矩阵分析所有习题
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注:可以不证 AA*=E; (E-(T+iS))(E+(T+iS))=(E+(T+iS))(E-(T+iS))
=(E+T+iS)(E-T-iS)
习题3-12设A,B均是正规矩阵,试证:A与B酉 相似的充要条件是A与B的特征值相同
证:充分性：因为A,B是正规矩阵,所以存在 U,VUnn 使得
A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…,n是A,B的特征值集合.于是
上三角矩阵. 2 0 5
解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值.
显然V=,(1=1,(0,2,1,03)),T是2A=的(1一,0个,0特)T,征向3=(量0,.0作,1酉)T矩,则阵
子是矩V1=阵*A(V-A=21的/001特5,33征21/86值55仍)00T1是,作3A-1612, ,阶A对1 酉 应3矩2 的阵85单 位特征向量
B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似.
必要性:显然,因为,相似矩阵有相同的特征值.
习题3-13
#3-13:若AHnn,A2=A,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,0),r=rank(A).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=A 和
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和
A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在
习题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正 定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵
解: 设A,BHnn 分别是半正定矩阵,正定矩阵.则 A*=A&B*=B (A+B)*=A+B Hnn
xCn,x*Ax0,x*Bx0 xCn,x*(A+B)x0 ∴ A+B是半正定Hermite矩阵.
0xCn,x*Ax0,x*Bx>0 0xCn,x*(A+B)x=x*Ax+x*Bx>0
2 5
5 0 1 5
0 1 0
1
5
0
2 5
习题3-9
#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则 A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵.
证: A*A=((E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1
=((E+T+iS)-1(E-(T+iS))(E+(T+iS))(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E
∴ A+B是正定Hermite矩阵.
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
即AB相似于一个Hermite矩阵M.
∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又 因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相 同,故BA的特征值也都是实数.
证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)) =det A det(A-1-B)=0.
但det A >0,和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例 3.9.1的相关证明)
W1=(1,2),2=(1/5,2/5)T,则W1*A1W1= 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则
1 0
101
为上三角矩阵.U AU= *
1
W1
1 0
0
3
6 A1
1
1
W1*
0 0
0 1 0
3 5
10 1
0
1
Fra Baidu bibliotek
0
1
U=VW=
1
0
0
0
0
1
2 5 1 5
2
1 5
前面,则(*)式即给出所需答案.
习题3-16
#3-16:设若A,BHnn,且A为正定Hermite矩阵, 试证:AB与BA的特征值都是实数.
证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是
A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn,
即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.
(,) 0; (,) A* 0, 0 (因A正定).
②:Cauchy-Schwarz不等式：| (, ) |
nn
nn
nn
xiaij yj
xiaij xj
yiaij y j
i1 j1
ij
ij
习题3-3(1)
#3-3(1):已知A=
3 3
0 1
8 6
,试求UUnn使U*AU=R为
习题3-19设A是正定Hermite矩阵且 AUnn,则A=E
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. A 是正定蕴含 i>0,i=1,…,n AUnn 蕴含|i|=1,i=1,…,n 因此 i=1,i=1,…,n
∴ A=Udiag(1,…,n)U*=UEU*=UU*=E.
A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
∴ i2=i,即i{0,1},i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值0全排在后面,则(*)
式即给出所需答案.
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
又
A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn,
即BA相似于一个Hermite矩阵M.
∴ (BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.
#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特 征值都是实数.
证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn,
习题3-1已知ACnn是正定Hermite矩阵,
,Cn.定义内积 (,)=A*.①试证它
是内积;②写出相应的C-S不等式
①: , A* ( A *)T ( A *)* A * , ;
(k, ) k A * k(, );
( , ) ( )A * A * A * (, ) ( , );
=(E+T+iS)(E-T-iS)
习题3-12设A,B均是正规矩阵,试证:A与B酉 相似的充要条件是A与B的特征值相同
证:充分性：因为A,B是正规矩阵,所以存在 U,VUnn 使得
A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…,n是A,B的特征值集合.于是
上三角矩阵. 2 0 5
解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值.
显然V=,(1=1,(0,2,1,03)),T是2A=的(1一,0个,0特)T,征向3=(量0,.0作,1酉)T矩,则阵
子是矩V1=阵*A(V-A=21的/001特5,33征21/86值55仍)00T1是,作3A-1612, ,阶A对1 酉 应3矩2 的阵85单 位特征向量
B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似.
必要性:显然,因为,相似矩阵有相同的特征值.
习题3-13
#3-13:若AHnn,A2=A,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,0),r=rank(A).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=A 和
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和
A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在
习题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正 定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵
解: 设A,BHnn 分别是半正定矩阵,正定矩阵.则 A*=A&B*=B (A+B)*=A+B Hnn
xCn,x*Ax0,x*Bx0 xCn,x*(A+B)x0 ∴ A+B是半正定Hermite矩阵.
0xCn,x*Ax0,x*Bx>0 0xCn,x*(A+B)x=x*Ax+x*Bx>0
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习题3-9
#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则 A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵.
证: A*A=((E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1
=((E+T+iS)-1(E-(T+iS))(E+(T+iS))(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E
∴ A+B是正定Hermite矩阵.
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
即AB相似于一个Hermite矩阵M.
∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又 因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相 同,故BA的特征值也都是实数.
证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)) =det A det(A-1-B)=0.
但det A >0,和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例 3.9.1的相关证明)
W1=(1,2),2=(1/5,2/5)T,则W1*A1W1= 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则
1 0
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为上三角矩阵.U AU= *
1
W1
1 0
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3
6 A1
1
1
W1*
0 0
0 1 0
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Fra Baidu bibliotek
0
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U=VW=
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前面,则(*)式即给出所需答案.
习题3-16
#3-16:设若A,BHnn,且A为正定Hermite矩阵, 试证:AB与BA的特征值都是实数.
证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是
A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn,
即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.
(,) 0; (,) A* 0, 0 (因A正定).
②:Cauchy-Schwarz不等式：| (, ) |
nn
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nn
xiaij yj
xiaij xj
yiaij y j
i1 j1
ij
ij
习题3-3(1)
#3-3(1):已知A=
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0 1
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,试求UUnn使U*AU=R为
习题3-19设A是正定Hermite矩阵且 AUnn,则A=E
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. A 是正定蕴含 i>0,i=1,…,n AUnn 蕴含|i|=1,i=1,…,n 因此 i=1,i=1,…,n
∴ A=Udiag(1,…,n)U*=UEU*=UU*=E.
A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
∴ i2=i,即i{0,1},i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值0全排在后面,则(*)
式即给出所需答案.
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
又
A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn,
即BA相似于一个Hermite矩阵M.
∴ (BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.
#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特 征值都是实数.
证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn,
习题3-1已知ACnn是正定Hermite矩阵,
,Cn.定义内积 (,)=A*.①试证它
是内积;②写出相应的C-S不等式
①: , A* ( A *)T ( A *)* A * , ;
(k, ) k A * k(, );
( , ) ( )A * A * A * (, ) ( , );