添平行线、利用相似三角形证明[1]

平行线分线段成比例(添辅助线)
一、知识要点：
1、平行线分线段成比例的基本图形；
2、构造基本图形来解题。

二、例题简析及练习：
例1、已知FD 与△ABC 的边AB 交于F ，与AC 交于E ，与BC 的延长线交于D ，且
AF=CD ，求证：BC AB
EF DE =
练习1、已知如图BD=21
CD ，求证：AC AF BE EF 2=
例2、△ABC 中AF ∶FC=1∶2，G 是BF 的中点，AG 的延长线交BC 于E ，求BE:EC
练习2、△ABC 中D 是BC 上的一点，AE ∶EC=3∶4，BD ∶DC=2∶3，求BF ∶FE
例3、□ABCD 中，E 是AB 的中点，AF=21
FD ，连接FE 交AC 于G ，求AG ∶AC
练习3、已知，如图，△ABC 中，E 、F 分别为BC 的三等分点，D 为AC 的中点，
BD 分别与AE 、AF 交于点M 、N ，求BM:MN:ND A B C D E F
C A B C G
E F A B C D
E F A B C
D E F
G N M
F
E
D C
B
A
三、巩固练习：
1、△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，AP=PD 。

求证：1）PB=3PF ；2）如果AC=13，求
AF 的长。

2、如图，D 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3 连DF 交BC 的延长线于E.求EF∶FD.
3、已知OM ∶MP=ON ∶NR ，求证：△PQR 为等腰三角形。

4、直线截△ABC 的边AB 、BC 、AC 或其延长线于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅FA
CF
EC BE DB AD
5、在△ABC 中AC=BC ，F 为底边AB 上的一点，n
m
AF BF =，（n m ,为正数）。

取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于E 。

1）求
EC
BE
的值；2）如果BE=2EC ，那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系？证明你的结论。

3）E 点能否为BC 的中
点？如果能，求出相应n
m
的值，如果不能，说明理由。

A C D F
P A
B
C
D
E
F
O P R
Q
M N
利用相似三角形的证明
1、已知菱形ABCD 中，F 是BD 上的一点，AF 的延长线交BC 于E ，交DC 的延长线于G ，
求证：FG FE CF ⋅=2
练习、如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为BC 上一点, E 、F 分别在AB 、AC 上，∠BDE ＝∠CFD.试说明 : BD·DC = BE·CF
练习、等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，过点D 作AC 的平行线交BA 延长线于E ，求证：BD EA DC DE ⋅=⋅
2、已知如图，∠A=90°，D 是AB 上任意一点，BE ⊥BC ，∠BCE=∠DCA ，EF ⊥AB ， 求证：AD=BF
3、已知等腰直角△ABC 中，AC AE AB BD 3
1
,31==，求证：∠ADE=∠EBC 。

练习、已知等腰直角△ABC 中，AM ∶MN ∶NC =3∶1∶2，求证：∠CBN=∠ABM
4、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在CB 和CB 的延长线上，
∠BAE ＝∠ADB ．求证：AB 2＝CD ·BE ．
E
F
D
C B
A G B
F
E D
C
A
E D
C A
B
A C
E
E
D C
B
A N
M C B
A
练习、已知：如图4-38，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，AE 是△ABC 的外角平分线，BF 是∠ABC 的平分线，BF 的延长线交AE 于E ．求证：(1)AF ＝BF ＝BC ；(2)EF ∶BF ＝BC ∶FC ．
5、已知如图，△ABC 中AD 是∠A 的平分线，E 是AB 的中点，EF ⊥AD 交BC 延长线于F ，
求证：BF CF DF ⋅=2
练习、△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上的一点，过点C 作CF ∥AB ，延长BP
交AC 于E ，交CF 于F ，求证：PF PE BP ⋅=2
6、已知如图，△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，求证：CD AC BC ⋅=22
练习3、已知：在△ABC
中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 上的中点，过点D 作BC 的垂线DF ，交BA 的延长线于点F ，交AC 于点E ．求证：BC 2＝4DE ·DF ．
巩固练习
1、如图△ABC 是等边三角形，∠DAE =120°，D 、B 、C 、E 共线，则图中有相似三角形的个数至少为（ ） (A)一对 (B)二对 (C)三对 (D)四对
2、已知：如图，D AB CD C ABC 于，⊥=∠∆,90
，延长CB 到E ，使CB BE =。

求证：∠=∠BAE BED 。

D
C
B
A
F
E
P
D C B
A
F E
D B A
D A
B C
E
F
3、如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，DE 为AC 的中线，延长线交AB 的延长于F ，求证：AB ·AF=AC ·DF 。

4、已知：如图，D 、E 是△ABC 的边BC 上两点，且∠BAD =∠C ，∠DAE =∠EAC ，求证：BD :BA =DE :EC
5、已知：如图，在△ABC 中EF 是BC 的垂直平分线，AF 、BE 交于一点D ，AB =AF 。

求证：AD =DF 。

6、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

求证：EB ·DF =AE ·DB
7、 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，连接并延长DE 交BC 的延长线于点
F ，连接DC 、BE ，若∠BDE ＋∠BCE ＝180°。

⑴写出图中3对相似三角形（注意：不
得添加字母和线）⑵请在你所找出的相似三角形中选取1对，说明它们相似的理由。

8 、如图，在△ABC 中，DF 经过△ABC 的重心G ，且DF ∥AB ，DE ∥AC ，连接EF ，如果BC=5，AC=2AB.求证:△DEF ∽△ABC
F
E D
B
A。