2、社会保障精算(第二章)人寿及年金保险精算(3)
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（参见刘昌平《可持续发展的中国城镇基本养老保险制度》p.126）
解
0
30 E30
PV
E 10 30
A1 30:10 50000
A1 40:20 30000
30
40
50
20000
60
分为三部分：10年定期人寿保险、 延期10后的20年定期 人寿保险、 30年纯生存保险。
PV
50000
wk.baidu.com
A1 30:10
30000
A1 40:20
10
E30
20000 30 E30
PV 6000 30 E30 a60:10 7000 40 E30 a70:10 8000 50 E30 a80
E 30 30
v30 30
p30
D60 D30
a60:10
N60 N70 D60
E 40 30
v40 40
p30
D70 D30
a70:10
N70 N80 D70
E 50 30
k 1
0.5 20.12 20.62
PV 10000 (Ia)6030 E30
10000 20. 62 v3030 p30
206200 （ 1 ）30 l60 57134 .52(元）
1.04
l30
【补例2】某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2000元 给寿险公司，如中途死亡，即行停止，所缴额不退。而当此人 活到60岁时，寿险公司开始给付第一次年金，直至死亡。求此
第二章 人寿与年金保险精算（3）
§2.1-2.2 人寿保险和生存年金 综合练习
§2.3 保险费： 均衡保险费、总保费 §2.4 责任准备金：均衡净保费责任准备金、修正
的责任准备金
【补例1】某人35岁，购买了每年给付20000元的生存年金，试用 生命表及利率6%，求下列生存年金的精算现值（趸缴净保费）：
（1）计算年金每年的给付值。
（2）如果该年金给付20年，在60-79岁无论被保险人是否死亡 均给付，80岁后以生存为条件给付，计算每年的给付值。
提示
（1） 计算60岁开始的终身年金的给付值。该年金的趸缴净 保费 = 30～60岁的精算累积额。 （2）年金的给付分为以下两部分：
(a) 60-79岁的无条件的20年定期年金；
人每年可得的年金额。
解
1
a60
36 E23
P PP
a23:36
2000
0
23
59
a 2000
a23:36
1 36 E23
P
60
… -1
P=
2000
a23:36
1 36 E23
a60
2000 N 23 N59 D23
D23
D59
N 60
D60
a23:36
1 36 E23
2000
a60
P PP
（4）延期10年的20年定期生存年金
20000 10| a35:20
20000
N N 3510
3510 20
20000
N45 N65
D35
D35
200001003984.10 189682.01 128729元 126513.78
【例2.4】 某人在30岁时投保了30年的两全保险。如果契约规 定在投保的前10年死亡,赔付50000元,后20年死亡赔30000元, 期满存活付20000元,求趸缴纯保费(利率0.06)。 （参见P.44）
【例2.6】 若30岁时购买从60岁起的生存年金保险.契约规定： 60-69岁每年给付额6000元，70-79岁每年给付额7000元，80岁以 后每年给付8000元。在利率6%下，计算保单的趸缴净保费（P.47）
解
50 E30
a80
8000
PV
40 E30
a70:10
7000
30 E30
a60:10
20000 a35:20
20000 N35 N55 D35
200001985692.01 469304.42 239719元 126513.78
（3）延期10年的终身生存年金
20000 10| a35
20000 N3510 20000 N45
D35
D35
20000 1003984.10 158715元 126513.78
0
23
59
… -1
2000 N23 N59 D23
P
D23
D59
N 60
D60
2000 4261398.92 334207.68
28497.30 305710.37
23987.10元
26606.02
【习题】 P.61 习题4
某人从30岁开始，每月存款100元建立个人账户，如果个人 账户在60岁时的累积用于购买从60岁起每年支付一次的生存年 金保险。不考虑费用，利率为6%。
（1） 终身生存年金； （2） 20年定期生存年金； （3） 延期10年的终身生存年金； （4） 延期10年的20年定期生存年金。
（1） 终身生存年金
解 趸缴净保费= 20000 a35
20000 N35 D35
20000 1985692.01 313909元 126513.78
（2） 20年定期生存年金
(b) 80岁后的终身生存年金。
【补充算法】
某人从30岁开始，每月存款100元建立个人账户，求60岁时 个人账户的累积额。
（1） 计算30～60岁的精算累积额（考虑生存概率）。
近似计算：
1
100 12 a30:30
E 30 30
比较精确计算：
100
12
a（12） 30:30
1 E 30 30
其中，
（Ia)60 1 p60 2p60
30 E30 (Ia)60
v2 2 p60 v p60
PV
1
1.04 1.042 …
ex k px k 1
ex 0 t pxdt ex 0.5
0
30
60
61 62 … -1
平均余寿
计算公式
（Ia)60 1 k p60 1 e60 1 (e60 0.5)
A1 30:10
i
A1 30:10
0.06 M 30 M 40
ln(1 0.06)
D30
A1 40:20
i
A1 40:20
0.06 M 40 M 60
ln(1 0.06)
D40
E 10 30
v10 10
p30
D40 D30
E 30 30
v30 30 p30
D60 D30
PV 4270.52
1
d (12) 12(1 v12 )
v 1 1i
（参见教科书 p.15-16 每年 m 次定期年金的计算公式）
近似计算2：
第1年末累积额 s1 100 (12 6.5 i1)
第2年末累积额 s2 s1(1 i2 ) 100 (12 6.5i2 )
第n年末累积额 sn sn1(1 in ) 100 (12 6.5 in )
6000
0
30
分三部分计算:
60
70
80
（1） 计算60岁时10年定期年金，再折现到30岁；
（2） 计算70岁时10年定期年金，再折现到30岁；
（3） 计算80岁时的终身年金，再折现到30岁；
PV 6000 30 E30 a60:10 7000 40 E30 a70:10 8000 50 E30 a80
解
30 E30
v2 2 p60
(Ia)60 v p60
PV
1
1.04 1.042 …
0
30
60
61 62
… -1
首先计算60岁投保的变额（等比递增）终身生存年金的精算 现值，再折现到30岁。
(Ia)60 11.04v p60 1.042 v2 2 p60
v 1 1 1 0.04 1.04
a（12） 30:30
a30:30
12 1（1 2 12
30
E30 )
（参见p.49、p.60 每年 m 次定期年金计算公式）
（2） 计算30～60岁的累积额（不考虑生存概率，即生存概
率为 1，假定年利率为 i，）。
近似计算1：
100
12
s (12) 30
1200 1 v30 d (12)
其中，
v50 50
p30
D80 D30
a80
N80 D80
PV 6000 N60 N70 7000 N70 N80 8000 N80
D30
D30
D30
6000 N60 1000 N70 1000 N80 11591.13 元 D30
【例2.8】 某人在30岁时购买了从60岁起每年10000元的生存年 金。以后每年给付额以4%的比例增长，在利率4%下，求该年金 的精算现值。（参见P.48）
解
0
30 E30
PV
E 10 30
A1 30:10 50000
A1 40:20 30000
30
40
50
20000
60
分为三部分：10年定期人寿保险、 延期10后的20年定期 人寿保险、 30年纯生存保险。
PV
50000
wk.baidu.com
A1 30:10
30000
A1 40:20
10
E30
20000 30 E30
PV 6000 30 E30 a60:10 7000 40 E30 a70:10 8000 50 E30 a80
E 30 30
v30 30
p30
D60 D30
a60:10
N60 N70 D60
E 40 30
v40 40
p30
D70 D30
a70:10
N70 N80 D70
E 50 30
k 1
0.5 20.12 20.62
PV 10000 (Ia)6030 E30
10000 20. 62 v3030 p30
206200 （ 1 ）30 l60 57134 .52(元）
1.04
l30
【补例2】某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2000元 给寿险公司，如中途死亡，即行停止，所缴额不退。而当此人 活到60岁时，寿险公司开始给付第一次年金，直至死亡。求此
第二章 人寿与年金保险精算（3）
§2.1-2.2 人寿保险和生存年金 综合练习
§2.3 保险费： 均衡保险费、总保费 §2.4 责任准备金：均衡净保费责任准备金、修正
的责任准备金
【补例1】某人35岁，购买了每年给付20000元的生存年金，试用 生命表及利率6%，求下列生存年金的精算现值（趸缴净保费）：
（1）计算年金每年的给付值。
（2）如果该年金给付20年，在60-79岁无论被保险人是否死亡 均给付，80岁后以生存为条件给付，计算每年的给付值。
提示
（1） 计算60岁开始的终身年金的给付值。该年金的趸缴净 保费 = 30～60岁的精算累积额。 （2）年金的给付分为以下两部分：
(a) 60-79岁的无条件的20年定期年金；
人每年可得的年金额。
解
1
a60
36 E23
P PP
a23:36
2000
0
23
59
a 2000
a23:36
1 36 E23
P
60
… -1
P=
2000
a23:36
1 36 E23
a60
2000 N 23 N59 D23
D23
D59
N 60
D60
a23:36
1 36 E23
2000
a60
P PP
（4）延期10年的20年定期生存年金
20000 10| a35:20
20000
N N 3510
3510 20
20000
N45 N65
D35
D35
200001003984.10 189682.01 128729元 126513.78
【例2.4】 某人在30岁时投保了30年的两全保险。如果契约规 定在投保的前10年死亡,赔付50000元,后20年死亡赔30000元, 期满存活付20000元,求趸缴纯保费(利率0.06)。 （参见P.44）
【例2.6】 若30岁时购买从60岁起的生存年金保险.契约规定： 60-69岁每年给付额6000元，70-79岁每年给付额7000元，80岁以 后每年给付8000元。在利率6%下，计算保单的趸缴净保费（P.47）
解
50 E30
a80
8000
PV
40 E30
a70:10
7000
30 E30
a60:10
20000 a35:20
20000 N35 N55 D35
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（3）延期10年的终身生存年金
20000 10| a35
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D35
D35
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… -1
2000 N23 N59 D23
P
D23
D59
N 60
D60
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28497.30 305710.37
23987.10元
26606.02
【习题】 P.61 习题4
某人从30岁开始，每月存款100元建立个人账户，如果个人 账户在60岁时的累积用于购买从60岁起每年支付一次的生存年 金保险。不考虑费用，利率为6%。
（1） 终身生存年金； （2） 20年定期生存年金； （3） 延期10年的终身生存年金； （4） 延期10年的20年定期生存年金。
（1） 终身生存年金
解 趸缴净保费= 20000 a35
20000 N35 D35
20000 1985692.01 313909元 126513.78
（2） 20年定期生存年金
(b) 80岁后的终身生存年金。
【补充算法】
某人从30岁开始，每月存款100元建立个人账户，求60岁时 个人账户的累积额。
（1） 计算30～60岁的精算累积额（考虑生存概率）。
近似计算：
1
100 12 a30:30
E 30 30
比较精确计算：
100
12
a（12） 30:30
1 E 30 30
其中，
（Ia)60 1 p60 2p60
30 E30 (Ia)60
v2 2 p60 v p60
PV
1
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ex k px k 1
ex 0 t pxdt ex 0.5
0
30
60
61 62 … -1
平均余寿
计算公式
（Ia)60 1 k p60 1 e60 1 (e60 0.5)
A1 30:10
i
A1 30:10
0.06 M 30 M 40
ln(1 0.06)
D30
A1 40:20
i
A1 40:20
0.06 M 40 M 60
ln(1 0.06)
D40
E 10 30
v10 10
p30
D40 D30
E 30 30
v30 30 p30
D60 D30
PV 4270.52
1
d (12) 12(1 v12 )
v 1 1i
（参见教科书 p.15-16 每年 m 次定期年金的计算公式）
近似计算2：
第1年末累积额 s1 100 (12 6.5 i1)
第2年末累积额 s2 s1(1 i2 ) 100 (12 6.5i2 )
第n年末累积额 sn sn1(1 in ) 100 (12 6.5 in )
6000
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分三部分计算:
60
70
80
（1） 计算60岁时10年定期年金，再折现到30岁；
（2） 计算70岁时10年定期年金，再折现到30岁；
（3） 计算80岁时的终身年金，再折现到30岁；
PV 6000 30 E30 a60:10 7000 40 E30 a70:10 8000 50 E30 a80
解
30 E30
v2 2 p60
(Ia)60 v p60
PV
1
1.04 1.042 …
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30
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… -1
首先计算60岁投保的变额（等比递增）终身生存年金的精算 现值，再折现到30岁。
(Ia)60 11.04v p60 1.042 v2 2 p60
v 1 1 1 0.04 1.04
a（12） 30:30
a30:30
12 1（1 2 12
30
E30 )
（参见p.49、p.60 每年 m 次定期年金计算公式）
（2） 计算30～60岁的累积额（不考虑生存概率，即生存概
率为 1，假定年利率为 i，）。
近似计算1：
100
12
s (12) 30
1200 1 v30 d (12)
其中，
v50 50
p30
D80 D30
a80
N80 D80
PV 6000 N60 N70 7000 N70 N80 8000 N80
D30
D30
D30
6000 N60 1000 N70 1000 N80 11591.13 元 D30
【例2.8】 某人在30岁时购买了从60岁起每年10000元的生存年 金。以后每年给付额以4%的比例增长，在利率4%下，求该年金 的精算现值。（参见P.48）