第七章应力和应变分析强度理论
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材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学第七章_3_ 应变能密度和强度理论概要
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
[例9－8]证明弹性模量E 、泊松比µ 、切变弹性模量G 之间 的关系为 G E 。
2(1 )
证明： 纯剪应力状态应变能密度为
3
v1
1
2
1 2
2G
1 , 2 0, 3
1
用主应力计算比能
v2
1 2E
[
2 1
2 2
2 3
2 (1 2
2 3
1
3
k
1
3
2
OC
B
3
1
2
1 3
河南理工大学土木工程学院
A
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
各向同性材料的广义胡克定律：
εx
1 E
σx
μ
σy
σz
εy
1 E
σy
μσz
σx
εz
1 E
σz
μ
σx σy
xy
xy
G
,
yz
yz
G
,
zx
zx
G
上述一组方程为用应力表示应变，若用应变表示应力，
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
二、常用四个强度理论
● 第一强度理论（最大拉应力理论） 该理论不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂
破坏的主要原因是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最 大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便 发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为
一、强度理论的概念
1. 什么是强度理论 强度理论是关于材料破坏原因的学说。
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
第七章+应力应变分析+强度理论
Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state)
一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力σ1 ,σ2 ,σ3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力σ1 ,σ2 ,σ3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 σ1 ,σ2 ,σ3 中只有一个不等于零
x
− 62.5
σ3
因为 σx < σy ，所以 α0= 27.5°与σmin对应
σx −σ y 2 ⎧σ max σ x + σ y ⎧ 26MPa 2 ) + τ xy = ⎨ = ± ( ⎨ 2 2 ⎩ − 96MPa ⎩σ min σ 1 = 26MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −96MPa
1.求单元体上任一截面上的应力（Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle） 从应力圆的半径 CD 按方位角α的转向转动2α得到半径CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力σα 和切应力τα.
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state)
一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力σ1 ,σ2 ,σ3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力σ1 ,σ2 ,σ3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 σ1 ,σ2 ,σ3 中只有一个不等于零
x
− 62.5
σ3
因为 σx < σy ，所以 α0= 27.5°与σmin对应
σx −σ y 2 ⎧σ max σ x + σ y ⎧ 26MPa 2 ) + τ xy = ⎨ = ± ( ⎨ 2 2 ⎩ − 96MPa ⎩σ min σ 1 = 26MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −96MPa
1.求单元体上任一截面上的应力（Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle） 从应力圆的半径 CD 按方位角α的转向转动2α得到半径CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力σα 和切应力τα.
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
应力应变分析与强度理论
ax in
m
ax
2
m in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
第7章 应力应变分析与强度理论
§7.1 应力状态的概念 §7.2 平面应力状态分析的解析法 §7.3 平面应力状态分析的图解法 §7.4 三向应力状态简介 §7.5 平面应力状态的应变分析 §7.6 广义胡克定律 §7.7 强度理论概述 §7.8 四个常用的强度理论 §7.9 莫尔强度理论
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax in
x
2
y
2
2 xy
m m
主应力通常用1、 2 和 3 表示，它们的顺序按代 数值大小排列，即 1 2 3 。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.1 应力状态的概念
7.1.4 应力状态的分类 1. 单向应力状态 (简单应力状态 ) 三个主应力中，只有一个不等于零 2. 二向应力状态 (复杂应力状态 ) 有两个应力不等于零 3. 三向应力状态 (复杂应力状态 ) 三个主应力都不等于零
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
材料力学第七章知识点总结
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
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令 d d 2 [x 2y s2 i n xc y2 o ] 0 s
ta43;90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
所在的平面,另一个是最小正应力所在的团平结面信. 赖 创造 挑战
2.最大正应力
将 0和 0+90°代入公式
x 2yx 2y c2 o s xs y2 in
F n 0d A (xd y A c o )ss i n (x d A c o )cs o s (yd x A si)c no (sy 团d A 结s信i赖)s n 创造i n 挑0 战
F t 0d A (xd y A c o )cs o ( sx d A c o )ss i n (yd x A s i)s n i n (y d A s i)c n o 0 s
得到max和min (主应力）
m m a in xx 2y(x 2y)2x 2y
下面还必须进一步判断最大sigma的方位： 团结 信赖 创造 挑战
具体规则如下：
当x> y 时, 绝对值较小的那个角度是最大
应力的平面。
团结 信赖 创造 挑战
二、最大切应力及方位
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo 22 ssxysi2n
"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
F y 0 0πplD 2sindplD
2lplD0 pD
y
2
团结 信赖 创造 挑战
§7-2 平面应力状态分析-解析法
y
y
yx xy x
x
y yx
x xy
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx
角标的意义；应力正负号的规定。
切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转团结为正信赖 创造 挑战
化简以上两个平衡方程最后得
x 2y x 2yco2 s xysin 2 x 2ysin 2xyco2 s
不难看出 9 0 xy
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数 团结 信赖 创造 挑战
二、最大正应力及方位
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo 22 ssxysi2n
1.最大正应力的方位
x2ysin2xyco2s
得到max和min
max( min
x 2
y)2x 2y
比较
ta2n0x2xyy 和
tan21
x y 2xy
可见
ta2n0
1
ta2n1
2120π 2, 10π 4
（2）正应力仍规定拉应力为正 （3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
团结 信赖 创造 挑战
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
e
dA
dAcos α
a dAsinf
3.任意斜截面上的应力
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
第七章应力和应变分析强度 理论
团结 信赖 创造 挑战
§7-1 应力状态概述
一、应力状态的概念
请看下面几段动画 1.低碳钢和铸铁的拉伸实验 2.低碳钢和铸铁的扭转实验
团结 信赖 创造 挑战
低碳钢和铸铁的拉伸
低碳钢
铸铁
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 团结 信赖 创造 挑战
低碳钢和铸铁的扭转
低碳钢
铸铁
为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？ 团结 信赖 创造 挑战
3.重要结论
（1）拉中有剪,剪中有拉;
（2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力;
（3）同一面上不同点的应力各不相同;
（4） 同一点不同方向面上的应力也是各不相同.
应力
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
4.一点的应力状态
2.平面应力状态
三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零
3.单向应力状态
三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2 团结 信赖 创造挑1 战
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
l/2
S平面 l/2
5 4 3 2
1
团结 信赖 创造 挑战
5
S平面
4
3 2
一、斜截面上的应力
1.截面法
假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
x
a
yx
x xy
f
e
x
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
团结 信赖 创造 挑战
e
x
a
y
yx x
xy
f
n
x
2.符号的确定
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正
1.最大切应力的方位
令 d d 2 [x 2y c2 o s xs y2 i] n 0
tan21
x y 2xy
11 90
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力
所在的平面,另一个是最小切应力所在的团平结面信. 赖 创造 挑战
2.最大切应力
将1和 1+90°代入公式
4.主平面 切应力为零的截面
5.主应力 主平面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面
均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按
代数值大小的顺序来排列, 即
123
团结 信赖 创造 挑战
三、应力状态的分类
1.空间应力状态
三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零
过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状
态, 亦指该点的应力全貌.
团结 信赖 创造 挑战
二、应力状态的研究方法
1. 单元体 2. 单元体特征
（1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布
（2）任意一对平行平面上的应力相等 2 3
3.主单元体
1
1
各侧面上切应力均为零的单元体
3
2
团结 信赖 创造 挑战
3
T Wt
团结 信赖 创造 挑战
例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
y
m
n
p
z
D
ml n
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F p πD2 4
′
D
p
薄壁圆筒的横截面面积
A π D F
A
p πD2 4
πD
pD
团4结信赖
n
创造
挑战
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
1
x1
1
x1 x2
2
x2
2
2
5 4 3 2
1
3
3
3
团结 信赖 创造 挑战
例题 2 画出如图所示梁危 险截面危险点的应力状态单 元体
y
S
1
4
2
z
3
x
FS
l
F
a
z2
T3
4 Mz
团结 信赖 创造 挑战
yy
FS
1
4
2
z
3
z2
4 Mz
x
T3
x
1 3
z
2
1
T Wt
x1
Mz Wz
2
T Wt
4FS 3A
x3
Mz Wz