上海交通大学·2002_年第一学期高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)

试题照登

上海交通大学·高等数学期末试题(A 卷)(附参考答案)

2002年第一学期

一、选择题(每题3分,共15分,每题选项仅有一项符合要求,把所选项前的字母填入括号内)

1.f (x )在a 连续,且lim x ※a f (x )-f (a )(x -a )m =c >0,其中m 是偶数,则(B ……………………………)A .a 是f (x )的极大值点; B .a 是f (x )的极小值点;

C .a 不是f (x )的极大值点;

D .不能判别a 是否f (x )的极值点.

2.f (x ),g (x )均为恒不为零的可微函数,且f ′(x )g (x )-g ′(x )f (x )>0,则当x >a 时,成立不等式(A ……………………………………………………………………………………………………)

A .f (x )g (a )>f (a )g (x );

B .f (x )g (x )>f (a )g (a );

C .f (a )g (x )>f (x )g (a );

D .f (a )g (a )>f (x )g (x ).

3.函数f (x )=lim n ※∞n 1+x 2n 在(-∞,+∞))连续且(C ………………………………………………)A .处处可导; B .仅有一个不可导点;

C .仅有二个不可导点;

D .至少有三个不可导点.

4.∫

1-11+x sin 2x 1+x 2

dx =(B ………………………………………………………………………………)A .π4 B .π2 C .π D .0.5.微分方程y ″-2y ′=xe 2x 的特解形式可设为(C ……………………………………………………)

A .(ax +b )e 2x ;

B .x (ax +b );

C .x (ax +b )e 2x ;

D .axe 2x .二、填空题(每小题3分,共15分,把答案填在题中横线上)

1.f (x )=ln (1+ax b ), x ≥0,

e x 2-1sin2x

, x <0在x =0可导,则a =12,b =1.2.设函数y =y (x )由方程y =

∫2x +y 0sin t 2dt -∫x 20e -t dt (其中x >0)所确定,则其导数dy dx =2sin (x +y )2-2xe -x 1-sin (2x +y )

23.∫20x 4

4-x 2dx =2π.

4.x ※0时,∫x 30sin 3tdt 是βχα的等价无穷小,则α=　4　β=　

34　.5.f (x )为连续函数,F (x )=∫2x

0f (x +t )

dt ,则F ′(x )=3f (3x )-f (x ).三、计算下列积分(18分)1.∫x (e x

2x x 122-12+12(6分)

63Vol .6,No ,4Dec .,2003 高等数学研究STUDIES IN COLLECE MATHEMATICS

2.∫π

0dx 2+cos x =23arctan x 3|+∞0=π33.∫+∞2dx x 4x 2-1=12arcsin 15四、解下列方程(14分)

1.(x y -x 2)y ′=y 2 e y x =cy

2.y ″+2y ′+2y =4e x sin x 通解为y =12

e x (sin x -cos x )+c 1e -x cos x +c 2e -x sin x 五、(14分)

1.设f (x )=ln x -2x 2

∫e 1f (x )x

dx ,求f (x ). f (x )=ln x -e -2x 22.设f 2(x )=2∫x 0f (t )1+f ′2(t )dt -2x ,求f (x ). f (x )=1-e x

六、应用题(18分)

1.求心脏线r =a (1+cos θ)(a >0)上对应0≤θ≤π2的孤线段的长度,且求该弧段与射线θ=0

及θ=π2所围图形绕极轴旋转所得旋转体的体积.V =52

πa 32.(8分)D 是由抛物线y =2x (2-x )与x 轴所围成的区域,直线y =kx 交区域D 分为面积相等的两部分,求k 的值。 k =4-234

七、求极限lim n ※∞∑n i =1n n 2+i 2+i =∫1011+x

2dx =π4(上接14页)=-2π3∫

π0a 3(1+cos θ)3d (1+cos θ)=83πa 3可见,应用公式(9)计算由极坐标方程表示的曲线绕极轴旋转一周而成的立体的体积,非常方便。我们指出,定积分的应用这一章,学生应该掌握的一个基本方法就是“元素法”或“微元法”,元素法对于解答定积分应用题尤为重要,在大学物理中也得到广泛的应用。全国攻读硕士学位研究生数学入学考试多次考察定积分的应用,其核心恰恰是“元素法”的应用。因此笔者认为定积分的应用这一章的教学中,向学生介绍公式(9),并应用“元素法”进行证明,是有必要的。

参考文献

[1]

　同济大学应用数学系.高等数学(上册).北京:高等教育出版社,第五版,2002年7月.[2]

　华东师范大学数学系.数学分析(上册).北京:高等教育出版社,第三版,2001年6月.[3]

　刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上册).北京:高等教育出版社,第三版,1992年6月.[4]

　刘玉琏等.数学分析讲义练习题选解.数学分析讲义练习题选解.北京:高等教育出版社,1996年5月.[5]　2003年全国攻读硕士学位研究生入学考试数学试题(一).高等数学研究.2003,6(1).(上接59页)

作预测分析。这就是灰色马氏预测分析。作中长期预测的基本思想。这种方法与股市分析中常用的移动平均线法相比,不但精度高,而且避免了移动平均线法预测“时间滞后”的弱点,是对股市进行预测分析的一种好方法。

参考文献[1]上海证券综合研究所.上海股票市场数据总汇(97).上海三联书店出版,1998。64

高等数学研究 2003年12月