概率论期末复习知识点

知识点

第一章 随机事件与概率

本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) (或)．

(2) 和事件： ；

（简记为）．

(3) 积事件： ，

（简记为

或)．

(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即

—

(5) 对立事件： ．

(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作(或) ．

(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有

, .

2． **古典概率的定义 古典概型：

、

．

几何概率

A B ⊂B A ⊃A B ⋃12n

A A A ⋃⋃⋃1

n

i

i A =AB 12n

A A A ⋂⋂⋂12n

A A A 1

n

i

i A =AB φ=A A B -AB A B A B ⋃=⋂A B A B ⋂=⋂()A n A P A n =

=

Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数

·

3．**概率的性质 (1) ．

(2) (有限可加性) 设n 个事件

两两互不相容，则有

．

(3)

．

;

(4) 若事件A ，B 满足，则有

,

．

(5) ．

(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有

.

对于任意n 个事件

，有

.

—

4．**条件概率与乘法公式

.

乘法公式：

()A P A =

的长度（或面积、体积）

样本空间的的长度（或面积、体积）()0P φ=1,2,,n

A A A 121

()()

n

n i i P A A A P A =⋃⋃

⋃=∑()1()P A P A =-A B ⊂()()()P B A P B P A -=-()()P A P B ≤()1P A ≤()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-1,2,,n

A A A 11

1

111

(

)()()()(1)()

n

n

n i i i j i j k n i i j n

i j k n

i P A P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤==-

+

-

+-∑∑

∑

()

(|)()P AB P A B P B =

.

5．*随机事件的相互独立性

事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：

，

事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：

)

．

对于任意n 个事件

相互独立性定义如下：对任意一个，任意的

，若事件

总满足

，

则称事件

相互独立．这里实际上包含了个等式．

6．*贝努里概型与二项概率

设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生次的概率为

，

7．**全概率公式与贝叶斯公式

？

贝叶斯公式：

如果事件

两两互不相容，且，

，，则

．

()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==()()()P AB P A P B =(|)()P A B P A =1,2,,n A A A 2,,k n =11k i i n

≤<<≤1,2,,n

A A A 1

1()()()

k k i i i i P A A P A P A =1,2,,n

A A A 21n n --()(01)P A p p =<

,k

n k n n P k p p k n

k -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭

1,2,,n

A A A 1

n

i i A ==Ω

()0

i P A >1,2,,i n =1

()(|)

(|),1,2,,()(|)

k k k n

i

i

i P A P B A P A B k n

P A P B A ==

=∑

第二章 一维随机变量及其分布

本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．

概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 1．**离散型随机变量及其分布律

)

分布律也可用下列表格形式表示：

,

2．*概率函数的性质

(1)

，

(2)

．

3．*常用离散型随机变量的分布 (1) 0—1分布

，它的概率函数为

，

其中，或1，． (2) 二项分布

，它的概率函数为

(),1,2,

,,.

i i p P X a i n ===n a n

p 0

i p ≥1,2,

,,

;i n =1

1

i

i p

∞

==∑(1,)B p 1()(1)i i P X i p p -==-0i =01p <<(,)B n p