高一数学上册知识点检测试题31
高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)
函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。
高一数学上册期中复习知识点和试卷
高一数学：解函数常见的题型及方法主编：东平校区 张忠兵一、函数定义域的求法函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范围。
高考中考查函数的定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在大题中作为其中一问。
以考查对数和根号两个知识点居多。
1、求具体函数()x f y =定义域求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： ①分式中分母不为零②偶次方根，被开方数非负 ③对于0x y =，要求0≠x④指数式子中，底数大于零且不等于1⑤对数式中，真数大于零，底数大于零且不等于1⑥由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束例：函数y ＝23-x ＋3323-+x x ）（的定义域为。
解: 要使函数有意义，则⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠-≥-.03032023x x x ，，所以原函数的定义域为{x|x ≥32，且x ≠32}.评注：对待此类有关于分式、根式的问题，切记关注函数的分母与被开方数即可，两者要同时考虑，所求“交集”即为所求的定义域。
2、求抽象函数的定义域(1)若已知函数()x f y =的定义域为[]b a ,，其复合函数()[]x g f y =的定义域由不等式()b x g a ≤≤求出x 的取值范围，即为函数()[]x g f y =的定义域；例: 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为。
分析：由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。
解：依题意知：2log 212≤≤x 解之，得42≤≤x ∴)(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x点评：对数式的真数为x ，本来需要考虑0>x ，但由于42≤≤x 已包含0>x 的情况，因此不再列出。
2023-2024学年吉林省吉林省高一上册期末数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年吉林省吉林省高一上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{0,1,2},{}A B x A ==∈，则B =（）A ．{0}B ．{0,2}C ．10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{0,1,4}【正确答案】D【分析】根据元素与集合关系，建立方程，可得答案.A 0=时，0x =1=时，1x =2=时，4x =，即{}0,1,4B =.故选：D.2．命题“对任意一个实数x ，都有240x +≥”的否定是（）A ．对任意一个实数x ，都有240x +≤B ．存在一个实数x ，使得240x +<C ．存在实数x ，使得240x +≤D ．对任意实数x ，使得240x +<【正确答案】B【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】由全称量词命题的否定可知，原命题的否定为“存在一个实数x ，使得240x +<”.故选：B.3．已知函数()21f x x kx =+-在区间[]1,2上是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A ．(][),21,-∞--+∞B ．[]4,2--C ．(][),42,-∞--+∞D ．[]2,1--【正确答案】C【分析】根据二次函数的性质可得22k -≥或12k-≤，解出即可得出实数k 的取值范围.【详解】函数()21f x x kx =+-的对称轴为2k x =-.若函数()21f x x kx =+-在区间[]1,2上单调递减，则应有22k-≥，所以4k ≤-；若函数()21f x x kx =+-在区间[]1,2上单调递增，则应有12k-≤，所以2k ≥-.综上所述，实数k 的取值范围是4k ≤-或2k ≥-.故选：C.4．设12log 3a =,12e b =,lg 2c =,则（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．c a b <<D ．a c b<<【正确答案】D【分析】根据()12log f x x =,()e xg x =,()lg h x x =的单调性,分别判断,,a b c 的大概范围,即可得出大小.【详解】解:由题知12log 3a =,12e b =,lg 2c =,因为()12log f x x =在定义域内单调递减,所以()()31f f <,即1122log 3log 10a =<=,因为()e xg x =在定义域内单调递增,所以()102g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即0121e e b >==,因为()lg h x x =在定义域内单调递增,所以()()()1210h h h <<,即0lg 21c <=<,综上:a c b <<.故选:D5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()33f x x x =-，则()2023f 等于（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【正确答案】A【分析】根据已知可得4T =，进而可得()()20231f f =-.又()12f =-，根据奇函数性质即可得出答案.【详解】由已知可得，函数()f x 为R 上的奇函数，且()f x 周期4T =.则()()()()20235054331f f f f =⨯+==-，又()311312f =-⨯=-，所以()()112f f -=-=，所以()()202312f f =-=.故选：A.6．幂函数的图像过点12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则它在[]1,3上的最大值为（）A ．13B ．－1C ．1D ．－3【正确答案】C【分析】设出幂函数的解析式()f x x α=，待定系数法求出()1f x x -=，结合函数的单调性，求出最大值.【详解】设幂函数()f x x α=，将12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入，得：()122α-=-，解得：1α=-，故()1f x x -=，它在[]1,3上单调递减，故当1x =时，取得最大值，()()max 11f x f ==.故选：C7）A ．sin 5cos 5-B ．cos5sin 5-C ．sin 5cos 5+D ．cos5sin 5--【正确答案】B【分析】利用诱导公式、商数关系和完全平方关系求解===sin 5cos5=-，因为3π5,2π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 50,cos5>0<，cos5sin 5=-，故选：B.8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】B 由正弦函数的性质可得121(2(233k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可.【详解】由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴121(2)(233k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，()f x 单调递增，又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴12(2)3412(2)33k k πππωπππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得8831320k k k Z ωωω⎧≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪∈⎩，所以当0k =时，有102ω<≤，故选：B关键点点睛：利用整体代入法得到121(2(233k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.二、多选题9．下列推理正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b>D ．若a ，R b ∈，则2ab ba +≥【正确答案】BC【分析】A 选项，可举出反例；BC 选项，利用不等式的基本性质得证；D 选项，当0a =或0b =时，a b ba+无意义.【详解】A 选项，不妨设0,1a b ==-，满足a b >，但22a b <，A 错误；B 选项，因为0a b <<，所以不等式两边同时乘以a 得：2a ab >，不等式两边同时乘以b 得：2ab b >，从而22a ab b >>，B 正确；C 选项，因为0a b <<，所以0ab >，不等式两边同除以ab 得：11a b>，C 正确；D 选项，因为a ，R b ∈，故当0a =或0b =时，a b ba+无意义，D 错误.故选：BC10．若函数()2313x ax f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像经过点()31，，则（）A ．2a =-B ．()f x 在()1∞-，上单调递减C ．()f x 的最大值为81D ．()f x 的最小值为181【正确答案】AC【分析】利用函数经过点()31，,可求出a ,再应用函数性质每个选项分别判断即可.【详解】对于A :由题意得()361313a f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，得2a =-,故A 正确;对于B :令函数223u x x =--，则该函数在(),1-∞上单调递减，在[)1,∞+上单调递增．因为13uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,∞+上单调递减，故B错误;对于C D :因为()f x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,∞+上单调递减,所以()()max 181f x f ==,()f x 无最小值．故C 正确,D 错误;故选:AC .11．已知函数()tan 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为2πC ．把()f x 向左平移6π可以得到函数()tan 2g x x =D ．()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【正确答案】ABD【分析】根据正切函数的函数值，周期，平移对应的解析式变化，和函数的单调性即可求解.【详解】()tan 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以tan tan 266f ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；()f x 的最小正周期为2T ππω==，故选项B 正确；把()f x 向左平移6π可以得到函数tan 2tan(2)666y x x πππ⎡⎤⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项C 错误；,06x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2,626x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，tan 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 选项正确；故选：ABD.12．已知()|ln |f x x =，当b a <时，()()f a f b =，则（）A ．11a>B ．1ab =C ．e e 2ea b+>D ．21514b a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】根据()()f a f b =可得ln ln a b =-，再由b a <可判断AB ；利用基本不等式可判断C ；利用配方法可判断D.【详解】ln ,1()ln ln ,01x x f x x x x ≥⎧==⎨-<<⎩，因为()()f a f b =，所以|ln ||ln |a b =，可得ln ln a b =-，因为b a <，所以1a >，1ab =，故A 错误，B 正确；对于C ，因为2a b +>=，所以e e 2e +>a b ，故C 正确；对于D ，222155111442⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b b b a ，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知,x y 为正实数，且满足412x y +=，则xy 的最大值为______．【正确答案】9【分析】用基本不等式求得最值，然后化简既可得最大值.【详解】因为,x y 为正实数，且满足412x y +=，所以124x y =+≥，即39xy ⇒≤，当且仅当46x y ==即3,62x y ==时取等号，所以xy 的最大值为9.故9.14．函数lg 23y x x =+-的零点()01,5x ∈，对区间()1,5利用两次“二分法”，可确定0x 所在的区间为______．【正确答案】()1,2【分析】利用“二分法”结合零点存在定理可得出0x 所在区间.【详解】设()lg 23f x x x =+-，因为函数lg y x =、23y x =-在区间()1,5上均为增函数，故函数()f x 在区间()1,5上为增函数，因为()110f =-<，()5lg 570f =+>，()3lg 330f =+>，故()01,3x ∈，又因为()2lg 210f =+>，由零点存在定理可得()01,2x ∈.故答案为.()1,215．函数()23sin 2cos 1f x x x =--的最大值为______．【正确答案】73【分析】由已知可得，()23cos 2cos 2f x x x =--+，令cos t x =，求2217322333y t t t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭在11t -≤≤时的最大值，即可得出结果.【详解】()23sin 2cos 1f x x x =--()231cos 2cos 1x x =---23cos 2cos 2x x =--+，令cos t x =，11t -≤≤，令2217322333y t t t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，当13t =-时，有最大值为73.所以，函数()23sin 2cos 1f x x x =--的最大值为73.故答案为.7316．若函数()f x =1(Z)2ax a x +∈+在区间(2,)-+∞上单调递增，则a 的最小值为____________．【正确答案】1【分析】由12()2af x a x -=++以及复合函数的单调性可得120a -<，再根据Z a ∈可求出结果.【详解】因为1()2ax f x x +=+122a a x -=++在区间(2,)-+∞上单调递增，所以120a -<，即12a >，因为Z a ∈，所以a 的最小值为1.故答案为.1四、解答题17．已知全集[0,5],{|121}A B x m x m ==+≤≤-．(1)若2m =，求A B⋂(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){3}；(2)3m ≤.【分析】（1）当2m =时，得B ，由交集运算即可求解；（2）由题可知B 真包含于A ，分集合B =∅和B ≠∅两种情况分类讨论，即可求解m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，{}3B =，又[0,5]A =，所以A B ⋂={3}；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要非充分条件，于是得B 真包含于A ，①当B =∅时，211,2m m m -<+∴<；②当B ≠∅时，由B 真包含于A 得21121510m m m m -≥+⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩（等号不能同时成立），23m ∴≤≤，综上所述，3m ≤.18．已知αβ，为锐角，1tan 2α=，()cos αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求αβ-的值．【正确答案】（1）3cos 25α=；（2）4παβ-=-.【分析】（1）由于222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ααααααα--==++，所以代值求解即可；（2）由()cos 10αβ+=-求出()sin αβ+的值，从而可求出()tan αβ+的值，而()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+，进而可求得结果【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++（2）因为αβ，为锐角，所以()0αβπ+∈，，22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，又()cos 10αβ+=-，所以()sin 10αβ+===，()()()sin 10tan 7cos αβαβαβ++==-+，又22tan 4tan 21tan 3ααα==-，所以()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+47314173+==--⨯因为22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，所以4παβ-=-.19．设x ∈R ，函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求ω和ϕ的值；(2)列表，并在给定坐标系中作出函数()f x 在[]0,π上的图像；(3)若()f x >x 的取值范围．【正确答案】(1)2ω=，3πϕ=-(2)表格，图像见解析(3),124x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）利用最小正周期和42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合给定范围与三角函数性质即可求解；（2）列表描点即可得出答案；（3）由余弦函数的图像与性质解不等式即可得出答案.【详解】（1） 函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，2T ππω∴==，2ω∴=，42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos si 422n f ϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=ππ=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，02πϕ-<< ，3ϕπ∴=-；（2）跟据第一问知()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：x6π512π23π1112ππ23x π-3π-2ππ32π53π()f x 1211-012函数()f x 在[]0,π上的图像如下图：（3）()32f x > ，即os 2332c x π⎛⎫ ⎪⎭>-⎝，226623x k k πππππ-<∴+-<，k ∈Z ，则26222k x k ππππ<+<+，k ∈Z ，即124k x k ππππ+<<+，k ∈Z ，x ∴的取值范围为.,124x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 20．设a ，b 为实数，已知定义在R 上的函数()21xb f x a =-+为奇函数，且其图象经过点11,3⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意的x ∈R ，都有不等式()()220f x f m x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)()2121x f x =-+(2)(),1-∞-【分析】（1）根据()00f =，()113f =列出方程组，求出1,2a b ==，检验后得到解析式；（2）先用定义法判断出函数()2121x f x =-+在R 上单调递增，结合()2121x f x =-+的奇偶性，解不等式，得到实数m 的取值范围.【详解】（1）()21x b f x a =-+为定义在R 上的奇函数，故()00021bf a =-=+，又1213b a -=+，解得：1,2a b ==，故()2121x f x =-+，经检验，()2121x f x =-+是奇函数，满足题意，故()2121x f x =-+；（2）任取12,R x x ∈，且12x x <，则()()()()()()12121212121111122222222211212121212121x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+==++++++，因为2x y =单调递增，所以1211220x x ++-<，又因为1211210,210x x +++>+>，故()()()()121211122202121x x x x f x f x ++--=<++，故()()12f x f x <，故()2121x f x =-+在R 上单调递增，又()2121xf x =-+是定义在R 上的奇函数，由()()220f x f m x +->得：()()()222f x m f x f x ->-=-，故22x m x ->-，所以()22211m x x x <+=+-，所以1m <-，实数m 的取值范围是(),1-∞-.21．中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100+1000,040()100007018450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部．手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2021年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】（1）()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.（1）由题意，按照040x <<、40x ≥分类，转化等量关系即可得解；（2）按照040x <<、40x ≥分类，结合二次函数的性质及基本不等式即可得解.【详解】（1）当040x <<时，()()22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-；当40x ≥时，()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）若040x <<，()()210307750W x x =--+，当30x =时，()max 7750W x =万元；若40x ≥，()10000820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=即100x =时，()max 8000W x =万元.答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.22．已知函数()πcos 14f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭．(1)当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；(2)将函数()f x 的图像向右平移π4个单位长度后，再将得到的图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，再将得到的图像向下平移m 个单位长度得到函数()g x 的图像．若函数()g x 在π3π,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为2，求m 的取值范围．【正确答案】(1)⎡-⎣；(2)⎡-⎣.【分析】(1)利用三角函数两角和的正弦公式以及二倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可.(2)根据三角函数的图像变换关系求出函数()g x 的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】（1）由题知，()πcos 14f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭=cos 1x x x ⎫⋅-⎪⎪⎭22sin cos 2cos 1x x x =+-，则()πsin2cos 224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，则ππ3π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴当ππ244x +=-，即π4x =-时，()f x 有最小值，且()min 12f x ⎛=-=- ⎝⎭.当ππ242x +=，即π8x =时，()f x 有最大值，且()max 1f x =()f x \的值域为⎡-⎣.（2）由(1)知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像向右平移π4个单位长度可得ππ244y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，纵坐标变为原来的2倍可得π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向下平移m 个单位长度得()π24g x x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0g x =，则有πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π3π,244x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ5π2434x ⎡⎤∴-∈-⎢⎣⎦，设ππ5π2,434t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则sin y t =，π5π,34t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，如图所示，sin y t =与y =则sin y t ⎡⎫=∈⎪⎢⎪⎣⎭，即12-≤，所以m 的取值范围为⎡-⎣.。
2023-2024学年江苏省扬州市高一上册期末复习数学检测试题(含解析)
2023-2024学年江苏省扬州市高一上册期末复习数学检测试题一、单选题1．设全集{-2,-1,0,1,2}U =，{2,1,0}A =--，{0,1,2}B =，则图中阴影部分所表示的集合为A ．{0}B ．{2,1}--C ．{1,2}D ．{0,1,2}【正确答案】C【详解】图中阴影部分所表示的集合为()U B A ⋂ð，全集{-2,-1,0,1,2}U =，{}2,1,0A =--，所以{}1,2U C A =，(){}1,2U B A ⋂=ð，故选C.2．给出命题：方程210x ax ++=没有实数根，若该命题为真命题，则a 的一个值可以是（）A ．4B ．2C ．0D ．3-【正确答案】C【分析】根据根的判别式求出a 的范围，在选项中选出符合条件的值即可【详解】解：由方程无实数根得，应满足240a ∆=-<，解得22a -<<，故当0a =时符合条件.故选;：C.本题考查根据命题的真假求参数问题，是简单题.3．已知函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则函数()()y f x g x =⋅的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】利用函数的奇偶性结合()()y f x g x =⋅在定义域上的正负即可判断.【详解】解：由图知，()()y f x g x =⋅的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，令()0f x =时，1x x =或2x x =，由()y f x =为偶函数，()y g x =为奇函数，所以()()y f x g x =⋅为奇函数，关于原点对称，对A ，当()1,0x x ∈时，()0f x <，()0g x >，所以()()0f x g x ⋅<，故A 错误；对B ，由图知，当()1,x x ∈-∞时，()()0f x g x ⋅>，当()1,0x x ∈时，()()0f x g x ⋅<结合奇函数的对称性可得()0,x ∈+∞时的图象，故B 正确；对C ，由分析知，()()y f x g x =⋅是奇函数，关于原点对称，故C 错误；对D ，由选项A 和B 的分析知，当()1,0x x ∈时，()()0f x g x ⋅<，故D 错误.故选：B.4．sin1a =，lgsin1b =，sin110c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c b a<<【正确答案】B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】0sin11<< ，sin10lg ∴<，sin1101>，b ac ∴<<．故选：B ．5．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（参考数据：lg20.3,lg30.477≈≈）A ．6B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】设该污染物排放前过滤的次数为n ()*N n ∈，由题意1.20.80.2n ⨯≤，两边取以10为底的对数可得lg 2lg 313lg 2n +≥-，根据参考数据即可求解.【详解】解：设该污染物排放前过滤的次数为n ()*N n ∈，由题意1.20.80.2n⨯≤，即564n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数可得5lg lg 64n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即52lg lg 2lg 38n ⨯⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以lg 2lg 313lg 2n +≥-，因为lg20.3,lg30.477≈≈，所以lg 2lg 30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯，所以7.77n ≥，又*n ∈N ，所以min 8n =，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次.故选：C.6．已知sin π164x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 5π-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+cos π-3x ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．0B ．14C ．12D ．-12【正确答案】C【分析】由诱导公式可得5πsin -sin()66π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x x ，πcos -sin()36π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x x ，即可得出结果.【详解】因为π1sin 64⎛⎫+= ⎪⎝⎭x ，所5πsin -6⎛⎫ ⎪⎝⎭x +πcos -3⎛⎫ ⎪⎝⎭x =πsin π-6⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x +ππcos -26⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x =π2sin 6⎛⎫+ ⎪⎝⎭x =211.42⨯=故选：C.本题考查了诱导公式的应用，考查了计算能力，属于基础题目.7．函数12()152f x x x=++-（512x -<<）的最小值是（）A ．76B ．87C ．98D ．65【正确答案】B【分析】由21()[(22)(52)](72521)2f x x x x x=++-++-展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件.【详解】由512x -<<，可得10,520x x +>->，122221()[(22)(52)](1522252751222f x x x x x x x x x=+=+=++-++-+-+-228(2(277522222527x x x x -+=++≥-+=+，仅当52222252x x x x-+=+-，即34x =时等号成立，故()f x 的最小值为87.故选：B8．已知幂函数21()(33)m f x m m x +=-+为偶函数，若函数()()2a g x f x x =-在［2，4]上单调，则实数a 的取值范围为（）A ．()2∞，＋B ．(][),23,∞⋃+∞-C ．()(),12,-∞+∞ D ．()13，【正确答案】B【分析】根据幂函数的特征和性质可得1m =，代入2()2a g x x x =-，根据二次函数的单调性即可列出不等关系求解.【详解】依题意有2331m m -+=，解得1m =或2m =．又函数()f x 为偶函数，故1m +为偶数，则1m =，所以2()f x x =，2()2ag x x x =-，若单调递增，则222a ≤，若单调递减，则242a≥，故24a ≤或28a ≥，解得2a ≤或3a ≥．故选：B ．二、多选题9．已知函数()()22435f x ax a x =+-+，下列关于函数()f x 的单调性说法正确的是（）A ．函数()f x 在R 上不具有单调性B ．当1a =时，()f x 在(),0∞-上递减C ．若()f x 的单调递减区间是(],4-∞-，则a 的值为1-D ．若()f x 在区间(),3-∞上是减函数，则a 的取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】BD对于A ，取0a =可判断；对于B ，可得()f x 的单调递减区间为(),2∞-，即可判断；对于C ，由题可得()2043422a a a>⎧⎪-⎨-=-⎪⨯⎩无解，即可判断；对于D ，讨论0a =和0a ≠即可求出.【详解】对于A ，当0a =时，()125f x x =-+在R 上单调递减，故A 错误；对于B ，当1a =时，()2285f x x x =-+对称轴为2x =，开口向上，∴()f x 的单调递减区间为(),2∞-，()(),0,2-∞⊆-∞ ，∴()f x 在(),0∞-上递减，故B 正确；对于C ，若()f x 的单调递减区间是(],4-∞-，则()2043422a a a>⎧⎪-⎨-=-⎪⨯⎩无解，故C 错误；对于D ，当0a =时，()125f x x =-+在R 上单调递减，满足题意；当0a ≠时，若()f x 在区间(),3-∞上是减函数，则()2043322a a a>⎧⎪-⎨-≥⎪⨯⎩，解得304a <≤；综上304a ≤≤，故D 正确.故选：BD.关键点睛：本题考查含参二次函数的单调性问题，解题的关键是求出函数的对称轴和开口方向，根据二次函数的图象和性质列不等式求解.10．已知1x y +=，0y >，0x ≠，则121x x y ++的值可能是（）A ．23B ．1C ．34D ．54【正确答案】BCD1,0,0x y y x +=>≠,有10y x =->则1x <且0x ≠,分01x <<和0x <打开||x ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.【详解】由1,0,0x y y x +=>≠，得10y x =->，则1x <且0x ≠.当01x <<时,121x x y ++=122242x x x x x x x x+-+=+--=1215+=44244x x x x -+≥-.当且仅当2=42x x x x --即23x =时取等号.当0x <时,121x x y ++=122242x x x xx x x x--+-+=+----=1213+=44244x x x x ---+≥---.当且仅当2=42x x x x ----即2x =-时取等号.综上，13214x x y +≥+.故选：BCD.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．对于函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，叙述正确的是（）A ．图象C 关于直线11π12x =对称B ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数C ．由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象CD ．图象C 关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称【正确答案】AB 【分析】将11π12x =代入函数中，若取到了最值，则图像C 关于直线11π12x =对称，否则不对称；先求出()f x 的递增区间，然后判断；利用正弦函数图像平移变化规律判断；()f x 图像的对称中心是其图像与x 轴的交点，所以将点坐标代入验证即可.【详解】解：对于A ，将11π12x =代入函数中得，11113()3sin(2)3sin 3121232f ππππ=⨯-==-，所以直线11π12x =是图像C 的一条对称轴，故A 正确；对于B ，由22k ππ-+≤π23x -≤22k ππ+，得12k ππ-+≤x ≤512k ππ+()k ∈Z ，所以函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎝⎭内是增函数是正确的；对于C ，由于()π3sin 23sin 236f x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像是由3sin 2y x =的图像向右平移π6个单位长度可以得到，故C 不正确；对于D ，当π3x =时，ππππ3sin 23sin 033332f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图像C 不关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故D 不正确；故选：AB此题考查了正弦函数的图像与性质，考查了正弦函数的图像平移变换规律，属于基础题.12．()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x -是奇函数，()f x x +是偶函数，函数()()[]()(),0,141,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则下列选项正确的有（）A ．()22f =B ．()21216N 212k g k k g *+⎛⎫⎪⎝⎭=∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2022202522g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．当()1,2x ∈时，()24128g x x x =-+【正确答案】ACD【分析】由题意可得()2f x x x =-，把2代入求得()2f 可判断A ；当()1,2x ∈时，()()41g x f x =-，()2,3x ∈时，()()162g x f x =-，由此可知()12114N 22k k g g k k -*+⎛⎫⎛⎫=+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可判断BCD【详解】因为()2f x x -是奇函数，()f x x +是偶函数，所以()()()()22f x x f x x f x x f x x ⎧--=-+⎪⎨--=+⎪⎩，解得()2f x x x =-，对于A ：()22222f =-=，故A 正确；由()()[]()(),0,141,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，当()1,2x ∈时，()10,1x -∈，所以()()()4141g x g x f x =-=-，当()2,3x ∈时，()11,2x -∈，()20,1x -∈，所以()()()41162g x g x f x =-=-，又2111111422224g f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，012315375414,444,4164,222222g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-==-=-==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 则有()12114N 22k k g g k k -*+⎛⎫⎛⎫=+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22114N 22k k g g k k -*-⎛⎫⎛⎫=-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2124N 212k g k k g *+⎛⎫⎪⎝⎭=∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ：1012110112022202521012111012442222g g g -⨯+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：由B 可知()()()()22414114128g x f x x x x x ⎡⎤=-=--=-+⎣⎦-，故D 正确；故选：ACD三、填空题13．函数()f x =________.【正确答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数()y f x =的定义域，并求出函数26u x x =+-的单调递增区间，利用复合函数法可得出函数()y f x =的单调递减区间.【详解】对于函数()f x =260x x +->，即260x x --<，解得23x -<<.由于内层函数26u x x =+-在区间12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，外层函数y =()0,∞+上为减函数，由复合函数法可知，函数()f x 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭本题考查函数单调区间的求解，涉及复合函数法的应用，在求单调区间时，还应注意求出该函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.14．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于________．【正确答案】-利用同角三角函数的基本关系可求得sin α的值，进而利用商数关系可求得tan α的值.【详解】,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin 3α∴=-，因此，sin tan cos ααα==-故-．15．若a ，b 为正实数，*,N m n ∈，且32a b +=，413a nb m+≥+，则mn =___________.【正确答案】3.【分析】根据题意，可知3332m m a b n n++=+，3414333nm a nb m a b n+=+≥++，再根据基本不等式中的“1”用法，结合题意以及不等式取等号的条件，即可求出,m n 的值，进而求出结果.【详解】由题意可知，a ，b 为正实数，*,N m n ∈，32a b +=所以3332m ma b n n++=+又413a nb m+≥+所以341414333333nm n m a nb m a a b b n n +=++≥+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即34141433333n m n m a nb m a a b b n n +=+=++⎛⎫++ ⎪⎝⎭3334343131=34+33333232m b a m n n n a b mm m m a n a n b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥+++=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦31314+=4++433322m m n n n n⎡⎢⎛⎢≥⋅≥ ⎢⎝++⎢⎣当且仅当334333m b a n n m a b n⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+（①）时，取等号，即314+332m n n⎛⋅= ⎝+所以(234332323n n n mn m ⎛⎫++⋅=⇒= ⎪ ⎪++⎝⎭（②）联立①②，因为*,N m n ∈，所以3n =，则(227333363mm==⨯++，所以1m =，所以3mn =.故答案为.316．()f x 是定义域为R 的偶函数，满足()24f =，对于任意的12,0x x >且12x x ≠，都有122212()()2f x f x x x -<-成立．如果2()24f m m <-，则实数m 的取值范围是_________．【正确答案】()(),22,∞∞--⋃+【分析】首先构造函数()()22g x f x x =-，然后根据已知条件判断()g x 的奇偶性与单调性，根据构造的函数将问题()224f m m <-转化为()()2g m g <，最后根据()g x 的单调性与奇偶性解出参数m 的取值范围即可.【详解】已知对于任意的12,0x x >，且12x x ≠，都有()()1222122f x f x x x -<-，得()()12221220f x f x x x --<-，即()()()()2212121212220f x x f x x x x x x ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦<-+.12,0x x > ，120x x ∴+>，()()22121212220f x x f x x x x ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦∴<-.令()()22g x f x x =-，得对于任意的12,0x x >，且12x x ≠，都有()()21210g x g x x x -<-成立，即得()g x 在()0,x ∈+∞上单调递减.又 ()f x 为偶函数，∴()()22g x f x x =-为偶函数.已知()224f m m <-，()24f =，得()()222222f m m f -<-⨯，即()()2g m g <.()g x 为偶函数，故得()()2g m g <.又 ()g x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∴2m >，解得2m <-或m>2.故实数m 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.故()(),22,∞∞--⋃+四、解答题17．已知集合{}11A x a x a =-≤≤+，{}12B x x =-≤≤(1)当1a =-时，求A B ⋃；(2)若___________，求实数a 的取值范围.在①A B A = ；②“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件；③() R R B A = ð这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并按照你的选择求解问题（2）.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多个条件解答，按第一个解答计分）.【正确答案】(1){}22x x -≤≤(2)[]0,1【分析】（1）根据并集的定义计算可得；（2）根据所选条件均可得到A B ⊆，可判断A ≠∅，即可得到不等式组，解得即可.【详解】（1）解：当1a =-时{}20A x x =-≤≤，又{}12B x x =-≤≤，所以{}22A B x x ⋃=-≤≤；（2）解：若选①A B A = ，则A B ⊆，显然11a a +>-，即A ≠∅，所以1211a a +≤⎧⎨-≥-⎩，解得01a ≤≤，即[]a 0,1∈；若选②“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则A B ⊆，显然11a a +>-，即A ≠∅，所以1211a a +≤⎧⎨-≥-⎩，解得01a ≤≤，即[]a 0,1∈；若选③() R R B A = ð，则A B ⊆，显然11a a +>-，即A ≠∅，所以1211a a +≤⎧⎨-≥-⎩，解得01a ≤≤，即[]a 0,1∈；18．（12324a -（2）求值：32log 70lg 42lg 52ln 3π+++-【正确答案】（1）32b ；（2）65【分析】（1）根据根式的性质与指数幂运算法则即可计算;（2）由对数运算法则运算即可【详解】（1133211322221113332226632444a a b a b a b b b b a ---⎛⎫ ⎪⎝⎭===；（2）32log 70lg 42lg 532(lg 2lg 5)1197π+++-+=++-+⨯26365=+=19．已知1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求5cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)若02πα-<<，求24cos sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【正确答案】(1)13-(2)19【分析】（1）由已知结合诱导公式5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--可求，（2）结合已知及同角平方关系可求sin()6πα-，然后利用诱导公式及同角平方关系可求．【详解】（1）解： 1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴51cos()cos cos 6663πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，（2）解： 02πα-<<，则6326πππα<-<又1cos()63πα-=，sin 6πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭∴22411cos()sin ()cos()sin ()3333ππααπαπα+++=+++，2cos sin 2266ππππαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin()cos ()66ππαα=-+-，11399=+=．20．济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t .(1)求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为()()8265660p t Q t t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.【正确答案】(1)2300+402,2<10()=500,1020t t t p t t -≤≤≤⎧⎨⎩；450(2)发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.【分析】（1）由题设，有2()500(10)p t k t =--且(2)=372p ，求k 值，进而写出其分段函数的形式即可.（2）由（1）写出()Q t 解析式，讨论210t ≤<、1020t ≤≤求最大值即可.【详解】（1）由题设，当210t ≤<时，令2()500(10)p t k t =--，又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴2(2)500(102)372p k =--=，解得=2k .∴2300+402,2<10()=500,1020t t t p t t -≤≤≤⎧⎨⎩，故=5t 时，2(5)5002(105)450p =-⨯-=，所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人.（2）由（1）知：25626016,2<10()=134460,1020t t t Q t t t--≤-≤≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∵210t ≤<时，()260132Q t ≤-=当且仅当=4t 等号成立，∴210t ≤<上max ()(4)132Q t Q ==，而1020t ≤≤上，()Q t 单调递减，则max ()(10)74.4Q t Q ==，综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.21．已知二次函数()f x 满足()()()1269R f x f x x x +--=-∈，且(0) 2.f =(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()(22)3()g x a x a f x =--+-在[0,1]x ∈时有最大值2，求a 的值．【正确答案】(1)2()22f x x x =-+(2)1-或2.【分析】（1）设2()(0)f x mx bx c m =++≠，利用恒等关系以及(0)2f =列方程求解即可；（2）根据对称轴位置，分三种情况讨论，分别利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设2()(0)f x mx bx c m =++≠，由(1)(2)69f x f x x +--=-，得63369mx m b x -+=-对于x ∈R 恒成立，故66339m m b =⎧⎨-+=-⎩，解得12m b =⎧⎨=-⎩，又由(0)2f =，得2c =，所以2()22f x x x =-+（2）由22()()1g x x a a a =--+-+，当1a >时，max ()(1)g x g a ==；当01a 时，m x 2a ()()1g x g a a a ==-+；当0a <时，min =()(0)1g x g a =-，根据已知条件得12a a >⎧⎨=⎩或20112a a a ≤≤⎧⎨-+=⎩或012a a <⎧⎨-=⎩，解得2a =或 1.a =-所以a 的值为1-或2.22．经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”．(1)若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”．若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-．（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()()()0h x tg x t =>在()0,∞+上存在保值区间，求t 的取值范围．【正确答案】(1)()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩(2)（i ）()11,111,12x x g x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()4,+∞【分析】（1）由奇偶性的定义求解即可；（2）（i ）由题意可知()y g x a =+为奇函数，进而()()2g x g x =--，由此可求出1x <时的解析式，即可求解；（ii ）由()()()11,1011,12t x x h x tg x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩的单调性结合“保值”区间的定义，分类讨论即可求解【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，所以()()()2211f x f x x x ⎡⎤=--=--+=--⎣⎦，又()00f =，所以()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）（i ）因为定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1y g x =+为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()2g x g x =--，1x <时，21x ->，所以()()1121122g x g x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪--⎝⎭．所以()11,111,12x x g x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()()()11,1011,12t x x h x tg x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩，当()0,1x ∈时，()()111=1022h x t t t x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅--> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在()0,1单调递增，当[](),0,1a b ⊆时，则112112t a a t b b ⎧⎛⎫⋅--= ⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎩即方程112t x x ⎛⎫⋅--= ⎪-⎝⎭在()0,1有两个不相等的根，即()220x t x t +--=有()0,1两个不相等的根，令()()()22,0m x x t x t t =+-->，则又()()0011210m t m t t ⎧=-<⎪⎨=+--=-<⎪⎩，所以()220x t x t +--=有()0,1不可能有两个不相等的根；当()1,x ∈+∞时，()()11=0h x t t x ⎛⎫=⋅-> ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递增，当[](),1,a b ⊆+∞时，则1111t a a t b b ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩即方程11t x x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭在()1,+∞有两个不相等的根，即20x tx t -+=有()1,+∞两个不相等的根，令()()2,0n x x tx t t =-+>，则又()2110022212n t t t t t n t t t ⎧=-+>⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+<⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得4t >，当01a b <<<时，易知()g x 在R 上单调递增，所以()()()0h x tg x t =>在()0,∞+单调递增，此时11211t a a t b b ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()()2222211221111111211112111a a a a a t a a a a a b b b t b b b b ⎧---+-====-+⎪⎪----⎨-+-+⎪===-++⎪---⎩，令()()()11,011r a a a a =-+<<-，则易知()r a 在()0,1单调递减，所以()()00r a r <=即0t <，又1b >时，()112241t b b =-++≥=-，当且仅当()111b b -=-，即2b =时取等，所以()()110111241t a a t b b ⎧=-+<⎪⎪-⎨⎪=-++≥⎪-⎩，此时无解；综上可知：t 的取值范围是()4,+∞。
高一数学试题及答案上册人教版
高一数学试题及答案上册人教版高一数学试题及答案（上册人教版）一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 - 4x + 42. 函数y = 2x + 3的图象经过的象限是（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限3. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {4}4. 若f(x) = 2x - 1，则f(-1)等于（）A. -3B. 1C. 3D. -15. 函数y = x^2 - 6x + 8的顶点坐标是（）A. (3, -1)B. (-3, -1)C. (3, 1)D. (-3, 1)6. 已知向量a = (3, -2)，b = (2, 1)，则向量a + b等于（）A. (5, -1)B. (1, -3)C. (1, 3)D. (5, 1)7. 以下哪个不等式是正确的？（）A. √2 < 1.5B. √2 > 1.5C. √2 = 1.5D. √2 = 28. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的值域是（）A. [-1, 1]B. [0, 1]C. [-1, 0]D. [0, 2]9. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则a5等于（）A. 14B. 17C. 11D. 810. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 4，公比q = 2，则b3等于（）A. 16B. 32C. 8D. 64二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y = 3x + 2的反函数是_________。
12. 已知集合M = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则M的元素个数为_________。
13. 已知向量c = (1, 2)，d = (3, -1)，则向量c·d等于_________。
高一数学试题及答案上册人教版
高一数学试题及答案上册人教版一、选择题（每小题3分，共30分）1. 函数y=f(x)=2x+3的值域是（）A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3]D. [2, +∞)2. 若直线l的方程为y=2x+b，且直线l与x轴交于点(1,0)，则b的值为（）A. -2B. 2C. -1D. 13. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1,2}D. 空集4. 若函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上单调递增，则f(1)的值为（）A. -2B. -1C. 2D. 15. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则其前n项和Sn的公式为（）A. Sn=n^2B. Sn=n(n+1)C. Sn=n(n+1)/2D. Sn=n^2+n6. 函数y=f(x)=x^2-4x+4的图像关于直线x=（）A. 0B. 2C. -2D. 47. 若复数z=1+i，则|z|=（）A. 1B. √2C. 2D. √38. 已知向量a=(2,1)，b=(1,-1)，则向量a+b的坐标为（）A. (3,0)B. (1,2)C. (3,-2)D. (1,0)9. 函数y=f(x)=x^3-3x+1的极值点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，若双曲线C的渐近线方程为y=±(1/2)x，则a/b的值为（）A. 2B. 1/2C. 1D. 4二、填空题（每小题4分，共20分）11. 函数y=f(x)=x^2-4x+m的顶点坐标为（）。
12. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为（）。
13. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=1/2，则其前n项积Tn的公式为（）。
14. 函数y=f(x)=x^3+3x^2-9x+5的单调递减区间为（）。
高一数学上测试题及答案
高一数学上测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^2 + 1D. y = 1/x2. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值（）A. -1B. 1C. -5D. 53. 若a > 0，b > 0，且a + b = 1，则下列不等式中正确的是（）A. ab ≤ 1/4B. ab ≤ 1/2C. ab ≤ 1D. ab ≤ 1/34. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求a5的值（）A. 14B. 17C. 20D. 235. 函数y = sin(x)的周期是（）A. 2πB. πC. 4πD. 6π6. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，下列结论中正确的是（）A. 三角形ABC是锐角三角形B. 三角形ABC是直角三角形C. 三角形ABC是钝角三角形D. 三角形ABC是等腰三角形7. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = （）A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}8. 函数y = 2x - 3的图象不经过第几象限（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9. 已知向量a = (3, -2)，b = (1, 2)，则向量a·b的值为（）A. 1B. -1C. -5D. 510. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(1)的值（）A. 3B. -1C. 5D. 7二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(0)的值。
12. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 2，求b3的值。
13. 已知函数y = 2^x的反函数为y = log2(x)，求f(8)的值。
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3.1.3 一、选择题 1．在△ABC中，若0A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 [答案] B [解析] ∵0
∴sinBsinCcosBcosC<1，∴cos(B＋C)>0， ∴cosA<0，∴A为钝角． [点评] 也可用两角和的正切公式判断：由条件知，tanB>0，
tanC>0，∴tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanB·tanC>0. ∴B＋C为锐角，从而A为钝角． 2．给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋
y)＝f(x)＋f(y)1－f(x)f(y)，下列函数中不满足其中任何一个等式的是( ) A．f(x)＝3x B．f(x)＝sinx C．f(x)＝log2x D．f(x)＝tanx [答案] B [解析] 对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)， 对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)， 对选项D，满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)1－f(x)f(y)，故选B. 3．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( ) A．1 B．2 C．tan10° D.3tan20° [答案] A
[解析] ∵tan(20°＋10°)＝tan20°＋tan10°1－tan20°·tan10°， ∴tan20°＋tan10°＝tan30°(1－tan20°tan10°)， ∴原式＝tan10°tan20°＋3tan30°(1－tan20°·tan10°) ＝tan10°·tan20°＋1－tan20°·tan10°＝1.
4．已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－π2－π2A.π3 B．－2π3 C.π3或－2π3 D．－π3或2π3 [答案] B [解析] 由韦达定理得 tanα＋tanβ＝－33，tanα·tanβ＝4， ∴tanα<0，tanβ<0， ∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3 又－π2∴－π[点评] 由tanα与tanβ的和与积，先判断tanα与tanβ的符号，可进一步限定角α、β的取值范围．请再做下题：
已知tanα、tanβ是方程x2＋3x－2＝0的两个根，且－π2
－π2A．－π6 B．－2π3 C.π6或－5π6 D．－π3或2π3 [答案] A
[解析] 由韦达定理得， tanα＋tanβ＝－3tanα·tanβ＝－2 tanα与tanβ一正一负，不妨设tanα>0，tanβ<0，则0∴－π2又tan(α＋β)＝－31－(－2)＝－33.∴α＋β＝－π6. 5．设α和β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是( ) A．tanα·tanβ<1 B．sinα＋sinβ<2 C．cosα＋cosβ>1
D.12tan(α＋β)[答案] D [解析] 取特例，令α＝β＝π6可得， 12tan(α＋β)＝32，tanα＋β2＝33，
∴12tan(α＋β)>tanα＋β2，∴D不正确． 6.sin6°＋cos15°·sin9°cos6°－sin15°·sin9°的值为( ) A．2＋3 B.2＋32 C．2－3 D.2－32 [答案] C [解析] sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°， cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，
∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°＝2－3，故选C. 7．已知α、β为锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，则tanβ的值为 ( ) A.13
B.139 C.1315 D.59 [答案] B [解析] ∵α是锐角，cosα＝45，故sinα＝35，tanα＝34
∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan(α－β)1＋tanα·tan(α－β)＝139. 8．在△ABC中，若tanB＝cos(C－B)sinA＋sin(C－B)，则这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 [答案] B [解析] 因为△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以tanB＝cos(C－B)sinA＋sin(C－B)
＝cosCcosB＋sinCsinBsin(B＋C)＋sin(C－B)＝cosCcosB＋sinCsinB2cosBsinC， 即sinBcosB＝cosC·cosB＋sinCsinB2cosBsinC，∴cos(B＋C)＝0， ∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，∵0∴这个三角形为直角三角形，故选B. 9．已知sinα＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是( ) A．－7 B．7
C．－34 D.34 [答案] B [解析] 由sinα＝35，α为第二象限角，得cosα＝－45， 则tanα＝－34. ∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]
＝tan(α＋β)－tanα1＋tan(α＋β)tanα＝1＋341＋－34＝7. 10．若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，则1ab＋1bc＋1ca＝( ) A．－1 B．1 C．－3 D.3 [答案] B
[解析] ∵tan(20°＋100°)＝tan20°＋tan100°1－tan20°tan100°， ∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即 tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°， ∴tan20°＋tan60°＋tan100°tan20°·tan60°·tan100°＝1， ∴1ab＋1bc＋1ca＝1，选B. 二、填空题 11．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．
[答案] 17 [解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan(β－α)－tanα1＋tan(β－α)·tanα＝3－21＋3×2＝17.
12．化简3－tan18°1＋3tan18°＝________. [答案] tan42° [解析] 原式＝tan60°－tan18°1＋tan60°·tan18°＝tan(60°－18°)＝tan42°.
13．已知tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，则tanα＋β2＝________. [答案] 17 [解析] tanα＋β2＝tanα－β2＋β－α2
＝12＋－131－12×－13＝17. 14．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______. [答案] 1 [解析] tan15°＋tan30°＋tan15°tan30° ＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30° ＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30° ＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1. 三、解答题 15．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]． [分析] 对本题进行观察，发现它有两个特征：一个特征是该三角式的前半段是两个角正切函数的积，而后半段是这两个角正切函数的和的倍数；另一个特征是这两个角的和(18°－x)＋(12°＋x)＝30°，而30°是特殊角，根据这两个特征，很容易联想到正切的和角公式． [解析] ∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]
＝tan(18°－x)＋tan(12°＋x)1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)＝tan30°＝33 ∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x) ＝33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)] 于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3·33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1. 16．设tanα，tanβ是方程ax2－(2a＋1)x＋(a＋2)＝0的两根，求
证：tan(α＋β)的最小值是－34. [解析] 由tanα，tanβ是方程的两根得
Δ＝(2a＋1)2－4a(a＋2)≥0
a≠0⇒a≤14且a≠0，
又 tanα＋tanβ＝2a＋1atanα·tanβ＝a＋2a，