【全国重点名校高一数学优质教学资料】高一数学 3.1数列(第一课时) 大纲人教版必修
高一数学第三章数列教案新人教版必修1
第三章数列3.1 数列第一课时●自学导引1.数列、数列的项：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项.2.数列的通项公式：如果数列｛a n｝的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.3.数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图来表示一个数列，图象是一些孤立的点.4.根据数列的项数可以把数列分为有穷数列和无穷数列.5.数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1，2，…，n｝)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.●思考导学1.简述数列与数集的区别.【答】数列强调数列中的项是有顺序的，数列中的项可以是相等的，与数集中的无序性和互异性是不同的.2.每个数列是否都存在通项公式？【答】并不是每个数列都能写出数列的通项公式，比如：正整数中的质数按从小到大的顺序排列构成的数列2，3，5，7，11，13，17，……至今为止也无人能够写出它的一个通项公式；当然有穷数列一定有通项公式并且可以用项数n 的多项式表示. ●典例剖析［例1］根据所给数列的前六项，试写出数列的一个通项公式(1)1，3，5，7，9，11，……；(2)1，－2，3，－4，5，－6，……；(3)9，99，999，9999，99999，999999，……；【解】 (1)a n =2n －1(2)a n =(－1)n +1n (3)a n =10n－1［例2］在数列{a n }中a 1=3,a 10=21,通项公式是项数的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式，并求a 2003.(2)若b n =a 2n 求数列{b n }的通项公式.【解】 (1)设a n =An +B ，由已知：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+1221103B A B A B A 解得 ∴a n =2n +1则a 2003=2×2003+1=4007(2)b n =a 2n =2(2n )+1=4n +1【点评】 求a 2n 即将a n =2n +1中的n 换成2n ，实际上是求出了数列{a n }中偶数项按原来的顺序排列构成的新数列的通项公式.还可考虑求a 2n －1、a 2n +1、a 3n +4等等.［例3］已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2－9n +20 (1)试问2是否是数列{a n }中的项？(2)若a n ≤0，求n . 【解】 (1)令n 2－9n +20=2，即n 2－9n +18=0解得n =3或n =6即2为数列{a n }中的第3项或第6项. (2)由a n ≤0即n 2－9n +20≤0(n －4)(n －5)≤0∴4≤n ≤5又n ∈N *∴n =4或n =5.【点评】 解关于n 的方程或不等式要注意应在正整数范围内求解. ●随堂训练1.数列1，0，1，0，1，……的一个通项公式是A.a n =2)1(11+--nB.a n =2)1(11+-+n C.a n =21)1(--n D .a n =2)1(1n---【解析】将数列{21}与{2)1(1+-n }对应项相加得到的数列即是.【答案】B2.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项【解析】可观察所给数列的通项公式是a n =13-n ，由5213=-n 得n =7【答案】B3.已知a n =n 2+n ,那么 A.0是数列中的一项 B.21是数列中的一项C.702是数列中的一项D.30不是数列中的一项【解析】由n 2+n =702即n 2+n －702=0得：n =26或n =－27(舍去)【答案】C 4.函数f (n )=2)1()1(+-n n 当自变量依次取正整数1，2，3，…，n ,…时对应的函数值，以数列形式表示为 A.－1,1,－1,1 B.－1,－1,1,1,－1,－1C.－1,－1,1,1,－1,－1,…，2)1()1(+-n nD.－1,－1,1,1,－1,－1,…，2)1()1(+-n n ，…【解析】显然数列{f (n )}为无穷数列【答案】D5.已知数列｛a n ｝的通项公式a n ＝)2(1+n n (n ∈N*)，那么1201是这个数列的第______项. 【解析】令a n =1201即1201)2(1=+n n ,得n =10，或n =－12(舍去)【答案】106.已知数列{a n }的通项公式为a n =9n (32)n，则此数列的前4项分别为______.【解析】a 1=6,a 2=8,a 3=8,a 4=964【答案】6，8，8，964●强化训练1.数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是 A.a n =2n －1 B.a n =2n －1C.a n =2nD.a n =2n +1【解析】∵1=20，2=21，4=22，8=23，16=24,32=25∴a n =2n －1【答案】B2.数列1，1，2，2，3，3，4，4，……，的一个通项公式是( )A.a n =22)1(11+-++n nB.a n =⎪⎩⎪⎨⎧为偶数为奇数n n n n 2C.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+为偶数为奇数n n n n 21 21D.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-为偶数为奇数n n n n 221【解析】将1，0 ，1，0，1，0，…与1，2，3，4，5，6，…数列对应相加得到的数列为2，2，4，4，6，6，…∴a n =22)1(11+-++n n 【答案】A3.数列1544,433,322,21，……的一个通项公式是A.a n =12+n nB.a n =122++n n nC.a n =112+++n n nD.a n =122++n nn 【解析】 a 1=121=1+21 a 2=232=2+32 a 3=343=3+43 a 4=454=4+54 ……∴a n =n +1212++=+n nn n n 【答案】B4.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2－8n +15,则3 A.不是数列{a n }中的项B.只是数列{a n }中的第2项C.只是数列{a n }中的第6项D.是数列{a n }中的第2项或第6项【解析】令a n =3,即n 2－8n +15=3解得n =2,或n =6【答案】D5.数列,177,73,115,21,53……的一个通项公式是______.【解析】a 1=175,14673,115,8421,535432======a a a a , ∴a n =232++n n 【答案】a n =232++n n6.数列0，1，0，2，0，3，……的一个通项公式是______. 【解析】可以看作由a n =2)1(1n-+与a n =2n 对应项之积构成的数列，因此数列0,1,0,2,0,3,……的一个通项公式为a n =4)1(1n-+·n 【答案】4)1(1n-+·n7.根据数列的前n 项写出数列的一个通项公式.(1)2，2，4，4，6，6，……(2)1618,816,414,212，……(3)1，716,59,34--，……(4)a ,b ,a ,b ,a ,b ,……【解】 (1)a n =2)1(11+-+n +n(2) a n =2n +n21(3)a n =(－1)n +1122-n n (4)a n=1)1(22+--++n b a b a 8.已知数列{a n }的通项公式是a n =2+230200nn-，问1和32是不是数列{a n }中的项.如果是,那么是第几项？【解】 令a n =2+230200nn-=1，整理得:n 2－30n +200=0，即(n －10)(n －20)=0,∴n =10或n =20∴1是数列{a n }的第10项或第20项；令a n =2+230200nn-=32,即30n 2+30n －200=0整理得3n 2+3n －20=0，方程在N*中无解.∴32不是数列{a n }中的项. 9.在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)88是否是数列{a n }中的项.【解】 (1)设a n =An +B ,由a 1=2,a 17=66 得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=+24,66172B A B A B A 解得∴a n =4n －2(2)令a n =88,即4n －2=88得n =245∉N *∴88不是数列{a n }中的项.10.若数列{a n }的通项为a n =－2n 2+13n ，画出它在x 轴上方的图象，请根据图象求出a n 的最大值；并在同一坐标系中画出函数f (x )=－2x 2+13x 的图象，根据图象求出f (x )的最大值，并与a n 的最大值进行比较.【解】 令a n ＞0即－2n 2+13n ＞0,解得：0＜n ＜213,又n ∈N *∴n =1,2,3,4,5,6;a 1=11,a 2=18,a 3=21,a 4=20,a 5=15,a 6=6a n 的最大值为a 3=21,f (x )的最大值为2181,当n 取距413最近的正整数时，a n 取得最大值.(图象为孤立的点，略) ●学后反思观察数列的前n 项归纳出数列的一个通项公式是这堂课的难点.复杂的数列要把项“分解”开(如：分子、分母、符号等)，再找它们与项号n 的关系.为把握起见，可给求出的通项公式中的n 赋值来验证公式的正确性. ●教学建议本节重点是数列的概念和通项公式，难点是根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式.教学中需用函数的观点解释数列的概念和通项公式，加深对通项公式的理解，通过例题和练习让学习接触较多的具体数列，帮助学生分析观察数列的项与项数的对应关系，进而归纳出通项公式. 第二课时 ●自学导引1.如果已知数列｛a n ｝的第一项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.2.若a n +1＞a n 对任意的正整数n 都成立，则数列｛a n ｝可称为递增数列；若a n+1＜a n对任意的正整数n都成立，则数列｛a n｝可称为递减数列；若a n+1=a n对任意的正整数n都成立，则数列｛a n｝可称为常数列.●思考导学1.数列的递推公式的两个要素是什么？【答】首先要提供首项(或前几项)；再就是要给递推关系即任一项a n可用a n－1(或前几项)表示.2.简述数列递推公式与通项公式的关系.【答】数列递推公式与通项公式都能确定数列，但用通项公式求数列中的项，或判断一个数是否是数列中的项更为方便，因此我们需要考虑能否利用数列的递推公式求出数列的通项公式等问题.●典例剖析［例1］已知数列{a n}满足a n+1=2a n+1，n∈N*(1)若a1=－1，写出此数列的前4项,并推测数列的通项公式.(2)若a1=1,写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式.【解】 (1)a1=a2=a3=a4=－1，可推测数列{a n}的通项公式a n=－1.(2)a1=1,a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7，a4=2×7+1=15.可推测数列{a n}的通项公式为a n=2n－1.【点评】数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项(基础)两个因素所确定的，既便递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列.［例2］已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=αa n+β，且a2=3，a4=15，求常数α,β的值.【解】 由a 1=1,a n +1=αa n +β知a 2=αa 1+β即α+β=3 ①a 3=αa 2+β=3α+β a 4=αa 3+β=3α2+αβ+β即3α2+αβ+β=15 ②解得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==6312βαβα或 【点评】 本题就是用待定系数法解决了递推关系中的系数.当然还可以继续解决已知递推公式，求数列的通项公式等问题.［例3］已知数列{a n }的通项公式为a n =)1(1+n n (1)求证{a n }为递减数列，(2)若S n =a 1+a 2+…+a n ，求数列{a n }的前n 项和S n . (1)【证明】 a n +1－a n =)2)(1(2)1(1)2)(1(1++-=+-++n n n n n n n∵n ∈N *,∴a n +1－a n ＜0，即a n +1＜a n ∴数列{a n }为递减数列. (2)∵a n =111)1(1+-=+n n n n ∴S n =a 1+a 2+…+a n =+⨯+⨯321211…+)1(1+n n =)3121()211(-+-+…+)111(+-n n =1－111+=+n nn 【点评】 本题给出了证明数列为递增(或递减)数列和求数列前n 项和的方法.可注意证明数列为递增(或递减)数列与证明函数单调性的联系和区别. ●随堂训练1.在数列{a n }中，a 1=31,a n =(－1)n·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于A.－316B.316C.－38 D.38【解析】由a 1=31,a n =(－1)n·2a n －1得 a 2=32,a 3=－34,a 4=－38,a 5=316【答案】B2.在数列{a n }中，a 1=2,a 2=5,且a n +1=a n +2+a n ，则a 6的值为A.－3B.－11C.－5D.19【解析】由a 1=2,a 2=5又a n +1=a n +2+a n 即a n +2=a n +1－a n ∴a 3=3,a 4=－2,a 5=－5,a 6=－3【答案】A3.已知a n +1=a n +3，则数列{a n }是A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列【解析】由a n +1=a n +3，即a n +1－a n =3＞0知，数列{a n }为递增数列.【答案】A4.已知数列{a n }满足a 1＞0，且a n +1=21a n ,则数列{a n }是 A.递增数列 B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】由a 1＞0,且a n +1=21a n 则a n ＞0 又211=+n n a a ＜1∴a n +1＜a n 因此数列{a n }为递减数列.【答案】B5.已知f (1)=2,f (n +1)=21)1(+f (n ∈N *)，则f (4)=______. 【解析】f (2)=2321)1(=+f f (3)=45212321)2(=+=+ff (4)=89214521)3(=+=+f 【答案】896.设凸n 边形的对角线条数为f (n ),则f (3)=______;f (n +1)=______(用f (n )表示).【解析】显然f (3)=0f (n +1)=f (n )+(n －1)【答案】0 f (n )+n －1 强化训练1.已知数列{a n }的首项，a 1=1,且a n =2a n －1+1(n ≥2),则a 5为A.7B.15C.30D.31【解析】由a 1=1,且a n =2a n －1+1(n ≥2)得：a 2=3,a 3=7,a 4=15,a 5=31【答案】D2.数列｛－2n 2+29n +3｝中最大项的值是A.107B.108C.10881D.109【解析】∵－2n2+29n +3=－2(n －429)2+8292+3,又n ∈N *，故当n =7时，a n 最大，即最大项的值为a 7=－2×72+29×7+3=108.【答案】B 3.数列1，3，6，10，15，……的递推公式是 A.⎩⎨⎧∈+==+*`,111N n n a a a n n B.⎩⎨⎧≥∈+==-2*,,111n N n n a a a n nC.⎩⎨⎧≥∈++==+2*,),1(111n N n n a a a n nD.⎩⎨⎧∈-+==-*),1(111N n n a a a n n【解析】a 1=1a 2=a 1+2a 3=a 2+3……a n =a n －1+n 【答案】B4.若数列{a n }满足a 1=21,a n =1－11-n a ,n ≥2，n ∈N *,则a 2003等于A.21 B.－1 C.2D.1【解析】由a 1=21,a n =1－11-n a 知a 2=－1,a 3=2,a 4=21∴a 2003=a 3×667+2=…=a 5=a 2=－1【答案】B5.已知数列{a n }的递推公式为⎪⎩⎪⎨⎧+==+12111n n n a a a a n ∈N *,那么数列{a n }的通项公式为______. 【解析】由a 1=1,且a n +1=12+n na a 知a 2=31,a 3=51,a 4=71∴a n =121-n 【答案】a n =121-n6.设{a n }是首项为1的正项数列，且(n +1)·a n +12－na n 2+a n +1a n =0(n =1,2,3,…),则它的通项公式是______.【解析】由已知(n +1)a n +12－na n 2+a n +1a n =0知n (a n +12－a n 2)+a n +1(a n +1+a n )=0∴n (a n +1－a n )+a n +1=0即(n +1)a n +1=na n 整理得11+=+n na a n n ∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-=---)1(21)2( 12)1( 112211n a a n n a a n n a a n n n n(1)×(2)×…×(n －1) 得n a a n 11=又a 1=1,∴a n =n1.【答案】a n =n1.7.已知数列{a n }中a 1=1,a n +1=n a n n1+.(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式.【解】 (1)由a 1=1,a n +1=n a n n 1+得a 2=21,a 3=31,a 4=41,a 5=51 (2)可推测数列{a n }的通项公式为a n =n1.8.已知数列{a n }中，a 1=a 2=1，且a n =a n －1+a n －2(n ≥3,n ∈N *)设b n =1+n na a .(1) 求证：b n +1=nb +11,n ∈N *(2)求数列{b n }的前5项.(1)【证明】 b n +1=nn n n n a a a a a +=++++1121=nn n b a a +=++11111(2)【解】 由b 1=21a a =1∴b 2=21，b 3=32,b 4=53,b 5=85 9.已知数列｛a n ｝的递推公式是a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛a n ｝的通项公式. 【解】由a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1－2a n 得a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×1＝7 a 4＝3 a 3－2a 2＝3×7－2×3＝15 a 5＝3a 4－2a 3＝3×5－2×7＝31……可推测a n ＝2n－1.10.数列｛a n ｝满足：a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，求a 2003. 【解】 由a 1＝3，a 2＝6，a n +2=a n +1－a n ，得a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3 a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3 a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6a 6＝a 5－a 4＝－6－(－3)＝－3 a 7＝a 6－a 5＝－3－(－6)＝3 a 8＝a 7－a 6＝3－(－3)＝6 ……a 2003＝a 6×333＋5＝a 5＝－6.●学后反思利用数列的递推公式可求出数列中的任何一项，它和数列的通项公式一样是可以确定一个数列的，和通项公式比较，用通项公式求数列中的某一项或判断一个数是否是数列中的某一项比用递推公式更直接、更方便. ●教学建议可引导学生考虑已知递推公式，求通项公式的问题，但不宜过难、要循序渐进，可通过递推公式求项，发现数列的规律和性质，如数列可能是常数列、递增数列、递减数列、循环数列等等，激发学生的学习兴趣，引导学生观察问题、发现问题、解决问题，在以后的学习中还要注意数列的递推公式与数学归纳法之间的联系等等.3.2 等差数列第一课时●自学导引1.等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，用式子可表示为a n－a n－1＝d(n≥2，d是与n无关的常数)，则数列｛a n｝叫做等差数列.2.等差数列的单调性：等差数列的公差d＞0时，数列为递增数列；d＜0时，数列为递减数列；d＝0时，数列为常数列.等差数列不会是摆动数列.3.等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，它是用不完全归纳法得出来的.4.如果a,A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.●思考导学1.试判断等差数列的递增和递减性.【答】由等差数列的定义知a n+1－a n=d,当d＞0时a n+1＞a n即{a n}为递增数列；当d =0时，a n +1=a n 即{a n }为常数列； 当d ＜0时，a n +1＜a n 即{a n }为递减数列. 2.等差数列通项公式的特征.【答】 等差数列的通项公式为关于项数n 的次数不高于一次的多项式函数即a n =An +B (若{a n }为常数列时,A =0). ●典例剖析［例1］已知数列｛a n ｝为等差数列，且a 5＝11，a 8＝5，求a n . 【解】 设数列｛a n ｝的公差为d ，由等差数列的通项公式及已知得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=+219,57114111d a d a d a 解得所以a n ＝19＋(n －1)(－2)，即a n ＝－2n ＋21. 【点评】 先根据两个独立的条件解出两个量a 1和d ，进而再写出a n 的表达式.几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程组的重要应用.［例2］已知数列｛a n ｝为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p ，且p ≠q ，求a p ＋q .【解】 d ＝1-=--=--qp pq qp a a q p a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q －q ＝0 【点评】 等差数列公差的计算，可利用d ＝nm a a n m -- (m ≠n )，而等差数列的通项公式可写为a n ＝a k ＋(n －k )d .［例3］数列｛a n ｝各项的倒数组成一个等差数列，若a 3=31，a 5=71，求数列{a n }的通项公式. 【解】 设b n =na 1和{b n }成等差数列，其公差设为d 则b 3=71,31553===a b a ∴d =3535--b b =2∴b n =b 3+(n －3)d =3+2(n －3)=2n －3∴a n =3211-=n b n 【点评】 可观察出递推关系为a n +1=Ca Ca n n+的数列的倒数构成的数列即为等差数列，可通过求na 1进而求出a n .●随堂训练1.数列｛a n ｝的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n 的等差数列【解析】a n －a n －1＝2n ＋5－［2(n －1)＋5］＝2(n ≥2)【答案】A2.a ,b ,c 都是实数，那么“2b =a +c ”是“a ，b ，c 成等差数列”的A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a ,b ,c 成等差数列⇔b －a =c －b ⇔2b =a +c 【答案】C 3.在等差数列{a n }中，a 2=－5,d =3，则a 1为A.－9B.－8C.－7D.－4【解析】由已知a n =a 2+(n －2)d ∴a 1=a 2－d =－5－3=－8【答案】B 4.已知等差数列{a n }的前3项依次为a －1,a +1,2a +3，则此数列的通项a n 为A.2n －5B.2n －3C.2n －1D.2n +1【解析】由已知2(a +1)=(a －1)+(2a +3)整理得a =0∴a 1=－1,a 2=1,d =a 2－a 1=2a n =a 1+(n －1)d =2n －3 【答案】B5.在等差数列{a n }中，若a 3=50,a 5=30，则a 7=______. 【解法一】 d=3550303535--=--a a =－10∴a 7=a 3+(7－3)d =50－40=10 【解法二】 由2a 5=a 3+a 7得a 7=2a 5－a 3=2×30－50=10【答案】10 6.在－1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则a =______,b =______.【解析】d =14)1(8---=3∴a =－1+3=2,b =2+3=5【答案】2 5 ●强化训练1.已知m 、p 为常数，设命题甲：a 、b 、c 成等差数列；命题乙：ma +p ,mb +p ,mc +p 成等差数列，那么甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a 、b 、c 成等差数列⇔2b =a +c ⇒2(mb +p )=(ma +p )+(mc +p )【答案】A2.已知数列{a n }中a 3=2,a 7=1，又数列{11+n a }为等差数列，则a 11等于A.0B.21C.37 D.－1 【解析】∵{11+n a }为等差数列∴24137111137=-+-+a a241)3(11113⋅-++=+n a a n ∴3224118311111=⋅+=+a∴a 11=21【答案】B3.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D. 38＜d ≤3【解析】由已知a 10＞0，且a 9≤0即⎩⎨⎧≤++080911d a d a 将a 1=－24代入解得38＜d ≤3【答案】D4.在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8等于A.45B.75C.180D.300 【解析】由已知a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，即5a 1+20d =450 即a 1+4d =90a 2+a 8=2a 1+8d =2(a 1+4d )=180【答案】C5.如果等差数列{a n }的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第______项.【解析】在等差数列{a n }中，a 5=5,a 10=－5 ∴d =555510510--=--a a =－2 a n =a 5+(n －5)d =5+(n －5)(－2)=15－2n令a n ＜0，即15－2n ＜0，n ＞215，又n ∈N *∴n =8,9,10……因此，数列中的第一个负数项是第八项即a 8. 【答案】八6.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为______.【解析】由已知得,222423911⎩⎨⎧-=+=+d a d a 解得⎩⎨⎧-==3501d a ∴a n ＝50＋(n －1)(－3)＝－3n ＋53. 【答案】a n ＝－3n ＋537.判断下列数列是否是等差数列.(1)a n ＝4n －3 (2)a n ＝n 2＋n 【解】 (1)∵a n +1－a n =［4(n +1)－3］－(4n －3)=4∴{a n }为等差数列(2)由a n =n 2+n 知a 1=2,a 2=6,a 3=12a 2－a 1≠a 3－a 2∴{a n }不构成等差数列.8.已知数列{a n }满足a n +12=a n 2+4，且a 1=1,a n ＞0，求a n .【解】 由a n +12=a 2n +4即a n +12－a n 2=4∴数列{a n 2}构成等差数列.a n 2=a 12+(n －1)d =12+(n －1)·4=4n －3 又a n ＞0∴a n =34-n9.若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，求2412b b a a --的值.【解】 设两个等差数列的公差分别为d 1、d 2，即求21d d ，由已知得⎩⎨⎧+=+=2154d x y d x y 即,5421⎩⎨⎧-=-=xy d xy d 解得4521=d d ，即453412=--b b a a10.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=12+n na a (1)求数列的前4项.(2)推测数列的通项公式并证明.【解】 (1)a 1=1；a 2=31；a 3=51；a 4=71 (2)由a 1=1,a n +1=12+n n a a 得nn a a 1211+=+,即2111=-+n n a a ∴{na 1}构成等差数列111a a n =+(n －1)d =1+2(n －1)=2n －1∴a n =121-n ●学后反思等差数列是一类特殊的数列，反映出的特殊规律是定义，等差数列的通项公式涉及到四个量a 1、a n 、n 、d ，用方程的观点知三求一.列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法.当已知a 、b 、c 成等差数列时，通常采用2b =a +c 作为解决问题的出发点.●教学建议通过对等差数列定义和通项公式的学习，要让学生明确一般等差数列是由两个条件来确定，其基本量是首项和公差.可根据学生的具体情况介绍通项公式的作用和等差数列通项公式的灵活使用方法. 第二课时 ●自学导引 1.如果a n +1=22++n n a a 对任意的正整数n 都成立，则数列｛a n ｝是等差数列.2.(1)若｛a n ｝是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k 、l 、m 、n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(2)若｛a n ｝是等差数列，公差为d ，则｛a 2n ｝也是等差数列，公差为2d .(3)若｛a n ｝是等差数列且公差为d ，则｛a 2n －1＋a 2n ｝也是等差数列，公差为4d .(4)若｛a n ｝、｛b n ｝都是等差数列，则｛pa n ＋q b n ｝也是等差数列. ●思考导学1.如何证明三个数a 、b 、c 成等差数列？【答】根据等差数列的定义：a 、b 、c 成等差数列即b －a =c －b 2c a b +=⇔.2.如何使用等差数列的通项公式？【答】 可根据任意不同的两项求出公差d =nm a a nm --,又可推出a n =a k +(n －k )d .●典例剖析［例1］在等差数列｛a n ｝中，(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13； (2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .【解】 (1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，得4a 13＝48 ∴a 13＝12(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17解⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=⋅413134,175252525252a a a a a a a a 或得∴d ＝34132525-=--a a ＝3或d ＝31342525-=--a a ＝－3【点评】等差数列｛a n ｝中最基本的量是首项a 1和公差d ，利用性质解决等差数列问题较为简单方便，当然利用已知条件列出关于a 1、d 的方程问题总是可以解决的.［例2］若ba a c cb +++1,1,1成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列.【证明】 由已知得ac b a c b +=+++211a c b a c b c a b +=++++⇒2))((2⇒(2b +a +c )(c +a )=2(b +c )(a +b )⇒a 2+c 2=2b 2,则a 2,b 2,c 2成等差数列.【点评】若a +b ,b +c ,c +a 均不为零，逆命题也成立.同学们自证. ［例3］已知四个数构成等差数列，前三个数的和为6，第一个数和第四个数的乘积为4，求这四个数.【解】 设所求的四个数分别为a －d ,a ,a +d ,a +2d .根据已知条件由①得a =2,将a =2代入②整理得d 2－d =0，∴d =0或d =1因此所求的四个数分别为2，2，2，2或1,2,3,4.【点评】 要根据四个数成等差数列，而前三个数的和已知去设未知量、布列方程，可使未知量的个数较少并且解方程的过程较为简单. ●随堂训练1.a n +2+a n =2a n +1(n ∈N *)是数列{a n }构成等差数列的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件① ②⎩⎨⎧=+-=+++-4)2)((6)()(d a d a d a a d a【解析】a n +2+a n =2a n +1(n ∈N *)⇔a n +2－a n +1=a n +1－a n (n ∈N *)⇔a 2－a 1=a 3－a 2=a 4－a 3=…=a n +1－a n⇔{a n }成等差数列【答案】C2.设数列｛a n ｝、｛b n ｝都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于A.0B.37C.100D.－37【解析】设｛a n ｝、｛b n ｝的公差分别为d 1、d 2∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2∴｛a n ＋b n ｝为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100∴a 37＋b 37＝100【答案】C3.lg x 、lg y 、lg z 成等差数列是y 2=xz 成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】lg x ,lg y ,lg z成等差数列⇔2lg y =lg x +lg z ⇒lg y 2=lg(xz )⇒y 2=xz【答案】A4.已知｛a n ｝为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝___________. 【解析】设b 1＝a 15，b 2＝a 30，b 3＝a 45，b 4＝a 60，b 5＝a 75 ∴b 5＝b 1＋1414--b b ·4＝8＋3820-·4＝24，即a 75＝24.【答案】24 5.在等差数列｛a n ｝中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，则a m ＝___________. 【解析】a m ＝22BA a a n m n m +=+-+.【答案】2BA +●强化训练1.△ABC 三内角A 、B 、C 成等差数列是∠B =3π成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】⎩⎨⎧=++成等差数列C B A C B A \\π⎪⎩⎪⎨⎧==++⇔⎪⎩⎪⎨⎧+==++⇔32πππB C B A CA B C B A 【答案】C2.若等差数列的各项依次递减，且a 2a 4a 6=45,a 2+a 4+a 6=15，则数列{a n }的通项公式为A.2n －3B.－2n +3C.－2n +13D.2n +9【解析】由a 2+a 4+a 6=15,即3a 4=15,a 4=5代入a 2a 4a 6=45得a 2a 6=9，又a 2+a 6=10∴a 6=1,a 2=9∴d =2626--a a =－2∴a n =a 2+(n －2)d =9+(n －2)(－2)=－2n +13【答案】C3.已知等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9等于A.30B.27C.24D.21【解析】a 3+a 6+a 9=2(a 2+a 5+a 8)－(a 1+a 4+a 7)=2×33－39=27【答案】B 4.已知数列{a n }满足a 1=1,a n =2211+--n n a a ，则下列结论中不成立的是A.{na 1 }成等差数列 B.a n =12+n C.{a n }成等差数列 D.{a n }不成等差数列【解析】∵a 1=1,a n =2211+--n n a a ∴a 2=32,a 3=21a 2－a 1≠a 3－a 2∴{a n }不成等差数列.【答案】D5.数列{a n }为等差数列，a 2与a 6的等差中项为5,a 3与a 7的等差中项为7，则数列的通项a n 等于______.【解析】由已知a 4=5,a 5=7∴d =2,a n =a 4+(n －4)d =5+2(n －4)=2n －3【答案】2n －36.等差数列{a n }中，若a 3+a 5=a 7－a 3=24,则a 2=______. 【解析】由已知⎩⎨⎧=-=+24243753a a a a 又a 5=273aa +∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=+30624483733773a a a a a a 解得∴d =376303737--=--a a =6a 2=a 3－d =0【答案】07.已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四数.【解】 设所求四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d依题意可得⎩⎨⎧+-=++-=++++-+-))((18)3)(3(94)3()()()3(2222d a d a d a d a d a d a d a d a整理得:⎪⎩⎪⎨⎧==+18894204222d d a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2723272327232723a d a d a d a d 或或或 ∴所求四个数分别为－1，2，5，8或－8,－5,－2,1或8,5,2,－1或1,－2,－5,－8.8.已知ca b 111与是的等差中项，求证cba a cb bc a +++与是的等差中项.【证明】 由已知c a b 112+=,即acca b +=2ac c bc ab a c b a a c b 22+++=+++=bc a ac c a ac c a c a b )(2)()11(222+=+=+++∴cba a cb bc a +++与是的等差中项. 9.已知数列{a n }是等差数列，b n =a n +12－a n 2，求证{b n }也是等差数列. 【证明】 ∵{a n }成等差数列∴a n +1－a n =db n +1－b n =(a n +22－a n +12)－(a n +12－a n 2)=d (a n +2+a n +1)－d (a n +1+a n )=d (a n +2－a n )=2d 2∴{b n }数列构成等差数列.10.已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4－14-n a (n ≥2)，令b n =21-n a ,(1)求证数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)【证明】 a n +1－2=2－n n n a a a )2(24-=∴2121)2(2211-+=-=-+n n n n a a a a (n ≥1)故2121211=---+n n a a (n ≥1)即b n +1－b n =21 (n ≥1)∴数列{b n }是等差数列.(2)【解】 ∵{21-n a }是等差数列∴221)1(21211nn a a n =⋅-+-=-∴a n =2+n2∴数列{a n }的通项公式a n =2+n2●教学建议要能够利用等差数列的定义、等差中项的概念及“通项公式”解决等差数列中的有关计算和证明问题，要适当地向学生介绍等差数列的性质和推导证明方法，要通过性质在计算和证明中的应用，让学生逐步体会等差数列性质在解决问题过程中的作用.§3.3 等差数列的前n 项和第一课时 ●自学导引1.等差数列｛a n ｝的前n 项和S n =2)(1n a a n +=na 1+d n n 2)1(-. 2.若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，则数列｛a n ｝为等差数列. ●思考导学1.在推导等差数列前n 项和公式的过程中使用的等差数列的性质是什么？【答】 在推导等差数列前n 项和公式的过程中，使用的等差数列的性质是：到两端等距离的两项的和为一常数,即当m +n =k +l ，m 、n 、k 、l ∈N 时a m +a n =a k +a l .2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n 如何用S n 表示？【答】 可以和一般数列一样已知前n 项和S n 求通项a n =S n －S n －1(n ≥2)对于等差数列a n =1212)12)((2121121-⋅-+=+--n n a a a a n n =1212--n S n ●典例剖析［例1］在等差数列｛a n ｝中，a 4=0.8,a 11=2.2,求a 51+a 52+…+a 80. 【解】 由等差数列的通项公式得⎩⎨⎧=+=+2.2108.0311d a d a ,解得a 1=0.2,d =0.2.∴a 51＋a 52+…+a 80=S 80－S 50 =80a 1+d a d 2495050279801⨯--⨯=30a 1+1935d =30×0.2+1935×0.2=393.【点评】 本题求解分两个层次，首先由已知求出a 和d ，再将所求转化为S 80－S 50，这是解题的关键.［例2］根据数列｛a n ｝的前n 项和公式，判断下列数列是否是等差数列.(1)S n ＝2n 2－n (2)S n ＝2n 2－n ＋1【解】 (1)a 1＝S 1＝1 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－n )－［2(n －1)2－(n －1)］＝2(2n －1)－1＝4n －3∵n =1 时也成立，∴a n ＝4n －3 a n ＋1－a n ＝［4(n ＋1)－3］－［4n －3］＝4∴｛a n ｝成等差数列(2)a 1＝S 1＝2 a 2＝S 2－S 1＝5 a 3＝S 3－S 2＝9 ∵a 2－a 1≠a 3－a 2 ∴｛a n ｝不是等差数列.【点评】 已知S n ，求a n ，要注意a 1＝S 1，当n ≥2时a n ＝S n －S n －1， 因此a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .［例3］已知等差数列｛a n ｝满足：S p ＝q ，S q ＝p ，求S p ＋q (其中p ≠q ).【解】 由已知S p ＝q ，S q ＝p 得pa 1＋q d p p =-2)1( ①qa 1＋p d q q =-2)1( ② ①－②整理得2)1(21dq p a -++＝－1∴dq p q p a q p S q p 2)1)(()(1-++++=+＝(p ＋q )2)1(21dq p a -++＝－(p ＋q )【点评】 本问题即是在a 1、d 、n 、a n 、S n 中知三求二问题，但在解方程的过程中体现出了较高的技巧；也可考虑设S ＝An 2＋Bn 去求解.●随堂训练1.在等差数列｛a n ｝中，S 10=120,那么a 1+a 10的值是A.12B.24C.36D.48【解析】根据已知条件10a 1＋2910⨯d ＝120，即2a 1＋9d ＝24∴a 1＋a 10＝2a 1＋9d ＝24【答案】B2.在等差数列｛a n ｝中，若S 12=8S 4,则da 1等于A.109 B.910 C.2 D.32 【解析】由已知得12a 1+66d =32a 1+48d ,∴20a 1=18d ,∴1091=d a .【答案】A3.在等差数列｛a n ｝和｛b n ｝中，a 1=25,b 1=75,a 100+b 100=100,则数列｛a n +b n ｝的前100项的和为A.0B.100C.1000D.10000【解析】易知数列｛a n ＋b n ｝是等差数列，其首项a 1＋b 1＝100，S 100＝2)100100(100+＝10000.【答案】D4.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么 A.它的首项是－2，公差是3 B.它的首项是2，公差是－3C.它的首项是－3，公差是2D.它的首项是3，公差是－2【解析】由已知⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+3223310411d a d a ,即⎩⎨⎧=+=+110411d a d a 【答案】A5.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +5,则a 6+a 7+a 8=______.【解析】a 6+a 7+a 8=S 8－S 5=(82+2×8+5)－(52+2×5+5)=45【答案】45 6.在等差数列｛a n ｝中，已知a 11=10,则S 21=______. 【解析】a 1+a 21=2a 11=20.∴S 21=220212)(21211⨯=+a a =210.【答案】210 ●强化训练1.数列{a n }是等差数列的一个充要条件是 A.S n =an 2+bn +c B.S n =an 2+bn C.S n =an 2+bn +c (a ≠0)D.S n =an 2+bn (a ≠0)【解析】由{a n }为等差数列S n =na 1+n da n d d n n )2(22)1(12-+=-=an 2+bn .【答案】B2.等差数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ，那么它的通项公式是 A.a n =2n －1 B.a n =2n +1C.a n =4n －1 D.a n =4n +1【解析】a 1=S 1=3 当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(2n 2+n )－［2(n －1)2+(n －1)］=4n －1【答案】C3.已知数列{a n }的前n 项和为S n =4n 2－n +2,则该数列的通项公式为 A.a n =8n +5(n ∈N *) B.a n =⎩⎨⎧∈≥-=*).,2(58),1(5N n n n n .C.a n =8n +5(n ≥2)D.a n =8n －5(n ≥1). 【解析】a 1=S 1=5当n ≥2时a n =S n －S n －1=(4n 2－n +2)－［4(n －1)2－(n －1)+2］=8n －5【答案】B4.数列1，41,41,41,41,31,31,31,21,21，…的前100项的和为A.13149B.131411C.14141D.14143 【解析】由1+2+…+n ＜100即n (n +1)＜200得n ≤13当n =13时，2)1(+n n =91∴（1++++++3131312121…+)131+=13+149【答案】A 5.在等差数列{a n }中，a 2+a 5=19，S 5=40，则a 10=______.【解析】由已知：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+402455195211d a d a 即⎩⎨⎧=+=+82195211d a d a 解得：⎩⎨⎧==321d a ∴a 10=a 1+9d =2+9×3=29【答案】296.在等差数列｛a n ｝中，a 1：a 3=1∶3，且S 5＝45，则a 4＝______. 【解析】a 3=3a 1，S 5＝2252)(5351a a a ⋅=+＝5a 3＝45，∴a 3=9，a 1=3,∴d =21 (a 3－a 1)=3,∴a 4=12.【答案】127.一个有n 项的等差数列，前四项和为26，末四项和为110，所有项之和为187，求项数n ..【解】 由已知a 1+a 2+a 3+a 4+a n －3+a n －2+a n －1+a n =136∴4(a 1+a n )=136即a 1+a n =34又S n =2)(1na a n +即17n =187∴n =11.8.已知数列{a n }满足a 1=0，a n +1+S n =n 2+2n (n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和，求此数列的通项公式.【解】 a 1=0，由a n +1+S n =n 2+2n (n ∈N *)知a 2=3S n +1=n 2+2n (n ∈N *)S n =(n －1)2+2(n －1)当n ≥2时a n =S n －S n －1=2n－1∴a n =⎩⎨⎧≥-=2 ,121,0n n n9.已知等差数列{a n }中，d =21,a n =23,S n =－215，求a 1及n . 【解】 由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-+2152)1(23)1(11d n n na d n a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=--=4)1(215212311n n na n a ∴42152422nn n n ---=- 8n －2n 2=－30－n 2+n ∴n 2－7n －30=0∴(n －10)(n +3)=0，又n ∈N *∴n =10,a 1=－310.已知两个等差数列｛a n ｝、｛b n ｝，它们的前n 项和分别是S n 、S n ′，若1332'-+=n n S S nn ,求99b a .【解法一】 ∵2a 9=a 1+a 17,2b 9=b 1+b 17,∴S 17=2)(17171a a +=17a 9,S 17′=2)(17171a a +=17b 9,∴503711733172171799=-⨯+⨯==S S b a .【解法二】 ∵｛a n ｝、｛b n ｝是等差数列，∴可设S n =An 2+Bn ,S n ′=A ’n 2+B ′n (A 、B 、A ′、B ′∈R ),∵nn nn n n S S n n -+=-+=23321332',进而可设S n =(2n 2+3n )t ,S n ′=(3n 2－n )t (t ∈R ,t ≠0),∴a n =S n －S n －1=(2n 2+3n )t －［2(n －1)2+3(n －1)t ］=(4n +1)t ,∴a 9＝37t .同理可得b n =S n ′－S n －1′=(3n 2－n )t －［3(n －1)2－(n －1)］t =(6n －4)t , ∴b 9=50t ,∴503799=b a . ●学后反思对于等差数列的计算和证明问题要灵活地应用等差数列的定义、等差中项和等差数列的通项公式、前n 项和公式；这也是证明和使用等差数列性质的基础.●教学建议在适当学习等差数列性质的基础上，引导学生推导等差数列的前n 项和公式，要重视教学过程.在此基础上明确等差数列前n 项和公式两种形式(S n =2)(1n a a n +、S n =d n n na 2)1(1-+)的作用和功能，可通过函数的观点进一步加深对等差数列的认识.第二课时●自学导引1.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，那么数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ……(k ∈N *)成等差数列，公差为k 2d .2.在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值.若a 1＜0,d ＞0，则S n 存在最小值. ●思考导学1.等差数列前n 项和公式的特征是什么？【答】 等差数列的前n 项和公式是关于项数n 的一个不高于二次的常数项为零的多项式函数即S n =An 2+Bn (若{a n }为常数列，则A =0；若a n =0，则A =B =0).2.在什么情况下，等差数列的前n 项和存在最值？【答】 在等差数列{a n }中，(1)若a 1＞0,d ＜0，则S n 存在最大值； (2)若a 1＜0,d ＞0，则S n 存在最小值. ●典例剖析［例1］在等差数列{a n }中，共有3m 项，前2m 项的和为100，后2m 项的和为200，求中间m 项的和. 【解法一】 由已知②－①整理得：d =250m ,代入①可得;a 1=225m∴S 2m－S m =m (a 1+md )+2)1(-m m d=m (75502)1()502522=-++mm m m m 【解法二】 由已知S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 成等差数列 即2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m ) 又由已知S 2m =100,S 3m －S m =200∴S 2m －S m =43004)(23=+-m m m S S S =75【点评】 解法一利用了等差数列的前n 项和公式、方法比较常规解法二利用等差数列的性质运算更为简洁、方便.［例2］一个等差数列的前10项之和100，前100项之和为10，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-+2002)12(2)(2 1002)12(2211d m m md a m d m m ma① ②求前110项之和.【解法一】 设等差数列｛a n ｝的公差为d ，前n 项和S n ，则S n ＝na 1＋d n n 2)1(-. 由已知得①×10－②整理得d =－5011，代入①，得a 1＝1001099 ∴S 110＝110a 1＋2109110⨯d ＝110×1001099+2109110⨯×)5011(-＝110(100111091099⨯-)＝－110故此数列的前110项之和为－110.【解法二】 设等差数列的前n 项和为S n =An 2+Bn ,由已知⎩⎨⎧=+=+101001000010010100B A B A ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1011110011B A ∴S 110=－10011×1102+10111×110=－110【解法三】 设等差数列的首项为a 1,公差为d ，则① －②得(p －q )a 1+d qq p q p )1)((-+-=－(p －q ),p ≠q ,∴a 1+21-+q p d =－1,∴S p +q =(p +q )a 1+2)1)((-++q p q p d =(p +q )(－1)，∴S 110＝－110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+1029910010010029101011d a d a ①②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-+=p d q q qa S q d p p pa S q p 2)1(2)1(11(p ≠q) ①②【解法四】 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设其公差为D . 前10项的和10S 10＋2910⨯·D ＝S 100＝10⇒D =－22,∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120.∴S 110＝－120＋S 100＝－110.【解法五】 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100＝2)(902)(90110110011a a a a +=+ 又S 100－S 10＝10－100＝－90 ∴a 1＋a 110＝－2 ∴S 110＝2)(1101101a a +＝－110【点评】 本题解法较多，技巧性强，可使学生开阔思路，探索研究，寻求简捷的解题方法.［例3］数列｛a n ｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.(1)求数列的公差.(2)求前n 项和S n 的最大值.(3)当S n ＞0时，求n 的最大值.【解】 (1)由已知a 6=a 1+5d =23+5d ＞0,a 7=a 1+6d =23+6d ＜0, 解得:－523＜d ＜－623,又d ∈Z ,∴d =－4 (2)∵d ＜0，∴{a n }是递减数列，又a 6＞0，a 7＜0∴当n =6时，S n 取得最大值，S 6=6×23+256⨯ (－4)=78 (3)S n =23n +2)1(-n n (－4)＞0，整理得：n (50－4n )＞0∴0＜n＜225,又n ∈N *, 所求n 的最大值为12.。
高一数学数列优质课教案课件数列教案
乐清体校黄智莉教学目标：知识与技能：明白得数列的有关概念,了解数列和函数之间的关系；了解 数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的前几顶甚至任意一项过程与方法：通过对具体例子的观看分析得出数列的概念,培养学生由专 门到一样的归纳能力•观看能力和抽象概括能力。
情感.态度.价值观：在参与咨询题讨论并获得解决中,培养观看.归纳 的思维品质,养成自主探究的学习适应；并通过本节课的学习,体会数学 来源于生活,提高数学学习的爱好。
教学重点： 教学难点： 教学方法： 教学手段： 教学过程：一、创设情形,在生活中认识数列1・温州某皮鞋公司打算去非洲拓展皮鞋市场•派两个人去调查市场,发觉 那儿的人都不穿鞋子•咨询去投资依旧舍弃呢？适当的数填空1,2,1,2, Or 0,0 1, 2 f o f o f 02 •台球桌中的数列1, 2, 3,4,53•我国有十二生肖的习俗,今年是2018年鼠年,请讲出2018年之前最后一个鼠年.2018年之 后最后一个鼠年?1996,2018,2020,20324 •象棋的传奇国际象棋有八行八列,64个格子。
国王要奖励国际象棋的发明者咨询 他有什么要求,发明者讲:在第1个格子里放1颗麦粒，在第2个格子里 放2颗麦粒f 在第3个格子里放4颗麦粒r 在第4个格子里放8颗麦粒, 在第5个格子里放16颗麦粒,依次类推。
国王承诺了。
咨询国王能满足满足上述要求吗?二？，"， (2)5 •奥运金牌 无京奥运会上.中国拿了多少枚金牌?我国从1984年倒2018年共开始参加了 7届奥运会,金牌数依次为高一数学数列 课教案课件数列教案数列及其有关辭,通项公式。
通项公式的明白得。
启发引导式多媒体教学6315 6 16 16 28 32 516•小女孩荡秋卡,k 一扭到边:唐念鸭从上到下,跳来跳去。
(—1)，? n = l,n = 2,n=3,n=4,..时・1,1,,・!., !.,・・•7•庄子& :二尺丄匾r G取玄半,万世不竭。
高中数学数列第一课时说课课件北师大必修共22页文档
和概念,同时已经具备了一定的自学能力,多数同学对 数学的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题能
力,合作交流的意识等方面发展不够均衡,尚有待加强。
2 教学目标的确定
3 4 根据上述教材结构与内容分析，以及学情的分析,
化的C函o数py，rig还h可t 2以0有04自-2变01量1离A散sp变o化se的P函ty数L；td另.
一方面，又可以从函数的观点出发变动地、直观 地研究数列的一些问题，以便对数列性质的认识 更深入一步。数列还有着非常广泛的实际应用； 数列还是培养学生数学能力的良好题材。所以说 数列是高中数学重要内容之一。
导 史典故
1,2,2 2 ,23 ,24 ,...合高一学生喜欢探究
入
,2 63
新奇奥妙事物的特点。 有利于激发学生的学
习兴趣。
环节 知识产生和发展过程的 双边活动 教学设计
设计意图
2.观察下列数:
师生共同观察,
(一) 实
(1)2,3,4,5,6,7,8.
归纳总结所举 例子得出共同
(2)1984年到2004年我国体 特点:
设计意图
例1 项 2 3 4 5 6 7
(二 )
探
序号 1 2 3 4 5 6
让学生在观察归
索 研
e究d
发
教师引导: 观察这列数的每一项与与它 纳等活动中得数列通
w的学序ith生号序C归加号Aos1是纳pp,y可:否or这用i有sg里e公h一.的tS式定2每lE:i的0dv一0关ea项4sl系u-都f2?ao0是tri1o它.1Nn相EAo应Tsn的ply3o..s5项效理受eC的的能数Pli定发力学teyn义展，的Lt。了引思tPd同学导想r.o时生学方fi也的生法le有推感。5.2
高一数学最新课件-数列(一)人教版[原创] 精品
![高一数学最新课件-数列(一)人教版[原创] 精品](https://img.taocdn.com/s3/m/575788e4482fb4daa58d4bd1.png)
问1、数集{4，5，6，7}与数列4,5,6,7是否相同？
2、 1，3，5，7和7，5，3，1是相同 数列吗？
3、 1，1， 1，1，...是不是数列?
4、 an与{an}是否一样？
数列 1,2,22,...263 的每一项序号（即项
2、 已 知数 列的 通项 公式an n2 n 1 问133，231是 不 是 这 个 数 列 的 项 ？
如果是，则是第几项？
3、
数
列an
n 2
( n为 偶 数)的
前
四
项为多少？
n( n为 奇 数)
1、集合{4，5，6，7}与数列4,5,6,7是否相同？
2、1，3，5，7和7，5，3，1是相同数列吗？
2345
(3) 1 , 1 , 1 , 1 . 1 2 2 3 34 45
(4）9，99，999，9999，...
(5)0.3,0.33,0.333,0.3333,....
(6)2,6,12,20,30,42,...
课时小结
本节内容应着重掌握数列及有关定义，会 根据通项公式求其任意一项，并会根据数 列的前n项求一些简单数列的通项公式。
3、 1，1， 1，1，...是不是数列?
4、 an与{an}是否一样？ 数列的项与项数是否一样？
5、数列 1,2,22,...263 的每一项序号与这一
项的对应关系是什么？写出通项公式。
6、15,5,16,16,28的通项公式怎么写？
数）与这一项的对应关系是什么？这关系能 否用一个公式表示呢？ 3、通项公式：
如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系
可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫 做这个数列的通项公式。
高一数学教案数列
高一数学教案数列高一数学教案数列1教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能依据定义推断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；（2）正确认得使用等比数列的表示法，能敏捷运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；（3）通过通项公式认得等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，渐渐培养学生察看、类比、归纳、料想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教学建议教材分析（1）知识结构等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最终是通项公式的应用.（2）重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认得与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有很多相同的性质，但也有明显的区别，可依据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟识；在推导过程中，需要学生有肯定的察看分析料想本领；第一项是否成立又须增补说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的敏捷运用既是重点又是难点.教学建议（1）建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.（2）等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.（3）依据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法.启发学生用函数观点认得通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.（5）由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生本身解决，老师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者显现.（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用.教学设计示例课题：等比数列的概念教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的`察看、概括本领.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）①－2，1，4，7，10，13，16，19，…②8，16，32，64，128，256，…③1，1，1，1，1，1，1，…④243，81，27，9，3，1，，…⑤31，29，27，25，23，21，19，…⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…⑧0，0，0，0，0，0，0，…由学生发表看法（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摇摆数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）.二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，老师指出实际生活中也有很多仿佛的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，始终进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）等比数列（板书）1.等比数列的定义（板书）依据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，试验给等比数列下定义.学生一般回答可能不足完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.老师写出等比数列的定义，标注出重点词语.请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有极多列既是等差数列又是等比数列.学生通过察看可以发现③是这样的数列，老师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：那时候，数列既是等差又是等比数列，那时候，它只是等差数列，而不是等比数列.老师追问理由，引出对等比数列的认得：2.对定义的认得（板书）（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0，即；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？（3）公比不为0.用数学式子表示等比数列的定义.是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为是等比数列？为什么不能？式子给出了数列第项与第项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.3.等比数列的通项公式（板书）问题：用和表示第项.①不完全归纳法②叠乘法，…，这个式子相乘得，所以.（板书）（1）等比数列的通项公式得出通项公式后，让学生思考如何认得通项公式.（板书）（2）对公式的认得由学生来说，最终归结：①函数观点；②方程思想（因在等差数列中已有认得，此处再复习巩固而已）.这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不但要会解题，还要注意规范表述的训练）假如加添一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.三、小结1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；3.用方程的思想认得通项公式，并加以应用.高一数学教案数列2教学目标1、使学生理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前几项、（1）理解数列是按肯定次序排成的一列数，其每一项是由其项数唯一确定的、（2）了解数列的各种表示方法，理解通项公式是数列第项与项数的关系式，能依据通项公式写出数列的前几项，并能依据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通项公式、（3）已知一个数列的递推公式及前若干项，便确定了数列，能用代入法写出数列的前几项、2、通过对一列数的察看、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的察看本领和抽象概括本领、3、通过由求的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯、教学建议（1）为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等、（2）数列中蕴含的函数思想是研究数列的引导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系、在教学中强调数列的项是按肯定次序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数构成的数列，次序不同则就是不同的数列、函数表示法有列表法、图象法、解析式法，仿佛地，数列就有列举法、图示法、通项公式法、由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法？递推公式法、（3）由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，老师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生察看归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式供应帮忙、（4）由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮忙学生分析各项中的结构特征（整式，分式，递增，递减，摇摆等），由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用来调整等、假如学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，料想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系、（5）对每个数列都有求和问题，所以在本节课应增补数列前项和的概念，用表示的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析与的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调的表达式是分段的）；之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不行合并的情况、（6）给出一些简单数列的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的、教学设计示例数列的概念教学目标1、通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够依据通项公式写出数列的项、2、通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的察看、抽象概括本领；渗透函数思想、3、通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的乐观性、教学重点，难点教学重点是数列的定义的归纳与认得；教学难点是数列与函数的联系与区别、教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片教学方法：讲授法为主教学过程一、揭示课题今日开始我们研究一个新课题、先举一个生活中的例子：场合上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律、实际上我们要研究的是这样的一列数（板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象？数列、（板书）第三章数列（一）数列的概念二、讲解新课要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮忙同学概括出数列的定义，再给出几列数：（幻灯片）①自然数排成一列数：②3个1排成一列：③极多个1排成一列：④的不足貌似值，分别貌似到排列起来：⑤正整数的倒数排成一列数：⑥函数当依次取时得到一列数：⑦函数当依次取时得到一列数：⑧请学生察看8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有本身的特定的位置，这样数列就是按肯定次序排成的一列数、（板书）1、数列的定义：按肯定次序排成的一列数叫做数列、为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）、以上述八个数列为例，让学生练习了指出某一个数列的.首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数、由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定、所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有紧密关系、（板书）2、数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集、于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列、遇到数学概念不止要下定义，还要给其数学表示，以便研究与沟通，下面探讨数列的表示法、（板书）3、数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法、相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为（板书）（1）列举法（如幻灯片上的例子）简记为一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法、（板书）（2）图示法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形、具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，由于横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数、从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变动而变动的趋势、有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，仿佛地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式、（板书）（3）通项公式法如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中全部各项的一般表示、通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项、例如，数列的通项公式，则、值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是全部的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一、除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式、（板书）（4）递推公式法如前面所举的钢管的例子，第层钢管数与第层钢管数的关系是，再给定，便可依次求出各项、再如数列中，这个数列就是、像这样，假如已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式、递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不行、可由学生举例，以检验学生是否理解、三、小结1、数列的概念2、数列的四种表示四、作业？略五、板书设计数列（一）数列的概念涉及的数列及表示1、数列的定义2、数列与函数的关系3、数列的表示法（1）列举法（2）图示法（3）通项公式法（4）递推公式法探究活动将边长为厘米的正方形分成个边长为1厘米的正方形，数出其中全部正方形的个数、解：那时候，共有正方形个；那时候，共有正方形个；那时候，共有正方形个；那时候，共有正方形个；那时候，共有正方形个；归纳料想边长为厘米的正方形中的正方形共有个、高一数学教案数列3教学准备教学目标熟识与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解本领、抽象转化的本领以及解答实际问题的本领，强化应用仪式。
高中数学《数列概念》(第一课时)教案新课标人教A版必修5
数列概念学案学习目标：了解数列的概念和数列几种常见表示方法（列表、图像、通项公式）并能根据一定条件求数列的通项公式。
学习重点：数列概念学习难点：根据条件求数列的通项公式 学习过程：一、课前准备：阅读P 3—4 二、新课导入：①什么是数列数： ②数列项是： ③按项分类数列分为： 和 ④数列通项公式： 自主测评1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。
①3，3，3，3…… ②2，4，6，8，10…… ③1，3，5，7，9…… ④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9……2、数列n a 中，22(3)2n a log n ,写出数列前五项，32log 是这个数列的第几项探究：（1）是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明（2）若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明三、巩固应用例1. P 5 试一试：P 6 T 1-2 例2. P 5 试一试：P 6 T 3 1、写出下列数列的一个通项公式 ①-2，-2，-2，-2…… ②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777…… ④3，5，9，17，33……⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1…… ⑥1112,,,6323……四、总结提升 1、探究新知：2、数列通项公式n a 与函数有何联系 五、知识拓展 数列前几项和123n n S a a a a a n-1…+且11(1)()nnn a n a s s n -=⎧=⎨-⎩≥2六、能力拓展 1、数列2102102101,1,1,1223(1)gg g n n …………××中首次出现负值的项是第几项 ≥≤2、已知数例n a 的通项公式254na n n（1）数列n a 中有多少项是负项？（2）当n 为何值时，n a 有最小值，最小值是多少？3、已知数列n a 的前n 项和221n s n n ，求数列n a 的通项公式？自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P 9 A ：T 4 T 6 B ：T 1。
人教版高中数学必修第一册同步讲义第三章 3.1 数 列
第三章 数 列单元知识要点点击数列有着广泛的实际应用,本节通过数列的意义、通项公式等内容,介绍等差数列、等比数列的概念,通项公式与前n 项和公式.数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.学习本节,可以从函数的观点出发变动地、直观地研究数列的一些问题,加深对数学的进一步认识.3.1 数 列 ①课文三点专讲重点:(1)数列的定义.①数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.(2)数列的项.数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….(3)数列的一般形式. ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项. (4)数列有三种表示形式.列举法，通项公式法和图象法.(5)数列{}n a 的前n 项和，记为n S . 1S 表示前1项之和：1S =1a ;2S 表示前2项之和：2S =21a a +;……;1-n S 表示前n-1项之和：1-n S =1321-++++n a a a a ;n S 表示前n 项之和：n S =n a a a a ++++ 321.难点：⑴数列的通项公式.如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.①并不是所有数列都能写出其通项公式②一个数列的通项公式有时是不唯一的.⑵数列通项公式的作用.①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.(3) 递推公式.如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.(4)当n ≥1时n S 才有意义；当n-1≥1即n ≥2时1-n S 才有意义.n a =11,(1),,(2).n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩数列的前n 项和公式也是给出数列的一种方法.考点:(1)根据数列的前若干项,求数列的通项公式.此类问题的关键是运用观察比较的方法找出各项与序号的对应规律,并将这种规律用数学式子表达出来.(2)根据数列的通项公式求数列的任意项.数列的通项公式是序号n 的函数关系,即n a 是*()n n N ∈的函数.(3)根据递推公式,确定数列中的项.递推公式是给出数列的一种常用方法,此类问题需要分清公式中的变量与常量及其间的关系,进行递推.(4)根据前n 项和,求通项公式.要注意公式n a =11,(1),,(2),nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩中首项是否连续问题.(5)利用数列的通项研究数列的性质.此类问题多为探究递减 (1n n a a +>)数列,递增(1n n a a +<)数列.②练功篇典型试题分析例1. 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，……(2),3231,1615,87,43,21…… (3)-1,,63,51,43,31,23--……(4)1337,1126,917,710,1,32---,…… (5)3，33，333，3333，……分析:求数学通项时应注意以下几点,①一个数列的通项公式的表达形式不一定惟一，②利用解(5)的方法可以求一些与之类似的数列的通项公式．解析：(1)各项减去1后为正偶数，所以a ｎ＝２ｎ＋１．（２）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列2１，２２，２３，２４，……，所以a n =nn 212-.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式含因子(-1)n ;各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，……；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1,偶数项为2+1,所以a n =(-1)n nn)1(2-+. 也可写为a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-为正偶数为正奇数n nn n3 1(4)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因子(-1)n+1 ,观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是3２＋１，４２＋１，５２＋１，６２＋１，按照这样的规律第1、2两项可改写为12212,121122+⋅+-++，所以 a n =121)1(21++-+n n n . (5)将数列各项改写为：,39999,3999,399,39……分母都是3，而分子分别是10-1,10２－１， １０３－１，１０４－１，……所以a n =)110(31-n .例2. 根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式： （1）a 1=0,a n +1=a n +（2n －1）（n ∈N *） （2）a 1=1,a n +1=22+n na a （n ∈N *） 分析: 适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类此是探索某些规律的常用方法之一..解析：（1）a 1=0;a 2=a 1+1=1;a 3=a 2+3=4;a 4=a 3+5=9; a 5=a 4+7=16;a 1=02;a 2=12;a 3=22,a 4=32;a 5=42. 可归纳出a n =（n －1）2.（2）a 1=1,a 2=231,3122,5222,2122,3222144533422311===+==+==+==+a a a a a a a a a a a a ; 6231;52;4221543=====a a a ;由此可见:a n =12+n . 基础知识巩固1.把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有 个（ ）A.1B.2C.3D.4 2. 数列2，5，11，20，x ，47，……中的x 等于（ ） A.28 B.32 C.33 D.27 3.已知数列15,11,7,3，…，则53是数列的（ ）A.第18项B.第19项C.第17项D.第20项 4.已知数列{a n }中，a 1=1,a n +1=22+n na a （n ∈N *）, 则a 5等于（） A.52B.31C.32D.21 5.在数列｛a ｎ｝中，已知a １＝２，a ２＝３，a ｎ＋２＝３ａｎ＋１－２ａｎ（ｎ≥１），写出此数列的前6项.6.若a 1=2,a 2=4,a n =log 2（a n －1·a n －2）（n ≥3）,写出{a n }的前4项.7.已知数列｛a n ｝的通项公式a n =(-1)n121+n ，求a 3, a １０，ａ２n -1 .8.若a 1=3,a n =a n －1+12-n a （n ≥2）,b n =na 1,写出b n 的前3项. 9.已知数列｛a n ｝中，a 1=5,a n =a n －1+3（n ≥2）,试写出数列的前5项. 10. 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式： ⑴ n S =n 2+2n ； ⑵ n S =n 2-2n-1.③升级篇典型试题分析例3：已知ａｎ＝n -21n +，判断数列｛ａｎ｝的单调性.分析::本题为应用函数单调性的方法判断数列的单调性, 分子、分母同乘以它们的有理化因式是变换此类数学式子的常用方法.解析：∵211)1(1)1(nn n n a a n n +-++-+=+])1(1)1)[(1)(1()1]()1(1)1][()1(1)1[(222222+++++++-++++++++-+=n n n n n n n n n n n n1)1(1)1(122++++++=n n n n ，又显然a n ＜0，∴a n +1＞a n .故数列｛a n ｝是递增数列．例4. 设数列｛a n ｝满足ｌｇ（１＋ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）＝ｎ＋１，求a n .分析:本题实质为已知数列的前n 项和求数列通项公式,即应用公式 a n ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ 中，但需注意n ≥2，是因为Ｓｎ－１的角码n-1不能为零.解析：设｛a n ｝的前n 项和为S n ,由题设知1+S n =10n +1.∴Ｓｎ＝１０ｎ＋１－１．ｎ≥2时，a n =S n -S n -1=10n +1-10n =9·１０ｎ， n =1时，a n =a １=S １＝９９∴a n =⎩⎨⎧≥⋅=)2( 109)1( 99n n n知识应用与提升11. 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，a 100等于（ ） A.13 B.100 C.10 D.1412.(2005辽宁) 一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)N (*1∈>+n a a n n ，则该函数的图象是Ａ. Ｂ. Ｃ.Ｄ. 13. 在数列{a n }中，a 1=1,a 2=5,a n +2=a n +1－a n （n ∈N *）,则a 1000等于（ ） A.5 B.－5 C.1 D.－1 14. 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）;,167,85,43,21 -- （2）；，，，， 1191971751531⨯⨯-⨯⨯- （3）1，3，6，10，….15.已知数列}{n a 的前n 项和,322n n S n -=求}{n a 的通项公式.16.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n 2-n ,问45是此数列中的项吗?3呢?为什么?④闯关篇典型试题分析例5：已知数列的{a n }的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数有（ ）①a n =21［1+（－1）n +1］; ②a n =sin 22πn ;（注n 为奇数时，sin 22πn =1;n 为偶数时，sin 22πn =0.）;③a n =21［1+（－1）n +1］+（n －1）（n －2）;④a n =2cos 1π-n ,（n ∈N *）（注：n 为奇数时，cos n π=－1,n 为偶数时，cos n π=1.）;⑤a n =⎩⎨⎧)(0)(1为正奇数为正偶数n nA.1个B.2个C.3个D.4个分析：要判别某一公式是不是数列的通项公式，只要把适当的n 代入a n ，其不满足即可，如果要确定它是通项公式，必须加以一定的说明.解析：对于③，将n =3代入，a 3=3≠1,故③不是{a n }的通项公式；由三角公式知；②和④实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{a n }的通项公式；①显然是数列{a n }的通项公式.综上可知，数列{a n }的通项公式有三个，即有三种表示形式.应选C .例6. 求数列,352,152,52…的通项公式. 分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式. 解法一：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式10·2n －1－5.故所求数列的通项公式为：a n =521021-⋅-n .解法二：设a n =,22c bn an ++则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.3539,1524,5c b a c b qa c b a解得：a =5,b =－5,c =5. ∴所求通项公式为：a n =55522+-n n解法三：设a n =cb a n n +⋅+⋅-1222,则有25,4215,8435,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩得210,4220,8440.a b a b a b +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩方程组有无穷多组解，如令a =5,b =0,可得a n =5252-⋅n. 评述：对于一个公式能否成为一个给出了前n 项的数列的通项公式，需逐项加以验证，缺一不可.根据数列{a n }的前n 项求其通项公式，一般不惟一，我们常常取其形式上较简便的一个即可.另外，求通项公式，一般可通过观察数列中诸项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要时可加以验证.用待定系数法求通项公式需根据给出的数列的前n 项的特点，并和其他知识相联系，设想通项公式的形状（系数待定），这是关键之处.知识拔高与创新17. (2005湖南) 已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．2318.数列－1，924,715,58-，…的一个通项公式a n 是（ ） A.（－1）n 122+n n B.（－1）n 1)2(++n n n C.（－1）n )1(21)1(2+-+n n D.（－1）n12)2(++n n n19.(2005江西) 已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ 求数列}{n a 的通项公式a n . 20. 数列}{n a 满足n a a a n n (121,111+==-≥2）.求通项公式.⑤行侠篇高考试题点击21.(2005全国3) 计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B=A. 6EB. 72C. 5FD. B0 22. (2005上海) 用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个 不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(....32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ =________.⑥娱乐广场开阔视野、趣味学习“提丢斯—波得”数列与谷神星生活是数学的源泉.今天,人类的生活空间越来越广阔,内含也越来越丰富.这绚丽多彩的生活正是数学的温床,而人类又不断把数学应用于实践,使自己的生活更加丰富美满.大家都知道行星绕太阳运行,轨道都是椭圆形的.1966年德国业余天文爱好者提丢斯发现水星、金星、地球、火星、木星、土星六大行星和太阳的平均距离,即椭圆的轨道半长径a 值中隐含着某种规律:100.38710 3.874a ⋅=⨯=≈水星 ; 0100.723107.237423a ⋅=⨯=≈=+⨯金星;110 1.01010423a ⋅=⨯==+⨯地球 ;210 1.5231015.23716423a ⋅=⨯=≈==+⨯火星;410 5.2031052.0352423a ⋅=⨯=≈=+⨯木星 ;5109.521095.2100423a ⋅=⨯=≈=+⨯土星 .提丢斯观察了以上数列,发现有下面的规律,即行星离大阳的平均距离的10倍(天文单位)是一个数列,其通项公式为423n n a =+⨯,其中n 为非负整数.后来柏林天文台台长波得论述了这个规律并加以宣传,所以人们把它称为“提丢斯—波得”数列.公元1781年人们发现天王星和太阳的距离的10倍为192,若以196来近似表示,则6192196=4+23≈⨯ .还有人研究了海王星和太阳的平均距离为302,若以388近似表示,则1030.210a ⋅=⨯海王星7302388423=≈=+⨯.这说明天王星、海王星的位置,也都符合“提丢斯—波得”数列的通项公式.数学规律是科学发现的先驱.人们进一步仔细研究了这一数列,发现火星离大阳的平均距离是2423+⨯,木星离太阳的平均距离是4423+⨯,于是有人由指数2跳到4,猜测在123123123123123123木星与火星之间可能存在一颗行星,它的位置在3423+⨯处.天文学家就此搜索了20年,终于在预定的地点找到了这颗行星,它就是谷神星.天文爱好者们,在遥远的天际中,是否还有其它行星,它们所在的位置也符合这个数列的对应项呢?参考答案: 3.1 数 列1. D 解析:数列的定义中所说的“一定次序”不是要求按自然数次序，所以①②③④这四种排法都可叫做数列.2. B 解析：∵5=2+3×1,11=5+3×2,20=11+3×3,∴x =20+3×4=32.3. B 解析：∵7－3=11－7=15－11=4 ,即a n 2－a n +12=4, a n 2=3+（n －1）×4=4n －1,令4n －1=75,则n =19.4. B 解析：由a 1=1,a n +1=22+n n a a ,得a 2=31,52,3254==a a . 5. 解析：a １＝２，a ２＝３，a ３＝3a ２－２a １＝３×３－２×２＝５a ４＝３a ３－２a ２＝３×５－２×３＝９ a ５＝３a ４－２a ３＝３×９－２×５＝１７ a ６＝３a ５－２a ４＝３×１７－２×９＝３３ 6. 解析：∵a 1=2,a 2=4,a n =log 2（a n －1·a n －2）（n ≥3）,∴a 3=log 2（a 2·a 1）=log 2（2×4）=3, a 4=log 2（a 3·a 2）=log 212=2+log 23.7. 解析：分别用3、10、2n-1去代换通项公式中的n ，得a 3=(-1)３,711321-=+⨯， .1411)12(21)1(,21111021)1(12121010--=+--==+⨯-=--n n a a n n说明：a ３，a 1０ 比较好求也容易理解，求ａ２ｎ－１就是把a n 中的n 换成2n -1，要给学生讲清楚．8. 解析：∵a 1=3,a n =a n －1+12-n a （n ≥2）,∴a 2=a 1+.31132321=+=a a 3=a 2+.33139116311311231122=+=+=a ∵b n =.139331,1131,311,1332211======∴a b a b a b a n 9. 解法一：由a 1=2与a n =2a n －1（n ≥2）得：a 1=2,a 2=2a 1=4,a 3=2a 2=8,a 4=2a 3=16,a 5=2a 4=32.解法二：由a n =2a n －1（n ≥2）,得1-n na a =2（n ≥2）,且a 1=2 则:12a a =2, 23a a =2,34a a=2,……121,2---=n n n n a a a a =2若将上述n －1个式子左右两边分别相乘，便可得1a a n =2n －1 即：a n =2n （n ≥2）,又由a 1=2满足上式,∴a n =2n （n ≥1）为此数列的通项公式.∴a 2=22=4,a 3=23=8,a 4=24=16,a 5=25=32.10. 解析：⑴①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1； ②当n=1时，1a =1S =12+2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴n a =2n+1为所求.⑵①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3；②当n=1时，1a =1S =12-2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2， ∴n a =⎩⎨⎧≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求.11. D 解析: 1个1,2个2,3个3,4个4, ……累计可得第100个数为14个14中的一项,即第100项为14.12. A 解析: 由)(1n n a f a =+，n n a a >+1，得n n a a f >)(，即x x f >)(，故选A ．13. B 解法一: a 1=1,a 2=5,a n +2=a n +1－a n （n ∈N *）可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…… 由此可得a 1000 = -5 .解法二: a n +2=a n +1－a n a n +3=a n +2－a n+1 , 两式相加可得a n +3=-a n , a n +6=a n ,∴a 1000 =16664425a a a ⨯+==-=-.14. 解析：（1）;212)1(1n n n n a -⋅-=+ （2）;)32)(12(1)1(++-=n n a n n （3）考虑1＋2=3，1＋2＋3=6，1＋2＋3＋4=10，得).1(21+=n n a n 15. 解析：;111-==S a 当n ≥2时，.541-=-=-n S S a n n n由于1a 也适合此等式，∴).N (54+∈-=n n a n说明：若1a 不适合n a n (≥2）的解析式，则通项n a 结果一般表示成分段函数的形式.16. 解析：令2n ２-n =45,得2n ２-n -45=0得n =5,n =-29 (舍)，故45是此数列中的第5项． 令2n ２-n =3,得2n ２-n -3=0,此方程不存在正整数解，故3不是此数列中的项． 说明：这里是解关于n 的一元二次方程，要考虑正整数范围内是否有解17. B 解析:本题由数列递推关系式,推得数列{a n }是周期变化的,找出规律,再求a 20. 由a 1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a由此可知: 数列{a n }是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a 2=-.318. D 解析:首项可写作33-,则可看出其规律,其通项为（－1）n 12)2(++n n n . 19. 解析: ∵],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a ∴212(2)(2)n n a a +-=-- 2,n n b a =-令 22222212111111()()22222n n n n b b b b ---=-=--=-⋅则112221()2n n n b -+++==- 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n n n n n b a b 即. 20. 解析：由1211+=-n n a a 可得)2(2112-=--n n a a 令2-=n n a b ，则.211-=n n b b 又,1211-=-=a b 故.)21(1--=n n b 故1212--=n n a . 21. A 解析:A ×B=110=6×16+14=6E .22. -1080解析：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360， 1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b .。
高一数学教案3.1等差数列(第一课时)
3.1 等差数列（第一课时）教学目的：1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学过程：一、复习引入：（课件第一页）二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
（课件第二页）⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{ },若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈n ，则此数列是等差数列，d 为公差。
2．等差数列的通项公式：【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：即：即：…… 由此归纳等差数列的通项公式可得：（课件第二页）第二通项公式（课件第二页）三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项(课本p111) ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？例2 在等差数列中，已知，，求 , , 例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中，设数列的第s项和第t项分别为和，计算的值，你能发现什么结论？并证明你的结论。
小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。
（课本p112例3）例5 已知数列{ }的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？（课本p113例4）分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
注：①若p=0，则{ }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，… ②若p≠0, 则{ }是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q. ③数列{ }为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)。
人教版高一数学 数列第一课时
人教版高一数学数列第一课时
第三章数列（第一课时）
人教版全日制普通高中教科书（必修）数学第一册
教学目标
【探究性学习目标】
探究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。
目的在于培养学生的创新精神和创造能力。
它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过程。
从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。
【学科知识目标】
通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式。
进一步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．形成知识网络，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。
加强知识间的鉴别与联系。
【能力目标】
在解决问题的过程中，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力和实践能力。
【德育目标】
通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．增强爱国情感、环保意识，激发学生为国富民强而勤奋学习的精神。
【情感目标】。
【精品】高一数学等比数列(第一)大纲人教版必修
§3.4 等比数列课时安排2课时从容说课等比数列是又一特殊数列，它与前面我们刚刚所探讨过的等差数列仅有一字之差，所以我们可用比较法来学习等比数列的相关知识。
在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的相关知识。
本节可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念。
同时，还要注意“比”的特性。
在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用性质。
等比数列的概念及等比数列的通项公式是本节的重点。
通过对本节的学习，要深刻理解等比数列的概念，牢固掌握等比数列的通项公式，并要会用公式解决一些简单的问题。
第一课时●课 题§3.4.1 等比数列(一)●教学目标（一）教学知识点1.等比数列的定义.2.等比数列的通项公式.（二）能力训练要求1.掌握等比数列的定义.2.理解等比数列的通项公式及推导.（三）德育渗透目标1.培养学生的发现意识.2.提高学生创新意识.3.提高学生的逻辑推理能力.4.增强学生的应用意识.●教学重点等比数列的定义及通项公式.●教学难点灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题.●教学方法比较式教学法采用比较式数学法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.●教具准备幻灯片一张：记作§3.4.1 1.等差数列定义：a n －a n －1=d (n ≥2)(d 为常数)2.等差数列性质：（1）若a ,A ,b 成等差数列，则A =2b a +,(2)若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q .(3)S k ,S 2k －S k ,S 3k －S 2k …成等差数列.3.等差数列的前n 项和公式：S n =2)(1n a a n +=na 1+2)1(-n n d●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容.（师生共同完成以下活动）（打出幻灯片§3.4.1）Ⅱ.讲授新课［师］下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?1，2，4，8，16，…，263; ①5，25，125，625，…； ② 1，－81,41,21-，…； ③ ［生］仔细观察数列，寻其共同特点.对于数列①，a n =2n －1;1-n n a a =2(n ≥2) 对于数列②，a n =5n ;1-n n a a =5(n ≥2) 对于数列③，a n =(－1)n +1·11;21--n n n a a =－21 (n ≥2) 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.［师］也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点.1.定义等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q (q ≠0) 表示，即a n ∶a n －1=q (q ≠0)如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－21.与等差数列比较，仅一字之差.总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意：（1）公差“d ”可为0；（2）公比“q ”不可为0.［师］等比数列的通项公式又如何呢?2.等比数列的通项公式［师］请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得：a 2=a 1q ,a 3=a 2q =(a 1q )q =a 1q 2,a 4=a 3q =(a 1q 2)q =a 1q 3,…,a n =a n －1q =a 1qn －1(a 1,q ≠0),n =1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立.解法二：由定义式得：(n －1)个等式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅⋅⋅==-q a a q a a q a a n n 12312若将上述n －1个等式相乘，便可得： 11342312--=⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯n n n q a a a a a a a a ， 即a n =a 1·q n －1(n ≥2)当n =1时，左=a 1,右=a 1，所以等式成立∴等比数列通项公式为：a n =a 1·q n －1(a 1,q ≠0)如：数列①,a n =1×2n －1=2n －1(n ≤64)［生］写出数列②③的通项公式数列②：a n =5×5n －1=5n ,数列③：a n =1×(－21)n －1=(－1)n －1121-n 与等差数列比较，两者均可用归纳法求得通项公式.或者，等差数列是将由定义式得到的n －1个式子相“加”，便可求得通项公式；而等比数列则需将由定义式得到的n －1个式子相“乘”，方可求得通项公式.［师］下面看一些例子：［例1］培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120倍，逐代的种子数可组成一等比数列，然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题.解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a 1=120,q =120的等比数列{a n }.由等比数列通项公式可得：a n =a 1·q n －1=120×120n －1=120n ∴a 5=1205≈2.5×1010.答：到第5代大约可以得到种子2.5×1010粒.评述：遇到实际问题，首先应仔细分析题意，以准确恰当建立数学模型.［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.解：设这个等比数列的首项是a 1,公比是q ,则：⎪⎩⎪⎨⎧==18123121q a q a②÷①得:q =23 ③ ③代入①得：a 1=316,∴a n =a 1·q n －1=1)23(316-⨯n ，=⨯==2331612q a a 8. ① ② … n －1①②答：这个数列的第1项与第2项分别是316和8. 评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.Ⅲ.课堂练习［生］（自练）课本P 126练习1，21.求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）83,21,32，……；（4）,22,1,2……. 解：（1）∵q =515-=－3,a 1=5 ∴a n =a 1q n －1=5·(－3)n －1∴a 4=5·（－3）3=－135，a 5=5·（－3）4=405.(2)∵q =2.14.2=2,a 1=1.2 ∴a n =a 1·q n －1=1.2×2n －1 ∴a 4=1.2×23=9.6,a 5=1.2×24=19.2(3)∵q =21÷32,43321==a ∴a n =a 1q n －1=1)43(32-⨯n ∴a 4=329)43(223=⨯, a 5=12827)43(324=⨯ (4)∵q =1÷2,2221==a ∴a n =a 1q n －1=21)2(1)21(2--=⋅n n∴a 4=42)2(1,21)2(1352===a . 2.(1) 一个等比数列的第9项是94，公比是－31，求它的第1项. 解：由题意得a 9=94,q =－31 ∵a 9=a 1q 8,∴81)31(94-=a , ∴a 1=2916答：它的第1项为2916.（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项. 解：由已知得a 2=10,a 3=20.在等比数列中 ∵23a a =q =2, ∴a 1=qa 2=5,a 4=a 3q =40. 答：它的第1项为5，第4项为40.3.已知{a n }是无穷等比数列，公比为q .(1)将数列{a n }中的前k 项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{a n }为a 1,a 2,…,a k ,a k +1,…则去掉前k 项的数可列为：a k +1,a k +2,…,a n ,…可知，此数列是等比数列，它的首项为a k +1,公比为q .(2)取出数列{a n }中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{a n }为：a 1,a 2,a 3,…,a 2k －1,a 2k ,…,取出{a n }中的所有奇数项，分别为：a 1,a 3,a 5,a 7,…,a 2k －1,a 2k +1,… ∵221211212--+=k kk k qa q a a a =q 2(k ≥1) ∴此数列为等比数列，这个数列的首项是a 1,公比为q 2.(3)在数列{a n }中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？解：设数列{a n }为：a 1,a 2,…,a n ,…每隔10项取出一项的数可列为：a 11,a 22,a 33,…… 可知，此数列为等比数列，其公式为：111111111122q a q a a a ==. 评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.Ⅳ.课时小结 ［师］本节课主要学习了等比数列的定义，即1-n n a a =q (q ≠0，q 为常数，n ≥2) 等比数列的通项公式：a n =a 1·q n －1(n ≥2)及推导过程.Ⅴ.课后作业（一）课本P 127习题3.4 1（二）1.预习内容：课本P 125～P 1262.预习提纲：（1）什么是等比中项?（2）等比数列有哪些性质?（3）怎样应用等比数列的定义式、通项公式以及重要性质解决一些相关问题.●板书设计。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章数列
●课时安排
2课时
从容说课
数列这部分内容之所以又一次在内容精选中被保留下来，是由其在整个中学数学里的重要地位所决定的。
这旨中学数学的一项重要内容，而且是进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材，它与高等数学有较为密切的联系，是进一步学习的必备基础知识。
数列在整个中学数学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系。
过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而且为后面将要学习的数列与函数的极限等内容作了铺垫，可以说数列在各知识沟通方面发挥着重要作用。
通过对本节的学习，要在深刻理解数列概念的基础上，牢固掌握数列的通项公式、递推公式等。
第一课时
●课题
§3.1.1 数列（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.数列的概念.
2.数列的表示.
3.数列的分类.
4.数列的通项公式.
（二）能力训练要求
1.理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念.
2.了解数列和函数之间的关系.
3.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.
4.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.
（三）德育渗透目标
1.培养学生认真观察的习惯.
2.培养学生从特殊到一般的归纳能力.
3.提高观察、抽象的能力.
●教学重点
1.理解数列概念；
2.用通项公式写出数列的任意一项.
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.
●教学方法
发现式教学法
结合一些具体的例子，引导学生认真观察各数列特点，逐步发现其规律，进而抽象、归纳出其通项公式.
●教具准备
幻灯片两张：
第一张：一组数列（记作§3.1.1 A）
第二张：一组数列（记作§3.1.1 B）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.
［生］齐声回答函数定义.
［师］(板书)函数定义
如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f:：A→B就叫做A到B的函数，记作：y=f(x),其中x∈A，y∈B.
Ⅱ.讲授新课
［师］在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.(打出幻灯片§3.1.1 A) 1，2，3，4，…，50 ①
1,2,22,23, (263)
15,5,16,16,28 ③
0,10,20,30,…,1000 ④
1,0.84,0.842,0.843,…⑤
[师］请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？
［生］认真观察上述例子，经过思考归纳、总结它们的共同特点：[生甲]它们均是一列数.
[生乙]它们是有一定次序的.
［师］引出数列及有关定义.
1.定义
（1）数列：按照一定次序排成的一列数.
［师］看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照一定的次序排列，它有何实际意义呢？也就是说和我们生活有何关系呢？
［生］太多了…
［师］请同学们举例说明.
[生甲]如数列①，它就是我们班学生的学号由小到大排成的一列数.
[生己]数列②，是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数.
[生丙]数列③，好像是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数.
[生戌]：数列④，可看作是在1 km长的路段上，从起点开始，每隔10 m种植一棵树，由近及远各棵树与起点的距离排成的一列数.
[生乙]数列⑤，我们在化学课上学过一种放射性物质，它不断地变化为其他物质，每经过1年，它就只剩留原来的84%，若设这种物质最初的质量为1，则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数，则为：1，0.84,0.842,0.843,….
［师］诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，
也是为了使我们的生活更美好，下面我们进一步讨论，好吗？
现在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识.
比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
那么，数列一般可表示为…
［生］a1,a2,a3,…,a n,….其中数列的第n项用a n来表示.
［师］数列还可简记作{a n}.
［师］数列{a n}的第n项a n与项数n有一定的关系吗？
[生A]有，如数列①中，每一项的序号与这一项有这样的对应关系：
序号 1 2 3 (50)
↓↓↓…↓
项 1 2 3 (50)
即数列的每一项就等于其相对应的序号.也可以用一式子：a n=n(1≤n≤50)来表示.且n∈N*)
[生B]数列②中，每一项的序号与这一项的对应关系为：序号 1 2 3 (64)
↓↓↓…↓
项 1 2 22 (263)
↓↓↓…↓
2°21 22 (263)
↓↓↓…↓
21－1 22－123－1…264－1即：a n=2n－1(n为正整数，且1≤n≤64)
[生C]数列④中：
序号 1 2 3 (101)
↓↓↓…↓
项0 10 20 (1000)
↓↓↓…↓
10×0 10×1 10×2 …10×100
↓↓↓…↓
10×(1－
1) 10×(2－
1)
10×(3－
1)
…
10×(101
－1)
∴a n=10(n－1)(n∈N*且1≤n≤101).
[生D]数列⑤中：
序号 1 2 3 4 …
↓↓↓↓…
项 1 0.84 0.842 0.843 …
↓↓↓↓…
0.840 0.841 0.842 0.843 …
∴a n=0.84n－1(n≥1且n∈N*)
［师］数列{a n}的第n项a n与n之间的关系都可以用这样的式子来表示吗？
［生］不是，如数列③的项与序号的关系就不可用这样的式子来。