第七章 应力与应变分析、强度理论
材料力学第七章应力状态和强度理论
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学带答疑
第七章应力和应变分析强度理论1.单元体最大剪应力作用面上必无正应力答案此说法错误（在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。
拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为σ/2。
）2. 单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面答案此说法错误（无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零）3. 弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态答案此说法正确（最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。
）4. 在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上切应力一定是零答案此说法正确（最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零）5.应力超过材料的比例极限后，广义虎克定律不再成立答案此说法正确（广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。
）6. 材料的破坏形式由材料的种类而定答案此说法错误（材料的破坏形式由危险点所处的应力状态和材料的种类综合决定的）7. 不同强度理论的破坏原因不同答案此说法正确（不同的强度理论的破坏原因分别为：最大拉应力、最大线应变、最大剪应力、形状比能。
）二、选择1.滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为应力状态。
A：二向； B：单向C：三向D：纯剪切答案正确选择C（接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。
）2.厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于。
A：内壁 B：外壁 C：内外壁同时 D：壁厚的中间答案正确选择：B （厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。
）3. 受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中。
A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面；C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；答案正确选择：C （在受内压作用的封闭薄壁圆筒的壁上任意取一点的应力状态为二向不等值拉伸，其σx =pD/4t、σy=pD/2t。
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
第七章+应力应变分析+强度理论
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state)
一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力σ1 ,σ2 ,σ3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力σ1 ,σ2 ,σ3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 σ1 ,σ2 ,σ3 中只有一个不等于零
x
− 62.5
σ3
因为 σx < σy ，所以 α0= 27.5°与σmin对应
σx −σ y 2 ⎧σ max σ x + σ y ⎧ 26MPa 2 ) + τ xy = ⎨ = ± ( ⎨ 2 2 ⎩ − 96MPa ⎩σ min σ 1 = 26MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −96MPa
1.求单元体上任一截面上的应力（Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle） 从应力圆的半径 CD 按方位角α的转向转动2α得到半径CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力σα 和切应力τα.
材料力学应力理论
例 单向拉伸状态
σx
45º
σx'
τx'y'
B
45º A
σy'
E
τy'x'
D
τα
b
2×45º
d
c
σα
o
a
2×45º
e
σx
¾45º斜面同有正应力、切应力；但正应力不是最大，切应力最大
例 纯剪切状态
D
σy'＝τ
y
O
x
τα
a (0,τ )
τ σx'＝τ
2×45º
2×45º
E
τ
e
c
b σα
o B
Α
d(0,-τ )
σy τyx
τyx
σy
σx
σz
τxy
σx
σz
τxy
平面应力三维看： σ1≥σ2 ≥σ3
τ
τ
o
σ2
σ
σ1
σ3 o
σ
σ1
σ3
τ
σ
σ2
o
200 300 50
τα
τmax
σ3
σ2
σα
o
σ1
σ3
200 300 50
τα
τα
σ3 σ2
O
σ2
σ1 σα
O
300 50
σα
σ1
例 求图示单元体的主应力和最大剪应力。(MPa)
τ τ
45°
τ
τ
7.5 三向应力状态－应力圆法
设三个主应力已知
σ2
τα
τmax
y
σ3
z
x
7-第七章 应力状态分析 强度理论.
第七章应力状态分析强度理论7.1 应力状态概述一、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。
三、应力状态的分类1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。
3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零四、应力状态分析的方法 1.解析法2. 图解法7.2应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x σ、y σ、xyτ和yx τ。
xxx（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。
设ef 面的面积为dA ， ∑=0F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy∑=0F tsin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy根据切应力互等定理： y x xy ττ=三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=，∂=cos sin 22sin αα解得：ατασσσσσα2sin 2cos 22x x xy yy--++=（7-1）ατασστα2cos 2sin 2x xy y+-= （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
应力应变分析与强度理论
ax in
m
ax
2
m in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
第7章 应力应变分析与强度理论
§7.1 应力状态的概念 §7.2 平面应力状态分析的解析法 §7.3 平面应力状态分析的图解法 §7.4 三向应力状态简介 §7.5 平面应力状态的应变分析 §7.6 广义胡克定律 §7.7 强度理论概述 §7.8 四个常用的强度理论 §7.9 莫尔强度理论
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax in
x
2
y
2
2 xy
m m
主应力通常用1、 2 和 3 表示，它们的顺序按代 数值大小排列，即 1 2 3 。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.1 应力状态的概念
7.1.4 应力状态的分类 1. 单向应力状态 (简单应力状态 ) 三个主应力中，只有一个不等于零 2. 二向应力状态 (复杂应力状态 ) 有两个应力不等于零 3. 三向应力状态 (复杂应力状态 ) 三个主应力都不等于零
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′ p
D
薄壁圆筒的横截面面积:
n
A D
F
p D2
4
pD
A D 4
(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取 下半环为研究对象
"
p 直径平面
FN
O
FN
pl D sind plD
0
2
d
Fy 0 2 l plD 0
pD
几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
A P/A
B Me/Wn
a) 一对横截面， 两对纵截面
P Me
b) 横截面，周向 面，直径面各一对
C
Me
c) 同b)但 从上表面 截取
C
单元体上的应力分量
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力 作用面(法线)，第二角标表示应力平行的轴，两角 标相同时，只用一个角标表示。
F 0
dA x dAcos sin xy dAcos cos yx dAsin sin y dAsin cos 0
n
x
利用三角中的倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平 面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：
2
例:图示单元体，试求：=30o斜截面上的应力
40
20 30
解：1)
30
2
40
30 2
29.8MPa
40cos60
o
(
20)sin
60o
30 2
40sin
60o
(
20)cos60o
20.3MPa
[例] 分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸
主平面：单元体上剪应力为零的面；
主应力：主平面上作用的正应力，用1、2、3表示， 按1≥2≥3(根据大小排列).
z
z'
z
zy
zx
yz
xz
y y
x xy yx x
旋转
x' 1
3
2 y'
2、应力状态的分类
1)、空间应力状态:
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
Z z
应力与应变分析
y
z X
O x
zx xy
yx
xz
O x
xy zx
x
xz yx
dz y
Y
dx
dy z y
应力角标规定： 第一角标表示应力作用面 (法线表示)，第二角标表 示应力平行的轴，角标相 同时只用一个角标表示.
二、应力状态分类(按主应力)
应力与应变分析
1. 基本概念
＝
x＋
2
y
＋ x－
2
y
cos2－ xysin2
＝
x－
2
y
sin2
xycos2
x y
2
x y cos 2 2
x s in 2
x y sin 2 2
x cos 2
37
x y
时发生屈服的主要原因。
n
解： y＝0，yx＝0。
x
根据平面应力状态任意斜截面上的正应力
x
和剪应力公式
＝
x＋
2
y
＋
x－
2
y
cos2－
xy sin 2
＝
x－
2
y
sin2
xycos2
＝
x
2
＋ x
2
cos2
＝
x
2
sin 2
当θ＝45º时，斜截面上既有正应力又有剪应力：
研究在各种不同的复杂受力形式下： 强度失效的共同规律
假定失效的共同原因
利用单向拉伸的实验结果
建立复杂受力时的强度条件 强度理论
拉伸
受力之前,表面的正方形
FP
FP
受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。
受力之前,表面斜置的正方形
FP
FP
受拉后，正方形变成了菱形。
这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。
扭转
y
2
第三节 平面应力状态分析
一、平面应力分析的解析法 1.平面应力状态图示：
y
x
x
x
x
yx xy y
xy yx y
平面应力状态的普遍形式如图所示 .
单元体上有x ,xy 和 y , yx
–3 方向角与应力分量的正负号约定
正应力
x
x
x 拉为正
x
压为负
剪应力
1)最大正应 力及方位
x
2
y
x
y
2
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
令:
d d
2[
x
y sin 2
2
xy cos 2 ]
0
tg 2 0
2 xy x
y
0 0
滑移线
低碳钢拉伸实验
韧性材料-低碳钢轴向 拉伸时为什么会出现 滑移线？
铸铁扭转实验
脆性材料-铸铁扭转时 为什么会沿450螺旋面 断开？
钢筋混凝土简支梁
以前的知识不能解释这些现象
问题的提出
问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；
轴向拉伸杆件
F
横截面应力： F
A
斜截面应力：
F
cos2
解：纯剪应力状态下x＝y＝0 ，
根据公式：
＝
x＋
2
y
＋ x－
2
y
cos2－ xysin2
＝
x－
2
y
sin2
xycos2
yx
n
xy
xy
yx
纯剪应力状态
＝－ xysin2 ＝ xycos2
45o＝max＝- xy , 45o＝0
2
x y cos 2 2
x s in 2
x y sin 2 2
x cos 2
38
例:图示单元体，已知 x =-40MPa，y =60MPa， xy=-50MPa.试求 ef 截面上的应力情况
y
解: 求 ef 截面上的应力
30
（2）面的方位用其法线方向表示
根据材料的均匀连续假设，微元体各微面上的应力 均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向 相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系:
yz zy， zx xz， xy yx
正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应 力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。
y
1
4
2
z
3
x
S
l
F
FS
a
z2
T3
4 MZ
yy
FS
1
4
2
z
3
z2
4 MZ
x
T3
x
1 3
z
2
1
T Wt
x1
Mz Wz
2
T Wt
4FS 3A
x3
Mz Wz
3
T Wt
例: 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
m
n
y
p
z
D
ml n
(1)沿圆筒轴线作用于筒
底的总压力为F
F p D2
同。
横截面上的正应力分布 横截面上的剪应力分布
应力的面的概念：同一 点不同方向面上的应力 也不一定相同。
xy x
xy x
xy
yx x
应 力 指明
哪一个面上
哪一点？
哪一个点上 哪一方向面？
应力状态分析(analysis of stress-state)是用平衡的方法，分析过 一点、在不同方向面上的应力以及这些应力之间的相互关系， 并确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。
Mx Mx
圆变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。
表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。
1.基本概念
（1）什么是一点的应力状态
一点的应力状态：
过一点处，即一微元所有方位面 上的应力集合，称为该点的应力状态。
围绕一点作一微小
单元体，即微元
为什么分析一点 的应力状态？
找出一点处沿不同方 向应力的变化规律， 确定出最大应力，从 而全面考虑构件破坏 的原因，建立适当的 强度条件。
x
平衡方程
Fn 0 F 0 yx
y
n
x
xy x
Fn 0
yx y
dA x dAcos cos xy dAcos sin
yx dAsin cos y dAsin sin 0
2)、平面应力状态:
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3)、单向应力状态