重庆市第八中学2020-2021学年高一数学下学期半期考试试题(含解析)

重庆八中2018一2019学年度（下）半期考试高一年级

数学试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.等差数列{}n a 中，若243,7a a ==，则6a =( ) A. 11 B. 7

C. 3

D. 2

【答案】A 【解析】 【分析】

根据2642a a a +=和已知条件即可得到。 【详解】等差数列{}n a 中，

2642a a a

6

42

227311a a a

故选A 。

【点睛】本题考查了等差数列的基本性质，属于基础题。

2.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且,13

B b a π

=

==，则c =( )

A. 1

B. 2

1-

【答案】B 【解析】 【分析】

利用余弦定理并解方程即可得到。

【详解】由余弦定理2

2

2

2cos b a c ac B =+-可得：2

22=12cos

3

c c

即220c c --=，解得2c =，或1c =-（舍）

故选B

【点睛】本题考查了余弦定理及一元二次方程的求解，属于基础题。

3.数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏 B. 2盏

C. 3盏

D. 4盏

【答案】C 【解析】 【分析】

由等比数列的求和公式得到塔顶层的灯盏数。 【详解】设塔顶共有1a 盏灯

由题意数列{}n a 为公比为2的等比数列

7

17

1238112

a S

解得13a = 故选C

【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，关键是识别其为等比数列，属于基础题。

4.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示。若向量c a b λ=+，则实数λ=( )

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

【答案】D 【解析】 【分析】

建立平面直角坐标系xOy ，用坐标表示向量a ，b ，c ，根据c a b λ=+，即可确定λ。 【详解】如图建立平面直角坐标系xOy ，

(1,1)a =，(0,1)b =-，(2,1)c =

(,1)a b λλλ+=- =21=1

即=2λ

故选D 。

【点睛】解决本题的关键是建立直角坐标系，用坐标来表示向量，利用向量的坐标运算得到λ，属于基础题。

5.在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2

cos 22C a b

a

+=，则ABC 的形状一定是( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形

C. 等腰三角形

D. 等腰直角

三角形 【答案】A 【解析】 【分析】

利用平方化倍角公式和边化角公式化简2

cos

22C a b a

+=得到sin cos sin A C B ，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC 的形状。 【详解】

2

2cos 2a b

a

C

1cos sin sin 22sin C A B

A

化简得sin cos sin A C B

()B A C

sin cos sin()A C A C 即cos sin 0A C = sin 0C

cos 0A ∴=即0A = 90

ABC ∴是直角三角形

故选A

【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2

cos

22C a b a

+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略。

6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15S S ==，则56a a +=( ) A. 16 B. 17 C. 48 D. 49

【答案】C 【解析】 【分析】

利用12a a +和34a a +的关系求出2

=4q ，再将56a a +转化为2

5346()a a q a a ++=即可得出。

【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，

123a a ,344215312a a S S

234

12a a q a a 解得2=4q

即2

5346()41248a q a a a ++==?= 故选C 。

【点睛】本题考查了等比数列的基本性质，关键是利用等比数列的通项的变形公式进行化简。

7.如图，在ABC 中，45B =?，D 是BC 边上一点，6,4AD AC DC ===，则AB 的长为( )

2 B. 36

C. 33

D. 32【答案】B 【解析】 【分析】

由余弦定理得到60C ?=，结合正弦定理sin sin AB AC

C B

=，即可确定AB 的长。 【详解】由余弦定理可得222

46(27)1cos 246

2

C

60C

sin sin AB AC

C

B 得到36sin 236sin 2

C AC AB B

故选B

【点睛】本题对正弦定理和余弦定理综合进行考查，属于中档题。

8.在边长为4的等边ABC 中，M ，N 分别为BC ，AC 的中点，则AM BN ?=( ) A. -6 B. 6

C. 0

D. 32

-

【答案】A 【解析】 【分析】 设AB

a AC

b ，分别去表示AM ，BN ，利用向量间的运算法则得到AM BN ?。 【详解】设AB a

AC

b

则1

1

11()()2222

AM

AB AC a b a b

112

2

BN AC B b A

a

11122

2

AM BN

a b a b 22111

424b a a b 221114444cos60424

6=-

故选A

【点睛】本题考查了向量的数量积，关键是将未知向量AM ，BN 用已知向量,a b 去表示。

9.如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得

15BCD ∠=?，45BDC ∠=?，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30?，则塔高

AB 为( )

A. 302m

B. 203m

C. 60m

D. 20m

【答案】D 【解析】 【分析】

由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB 。

【详解】

15BCD ∠=?，45BDC ∠=?

120CBD

sin 45BC

302sin 45203sin120

BC

3tan 30203

203

AB

BC

故选D

【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题。

10.已知向量a ，b 满足：||1,(1,3)a b ==，a 与b 的夹角为23

π

，则2a b -为( )

A. 21

D.

【答案】B 【解析】 【分析】

分别计算出||b 、a b ?，再将2a b -变为即可计算得出。 【详解】22||

1(3)2b

21||||cos 12

13

2

a b a b

222|2|

(2)44a b a b a a b b 22

14(1)4221

故选B

【点睛】本题考查了平面向量模长的计算，将|2|a b -

11.若a ，b 是方程2

0(0,0)x px q p q -+=<>的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后

成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值为( ) A. -4 B. -3 C. -2 D. -1

【答案】D

【解析】 【分析】

由韦达定理确定0a < ，0b <，利用已知条件讨论2a b ，，成等差数列和等比数列的位置，从而确定p q +的值。 【详解】由韦达定理得：0a b

p ，0ab q ，所以0a < ，0b <

由题意2a b ，， 这三个数可适当排序后成等比数列，且0ab >，则2一定在中间 所以22=4ab

，即=4q

因为2a b ，， 这三个数可适当排序后成等差数列，且0a b +<，则2一定不在a b ， 的中间 假设a b < ，则22b a

即

=44221

ab a b a

b

=41=5p a b 541p q

故选D

【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的基本性质，解决本题的关键是要掌握三个数成等差数列和等比数列的性质，如2a b ，，成等比数列，且0a < ，0b <，则2必为等比中项，有

22=4ab 。

12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，公差0d <，10210a S ?<，则n S 最大时，

n 的值为( )

A. 11

B. 10

C. 9

D. 8

【答案】B 【解析】 【分析】

由等差数列前n 项和公式得出21S 1121a ，结合数列{}n a 为递减数列确定10

11

0,0a a ，

从而得到n S 最大时，n 的值为10.

【详解】由题意可得211

1112120

212110212

S a d a d a

10210a S 1011

0a a

等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d < 则数列{}n a 为递减数列

10110,0a a

即当10n =时，n S 最大 故选B 。

【点睛】本题对等差数列前n 项和以及通项公式，关键是将21S 转化为1121a ，结合数列{}n a 的单调性确定n S 最大时，n 的值为10.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上。 13.设ABC

?的

内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5a =，3

cos 5

B =

，2c =，则ABC S ?=______.

【答案】4 【解析】 【分析】

由平方关系得到sin B ，结合三角形面积公式1

sin 2

ABC S ac B ?=计算即可得出。 【详解】

294sin 1cos 1

255

B

B 1

14sin 5242

25

ABC

S ac B

【点睛】本题考查了三角形面积公式和平方关系，关键是要用平方关系得到sin B 。

14.已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-，若()

a m

b b +，则m =______.

【答案】23

- 【解析】 【分析】

写出a mb +的坐标，利用向量平行的坐标运算计算得出m 。 【详解】(13,)a mb

m m

()a mb b +

32(13)m

m 解得2

3

m =-

【点睛】本题考查了向量共线或平行的坐标运算，关键是写出a mb +的坐标，属于基础题

15.已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111n

n n

a a n N a +++=∈-，若12a =，则2019T 为______. 【答案】3 【解析】 【分析】

由已知条件计算出2a ，3a ，4a ，5a ，得出数列{}n a 是以4为周期的数列，根据周期性得出2019T 。

【

详解】1211123112a a a ++=

==--- 23

2

1131113

2

a a a 34

3

11

112113

12a a a 45

4

111321113

a a a

∴数列{}n a 是以4为周期的数列

4

112(3)

123

T 5045042019

411

2

3

12

3

=32

2

T T 【点睛】本题考查了数列的周期数列的求和，计算出2a ，3a ，4a ，5a ，确定数列{}n a 是以4为周期的数列是关键。

16.在ABC 中，2,||1AB AC AM AM +==，动点P 在线段AM 上，则()PA PB PC ?+的最小值为______. 【答案】12

- 【解析】 【分析】 先由2AB

AC AM 确定M 为BC 中点，由平行四边形法则得到2PB PC PM ,利用

()=PA PB PC ?+22||||PA PM

PA PM 计算得出。

【详解】

2AB AC AM

∴ 点M 是BC 的中点

2PB PC PM

设||PA t ，则||1PM t

()22||||PA PB PC PA PM PA PM 2

2

112222

2

t t

t

即当12

t =

时，()PA PB PC ?+的最小值为12-

【点睛】本题考查了向量的数量积运算和向量的平行四边形法则，将PB PC 转化为2PM 是关键。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知数列{}n a 的前n 项和为n S 且()211

22

n S n n n N +=+∈. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前100项和.

【答案】（Ⅰ）n a n = （Ⅱ）100T =100

101

【解析】 【分析】

（Ⅰ）当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-得出{}n a 的通项公式n a n =，当=1n 时，验证1a 是否满足n a n =。

（Ⅱ）利用数列求和的裂项相消法得到数列{}n b 的前100项和。 【详解】（Ⅰ）当2n ≥时，211

22n S n n =

+ 221

11

11(1)(1)22

22

n S n n n n n 两式相减得：1n n n a S S n -=-= 当=1n 时，1

1

11

122

a S 满足n a n =

n

a n

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知111

(1)1

n b n n n n =

=-++

所以数列{}n b 的前100项和100

12

100T b b b

1111111

1

22399100100101

11001101101

=-

= 【点睛】已知n S 来求n a 时，可利用数列的前n 项和及其与通项公式的关系

1

1,1,2

n n n a

n a S S n -=?=?-≥?来求n a 。

18.已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 的对边.角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，

sin C 成等比数列.

（Ⅰ）求sin sin A C 的值；

（Ⅱ）若a =

ABC 的周长.

【答案】（Ⅰ）sin sin A C 3

4

（Ⅱ）ABC

周长为

【解析】 【分析】

（Ⅰ）由角A ，B ，C 成等差数列得到60B =?，根据sin A ，

sin B ，sin C 成等比数列得到

2sin sin sin A C B 即可求出。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得到2ac b =结合余弦定理2

222cos60b a c ac 化简得到a c ==及

2b ac

即可确定ABC 的周长为

【详解】（Ⅰ）角A ，B ，C 成等差数列

2B A C ∴=+ ，即60B =? sin ,sin sin A B C ，成等比数列

.

2

23

3sin sin sin 4

A C

B

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2sin sin sin A C B ，即2ac b =

由余弦定理可得：2

22

2cos60b a c ac

化简得2

()0a c -=，即a c ==

2b ac

32a b c

因此ABC 的周长为

【点睛】本题对正余弦定理进行综合考查，关键是利用正弦定理将角化为边，结合余弦定理，消掉2b ，从而解出a ，c 。

19.在平面四边形ABCD 中，内角B 与D 互补.4AB AD ==，.5,1BC CD ==. （Ⅰ）求AC ；

（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积。

【答案】 （Ⅱ）【解析】 【分析】

（Ⅰ）利用余弦定理和内角B 与D 互补，计算得到AC 。

（Ⅱ）将四边形ABCD 的面积转化为ABC ?，ACD ?的面积之和，计算即可得出。 【详解】（Ⅰ）2

222cos AC AB BC AB BC B ，2222cos AC AD CD AD CD D

22224524cos 41241cos B D

即4140cos 178cos B D

180B D

cos cos(180

)cos D B B

即1

cos 2

B =

，60B ?= 故14140

212

AC

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，60B ?=，cos cos D B

sin 2

B ∴=

，sin 2D =

四边形ABCD 的面积11

45sin 41sin 22

ABC ACD

S

S S B D =【点睛】本题对余弦定理和三角形面积公式进行考查，在求四边形ABCD 的面积时，将四边形ABCD 的面积转化为ABC ?，ACD ?的面积之和是解题的关键，属于中档题。

20.某地区2018年人口总数为45万.实施“放开二胎”新政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年每年人口比上年增加0.5万人，从2029年开始到2038年每年人口为上一年的99%.

（Ⅰ）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2019年为第一年）；

（Ⅱ）若新政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年后是否需要调整政策？（参考数据：100.990.9≈） 【答案】（Ⅰ）1045.50.5(1),110500.99,1120

n n n n a n ，（Ⅱ）到2038年不需要调整政策。

【解析】 【分析】

（Ⅰ）由题意可知，从2019年开始到2028年每年人口数成等差数列增长，从2029年开始到2038年每年人口数组成一个等比数列，由等差数列与等比数列的通项公式写出即可； （Ⅱ）求出从2019年到2038年的人口总数，求其平均值即可. 【详解】（Ⅰ）当1

10n 时

数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，45.50.5(1)n a n

当11

20n 时

数列{}n a 是公比为0.99的等比数列，且1050a =，即10

500.99n

n

a

∴实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式为10

45.50.5(1),110500.99

,1120

n

n n n a n

（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2019年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：

10

2010111220

477.54950

10.99972.5S S a a a

∴新政策实施后的2019年到2038年人口平均值

20

48.634920

S

故到2038年不需要调整政策。

【点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

21.在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c .若向量(2,),(cos ,cos )m a b c n C B =+=，且m n ⊥. （Ⅰ）求角C ；

（Ⅱ）若2b =

且sin cos A B =

，求c . 【答案】（Ⅰ）120C ?= ，（Ⅱ）23c

【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据向量垂直的坐标运算以及正弦定理的边化角公式化简即可得到。

（Ⅱ）将sin cos A B =变为1

sin cos sin 2

A B C ，利用边化角公式结合余弦定理即可得到。 【

详解】（Ⅰ）

m n ⊥

(2)cos cos 0a b C c B

即(2sin sin )cos sin cos 0A B C C B ++=

化简得2sin cos sin 0A C A

sin 0A ≠

1

cos 2

C ∴=-，即120C ?=

（Ⅱ）

3

sin C

,sin cos A B =1

sin cos sin 2

A B

C ，即1cos 2

a B c 222

cos 22c a c b B

a

ac

解得2a b ==

222cos 44423c

a b ab C

变为1sin 2

C 是解题的关键。

22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n N +=-∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式：

（Ⅱ）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .

（Ⅲ）记32(1)(0)n n

n n c a λλ=-?-≠.是否存在实数λ，使得对任意的*n N ∈，恒有

1n n c c +>？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】（Ⅰ）12n n a （Ⅱ）(1)21n n T n =-?+ （Ⅲ）3

12

λ-

<< 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由已知条件推导出数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列,从而可求数列的通项公式;

（Ⅱ）用错位相减法能求出数列{}n b 的前n 项和n T ;

（Ⅲ）条件转化为n c 3(1)=2n

n

n

λ--?,分类讨论,即可确定λ的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当1n =时，1121a a =-，即11a = 当2n 时，1121n n S a --=-

1

122n n n

n n a S S a a ，即

1

2n

n a a -= ∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列

故12n n

a

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得12n n n

b n a n 12102

122232(1)22n

n n T n n

11

3

22122232(1)22n n n T n n

两式相减得

1

2

1

122

2

2n n

n T n =

1

12212

n n n

(1)21n n

T n

（Ⅲ）

32(1)3(1=)2n n n n n n n c a λλ=-?---? 111

3(1)2n n

n n c

又

1n n c c 113(1)23(1)2n n

n n n n

即1

1

3

(1)20n n

n

当n 为偶数时，1

1320n

n ，则

1

32

n

3

2

λ∴>-

当n 为奇数时，1

1320n

n ，则

1

32

n

1λ∴<

综上：3

12

λ-

<< 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前n 项和的求法,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.