大学一年级高数总结

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大一高数知识点总结全

大一高数知识点总结全一、导数与微分1. 函数极限和连续性1.1 函数极限的定义和性质1.2 无穷大与无穷小1.3 函数的连续性与间断点2. 导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 常见函数的导数2.3 高阶导数与隐函数求导二、微分中值定理与高阶导数应用1. 中值定理1.1 罗尔定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 泰勒公式与函数的局部性质2.1 泰勒公式及余项2.2 函数的单调性与极值2.3 函数的凹凸性与拐点3. 高阶导数的应用3.1 曲率与曲线的切线与法线3.2 凸函数与凹函数的判定三、定积分与不定积分1. 定积分的意义与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的性质与运算法则1.3 可积条件与Newton-Leibniz公式2. 不定积分2.1 不定积分的定义与基本公式2.2 基本不定积分的计算方法2.3 图形与面积的应用四、微分方程1. 常微分方程基本概念1.1 微分方程的定义与基本概念1.2 一阶线性微分方程1.3 可分离变量的微分方程2. 常系数线性微分方程2.1 齐次线性微分方程2.2 非齐次线性微分方程2.3 变量变换与常系数线性微分方程3. 高阶线性微分方程3.1 n阶齐次与非齐次线性微分方程3.2 常系数线性齐次微分方程的特征方程 3.3 可降阶的线性非齐次微分方程五、多元函数微分学1. 二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限定义1.2 二元函数的连续性1.3 多元函数的极限与连续性2. 偏导数与全微分2.1 偏导数的定义与计算方法2.2 高阶偏导数与混合偏导数2.3 全微分与微分近似3. 隐函数与参数方程求导3.1 隐函数与参数方程的基本概念3.2 隐函数求导与相关性质3.3 参数方程求导与相关性质以上是大一高数的知识点总结，通过学习这些内容，能够掌握基本的导数与微分、定积分与不定积分、微分方程以及多元函数微分学的知识。

希望这份总结对你的学习有所帮助。

大一上半期高数知识点总结

大一上半期高数知识点总结大一上半学期高数知识点总结大学一年级的高等数学是大多数理工科专业学生的重要基础课程之一。

虽然难度较高，但只要通过逐个知识点的学习和总结，就能够掌握这门学科。

下面将对大一上半学期的高等数学知识点进行总结和讨论，帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。

一、函数与极限1. 函数的概念：函数是自变量和因变量之间的一种关系。

通过函数的图像、表达式或一对一映射等方式来表示。

2. 极限的概念：极限是一个数列或函数在接近某个点或趋于无穷时的值。

通过极限可以探究函数的连续性和趋势。

二、导数与微分1. 导数的定义：导数是函数在某点处的变化率，可以通过极限的定义来求得。

导数可以用来描述函数的斜率和曲线的切线。

2. 微分的概念：微分是对函数在某点附近的局部线性近似。

微分是导数的一个应用，可以用于解决近似计算和优化问题。

三、不定积分与定积分1. 不定积分的概念：不定积分是对函数的反导数。

通过不定积分，可以求得函数的原函数或者积分函数。

2. 定积分的概念：定积分是函数在某个区间上的累积总和。

通过定积分，可以计算曲线下的面积、弧长和质量等物理问题。

四、一元函数的应用通过以上的基础知识，我们可以应用高等数学解决一些实际问题，例如：1. 极限在物理学中的应用：通过极限的概念，可以理解速度、加速度和质量等物理量的变化规律。

2. 微分在经济学中的应用：通过微分的概念，可以解决边际成本、边际效益和最大化利润等经济学问题。

3. 积分在几何学中的应用：通过积分的概念，可以求得曲线下的面积、曲线的弧长和旋转体的体积等几何学问题。

总结：大一上半学期的高等数学主要围绕函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分以及一元函数的应用展开。

通过充分理解这些知识点，我们可以培养逻辑思维能力和解决问题的能力。

在实际应用中，高等数学对于理工科专业的学生而言，起着举足轻重的作用。

注：以上内容仅为大一上半学期高等数学知识点的总结，并未详细展开每个知识点的具体内容。

大一高数知识点总结很详细

大一高数知识点总结很详细大一高数知识点总结高等数学作为大一工科学生的必修课程之一，为我们提供了一种数学思维方式和工具，帮助我们解决实际问题。

下面将对大一高数课程的重要知识点进行总结，以便回顾和复习。

一、函数与极限1. 函数概念及分类：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。

2. 极限的定义与性质：收敛与发散，左极限与右极限，有界性、夹逼定理等。

3. 极限计算方法：四则运算、复合函数、变量代换等。

二、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的几何意义、可导与连续的关系，导数的四则运算、复合函数、反函数等规则。

2. 导数的应用：求函数的极值、判断函数的增减性等。

3. 微分的概念和计算：微分的几何意义、微分的四则运算、隐函数微分等。

三、微分中值定理与导数应用1. 罗尔定理与拉格朗日中值定理：连续函数在闭区间上的条件与结论。

2. 导数应用：曲线的凸凹性、极值问题、函数的图像与性质分析等。

四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与基本公式：反导数、换元积分法、分部积分法等。

2. 定积分的概念与性质：积分上限与下限、积分中值定理、分割求和等。

3. 定积分的应用：曲线与 x 轴围成的面积、定积分表示的物理量等。

五、常微分方程1. 常微分方程基本概念：初值问题、通解与特解。

2. 一阶常微分方程解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程等。

3. 高阶常微分方程和其解法：二阶线性方程、常系数齐次与非齐次方程等。

六、级数1. 级数的基本概念、性质与判敛法：等比数列、调和级数、比值判别法、根值判别法等。

2. 常见级数的求和问题：数列极限法、等比数列求和、幂级数等。

七、空间解析几何1. 空间直线与平面的方程：点向式、对称式、一般式等。

2. 空间几何的基本计算：距离问题、角度问题、投影问题等。

以上是大一高等数学的主要知识点总结，通过对这些知识点的回顾与复习，我们将更好地掌握数学的基本概念与方法，为之后的学习和科研奠定坚实的数学基础。

高数笔记大一上知识点汇总

高数笔记大一上知识点汇总[第一章：数列与极限]1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列中的每个数称为该数列的项。

2. 数列的分类- 等差数列：数列中每两项之间的差值都相等。

- 等比数列：数列中每两项之间的比值都相等。

- 递推数列：数列中的每一项都能由前面的项通过某种规律推算得到。

3. 数列的通项公式在某些规律的数列中，我们可以找到一种公式来表示该数列的第n项，这个公式被称为数列的通项公式。

4. 数列的前n项和数列的前n项和表示数列从第一项到第n项的求和结果。

对于等差数列、等比数列和递推数列，都有相应的求和公式。

5. 极限的概念极限是数列或函数在某一点或无穷远处的趋势或趋近值。

6. 数列的极限- 数列的收敛：当数列的项越来越接近某个确定的数时，可以说该数列收敛于该数。

- 数列的发散：当数列的项没有接近某个确定的数的情况下，可以说该数列发散。

7. 极限的性质与运算法则- 极限唯一性：数列的极限只能有一个。

- 有界性：收敛的数列是有界的，即数列中的所有项都在某个范围内。

- 收敛数列的极限运算法则：对于两个收敛数列的和、差、积、商，其极限仍可通过相应的运算得到。

[第二章：导数与微分]1. 函数的极限函数的极限表示当自变量趋近于某个值时，函数值的趋势或趋近值。

2. 导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率或斜率。

可以通过导数来刻画函数曲线在某一点的切线的斜率。

3. 导数的运算法则- 常数倍法则：导数与常数倍之间有简单的线性关系。

- 和差法则：导数的和的导数等于各个导数之和。

- 乘积法则：导数的乘积等于前一个导数乘以后一个函数的值再加上后一个导数乘以前一个函数的值。

- 商法则：导数的商等于分子的导数乘以分母的值减去分母的导数乘以分子的值，再除以分母的平方。

4. 高阶导数函数的导数也可以求导，得到的导函数称为原函数的高阶导数。

5. 隐函数与参数方程的求导对于隐函数和参数方程，我们可以使用求导法则来求取导数。

高数大一上知识点总结打印

高数大一上知识点总结打印高等数学（简称：高数）是大学数学的一门重要基础课程，包括微积分和数学分析等内容，对于大一学生来说，高数是他们所学的第一门较为抽象和繁杂的数学课程。

为了帮助同学们更好地总结和复习高数大一上的知识点，并方便打印资料，本文将对高数大一上的重点知识进行总结。

一、函数与极限1. 函数及其性质：函数的定义、定义域、值域、可导性等。

2. 三角函数及其性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等。

3. 极限与连续性：极限定义、极限运算定律、无穷小量与无穷大量、连续性定义等。

二、导数与微分1. 导数与导数计算：导数的定义、导数的计算、高阶导数等。

2. 微分与微分计算：微分的定义、微分的计算、微分中值定理等。

3. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的定义、高阶微分的计算等。

三、不定积分1. 不定积分的概念：原函数与不定积分的关系、不定积分的性质等。

2. 基本积分公式与常用积分公式：幂函数、指数函数、三角函数等的基本积分公式与常用积分公式。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：不定积分与定积分的关系、牛顿-莱布尼茨公式的应用等。

四、定积分与应用1. 定积分的概念与性质：定积分的定义、定积分的性质等。

2. 牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分的关系、牛顿-莱布尼茨公式的应用等。

3. 几何应用：曲线长度、曲线面积、旋转体体积等。

五、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶数、常微分方程与偏微分方程等。

2. 常微分方程的解法：可分离变量法、一阶线性微分方程、二阶常系数线性齐次微分方程等。

3. 应用问题：人口增长问题、物理问题等。

六、级数1. 数项级数：数项级数的概念、收敛性判定、常见级数的性质等。

2. 幂级数：幂级数的收敛半径、收敛域等。

3. 函数展开：函数展开为幂级数、泰勒级数展开等。

以上是大一上高数课程的主要知识点总结，同学们可以根据自己的需要选择打印相应的内容。

希望这篇知识点总结能够帮助到大家更好地复习和掌握高数知识，祝愿大家在学习中取得优异的成绩！。

大一高数上所有知识点总结

大一高数上所有知识点总结一、函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义1.2 函数的性质2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限存在的充分条件2.3 极限的性质及四则运算法则3. 无穷小量与无穷大量3.1 无穷小量的概念与性质3.2 无穷大量的概念与性质4. 极限的计算4.1 用夹逼准则求极限4.2 用无穷小量比较求极限4.3 用洛必达法则求极限4.4 用泰勒公式求极限二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则1.1 导数的概念1.2 导数的计算与求导法则1.3 隐函数的导数1.4 高阶导数2. 函数的微分与高阶导数2.1 函数的微分2.3 高阶导数的概念与计算3. 函数的增减性与凹凸性3.1 函数的单调性3.2 函数的最值与最值存在条件3.3 函数的凹凸性及拐点三、函数的应用1. 泰勒公式在误差估计中的应用2. 函数的极值及其应用3. 函数的图形与曲线的切线方程4. 收敛性与闭区间紧性的概念及应用四、不定积分1. 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的性质1.3 不定积分的基本公式2. 不定积分的计算2.1 一些特殊函数的不定积分2.2 有理函数的不定积分2.3 有理三角函数的不定积分2.4 特殊的不定积分解法五、定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的性质2. 定积分的几何应用2.1 定积分与曲线下面积2.2 定积分与旋转体的体积计算2.3 定积分与空间几何体的体积计算六、微分方程1. 微分方程的概念与基本性质1.1 微分方程的定义1.2 微分方程的基本性质2. 常微分方程的解法2.1 一阶微分方程的解法2.2 二阶微分方程的解法2.3 高阶微分方程的解法3. 微分方程在物理问题中的应用3.1 弹簧振动问题3.2 电路的动态特性问题3.3 理想气体的状态方程问题七、多元函数微积分1. 多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义1.2 多元函数的导数与偏导数1.3 多元函数的微分2. 多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值点2.2 多元函数的条件极值点3. 二重积分与三重积分3.1 二重积分的概念与性质3.2 二重积分的计算3.3 三重积分的概念与性质3.4 三重积分的计算4. 重积分在几何与物理中的应用4.1 重积分与平面图形的面积计算4.2 重积分与曲面旋转体的体积计算4.3 重积分与空间物体的质量与重心计算八、无穷级数1. 数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛的充分条件1.3 数项级数的审敛法2. 幂级数2.1 幂级数的概念与性质2.2 幂级数的收敛域2.3 幂级数在收敛域上的一致收敛性3. 函数项级数3.1 函数项级数的概念与性质3.2 函数项级数收敛的判别法3.3 函数项级数的一致收敛性以上是大一高数的知识点总结，总结了函数与极限、导数与微分、函数的应用、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微积分、无穷级数等内容。

大一上学期高数总结

大一上学期高数总结
在大学的第一个学期里，所有大学新生都需要学习高数这门课程，本次的学习也是一段难忘的经历，本文就将对大一上学期的高数课程进行一个总结。

高数课程主要涉及数学分析，其学习内容包括函数、导数、极限、泰勒级数、积分、三角函数、向量和偏微分等。

在这一学期的学习中，我学习了许多新的内容，也对一些以前认识到但未能深入了解的知识有了更进一步的学习，加深了自己对高数的理解，从而为以后的新学习、拓宽我的能力。

在本学期的学习中，我得到了不少有意义的收获。

首先，我在函数的概念上学习到了许多，例如，可以将函数分析成多种形式，包括指数函数、对数函数、反比例函数等，可以运用函数的解析式来求解所给的问题，更全面的理解函数的性质和特征，并能推出函数的相关性质；其次，学习到了极限的概念，并运用极限的思想来解决复杂的问题；第三，学习了积分，能够运用它来计算不同函数的面积、长度等；最后，学习到了三角函数、向量、偏微分等，能够运用这些知识解决实际问题，并深入探讨有关的课题。

本学期的学习使我更加坚定了学习高数的信念，也做了许多有意义的尝试。

在平时的练习中，我能够逐渐的掌握高数的内容，并能够灵活运用相应知识解决问题。

在课堂上，我也能够主动参与教师的讨论，把自己所学的知识阐述出来，这也使我更加自信。

总而言之，这次的高数学习，我学习到了许多知识，也收获了不
少乐趣，也成就了很多，值得继续努力。

大一上学期高数知识点汇总

大一上学期高数知识点汇总高等数学是大一学生所必修的一门课程，也是建立数学思维和能力的基础。

在上学期的学习中，我们学习了许多重要的高数知识点，下面将对这些知识点进行简要的汇总。

一、函数与极限1. 函数的概念与性质- 函数的定义：一个自变量与一个因变量之间的对应关系。

- 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

2. 极限的概念- 极限的定义：当自变量趋近于某个值时，函数值的趋势。

- 极限的计算：利用极限的四则运算法则、夹逼定理等方法计算。

3. 连续与间断- 连续的定义与判定：函数在某点连续的条件。

- 间断的分类与分析：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点等。

二、导数与微分1. 导数的定义与计算- 导数的定义：函数在某点的变化率。

- 导数的计算方法：利用导数的基本公式、导数的四则运算法则等。

2. 导数的几何意义与应用- 导数的几何意义：切线斜率、曲线的凹凸性等。

- 导数在实际问题中的应用：最优化问题、函数图像的研究等。

3. 微分与微分近似- 微分的定义与计算：函数在某点的微小变化值。

- 微分近似的应用：利用微分进行函数近似计算。

三、积分与不定积分1. 定积分与计算- 定积分的定义：函数在区间上的面积。

- 定积分的计算方法：利用定积分的性质、基本公式等。

2. 不定积分与计算- 不定积分的定义：函数的原函数。

- 不定积分的计算方法：利用不定积分的性质、基本积分公式等。

3. 积分的几何意义与应用- 积分的几何意义：曲线下的面积、曲线的长度等。

- 积分在实际问题中的应用：物理问题、经济问题等。

四、微分方程1. 微分方程的定义与解法- 微分方程的定义：含有函数及其导数的方程。

- 微分方程的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。

2. 初值问题与边值问题- 初值问题的解法：给定初始条件的微分方程求解。

- 边值问题的解法：给定边界条件的微分方程求解。

以上是大一上学期高等数学的主要知识点汇总，通过对这些知识点的深入理解和掌握，可以为我们建立扎实的数学基础，为以后的学习打下坚实的基础。

大一高数全部知识点归纳

大一高数全部知识点归纳高等数学是大学数学的入门课程，对于大一的学生来说是一门相对较难的课程。

本文将对大一高数的全部知识点进行归纳，旨在帮助大家更好地理解和掌握这门课程。

1. 函数与极限在高等数学中，函数与极限是一个基础且重要的知识点。

函数是自变量与因变量之间的关系，而极限则是函数在某一点逼近某个值的过程。

其中，常见的函数类型有多项式函数、指数函数、对数函数等，而极限的计算方法包括代入法、夹逼准则、无穷小与无穷大等。

2. 导数与微分导数是函数在某一点的变化率，它的计算方法是求函数的微商。

微商的定义是极限的一种特殊形式，通过求导数可以得到函数的切线、极值以及函数图像的性质。

此外，微分是导数的一种应用，用于求函数在某一点的变化量。

3. 反函数与隐函数反函数是指如果两个函数互为反函数，则它们的自变量与因变量位置互换。

反函数的求法通常需要通过解方程的方式来得到。

而隐函数则是在一个方程中，以某一变量为主，将其他变量表示成与之相关的形式，通常需要用到导数的计算。

4. 积分与定积分积分是导数的逆运算，常见的积分方法有换元法、分部积分法和定积分法等。

定积分是积分的一种特殊形式，用于求曲线与坐标轴之间的面积、弧长以及质心等相关问题。

5. 微分方程微分方程是函数与其导数之间的关系式，是自然界中描述变化过程的数学模型。

常见的微分方程类型包括一阶线性微分方程、二阶齐次与非齐次线性微分方程等，求解微分方程的方法主要有分离变量法、齐次方程法和常数变易法等。

6. 空间解析几何空间解析几何是研究空间中点、直线、平面及它们之间的位置关系和相互作用的数学分支。

通过向量的运算和直线、平面的方程表示，可以解决点到直线、点到平面的距离问题，以及直线与平面的相交关系等。

7. 重积分与曲线积分重积分是在二维或三维空间中对曲面或立体的某一性质进行求解的过程，常见的计算方法有二重积分和三重积分。

曲线积分是沿着曲线对向量场进行积分的过程，可以用于求解质量、质心以及力的做功等相关问题。

大一高数知识点总结及体会

大一高数知识点总结及体会大一高数是大学数学中的一门基础课程，主要内容包括微积分和代数两个部分。

在学习这门课程的过程中，我通过总结与思考，获得了一些知识点的理解和体会。

本文将对我在大一高数学习中所掌握的知识点进行总结，并分享我的学习体会。

一、微积分部分1. 函数与极限在学习微积分时，我们首先需要了解函数的概念及其性质。

函数是一种将自变量与因变量相关联的数学关系。

通过学习极限的概念，我们可以研究函数在某点的趋势与变化情况。

熟练掌握函数的极限计算方法，对于后续的微分和积分运算非常重要。

2. 微分学微分学是微积分的重要组成部分，主要研究函数在某一点附近的变化率。

其中，常见的微分规则包括求导法则、高阶导数、隐函数求导以及利用导数分析函数的性质等。

深入理解微分学的概念与方法，可以帮助我们更好地研究函数的性质与变化规律。

3. 积分学积分学是微积分的另一个重要组成部分，主要研究曲线下面积与变化率的关系。

在积分学中，我们学习了不定积分和定积分两种形式。

不定积分主要用于求解函数的原函数，而定积分则可以用来计算曲线与坐标轴所围成的面积和函数的平均值等。

二、代数部分1. 向量代数向量代数是大一高数中的另一个重要内容，它涉及向量的定义、向量的线性运算以及向量的数量积和向量的叉积等。

通过学习向量代数，我们可以更好地理解向量的几何意义和运算法则，以及向量在物理学和工程学中的应用。

2. 矩阵与行列式矩阵与行列式是代数学中的基础概念，在大一高数中也是重点内容之一。

矩阵是一个由数按一定规律排列成的矩形阵列，而行列式是一个与矩阵相对应的一个数。

通过学习矩阵与行列式的性质和运算法则，我们可以解线性方程组、求特征值和特征向量等。

三、学习体会在学习大一高数的过程中，我体会到了以下几点：首先，理论与实践相结合是学好高数的关键。

高数不仅仅是纸上谈兵的知识，更需要我们通过大量的练习和实际问题的应用来加深理解。

只有将理论运用到实际中，我们才能更好地掌握高数的知识。

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大学一年级
《高数各大题型全解》
《高数各大题型全解》

版权所有，翻印必究
2

目录
类型一：证明题 ............................................................................................................................................................... 3
不等式的证明——单调性 ....................................................................................................................................... 4
恒等式的证明 ........................................................................................................................................................... 4
根的存在性 ............................................................................................................................................................... 4
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3

类型一：证明题
1、

3、（课本P228作业5）
设:
)(xf
在00，上连续，试证：

-)(dxxf-)-(dxxf
.

4、
5、

2、
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4

6、设: )(xf在10，上连续，试证明：
x
e

0)]1()([10dxxfxf

证明：∵
10)1(dxxftxdtdx1
101001)()())((dxxfdttfdxtf

，

∴10)(dxxf10)1(dxxf0)]1()([10dxxfxf，而xe>0;
∴xe0)]1()([10dxxfxf.

例题（1）
（课本P134作业9[4]）
当
1x
时，有 xexe成立。.

例题（2）

不等式的证明——单调性
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5

例题（3）
求证：当 20x时，xxxsin2.
证明：○1先证xxsin，令xxxF-sin)(，)(xF在20，上连续，1-cos)('xxF，

当20x时，xxsin；
○2再证当20x时，xxsin2，令xxxG2-sin)(，)(xG在20，上
连续，)2(0)0(GG，2-cos)('xxG，0sin)(''xxG
曲线)(xGy在20，内为凸弧，即当20x时，0)2()0()(GGxG，即
02-sinxx

；

综合○1○2，题设不等式成立。

例题（1）
恒等式的证明
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6

例题（2）（课本P133作业6）
证明恒等式

112arccosarcsinxxx



。

例题（3）
例题（4）
求证：当1x时，412arccos21arctan2xxx

证明：设412arccos21arctan)(2xxxxf，)(xf在),1[上连续，且

1,0)1(22)1(22112111)('22222)12(xxxxxxxf

x
x
，

形式一
一般步骤;

例题（1）课本P78作业2
例题（2）设函数)(xf在]10[，上连续，且
1)(xf

求证：方程1)(2x0dttfx在)10(，内有且只有一个实根。
证明：做辅助函数
1)(2)(x0dttfxxF

∵)(xf在]10[，上连续，且
1)(xf

故)(xF在]10[，上连续，且0)(1)1(,1)0(10dttfFF
对)(xF在]10[，上，应用零点定理：方程)(xF在)10(，内至少有一个实根，
又∵0)(2)('xfxF，函数)(xF在)10(，内单增，

故方程0)(xF即1)(2x0dttfx在)10(，内有且只有一个实根。
例题（3）设)(xf在]ba[，上连续，且
1)(xf

求证：方程0)(1)(xbdttfdttfxa在内恰好有一个根。
证明：设辅助函数
],[,)(1)()(xbbatdttfdttftFxa


由条件知)(tF在]ba[，上连续
且
0)(10)(1)()(ababdttfdttfdttfaF
a
a
；

0)()(badttfbF

应用零点定理：方程0)(xF在)ba,(内至少有一个根，

又因为

xb0)(1)()')(1()')(()('xfxfdttfdttfxF

故)(xF在)ba,(内单调增加，
方程0)(xF在)ba,(内恰好有一个根。

例题（4）求证：方程02cos1lndxxexx在)ee3，（内仅有一个实根。
证明：先计算定积分的值：
(对照课本p220例4.2)

dxxdxxdxxdxx000022sin22sin22sin22cos1

222cos2222sin2200d

设辅助函数
]ee[,22ln)(3，xexxxF

)(xF
在]ee [3，上连续
,
022221ln)(eeF

022ln3)(23eeeF

应用零点定理：方程0)(xF在)ee3，（内至少有一个根，

)ee(,011)('3，xexxF,故)(xF在)ee3，（内单调减小

综上所述：方程02cos1lndxxexx在)ee3，（内仅有一个实根。
形式二
一般步骤;
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例题（1）课本P128例题1.1
例题（2）课本P133作业7

若方程
0a1110xaxax
n
nn



有一个正根0xx证明方程

0)1(a12110nnnaxnanx

例题（3）

例题（5）课本P134作业10零点定理+罗尔定理
设函数)(xf在]e1[，上可导，且1)(0xf，在
），（e1内，xxf1)(',证明在），（e1
内有

且仅有一个x，使得
xxfln)(
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