河南省南阳市2014-2015学年高二上期期末质量评估数学(理)试题(word版)

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河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中质量评估数学(理)试题(扫描版)

高二数学（理）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBBBACACBCDA二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．[)2,3 14. 2213+15. 20(62)- 16. 2nn ∙ 17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ．因为3660a a =-=，，所以112650.a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得1102a d =-=，．所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-． ------------5分（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为21231248b a a a b =++=-=-，，所以824q -=-，即3q =．所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--．-----------10分 18. 解：（Ⅰ）2()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，所以的解集是()0,5，所以是方程的两个根，由韦达定理知， 2()210f x x x =-. ------------5分（Ⅱ）()2f x t +≤ 恒成立等价于021022≤-+-t x x 恒成立,设2()2102g x x x t =-+-，则()g x 的最大值小于或等于则由二次函数的图象可知2102)(2-+-=t x x x g 在区间]1,1[-为减函数，所以t g x g +=-=10)1()(max ，所以10t ≤-. -----------12分19. 解:（Ⅰ）证明：∵A、B 、C 成等差数列，∴B =600，220x bx c ++<05和220x bx c ++=5,0,10,0,22b cb c -==∴=-=又∆ABC 的面积为3，∴360sin ac 210=，∴ac=4 ∴a、2、c 成等比数列 --------------------------4分（Ⅱ）在∆ABC 中，根据余弦定理，得 b 2=a 2+c 2-2accos600=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac=4，∴ b≥2, 当且仅当a=c 时，等号成立 ----------------8分 ∴∆ABC 的周长L =a+b+c≥b ac 2+=4b +.当且仅当a=c 时，等号成立 ∴426L ≥+=, 当且仅当a=c 时，等号成立 ∴∆ABC 周长的最小值为6，因为a=c ，B=600，此时∆ABC 为等边三角形. -----------------12分 20.解：由题意得，1300v x =，250v y =∵1230100,,420v v ≤≤≤≤ ∴525310,22x y ≤≤≤≤由题设中的限制条件得149≤+≤y x于是得约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤22525103149y x y x目标函数y x y x p 23131)8(2)5(3100--=-+-+= ………６分做出可行域（如图），（没有图扣２分）当223,23zx y y x z +-=+=即平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p 最小. 所以当4,10==y x ，即5.12,3021==v v 时，93min =p 元 ……１２分 21．（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin 3sin cos C A A C =，因为sin 0A ≠，解得tan 3C =，3C π=． ……… 4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得2sinsin(2)3sin 233A A ππ+-=，即331cos 2sin 23sin 2222A A A ++=． 35(1cos 2)sin 222A A += 23cos 5sin cos A A A = ……… 8分若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，213b =， ABC ∆的面积17326S bc ==．若cos 0A ≠，则3cos 5sin A A =，5721cos ,sin ,1414A A == 由正弦定理，得1a =． 321sin sin()14B A C =+=， ABC ∆的面积133sin 24S ac B ==．综上，ABC ∆的面积为736或334． ……… 12分解法二：由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A =．若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，213b =， ABC ∆的面积17326S bc ==．……… 8分若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积133sin 24S ab C ==．综上，ABC ∆的面积为736或334． ……… 12分22. （Ⅰ）12311232n n n a a a na a +++++⋅⋅⋅+=，n N *∈① 123123(1)2n n na a a n a a -∴+++⋅⋅⋅+-=，2n ≥②①-②：1122n n n n n na a a ++=-，13122n n n n a a ++∴=， ……… 2分即1(1)3n n n a na ++=⨯（2n ≥），又由①得n=1时，121a a ==222a ∴=，2n ∴≥时，数列{}n na 是以2为首项，3为公比的等比数列.223(2)n n na n -∴=⋅≥，故21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当2n ≥时，2223n n n a n -=⋅，∴当1n =时，11T =；当2n ≥时,0121436323n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①12213343632(1)323n n n T n n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅,②①-②得，1221222(333)23n n n T n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=1123323n n n ---+-⋅ =11(12)3n n --+-⋅111()3(2)22n n T n n -∴=+-≥，又11T =也满足 111()3()22n n T n n N -*∴=+-∈ ……… 8分（Ⅲ）()11nn a a n n λλ≤+⇔≥+，由（Ⅰ）可知：当2n ≥时，()2231n n n λ-⋅≥+，令()()2231n f n n n -⋅=+，则()()()()()1211233112232n n f n n n nf n n n n --++⋅=⋅=>++⋅+，又()0f n >，∴()()1f n f n +>∴当2n ≥时，()f n 单增，∴()f n 的最小值是()123f = 而1n =时，11112a =+，综上所述，1n a n +的最小值是13 ∴13λ≥，即λ的最小值是13……… 12分。

河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)-Word版含解析

河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．B．D．C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1D．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在f（x）上是增函数C． f（x）是周期函数 D． f（x）的值域为时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．B．D．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）复数z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i（i为虚数单位），则z2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：∵z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i，∴z2====1﹣i所对应的点（1，﹣1）在第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．（5分）各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4B．3C．2D．1考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用a4•a14=（a9）2，各项为正，可得a9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．解答：解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∵a4•a14=（a9）2，∴a9=2，∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，故答案为：3．点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题．4．（5分）已知向量的模为2，=（1，﹣2），条件p：向量的坐标为（4，2），条件q：⊥，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合向量垂直和坐标之间的关系，即可得到结论．解答：解：若向量的坐标为（4，2），则•=4﹣2×2=4﹣4=0，此时⊥，即充分性成立．若⊥，设=（x，y），则x﹣2y=0，即x=2y，∵向量的模为2，∴x2+y2=20，由，解得或，即=（4，2）或（﹣4，﹣2），即必要性不成立，故p是q的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量之间的关系是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．考点：数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：求函数的导数，利用导数的几何意义，求出b的值，然后利用裂项法即可求出数列的前n项和．解答：解：∵f（x）=bsinx，∴f′（x）=bcosx，则f′（）=bcos=，∵图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，∴切线斜率k==，解得b=1．∴a n=n2+bn=a n=n2+n=n（n+1），则==﹣，∴数列{}的前2014项和S2014的值为1﹣=1﹣，故选：D．，点评：本题主要考查数列和的计算，根据导数的几何意义求出b=1是解决本题的关键，求出数列的通项公式，利用裂项法是解决本题的突破．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，则k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，利用数形结合即可得到结论．解答：解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k=，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在f（x）上是增函数C． f（x）是周期函数 D． f（x）的值域为，当x＞0时，值域为（1，+∞），∴函数的值域为，由此可得函数g（x）=sin2x=f（x﹣），∴将函数f（x）的图象右移个单位，即可得到g（x）=sin2x的图象．故选：A点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，确定其解析式并讨论函数图象的平移．着重考查了三角函数的图象与性质、函数图象平移公式等知识，属于中档题．9．（5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f （2），b=f（3），c=（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a考点：利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；导数的概念及应用．分析：根据x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x），可得g（x）=在（1，+∞）上单调增，由于，即可求得结论．解答：解：∵x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）∴f′（x）（x﹣1）﹣f（x）＞0∴′＞0∴g（x）=在（1，+∞）上单调增∵∴g（）＜g（2）＜g（3）∴∴∴c＜a＜b故选A．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键．10．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5D．6考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将条件+=5进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值．解答：解：由于正数x，y满足+=5，则3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2+2×=5，当且仅当=，即y=2x，即+=，∴x=，y=时取等号．故3x+4y的最小值是5，故选：C点评：本题主要考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．11．（5分）已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题；数形结合．分析：根据题意画出图形，在边BC上任取一点E，连接AE，根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得k=，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形．解答：解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选A点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量的减法的三角形法则的应用，及平面几何中两点之间垂线段最短的应用，利用了数形结合的思想，要注意数学图形的应用可以简化基本运算．12．（5分）已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，+∞）D．a∈R且a≠0，a≠﹣1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先将条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”转化成f'（x）=﹣1无解，然后求出2sinxcosx+2a=﹣1有解时a的范围，最后求出补集即可求出所求．解答：解：∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为﹣1即f'（x）=2sinxcosx+2a=﹣1无解∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2∴﹣1≤a≤0时2sinxcosx+2a=﹣1有解∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是a＜﹣1或a＞0故选B．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及转化的数学思想，解题的关键是对条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”的理解，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为1．考点：对数的运算性质；基本不等式．专题：计算题．分析：由给出的对数等式得到a，b均为正数，且ab=，然后直接利用基本不等式求最值．解答：解：由log a4b=﹣1，得：a＞0，b＞0，，即ab=．所以a+b．当且仅当a=b=时上式取“=”．所以a+b的最小值为1．故答案为1．点评：本题考查了对数的运算性质，考查了利用基本不等式求最值的方法，利用基本不等式求最值，要注意“一正、二定、三相等”，此题是基础题．14．（5分）O为△ABC所在平面内的一点，若，则O必是△ABC的重心．（填写“内心”、“重心”、“垂心”、“外心”之一）考点：三角形五心．专题：计算题；平面向量及应用．分析：取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，由条件和共线向量定理，即可得到AD为中线，同理延长BO交AC于F，则F也为中点，即可得到O是重心．解答：解：取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，∵=，又，∴==2，∴A，O，D，E四点共线，即AD是中线，同理延长BO交AC于F，则F也为中点，∴O是重心．故答案为：重心点评：本题考查平面向量的运用，考查向量加法的平行四边形法则，同时考查三角形的重心定义，属于中档题．15．（5分）已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=，（n≥2），则a6=．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由题设知﹣=﹣，可知数列{}为等差数列，首项为1，公差d=﹣=4﹣1=3，故=3n﹣2，继而求出a6，解答：解：∵a1=1，a2=，（n≥2），∴﹣=﹣，∴数列{}为等差数列，首项为1，公差d=﹣=4﹣1=3，∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∵{a n}正项数列，∴a6=，故答案为：点评：本题考查数列的递推式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质和应用．16．（5分）给出下列四个命题：①∀x∈R，e x≥ex；②∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立；③在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；④已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则l3＞a3+b3+c3；其中正确命题的序号是①②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；解三角形；简易逻辑．分析：①，令f（x）=e x﹣ex，利用导数可求得当x=1时，f（x）=e x﹣ex取得极小值，也是最小值，从而可判断①；②，依题意得：e x0==，易判断当＜x＜2时，e x0＞0，从而判断②；③在△ABC中，依题意，利用两角和的正切公式可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，可判断③；④画出长方体，标出数据，利用作差法可判断④．解答：解：①，令f（x）=e x﹣ex，则f′（x）=e x﹣e，当x≥1时，f′（x）≥0，f（x）=e x﹣ex在即2sinωxcosϕ=0恒成立∴cosϕ=0，又∵0≤ϕ≤π，∴（3分）又其图象上相邻对称轴之间的距离为π∴T=2π∴ω=1∴f（x）=cosx（6分）（II）∵原式=（10分）又∵，∴（11分）即，故原式=（12分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题．18．（12分）设曲线f（x）=x2+1和g（x）=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出两曲线的交点，再分别求得导数及切线的斜率，求得切线方程，再由两直线的方向向量，运用夹角公式，即可得到所求值．解答：解：由，得x3﹣x2+x﹣1=0，即（x﹣1）（x2+1）=0，∴x=1，∴交点为（1，2）．又f'（x）=2x，∴f'（1）=2，∴曲线y=f（x）在交点处的切线l1的方程为y﹣2=2（x﹣1），即y=2x，又g'（x）=3x2+1．∴g'（1）=4．∴曲线y=g（x）在交点处的切线l2的方程为y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2．取切线l1的方向向量为，切线l2的方向向量为，则．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，同时考查两直线的夹角问题，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．考点：余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，又a，b，c 成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sinB的值代入即可求出值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积得运算法则及cosB的值化简•=，即可得到ac的值，进而得到b2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b2和ac及cosB的值，即可得到a+c的值．解答：解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（6分）（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．（12分）点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简求值，灵活运用余弦定理及等比数列的性质化简求值，是一道中档题．20．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a n2=2S n﹣a n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有b n+1＞b n成立．考点：数列与函数的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得，当n≥2时，，两式相减得，由此能求出．（Ⅱ）由已知得要使得b n+1＞b n恒成立，只须，由此能推导出λ=﹣1对所有的n∈N*，都有b n+1＞b n成立．解答：解：（Ⅰ）∵n∈N*时，，…①当n≥2时，，…②…（2分）由①﹣②得，即，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=1（n≥2），…（4分）由已知得，当n=1时，，∴a1=1．…（5分）故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．∴．…（6分）（Ⅱ）∵，∴，…（7分）∴=2×3n﹣3λ•（﹣1）n﹣1•2n．要使得b n+1＞b n恒成立，只须．…（8分）（1）当n为奇数时，即恒成立．又的最小值为1，∴λ＜1．…（9分）（2）当n为偶数时，即恒成立．又的最大值为，∴…（10分）∴由（1），（2）得，又λ≠0且λ为整数，…（11分）∴λ=﹣1对所有的n∈N*，都有b n+1＞b n成立．…（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．21．（12分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在，运用已知表达式，以及奇函数的定义，即可得到所求表达式；（2）由f（x+4）=f（x），则f（x）是以4为周期的周期函数，将f（24）的自变量运用周期转化到（﹣1，0）的区间，再代入，即可得到所求值．解答：解：（1）令x∈，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．点评：本题考查函数的奇偶性及运用：求解析式，考查函数的周期性及运用：求函数值，考查运算能力，属于中档题．22．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．解答：解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）＞0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴解得．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为点评：本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值．。

2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题

绝密★启用前2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题【参考公式】：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 命题“2010x x ∃-＞≤，”的否定是 ▲ . 2. 求抛物线x y 42=的焦点坐标为 ▲ .3.已知1:,1:≥>x q x p ，则p 是q 的____▲____条件.（填充分不必要、必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）4.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为 ▲ .5右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为_ ▲ .6.已知实数x y 、满足约束条件002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则24z x y =+的最大值为▲ .7.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为 ▲ .8.某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ .9. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点坐标在x 轴上，离心率为2，b=2，则双曲线的标准方程是 ▲ .10.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位cm ），所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如下左图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树.木的底部周长小于100cm.11. 如上右图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是 ▲ ．12.若关于x 的不等式)2(22<+-+a ax ax 的解集为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为F 1,F 2，P 是C 上的点，︒=∠⊥60,21212F PF F F PF ，则椭圆C 的离心率为______▲_______.14.已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.（本小题满分14分）已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程.100 80 90 110 120 130 底部周长/cm16.（本小题满分14分）已知命题p:0>m ；命题q:不等式1,2+≤∈∀x m R x 恒成立. ①若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围;②若命题”p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分14分）已知方程12222=+--my m x 表示双曲线①求实数m 的取值范围;②当1=m 时，求双曲线的焦点到渐近线的距离。

2015-2016学年河南省南阳市高二上学期期末理科数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015-2016学年河南省南阳市高二上学期期末理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：197分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、（2015秋•南阳期末）过点A （﹣2，﹣4）作倾斜角为45°的直线交抛物线y 2=2px （p ＞0）于点P 1、P 2，若|P 1P 2|2=|AP 1|•|AP 2|，则实数p 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、（2015秋•南阳期末）已知双曲线，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，若|k 1|+|k 2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（） A ．B ．C ．D ．3、（2015秋•南阳期末）已知b ＞a ＞0，ab=2，则的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣4]B ．（﹣∞，﹣4）C ．（﹣∞，﹣2]D ．（﹣∞，﹣2）4、（2015秋•南阳期末）下列命题正确的个数是（） ①命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2≠1，则x≠1”；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 02﹣x 0+1≤0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0； ③△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的充要条件； ④若p ∨q 为真命题，则p 、q 均为真命题． A ．0 B ．1 C ．2 D ．35、（2012•阳谷县校级模拟）已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （）A ．为直角三角形B ．为锐角三角形C ．为钝角三角形D ．前三种形状都有可能6、（2015秋•南阳期末）如图，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′中，E 是棱BC 的中点，G 是棱DD′的中点，则异面直线GB 与B′E 所成的角为（）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°7、（2015秋•南阳期末）已知等差数列的前13的和为39，则a 6+a 7+a 8=（） A ．6 B ．12 C ．18 D ．98、（2010•广东）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．9、（2015秋•南阳期末）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）10、（2005•江苏）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A． B． C． D．011、（2015秋•南阳期末）设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件12、（2015秋•南阳期末）不等式x＜x2的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、（2015秋•南阳期末）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．14、（2015秋•南阳期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若棱长AB=3，则点B到平面ACD1的距离为．15、（2015秋•南阳期末）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于．16、（2012•奉贤区一模）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为．三、解答题（题型注释）17、（2013•梅州一模）已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．18、（2015秋•南阳期末）设{a n}是正数组成的数列，前n项和为S n且；（Ⅰ）写出数列{a n}的前三项；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式，并写出推证过程；（Ⅲ）令，求数列{b n }的前n 项和T n ．19、（2013•和平区校级模拟）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：PA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角B ﹣DE ﹣C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论．20、（2004•北京）如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率．21、（2015秋•南阳期末）如图长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=1，BC=，M是AD 的中点，N 是B 1C 1中点．（1）求证：NA1∥CM；（2）求证：平面A1MCN⊥平面A1BD1；（3）求直线A1B和平面A1MCN所成角．22、（2015秋•南阳期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若，c=2，求△ABC的面积；（2）若sinA，sinB，sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．参考答案1、A2、B3、A4、D5、A6、B7、D8、B9、D10、B11、B12、D13、，．14、15、116、217、（1）．（2）．18、（Ⅰ）a1=2，a2=6，a3=10；（Ⅱ）a n=4n﹣2；（Ⅲ）T n=．19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．（Ⅲ）在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．20、（Ⅰ）抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=﹣1；（Ⅱ）y1+y2=﹣4，21、（1）见解析；（2）见解析；（3）．22、（1）．（2）△ABC为等边三角形．【解析】1、试题分析：设l的参数方程为，代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得出结论．解：设l的参数方程为，代入抛物线方程整理得t2+（﹣2p﹣8）t+32+8p=0．∴|AP1|•|AP2|=|t1•t2|=32+8p．又|P1P2|2=（t1+t2）2﹣4t1t2=8p2+32p，|P1P2|2=|AP1|•|AP2|，∴8p2+32p=32+8p，即p2+3p﹣4=0．∴p=1．故选：A．考点：抛物线的简单性质．2、试题分析：先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用|k1|+|k2|的最小值为1，即可求得双曲线的离心率．解：由题意，可设点M（p，q），N（﹣p，﹣q），P（s，t）．∴，且．两式相减得．再由斜率公式得：k1k2=．∵|k1|+|k2|根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知∴故选B．考点：双曲线的简单性质．3、试题分析：b＞a＞0，ab=2，可得b＞＞a＞0．则==f（b），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解：∵b＞a＞0，ab=2，∴b＞＞a＞0．则==f（b），f′（b）==，可得：b∈时，函数f（b）单调递增；b∈时，函数f（b）单调递减．因此f（b）在b=+1时取得最大值，∴f（b）≤=﹣4．∴的取值范围是（﹣∞，﹣4]．故选：A．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式．4、试题分析：①利用否命题的定义即可判断出；②利用“非命题”的定义即可判断出；③△ABC中，由正弦定理可得，因此sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，即可判断出；④若p∨q为真命题，则p、q只要有一个为真命题即可．解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，正确；②若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，正确；③△ABC中，由正弦定理可得，因此sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此sinA ＞sinB是A＞B的充要条件，正确；④若p∨q为真命题，则p、q只要有一个为真命题即可，因此不正确．综上可得：正确的命题个数为3．故选：D．考点：命题的真假判断与应用．5、试题分析：根据A和B都为抛物线上的点，设出A和B的坐标，把直线与抛物线解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之积，然后利用A和B的坐标表示出和，利用平面向量的数量积运算法则，计算得出•为0，从而得出两向量互相垂直，进而得到三角形为直角三角形．解：设A（x1，x12），B（x2，x22），将直线与抛物线方程联立得，消去y得：x2﹣mx﹣1=0，根据韦达定理得：x1x2=﹣1，由=（x1，x12），=（x2，x22），得到•=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，则⊥，∴△AOB为直角三角形．故选A考点：三角形的形状判断．6、试题分析：以D为原点，建立空间直线坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出异面直线GB与B′E所成的角．解：以D为原点，建立如图所示的空间直线坐标系D﹣xyz，设正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为2，则G（0，0，1），B（2，2，0），B′（2，2，2），E（1，2，0），∴，，∵=﹣2+0+2=0，∴，∴异面直线GB与B′E所成的角为90°．故选：B．考点：异面直线及其所成的角．7、试题分析：由求和公式和性质可得a7的值，而所求等于3a7，代入计算可得．解：由题意可得等差数列的前13的和S13===39解之可得a7=3，又a6+a8=2a7故a6+a7+a8=3a7=9故选D考点：等差数列的前n项和．8、试题分析：先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选B．考点：椭圆的应用；数列的应用．9、试题分析：设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，由余弦定理可得，cosθ==，得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选：D．考点：余弦定理．10、试题分析：令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，解得答案．解：∵抛物线的标准方程为，∴，准线方程为，令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，即故选：B．考点：抛物线的简单性质．11、试题分析：利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：若a＞1且b＞1时，a+b＞2成立．若a=0，b=3，满足a+b＞1，但a＞1且b＞1不成立，∴“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的必要不充分条件．故选：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．12、试题分析：把原不等式移项并分解因式后，利用两数相乘异号得负的法则可把不等式转化为两个不等式组，求出两不等式组的解集的并集即为原不等式的解集．解：不等式x2＞x，移项得：x2﹣x＞0，因式分解得：x（x﹣1）＞0，可化为：或，解得：x＜0，或x＞1，则原不等式的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．故选：D．考点：一元二次不等式的解法．13、试题分析：已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积bc•sinA解：由已知可得等式：（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，则A=；在△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bc•sinA=×=，故答案为：，．考点：余弦定理；正弦定理．14、试题分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面ACD1的距离．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（3，3，0），A（3，0，0），C（0，3，0），C1（0，3，3），D1（0，0，3），=（﹣3，3，0），=（﹣3，0，3），=（0，3，0），设平面ACD1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），∴点B到平面ACD1的距离：d===．故答案为：．考点：点、线、面间的距离计算．15、试题分析：由已知条件作出不等式组对应的平面区域，则k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，利用数形结合即可得到结论．解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k==1．故答案为：1．考点：简单线性规划．16、试题分析：确定双曲线的渐近线方程，与条件比较，即可得到结论．解：双曲线的渐近线方程为y=±即3x±ay=0∵双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，∴a=2故答案为：2考点：双曲线的简单性质．17、试题分析：（1）利用抛物线的标准方程即可得出焦点坐标，再利用抛物线的定义和点M在抛物线上即可得到点M的坐标；利用点M在椭圆C1上满足椭圆的方程和c2=a2﹣b2即可得到椭圆的方程；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，由点F满足，及，，故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF==，再利用基本不等式的性质即可得出．解：（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（0，1）．设M（x0，y0）（x0＜0），由点M在抛物线上，∴，，解得，．而点M在椭圆C1上，∴，化为，联立，解得，故椭圆的方程为．（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2．设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，把y=kx代入，可得，x2＞0，y2=﹣y1＞0，且．，，故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF===≤=．当且仅当时上式取等号．∴四边形AEBF面积的最大值为．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．18、试题分析：（Ⅰ）把n=1，2，3分别代入递推公式中可求（Ⅱ）由已知可得8S n=a n2+4a n+4，8S n+1=a n+12+4a n+1+4，两式相减结合a n+1+a n＞0可得a n+1﹣a n=4，利用等差数列的通项公式可求（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，利用裂项求和解：（Ⅰ）∵n=1时可得，∴a1=2把n=2代入可得a2=6，n=3代入可得a3=10；（Ⅱ）8S n=a n2+4a n+4 (1)8S n+1=a n+12+4a n+1+4 (2)（2）﹣（1）得8a n+1=a n+12﹣a n2+4a n+1﹣4a n（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣4）=0∵a n+1+a n＞0∴a n+1﹣a n﹣4=0a n+1﹣a n=4∴{a n}是以2为首项，4为公差的等差数列．a n=a1+（n﹣1）d=4n﹣2（Ⅲ）∴T n=b1+b2+…+b n==．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．19、试题分析：（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDE．（Ⅱ）由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．（Ⅰ）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，∴cosθ=cos＜，＞=．故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．（Ⅲ）解：∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0，∴PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），则=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴∈（0，1），此时PF=，即在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．20、试题分析：（Ⅰ）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（Ⅱ）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA=﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．解：（Ⅰ）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=﹣1（Ⅱ）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA=﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）∴∴y1+2=﹣（y2+2）∴y1+y2=﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率考点：抛物线的应用．21、试题分析：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出=（，﹣1，0），=（，﹣1，0），可得=，即可证明NA1∥CM；（2）•=0+1﹣1=0，•=0，即可证明D1B⊥平面A1MCN，从而平面A1MCN⊥平面A1BD1．（3）由（2）得B到平面A1MCN的距离为d==1，A1B=，即可求直线A1B和平面A1MCN所成角．证明：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则B（，1，0），A（，0，1），D1（0，0，1），C（0，1，0），M（，0，0），N（，1，1），∴=（，﹣1，0），=（，﹣1，0），∴=，∴NA1∥CM；（2）∵=（，1，﹣1），=（0，1，1），=（，﹣1，0），∴•=0+1﹣1=0，•=0，∴D1B⊥MN，D1B⊥CM，又MN∩CM=M，∴D1B⊥平面A1MCN，又D1B⊂平面A1BD1，∴平面A1MCN⊥平面A1BD1．（3）由（2）得B到平面A1MCN的距离为d==1，A1B=，∴直线A1B和平面A1MCN所成角的正弦值为=，∴直线A1B和平面A1MCN所成角为．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．22、试题分析：（1）根据A、B、C成等差数列，结合A+B+C=π算出B=，再由正弦定理得sinC==．根据b＞c得C为锐角，得到C=，从而A=π﹣B﹣C=，△ABC是直角三角形，由此不难求出它的面积；（2）根据正弦定理，结合题意得b2=ac，根据B=利用余弦定理，得b2=a2+c2﹣ac，从而得到a2+c2﹣ac=ac，整理得得（a﹣c）2=0，由此即可得到△ABC为等边三角形．解：∵A、B、C成等差数列，可得2B=A+C．∴结合A+B+C=π，可得B=．（1）∵，c=2，∴由正弦定理，得sinC===．∵b＞c，可得B＞C，∴C为锐角，得C=，从而A=π﹣B﹣C=．因此，△ABC的面积为S==×=．（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即sin2B=sinAsinC．∴由正弦定理，得b2=ac又∵根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，∴a2+c2﹣ac=ac，整理得（a﹣c）2=0，可得a=c∵B=，∴A=C=，可得△ABC为等边三角形．考点：余弦定理；三角形的形状判断；正弦定理．。

河南省南阳市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷文(含解析)

河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2] C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=3，S3=21，若a n=48．则n=（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支5．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m 6．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9在x=﹣1时取得极值，则a等于（）A．1 B．2 C．3D．47．（5分）在等差数列{a n}中公差d≠0，若a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，则m﹣n=（）A．B．1 C．2 D．48．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个9．（5分）若x，y满足条件，z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．C．﹣D．﹣10．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C． f （1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）11．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10 B．100 C．200 D．40012．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=，f′（e）=．14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为．15．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3=ax2﹣4x+3（x∈R）．（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求实数a的取值范围．．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小．（2）若a=1，bc=2﹣，求b+c的值．19．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．21．（12分）已知数列{a n}的各项为正值且首项为1，a2=2，S n为其前n项和．函数f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴．（1）求a n和S n．（2）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．22．（12分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N 是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，当|F1M|+|F2N|最大时，求直线l的方程．河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2] C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式即，等价转化为，由此求得它的解集．解答：解：不等式≤1，即，即，解得﹣1＜x≤2，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：已知等式利用正弦定理化简，将sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（B﹣C）=0，确定出B=C，即可得出三角形形状．解答：解：已知等式a=2ccosB，利用正弦定理化简得：sinA=2sinCcosB，将sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入得：sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB，即sinBcosC ﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∴B﹣C=0，即B=C，则△ABC为等腰三角形．故选：B．点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=3，S3=21，若a n=48．则n=（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知求得等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由a1=3，S3=21得3（1+q+q2）=21，解得：q=2．由=48，得2n﹣1=16，即n=5．故选：B．点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心C的轨迹．解答：解：设动圆圆心C（x，y），半径为r，∵圆M与圆C1：（x+4）2+y2=4外切，与圆C2：（x﹣4）2+y2=1内切，∴|CC1|=2+r，|CC2|=r﹣1，∴|CC1|﹣|CC2|=3＜8，由双曲线的定义，C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线的右支，故选：D．点评：本题考查两圆的位置关系及判定方法和双曲线的定义，正确运用两圆的位置关系是关键．5．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．解答：解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30（+），∴建筑物的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，故选A．点评：此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．6．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9在x=﹣1时取得极值，则a等于（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：因为f（x）在x=﹣1时取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣1）=0，解出求出a 即可．解答：解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，f（x）在x=﹣1时取得极值，∴f′（﹣1）=6﹣2a=0∴a=3．故选：C．点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）在等差数列{a n}中公差d≠0，若a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，则m﹣n=（）A．B．1 C．2 D．4考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式和条件化简已知的式子，即可得到答案．解答：解：∵在等差数列{a n}，有a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，∴（a1+2d）+a1+（m﹣1）d﹣（a1+6d）=a1+（n﹣1）d+a1+d﹣（a1+4d），即（m﹣5）d=（n﹣4）d，∵公差d≠0，∴m﹣n=1，故选：B．点评：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．8．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①根据逆否命题的定义进行判断；②根据特称命题的否定是全称命题进行判断；③根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；故①正确，②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；故②正确，③点（4，4）在曲线y2=4x上，但点M的坐标为（1，2）不正确，故③“点M在曲线y2=4x 上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件，故③正确，故选：D．点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有四种命题之间的关系，含有量词的命题的否定，以及充分条件和必要条件的定义．9．（5分）若x，y满足条件，z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．C．﹣D．﹣考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y得y=x﹣z，平移y=x﹣z，由图象知当直线y=x﹣z经过点A时，直线的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（3，3），则z═×3﹣3=﹣，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C． f （1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），从而可得F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，从而可判断出f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；从而求解．解答：解：设F（x）=f（x）﹣g（x），则F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，故F（x）=f（x）﹣g（x）在定义域上为减函数，故F（1）＜F（0），故f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；故f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，中档题．11．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10 B．100 C．200 D．400考点：等差数列的性质；基本不等式．专题：新定义．分析：由已知数列为调和数列可得{b n}为等差数列，由等差数列的性质及已知可求b4+b6，利用基本不等式可求b4•b6的最大值解答：解：由已知数列为调和数列可得b n+1﹣b n=d（d为常数）∴{b n}为等差数列，由等差数列的性质可得，b1+b2+…+b9=9b5=90，∴b4+b6=2b5=20，又b n＞0，∴．故选B点评：本题以新定义为载体在，注意考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用．12．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．分析：由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．解答：解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=，f′（e）=﹣．考点：对数的运算性质．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则，先求导，再代入值计算解答：解：f（x）=，∴f′（x）==，∴f′（e）=﹣故答案为：﹣点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为44．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．解答：解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；双曲线图象如图：|PF|﹣|AP|=2a=6 ①|QF|﹣|QA|=2a=6 ②而|PQ|=16，①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44故答案为：44．点评：本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．15．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，点P到直线y=x﹣4的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x ﹣4的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，点P到直线y=x﹣4的距离最小．直线y=x﹣4的斜率等于1，y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣令y′=1，解得x=1，或 x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣4平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣4的距离d=，故点P到直线y=x﹣4的最小距离为d==2，故答案为：2．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查点到直线的距离公式的应用，求出函数的导数及运用两直线平行的条件是解题的关键，体现了转化的数学思想．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=3．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简利用根与系数的关系可得x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，根据AB的中点（﹣，﹣+b）在直线x+y=0上，求出b值，由|AB|=•求得结果．解答：解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简可得 x2 +x+b﹣3=0，∴x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，故AB 的中点为（﹣，﹣+b）．根据中点在直线x+y=0上，∴﹣+（﹣+b）=0，∴b=1，故 x1•x2=﹣2，∴|AB|=•=3，故答案为3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，求得 x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣2，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3=ax2﹣4x+3（x∈R）．（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求实数a的取值范围．．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，f′（x）=3x2+4x﹣4；从而求得f′（1）=3，f（1）=2；从而写出切线方程．（2）求导f′（x）=3x2+2ax﹣4；从而由f（x）在区间（1，2）上单调递减可得f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；从而可得a≤﹣x，令h（x）=﹣x，从而化为最值问题．解答：解：（1）a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，f′（x）=3x2+4x﹣4；故f′（1）=3，f（1）=2；故所求切线方程为y=3（x﹣1）+2，即3x﹣y﹣1=0．（2）∵f（x）=x3=ax2﹣4x+3，∴f′（x）=3x2+2ax﹣4；∵f（x）在区间（1，2）上单调递减，∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；即3x2+2ax﹣4≤0，即a≤﹣x，令h（x）=﹣x，又由h min（x）=h（2）=﹣2；故a≤﹣2；故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法应用，属于中档题．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小．（2）若a=1，bc=2﹣，求b+c的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）运用正弦定理和诱导公式及两角和的正弦公式，化简整理，即可得到A；（2）运用余弦定理，配方整理，计算即可得到b+c的值．解答：解：（1）由acosB+bsinA=c，运用正弦定理得sinAcosB+sinBsinA=sinC，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得sinBsinA=cosAsinB，所以tanA=，由于A为三角形的内角，则A=；（2）a=1，bc=2﹣，由余弦定理知a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣bc（2+）即有1=（b+c）2﹣（2﹣）（2+），即有（b+c）2=2，可得b+c=．点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查同角的基本关系式和两角和的正弦公式，考查运算能力，属于基础题．19．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（2）设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明e x＞x2﹣2ax+1．解答：（1）解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，ln2）ln2 （ln2，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）单调递减 2（1﹣ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（2）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故e x＞x2﹣2ax+1．点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．考点：平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，经过检验不满足条件．设直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C的方程，利用根与系数的关系求得 x1+x2=，且x1•x2=1，且 y1y2=﹣4．结合求得k的值．（2）根据 y1＞0，tan∠ATF===，利用基本不等式求得tan∠ATF 的最大值，从而求得∠ATF 的最大值．解答：解：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，﹣2），此时，，这与矛盾．故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C：y2=4x的方程化简可得 k2 x2﹣（2k2+4）x+k2=0．∴x1+x2=，且x1•x2=1…①．∴=16x1•x2=16，∴y1y2=﹣4…②．由可得（x1+1）（x2+1）+y1•y2=1．把①②代入可得 k2=4，∴k=±2．（2）∵y1＞0，tan∠ATF===≤1，当且仅当=，即 y1=2时，取等号，故tan∠ATF 的最大值为1，故∠ATF的最大值为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，抛物线的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系以及基本不等式的应用，属于中档题．21．（12分）已知数列{a n}的各项为正值且首项为1，a2=2，S n为其前n项和．函数f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴．（1）求a n和S n．（2）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．考点：数列与函数的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系，判断数列为等比数列，求出公比即可求a n和S n．（2）求出b n=log2a n+1的表达式，利用裂项法进行求和，即可证明不等式．解答：解：（1）由f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx知f′（x）=a n•a n+2﹣a2n+1sinx，∵f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴，∴f′（）=0，即a n•a n+2﹣a2n+1sin=a n•a n+2﹣a2n+1=0，即a n•a n+2=a2n+1，∴{a n}是等比数列，公比q=，∴a n=a1q n﹣1=2n﹣1，=2n﹣1，（2）由（1）知a n+1=2n，∴b n=log2a n+1=log22n=n．∴=﹣．∴T n=﹣=1﹣＜1，点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．22．（12分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N 是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，当|F1M|+|F2N|最大时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，设椭圆C的方程为，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，即可得到a，利用b2=a2﹣c2得到a即可得到椭圆的方程；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到|F1M|+|F2N|，利用|F1M|+|F2N|最大时，即可求直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，a=2．又∵c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为…（4分）（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=4k2+3．…（6分）设坐标原点到动直线L的距离为d，则2d=|F1M|+|F2N|=2…（8分）=2，∵k2≤1，∴k2=1时，|F1M|+|F2N|最大此时m=．故所求直线方程为y=﹣x+或y=x+…（12分）点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．。

2014-2015年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．222．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a25．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．169．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．1811．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为．14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为海里/时．16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为a n==，令=，得，n=21故选：C．2．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）【解答】解∵三角形ABC有两解，∴ABsin30°＜BC＜4，∴2＜BC＜4，故选：B．3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【解答】解：因为不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），所以a=b＞0，所以等价于（x+1）（x﹣2）＞0，所以x＜﹣1或x＞2故选：A．4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2【解答】解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D 不正确故选：B．5．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°【解答】解：∵△ABC中，S=absinC，a2+b2﹣c2=2abcosC，且S=，∴absinC=abcosC，整理得：sinC=cosC，即tanC=1，则∠C=45°，故选：A．6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=3n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=3n﹣1+3n﹣2+…+31+1==．故选：C．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【解答】解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，所以tan（A+B）=＜0，则A+B∈（，π），即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．故选：A．8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．16【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．故选：C．9．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）【解答】解：x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，即a=﹣x在在区间（1，+∞）上有解令y=﹣x，则y′=﹣﹣1＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∴y=﹣x在（1，+∞）上是递减函数故y＜y（1）=1，故函数的值域为：（﹣∞，1），故a的取值范围是：（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．18【解答】解：由＜﹣1，可得＜0，由它们的前n项和S n有最大可得数列的d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴使得S n＞0的n的最大值n=19．故选：C．11．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：=≥4当且仅当取等号即取等号．∴的最小值为4故选：D．12．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，∴a1=s1=3，当n≥2时，a n=S n ﹣s n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，故a n=．∴b n=（﹣1）n a n =，∴数列{b n}的前50项和为（﹣3+4）+（﹣6+8）+（﹣10+12）+…（﹣98+100）=1+24×2=49，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为（1，0]∪[2，3）．【解答】解：不等式组解不等式①得1＜x＜3，解不等式②得x≤0，或x≥2，故不等式组的解集为（1，0]∪[2，3），故答案为；（1，0]∪[2，3），14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．【解答】解：∵3是9m与3n的等比中项，∴9m•3n=（3）2，即32m+n=33，即2m+n=3，∴+=（+）（2m+n）=（3+）≥，当且仅当n=m时取等号∴+的最小值为．故答案为：．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为20（﹣）海里/时．【解答】解：由题意知PM=20海里，∠PMB=15°，∠BMN=30°，∠PNC=45°，∴∠NMP=45°，∠MNA=90°﹣∠BMN=60°，∴∠PNM=105°，∴∠MPN=30°，∵sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=，∴在△MNP中利用正弦定理可得，解得：MN=10（﹣）海里，∴货轮航行的速度v==20（﹣）海里/小时．故答案为：20（﹣）16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=n2n．【解答】解：由于a n=f（2n）则a n+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）∴令x=2n，y=2则f（2n+1）=2n f（2）+2f（2n）=2a n+2×2n∴a n+1∴∴数列{}是以为首项公差为1的等差数列∴∴a n=n2n三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0，∴，解得a1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+（n﹣1）×2=2n﹣12．（2）∵等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，∴q===﹣3，∴{b n}的前n项和公式：S n==2﹣2（﹣3）n．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．∴2x2+bx+c=0的两根为0，5∴∴b=﹣10，c=0∴f（x）=2x2﹣10x；（2）要使对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）max ≤2﹣t即可∵f（x）=2x2﹣10x=2，x∈[﹣1，1]，∴f（x）max=f（﹣1）=12∴12≤2﹣t∴t≤﹣1019．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．【解答】解（1）证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，又△ABC的面积为，∴acsin60°=，即ac=4，∵ac=22，∴a、2、c成等比数列；（2）在△ABC中，根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，∴b≥2，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC的周长L=a+b+c≥2+b=4+b，当且仅当a=c时，等号成立，∴L≥4+2=6，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC周长的最小值为6，∵a=c，B=60°，∴此时△ABC为等边三角形．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？【解答】解：由题意得，，∵30≤v1≤100，4≤v2≤20∴由题设中的限制条件得9≤x+y≤14于是得约束条件目标函数p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）=131﹣3x﹣2y（6分）做出可行域（如图），当平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p最小．所以当x=10，y=4，即v1=30，v2=12.5时，p min=93元（12分）（没有图扣2分）21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为a1+2a2+3a3+…+na n=所以a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n=（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1﹣1分）两式相减得na n=所以=3（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列所以na n=2•3n﹣2（n≥2）﹣﹣﹣﹣（3分）故a n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知当n≥2n2a n=2n•3n﹣2当n≥2时，T n=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴3T n=3+4•31+…+2（n﹣1）•3n﹣2+2n•3n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）两式相减得（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又∵T1=a1=1也满足上式，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以T n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）a n≥（n+1）λ等价于λ≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由（1）可知当n≥2时，设f（n）=，则f （n +1）﹣f （n ）=＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴，又及，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴所求实数λ的取值范围为λ≤﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +bx -b-ab 45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。

2014-2015年河南省南阳市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

2014-2015学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知M={y|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）}B．{1}C．[0，1]D．2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则=（）A．B．C．1D．23．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．（2，+∞）4．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A．1B．C．3D．45．（5分）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b （a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．7．（5分）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by=2，l2：x+2y=2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2=的内部，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）8．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（）A．B．C．D．9．（5分）在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（）A．[6，15]B．[7，15]C．[6，8]D．[7，8]10．（5分）已知x∈（0，1）时，函数f（x）=的最小值为b，若定义在R上的函数g（x）满足：对任意m，n∈R都有g（m+n）=g（m）+g（n）+b，则下列结论正确的是（）A．g（x）﹣1是奇函数B．g（x）+1是奇函数C．g（x）﹣是奇函数D．g（x）+是奇函数11．（5分）过原点的直线交双曲线x2﹣y2=4于P，Q两点，现将坐标平面沿直线y=﹣x折成直二面角，则折后PQ长度的最小值等于（）A．2B．4C．4D．312．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，且f（x﹣4）=﹣f（x），给出下列结论：①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8或8；④函数f（x）在[﹣8，8]内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是．14．（5分）已知f（x）=2x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式a•g（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是．15．（5分）在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为．16．（5分）已知下列五个命题：①命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＞0”②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等③已知x＞0时，（x﹣1）f′（x）＜0，若△ABC是锐角三角形，则f（sinA）＞f（cosB）④“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题⑤过M（2，0）的直线l与椭圆=1交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于﹣．其中真命题的序号是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+12=4S n+4n+1，n∈N*，且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T n+）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：日车流量x0≤x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜2020≤x＜25x≥25频率0.050.250.350.250.100将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．21．（12分）已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1 ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m 在什么范围取值时，对于任意的t[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．2014-2015学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知M={y|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）}B．{1}C．[0，1]D．【解答】解：∵M={y|y=x2}═{y|y≥0}，N={y|x2+y2=2}={y|﹣≤y≤}，∴M∩N={y|y≥0}∩={y|﹣≤y≤}={y|≥y≥0}，故选：D．2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则=（）A．B．C．1D．2【解答】解：z======+i则=|z|2=（）2+（）2=，故选：A．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．（2，+∞）【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间[，]，即[2﹣2，2﹣1]内，∴x∈[﹣2，﹣1]．故选：B．4．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A．1B．C．3D．4【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为T r=•a6﹣r•b r•x12﹣3r，+1令12﹣3r=3，求得r=2，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a4•b2=20，∴a4•b2=，即b2=，∴a2+b2 =a2+=++≥3=，当且仅当a6=时等号成立．故选：B．5．（5分）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥（图中红色部分），它是一个正四棱锥的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高EF=4．设其外接球的球心为O，O点必在高线EF上，外接球半径为R，则在直角三角形AOF中，AO2=OF2+AF2=（EF﹣EO）2+AF2，即R2=（4﹣R）2+（2）2，解得：R=故选：C．6．（5分）已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b （a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．【解答】解：|f （x ）﹣1|＜a 即|2x +2|＜a ，即﹣a ＜2x +2＜a ，即＜x ＜．|x +1|＜b 即﹣b ＜x +1＜b 即﹣b ﹣1＜x ＜b ﹣1． ∵|f （x ）﹣1|＜a 的必要条件是|x +1|＜b （a ，b ＞0）， ∴（，）⊆（﹣b ﹣1，b ﹣1）， ∴﹣b ﹣1≤，b ﹣1≥，解得b ≥，故选：A ．7．（5分）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设任意投掷两次使两条不重合直线l 1：ax +by=2，l 2：x +2y=2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，若点（P 1，P 2）在圆（x ﹣m ）2+y 2=的内部，则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣，+∞） B ．（﹣∞，） C ．（﹣，） D ．（﹣，）【解答】解：对于a 与b 各有6中情形，故总数为36种设两条直线l 1：ax +by=2，l 2：x +2y=2平行的情形有a=2，b=4，或a=3，b=6，故概率为P==设两条直线l 1：ax +by=2，l 2：x +2y=2相交的情形除平行与重合即可，∵当直线l 1、l 2相交时b ≠2a ，图中满足b=2a 的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，∴满足b ≠2a 的有36﹣3=33种， ∴直线l 1、l 2相交的概率P==，∵点（P 1，P 2）在圆（x ﹣m ）2+y 2=的内部，∴（﹣m ）2+（）2＜，解得﹣＜m ＜故选：D．8．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：C．9．（5分）在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（）A．[6，15]B．[7，15]C．[6，8]D．[7，8]【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：B（1，2）．当s=3时，可行域为四边形OABC及内部区域，当直线z=3x+2y过B（1，2）时，z有最大值，等于3×1+2×2=7；当s=5时，可行域为三角形OAD及内部区域，当直线z=3x+2y过D（0，4）时，z有最大值，等于3×0+2×4=8．∴当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[7，8]．故选：D．10．（5分）已知x∈（0，1）时，函数f（x）=的最小值为b，若定义在R上的函数g（x）满足：对任意m，n∈R都有g（m+n）=g（m）+g（n）+b，则下列结论正确的是（）A．g（x）﹣1是奇函数B．g（x）+1是奇函数C．g（x）﹣是奇函数D．g（x）+是奇函数【解答】解：设x=sinα∈（0，1），则y==tanx+≥2=（当且仅当tanx=，x=时，等号成立），故b=；故对任意m，n∈R都有g（m+n）=g（m）+g（n）+成立；令F（x）=g（x）+，则g（x）=F（x）﹣；故g（m+n）=g（m）+g（n）+可化为F（x+y）=F（x）+F（y）；从而F（0）=F（0）+F（0），故F（0）=0；故F（0）=F（x）+F（﹣x）=0；故F（x）是奇函数，故选：D．11．（5分）过原点的直线交双曲线x2﹣y2=4于P，Q两点，现将坐标平面沿直线y=﹣x折成直二面角，则折后PQ长度的最小值等于（）A．2B．4C．4D．3【解答】解：∵双曲线x2﹣y2=4是等轴双曲线，以直线y=±x为渐近线∴将双曲线按逆时针方向旋转45°角，可得双曲线的图象∵双曲线x2﹣y2=4的顶点（，0），逆时针方向旋转45°变为点（，）∴点（，）在y=的图象上，可得m=•=，即双曲线按逆时针方向旋转45°角，得到双曲线的图象问题转化为：过原点的直线交双曲线于P、Q两点将坐标平面沿直线y轴折成直二面角，求折后线段PQ的长度的最小值设P（t，）（t＞0），过点P作PM⊥y轴于M，连结MQ，可得M（0，），Q（﹣t，﹣），|MQ|==，在折叠后的图形中，Rt△PMQ中，|PM|=t，得|PQ|2=|PM|2+|MQ|2=2t2+≥2=16，当且仅当t2=4，即t=2时等号成立∴当t=2时，即P坐标为（2，）时，|PQ|的最小值为=4综上所述，折后线段PQ的长度的最小值等于4故选：B．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，且f（x﹣4）=﹣f（x），给出下列结论：①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8或8；④函数f（x）在[﹣8，8]内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵f（x）是奇函数且f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），f（0）=0∴函数f（x）为周期8的周期函数，根据题意可画出这样的图形：如图所示，∵定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，∴在（﹣2，0]上是增函数，即（﹣2，2）上是增函数，①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则0＜x1＜2，2＜x2＜4，0＜4﹣x2＜2，﹣2＜x2﹣4＜0，∴f（4﹣x2）＞f（x2﹣4），又∵f（x1）=f（4﹣x2），﹣f（x2）=f（x2﹣4），∴f（x1）＞﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）＞0，故①正确；②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则0＜x1＜，＜x2＜5，观察可知f（x1）＞f（x2），故②正确；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，当m＞0时（如上方虚线所示），可知左边两个交点之和为﹣12（因为两个交点关于﹣6对称，一个交点可表示为﹣6﹣x0，另一个交点可表示为﹣6+x0），y轴右边的两个交点之和为4，则x1+x2+x3+x4=﹣8，同理m＜0时x1+x2+x3+x4=8，故③正确；④函数f（x）在[﹣8，8]内有5个零点，故④不正确，结论正确的有①②③，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是20．【解答】解：按首位数字的奇偶性分两类：一类是首位是奇数的，有：A22A33；另一类是首位是偶数，有：（A33﹣A22）A22则这样的五位数的个数是：A22A33+（A33﹣A22）A22=20．故答案为：2014．（5分）已知f（x）=2x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式a•g（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是a≥﹣．【解答】解：f（x）=2x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和∴g（x）+h（x）=2x①，g（﹣x）+h（﹣x）=﹣g（x）+h（x）=2﹣x②①②联立可得，h（x）=（2x+2﹣x），g（x）=（2x﹣2﹣x），ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立对于x∈[1，2]恒成立a≥﹣=﹣（2x﹣2﹣x）+（2﹣x﹣2x）对于x∈[1，2]恒成立t=2x﹣2﹣x，x∈[1，2]，t∈[，]则t+在t∈[，]，t=，时，则t+=，∴a≥﹣；故答案为a≥﹣；15．（5分）在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为．【解答】解：∵，其中0≤x≤1，0≤y≤1，∴动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形∴S=AB×r，其中r为△ABC的内切圆的半径在△ABC中，由余弦定理可得cosA=∴5AB2﹣12AB﹣65=0∴AB=5∴∵O是△ABC的内心，∴O到△ABC各边的距离均为r，∴∴r=∴S=AB×r==．故答案为：．16．（5分）已知下列五个命题：①命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＞0”②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等③已知x＞0时，（x﹣1）f′（x）＜0，若△ABC是锐角三角形，则f（sinA）＞f（cosB）④“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题⑤过M（2，0）的直线l与椭圆=1交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于﹣．其中真命题的序号是③④⑤．【解答】解：对于①，命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”则①错误；对于②，若两组数据的中位数相等，根据平均数的计算公式，它们的平均数不一定相等，则②错误；对于③，x＞0时，（x﹣1）f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，若△ABC是锐角三角形，即有A+B＞，A＞﹣B，sinA＞sin（﹣B）=cosB，即有f（sinA）＞f（cosB），则③正确；对于④，在三角形ABC中，sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，则原命题的否命题是真命题，则④正确；对于⑤，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，x12+2y12=2，x22+2y22=2，两式相减可得：（x1﹣x2）×2x+2（y1﹣y2）×2y=0，由于直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP（O是原点）的斜率为k2，则k1k2=﹣，则⑤正确．故答案为：③④⑤．三、解答题（本大题共5小题，满分60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+12=4S n+4n+1，n∈N*，且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T n+）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（Ⅰ）由题意，，当n≥2时，，∴4a n=4S n﹣4S n﹣1=，，又a n＞0，∴a n=a n+2．+1∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．又a2，a5，a14构成等比数列，，，解得a2=3，由条件可知，，∴a1=1，又a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，则b1=a2=3，b2=a5=9，b3=a14=27，且{b n}是等比数列，∴数列{b n}的通项公式为．（Ⅱ）==，∴对n∈N*恒成立，∴对n∈N*恒成立，令c n=，c n﹣c n﹣1==，当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4，时，c n＜c n﹣1∴，∴．18．（12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：日车流量x0≤x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜2020≤x＜25x≥25频率0.050.250.350.250.100将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则P（A1）=0.35+0.25+0.10=0.70，P（A2）=0.05，所以P（B）=0.7×0.7×0.05×2=0.049．（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为，，，．X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343因为X～B（3，0.7），所以期望E（X）=3×0.7=2.1．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．【解答】解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…（12分）在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．…（15分）20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，解得a2=6，b2=2．所以椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）．由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．于是．设M为PQ的中点，则M点的坐标为．因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．当x=t时，y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m（t﹣2）），此时直线OT的斜率为，其方程为．将M点的坐标为代入，得．解得t=3．（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为（3，﹣m）．于是，====．所以==．当且仅当，即m=±1时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．21．（12分）已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1 ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m 在什么范围取值时，对于任意的t[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？【解答】解：（Ⅰ），当a=1时，令导数大于0，可解得0＜x＜1，令导数小于0，可解得x＜0（舍）或x＞1故函数的单调增区间为（0，1），单调减区间是（1，+∞）（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴，由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【解答】（I）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠BCD=∠A，由题设知：=，故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．∵B，E，F，C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．（2）解：连接CE，∵∠CBE=90°，∴过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x ﹣a |+|x +3|≥2x +4的解集为A ．（Ⅰ）若a=1，求A ；（Ⅱ）若A=R ，求a 的取值范围．【解答】解：（I ）若a=1，则|2x ﹣1|+|x +3|≥2x +4当x ≤﹣3时，原不等式可化为﹣3x ﹣2≥2x +4，可得x ≤﹣3 当﹣3＜x ≤时，原不等式可化为4﹣x ≥2x +4，可得3x ≤0 当x ＞时，原不等式可化为3x +2≥2x +4，可得x ≥2 综上，A={x |x ≤0，或x ≥2}；（II ）当x ≤﹣2时，|2x ﹣a |+|x +3|≥0≥2x +4成立当x ＞﹣2时，|2x ﹣a |+|x +3|=|2x ﹣a |+x +3≥2x +4 ∴x ≥a +1或x ≤∴a +1≤﹣2或a +1≤∴a ≤﹣2综上，a 的取值范围为a ≤﹣2．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题_Word版含答案

2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是（）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立；（2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =，代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=，解得10m =.……………………4分（2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分（2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。

河南省南阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)

河南省南阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）已知A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，A∩（∁U B）={9}，则A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}2．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．（5分）一个用斜二侧画法画出的三角形是斜边为a的等腰直角三角形，则原三角形的面积是（）A．a2B．a2C．a2D．2a24．（5分）若直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，则a的值为（）A．3B．﹣3 C．D．5．（5分）下列图象中表示函数图象的是（）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．6D．4 7．（5分）已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A．1B．4C．D．或48．（5分）圆心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A：B 等于（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8 9．（5分）直线l：y=x与圆x2+y2﹣2x﹣6y=0相交于A，B两点，则|AB|=（）A．2B．4C．4D．810．（5分）如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=0，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．异面直线SA与PD所成角的正切值为（）A．1B．C．2D．211．（5分）已知x，y满足（x﹣1）2+y2=16，则x2+y2的最小值为（）A．3B．5C．9D．2512．（5分）设方程10x=|lg（﹣x）|的两根分别为x1、x2，则（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1二．填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）点（2，3，4）关于x轴的对称点的坐标为．14．（5分）方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是．15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．16．（5分）如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f（）≤，则称这个函数是下凸函数，下列函数：①f（x）=2x；②f（x）=x3；③f（x）=log2x（x＞0）；④f（x）=中，是下凸函数的有．三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知△ABC的三个顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6）．（Ⅰ）求过A点且平行于BC的直线方程；（Ⅱ）求过B点且与点A，C距离相等的直线方程．18．（12分）已知函数f（x）=e x+ae﹣x，（1）试讨论函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围，并说明理由．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB=1，AD=2，AA1=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面A1AE；（Ⅱ）求点A到平面A1ED的距离．20．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间上有最大值1和最小值﹣2．设f （x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈上有解，求实数k的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB．22．（12分）已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．河南省南阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）已知A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，A∩（∁U B）={9}，则A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由A与B的交集，以及A与B补集的交集，得到3与9属于A，确定出A即可．解答：解：∵A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，A∩（∁U B）={9}，∴A={3，9}．故选：D．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．解答：解：将已知直线化为y=，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为150°，故选：D．点评：本题考察直线的倾斜角，属基础题，涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值，不要混淆．3．（5分）一个用斜二侧画法画出的三角形是斜边为a的等腰直角三角形，则原三角形的面积是（）A．a2B．a2C．a2D．2a2考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据斜二测画法的规则，分别判断原三角形对应的边长关系，即可求出三角形的面积．解答：解：∵三角形的直观图是斜边为a的等腰直角三角形，∴根据斜二测画法的规则可知，原三角形为直角三角形，且直角边分别为a，2a，∴原三角形的面积为×a×2a=a2，故选：C．点评：本题主要考查斜二测画法的应用，熟练掌握斜二测画法的基本原则．4．（5分）若直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，则a的值为（）A．3B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．解答：解：∵直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，∴，解得a=﹣3．故选：B．点评：本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题．5．（5分）下列图象中表示函数图象的是（）A．B．C．D．考点：函数的图象；函数的概念及其构成要素．专题：作图题．分析：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应可求解答：解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．故选C点评：本题主要考查了函数定义与函数对应的应用，要注意构成函数的要素之一：必须形成一一对应或多对一，但是不能多对一，属于基础试题6．（5分）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．6D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据三视图，还原成几何体，再根据长度关系，即可求得几何体的体积解答：解：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1∴原几何体的体积为故选A点评：本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，有比较好的空间想象力，能根据三视图找到原几何体中的垂直平行关系和长度关系．属简单题7．（5分）已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A．1B．4C．D．或4考点：对数的运算性质．分析：根据对数的运算法则，2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），可知：x2+4y2﹣4xy=xy，即可得答案．解答：解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=4故选B．点评：本题主要考查对数的运算性质．8．（5分）圆心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A：B 等于（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可．解答：解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，∴r=，扇形的面积B=×1×=，圆锥的表面积A=B+πr2=+=，∴A：B=11：8故选：A．点评：本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题．9．（5分）直线l：y=x与圆x2+y2﹣2x﹣6y=0相交于A，B两点，则|AB|=（）A．2B．4C．4D．8考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．解答：解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，圆心坐标为（1，3），半径R=，则圆心到直线x﹣y=0的距离d=，则|AB|===4，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键．10．（5分）如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=0，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．异面直线SA与PD所成角的正切值为（）A．1B．C．2D．2考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结PO，则PO∥SA，从而∠DPO为异面直线SA与PD所成角，由此能求出异面直线SA与PD所成角的正切值．解答：解：连结PO，∵P、O分别为SB、AB的中点，∴PO∥SA，∴∠DPO为异面直线SA与PD所成角，∵CD⊥AB，CD⊥SO，AB∩SO=O，∴CD⊥平面SOB，∴OD⊥PO，在Rt△DOP中，OD=2，OP=SB=，∴tan∠DPO===，∴异面直线SA与PD所成角的正切值为．故选：B．点评：本题考查异面直线SA与PD所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．11．（5分）已知x，y满足（x﹣1）2+y2=16，则x2+y2的最小值为（）A．3B．5C．9D．25考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆的方程可得其参数方程，从而可表示x2+y2，即可求得最小值．解答：解：∵（x﹣1）2+y2=16，∴可令x=1+4cosα，y=4sinα，∴x2+y2=（1+4cosα）2+（4sinα）2=17+8cosα，∴cosα=﹣1时，x2+y2的最小值为9．故选C．点评：本题考查圆的方程，考查圆的参数方程，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）设方程10x=|lg（﹣x）|的两根分别为x1、x2，则（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1考点：指数函数与对数函数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数对应的图象，判断两个根的取值的大体范围，然后利用对数的运算法则和指数函数的性质进行判断大小即可．解答：解：作出函数y=10x，y=|lg（﹣x）|的图象，由图象可知，两个根一个小于﹣1，一个在（﹣1，0）之间，不妨设x1＜﹣1，﹣1＜x2＜0，则10=lg（﹣x1），10=|lg（﹣x2）|=﹣lg（﹣x2）．两式相减得：lg（﹣x1）﹣（﹣lg（﹣x2）=lg（﹣x1）+lg（﹣x2）=lg（x1x2）=10﹣10＜0，即0＜x1x2＜1．故选：D．点评：本题主要考查方程根的取值范围的判断，利用数形结合以及对数的运算法则和指数函数的性质是解决本题的关键，综合性较强．二．填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）点（2，3，4）关于x轴的对称点的坐标为（2，﹣3，﹣4）．考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：利用点（x，y，z ）关于x轴的对称点是（x，﹣y，﹣z）即可得出．解答：解：点（2，3，4）关于x轴的对称点的坐标为（2，﹣3，﹣4）．故答案为：（2，﹣3，﹣4）．点评：本题考查了关于x轴的对称点的特点，属于基础题．14．（5分）方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是（﹣∞，）．考点：二元二次方程表示圆的条件．专题：直线与圆．分析：根据圆的一般方程即可得到结论．解答：解：若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则满足1+1﹣4m＞0，即m＜，故答案为：（﹣∞，）．点评：本题主要考查圆的一般方程的应用，比较基础．方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0．15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．解答：解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：8点评：本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．16．（5分）如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f（）≤，则称这个函数是下凸函数，下列函数：①f（x）=2x；②f（x）=x3；③f（x）=log2x（x＞0）；④f（x）=中，是下凸函数的有①④．考点：函数的图象；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f（）≤，可得f″（x）≥0，再对四个函数分别求导，即可得到结论．解答：解：函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f（）≤，可得f″（x）≥0，（1）f（x）=2x，则f′（x）=2x•ln2，∴f″（x）=2x•ln22＞0，∴函数是下凸函数；（2）f（x）=x3，则f′（x）=3x2，∴f″（x）=6x，∴函数不是下凸函数；（3）f（x）=log2x，则f′（x）=，∴f″（x）=﹣＜0，∴函数不是下凸函数；（4）x＜0时，f′（x）=1，∴f″（x）=0；x≥0时，f′（x）=2，∴f″（x）=0，∴函数是下凸函数故答案为．①④点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知△ABC的三个顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6）．（Ⅰ）求过A点且平行于BC的直线方程；（Ⅱ）求过B点且与点A，C距离相等的直线方程．考点：点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（Ⅰ）利用斜率公式可求得直线BC的斜率，利用点斜式即可求得过A点且平行于BC的直线方程；（Ⅱ）依题意，满足过B点且与点A，C距离相等的直线有两条，设AC直线的中点D，BD是一条，过B（8，10）且与AC平行的直线l是另一条，利用点斜式分别求之即可．解答：解：（Ⅰ）∵B（8，10），C（0，6），∴直线BC的斜率k BC==，又A（4，0），∴过A点且平行于BC的直线方程为y﹣0=（x﹣4），整理得：x﹣2y﹣4=0．（Ⅱ）∵AC直线的中点D（2，3），直线AC的斜率k AC==﹣，∴直线BD即为与点A，C距离相等的直线，∵k BD==，∴直线BD的方程为：y﹣3=（x﹣2），整理得：7x﹣6y+4=0；又过B（8，10）且与AC平行的直线l也满足与点A，C距离相等，∵k AC=﹣，由点斜式得l的方程为：y﹣10=﹣（x﹣8），即3x+2y﹣44=0．∴过B点且与点A，C距离相等的直线方程为：7x﹣6y+4=0与3x+2y﹣44=0．点评：本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=e x+ae﹣x，（1）试讨论函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围，并说明理由．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=e x+e﹣x，f（﹣x）=e x+e﹣x=f（x），∴f（x）是偶函数；当a=﹣1时，f（x）=e x﹣e﹣x，f（﹣x）=e﹣x﹣e﹣x=﹣f（x），∴f（x）是奇函数；当a≠1且a≠﹣1，函数f（x）=e x+ae﹣x是非奇非偶函数．（2）用定义法说明：对任意的x1，x2＞1，且x1＜x2，则∴，对任意的x1，x2＞1恒成立，∴a≤e2．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB=1，AD=2，AA1=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面A1AE；（Ⅱ）求点A到平面A1ED的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；解题方法；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）欲证DE⊥平面A1AE，根据线面垂直的判定定理可知只需证AE⊥DE，A1A⊥DE，即可；（Ⅱ）利用第一问的结果，推出平面AA1E⊥平面A1ED，作出垂线，求解即可．解答：证明：（Ⅰ）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，，在△AED中，AE=DE=，AD=2，∴AE⊥DE．∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥DE，∴DE⊥平面A1AE．（Ⅱ）由DE⊥平面A1AE，∴平面AA1E⊥平面A1ED，过A作AM⊥A1E，交A1E于M，由平面与平面垂直的性质定理可知，AM⊥平面A1ED，AM就是A到平面A 1ED的距离，在△AA1E中，，AE⊥AA1，∴AM=1．点A到平面A1ED的距离为：1．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．20．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间上有最大值1和最小值﹣2．设f （x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈上有解，求实数k的取值范围．考点：二次函数的性质；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据函数的单调性得到方程组从而求出a，b的值；（Ⅱ）将问题转化为k≤1+﹣4•（），令t=，则1+﹣4•=t2﹣4t+1，令h（t）=t2﹣4t+1，t∈，从而得到答案．解答：解：（Ⅰ）由题知g（x）=a（x﹣2）2﹣4a+b，∵a＞0，∴g（x）在上是减函数，∴，解得；（Ⅱ）由于f（2x）﹣k•2x≥0，则有2x+﹣4﹣k•2x≥0，整理得k≤1+﹣4•（），令t=，则1+﹣4•=t2﹣4t+1，∵x∈，∴t∈，令h（t）=t2﹣4t+1，t∈，则h（t）∈．∵k≤h（t）有解∴k≤1故符合条件的实数k的取值范围为（﹣∞，1]．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了转化思想，考查了求函数的最值问题，是一道中档题．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定证明，关键是证明AD⊥BQ，AD⊥PQ；（Ⅱ）当时，PA∥平面MQB．连接AC交BQ于N，连接MN，证明MN∥PA，即可得到结论．解答：（Ⅰ）证明：连接BD．因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以△ABD为正三角形．又Q为AD中点，所以AD⊥BQ．因为PA=PD，Q为AD的中点，所以AD⊥PQ．又BQ∩PQ=Q，所以AD⊥平面PQB．（Ⅱ）解：当时，PA∥平面MQB．下面证明：连接AC交BQ于N，连接MN．因为AQ∥BC，所以．因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，所以MN∥PA．所以．所以，即．因为，所以．所以，所以MN∥PA．又MN⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，所以PA∥平面MQB．点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定，属于中档题．22．（12分）已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用点在圆上，圆心在直线上，列出方程组，解得D，E，F，即可求得圆C方程．（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），利用直线与圆的方程联立方程组，利用韦达定理，推出x1x2，y1y2，利用垂直关系得到，求得b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．说明存在这样的直线l有两条，即可．解答：解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则解得D=﹣6，E=4，F=4∴圆C方程为x2+y2﹣6x+4y+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），则由得2x2+2（b﹣1）x+b2+4b+4=0（*）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=，∵AB为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，∴得x1x2+y1y2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴，即b2+4b+4+b（1﹣b）+b2=0，b2+5b+4=0，∴b=﹣1或b=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）容易验证b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x﹣1或y=x﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

河南省南阳市高二数学上学期期末考试试题理(扫描版)新人教A版

河南省南阳市2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题理（扫描版）新人教A版2013年秋期高中二年级期末质量评估数学试题（理）答案（2）当2->a 时，不等式可化为0))(1(2>--+a x x x ，即0))(1)(2(>--+a x x x ，当12<<-a 时，解集为);,1(),2(+∞- a 当1=a 时，解集为);,1()1,2(+∞-当1>a 时，解集为).,()1,2(+∞-a ----------------10分由题得，FB AF 2= ∴-y 1=2y 2∴m y y y 8221=-=+，① 1622221-=-=y y y ，②将①代入②得，166422-=⋅-m ，∴221±=m∴直线AB 的方程为2422-=x y 或者2422+-=x y ---12分法（二）如图，依题设BF a =，则2,','2AF a BB a AA a ===Rt △ABC 中||||3||AC a AB a BC ===tan CAB ∠=，又CAB AFx ∠=∠，故直线AB 斜率k =，根据对称性易知k =-也合题意，故所求直线方程为2422-=x y 或者2422+-=x y .------------12分19. 解：（1）3cos 4B =得sin B =由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C = 于是11cot cot tan tan A C A C+=+ cos cos sin sin A C A C =+sin cos cos sin sin sin C A C A A C+= ()2sin sin A C B+=2sin sin B B =1sin B ==． ----------------------------------------------6分（2）由32BA BC =得3cos 2ca B =，由3cos 4B =可得2ca =，即22b =，由余弦定理2222cos b a c ac B=+-得2222cos 5a cb ac B +=+=，∴()2222549a c a c ac +=++=+=，3a c ∴+=．-------------------------------------12分法二：由①知132n n n S -=-，*n ∈N ，.2132122321221111-=-+-=--+=----n n n n n n n S T ---------12分20. 解：（1）依题意，113nn n n n S S a S ++-==+，即123nn n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-．------------------------------4分因此，所求通项公式为113(23)22n n n n n b S --=-=-=-，*n ∈N ．①--------------------6分（2）由①知132nn n S -=-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123232n n n n ---=--+⨯12232n n --=⨯-，⎩⎨⎧≥=-⨯=∴--21,232,221n n a n n n ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯==+=--2,321,25212n n a c n n n n)333(2251131221---+++⨯+=+++=∴n n n c c c T 533123.2132n n -=+⨯=---------------------------------12分 21.（1）证明因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a ，在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2知PA ⊥AB.同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD.------------4分（2）以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A - ).31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D所以 ).0,21,23(),31,32,0(a a AC a a AE == ).0,,0(a = 设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别为平面EAC 与DAC 的法向量，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0212303132111111ay ax n az ay n ，令11=y ，得)2,1,33(1--=n ，又由（1）知，)1,0,0(2=n2313162-=⋅-==∴，由题，23cos =-=θ，∴,6πθ=即以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小为6π.----8分（3）由（2）).,21,23(),,0,0(a a a PC a AP -==).,21,23(a a a BP -=设点F 是棱PC 上的点，,10),,21,23(<<-==λλλλλ其中a a a PC PF 则),21,23(),21,23(λλλa a a a a a PF BP BF -+-=+=)).1(),1(21),1(23(λλλ-+-=a a a 令01=⋅n 得， 0)1(2)1(21)1(21=--++--λλλa a a ，21=∴λ 即F 是PC 的中点，又 BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC. ----------------------------------------------------12分22. 解：（1）由题36=a c ，又222c b a += ，∴3122=ab ，∴.33=a b------------------------------------------3分（2）设椭圆C ：12222=+by a x ，)0,(c F ，),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x D ，则1221221=+by a x ① 1222222=+b y a x ② ①②，整理得，02022122122121)()(y a x b y y a x x b x x y y k AB-=++-=--=，又由（1）知，3122=a b ，0002023y x y a x b k AB -=-=∴，又AB 与1-=x y 垂直，130-=-=∴y x k AB 注意到AB 中点),(00y x D 在1-=x y 上，∴100-=x y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==212300y x ，∴AB 方程为：)23(21--=-x y ，即02=-+y x ，∴它与x 轴的交点F 为)0,2(，即.2=c 又36=a c ，2,622==∴b a ， ∴椭圆C 的方程为： 12622=+y x .------------------------7分（3）由条件知直线l 的斜率存在，设直线l 为：2+=kx y ，代入12622=+y x ，整理得，0612)31(22=+++kx x k ，设),(),,(4433y x N y x M ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+⋅⋅-=∆+=+-=+0)31(64)12(316311222243243k k k x x k k x x ， ()]4)[1(432432x x x x k MN -++=∴]31643112)[1(2222k k k k +⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=2222)31(2472)1(k k k +-⋅+= ()()222223124721122121kk k k MN d S MNO+-⋅+⋅+⋅=⋅⋅=∴∆22311362k k +-⋅= 令132-=k t （由0>∆知0>t ），得。

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2014年秋期期终质量评估高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.不等式2x-1≤1x+1的解集为 A. (-∞⎤⎦,2 B. ()(,11,2-∞--⎤⎦ C. 1,2-⎡⎤⎣⎦ D.(1,2-⎤⎦ 2.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若b 2ccosA,c 2bcosA ==,则△ABC 的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.已知圆C 1：()2244x y ++=，圆C 2：()2241x y -+=,若动圆C 与圆C 1相外切且与圆C 2相内切，则圆心C 的轨迹是A ．椭圆B ．椭圆在y 轴上及其右侧部分C ．双曲线D ．双曲线右支4.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B 两点,从A,B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B 两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为B.(30+15错误！未找到引用源。

)mC.(15+30错误！未找到引用源。

)mD.(15+15错误！未找到引用源。

)m5.已知等比数列{a n }的公比为q,前n 项和为S n ,且396S ,S ,S 成等差数列,则3q 等于 A.-1或错误！未找到引用源。

B.1或-错误！未找到引用源。

C.1D.-错误！未找到引用源。

6.已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积是B.2C. 4D. 87.双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦距，一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C 的标准方程为A ．2214x y -=B ．22221144x x y y -=-=或 C ．22221144y x x y -=-=或 D ．2214x y -= 8.下面命题中，正确命题的个数为①命题：“若2230x x --=,则3x =”的逆否命题为:“若3x ≠,则2230x x --≠”; ②命题：,2lg x R x x ∈->“存在使”的否定是,2lg x R x x ∈-≤“任意”; ③“点M 在曲线24y x =上”是“点M的坐标满足方程y =-”的必要不充分条件; ④设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的充要条件;A.1个B.2个C.3个D.4个9.若,x y 满足条件3560231500x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,当且仅当3x y ==时,z ax y =-取最小值,则实数a 的取值范围是A ．32,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．23,34⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．23,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,45⎛⎫ ⎪⎝⎭10.已知直二面角l αβ--,A ,AC C l α∈⊥点于，B ,BD D l β∈⊥于.若2AB ＝，1AC ＝BD ＝，则D 到平面ABC 的距离等于D.111.若数列{a n }满足111(n N*,d )n nd a a +-=∈为常数,则称数列{a n }为“调和数列”.已知正项数列错误！未找到引用源。

为“调和数列”,且b 1+b 2+…+b 9=90,则b 4²b 6的最大值是 A.10B.100C.200D.40012.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,.AF BF 若410,8,cos ,5AB BF ABF ==∠=则C 的离心率为 A.35 B.57C.45D.67 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，那么10a 的值是___________ ．14.已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点()5,0A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为 .15.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则直线B 1N 与平面BDM 所成角的正弦值为_______．16.已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本题满分10分)已知命题p:“1≤x ≤5是x 2-(a+1)x+a ≤0的充分不必要条件”，命题q:“满足AC=6，BC=a,∠CAB=30°的∆ABC 有两个”.若“⌝p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围.18(本题满分12分)已知△ABC 的角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且acosB c.=. (1)求角A 的大小.(2)若a=1,3AB AC ∙=,求b+c 的值.19. (本题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是菱形且∠ADC=60°，M 为PB 的中点.(1)求PA 与底面ABCD 所成角的大小. (2)求证：PA ⊥平面CDM. (3)求二面角D-MC-B 的余弦值.20. (本题满分12分)如图,已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过F 的直线l 与抛物线C 交于A(x 1,y 1)(y 1>0),B(x 2,y 2)两点,T 为抛物线的准线与x 轴的交点. (1)若TA TB 1∙=,求直线l 的斜率. (2)求∠ATF 的最大值.21. (本题满分12分)已知等比数列{a n }的首项为1,公比q ≠1,S n 为其前n 项和,a 1,a 2,a 3分别为某等差数列的第一、第二、第四项. (1)求a n 和S n .(2)设n 21b log a n +=,数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ,求证:3Tn 4<22.(本题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点,M N 是直线l 上的两点，12F F 、是椭圆的左右焦点，且12,F M l F N l ⊥⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值。

2014年秋期期终质量评估高二理科数学参考答案一．选择题 DCDAD ABDCC BB二．填空题 13. 90 14. 错误！未找到引用源。

三．解答题17.解：命题p:{}{}x 1x 5x 1x a ,5a ≤≤⊂≤≤>即. ……………3分命题q:6sin306,36a a <<<<即 ……………6分因为⌝p ∧q 是真命题，所以p 假，q 真. ……………8分所以实数a 的取值范围是{}{}(]a 5a 3a<63,5a ≤<=.……10分18.解：(1)由题意得()sinAcosB sin A B ,=+可得错误！未找到引用源。

sinBsinA=cosAsinB,所以tanA=错误！未找到引用源。

,即A=错误！未找到引用源。

. ……………6分(2)由AB AC 3∙=,得cbcos 错误！未找到引用源。

=3, 即cb= 又a=1,从而1=b 2+c 2-2bccos 错误！未找到引用源。

,②由①②可得(b+c)2=错误！未找到引用源。

,所以b+c=2+……………12分19.解：(1)取DC 的中点O ，由△PDC 是正三角形，有PO ⊥DC. 又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O. 连接OA,则OA 是PA 在底面上的射影, ∴∠PAO 就是PA 与底面ABCD 所成的角.∵∠ADC=60°,由已知△PCD 和△ACD 是全等的正三角形，从而求得OA=OP= ∴∠PAO=45°,∴PA 与底面ABCD 所成角的大小为45°. ……………4分(2)由底面ABCD 为菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,得OA ⊥DC.建立空间直角坐标系如图，则由M 为PB 中点,∴∴DM )，PA 0，DC =(0,2,0),∴3DM PA 20(0,=⨯⨯+=DC PA 0200(0,=⨯⨯+⨯=∴PA ⊥DM,PA ⊥DC.又DM ∩DC=D,∴P A ⊥平面CDM. ……………8分(3)CM )，CB ，1，0). 设平面BMC 的法向量n =(x,y,z), 则n ²CM =0，从而x+z=0;①n ²CB =0,x+y=0,②由①②，取x=-1，则y=∴可取n由(2)知平面CDM 的法向量可取PA∴PA cos ,PA 55PA===-〈〉n n n∴所求二面角的余弦值为. ……………12分 20.解：(1)因为抛物线y 2=4x 焦点为F(1,0),T(-1,0).当l x ⊥轴时,A(1,2),B(1,-2),此时TA TB 0∙=错误！未找到引用源。

,与错误！未找到引用源。

矛盾…2分所以设直线l 的方程为y=k(x-1),代入y 2=4x,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,则21212224,1k x x x x k++==,① 所以2212121616y y x x ==,所以y 1y 2=-4, ② 因为错误！未找到引用源。

,所以(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=1,将①②代入并整理得,k 2=4,所以k=±2.……………6分(2)因为y 1>0, 所以,11211111tan ATF 111144y y y y x y ∠===≤+++当且仅当1114y y =,即y 1=2时,取等号, 所以∠ATF ≤错误！未找到引用源。

,所以∠ATF 的最大值为错误！未找到引用源。

.……………12分21.解：(1)因为a 1,a 2,a 3为某等差数列的第一、第二、第四项, 所以a 3-a 2=2(a 2-a 1),所以a 1q 2-a 1q=2(a 1q-a 1),因为a 1=1,所以q 2-3q+2=0, 因为q ≠1,所以q=2,所以a n =a 1q n-1=2n-1,()111221112n n n n a q S q--===--- ……………6分 (2)由(1)知a n+1=2n,所以b n =log 2a n+1=log 22n=n. 所以()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.[]1111111112132435461111112112n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭。