矩阵的特征值
矩阵的特征值
矩阵的特征值简介在线性代数中，矩阵的特征值是矩阵在特征向量上的投影，是一个重要的概念。
特征值可以帮助我们了解矩阵的性质和变换。
本文将介绍矩阵的特征值的定义、性质以及计算方法。
定义设 A 是一个 n × n 的矩阵，λ 是一个实数，如果存在一个非零向量 x 使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值，x 是对应的特征向量。
特征向量 x 满足Ax = λx，其中x ≠ 0，λ 可能是实数也可能是复数。
特征向量 x 的模长不影响特征向量的定义，通常我们会将特征向量标准化为单位向量。
性质1.矩阵 A 和其转置矩阵 A^T 具有相同的特征值。
2.若A 是一个对称矩阵，那么它的特征向量是正交的。
3.矩阵 A 的特征值的和等于它的迹，即λ1 + λ2 + … +λn = tr(A)。
4.矩阵 A 的特征值的积等于它的行列式，即λ1 * λ2* … * λn = |A|。
5.如果λ 是矩阵 A 的特征值，那么λ^k 是矩阵 A^k 的特征值，其中 k 是正整数。
6.矩阵 A 是奇异的（行列式为零）当且仅当它的零空间不为空，即存在非零向量使得 Ax = 0。
计算方法要计算矩阵的特征值，通常使用特征值问题的特征多项式。
设 A 是一个 n × n 的矩阵，特征多项式定义为f(λ) = |A - λI|，其中 I 是 n × n 的单位矩阵，|A - λI| 是矩阵 A - λI 的行列式。
1.求特征多项式的根：将特征多项式f(λ) = 0 的解称为特征值。
通过求解特征多项式的根，可以得到矩阵的特征值。
2.求解特征向量：对于每一个特征值λ，解齐次线性方程组 (A - λI)x = 0，得到相应的特征向量 x。
3.标准化特征向量：对于每一个特征值λ，将对应的特征向量 x 进行标准化处理，得到单位特征向量。
应用矩阵的特征值在很多领域有广泛的应用。
1.特征值可以帮助我们了解矩阵的变换性质。
第4章 矩阵的特征值
1 0 0 作为其基础解系. 1 0 , 2 1 , 2 0 0 0 1
则对应于 1 2 3 a 的全部特征向量为
c1 1 c2 2 c3 3 (c1 , c2 , c3 不全为零)
第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量
例1.三阶方阵A的特征值为-1,2,3,求
(1)2A的特征值, (2)A2的特征值, (3)|A|. 例2.试证:n阶方阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征 值为零. 解
A 1 2 n
22
三.杂例
1 3 3 A 3 a 3 有特征值为 1 2, 2 4, 3 , 例1. 设矩阵 6 6 b
i 1 ,i 2 , ,it 为A的对应于i的线性无关的
i
特征向量，则向量组 11 ,12 , ,1t1 ,21 ,22 , ,2 t2 , ,m1 ,m 2 , ,mtm 线性无关.
18
设A为n 阶方阵，为A的特征值，则
结论：
结论：若f ( x)是x的m次多项式， 1） k 为 kA 的特征值. 为A的一个特征值，则 k k 2） 为 A 的特征值 f ( )是矩阵f ( A)的一个特征值. 3） ＋1 为 A＋ I 的特征值.
对于1 2 1, 齐次线性方程组 A) x 0，即 (I
3 6 0 x 1 0 3 6 0 x 2 0 x 1 2 x 2 3 6 0 x 0 3
因此，A对应于1 2 1的 全部特征向量为
2 0 c1 1 c2 0 (c1 , c2不 全 为 零 ) 0 1 11
矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似
特征值和特征向量与矩阵相似的关系
01
特征值和特征向量是矩阵的重要属性，它们与矩阵 的相似性有着密切的联系。
02
如果两个矩阵相似，它们的特征值和特征向量也必 须相同。
03
特征值和特征向量的性质决定了矩阵的稳定性、可 逆性和可约性等重要性质。
特征值和特征向量在矩阵相似中的应用
在解决线性方程组时，可以利用特征值和特征向量的性质，将原方程组转 化为易于求解的形式。
|λ|=√aii，其中aii为矩阵A的对角线元素。
特征值和特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Av=λv来计算特征 值和特征向量。
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂，然后观 察幂的迹的变化，从而找到特征 值和特征向量。
谱分解法
将矩阵A分解为若干个简单的矩阵 的乘积，然后通过计算这些简单 矩阵的特征值和特征向量来得到 原矩阵的特征值和特征向量。
矩阵的特征值、特 征向量和矩阵的相 似
目录
• 矩阵的特征值和特征向量 • 矩阵的相似 • 矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似的
关系 • 矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似的
应用
01
CATALOGUE
矩阵的特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标 量λ和对应的非零向量v，使得Av=λv 成立，则称λ为矩阵A的特征值。
02
CATALOGUE
矩阵的相似
矩阵相似的定义
定义：如果存在一个可逆矩阵P，使 得$P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B相 似。
相似矩阵具有相同的行列式值、迹、 秩和特征多项式。
矩阵相似的性质
01 相似的矩阵具有相同的特征多项式和行列式值。
线性代数第四章矩阵的特征值
令 P ( p1 p2 L pn ), 则P 可逆，且
AP ( Ap1 Ap2 L Apn ) (1 p1 2 p2 L n pn )
1
( p1 p2 L
pn
)
2
O
P,
n
2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量
若A有一个t重特征值，对应的特征向量在线性 无关的意义下小于t，则A不与对角矩阵相似。
3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。 特征值和特征向量的对应.
1. 求出n阶矩阵A的所有特征值 2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量 3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。
3 1
的λ都是方阵Ａ的特征值．
定义4.2 设A为n阶矩阵,含有未知量λ的矩阵λI-A
称为A的特征矩阵,其行列式
I A
为λ的n次多项式,称为A的特征多项式, I A 0
称为A的特征方程.
求n阶矩阵的特征值和特征向量的步骤:
1. 由矩阵A的特征方程 I A 0 求出A的特征值 1,2 ,L s (s n 2k )
所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理的证明告诉我们，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩 阵Λ相似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部
特征值．相似矩阵P的列是对应于Λ对角线上 元素的特征向量。
推论 若ｎ阶矩阵A有n个两两不同的特征值，则
Ａ必与对角矩阵Λ相似
推论 若ｎ阶矩阵Ａ有n个特征值,则可相似对 角化<==>Ａ的任ti重特征值有对应ti个线性无
A
4 1
3 0
0 2
第五章矩阵的特征值
第五章矩阵的特征值矩阵的特征值是线性代数中一个重要的概念。
它不仅在理论上具有重要意义，也在实际问题的求解中有广泛的应用。
本章将介绍特征值的定义和性质，以及求解特征值和特征向量的方法。
1.特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k 为常数，则称k为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现的，且特征向量是非零的。
2.特征值与特征向量的性质2.1特征值的性质（1）特征值的个数等于矩阵的阶数n。
（2）特征值的和等于矩阵的迹，即trace(A)。
（3）特征值的乘积等于矩阵的行列式，即det(A)。
2.2特征向量的性质（1）特征向量的线性组合仍然是特征向量，对应的特征值不变。
（2）特征向量与特征值的对应关系是一一对应的。
3.求解特征值和特征向量的方法3.1特征方程法给定一个n阶方阵A，求解特征值和特征向量的方法之一是通过求解特征方程。
特征方程的定义是：det(A-kI)=0，其中I是单位矩阵，k是变量。
通过求解特征方程，即求解多项式det(A-kI)的根，可以得到所有的特征值。
特别地，对于二阶矩阵A的特征方程det(A-kI)=0可以化简为k^2-(a+d)k+ad-bc=0，其中a，b，c，d是矩阵A的元素。
这是一个一元二次方程，可以通过求根公式求解。
3.2幂法幂法是一种迭代算法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
基本思想是通过迭代计算矩阵A的幂，使得向量序列收敛到A的最大特征向量对应的特征向量。
具体步骤如下：（1）选择一个初始的非零向量x0；（2）计算新的向量x1=Ax0；（3）归一化向量x1，即x1=x1/，x1，其中，x1，表示向量x1的模；（4）重复步骤（2）和（3），直到向量序列收敛。
经过多次迭代后，向量序列将收敛到A的特征向量。
4.应用举例特征值和特征向量在许多实际问题中有广泛的应用，例如：（1）求解线性方程组：矩阵A的特征值可以用于判断线性方程组的解的情况。
矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ：存在一个非零向量x，使得Ax=λx，即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍，其中λ为特征值。
定义特征值之后，可以证明如下性质：1.相似矩阵具有相同的特征值；2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数；3.特征值可以是实数也可以是复数；4.如果一个矩阵的特征向量独立，则该矩阵可对角化。
二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种，包括直接计算、特征向量迭代法等。
以下介绍两种常用的方法，分别是雅可比法和幂法。
1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。
首先，构造一个对称阵J，使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素，非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。
然后，对J进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。
雅可比法的优点是计算量相对较小，算法比较简单，可以直接计算特征值和特征向量。
但是，雅可比法的收敛速度较慢，对于大规模矩阵的计算效率较低。
2.幂法幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
首先，随机选择一个非零向量b作为初值。
然后，迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...，直到序列趋向于收敛。
最终，特征值是序列收敛时的特征向量的模长，特征向量是序列收敛时的向量。
幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
此外，幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。
然而，幂法只能计算最大特征值，对于其他特征值的计算不适用。
三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。
通过特征值分解，可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。
2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。
谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。
矩阵特征值简单求法
矩阵特征值简单求法矩阵是数学中一种非常重要的概念，它是线性代数中不可或缺的内容。
在矩阵理论中，特征值是最基本的概念之一，对于一些重要的计算有着至关重要的作用。
因此，矩阵特征值求解方法的学习和掌握也非常重要。
接下来，我们将先介绍矩阵特征值的概念，然后再针对其中的一种特定方法进行简单的讲解。
矩阵特征值的概念矩阵特征值是指矩阵在某一方向上的表现力大小，也可以理解为矩阵在该方向上的拉伸或压缩程度。
在解析几何中，我们知道一个几何体的特征值也是相应的方向上的表现力大小。
同理，对于矩阵而言，其特征值就是指其某一方向上的表现力大小。
具体来说，对于任一n阶矩阵A，对它的每一个标量λ以及向量x，若满足Ax=λx，那么λ就是矩阵A的一个特征值， x就是它对应的特征向量。
一个矩阵可以有一个或多个特征值和对应的特征向量，对于一个矩阵而言，其特征值和特征向量是具有特殊性质的，能够被用来分解和刻画矩阵。
矩阵特征值的求解方法目前，有很多方法用于求解矩阵的特征值和特征向量。
其中，Jacobi迭代法、QR分解法、幂法以及反迭代法等算法，都是常见的求解矩阵特征值的方法。
这些算法虽然精度高，但并不适用于处理大规模的矩阵运算，因此还需要针对特殊情况设计一些简便的求解方法。
对于对称矩阵而言，矩阵特征值的求解就变得很简单了，可以通过选择对称矩阵和正交矩阵进行简单的计算和推导。
但是，对于非对称矩阵而言，一般都需要借助于数值计算才能得到矩阵的特征值和特征向量。
因此，在实际计算过程中，往往会希望有一种简单的求解特征值的方法，使得计算更加方便和迅速。
矩阵特征值的简单求解方法Matlab 中有一种重要的函数——特征值函数 eig（eigenvalue）用于计算特征值和特征向量。
这是一种非常普遍的使用方法，但是这种方式并没有揭示矩阵特征值计算的本质内容。
因此，以下我们将介绍一种更加简单的求解矩阵特征值的方法——谱分裂（Spectral Splitting）。
矩阵特征值
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
得基础解系
1 p2 2, 1
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1
1
A E 0 2 0
4 1 3
( 1) 22 , 令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
为方阵A的 特征多项式 .
4. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,,
n , 则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
例1 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 1 3
A i Ex 0
的非零解, 就是对应于i的特征向量.
思考题
设4阶方阵A满足条件: det3E A 0,
AAT 2E,det A 0,求A的一个特征值.
思考题解答
解 因为det A 0,故A可逆.由 det( A 3E) 0知
3是A的一个特征值,从而
1 3
是
A1的一个特征
值. 又由 A AT 2E得 det(A AT) det(2E) 16,即 (det A)2 16,于是det A 4, 但 det A 0,因此det A 4, 故 A 有一个特征值为 4 .
第4章矩阵的特征值
第4章矩阵的特征值矩阵的特征值是线性代数中非常重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的特征值的定义、性质和计算方法，并探讨其在科学与工程中的应用。
1.特征值的定义和性质给定一个n阶方阵A，非零向量X称为矩阵A的特征向量，如果满足AX=λX，其中λ是一个常数，称为矩阵A的特征值。
根据这个定义，我们可以得到特征值的一些性质：(1)特征值可以是实数或复数。
当矩阵A是实矩阵时，特征值可以是实数或者是成对出现的复共轭数对。
例如，对于一个2阶实矩阵，它可以有两个实特征值，也可以是一个实特征值和一个复特征值对。
(2)特征值和特征向量的数量相等。
对于一个n阶矩阵A，它有n个特征值和n个对应的特征向量。
(3)特征值和矩阵的迹、行列式有关。
矩阵的迹是指所有主对角元素之和，行列式是指矩阵的特征值之积。
特别地，对于一个2阶方阵A，它的特征值满足特征值之和等于迹(A)、特征值之积等于行列式(A)。
2.特征值的计算方法(1)特征值分解：特征值分解是将一个可对角化的矩阵A分解为A=QΛQ^(-1)，其中Q是一个正交矩阵，Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
通过特征值分解，我们可以得到矩阵A的特征值和特征向量。
(2)QR算法：QR算法是一种迭代方法，用于逼近一个矩阵A的特征值和特征向量。
首先，将矩阵A分解为QR，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。
然后，迭代计算QR，直到收敛为止。
最后，对于得到的上三角矩阵R，它的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
3.特征值在科学与工程中的应用特征值在科学与工程中有广泛的应用，这里介绍两个典型的例子。
(1)特征值在量子力学中的应用：量子力学是研究微观粒子行为的物理学理论。
量子力学中的波函数可以表示为特征值和特征向量的线性组合。
特征值表示了粒子的能量，特征向量表示了粒子的状态。
通过解特征值问题，我们可以得到粒子的能量和对应的状态。
(2)特征值在图像处理中的应用：图像处理是一种对数字图像进行分析和处理的技术。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法介绍在线性代数中，矩阵特征值是一个重要的概念。
特征值可以帮助我们了解矩阵的性质和特点。
求解矩阵特征值的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和优缺点。
本文将介绍几种常用的方法，包括幂法、QR方法、雅可比方法和特征值问题的迭代解法。
幂法幂法是一种用于估计矩阵最大特征值和对应特征向量的迭代算法。
该方法的基本思想是通过不断迭代矩阵与向量的乘积，使得向量逐渐趋近于特征向量。
具体步骤如下：1.随机选择一个向量b作为初始向量。
2.计算矩阵A与向量b的乘积，得到向量c。
3.对向量c进行归一化处理，得到向量b。
4.重复步骤2和步骤3，直到向量b的变化趋于稳定。
5.向量b的模即为矩阵A的最大特征值的估计值，向量b即为对应的特征向量的估计值。
幂法的收敛速度取决于矩阵A的特征值分布。
如果矩阵A的最大特征值与其他特征值之间的差距较大，那么幂法往往能够快速收敛。
QR方法QR方法是一种迭代算法，用于计算实对称矩阵的特征值。
该方法的基本思想是通过不断迭代矩阵的QR分解，使得矩阵逐渐趋近于上三角矩阵，从而得到特征值的估计值。
具体步骤如下：1.对矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R。
2.计算矩阵R与矩阵Q的乘积，得到新的矩阵A。
3.重复步骤1和步骤2，直到矩阵A的变化趋于稳定。
4.矩阵A的对角线元素即为矩阵A的特征值的估计值。
QR方法的收敛速度较快，并且对于任意实对称矩阵都适用。
但是，QR方法只能计算实对称矩阵的特征值，对于一般的矩阵则不适用。
雅可比方法雅可比方法是一种用于计算实对称矩阵的特征值和特征向量的迭代算法。
该方法的基本思想是通过不断迭代交换矩阵的非对角线元素，使得矩阵逐渐趋近于对角矩阵，从而得到特征值和特征向量的估计值。
具体步骤如下：1.初始化一个单位矩阵J，将其作为迭代的初始矩阵。
2.在矩阵J中找到非对角线元素的绝对值最大的位置，记为(i, j)。
3.构造一个旋转矩阵P，使得P^T * J * P的(i, j)位置元素为0。
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说明： 1）如λ是A的一个特征值,则必有| λI-A |＝0成 立，故λ又称为特征 根。当然，可以是单根， 也可以是重根。
2）如λ是| λI-A |＝0的ni重根，则(λI-A )x＝0必有 非零解，习惯称λ为A的ni重特征值（根）。
特征值不为零。
（二）特征值与特征向量的性质：
定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的 特征值.
定理4.2 设A (aij )是n阶矩阵，如果
n
（1） aij 1 （i 1,2, , n) j 1
n
或（2） aij 1 （j 1,2, , n) i 1
有一个成立，则矩阵A的所有特征值k的 模 k 小于1，即 k 1（, i 1,2, , n)。
c1η1+…+ctηt。
例2.求矩阵A
1 4
1 3
0 0
的特征值和
1 0 2
特征向量。
练习：求矩阵A
4 3
6 5
00 的特征值和
3 6 1
特征向量。
例4.求n阶矩阵A
a
的特征值和特征向量。 a
命题1 n阶矩阵A是奇异矩阵
A有一个特征值为0。
命题2： 矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一
那么： λ1 ，λ2是同一矩阵A的两个特征值，则λ1 ＋λ2
是A+B的特征值，对吗？
λ1 λ2是AB的特征值，对吗？
补充例题： 1）设n阶方阵A的n个特征值为λ1 ,…,λn， 证明| A |= λ1 …λn 。
2)设A,B均为n阶矩阵，证明AB,BA有相同 的特征值。
3)设方阵A满足:2A2-3A-5I=0，证明2A+I的 特征值全不为零。
定理4.3 n阶矩阵A互不相同的特征值
1, , m，对应的特征向量x1, , xm
线性无关。
总结： （1）任一n阶方阵A必有n个特征值（包括重根）。 （2）设x是A的关于特征值λ的特征向量，则对于
任意常数，cX也是A的关于λ特征值的特征向 量。 （3）若X1,X2是A的关于λ的特征向量，则 k1X1+k 2X2也是A的关于λ的特征向量, k1 ,k 2 为常数 。
推广：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A 有n个线性无关的特征向量。
（6）A与它的转置矩阵AT有相同的特征值； 但特征向量不一定相同（定理4.1） 。
补充性质： 若λ是矩阵A的特征值，x是关于λ的
特征向量，则： a)k λ是kA的特征值。 b) λm是Am的特征值,m是自然数。 c)A可逆时， λ-1是A-1的特征值。
由（2）、（3）推广为：对应于同一特 征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征 值的特征向量；但对应于不同特征值的特征 向量的和不再是特征向量。 （4）一个特征值对应的特征向量有无穷多
个；但是一个特征向量只能对应一个特 征值，而不能向量线性无关； 但对应于同一特征值的特征向量不一定 线性相关（定理4.3）。
今天作业：
P206-207 1(2)(4) 2 3
3)( λI-A )x＝0的每一个非零解向量均为λ的 特征向量。
例1.求矩阵A
3 5
11的特征值何特征向量。
求特征值和特征向量的步骤：
1）计算A的特征多项式| λI-A |。 2）求出特征方程| λI-A |＝0的全部特征值。 3) 对每个特征值λ 0，求出相应的齐次线性
方程组（λ0I-A）x=0的一个基础阶系 η1,…,ηt，则A的λ0关于的特征向量为：