第十一章应力与应变理论

σ σ σ τ τ τ τ τ τ 它们是 xx, yy, zz, xy, yx, yz, zy， zx, xz。它们可以完整地描述一点的应力状
态，如图11-2 所示。
按应力分量的符号规定，两个下角标相同的正应力分量，例如σxx 表示x 面上平 行于x 轴的正应力分量，可简写为σx ；两个下角标不同的是切应力分量，例如 τxy 表示x 面上平行于y 轴的切应力分量。将9 个应力分量写成矩阵的形式为：
因此，表示点应力状态的九个应力分量构成一个二阶张量，称为应力张
量，可用张量符号σij表示，即
每一分量称为应力张量之分量。 根据张量的基本性质，应力张量可以叠加和分解、存在三个主轴(主方向) 和三个主值(主应力)以及三个独立的应力张量不变量。
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
1、主应力 由上节分析可知，如果表示一点 的应力状态的九个应力分量为已知，则过该 点的斜微分面上的正应力σ和切应力τ都将随 法线N 的方向余弦l,m, n 而改变。特殊情况 下，斜微分面上的全应力S 和正应力σ 重合， 而切应力τ= 0 。这种切应力为零的微分面称 为主平面，主平面上的正应力叫做主应力。
整理得：
用角标符号简Байду номын сангаас为 显然，全应力
图11-3任意斜切微分面上的应力
二、直角坐标系中一点的应力状态
斜微分面上的正应力σ 为全应力S 在法线N 方向的投影，它等于S x , S y, S z在
N 方向上的投影之和，即：
斜切微分面上的切应力为：
所以，已知过一点的三个正交微分面上9 个应力分量，可以求出过该点任 意方向微分面上的应力，也就是说，这9 个应力分量可以全面表示该点应 力状况，亦即可以确定该点的应力状态。 如果质点处于受力物体的边界上，则斜切微分面ABC 即为变形体的外表面， 其上的表面力（外力）T 沿三坐标轴的分量为Tx 、Ty 、Tz ，其值为
图11-2 直角坐标 系中单元体的应 力分量
二、直角坐标系中一点的应力状态
应力分量有正、负号，确定方法为：当单元体的外法线指向坐标轴正向的 微分面叫做正面，反之为负面。在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正 号，指向相反方向的取负号。负面上的应力分量则相反。按此规定，正应 力分量以拉为正，以压为负。 由于单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴的合力矩等于零，由此导 出切应力互等定理： 实际上，一点的应力状态中的9 个应力分量只有6个是互相独立的，它们组
一个切面的应力不足以全面表示该点的应力情况。 为了全面表示一点的应力情况，下面引入点的应 力状态的概念。
二、直角坐标系中一点的应力状态
设在直角坐标系Oxyz 中有一承受任意力系的变形体，过变形体内任意点Q 切取 一六面体作为单元体，其棱边分别平行于三坐标轴。在互相垂直的微分面上的全 应力都可以按坐标轴方向分解成一个正应力和两个切应力分量，这样，在三个互 相垂直的微分面上就有三个正应力分量和六个切应力分量，共计9 个应力分量，
这个物理量被定义为张量，可用矩阵表示
Pij 所带的下标数目是2 个，称为二阶张
量。张量是满足一定的坐标转换关系的 分量所组成的集合，它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可 以用一定的线性关系来换算。上式为二阶张量的判别式。
三、张量和应力张量
3、张量的基本性质 张量具有以下一些基本的性质： 1) 张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数f (Pij ) ，这些函数值与 坐标轴无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变量。二阶 张量存在三个独立的不变量。 2) 张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一 个同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。 3) 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量 若张量具有性质Pij= Pji，就叫对称张量；若张量具有性质Pij=−Pji，且当i=j 时对应的分量为0， 则叫反对称张量；如果张量Pij≠Pji，就叫非对称张量。任意非对称张量可 以分解为一个对称张量和一个反对称张量。 4) 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如果以主轴为坐标轴，则两个 下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主 值。
在主轴坐标系中斜微分面上的正应力和切应力为
因此，应力张量的三个不变量为
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
3、应力椭球面
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
4、主应力图 受力物体内一点的应力状态可用作用在单元体上的主应力 来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点的应力状态的简图称为主 应力图。其表示出主应力的个数及正负号，并不表明作用应力的大小。 主应力图共有9种(图11-6)，其中三向应力状态的四种，两向应力状态的 三种，单向应力状态的两种。 在两向和三向主应力图中，各向主应力符号相同时，称为同号主应力图， 符号不同时称为异号主应力图，根据主应力图，可定性比较某一种材料 采用不同的塑性成形工序加工时塑性和变形抗力的差异。
表11-1 新旧坐标 系间的方向余弦
三、张量和应力张量
设有某物理量P，它关于xi(i = 1,2,3) 的空间坐标系存在9 个分量Pij (i, j = 1, 2,3) 。若将xi 空间坐标系的坐标轴绕原点O 旋转一个角度，则得 到新的空间坐标系xk (k = 1',2',3') ， 如图11-1 所示。新坐标系xk 的坐 标轴关于原坐标系xi 的方向余弦可记为lki 或llj (k, l = 1',2', 3'；i, j = 1,2,3）。由于cos(xk , xi ) = cos(xi, xk ) ，所以 lki = lik，llj = ljl。 物理量P 在新坐标系xk 的九个分量为Pkl (k，l = 1',2',3') 。若这个物理 量P 在坐标系xi 中的9 个分量Pij 与坐标系xk 中的九个分量Pkl 之间存 在下列线性变换关系：
主平面的法线方向称为应力主方向或应力主 轴。
图11-5 中的三个主平面互相正交，设斜微分 面ABC 是待求的主平面，面上的切应力为0， 正应力即为全应力，σ = s 。于是，主应力在 三个坐标轴上的投影为
图11-5 主平面上的应力
左式整理得
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
上式是一齐次线性方程组，l, m，n 为未知数，其解为应力主轴方向。 此方程组的一组解为l = m = n = 0 ，但由解析几何可知，方向余弦之间 必须满足
三、张量和应力张量
2、张量的基本概念 有些简单的物理量，只需要一个标量就可以表 示，如距离、时间、温度等。有些物理量是空间矢量，如位移、速 度和力等，需要用空间坐标系中的三个分量来表示。更有一些复杂 的物理量，如应力状态、应变状态，需要用空间坐标系中的三个矢 量，即9 个分量才能完整地表示，这就需要引入张量的概念。 张量是矢量的推广，可定义为由若干个当坐标系改变时满足转换关 系的所有分量的集合。广义地说，绝对标量就是零阶张量，其分量 数目为 ；矢量就是一阶张量，有 个分量；应力状态、应变 状态是二阶张量，有 个分量。
简记为
上式称为应力边界条件。
三、张量和应力张量
1 角标符号和求和约定 成组的符号和数组用一个带下角标的符号表示， 这种符号叫角标符号。用角标符号表示物理量在坐标系中的分量，可以 使冗长繁杂的公式在形式上变得简洁明了。如直角坐标系的三根轴x、y、 z，可写成x1、x2、x3，用角标符号简记为xi (i＝1,2,3)；空间直线的方向 余弦l、m、n 可写成lx 、ly、lz，简记为li (i＝x、y、z)。如果一个坐标系 带有m 个角标，每个角标取n 个值，则该角标符号代表着 个元素，例 如σij (i,j = x,y,z) 就包含有9 个元素,即9 个应力分量。 在运算中，常遇到n 个数组各元素乘积求和的形式，例如：
五、主切应力和最大切应力
与斜微分面上的正应力一样，切应力也随斜微分面的方位而改变。使切 应力数值达到极大值的平面称为主切应力平面，其上所作用的切应力称 为主切应力。经分析，在主轴空间中，垂直一个主平面而与另两个主平 面交角为45° 的平面就是主切应力平面，如图11-7 所示。该面上的主切 应力为
图11-1 面力、 内力和应力
一 应力的概念
若将截取的下半部分放入空间坐标系Oxyz 中，并 使截面F 的法线方向N 平行于y 轴（图11-1 b）， 则全应力S 在三个坐标轴上的投影称为应力分量，
σ τ τ 它们是 y、 yx、 yz 。
在变形体内各点的应力情况一般是不同的。对于
任一点而言，过Q 点可以作无限多的切面，在不 同方向的切面上，Q 点的应力是不同的。仅用某
三、张量和应力张量
4、应力张量 设受力物体内一点的应力状态在xi(i=x,y,z)，坐标系中的九
个应力分量为σij(i,j=x,y,z)，当xi坐标系转换到另一坐标系xk(k=x’,y’,z’)， 其应力分量为σkr(k,r= x’,y’,z’)， σij与σkr之间的关系符合数学上张量之定 σ σ 义，即存在线性变换关系式，即有： kr= ijlkilrj(i,j=x,y,z; k,r= x’,y’,z’)
第十一章 应力与应 变理论
塑性成形是利用金属的塑性，在外力作用下使其成形的一 种加工方法。作用于金属的外力可分为两类： 1 作用在金属表面上的力，称为面力或者接触力，它可以是 集中力，一般情况下是分布力。 面力可以分为作用力、反作用力和摩擦力。作用力是由塑 性加工设备提供的，用于使金属坯料发生塑性变形。反作 用力是工具反作用于金属坯料的力。一般情况下，作用力 与反作用力互相平行，并组成平衡力系。摩擦力是金属在 外力作用下产生塑性变形时，在金属与工具的接触面上产 生阻止金属流动的力。该力的存在往往引起变形力的增加， 对金属的塑性成形往往是有害的。 2 作用在金属物体每个质点上的力，称为体积力。体积力是 与变形力内各质点的质量成正比的力，如重力、磁力和惯 性力等。
第一节 应力空间
一 应力的概念
在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力，称为内力。单位面 积上的内力称为应力。 图11-1a 在F 面上围绕Q 点取一很小的面积ΔF ，该小面积上内力的合力为ΔP ， 则定义
为截面F 上Q 点的全应力。全应力S 是一个矢量，可以分解成两个分量，垂直于 截面的正应力σ和平行于截面的切应力τ。显然有
成对称的应力张量σij
若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助静力平 衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。
二、直角坐标系中一点的应力状态
如图11-3 所示，设过Q 点任一斜切面的法线N 与三个坐标轴的方向余弦 为l，m，n，l=cos(N,x); m=cos(N,y); n=cos(N,z)。 若斜微分面ABC 的面 积为dF，微分面OBC(x 面)、OCA(y 面)、OAB(z面)的微分面积分别为 dFx、dFy、dFz，则各微分面之间的关系为： dFx=ldF；dFy= mdF； dFz=ndF 又设斜微分面ABC 上的全应力为S， 它在三坐标轴方向上的分量为Sx 、 Sy 、Sz，由静力平衡条件ΣPx = 0 ，得：
即l, m, n 不能同时为零，必须寻求非零解。为了求得非零解，只有满
足齐次线性方程组式的系数组成的行列式等于零的条件，即
展开行列式，整理后得 令
上式可写成
即应力状态特征方程
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
2、应力张量不变量 对于一个确定的应力状态，主应力只有一组值， 即主应力具有单值性。由此，上式中的系数J1、J2、J3 也应是单值的， 而不随坐标系而变。由此得出重要结论：尽管应力张量的各分量随坐 标而变，但组成的函数值是不变的，所以将J1、J2、J3 称为应力张量 第一、第二、第三不变量。 如果取三个主方向为坐标轴，并用1、2、3 代替x, y, z，这时应力张量 可写为
为了省略求和记号Σ ，可以引入如下的求和约定：在算式的某一项中， 如果有某个角标重复出现，就表示要对该角标自1 到n 的所有元素求和。
根据这一约定，上式可简记为：
上述重复出现的角标叫哑标，而在用角标表示的算式中有不重复出现的 角标，称为自由标。自由标不包含求和的意思，但可以表示该等式代表 的个数。在一个等式中，要分清哑标和自由标。