上海交通大学2002高等代数考研试题
上海大学高等代数历年考研真题
2000上海大学 高等代数(一) 计算行列式:acccb ac cb b a cb b b a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (二) 把二次型414332214321),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=用非退化线性替换化成平方和.(三) B A ,分别为m n ⨯和m n ⨯矩阵, n I 表示n n ⨯单位矩阵.证明: m n ⨯阶矩阵n A I X B ⎛⎫=⎪⎝⎭可逆当且仅当B A 可逆，可逆时求出X 的逆. (四) 设12,n e e e ⋅⋅⋅是n 维线性空间n V 的一组基，对任意n 个向量12,n a a a ⋅⋅⋅n V ∈，证明：存在唯一的线性变换A ，使得(),1,2i i A e a i n ==⋅⋅(五) 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，求证：1(0)V A V A -=⊕当且仅当若12,r a a a ⋅⋅⋅为A V 的一组基则12,r A a A a A a ⋅⋅⋅是2()A V 的一组基. (六) 设A 为2级实方阵，适合21001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求证：A 相似于0110-⎛⎫⎪⎝⎭. (七) 已知,f g 均为线性空间V 上线性变换，满足22,f f gg ==试证：（1）f 与g 有相同的值域⇔,fg g g f f ==. （2）f 与g 有相同的核⇔,fg f g f g ==.2001上海大学 高等代数（一）计算行列式：231212123n n n x a a a a x a a a a x a a a a x（二）设A 为3阶非零方阵，且20A =.（1）求证：存在123,,a a a ，123,,b b b ，()121233a A a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）求方程组0A X =的基础解系.（三）用正交的线性替换化二次行2221231231323(,,)3244f x x x x x x x x x x =++--为标准形（四）设A 为n m ⨯阶实矩阵，且()()r A m n m =≥.若'2'()A A a A A =，求证'm A A a E =.（五）设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上线性变换，若10,0n nAA-≠=求证：存在a V ∈，使2211,,,,n n n a A a A a A a Aa Aa Aa a ---++++ 为V 的一组基，并求A 在此组基下的矩阵.（六）设A 是欧式空间V 上的对称变换.求证：对任意0a ≠，都有()0,0a A a a ≠<⇔A 的所有特征值都小于0. （七）设A a B aβ-⎛⎫=⎪⎝⎭，其中A 为n 阶负定矩阵，a 为n 维列实向量，β为实数.求证B 正定的充分必要条件为'10a A a β-+>.（八）若A 是正交阵，且A -特征值为1的重数是S ，求证：(1)sA =-（A 为A 的行列式）.2002 上海大学 高等代数（一）计算行列式：若1232nx a a a ax a aA B aa x a aaax ==，求AB A BA ⎛⎫=⎪⎝⎭. （二）设A 是n 阶可逆方阵，0A A B A ⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）计算kB （K 是整数），（2）假设100110111A =，C 为6阶方阵，而且2BC C E =+，求C .（三）设(1)(1)(1)(1)p p p n p pp n p p A p n p p p n pppp--------=--------，A 是n 阶矩阵（0p ≠），求0A X =的基础解系.（四）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量(1,1,1)，(2,2,1).（五）设向量组A ：123,,n a a a a ⋅⋅的秩为r （r n <），则A 中任意r 个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量121,,r i i i a a a + ，若1211210r i i rika k a k a ++++= ，则121,r k k k +或全为0或全不为0.（六）设A 为n 阶正定矩阵，n m B ⨯为秩为m 的实矩阵，求证'B A B tE +（0t >，E 为单位矩阵）为正定矩阵.（七）设A 为欧式空间V 上的线性变换，且2A E =.（1）求证：A 是V 上的正交变换的充分必要条件为A 是V 上的对称变换. （2）设{}1,V a a V A a a =∈=，求证：12V V V =+是直和.（八）设A 为n 阶实正交矩阵，123,,n a a a a ⋅⋅为n 维列向量，且线性无关，若12,n A E a A E a A E a +++ 线性无关，则1A =.2003上海大学 高等代数（一）计算行列式：x a a a ax a aA a a x a aaax=（A 为n 阶矩阵），2AA B AA ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A （2）求B（二）设A 为21n k =+阶反对称矩阵，求A .（三）设,A B 为n 阶整数方阵（,A B 中元素为整数），若A B E A =- （1）求证：1A =±，（2）若200120232B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求A . （四）设12(,)n A a a a = 为n 阶方阵，()1r A n =-，且121n n a a a a -=++ 121n n a a a a β-=+++ ，求A X β=的解.（五）设A 是n 阶可逆方阵，且A 每行元素之和为a ，求证：k A -的每行元素之和为ka -（k 为正整数）（六）设A 为n 阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵G 使1rs E GA G E -⎛⎫=⎪-⎝⎭. （七）设2A A =，且A 为n 阶方阵，()R A r =.（1）求证：2rE A += （2）求证：()()R A R A E n +-=（3）若1r =，求0A X =的解.（八）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量(1,1,1). （九）设二次型22221234121314232434()222222f X x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++---（1）求()f X 对应的实对称矩阵A .（2）求正交变换X P Y =，将()f X 化为标准型.（十）设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，12,k a a a 是对应的不同特征值12,k λλλ 的特征向量.若12k a a a W ++∈ ，而W 是A 的不变子空间，则有维（W ）k ≥ （十一）设B 为欧式空间V 上的变换，A 为欧式空间V 上的线性变换且有：(,)(,),,A a a B a V βββ=∀∈.证明：（1）B 为欧式空间V 上的线性变换. （2）1(0)()A B V -⊥=2004 上海大学 高等代数（一）设n 阶可逆方阵()ij A a =中每一行元素之和为(0)a a ≠，证明：（1）11(1,2)nij j A aA i n -===∑ ，其中i j A 为ij a 的代数余子式.（2）如果ij a 都是整数(1,2)i n = ，则a 整除A . （二）设1212121n n nn n a a a a A b b b b -⨯-⎛⎫= ⎪⎝⎭为实矩阵，且()2r A =. （1）求行列式'E A A λ-.（2）求'0A A X =的解（X 是n 维列向量）.（三）设,A B 为n 阶整数方阵，若2B E A B =-.（1）求证：21A B+=.（2）若100110231B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1(2)A B -+. （四）若A 为非零的半正定矩阵，B 为正定矩阵，求证： （1）求证：存在实矩阵T ，使'T T B =. （2）1A E +>. （3）A B B +>.（五）设λ为A 的特征值的最小者.求证:对任意的n 维列向量a ,有''a A a a a λ≥. (六) 设123,,λλλ为3阶方阵A 的特征值,且()()()111,011,01分别为其对应的特征向量,求nA .(七) V 是n 维欧氏空间, σ是n 维空间V 上的线性变换,如果1231,,n a a a a - 是V 中1n -个线性无关的向量,且(),σββ分别与1231,,n a a a a - 正交(β不为0).求证: β为σ的特征向量.(八)设3223303060303A B ⨯⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求证： （1）()()2r A r B == （2）题型与钱吉林书习题类示。
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《高等代数》考研真题详解1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（U ）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述的P为数域．2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研]【答案】错查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f ‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三种因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）这时f（x）的三个根为1，1，－8．2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得从而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x －1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1名校考研真题第6章线性空间一、选择题1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]A．B．C．【答案】C查看答案【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是唯一的．2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的值（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等【答案】B查看答案【解析】比如在中选三个向量组(I)：0(Ⅱ)(Ⅲ)．若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．二、填空题1．若则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]【答案】2；4．查看答案【解析】在复数域上令；则是线性无关的．则此即证可由线性表出．在实数域上，令若，其中，则此即在R上线性关．可由线性表出，所以在实数域R上，有三、分析计算题1．设V是复数域上n维线性空间，V1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研]解：取的一组基，再取的一组基则＝秩。
上海交通大学《高等代数》《数学分析》历年考研真题汇总(2009-2018真题汇编)
(x − 1)n | (f (x) + 1), (x + 1)n | (f (x) − 1).
Ê! V •ê• F þ n ‘‚5˜m, A • V þ ‚5C†÷v A 3 − 2A 2 − A = −2id, Ù¥ id • V þð C†.
(1) A ´ÄŒé z, e´, žy². (2) - V1 = {(A − 2id)v | v ∈ V }, V2 = {(A 2 − id)v | v ∈ V }. y²: V = V1 ⊕ V2.
8
5 þ° ÏŒÆ 2015 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK£828 p “ê¤
9
6 þ° ÏŒÆ 2018 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK£828 p “ê¤
10
7 þ° ÏŒÆ 2010 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK( 614 êÆ©Û)
11
8 þ° ÏŒÆ 2011 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK( 614 êÆ©Û)
16
3
1. 2010年þ° ÏŒÆ828《高等代数》a¬ïÄ)\Æ•ÁÁK
˜! ( 20 ©) OŽ1 ª
an1
an2
(1) Dn+1 =
...
an1 −1b1 · · ·
an2 −1b2 · · · ...
ann+1 ann−+11bn+1 · · ·
1 + a1 + b1 a1 + b2
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C†, V1 ´ V A − ØCf˜m. y²: V1
Ö•´ V A − ØC
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4
上海交大高等代数+数学分析历届考研真题.
上海交通大学1999年硕士研究生入学考试试题试卷名称：高等代数1．（10分）设P 为数域。
()()[]x P x g x f ∈,令()()()()()x g x x x f x X F 1122++++=；()()()()x g x x xf x G 1++=。
证明：若()x f 与()x g 互素，则()x F 与()x G 也必互素。
2．（10分）设J 为元素全为1的阶方阵。
（1） 求J 的特征多项式与最小多项式；（2） 设()x f 为复数域上多项式。
证明()J f 必相似于对角阵。
3．（10分）（1） 设n 阶实对称矩阵()ij x A =，其中1+=j i ij a a x 且0...21=+++n a a a ，求A 的n 个特征值。
（2） 设A 为复数域上n 阶方阵。
若A 的特征根全为零，证明：1=+E A 。
此处E 为n 阶单位阵。
4（10分）设()x f 是数域F 上的二次多项式，在F 内有互异的根21,x x ，设A 是F 上线性空间L 的一个线性变换且I x A 1≠，I x A 2≠（I 为单位变换）且满足()0=A f ，证明21,x x 为A 的特征值；且L 可以分解为A 的属于21,x x 的特征子空间的直和。
5（10分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：32312123222184422x x x x x x x x x ++---6（10分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解：7（10分）假设A 为n m ⨯实矩阵，B 为1⨯n 实矩阵，TA 表示A 的转置矩阵。
证明： （1） AB=0的充要条件是0=AB A T； （2） 矩阵A A T与矩阵A 有相同的秩。
8（10分）设p A A A ,...,,21均为n 阶矩阵且0...21=p A A A 。
证明这p 个矩阵的秩之和小于等于()n p 1-，并举例说明等式可以达到。
上海交通大学2002年研究生入学考试信号系统与信号处理试题
上海交通大学2002年研究生入学考试试题试题序号：413 试题名称：信号系统与信号处理（答案必须写在答题纸上，写在试题纸上一律不得分）一． 已知系统函数233)(22+--=z z z z z H 。
1.求h(n). 2.已知输入)()1()(n n x n ε-=,全响应)(])1(32)2(342[)(n n y n n ε-++=，求y(-1),y(-2). 3.若n n x 3)(=，求响应y(n).二． 上述T t T tt f <-=),1()(；)()(001ωωδωω∑-=n H ；)2()2()(002ωωεωωεω--+=H ，求x(n)和y(t). 三．已知系统函数12199104)(23++++=s s s s s H . 1. 画出系统函数流图。
2. 根据上图，写出系统的状态方程。
3. 求At e 。
四．已知343)(22++-=s s s s H 。
1． 求h(t).2． 若)(3cos )(t t t e ε=，画出系统的RLC 图，并写出系统幅频、相频特性。
五．已知系统方程y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=x(n)，若x(n)= )(2n n ε,y(-1)=2,y(-2)=3 求：系统的全响应，并指出零输入、零状态响应及自由、强迫响应。
六．1．求)(*)(2)(n n n n s n εε=2.已知)()1()(πωδωl k e X k k j --=∑+∞-∞=，求x （n ）3.求223sin2sin4)(ωωωω=F 的傅氏反变换f(t)4.已知t t t t f 3cos )]2()2([)(--+=εε，求)(ωF 。
七．已知序列)()(n a n x n ε=，令∑+∞-∞=+=r rN n x n x )()( 求：1. )(ωj e X 和)(k X 。
2．两者之间的关系。
上海交通大学2019高等代数考研试题word资料3页
上海交通大学2002年硕士研究生入学考试高等代数1、（12）)()()(1x bg x af x f +=，)()()(1x dg x cf x g +=且0≠dc b a ，证()())(),()(),(11x g x f x g x f =。
2、（14）计算xa a a a a axaa a a a x a a a a axa x a a a a a a x aa a a a x nn n -------=+++O ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ,321321321。
3、（15）k 取何值时，下列方程组β=AX ：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，此时求其通解。
其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111,2111111βk k A 。
4、（12）设A 为数域P 上n 阶可逆矩阵，任意将A 分为两个子块⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A A A ，证n 维线性空间n P 是齐线性方程组01=X A 的解空间1V 与02=X A 的解空间2V 的直和。
5、（10）f(x)是方阵A 的特征多项式，g(x)为任多项式，())()(),(x d x g x f =，证r(g(A))=r(d(A)).6、（12）求正交变换化二次型323121232221844552x x x x x x x x x f --+++=为标准型。
7、（15）设σ为线性空间V 的一线性变换，σσ=2.证（1）σ的特征值只能为1或0（2）若用1V 与0V 分别表示对应于特征值1和0的特征子空间，则V V σ=1，)0(10-=σV （3）)0(101-⊕=⊕=σσV V V V 。
8、（10）设A ，B 为n 阶对角化矩阵，AB=BA 。
证明A ，B 可同时对角化。
上海交通大学2003年硕士研究生一 判断以下各题，正确的给出证明，错误的举出反例并给出理由（每小题6分，共24分）1）若f （x ）在R 上有定义，且在所有的无理点上连续，则f （x ）在R 上处处连续2）若f （x ），g （x ）连续，则))(),(min()(x g x f x =φ连续 3）任意两个周期函数之和仍为周期函数4）若函数f （x ，y ）在区域D 内关于x ，y 的偏导数均存在，则f （x ，y ）在D 内连续二．设f （x ）在[a ，b]上无界，试证：对任意的],[,0b a 在>δ上至少有一点0x ，使得f （x ）在δ的0x 邻域上无界.（12分）三 设f （x ）对任意的R x ∈有)()(2x f x f =且)(x f 在x=0和x=1 处连续，试证明f （x ）在R 上为常数.（12分） 四 已知)(,....)()2(,0,....,,lim 01121x f n aa x f n a a a x xx nx n →⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=≥>试求且（12分） 五，若实系数多项式)0(,)(01110≠++⋅⋅⋅⋅⋅++=--a a x a x a x a x P n n n n n 的一切根均为实数，试证导函数)('x P n 也仅有实根。
上海交大考研试题(高代)
上海交通大学研究生入学试题（高等代数）JDy97-1方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 1+4x 2-5x 3+7x 4=02x 1-3x 2+3x 3-2x 4=04x 1+11x 2-13x 3+16x 4=07x 1-2x 2+ x 3+3x 4=0是否有非零解？ 若有，求其通解，并写出解空间维数。
（14分）JDy97-2用正交线性变换把二次型 x 12+2x 22+3x 32 -4x 1x 2 - 4x 2x 3化为标准形，并写出该变换。
（14分）JDy97-3证明：矩阵A 是正定或半正定实对称的充要条件是：存在实矩阵S ，使得A=S T S ，其中S T 表示S 的转置矩阵。
（14分）JDy97-4设A, B 为n 阶方阵，AB=BA ，且A k =0，对某一个k ≥1整数，证明 |A+B|=|B|。
（14分） JDy97-5设R n [x]为次数<n 的多项式线性空间，δ 为求导变换（即δf(x)=f ’(x)），求证 ι-δ 为非退化线性变换（其中 ι 为恒等变换），并求出 δ 的所有不变子空间。
（14分）JDy97-6已知线性无关向量组e 1,e 2,…,e s 和两个非零向量的正交组f 1,f 2,…,f s 与g 1,g 2,…,g s 使得f k 和g k (k=1,2,…,s)可由e 1,e 2,…,e k 线性表示，求证f k =a k g k (k=1,2,…,s)，其中a k ≠0。
（14分） JDy97-7(1) 设J(x)为方阵X 的若当标准形，证明J(A+aE)=J(A)+aE ，其中A 是任一方矩阵，a 是一个数。
（8分）(2) 求幂等方阵A （即满足条件A 2=A ）的若当标准形。
（8分）JDy98-1叙述下列概念：1）数域；2）对称多项式；3）向量的线性相关；4）矩阵的秩；5）欧氏空间。
（每小题4分，共20分）JDy98-2求线性方程组的解：⎩⎪⎨⎪⎧(α+β)x 1+αβx 2 =0x 1 +(α+β)x 2+αβx 3 =0x 2 +(α+β)x 3+αβx 4 =0 … …. … x n-1+(α+β)x n =0JDy98-3求出一切仅与自己相似的n 阶复方阵。
上海交通大学·2002_年第一学期高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)
试题照登上海交通大学·高等数学期末试题(A 卷)(附参考答案)2002年第一学期一、选择题(每题3分,共15分,每题选项仅有一项符合要求,把所选项前的字母填入括号内)1.f (x )在a 连续,且lim x ※a f (x )-f (a )(x -a )m =c >0,其中m 是偶数,则(B ……………………………)A .a 是f (x )的极大值点; B .a 是f (x )的极小值点;C .a 不是f (x )的极大值点;D .不能判别a 是否f (x )的极值点.2.f (x ),g (x )均为恒不为零的可微函数,且f ′(x )g (x )-g ′(x )f (x )>0,则当x >a 时,成立不等式(A ……………………………………………………………………………………………………)A .f (x )g (a )>f (a )g (x );B .f (x )g (x )>f (a )g (a );C .f (a )g (x )>f (x )g (a );D .f (a )g (a )>f (x )g (x ).3.函数f (x )=lim n ※∞n 1+x 2n 在(-∞,+∞))连续且(C ………………………………………………)A .处处可导; B .仅有一个不可导点;C .仅有二个不可导点;D .至少有三个不可导点.4.∫1-11+x sin 2x 1+x 2dx =(B ………………………………………………………………………………)A .π4 B .π2 C .π D .0.5.微分方程y ″-2y ′=xe 2x 的特解形式可设为(C ……………………………………………………)A .(ax +b )e 2x ;B .x (ax +b );C .x (ax +b )e 2x ;D .axe 2x .二、填空题(每小题3分,共15分,把答案填在题中横线上)1.f (x )=ln (1+ax b ), x ≥0,e x 2-1sin2x, x <0在x =0可导,则a =12,b =1.2.设函数y =y (x )由方程y =∫2x +y 0sin t 2dt -∫x 20e -t dt (其中x >0)所确定,则其导数dy dx =2sin (x +y )2-2xe -x 1-sin (2x +y )23.∫20x 44-x 2dx =2π.4.x ※0时,∫x 30sin 3tdt 是βχα的等价无穷小,则α= 4 β= 34 .5.f (x )为连续函数,F (x )=∫2x0f (x +t )dt ,则F ′(x )=3f (3x )-f (x ).三、计算下列积分(18分)1.∫x (e x2x x 122-12+12(6分)63Vol .6,No ,4Dec .,2003 高等数学研究STUDIES IN COLLECE MATHEMATICS2.∫π0dx 2+cos x =23arctan x 3|+∞0=π33.∫+∞2dx x 4x 2-1=12arcsin 15四、解下列方程(14分)1.(x y -x 2)y ′=y 2 e y x =cy2.y ″+2y ′+2y =4e x sin x 通解为y =12e x (sin x -cos x )+c 1e -x cos x +c 2e -x sin x 五、(14分)1.设f (x )=ln x -2x 2∫e 1f (x )xdx ,求f (x ). f (x )=ln x -e -2x 22.设f 2(x )=2∫x 0f (t )1+f ′2(t )dt -2x ,求f (x ). f (x )=1-e x六、应用题(18分)1.求心脏线r =a (1+cos θ)(a >0)上对应0≤θ≤π2的孤线段的长度,且求该弧段与射线θ=0及θ=π2所围图形绕极轴旋转所得旋转体的体积.V =52πa 32.(8分)D 是由抛物线y =2x (2-x )与x 轴所围成的区域,直线y =kx 交区域D 分为面积相等的两部分,求k 的值。
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上海交通大学2002年硕士研究生入学考试高等代数
1、（12）
)()()(1x bg x af x f +=，)()()(1x dg x cf x g +=且
0≠d
c b
a ，证()())(),()(),(11x g x f x g x f =。
2、（14）计算
x
a a a a a a
x
a
a a a a
x a a a a a x a x a a a a a a x a a a a a x n
n n -------=+++
,32
1
321321。
3、（15）k 取何值时，下列方程组β=AX ：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，
此时求其通解。
其中⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111,2111111βk k A 。
4、（12）设A 为数域P 上n 阶可逆矩阵，任意将A 分为两个子块⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=21A A A ，证n 维线性
空间是齐线性方程组01=X A 的解空间与02=X A 的解空间的直和。
5、（10）f(x)是方阵A 的特征多项式，g(x)为任多项式，())()(),(x d x g x f =，证r(g(A))=r(d(A)).
6、（12）求正交变换化二次型323121232221844552x x x x x x x x x f --+++=为标准型。
7、（15）设为线性空间V 的一线性变换，σσ=2
.证（1）的特征值只能为1或0（2）若用与分别表示对应于特征值1和0的特征子空间，则V V σ=1，)0(10-=σV （3）
)0(101-⊕=⊕=σσV V V V 。
8、（10）设A ，B 为n 阶对角化矩阵，AB=BA 。
证明A ，B 可同时对角化。
上海交通大学2003年硕士研究生
一 判断以下各题，正确的给出证明，错误的举出反例并给出理由（每小题6分，共24分） 1）若f （x ）在R 上有定义，且在所有的无理点上连续，则f （x ）在R 上处处连续 2）若f （x ），g （x ）连续，则))(),(min()(x g x f x =φ连续
3）任意两个周期函数之和仍为周期函数
4）若函数f （x ，y ）在区域D 内关于x ，y 的偏导数均存在，则f （x ，y ）在D 内连续 二．设f （x ）在[a ，b]上无界，试证：对任意的],[,0b a 在>δ上至少有一点，使得f （x ）在δ的0x 邻域上无界.（12分）
三 设f （x ）对任意的R x ∈有)()(2x f x f =且)(x f 在x=0和x=1 处连续，试证明f （x ）在R 上为常数.（12分）
四 已知)(,....)()2(,0,....,,lim 01121x f n a
a x f n a a a x x
x n
x n →⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++=≥>试求且（12分） 五，若实系数多项式)0(,)(01110≠++⋅⋅⋅⋅⋅++=--a a x a x a x a x P n n n n n 的一切根均为实数，试证导函数)('x P n 也仅有实根。
（12分） 六 设}{n na 收敛，级数
)(12
-∞
=-∑n n n
a a
n 收敛，试证明级数∑∞
=1
n n a 收敛（12分）
七 设)0)((≥=x x y φ是严格单调增加的连续函数，)(,0)0(y x ψφ==是它的反函数，试证明对⎰⎰≥+>>a b
ab dy y dx x b a 0
.)()(,0.,0ψφ有
（12分）
八计算题（每小题12分，共24分）
1） 求函数4
4
4
),,(z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值。
2） 计算积分
h z z R z y x V zdxdydz z y I V
===-+-=⎰⎰⎰,0,)(21,arctan )(222为由曲面其中
所围成的区域
九．设g （x ）在),[+∞a 上一致连续，且对任意的A n x g a x n =+≥+∞
→)(,lim 有，
试证：
A x g x =+∞
→)(lim （10分）
十 试证分）10.(0,)
1(1
)11(ln 2
>+<+
x x x x 十一。
设函数f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且f （x ）是非线性函数，试证存在分）使得10.()
()()('),(a
b a f b f f b a -->∈ξξ。