4（2）当y ＝0时，则有-3x +12＝0， -3x ＝－12， x ＝4（3）当y ＜0时，则有-3x +12＜0， -3x ＜－12， x ＞4 （三）拓展提升 例3．解：如图所示：y 1当x 取小于47的值时，有y 1＞y 2． 四、课堂小结 1．转化思想：一次不等式问题 一次函数问题 2．解函数问题的方法：图象法：画出函数图象解决函数和不等式问题． 3．一次函数与一元一次不等式的关系： 从数的角度看求ax +b ＞0（或＜0）(a ，b 是常数，a ≠0)的解集就是求函数y =ax +b 的函数值大于0（或小于0）时x 的取值范围．从形的角度看求ax +b ＞0（或＜0）(a ，b 是常数，a ≠0)的解集就是求直线y =ax +b 在x 轴上方或下方时自变量的取值范围五、课堂检测1．C ． 2．C ． 3．m ＜4且m ≠1． 4．当2-≥x 时2y 不小于1y ．5．图象略．（1）P （1，0）； （2）当x ＜1时y 1＞y 2，当x ＞1时y 1＜y 2．转化。