复数(2) WPS文字 文档 (2)
复数学习笔记doc【精选】
读书笔记，智慧结晶复 数 知识要点1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念：①复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；②实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数）⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C 表示.⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数]2若21z z ，则021 z z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-.⑵曲线方程的复数形式：①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程.③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则读书笔记，智慧结晶①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=.②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=.注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- .3. 共轭复数的性质：z z =2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ）22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=-2121z z z z ⋅=⋅2121zz z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） nn z z )(=注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z znn②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有③n n n n m n m n m n mz z z z z z z z z2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++i iii i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 .5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=.辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作z arg .注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值.②辐角是多值的，都相差2π的整数倍.③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg =-==-=ai ai a a .⑵复数的代数形式与三角形式的互化：)sin (cos θθi r bi a +=+，22b a r +=，rbr a ==θθsin ,cos .⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r )]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r )]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r )]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r 7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题：①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根abx 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r )(0,01,1,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+掌握科学方法，提高学习成绩不论做什么事情都应该讲究方法，科学的方法能够加速问题解决的速度，学生学习更是如此。
复数知识点归纳范文
复数知识点归纳范文复数是指表示多个事物的形式。
在英语中，形成复数的规则多种多样，包括加-s，加-es，不变化等等。
以下是一些常见的复数形式的规则和例子：1.大多数名词加-s：大多数名词在复数中直接加上-s。
例子：book-books（书-书籍）、cat-cats（猫-猫咪）、dog-dogs（狗-狗儿）2. 以-s, -sh, -ch, -x, -z结尾的名词加-es：以这些字母结尾的名词，在复数中加上-es。
例子：box-boxes（盒子-盒子们）、bus-buses（公共汽车-公共汽车们）、watch-watches（手表-手表们）3. 以辅音字母+y结尾的名词，把y变为i，再加-es：以辅音字母+y结尾的名词，在复数中把y变为i，再加上-es。
例子：city-cities（城市-城市们）、baby-babies（婴儿-婴儿们）、lady-ladies（女士-女士们）4.以元音字母+y结尾的名词，直接加-s：以元音字母+y结尾的名词，在复数中直接加上-s。
例子：boy-boys（男孩-男孩们）、day-days（天-天们）5. 以-f或-fe结尾的名词，变-f或-fe为-v，再加-es：以-f或-fe结尾的名词，在复数中变-f或-fe为-v，再加上-es。
例子：leaf-leaves（叶子-叶子们）、knife-knives（刀-刀们）6. 以-o结尾的名词，多数加-es：以-o结尾的名词，大多数在复数中加上-es。
但也有例外，如photo-photos（照片-照片们），piano-pianos（钢琴-钢琴们）等。
例子：potato-potatoes（马铃薯-马铃薯们）、hero-heroes（英雄-英雄们）7. 以-is结尾的名词，变-is为-es：以-is结尾的名词，在复数中变-is为-es。
例子：analysis-analyses（分析-分析们）、thesis-theses（论文-论文们）8.不规则复数形式：有一些名词的复数形式与其单数形式完全不同，这些是不规则复数形式。
复数的课件ppt
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
《复数》知识点总结
《复数》知识点总结1、复数的概念形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.(1)纯虚数：对于复数z a bi =+，当00a b =≠且时，叫做纯虚数.(2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且.(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.(4)复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模，表示为：||||z a bi =+=（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.2、复数的四则运算（1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++；（2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++；（3）除法运算：2222()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++； （4）i 的幂运算：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.()n Z ∈（5）22||||z z z z ==3、 规律方法总结（1）对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数，方可得出实部为a ，虚部为b（2）复数(,)z a bi a b R =+∈是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数(,)z a bi a b R =+∈，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识（3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分.（4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等1、基本概念计算类例1．若,43,221i z i a z -=+=且21z z 为纯虚数，则实数a 的值为_________ 解：因为，21z z ＝25)46(83258463)43)(43()43)(2(432i a a ia i a i i i i a i i a ++-=-++=+-++=-+， 又21z z 为纯虚数，所以，3a －8＝0，且6＋4a ≠0。
名词复数的用法-PPT
2、词尾为S、X、CH、SH+ES= 复数,读作【IZ】
单数名词词尾读音为【s】 【z】 【ʃ】 【tʃ 】 【dʒ】 时,其复数加es读作【iz】 dish—dishes glass—glasses match—matches message—messages box—boxes change—changes
3、单数与复数意思不同得单词
advice 忠告--advices 消息 air 空气--airs 风度、神气 ash 灰烬--ashes 骨灰 beef 牛肉--beeves 食用牛,菜牛 blue 蓝色--blues 烦闷,忧郁 brain 脑髓--brains 脑力 colour 颜色--colours 旗帜 pass 罗盘--passes 圆规 custom 习惯,风俗--customs 海关,关税 damage 损害--damages 赔偿金 effect 效果--effects 动产,家产 experience 经验--experiences 经历 foot 脚--foots 渣滓 force 力--forces 军队,兵力 good 善行,利益--goods 货物 green 绿色--greens 蔬菜 ground 土地--grounds 根据,理由 heaven 天国--heavens 天空 honour 荣誉--honours 优等成绩 iron 铁--irons 镣铐 letter 信,字母--letters 文学 look 脸色,瞧--looks 容貌 manner 方式--manners 礼貌 minute 分钟--minutes 会议记录 oil 油--oils 油画
复数的知识点总结PPT
积分定义
复数函数的积分是指函数在某一区间上的面积或体积，可 以通过分割、近似、求和、取极限等方法进行计算。
积分性质
复数函数的积分具有线性性、可加性、保号性等性质，同 时满足牛顿-莱布尼兹公式。
积分计算方法
复数函数的积分计算方法包括不定积分和定积分两种，其 中不定积分是求原函数的过程，而定积分则是求某一区间 上的函数值与自变量围成的面积或体积。
除法规则
$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(cdi)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+ d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$， 其中$a,b,c,d$均为实数，$i$为虚数 单位，且$c+di\neq0$。
乘方与开方
乘方规则
$(a+bi)^n=a_n+b_ni$，其中$a_n,b_n$是由二项式定理确定的实数系数，$i$为虚数 单位，$n$为正整数。
幂级数展开式的定义
介绍幂级数展开式的定义及其性质，包括收敛域、和函数等概念 。
幂级数展开式的求解方法
详细阐述求解幂级数展开式的方法，包括待定系数法、逐项积分法 等。
常见函数的幂级数展开式
列举常见函数（如指数函数、三角函数等）的幂级数展开式，并分 析其收敛域。
常见函数的幂级数展开式
指数函数与对数函数的幂级数展开式
实部与虚部
实部
复数中不含虚数单位的部分称为 实部，用Re(z)表示。例如，在复
数z=a+bi中，a是实部。
虚部
复数中含有虚数单位的部分称为 虚部，用Im(z)表示。在复数 z=a+bi中，b是虚部。
(完整版)高中数学复数
第1章：复数与复变函数 §1 复数1．复数域形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。
实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。
记为z x Re =， z y Im =虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。
复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。
设，复数的四则运算定义为加（减）法： 乘法：除法：相等：当且仅当复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ，求21z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。
解 为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z 2．复平面一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。
于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。
如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z 也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如：这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3． 复数的模与辐角向量的长度称为复数的模或绝对值，即：易知：(1)(2)(3)(4) 点与点的距离为实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满足称为复数的辐角，记为：。
复数PPT优秀课件
解：更具复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
所以 x 5, y 4
2
4.复数的几何意义是怎样的？
复数z=a+bi↔复平面内的点Z（a，b）↔平面向量OZ x轴叫实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数； 除了原点，虚轴上的点都表示纯虚数。象限中的点 都表示非纯虚数。
1 1
z z
i
，则
z
1
的值为
.
例14 复数z满足z·z +z+ z =3，则z对应点的轨迹
是____________.
解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆.
答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
例15 若 z 2 ，则 z i 的最大值为 .
例16 若 zb(ibR)，若使 z2iz23i 的最
1 i 1i
｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是
A.1
B.2
C.3
D.无穷多个
解析：∵f(n)=in+(－i)n， ∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0. ∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝. 答案：C
典型例题：二、复数几何意义的运用
例13若复数z满足
∴ 原式zz＝ 21＝zz 11＝ 1，故（A）正确．
例9.如果复数 2 b i（其中i为虚数单位，b为实数）
1 2i
的实部和虚部互为相反数，那么b等于
A. 2
B. 2
3
C.－ 2
3
D.2
解∴析2－：122 b=2bibi =+4(2，bb=i5)－(1-322i.)=
word完整版本小学英语复数形式归纳总结计划,文档
小学英语复数形式概括总结英语名词变复数规则1、一般在词尾加,s.一般来说，s在元音或浊辅音后读[z}，在清辅音后边读成[s]，在[t]后与[t]在一同读成[ts]，在[d]后与[d]一同读成[dz]。
cups杯子days 日子hands手hats帽子2、以s,sh,ch,x结尾的词在词尾加,es，读[iz]classes班级buses公共汽车boxes盒子watches腕表3、以“元音字母，y”结尾的词，加,s，读作[z];以辅音字母，y结尾的词，变y为i，再加,es，读[iz]。
boy-boys男孩army-armies军队story-stories故事factory-factories 工厂baby-babies宝贝4、以o结尾的词，多半加,s，读[z]。
kilo-kilos公里photo-photos照片tobacco-tobaccos 烟草piano-pianos钢琴以元音字母，o结尾的词一律加,s，读[z]。
zoo-zoos动物园radio-radios收音机少量以o结尾的词，在词尾加-es，读[z]。
tomato-tomatoes西红柿hero-heroes英豪potato-potatoes土豆5、以f或fe结尾的词，多半把f,fe变成v，再加,es，读[vz]。
leaf-leaves树叶thief-thieves小偷wife-wives老婆knife-knives小刀shelf-shelves架子(1)6、不规则名词的复数形式。
经过变化单词内部元音字母，组成复杂形式。
man-men男子woman-women女人foot-feet脚goose-geese 鹅tooth-teeth牙齿mouse-mice老鼠child-children儿童(2)单数形式与复数形式同样sheep-sheep绵羊deer-deer鹿Chinese-Chinese中国人Japanese-Japanese日自己一、一般状况下～直接在该词末端加-s。
复数PPT课件
（汴河运货的繁忙景象） （繁华景象以及城市与农村 衣食住行的差别） （大规模集市贸易盛况）
（亲口尝尝美味佳肴）
瓦舍勾栏娱乐 （把瓦舍勾栏的见闻写下来）
物质生活 多数能维持温饱
乡
村
生
活
文化活动方式多样
文化生活
传统节日多姿多彩
相关链接
➢1883年，10月26日，英国人在伦敦
成立了世界上第一个足球运动组织—— 英国足球协会，人们把这一天当作现代 足球诞生日。
1．(2016·郑州质量预测)设 i 是虚数单位，若复数 m＋31＋0 i(m ∈R)是纯虚数，则 m＝________.
解析：依题意得 m＋31＋0 i＝(m＋3)－i 是纯虚数， 于是有 m＋3＝0，m＝－3. 答案：－3
2．(2015·南通调研)设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与 虚部互为相反数，则实数a的值为________．
2．设复数z＝21－ ＋ii，则z的共轭复数为________． 解析：∵z＝21－ ＋ii＝2－i21－i＝12－32i， ∴ z ＝12＋32i. 答案：12＋32i
3．(易错题)(2016·金陵中学检测)设复数 z＝－1－i(i 为虚数单 位)，z 的共轭复数为 z ，则|(1－z)·z |＝________. 解析：依题意得(1－z)·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i， 则|(1－z)·z |＝|－3＋i|＝ －32＋12＝ 10. 答案： 10
小舟游近村舍舟步归
陆游
斜阳古柳赵家庄， 负鼓盲翁正作场。 死后是非谁管得， 满村听说蔡中郎。
——这两则材料说明了什么？
辞旧迎新
元日——王安石
风 爆竹声中一岁除， 飞
雨 送
春风送暖入屠苏。
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复数（2）
一、复数的平方根和立方根
1、复数的平方根
若一个复数z 的平方等于另一个复数1
z ，即
1
2
z z =，则称z 为1
z 的平方根。
求一个复数a+bi （a 、b ∈R ）的平方根的方法：
设x+yi （x 、y ∈R ）是复数a+bi （a 、b ∈R ）的平方根，则
()bi a yi x +=+2
bi a xyi y x +=+-⇒22
2
b
xy a y x ==-⇒
22
2
解出x 、y 即可。
如：求3+4i 的平方根。
2、复数的立方根
求复数的立方根的方法与求平方根类似，但适合于简单的，对于复杂一点的和更高次方根，在进一步学习复数时介绍。
这里只要求掌握1（和－1）的立方根及其性质。
我们可求出1的立方根为1、i 2
321+-
和i 2321
-
-，我们把i 2321±-叫做1的立方虚根，用ω表示。
则有
112
3
=++=ωωω，且若记i
23211
+-=ω，
i
2
3212
--=ω，则2
1
ω
ω与共轭，且1
2
2
2
2
1
,ωωωω==。
同理可求－1的立方根及其性质。
注：注意i 2
321±-
这是1的立方根，也就是其三次方为1，因此可求这类的高
次，如计算：①100
2321⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±-
i 、②若ω=i 2
321+-
，则=++12
4
ωω＿＿＿
③
()()()()
20
15
20
1513131i i i i ++-+--
等。
二、复数集中的方程和因式分解
1、复数集中一元二次方程
①关于复数集中一元二次方程有无实根的判别方法 1）若系数都是实数可以用“△”来判别 2）若系数中有虚数就不能用“△”来判别
此时只有用复数相等条件来解决，即将x 视为实数，将方程化为a+bi=0型，由复数相等条件得a=0且b=0得出一个方程组，然后看这个方程组有无实数解。
如： 例、判别方程()0442
=++++ai x i x
（a ∈R ）的实根情况，若有实根，求a 并解
这个方程。
注：这种方法可推广到高次方程。
如： 例、己知关于x 的方程
083
=-+-ki ix x （k ∈R ）有实根，求k 的值，并解这个方
程。
3）复数集中一元二次方程的求根公式、韦达定理都是适用的 ②实系数方程有虚根的特点
实系数方程有虚根的特点——成对出现。
即有a+bi （a 、b ∈R ）这个根，则也有a －bi （a 、b ∈R ）这个方程的根。
（这一特性对于高次的一元实系数方程也具有） 例、若1+i 是实系数方程02
=++q px x 的一个根，求另一个根及实数p 和q 的值。
（用两种方法完成）
2、复数集中的因式分解 复数集中二次三项式c bx ax ++2
都可分解为：()()2
1
x x x x a --，
其中2
1,x x
是方程
c bx ax ++2
=0的两根。
这也就是说若要分解一个二次三项式，可先求相应方程的两根，再因式分解。
这一方法也可
推广到高次。
例、在复数集内因式分解：
①
42
+x ②322
+-x x ③4
2
2
4
2y y x x -+ ★④12
4++x x
三、几点说明
1、复数与复平面中的向量相对应，但复数中的一些运算与向量不同，如向量中有：
2
2
a
a =，而复数不具备，即不能用
2
2
z
z =，而是
2
z
z z =。
所以在复数方程
中若出现｜z ｜时，就要设z=a+bi （a 、b ∈R ）代入来解。
也可以注意复数与向量的关系，用几何意义来解决，如： 例、设
C 、z z ∈2
1
，且2,3,222
121===+z z z z ，求
2
1
z
z -。
2、注意复数的模的几何意义及应用
即｜z ｜表示复数z 所对应的点到原点的距离，
2
1
z
z -表示复数
2
1
、z
z 所对应的两点
间的距离。
见z=cos θ+isin θ，就应注意到z 的模为1，即z 所对应的点的轨迹是一个单位圆，等等。
例1、下列复数方程所对应的轨迹分别是什么图形？ ①｜z －2i ｜+｜z+1｜=
5 ② ｜z-2i ｜+｜z+2i ｜=6
③｜z-5｜—｜z+5｜=6
例2、①设复数z 满足i z z
+=+3324，ω=sin θ－icos θ，则｜z －ω｜=
②复数z 满足｜z+i ｜+｜z －i ｜=2，则｜z+1+i ｜的范围是
四、综合选讲
例1、设关于x 的方程()011632
2
=++--m x m x 的两根模的和为2，求实数m 的
值。
例2、已知
015222
=+--a ax x （a ∈R ）
，的两根分别为α、β，且｜α｜+｜β｜=8，求实数a 的值。
例3、已知集合格A=｛z ｜｜z －2｜≤2｝，B=｛z ｜b ，
i z z
+=1
2
1b ∈R ，A Z ∈1｝ ①若A ∩B=B ，求b 的值； ②若A ∩B=Φ，求b 的取值范围。
练习：
1、已知关于x 的方程()()0222
=++++mi x i m x 至少有一个实根，
求实数m 。
2、实数m 取何值时，复数lg （222
--m m
）+（232
++m m ）i
① 是纯虚数； ②是实数； ③所对应的点位于第一象限。
3、z ∈C ，求满足z+z
1∈R ，且｜z －2｜=2的复数z 。
4、关于x 的方程
2
x
+（k+2i ）x+（1+ki ）=0有实根，求实数k 。
5、在复数集内解方程：
()i
i
i z z z +-=++232
6、若z ∈C ，且z i zi z z -+≤0，则｜z+1+i ｜的最大值为
7、已知复数ω满足ω－4=（3-2ω）i （i 为虚数单位），25
-+=
ωω
z ，求一个以z
为根的实系数一元二次方程。
8、已知方程0322
=+-p x x 有两个虚根α、β，且｜α－β｜=22，求实数
p 的值。
9、已知z 为虚数，ω=z
z
1+
∈R 且－1＜ω＜2， ①求｜Z ｜的值及Z 的实部的取值范围； ②设z
z u
+-=11，求证u 为纯虚数； ③求
2
u
-ω的最小值。