(完整版)中考数学试题经典大题
中考数学经典大题
1.已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC
的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.
（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ~△ACB；
（2）当△PQB是等腰三角形时，求AP的长.
2.如图，对称轴为x=?1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中
点A的坐标为（-3，0）.
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点.
①若点P是抛物线上第三象限内的点，是否存在点P，使得S△POC=4S△BOC，若存在，求点P
的坐标；若不存在，请说明理由.
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.
③若M是x轴上方抛物线上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，若△MNO与△OBC相似，求
M点的坐标.
3.如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙
O的直径，且交BP于点E.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB=12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径.
4. 如图，已知函数y =?x 2+2x +3与坐标轴分别交于A 、D 、B 三点，顶点为C.
（1）求△BAD 的面积；
（2）点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使S △ABP =12S △ABC ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在轴上是否存在一点Q ，使得△DOQ 与△ABC 相似，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由.
5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是以AB 为直径的⊙M 的内接四边形，点A 、B
在x 轴上，△MBC 是边长为2的等边三角形。过点M 作直线ι与x 轴垂直，交⊙M 于点E ，垂
足为点M ，且点D 平分AC
?. （1）求过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD 是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P ，使得△ABP 的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
6. 如图1，直角△ABC 中，∠ABC=90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交AC 于点D ，取CB 的中点E ，
DE 的延长线与AB 的延长线交于点P .
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）若OB=BP ，AD=6，求BC 的长；
（3）如图2，连接OD ，AE 相交于点F ，若tan ∠C =2，求
AF FE 的值.
7. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A （3，2），B （0，1）和点C （-1，?23
）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若抛物线的顶点为P ，点A 关于对称轴的对称点为M ，过M 的直线交抛物线于另一点N （N 在对称轴右边），交对称轴于F ，若S △PFN =4S △PFM ，求点F 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点G ，使△BMA 与△MBG 相似？若存在，求点G 的坐标；若不存在，请说明理由.
8. 如图，PB 切⊙O 于B 点，直线PO 交⊙O 于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，
交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于点C ，连结BC ，AF.
（1）直线PA 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论；
（2）若BC=16，⊙O 的半径的长为17，求tan ∠AFD 的值；
（3）若OD ：DP=1：3，且OA=3，则图中阴影部分的面积为？
9. 将抛物线C 1：y =x 2平移后的抛物线C 2与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）与y 轴
负半轴交于C 点，已知A （-1，0），tan ∠CAB =3.
（1）求抛物线C 2的解析式；
（2）若点P 是抛物线C 2上的一点，连接PB ，PC.求S △BPC =34S △CAB 时点P 的坐标； （3）D 为抛物线C 2的顶点，Q 是线段BD 上一动点，连接CQ ，点B ，D 到直线CQ 的距离记为d 1，d 2，试求出d 1+d 2的最大值，并求出此时Q 点坐标.
10. 如图1，AB 为⊙O 的直径，TA 为⊙O 的切线，BT 交⊙O 于点D ，TO 交⊙O 于点C 、E.
（1）若BD=TD ，求证：AB=AT ；
（2）在（1）的条件下，求tan ∠BDE 的值；
（3）如图2，若
BD TD =43，且⊙O 的半径r=√7，则图中阴影部分的面积为？
11. 如图，过A （1，0），B （3，0）作x 轴的垂线，分别交直线y =4?x 于C 、D 两点.抛物线y =
ax 2+bx +c 经过O 、C 、D 三点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 为抛物线上的一点，连接PD ，PC. 求S △PCD =13S △CDB 时点P 的坐标.
（4）若△AOC 沿CD 方向平移（点C 在线段CD 上，且不与点D 重合），在平移的过程中 △AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值.
12. 如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于
点E.
（1）求证：AC 平分∠DAB ；
（2）连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD =45，求AF FC 的值.
13. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折
痕为EC ，连结AP 并延长交CD 于F 点.
（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；
（2）若△AEP 是等边三角形，连结BP ，求证：△APB ?△EPC ；
（3）若矩形ABCD 的边AB=6，BC=4，求△CPF 的面积.
14. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y =ax 2?2ax ?3a （a <0）与x 轴交于A 、B 两点
（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y =kx +b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD=4AC.
（1）直接写出点A 的坐标，并求出直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；
（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由.
15. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，线段OP 与弦AC 垂直并相交于点D ，
OP 与弧AC 相交于点E ，连接BC.
（1）求证：PA ·BC=AB ·CD.
（2）若PA=10，sin P =
35，求PE 的长.
16. 已知：点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），
分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点.
（1）当点P 与点O 重合时如图1，求证：OE=OF ；
（2）直线BP 绕点B 逆时针方向旋转,当∠OFE=30°时.
①若转到如图2的位置，线段CF 、AE 、OE 之间有一个不变的相等关系式，请写出这个关系式.（不用证明）
②若转到图3的位置，猜想线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？请予以证明.
17. 已知如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=2，
OC=4.
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xoy 中是否存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM -AM|为最大值时，点M 的坐标，并直接写出|PM -AM|的最大值.
18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 交AB 于E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，
交BC 于点F.
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）连接EF ，若BC=9,CA=12，求
EF AC 的值.
19. 如图，在正方形ABCD 中，AB=5,P 是BC 边上任意一点，E 是BC 延长线上一点，连接AP ，作
PF ⊥AP ，使PF=PA ，连接CF 、AF ，AF 交CD 边于点G ，连接PG.
（1）求证：∠GCF=∠FCE ；
（2）判断线段PG ，PB 与DG 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BP=2，在直线AB 上是否存在一点M ，使四边形DMPF 是平行四边形，若存在，求出BM 的长度，若不存在，请说明理由.
20. 已知抛物线y =?12x 2+bx +c 与y 轴交于点C ，与x 轴的两个交点分别为A （-4,0），B （1，0）. （1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P 在抛物线上，连接PC ，PB ，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；
（3）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.
21. 如图1，直角△ABC 中，∠ABC=90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交AC 于点D ，取CB 的中点E ，
DE 的延长线与AB 的延长线交于点P.
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）如图2，连接OD ，AE 相交于点F ，若tan ∠C =2，求
AF FE 的值.
22.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，
F，且∠EAF=60°.
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离.
23.如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0）.与y轴
交于点C，顶点为D.
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若△ACD的面积为3.
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移
后抛物线的解析式.