2020高考文科数学解析几何大题专项练习
2020年高考数学文科(高考模拟试卷+模拟新题)分类汇编：H单元 解析几何
数 学H 单元 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6． , ,[2021·福建卷] 直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心 ,且与直线x ＋y ＋1＝0垂直 ,那么l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝06．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直 ,可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0 ,3) ,那么m ＝3 ,所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0 ,应选D.20．、、[2021·全国新课标卷Ⅰ] 点P (2 ,2) ,圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0 ,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点 ,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时 ,求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16 , 所以圆心为C (0 ,4) ,半径为4.设M (x ,y ) ,那么CM ＝(x ,y －4) ,MP ＝(2－x ,2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0 ,故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0 ,即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部 ,所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1 ,3)为圆心 ,2为半径的圆．由于|OP |＝|OM | ,故O 在线段PM 的垂直平分线上 ,又P 在圆N 上 ,从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3 ,所以直线l 的斜率为－13 ,故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝2 2 ,O 到直线l 的距离为4105,故|PM |＝4105 ,所以△POM 的面积为165.21．、、、[2021·重庆卷] 如图1-5 ,设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,点D 在椭圆上 ,DF 1⊥F 1F 2 ,|F 1F 2||DF 1|＝2 2 ,△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆 ,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点 ,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点 ?假设存在 ,求出圆的方程；假设不存在 ,请说明理由．21．解：(1)设F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,其中c 2＝a 2－b 2.由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22c .从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22 ,故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92 ,因此|DF 2|＝3 22,所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2 ,故a ＝ 2 ,b 2＝a 2－c 2＝1.因此 ,所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如下图 ,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交 ,P 1(x 1 ,y 1) ,P 2(x 2 ,y 2)是两个交点 ,y 1＞0 ,y 2＞0 ,F 1P 1 ,F 2P 2是圆C 的切线 ,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性 ,易知 ,x 2＝－x 1 ,y 1＝y 2.由(1)知F 1(－1 ,0) ,F 2(1 ,0) ,所以F 1P 1＝(x 1＋1 ,y 1) ,F 2P 2＝(－x 1－1 ,y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2 ,即3x 21＋4x 1＝0 ,解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时 ,P 1 ,P 2重合 ,题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时 ,过P 1 ,P 2分别与F 1P 1 ,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0 ,y 0) ,由CP 1⊥F 1P 1 ,得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13 ,故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝4 23.综上 ,存在满足题设条件的圆 ,其方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 6． , ,[2021·福建卷] 直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心 ,且与直线x ＋y ＋1＝0垂直 ,那么l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝06．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直 ,可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0 ,3) ,那么m ＝3 ,所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0 ,应选D.18．、、、[2021·江苏卷] 如图1-6所示 ,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆 ,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量 ,点A 位于点O 正北方向60 m 处 ,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸) ,tan ∠BCO ＝43. (1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时 ,圆形保护区的面积最|大 ?图1-618．解： 方法一：(1)如下图 , 以O 为坐标原点 , OC 所在直线为 x 轴 , 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170 ,0) ,直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ,b ) ,那么k BC ＝b －0a －170＝－43 , k AB ＝b －60a －0＝34 ,解得a ＝80, b ＝120 ,所以BC ＝ (170－80 )2＋ (0－120 )2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知 , 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170) ,即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切 , 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ,即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80r － (60－d )≥80即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d5－d ≥80 680 － 3d 5－ (60－d )≥80解得10≤d ≤35.故当d ＝10时 , r ＝680 － 3d 5最|大 , 即圆面积最|大 ,所以当OM ＝10 m 时 , 圆形保护区的面积最|大． 方法二：(1)如下图 , 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43,所以sin ∠FCO ＝45 , cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60 ,OC ＝170 ,所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803 , CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503 , 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ,所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003, 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ,连接 MD ,那么MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半径 ,并设MD ＝r m ,OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35 , 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80 r － (60－d )≥80即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d5－d ≥80 680－3d 5－ (60－d )≥80解得10≤d ≤35.故当d ＝10时 , r ＝680 － 3d 5最|大 ,即圆面积最|大 ,所以当OM ＝10 m 时 , 圆形保护区的面积最|大． 22．、、[2021·全国卷] 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,直线y ＝4与 y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点 ,假设AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ,N 两点 ,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上 ,求l 的方程．22．解：(1)设Q (x 0 ,4) ,代入y 2＝2px ,得x 0＝8p ,所以|PQ |＝8p ,|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p,解得p ＝－2(舍去)或p ＝2 ,所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直 ,故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ,得y 2－4my －4＝0.设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么y 1＋y 2＝4m ,y 1y 2＝－4. 故线段AB 的中点为D (2m 2＋1 ,2m ) , |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ,所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ,并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3 ,y 3) ,N (x 4 ,y 4) ,那么y 3＋y 4＝－4m,y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3 －2m, |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4 (m 2＋1 )2m 2＋1m 2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ,故A ,M ,B ,N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN | ,从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2 ,即 4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4 (m 2＋1 )2 (2m 2＋1 )m 4,化简得m 2－1＝0 ,解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.21．、、、[2021·重庆卷] 如图1-5 ,设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,点D 在椭圆上 ,DF 1⊥F 1F 2 ,|F 1F 2||DF 1|＝2 2 ,△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆 ,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点 ,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点 ?假设存在 ,求出圆的方程；假设不存在 ,请说明理由．21．解：(1)设F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22 ,故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92 ,因此|DF 2|＝3 22,所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2 ,故a ＝ 2 ,b 2＝a 2－c 2＝1.因此 ,所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如下图 ,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交 ,P 1(x 1 ,y 1) ,P 2(x 2 ,y 2)是两个交点 ,y 1＞0 ,y 2＞0 ,F 1P 1 ,F 2P 2是圆C 的切线 ,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性 ,易知 ,x 2＝－x 1 ,y 1＝y 2.由(1)知F 1(－1 ,0) ,F 2(1 ,0) ,所以F 1P 1＝(x 1＋1 ,y 1) ,F 2P 2＝(－x 1－1 ,y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2 ,即3x 21＋4x 1＝0 ,解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时 ,P 1 ,P 2重合 ,题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时 ,过P 1 ,P 2分别与F 1P 1 ,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0 ,y 0) ,由CP 1⊥F 1P 1 ,得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13 ,故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝4 23.综上 ,存在满足题设条件的圆 ,其方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329.H3 圆的方程 6． , ,[2021·福建卷] 直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心 ,且与直线x ＋y ＋1＝0垂直 ,那么l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝06．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直 ,可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0 ,3) ,那么m ＝3 ,所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0 ,应选D.17．[2021·湖北卷] 圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2 ,0) ,假设定点B (b ,0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ,都有|MB |＝λ|MA | ,那么(1)b ＝________； (2)λ＝________．17．(1)－12 (2)12[解析] 设点M (cos θ ,sin θ) ,那么由|MB |＝λ|MA |得(cos θ－b )2＋sin 2θ＝λ2[] (cos θ＋2 )2＋sin 2θ ,即－2b cos θ＋b 2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都成立 ,所以⎩⎨⎧－2b ＝4λ2b 2＋1＝5λ2.又由|MB |＝λ|MA | ,得λ>0 ,且b ≠－2 ,解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12 λ＝12.18．、、、[2021·江苏卷] 如图1-6所示 ,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆 ,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量 ,点A 位于点O 正北方向60 m 处 ,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸) ,tan ∠BCO＝43. (1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时 ,圆形保护区的面积最|大 ?图1-618．解： 方法一：(1)如下图 , 以O 为坐标原点 , OC 所在直线为 x 轴 , 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170 ,0) ,直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ,b ) ,那么k BC ＝b －0a －170＝－43 , k AB ＝b －60a －0＝34 ,解得a ＝80, b ＝120 ,所以BC ＝ (170－80 )2＋ (0－120 )2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知 , 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170) ,即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切 , 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ,即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80r － (60－d )≥80即⎩⎪⎨⎪5680 － 3d 5－ (60－d )≥80解得10≤d ≤35.故当d ＝10时 , r ＝680 － 3d 5最|大 , 即圆面积最|大 ,所以当OM ＝10 m 时 , 圆形保护区的面积最|大． 方法二：(1)如下图 , 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43,所以sin ∠FCO ＝45 , cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60 ,OC ＝170 ,所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803 , CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503 , 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ,所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003, 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ,连接 MD ,那么MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半径 ,并设MD ＝r m ,OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35 , 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80 r － (60－d )≥80即⎩⎪⎨⎪5680－3d 5－ (60－d )≥80解得10≤d ≤35.故当d ＝10时 , r ＝680 － 3d 5最|大 ,即圆面积最|大 ,所以当OM ＝10 m 时 , 圆形保护区的面积最|大． 20．、、[2021·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形 ,当该三角形面积最|小时 ,切点为P (如图1-5所示)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线l ：y ＝x ＋3交于A ,B 两点 ,假设△P AB 的面积为2 ,求C 的标准方程．20．解：(1)设切点坐标为(x 0 ,y 0)(x 0＞0 ,y 0＞0) ,那么切线斜率为－x 0y 0,切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0) ,即x 0x ＋y 0y ＝4 ,此时 ,两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x 0 0 ,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 4y 0 ,其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最|大值 ,即S 有最|小值 ,因此点P 的坐标为( 2 ,2)．(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ,点A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)．由点P 在C 上知2a 2＋2b2＝1 ,并由⎩⎨⎧x 2a 2＋y2b 2＝1 y ＝x ＋ 3得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0.又x 1,x 2是方程的根 ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43b 2x 1x 2＝6－2b2b 2.由y 1＝x 1＋ 3 ,y 2＝x 2＋ 3 ,得|AB |＝4 63|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b 4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB ＝12×32|AB |＝2 ,得|AB |＝4 63 ,即b 4－9b 2＋18＝0 ,解得b 2＝6或3 ,因此b 2＝6 ,a 2＝3(舍)或b 2＝3 ,a 2＝6 ,从而所求C 的方程为x 26＋y 23＝1.20．、、[2021·全国新课标卷Ⅰ] 点P (2 ,2) ,圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0 ,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点 ,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时 ,求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16 , 所以圆心为C (0 ,4) ,半径为4.设M (x ,y ) ,那么CM ＝(x ,y －4) ,MP ＝(2－x ,2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0 ,故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0 ,即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部 ,所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1 ,3)为圆心 ,2为半径的圆．由于|OP |＝|OM | ,故O 在线段PM 的垂直平分线上 ,又P 在圆N 上 ,从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3 ,所以直线l 的斜率为－13 ,故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝2 2 ,O 到直线l 的距离为4105 ,故|PM |＝4105 ,所以△POM 的面积为165.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 5．[2021·浙江卷] 圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4 ,那么实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－85．B [解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ,r 2＝2－a ,那么圆心(－1 ,1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ,得a ＝－4, 应选B.6．[2021·安徽卷] 过点P (－ 3 ,－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点 ,那么直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 π3 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π6 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π3 6．D [解析] 易知直线l 的斜率存在 ,所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3) ,即kx －y ＋3kl 圆x 2＋y 2＝1有公共点 ,所以圆心(0 ,0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k2≤1 ,即k 2－3k ≤0 ,解得0≤k ≤ 3 ,故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π3.7．[2021·北京卷] 圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ,0) ,B (m ,0)(m ＞0)．假设圆C上存在点P ,使得∠APB ＝90° ,那么m 的最|大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 7．B [解析] 由图可知 ,圆C 上存在点P 使∠APB ＝90° ,即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点 ,所以32＋42－1≤m ≤32＋42＋1 ,即4≤m ≤6.11． ,[2021·福建卷] 圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1 ,平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0 x －y ＋3≥0 y ≥0.假设圆心C ∈Ω ,且圆C 与x 轴相切 ,那么a 2＋b 2的最|大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4911．C [解析] 作出不等式组⎩⎨⎧x ＋y －7≤0x －y ＋3≥0 y ≥0表示的平面区域Ω(如下列图阴影局部所示 ,含边界) ,圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心坐标为(a ,b )C 与x 轴相切 ,得b ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0 y ＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝1 即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6 ,1) ,设此点为P .又点C ∈Ω ,那么当点C 与P 重合时 ,a 取得最|大值 , 所以 ,a 2＋b 2的最|大值为62＋12＝37 ,应选C.21．[2021·福建卷] 曲线Γ上的点到点F (0 ,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程．(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ,直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ,N .以MN 为直径作圆C ,过点A 作圆C 的切线 ,切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时 ,线段AB 的长度是否发生变化 ?证明你的结论．21．解：方法一：(1)设S (x ,y )为曲线Γ上任意一点．依题意 ,点S 到点F (0 ,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等 , 所以曲线Γ是以点F (0 ,1)为焦点 ,直线y ＝－1为准线的抛物线 , 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时 ,线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2.设P (x 0 ,y 0)(x 0≠0) ,那么y 0＝14x 20,由y ′＝12x ,得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0 ,所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0) ,即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎨⎧y ＝12x 0x －14x 20y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 0 0.由⎩⎨⎧y ＝12x 0x －14x 2y ＝3得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 0＋6x 03. 又N (0 ,3) ,所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 0＋3x 0 3 , 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0 , |AB |＝|AC |2－r 2 ＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时 ,线段AB 的长度不变． 方法二：(1)设S (x ,y )为曲线Γ上任意一点 ,那么|y －(－3)|－ (x －0 )2＋ (y －1 )2＝2.依题意 ,点S (x ,y )只能在直线y ＝－3的上方 ,所以y ＞－3 , 所以 (x －0 )2＋ (y －1 )2＝y ＋1 , 化简得 ,曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)同方法一． 6．[2021·湖南卷] 假设圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切 ,那么m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－116．C [解析] 依题意可得C 1(0 ,0) ,C 2(3 ,4) ,那么|C 1C 2|＝33＋42r 1＝1 ,r 2＝25－m ,由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5 ,解得m ＝9.9．[2021·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中 ,直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．9.25 55 [解析] 由题意可得 ,圆心为(2 ,－1) ,r ＝2 ,圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝35 5 ,所以弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555 . 18．、、、[2021·江苏卷] 如图1-6所示 ,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆 ,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量 ,点A 位于点O 正北方向60 m 处 ,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸) ,tan ∠BCO ＝43. (1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时 ,圆形保护区的面积最|大 ?图1-618．解： 方法一：(1)如下图 , 以O 为坐标原点 , OC 所在直线为 x 轴 , 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170 ,0) ,直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ,b ) ,那么k BC ＝b －0a －170＝－43 , k AB ＝b －60a －0＝34 ,解得a ＝80, b ＝120 ,所以BC ＝ (170－80 )2＋ (0－120 )2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知 , 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170) ,即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切 , 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ,即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80r － (60－d )≥80即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d5－d ≥80 680 － 3d5－ (60－d )≥80解得10≤d ≤35.故当d ＝10时 , r ＝680 － 3d5最|大 , 即圆面积最|大 ,所以当OM ＝10 m 时 , 圆形保护区的面积最|大． 方法二：(1)如下图 , 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43,所以sin ∠FCO ＝45 , cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60 ,OC ＝170 ,所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803 , CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503, 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ,所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003, 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ,连接 MD ,那么MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半径 ,并设MD ＝r m ,OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35 , 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80 r － (60－d )≥80即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d 5－d ≥80 680－3d 5－ (60－d )≥80解得10≤d ≤35.故当d ＝10时 , r ＝680 － 3d 5最|大 ,即圆面积最|大 ,所以当OM ＝10 m 时 , 圆形保护区的面积最|大． 16．、[2021·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．假设l 1与l 2的交点为(1 ,3) ,那么l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43 [解析] 如下图 ,根据题意知 ,OA ⊥P A ,OA ＝2 ,OP ＝10 ,所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2 ,所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12 ,故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43 ,即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.12．[2021·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0 ,1) ,假设在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ,使得∠OMN ＝45° ,那么x 0的取值范围是( )A. [－1 ,1]B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1212C. [－ 2 ,2] D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22 22 12．A [解析] 点M (x 0 ,1)在直线y ＝1上 ,而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N (0 ,1) ,如图 ,那么只需∠OMN ≥45°即可 ,此时有tan ∠OMN ＝|ON ||MN |≥tan 45° ,得0<|MN |≤|ON |＝1 ,即0<|x 0|≤1 ,当M 位于点(0 ,1)时 ,显然在圆上存在点N 满足要求 ,综上可知－1≤x 0≤1.20．、、[2021·全国新课标卷Ⅰ] 点P (2 ,2) ,圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0 ,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点 ,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时 ,求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16 , 所以圆心为C (0 ,4) ,半径为4.设M (x ,y ) ,那么CM ＝(x ,y －4) ,MP ＝(2－x ,2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0 ,故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0 ,即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部 ,所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1 ,3)为圆心 ,2为半径的圆．由于|OP |＝|OM | ,故O 在线段PM 的垂直平分线上 ,又P 在圆N 上 ,从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3 ,所以直线l 的斜率为－13 ,故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝2 2 ,O 到直线l 的距离为4105 ,故|PM |＝4105 ,所以△POM 的面积为165.14．[2021·山东卷] 圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切 ,圆C 截x 轴所得弦的长为2 3 ,那么圆C 的标准方程为________．14．(x －2)2＋(y －1)2＝4 [解析] 因为圆心在直线x －2y ＝0上 ,所以可设圆心坐标为(2b ,b )．又圆C 与y 轴的正半轴相切 ,所以b >0 ,圆的半径是2b .由勾股定理可得b 2＋(3)2＝4b 2 ,解得bb >0 ,所以b ＝1 ,所以圆C 的圆心坐标为(2 ,1) ,半径是2 ,所以圆C 的标准方程是(x－2)2＋(y －1)2＝4.14．[2021·重庆卷] 直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ,B 两点 ,且AC ⊥BC ,那么实数a 的值为________．14．0或6 [解析] ∵圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9 ,∴圆心为C (－1 ,2) ,半径为 3.∵AC ⊥BC ,∴|AB |＝3 2.∵圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋a |2＝|a －3|2,∴|AB |＝2r 2－d 2＝29－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －3|22＝3 2 ,即(a －3)2＝9 ,∴a ＝0或a ＝6. 9．、[2021·四川卷] 设m ∈R ,过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ,y ) ,那么|P A |＋|PB |的取值范围是( )A ．[ 5 ,2 5 ]B ．[10 ,2 5 ]C ．[10 ,4 5 ]D ．[2 5 ,4 5 ]9．B [解析] 由题意可知 ,定点A (0 ,0) ,B (1 ,3) ,且两条直线互相垂直 , 那么其交点P (x ,y )落在以AB 为直径的圆周上 ,所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10 ,即|P A |＋|PB |≥|AB |＝10. 又|P A |＋|PB |＝ (|P A |＋|PB | )2＝ |P A |2＋2|P A ||PB |＋|PB |2≤ 2 (|P A |2＋|PB |2 )＝2 5 ,所以|P A |＋|PB |∈[10 ,2 5] ,应选B.21．、、、[2021·重庆卷] 如图1-5 ,设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,点D 在椭圆上 ,DF 1⊥F 1F 2 ,|F 1F 2||DF 1|＝2 2 ,△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆 ,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点 ,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点 ?假设存在 ,求出圆的方程；假设不存在 ,请说明理由．21．解：(1)设F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22 ,故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92 ,因此|DF 2|＝3 22,所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2 ,故a ＝ 2 ,b 2＝a 2－c 2＝1.因此 ,所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如下图 ,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交 ,P 1(x 1 ,y 1) ,P 2(x 2 ,y 2)是两个交点 ,y 1＞0 ,y 2＞0 ,F 1P 1 ,F 2P 2是圆C 的切线 ,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性 ,易知 ,x 2＝－x 1 ,y 1＝y 2.由(1)知F 1(－1 ,0) ,F 2(1 ,0) ,所以F 1P 1＝(x 1＋1 ,y 1) ,F 2P 2＝(－x 1－1 ,y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2 ,即3x 21＋4x 1＝0 ,解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时 ,P 1 ,P 2重合 ,题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时 ,过P 1 ,P 2分别与F 1P 1 ,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0 ,y 0) ,由CP 1⊥F 1P 1 ,得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13 ,故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝4 23.综上 ,存在满足题设条件的圆 ,其方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329.H5 椭圆及其几何性质21．、、、[2021·重庆卷] 如图1-5 ,设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,点D 在椭圆上 ,DF 1⊥F 1F 2 ,|F 1F 2||DF 1|＝2 2 ,△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆 ,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点 ,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点 ?假设存在 ,求出圆的方程；假设不存在 ,请说明理由．21．解：(1)设F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22 ,故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92 ,因此|DF 2|＝3 22,所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2 ,故a ＝ 2 ,b 2＝a 2－c 2＝1.因此 ,所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如下图 ,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交 ,P 1(x 1 ,y 1) ,P 2(x 2 ,y 2)是两个交点 ,y 1＞0 ,y 2＞0 ,F 1P 1 ,F 2P 2是圆C 的切线 ,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性 ,易知 ,x 2＝－x 1 ,y 1＝y 2.由(1)知F 1(－1 ,0) ,F 2(1 ,0) ,所以F 1P 1＝(x 1＋1 ,y 1) ,F 2P 2＝(－x 1－1 ,y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2 ,即3x 21＋4x 1＝0 ,解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时 ,P 1 ,P 2重合 ,题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时 ,过P 1 ,P 2分别与F 1P 1 ,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0 ,y 0) ,由CP 1⊥F 1P 1 ,得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13 ,故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝4 23.综上 ,存在满足题设条件的圆 ,其方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329.20．、[2021·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3 ,其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0 ,1]时 ,求f (x )取得最|大值和最|小值时的x 的值． 20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞ ,＋∞) , f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0 ,得x 1＝－1－4＋3a3 ,x 2＝－1＋4＋3a 3,且x 1<x 2 ,所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时 ,f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时 ,f ′(x )>0.故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋4＋3a 3 ＋∞内单调递减 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1－4＋3a 3 －1＋4＋3a 3内单调递增． (2)因为a >0 ,所以x 1<0 ,x 2>0 ,①当a ≥4时 ,x 2≥1 ,由(1)知 ,f (x )在[0 ,1]上单调递增 ,所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最|小值和最|大值．②当0<a <4时 ,x 2<1 ,由(1)知 ,f (x )在[0 ,x 2]上单调递增 ,在[x 2 ,1]上单调递减 ,因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最|大值．又f (0)＝1 ,f (1)＝a ,所以当0<a <1时 ,f (x )在x ＝1处取得最|小值；当a ＝1时 ,f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最|小值； 当1<a <4时 ,f (x )在x ＝0处取得最|小值． 19．[2021·北京卷] 椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点 ,假设点A 在直线y ＝2上 ,点B 在椭圆C 上 ,且OA ⊥OB ,求线段AB 长度的最|小值．19．解：(1)由题意 ,椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4 ,b 2＝2 ,从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2 ,c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ,B 的坐标分别为(t ,2) ,(x 0 ,y 0) , 其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA →·OB →＝0 , 即tx 0＋2y 0＝0 ,解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4 ,所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4 ＝x 20＋4－x 202＋2 (4－x 20 )x 20＋4 ＝x 202＋8x 20＋4 (0＜x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4) ,当x 20＝4时等号成立 ,所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最|小值为2 2.20．、[2021·广东卷] 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为( 5 ,0) ,离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设动点P (x 0 ,y 0)为椭圆C 外一点 ,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直 ,求点P 的轨迹方程．20．、、[2021·湖南卷] 如图1-5所示 ,O 为坐标原点 ,双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0 ,b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233 1 ,且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1 ,C 2的方程．(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点 ,与C 2只有一个公共点 ,且|OA →＋OB →|＝|AB | ?证明你的结论.20．解： (1)设C 2的焦距为2c 2 ,由题意知 ,2c 2＝2 ,2a 1＝2 ,从而a 1＝1 ,c 2P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233 1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上 ,所以⎝⎛⎭⎫2332－1b 21＝1 ,故b 21＝3. 由椭圆的定义知 2a 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋ (1－1 )2＋⎝⎛⎭⎫2332＋ (1＋1 )2＝2 3. 于是a 2＝ 3 ,b 22＝a 22－c 22C 1 ,C 2的方程分别为x 2－y 23＝1 ,y 23＋x 22＝1. (2)不存在符合题设条件的直线．(i)假设直线l 垂直于x 轴 ,因为l 与C 2只有一个公共点 ,所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时 ,易知A ( 2 ,3) ,B ( 2 ,－3) ,所以 |OA →＋OB →|＝2 2 ,|AB →|＝2 3.此时 ,|OA →＋OB →|≠|AB →|.当 x ＝－2时 ,同理可知 ,|OA →＋OB →|≠|AB →|.(ii)假设直线l 不垂直于x 轴 ,设l 的方程为y ＝kx ＋m , 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ,B 两点时 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么x 1 ,x 2是上述方程的两个实根 ,从而x 1＋x 2＝2km3－k 2 ,x 1x 2＝m 2＋3k 2－3.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋my 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点 ,所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简 ,得2k 2＝m 2OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0 ,于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB → ,即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2. 故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合(i) ,(ii)可知 ,不存在符合题设条件的直线．17．、[2021·江苏卷] 如图1-5所示 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,F 1 ,F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点 ,顶点B 的坐标为(0 ,b ) ,连接BF 2并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连接F 1C .(1)假设点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43 13 ,且BF 2＝2 ,求椭圆的方程；(2)假设F 1C ⊥AB ,求椭圆离心率e 的值．图1-517．解： 设椭圆的焦距为2c, 那么 F 1(－c, 0), F 2(c, 0)． (1)因为B (0, b ), 所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝ 2 , 故a ＝ 2. 因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4313在椭圆上 ,所以169a 2＋19b 2＝1 ,解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0, b ), F 2(c, 0)在直线 AB 上 ,所以直线 AB 的方程为 x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋y b＝1 x 2a 2＋y 2b 2＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0y 2＝b 所以点 A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 2ca 2＋c 2b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴 , 由椭圆的对称性 ,可得点 C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 2ca 2＋c 2b (a 2－c 2)a 2＋c 2.因为直线 F 1C 的斜率为b (a 2－c 2 )a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－ (－c )＝b (a 2－c 2 )3a 2c ＋c 3,直线AB 的斜率为－bc ,且F 1C ⊥AB ,所以b (a 2－c 2 )3a 2c ＋c3·⎝⎛⎭⎫－b c b 2＝a 2－c 2 ,整理得a 2＝5c 2 ,故e 2＝15 , 因此e ＝55. 14．[2021·江西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1 ,F 2 ,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点 ,F 1B 与y 轴相交于点D .假设AD ⊥F 1B ,那么椭圆C 的离心率等于________．14.33 [解析] 由题意A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b 2a ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c －b 2a ,F 1(－c ,0) ,那么直线F 1B 的方程为y －0＝－b 2a 2c (x＋c )．令x ＝0 ,得y ＝－b 22a ,即D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 －b 22a ,那么向量DA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 3b 22a ,F 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c －b 2a .因为AD ⊥F 1B ,所以DA →·F 1B →＝2c 2－3b 42a2＝0 ,即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2) ,整理得(3e －1)(e ＋3)＝0 ,所以e ＝33(e >0)．故椭圆C 的离心率为33.20．、、[2021·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形 ,当该三角形面积最|小时 ,切点为P (如图1-5所示)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线l ：y ＝x ＋3交于A ,B 两点 ,假设△P AB 的面积为2 ,求C 的标准方程．20．解：(1)设切点坐标为(x 0 ,y 0)(x 0＞0 ,y 0＞0) ,那么切线斜率为－x 0y 0,切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0) ,即x 0x ＋y 0y ＝4 ,此时 ,两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x 0 0 ,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 4y 0 ,其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最|大值 ,即S 有最|小值 ,因此点P 的坐标为( 2 ,2)．(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ,点A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)．由点P 在C 上知2a 2＋2b2＝1 ,并由⎩⎨⎧x 2a 2＋y2b 2＝1 y ＝x ＋ 3得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0.又x 1,x 2是方程的根 ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43b 2x 1x 2＝6－2b 2b2.由y 1＝x 1＋ 3 ,y 2＝x 2＋ 3 ,得|AB |＝4 63|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b 4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB ＝12×32|AB |＝2 ,得|AB |＝4 63 ,即b 4－9b 2＋18＝0 ,解得b 2＝6或3 ,因此b 2＝6 ,a 2＝3(舍)或b 2＝3 ,a 2＝6 ,从而所求C 的方程为x 26＋y 23＝1.9．[2021·全国卷] 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1 ,F 2 ,离心率为33 ,过F 2的直线l 交C 于A ,B 两点．假设△AF 1B 的周长为4 3 ,那么C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 9．A [解析] 根据题意 ,因为△AF 1B 的周长为4 3 ,所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝4 3 ,所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33 ,所以c ＝1 ,b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2 ,所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.20．[2021·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1 ,F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点 ,M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)假设直线MN 的斜率为34,求C 的离心率；(2)假设直线MN 在y 轴上的截距为2 ,且|MN |＝5|F 1N | ,求a ,b .20．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b 2a ,2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac , 解得c a ＝12 ,ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意知 ,原点O 为F 1F 2的中点 ,MF 2∥y 轴 ,所以直线MF 1与y 轴的交点D (0 ,2)是线段MF 1的中点 ,故b 2a＝4 ,即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1 ,y 1) ,由题意知y 1<0 ,那么 ⎩⎪⎨⎪⎧2 (－c －x 1 )＝c －2y 1＝2 即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c y 1＝－1. 代入C 的方程 ,得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9 (a 2－4a )4a 2＋14a＝1 , 解得a ＝7 ,b 2＝4a ＝28 ,故a ＝7 ,b ＝27.21． , ,[2021·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中 ,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32 ,直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程．(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ,B 两点(A ,B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上 ,且AD ⊥AB ,直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ,N 两点．(i)设直线BD ,AM 的斜率分别为k 1 ,k 2 ,证明存在常数λ使得k 1＝λk 2 ,并求出λ的值； (ii)求△OMN 面积的最|大值．21．解：(1)由题意知 ,a 2－b 2a ＝32 ,可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5. 因此2×25a 5＝4105,即a ＝2 ,所以b ＝1 ,所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)(i)设A (x 1 ,y 1)(x 1y 1≠0) ,D (x 2 ,y 2) ,那么B (－x 1 ,－y 1)． 因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1 ,且AB ⊥AD ,所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m , 由题意知k ≠0 ,m ≠0.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1 消去y ,得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0 ,所以x 1＋x 2＝－8mk1＋4k 2 ,因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2 , 所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0 ,得x ＝3x 1 ,即M (3x 1 ,0)． 可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2 ,即λ＝－12.因此 ,存在常数λ＝－12使得结论成立．(ii)直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1) ,令x ＝0 ,得y ＝－34y 1 ,即N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 －34y 1.由(i)知M (3x 1 ,0) ,所以△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1 ,当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时 ,等号成立 , 此时S 取得最|大值98,。
2020高考文科数学二轮分层特训卷：主观题专练解析几何(10)含解析
所以椭圆G的方程为 ＋y2＝1.
(2)显然、直线l与y轴不平行、可设其方程为y＝k(x－t)．
由于直线l与圆O相切、
则圆心O到l的距离d＝ ＝1、
即k2t2＝k2＋1、①
联立 化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0.
设A(x1、y1)、B(x2、y2)、则x1＋x2＝ .
设P(x、y)、由(1)知C(－1,2)、
|MC|＝ .
因为|PM|＝|PO|、
所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2、
化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.
2．[20xx·贵州省适应性考试]已知椭圆G： ＋ ＝1(a>b>0)在y轴上的一个顶点为M、两个焦点分别是F1、F2、∠F1MF2＝120°、△MF1F2的面积为 .
(1)求椭圆C的方程．
(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点、试判断|PM|·|PN|是否为定值？若是定值、求出该定值；若不是定值、请说明理由．
解析：(1)由椭圆的离心率为 知、b＝c、a＝ b、则椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
易得A( 、0)、则由题意知点( 、 )在椭圆C上、所以 ＋ ＝1、
解得 所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时、不妨设切线方程为x＝ 、由(1)知、M( 、 )、N( 、－ )、 ＝( 、 )、 ＝( 、－ )、 · ＝0、所以OM⊥ON.
当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时、可设切线方程为y＝kx＋m、
M(x1、y1)、N(x2、y2)、
当直线l的斜率存在时、设其方程为y＝k(x＋2)、即kx－y＋2k＝0、
则圆心C到直线l的距离d＝ ＝1、
2020版江苏省高考文科数学三轮复习 解析几何、立体几何精选试题(6页)
小题专题练(四)解析几何、立体几何(建议用时：50分钟)1．抛物线y2＝4x的准线方程为________．2．已知双曲线x2a2－y23＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝________.3．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．4．(2019·连云港调研)已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2P A→＝PB→，则直线l的斜率k＝________．5．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD 的长为________．6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．7．(2019·徐州调研)在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，则此三棱柱ABC-A1B1C1的体积为________．8.已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝855，则抛物线C2的方程为____________．9．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(填上所有正确说法的序号)①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ；②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB ；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD .10．已知O 为坐标原点，过双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)上的点P (1，0)作两条渐近线的平行线，分别交两渐近线于A ，B 两点，若平行四边形OBP A 的面积为1，则双曲线的离心率为________．11．(2019·盐城模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)、B (m ，0)(m >0)，若圆上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最小值为________．12．已知半径为1的球O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．13．(2019·宿迁质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．14.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)，圆O ：x 2＋y 2＝a 2＋4，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于M ，N 两点，若|PF 1|·|PF 2|＝6，则|PM |·|PN |的值为________．小题专题练(四)1．解析：易知抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－p 2＝－1.答案：x ＝－12．解析：因为c 2＝a 2＋3，所以e ＝c a ＝a 2＋3a2＝2，得a 2＝1，所以a ＝1. 答案：1 3．解析：设该六棱锥的高是h .根据体积公式得，V ＝13×12×2×3×6×h＝23，解得h ＝1，则侧面三角形的高为1＋（3）2＝2，所以侧面积S ＝12×2×2×6＝12.答案：124．解析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|P A |＋|AC |＝3 5.过圆心C (3，5)作y 轴的垂线，垂足为C 1，则|CC 1|＝3，|PC 1|＝（35）2－32＝6.记直线l 的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝|PC 1||CC 1|＝2，即k ＝±2. 答案：±25．解析：因为60°的二面角的棱上有A ，B 两点，AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，所以CD→＝CA →＋AB →＋BD →，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， 因为AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，所以|AB→|＝4，|AC →|＝6，|BD →|＝8， 所以CD→2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·BD → ＝36＋16＋64＋2×6×8×cos 120°＝68，所以CD 的长为217.答案：2176．解析：圆C 1关于x 轴对称的圆C ′1的圆心为C ′1(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3，4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C ′1和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为（3－2）2＋（4＋3）2－1－3＝52－4.答案：52－47.解析：补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A 1到平面BCC 1B 1的距离为d ，则d ＝2.则V 三棱柱＝12V 四棱柱＝12S 四边形BCC 1B 1·d ＝12×4×2＝4.答案：48．解析：由题意，知圆C 1与抛物线C 2的其中一个交点为原点，不妨记为B ，设A (m ，n )．因为|AB |＝855，所以⎩⎨⎧m 2＋n 2＝855，m 2＋（n －2）2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝85，n ＝165，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165.将点A 的坐标代入抛物线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ×85，所以p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案：y 2＝325x9.解析：如图，设Q ，P 分别为CE ，DE 的中点，可得四边形MNQP 是矩形，所以①②正确；不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN 与AB 是异面直线，不可能MN ∥AB ，所以③错；当平面ADE ⊥平面ABCD 时，可得EC ⊥平面ADE ，故EC ⊥AD ，④正确．故填①②④.答案：①②④10．解析：依题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则过点P 且与渐近线平行的直线方程为y ＝±b (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bx y ＝－b （x －1）得|y |＝b 2，所以平行四边形OBP A 的面积S ▱OBP A ＝2S △OBP ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×|y |＝b 2＝1，所以b ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋221＝ 5.答案： 511．解析：显然AB ＝2m ，因为∠APB ＝90°，所以OP ＝12AB ＝m ，所以要求m 的最小值即求圆C 上点P 到原点O 的最小距离，因为OC ＝5，所以OP min ＝OC －r ＝4，即m 的最小值为4.答案：412.解析：如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的侧面积为S ＝2πr ×21－r 2＝4πr 1－r 2≤4π×r 2＋（1－r 2）2＝2π(当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取等号)．所以当r ＝22时，V 球V 圆柱＝4π3×13π⎝ ⎛⎭⎪⎫222×2＝423. 答案：42313．解析：6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称．不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1＝F 1F 2＝2c 时，PF 2＝2a －PF 1＝2a －2c ，即2c ＞2a －2c ，解得e ＝c a >12，又因为e ＜1，所以 12<e <1；当PF 2＝F 1F 2＝2c 时，PF 1＝2a －PF 2＝2a －2c ，即2a－2c ＞2c 且2c ＞a －c ，解得13<e <12，综上可得13<e <12或12<e <1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 14．解析：由已知|PM |·|PN |＝(R －|OP |)(R ＋|OP |)＝R 2－|OP |2＝a 2＋4－|OP |2，|OP |2＝|OP →|2＝14(PF 1→＋PF 2→)2＝14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12(|PF 1→|2＋|PF 2→|2)－14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2－2|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12[(2a )2－2|PF 1||PF 2|]－14×(2c )2＝a 2－2，所以|PM |·|PN |＝(a 2＋4)－(a 2－2)＝6.答案：6。
2020年高考试题：解析几何
(x 3)2 y2 9 圆心 (3,0) ，半径 3 。
过圆内一点的直线截得弦长最小值：与圆内该点与圆心连线垂直的直线截得弦长。
如下图所示：
根据两点之间的距离公式得到： PC (3 1)2 (0 2)2 22 22 8 ；
根据勾股定理得到： PA2 AC 2 PC 2 9 8 1 PA 1 ；
(1 m2 )x2 6m2 x (9m2 9) 0 。直线 PB 与椭圆 E 交于 B ， D 两点。
根据韦达定理得到： xB
xD
6m2 1 m2
， xB
3
3
xD
6m2 1 m2
xD
6m2 1 m2
3
6m2 3(1 m2 ) 1 m2
6m2 3 3m2 1 m2
3m2 3
。
9 m2
AG GB 8 a a 1 (1) 8 a2 y2 1 。 a 3 A(3,0) ， B(3,0) 。 9
（2） P 为直线 x 6 上的动点 假设：点 P 的坐标为 (6, m) 。
P(6, m)
，
A(3,0)
)
，
D(
3m2 3 1 m2
,
2m 1 m2
)
kCD
6m 2m 9 m2 1 m2 27 3m2 3m2 3
6m(1 m2 ) 2m(9 m2 ) (27 3m2 )(1 m2 ) (3m2 3)(9 m2 )
9 m2 1 m2
6m 6m3 18m 2m3
8m3 24m
（1）求 E 的方程；
（2）证明：直线 CD 过定点。
本题解析：（1） A ， B 分别为椭圆 E ： x2 y2 1的左右顶点 A(a,0) ， B(a,0) ； a2
2020高考文科数学二轮分层特训卷：客观题专练解析几何(13)含解析
A．1 B．13
C．17 D．1或13
答案：B
解析：由题意，双曲线 － ＝1(a>0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得 ＝ ，解得a＝3，所以c＝ ＝5.又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13，故选B.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[20xx·江西五市八校联考]椭圆C： ＋ ＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的周长为________．
答案：20
解析：△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.
在椭圆 ＋ ＝1中，a2＝25，a＝5，∴△F1AB的周长为4a＝20.
14．[20xx·江苏扬州期末]已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．
答案：
解析：双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± x，
所以 ＝ ，离心率e＝ ＝ ＝ ＝ .
8．[20xx·××市重点高中毕业班摸底考试]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝± x，则该双曲线的标准方程是( )
A. － ＝1 B. － ＝1
C．x2－ ＝1 D. － ＝1
答案：C
解析：解法一 当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是 － ＝1(a＞0，b＞0)，由题意得 解得 所以该双曲线的标准方程为x2－ ＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是 － ＝1(a＞0，b＞0)，由题意得 无解．故该双曲线的标准方程为x2－ ＝1，选C.
2020高考文科数学二轮分层特训卷：客观题专练解析几何(12)含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
一、选择题(本题共12小题、每小题5分、共60分．在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的)
1．[20xx·贵州遵义期中]已知直线l： x＋y＋2 017＝0、则直线l的倾斜角为( )
5．[2019·广东江门一模]“a＝2”是“直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行的充要条件为 即a＝2或a＝－3.又“a＝2”是“a＝2或a＝－3”的充分不必要条件、所以“a＝2”是“直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的充分不必要条件、故选A.
14．与直线x－y－4＝0和圆A：x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：如图、易知所求圆C的圆心在直线y＝－x上、故设其坐标为C(c、－c)、半径为r、又其直径为圆A的圆心A(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离减去圆A的半径 、即2r＝ － ＝2 ⇒r＝ 、
C．a＜－1或a＞1 D．a＝±1
答案：A
解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部、所以点(1,1)到圆心(a、－a)的距离小于2、即 ＜2、两边平方得(1－a)2＋(a＋1)2＜4、化简得a2<1、解得－1＜a＜1、故选A.
8．直线l过点(2,2)、且点(5,1)到直线l的距离为 、则直线l的方程是( )
2020届高考解析几何(2)汇编专题数学(文)试题Word版含解析
专题12 解析几何（2）解析几何大题：10年10考，每年1题．命题的特点：2011-2015年和2019年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018年的载体连续3年都是抛物线，2010年的载体是椭圆．1．（2019年）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．2．（2018年）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．3．（2017年）设A，B为曲线C：y＝24x上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．4．（2016年）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（1）求OH ON；（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．5．（2015年）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围； （2）若OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |．6．（2014年）已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．7．（2013年）已知圆M ：（x +1）2+y 2＝1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．8．（2012年）设抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．9．（2011年）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．10．（2010年）设F1，F2分别是椭圆E：x2+22yb＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求|AB|；（2）若直线l的斜率为1，求b的值．专题12 解析几何（2）详细解析解析几何大题：10年10考，每年1题．命题的特点：2011-2015年和2019年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018年的载体连续3年都是抛物线，2010年的载体是椭圆．1．（2019年）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．【解析】（1）∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上，∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d，又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，d2+（12|AB|）2＝R2，即224R+=①又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②由①②解得R2a=⎧⎨=⎩或4R6a=⎧⎨=⎩，∴⊙M的半径为2或6；（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，∴y2＝4x，∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．2．（2018年）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解析】（1）当l与x轴垂直时，x＝2，代入抛物线解得y＝±2，∴M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y＝12x+1，或：y＝﹣12x﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得222y xx ty⎧=⎨=+⎩，消x得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有k BN+k BM＝112y x++222yx+＝()()()222112121222222y yy y y yx x⎛⎫⨯+⨯++⎪⎝⎭++＝()()()1212122222y yy yx x⎛⎫++⎪⎝⎭++＝0，∴直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．3．（2017年）设A，B为曲线C：y＝24x上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解析】（1）设A（x1，214x），B（x2，224x）为曲线C：y＝24x上两点，则直线AB的斜率为k＝22121244x xx x--＝14（x1+x2）＝14×4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y＝24x，可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，再由y＝24x的导数为y′＝12x，设M（m，24m），可得M处切线的斜率为12m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得12m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM＝﹣1，即为221212114422x xx x--⋅--＝﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t ＝7．则直线AB 的方程为y ＝x +7．4．（2016年）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t （t ≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OHON ；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．【解析】（1）将直线l 与抛物线方程联立，解得P （22t p，t ）， ∵M 关于点P 的对称点为N ， ∴2x x N M +＝22t p ，2y y N M +＝t ， ∴N （2t p，t ）， ∴ON 的方程为y ＝p tx ， 与抛物线方程联立，解得H （22t p，2t ） ∴OHON ＝y y HN ＝2；（2）由（1）知k MH ＝2p t， ∴直线MH 的方程为y ＝2p t x +t ，与抛物线方程联立，消去x 可得y 2﹣4ty +4t 2＝0， ∴△＝16t 2﹣4×4t 2＝0，∴直线MH 与C 除点H 外没有其它公共点．5．（2015年）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围； （2）若OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |．【解析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程为y ＝kx +1，即kx ﹣y +1＝0．由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R ＝1．1，kA （0，1）的直线与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1相交于M ，N 两点． （2）设M （x 1，y 1）；N （x 2，y 2），由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y ＝kx +1，代入圆C 的方程（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1， 可得 （1+k 2）x 2﹣4（k +1）x +7＝0， ∴x 1+x 2＝()2411k k ++，x 1•x 2＝271k +， ∴y 1•y 2＝（kx 1+1）（kx 2+1）＝k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＝271k +•k 2+k •()2411k k +++1＝2212411k k k +++， 由OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝x 1•x 2+y 1•y 2＝2212481k k k+++＝12，解得 k ＝1， 故直线l 的方程为 y ＝x +1，即 x ﹣y +1＝0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN |＝2．6．（2014年）已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【解析】（1）由圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，得x 2+（y ﹣4）2＝16，∴圆C 的圆心坐标为（0，4），半径为4． 设M （x ，y ），则()C ,4x y M =-u u u u r ，()2,2x y MP =--u u u r ．由题意可得：C 0M ⋅MP =u u u u r u u u r ．即x （2﹣x ）+（y ﹣4）（2﹣y ）＝0．整理得：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2．∴M 的轨迹方程是（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2．（2）由（1）知M 的轨迹是以点N （1，3由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ．∵k ON ＝3，∴直线l 的斜率为﹣13． ∴直线PM 的方程为()1223y x -=--，即x +3y ﹣8＝0． 则O 到直线l= 又N 到l5= ∴|PM |＝5=．∴1162555S ∆POM =⨯=． 7．（2013年）已知圆M ：（x +1）2+y 2＝1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．【解析】（1）由圆M ：（x +1）2+y 2＝1，可知圆心M （﹣1，0）；圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心N （1，0），半径3．设动圆的半径为R ，∵动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，∴|PM |+|PN |＝R +1+（3﹣R ）＝4，而|NM |＝2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝3． ∴曲线C 的方程为22143x y +=（x ≠﹣2）．（2）设曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM |﹣|PN |＝2R ﹣2≤3﹣1＝2，所以R ≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0），R ＝2时，其半径最大，其方程为（x ﹣2）2+y 2＝4．①l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R ，可知l 与x 轴不平行，设l 与x 轴的交点为Q ，则1Q R Q r P =M ，可得Q （﹣4，0），所以可设l ：y ＝k （x +4）， 由l 于M1=，解得4k =±．当4k =时，联立224143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得到7x 2+8x ﹣8＝0． ∴1287x x +=-，1287x x =-． ∴|AB |21x -187=，由于对称性可知：当k =|AB |＝187． 综上可知：|AB |＝187． 8．（2012年）设抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD ＝90°，△ABD的面积为，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．【解析】（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD |＝2p点A 到准线l的距离F F d =A =B =，∵△ABD 的面积S △ABD＝∴11D 222d p ⨯B ⨯=⨯= 解得p ＝2，所以F 坐标为（0，1）， ∴圆F 的方程为x 2+（y ﹣1）2＝8．（2）由题设200,2x x p ⎛⎫A ⎪⎝⎭（00x >），则F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵A ，B ，F 三点在同一直线m 上，又AB 为圆F 的直径，故A ，B 关于点F 对称．由点A ，B 关于点F 对称得：200,2x x p p ⎛⎫B -- ⎪⎝⎭2022x p p p ⇒-=-2203x p ⇒=，得：3,2p ⎫A ⎪⎭，直线m：32p p p y x -=+02x ⇒+=， 22x py =22x y p ⇒=3x y p '⇒==x ⇒=⇒切点,36p ⎛⎫P ⎪ ⎪⎝⎭， 直线n：6p y x -=⎝⎭06x p ⇒-=， 坐标原点到m ，n3=． 9．（2011年）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2﹣6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线x ﹣y +a ＝0交与A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．【解析】（1）法一：曲线y ＝x 2﹣6x +1与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（，0），（3﹣，0）．可知圆心在直线x ＝3上，故可设该圆的圆心C 为（3，t ），则有32+（t ﹣1）2＝（）2+t 2，解得t ＝1，故圆C3=，所以圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝9． 法二：圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0， x ＝0，y ＝1有1+E +F ＝0，y ＝0，x 2 ﹣6x +1＝0与x 2+Dx +F ＝0是同一方程，故有D ＝﹣6，F ＝1，E ＝﹣2，即圆方程为x 2+y 2﹣6x ﹣2y +1＝0．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其坐标满足方程组()()220319x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y ，得到方程2x 2+（2a ﹣8）x +a 2﹣2a +1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣16a ﹣4a 2＞0． 在此条件下利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝4﹣a ，x 1x 2＝2212a a -+①， 由于OA ⊥OB 可得x 1x 2+y 1y 2＝0，又y 1＝x 1+a ，y 2＝x 2+a ，所以可得2x 1x 2+a （x 1+x 2）+a 2＝0② 由①②可得a ＝﹣1，满足△＝56﹣16a ﹣4a 2＞0．故a ＝﹣1． 10．（2010年）设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+22y b ＝1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．（1）求|AB |；（2）若直线l 的斜率为1，求b 的值．【解析】（1）由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|+|BF 2|，得43AB =． （2）l 的方程式为y ＝x +c，其中c =设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得（1+b 2）x 2+2cx +1﹣2b 2＝0． 则12221c x x b-+=+，2122121b x x b -=+． 因为直线AB 的斜率为1，所以21x AB =-，即2143x =-． 则()()()()()2242121222222414128849111b b b x x x x b b b --=+-=-=+++．解得2b =．。
2020年高考数学(文)热点专练09 解析几何(解析版)
热点09 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用. 【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算. 【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：55分钟）1．（2019·湖南雅礼中学高考模拟（文））“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：若方程22126x ym m+=--表示椭圆，则20{6026m m m m->->-≠-，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．2．（2019·四川高考模拟（文））已知P 为双曲线122=-y x 右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，12,F F 为双曲线的左、右焦点，则12F P F Q ⋅=u u u r u u u u r（） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】B 【解析】【分析】设出P 的坐标，求出Q 坐标，求出焦点坐标，利用向量的数量积求解即可． 【详解】P 为双曲线x 2﹣y 2＝1右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称， F 1（，0），F 2，0）为双曲线的左，右焦点，设P （t ，m ），则Q （t ，﹣m ），根据点P 在双曲线上得到：t 2﹣m 2＝1，则12F P F Q ⋅=u u u r u u u u r （t ，m ）•（t ，-m ）＝t 2﹣m 2﹣2＝1﹣2＝﹣1． 故选：B ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积的求法，考查计算能力．3．（2019·江西高考模拟（文））阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P满足PA PB=P 、A 、B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是（ ） A ．12x x BCD【答案】A 【解析】 【分析】由题，设点A(-1,0), B(1,0)，根据题意，求得圆的方程，再求得P 点的位置，即可求得面积的最大值. 【详解】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：A(-1,0), B(1,0) 设P(x, y),||||PA PB ==Q ， 两边平方并整理得：2222610(3)8x y x x y +-+=⇒-+= ， 当点P 到AB （x 轴）的距离最大时，三角形PAB 的面积最大，此时面积为122⨯⨯=故选：A 【名师点睛】本题考查了曲线的轨迹方程，熟悉圆的定义和求轨迹方程是解题的关键，属于中档题型.4．（2019·河北唐山一中高考模拟（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，122F AF π∠=，连接2AF y 交轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为( ) A ．13BC ．58D．4【答案】D 【解析】 【分析】设AF 1＝m ，AF 2＝n ．如图所示，Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，可得12213AF OM AF OF ==．可得m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化简解出即可得出． 【详解】设AF 1＝m ，AF 2＝n ．如图所示，由题意可得：Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，∴12213AF OM AF OF ==． 则m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化为：m 2223b =，n 2＝9m 2＝6b 2．∴223b +6b 2＝4c 2．∴()2253a c -=c 2，化为：4c a =． 故选：D ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222-c a b =转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2019·贵州高考模拟（文））已知实轴长为的双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则△BF 1F 2的重心到双曲线C 的渐近线的距离为（ ）A ．13B ．3C ．3D ．23【答案】A 【解析】 【分析】求出a ，b ，c 得到三角形的重心坐标，求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离求解即可． 【详解】实轴长为的双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），可得a c ＝2，则b ，不妨B （0），则△BF 1F 2的重心G 0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，双曲线的渐近线方程为：y ＝x 的距离为：d 13=． 故选：A ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．（2019·广东高考模拟（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，M 是抛物线C 上的点，且MF x ⊥轴，若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，则p =( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】 【分析】求出直线AM 的方程，根据垂径定理列方程得出p 的值． 【详解】把2p x =代入22y px =可得y p =±，不妨设M 在第一象限， 则,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭， 又,02p A ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴直线AM 的方程为2p y x =+，即02px y -+=， ∴原点O 到直线AP的距离pd ==Q 以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，22148p p ∴=+，解得p =故选：B ． 【名师点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.7．（2019·天津南开中学高考模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，若FOM ∆O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22415y x -=B ．222125x y -=C ．22145x y -=D ．2211620x y -=【答案】C 【解析】 【分析】运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得F 到渐近线的距离为b ，由勾股定理可得OM a =，运用三角形的面积公式，结合,,a bc 的关系，解得,a b ，即可求出双曲线方程． 【详解】由题意可得 32c e a ==①，可得b a == ，设 (),0F c ， 渐近线为by x a=， 可得 F到渐近线的距离为MF b == ，由勾股定理可得OM a === ， 因为FOM ∆12ab =② ， 又 222+=a b c ③，由①②③解得2,3b a c === ，所以双曲线的方程为22145x y -= ,故选C.【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.8．（2019·广东高三月考（文））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆的面积为22-，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[1,2] B．C．4]D ．[1,4]【答案】D 【解析】分析： 由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，()112F AB S a c b ∆=-=可得，2,a c ==1PF x =可得()21211442PF PF x +=--，从而可得结果.详解：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，()112F AB S a c b ∆=-=，解得22,a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即22x ⎡∈⎣，()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D. 【名师点睛】：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系， 挖掘出它们之间的内在联系. 二、填空题9．（2019·山东高考模拟（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，当直线l 垂直于x 轴时，四边形APBQ 的面积为6，则椭圆C 的方程为__________．【答案】22143x y +=【解析】 【分析】根据题意和椭圆的几何性质得到四边形的面积为：221226 3.2b a b a⨯⨯=⇒=结合离心率的值，构造方程得到结果.【详解】根据题意得到当直线和x 轴垂直时四边形可分割成两个三角形，底边为2a,高为半通径长2b a此时四边形的面积为：221226 3.2b a b a⨯⨯=⇒=再由离心率为12，得到()222221,44 4.2c a c a b a a ===-⇒= 此时方程为：22143x y +=.【名师点睛】这个题目考查了椭圆的几何性质的应用,方程的求法，涉及离心率的应用，以及椭圆通径的应用；题目比较基础. 求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c的方程，求出22,a b 即可，注意222,ca b c e a=+=的应用. 10．（2019·湖南高考模拟（文））已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．【答案】2+ 【解析】 【分析】 由题意可得00by x a=，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率ce a=，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为by x a=±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00by x a=，① 又12MF MF ⊥，可得00001y y x c x c⋅=-+-， 即为22200y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，由F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，可得22b pa =，且2pc =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --= 由ce a=，可得2410e e --=，解得2e =+【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．11．（2019·江西高考模拟（文））设1F ，2F 为椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=＞＞与双曲线2C 的公共左、右焦点，椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，12MF F ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且1=2MF .若椭圆1C 的离心率152,145e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围是_______. 【答案】5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由题，椭圆和双曲线的焦点相同和定义可得122a a c -=，即转化为离心率12112e e -=，再由题152,145e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可求得双曲线2C 的离心率2e 的取值. 【详解】设双曲线2C 的方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，由题意知11222,2MF F F MF c ===，其中222222211c a b a b =+=-，又根据椭圆与双曲线的定义得1211222|2MF MF a MF MF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则12222222c a c a +=⎧⎨-=⎩，即122a a c -= 其中122,2a a 分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长.所以12112e e -=因为椭圆的离心率152,145e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2111142,25e e ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦所以25,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即双曲线2C 的离心率的取值范围是5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【名师点睛】本题考查了圆锥曲线综合知识，熟悉椭圆、双曲线的性质和定义是解题的关键，属于难题.12．（2019·重庆高考模拟（文））已知双曲线2221(0)12x y a a -=>的一条渐近线方程为0y -=，左焦点为F ，当点M 在双曲线右支上，点N 在圆22(3)4x y +-=上运动时，则||||MN MF +的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】先由双曲线渐近线求出a ，记双曲线的右焦点为'F ，利用2'MF a MF =+，得'2MN MF MN MF a +=++，再由两点之间线段最短求出'MN MF +的最小值，然后得出答案. 【详解】解：由双曲线方程222112x y a -=，得b =，所以渐近线方程为y x =0y -=，得2a =所以双曲线方程为221412x y -=，点()4,0F -记双曲线的右焦点为()'4,0F ，且点M 在双曲线右支上，所以4'MF MF =+ 所以'4MN MF MN MF +=++由两点之间线段最短，得'4MN MF ++最小为'4F N + 因为点N 在圆()2234x y +-=上运动所以'F N 最小为点F 到圆心()0,3的距离减去半径2 所以'523min F N =-= 所以MN MF +的最小值为7 故答案为：7. 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，平面中线段和最小问题，利用双曲线定义进行线段转化是解本题的关键，属于中档题. 三、解答题13．（2019·天水市第一中学高三月考（文））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2， （1）试求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】分析：（1）由条件得a,c ，解得b,即得椭圆标准方程，（2）设C,D 坐标，根据斜率公式得12k k +，设直线方程并与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简可得12k k +为定值.详解：（1）．，椭圆的方程为（2）设直线的方程为：，联立直线l 的方程与椭圆方程得：（1）代入（2）得：化简得： (3)当时，即，即时，直线l 与椭圆有两交点，由韦达定理得：，所以，，则，12k k +所以为定值.【名师点睛】：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.14．（2019·河南高考模拟（文））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若12AF F ∆的周长为4+ 积的最大（1）求椭圆C 的方程；（2）设,A B 是椭圆C 上两动点，线段AB 的中点为P ，,OA OB 的斜率分别为12,k k (O 为坐标原点)，且1214k k =-，求OP 的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=；（2）2⎣.【解析】 【分析】（1）通过2a+2c=4+且122c b ⋅⋅= （2）当直线AB 的斜率k ＝0时，|OP|2=， 当直线AB 的斜率k ≠0时，可令AB 的方程为：x ＝my +t ，由2244x y x my t ⎧+=⎨=+⎩可得（m 2+4）y 2+2mty +t 2﹣4＝0，求得p （244t m +，24mt m -+）．由1214k k =-，⇒4222+=m t ，代入|OP |2的运算中，化简得|OP |22132t =+∈（12，2]即可．【详解】（1）由题知，12AF F ∆的周长为=+c a 224+且122c b ⋅⋅= ∴21a b ==，，∴椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）当直线AB 的斜率k ＝0时，此时k 1，k 2（O 为坐标原点），满足1214k k =-，k 1＝-k 2=﹣12． 可令OB 的方程为：y 12x =，（x B ＞0） 由22244x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩可得B此时|OP|=当直线AB 的斜率k ≠0时，可令AB 的方程为：，my+t x = 由2244x y x my t ⎧+=⎨=+⎩可得0424222＝-mty+t +y +m ）（， 04t -0)4-t )(4m 4(-t 4△＝222222>+>+m m 即…①21212222444mt t y y y y m m ，--+==++， t y y m +x x 2+)+(＝2121284tm =+．∴p （244t m +，24mtm -+）．∵1214k k =-，∵121214y y x x =-0＝42121x +x y y 即． ⇒04221212=++t +y y mt y y +m ）（）（．⇒4-t 222224m tm-+++．0＝t 2 ⇒4+222m t =，且2≥t 2，…② 由①②可得2≥t 2恒成立，|OP |2()222222222222222162416161613(4)(2)442t t m t t m t m m t t t t+-+++=====++∈（12，2]|OP|∈⎝．综上，|OP |的取值范围为． 【名师点睛】本题考查了椭圆的方程的求法，考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了计算能力，转化思想，属于难题．15．（2019·建瓯市第二中学高三月考（理））已知抛物线()220x py p =>的焦点为()0,1F ，A ，B 为抛物线上不重合的两动点，O 为坐标原点，4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，过A ，B 作抛物线的切线1l ，2l ，直线1l ，2l 交于点M ． （1）求抛物线的方程；（2）问：直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由； （3）三角形ABM 的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值．【答案】（1）24x y =；（2）是，()0,2；（3）是，【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标直接求抛物线方程；（2）设直线AB 的方程是y kx b =+，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，同时4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，用坐标表示，并代入根与系数的关系，求得定点；（3）由（2）知，直线AB 的方程是2y kx =+，与抛物线方程联立224y kx x y =+⎧⎨=⎩，得到 124x x k +=，128x x ⋅=-，求弦长AB ，利用导数的几何意义求过A ，B 作抛物线的切线1l ，2l ，并求交点M 的坐标，求点M 到直线的距离，并求ABM ∆的面积，和面积的最小值. 【详解】（1）由()0,1F 得2p =，所以抛物线方程为24x y =．（2）当斜率不存在时，与对称轴平行，没有两个交点，当斜率存在时，设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=，则124x x k +=，124x x b ⋅=-． 又4OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，得12124x x y y ⋅+⋅=-，即22121211444x x x x ⋅+⋅=-，∴24402b b b -+=⇒=，所以直线AB 过定点()0,2．（3）由224y kx x y=+⎧⎨=⎩得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x ⋅=-∴12AB x =-=设()00,M x y ，由12y x '=， 所以直线()111112:l y y x x x -=-，即11102x x y y --=． 同理直线2221:02l x x y y --=， 又直线1l ，2l 交于点M ，则有10012002102102x x y y x x y y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，可知点A 、B 在直线00102x x y y --=上，与直线AB 方程20kx y -+=对应系数相等，则02x k =，02y =- 则M 到直线AB的距离d =．所以三角形ABM 的面积()3221422ABMS AB d k =⋅=+△ 则当0AB k =时，()min ABM S =△． 【名师点睛】1本题考查直线与抛物线位置关系的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，涉及抛物线中三角形面积的最值的求法和定点问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.2对于第二问中的定点问题也可以采用特殊值计算也是可以的.16．（2019·重庆南开中学高三月考（文））已知离心率为12的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于长轴顶点的动点.当2PF x ⊥轴时，12PF F △面积为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）12F PF ∠的内角平分线交x 轴于Q ，求OP OQ ⋅u u u r u u u r的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[0,1)【解析】 【分析】（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C 的方程；（2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=-,利用点到直线的距离，建立等量关系，从而得到014t x =，表示目标即可. 【详解】（1）213222b c a ⋅⋅=，2a c =，b =，解得1c =，2a =，b =22143x y +=. （2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=- 设(,0)Q t=，2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=，由于(1,1)t ∈-，0(2,2)x ∈-，则()()0011(1)4(1)422t x t x +⋅-=-⋅+. 化简得014t x =；则201[0,1)4OP OQ x ⋅=∈u u u r u u u r .【名师点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．17．（2019·上海高三）曲线()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短袖长为()0P y 在曲线Γ上，Q 直线:4l x =-上，且11PF QF ⊥.（1）求曲线的标准方程；（2）试通过计算判断直线PQ 与曲线Γ公共点的个数.（3）若点()()1122,,,A x y B x y 在都在以线段12F F 为直径的圆上，且12OA OB x x •=+u u u r u u u r，试求2x 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）只有一个公共点（3）1,1⎡⎤-⎣⎦ 【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，列出方程组，求得22,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）由11PF QF ⊥，根据向量的数量积公式可得Q 的纵坐标，取得直线PQ 的直线方程，即可作出判定，得到答案；（3）由121212x x y y x x +=+得到()2121210x x y y x -+-=，进而得打不等式222220x x +-≤，即可求解．【详解】（1）由曲线()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短袖长为22221b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以曲线Γ的标准方程为：22143x y +=（2）由()0P y 在()2222:10x y a b a bΓ+=>>，可得23143o y +=，解得0y =±，所以2P ⎛± ⎝⎭， 设()4,Q t -，则()()1011,3,PF y QF t =-+-=-u u u r u u u r又由11PF QF ⊥，则120PF QF •=u u u r u u u u r，即(0310ty -+=，解得)031t y =，所以0Q ⎛=-⎝⎭，所以):4PQ y t x -=+若2P ⎛ ⎝⎭，则3:2PQ y x =+由2223230143y x x x y ⎧=+⎪⎪⇒++=⎨⎪+=⎪⎩，解得x = 知道直线PQ 与曲线Γ相切，只有一个公共点；若2P ⎛-⎝⎭，同理可知直线与曲线相切，只有一个公共点； （3）因为12121212OA OB x x x x y y x x •=+⇒+=+u u u r u u u r，即()2121210x x y y x -+-=2221220x x ≤⇒+-≤所以211x ≤，又211x -≤≤，所以21,1x ⎡⎤∈-⎣⎦．【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．。
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解析几何大题专项练习1．[2019·重庆西南大学附中检测]已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0. (1)若直线l 过点(－2,0)且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，满足|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程．解析：(1)x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝－2，易求得直线l 与圆C 的交点为A (－2,1)，B (－2,3)，|AB |＝2，符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k －2＋2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.(2)如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ， 则CM ⊥PM ，所以△PMC 为直角三角形， 所以|PM |2＝|PC |2－|MC |2. 设P (x ，y )，由(1)知C (－1,2)， |MC |＝ 2. 因为|PM |＝|PO |，所以(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2， 化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.2．[2019·贵州省适应性考试]已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)在y 轴上的一个顶点为M ，两个焦点分别是F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120°，△MF 1F 2的面积为 3.(1)求椭圆G 的方程；(2)过椭圆G 长轴上的点P (t,0)的直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点Q (Q 与P 不重合)，交椭圆G 于A ，B 两点．若|AQ |＝|BP |，求实数t 的值．解析：(1)由椭圆性质，知|MF 2|＝a ， 于是c ＝a sin 60°＝32a ，b ＝a cos 60°＝12a . 所以△MF 1F 2的面积S ＝12·(2c )·b ＝12·(3a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝3， 解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆G 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)显然，直线l 与y 轴不平行，可设其方程为y ＝k (x －t )． 由于直线l 与圆O 相切， 则圆心O 到l 的距离d ＝|kt |k 2＋1＝1，即k 2t 2＝k 2＋1， ①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝k (x －t )，化简得(1＋4k 2)x 2－8tk 2x ＋4(t 2k 2－1)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8tk 21＋4k2.设Q (x 0，y 0)，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝k (x 0－t )，y 0x 0＝－1k ，解得x 0＝tk 21＋k2.由已知可得，线段AB ，PQ 中点重合，即有x 1＋x 2＝t ＋x 0. 因此8tk 21＋4k 2＝t ＋tk 21＋k 2，化简得k 2＝12，将其代入①式，可得t ＝± 3.3．[2019·安徽五校联盟质检]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆C 上一点，满足3|PF 1|＝5|PF 2|，且cos∠F 1PF 2＝35.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，若|AQ |＝|BQ |，求k 的取值范围．解析：(1)由题意设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则3r 1＝5r 2，又r 1＋r 2＝2a ，∴r 1＝54a ，r 2＝34a .在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos∠F 1PF 2＝r 21＋r 22＋|F 1F 2|22r 1r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2－222×54a ×34a ＝35，得a ＝2，∵c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，且Δ＝48(3＋4k 2－m 2)>0，①设AB 的中点为M (x 0，y 0)，连接QM ，则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k2， ∵|AQ |＝|BQ |，∴AB ⊥QM ，又Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，M 为AB 的中点，∴k ≠0，直线QM 的斜率存在，∴k ·k QM ＝k ·3m3＋4k 2－4km 3＋4k 2－14＝－1，解得m ＝－3＋4k24k， ②把②代入①得3＋4k 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋4k 24k 2，整理得16k 4＋8k 2－3>0，即(4k 2－1)(4k 2＋3)>0，得k >12或k <－12，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 4．[2019·山东济南质量评估]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，右焦点为F ，且该椭圆过点(1，－32)． (1)求椭圆C 的方程；(2)当动直线l 与椭圆C 相切于点A ，且与直线x ＝433相交于点B 时，求证：△FAB 为直角三角形．解析：(1)由题意得c a ＝32，1a 2＋34b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝1，a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64k 2m 2－16(4k 2＋1)(m 2－1)＝0得m 2＝4k 2＋1>0.设A (x 1，y 1)，则x 1＝－8km 2(4k 2＋1)＝－8km 2m 2＝－4k m ，y 1＝kx 1＋m ＝－4k 2m ＋m ＝1m ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，1m . 易得B ⎝⎛⎭⎪⎫433，433k ＋m ，F (3，0)，则FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km －3，1m ，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，433k ＋m ， FA →·FB →＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －3＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫433k ＋m ＝－43k 3m －1＋43k 3m ＋1＝0， 所以FA →⊥FB →，即△FAB 为直角三角形．5．[2019·河南郑州一测]设M 为圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N .动点P 满足2PN →＝ 3 MN →，动点P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线E 交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且满足|DA →＋DB →|＝|DA →－DB →|，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解析：(1)设点M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题意可知N (x 0,0)， ∵2PN →＝ 3 MN →，∴2(x 0－x ，－y )＝3(0，－y 0)， 即x 0＝x ，y 0＝23y ，又点M 在圆C ：x 2＋y 2＝4上，∴x 20＋y 20＝4， 将x 0＝x ，y 0＝23y 代入得x 24＋y 23＝1，即轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知D (－2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝(8mk )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝16(12k 2－3m 2＋9)>0，即3＋4k 2－m 2>0，∴x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k23＋4k2，∵|DA →＋DB →|＝|DA →－DB →|，∴DA →⊥DB →，即DA →·DB →＝0， 即(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0， ∴4m 2－123＋4k 2＋2×－8mk 3＋4k 2＋4＋3m 2－12k 23＋4k 2＝0， ∴7m 2－16mk ＋4k 2＝0，解得m ＝2k 或m ＝27k ，均满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝2k 时，l 的方程为y ＝kx ＋2k ＝k (x ＋2)，直线恒过点(－2,0)，与已知矛盾； 当m ＝27k 时，l 的方程为y ＝kx ＋27k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋27，直线恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0. ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.6．[2019·安徽合肥一检]设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，圆O ：x 2＋y 2＝2与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为2 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M ，N 两点，试判断|PM |·|PN |是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析：(1)由椭圆的离心率为22知，b ＝c ，a ＝2b ，则椭圆C 的方程为x 22b 2＋y2b 2＝1.易得A (2，0)，则由题意知点(2，2)在椭圆C 上，所以22b 2＋2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x ＝2，由(1)知，M (2，2)，N (2，－2)，OM →＝(2，2)，ON →＝(2，－2)，OM →·ON →＝0，所以OM ⊥ON .当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1)．联立直线和椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 26＋y23＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－62k 2＋1.又OM →＝(x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)， 所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)·2m 2－62k 2＋1＋km ·－4km 2k 2＋1＋m 2＝(1＋k 2)(2m 2－6)－4k 2m 2＋m 2(2k 2＋1)2k 2＋1 ＝3m 2－6k 2－62k 2＋1 ＝3(2k 2＋2)－6k 2－62k 2＋1 ＝0， 所以OM ⊥ON .综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M ，N 两点，都有OM ⊥ON . 在Rt△OMN 中，易知△OMP ～△NOP ，所以|PM |·|PN |＝|OP |2＝2，为定值．。