18、高二立体几何(下)(直线与平面所成的角)
“立体几何”大题的常考题型探究(课件)2023年高考数学二轮复习(全国通用)
因为 ，所以 ．由已知得 ，故 ．又 ，所以 ．因为 , , , , ，所以 ．
提分秘籍 体积问题考查的本质就是点面距离，解题关键是抓住以下几种方法：
（1）等体积法（仅限三棱锥）转换顶点;
（2）顶点不变，延展或缩小底面，如四棱锥的高即同顶点的三棱锥的高，点 到平面 的距离可看作点 到平面 的距离;
设 ，则 , , .设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ，∴平面 的一个法向量为 ， .∵直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，∴直线 与平面 所成角的正弦值等于, ，当且仅当 时取等号.
∴直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .（法二：定义法）如图2， 平面 ， ， 平面 .
大题攻略03 平面与平面所成的角
例3 (2021年全国甲卷)已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和 的中点， 为棱 上的点， .
（1）证明： .（2）当 为何值时，平面 与平面 所成的二面角的正弦值最小?
▶审题微“点”
切入点
（1）常规方法是几何法，不过用几何法较为复杂，根据题目条件建系是最优解法；（2）建系是常规方法，也是最优法
▶审题微“点”
切入点
（1）关键是在平面 内找一条直线与 平行,根据线面平行的判定定理即可证明；（2）将包装盒分割成几个规则的锥体和柱体求解
障碍点
（1）在平面 内找直线与 平行；（2）将不规则的几何体分割或补形成几个规则的几何体
隐蔽点
（1）平面 内与 平行的直线；（2）包装盒的高
[解析] （1）如图1所示，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，因为 ， 为全等的正三角形，所以 ， ， .
专题5：向量法做立体几何的线面角问题(解析版)
专题5：理科高考中的线面角问题（解析版）求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a u ϕθ⋅== 1．如图,在三棱锥A BCD -中,ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,点P 是AC 的中点,连接,BP DP ．（1）证明:平面ACD ⊥平面BDP ;（2）若6BD =,且二面角A BD C --为120︒,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）22 【分析】（1）由ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,得AD CD =．再证明PD AC ⊥,PB AC ⊥,从而和证明AC ⊥平面PBD ,故平面ACD ⊥平面BDP 得证． （2）作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．由Rt Rt ABD CBD ⊆,证得,AE BD ⊥,AE CE =结合二面角A BD C --为120︒,可得2AB =,23AE =,6ED =.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则60,,03D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3,0,13A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,向量36,,133AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,即平面BCD 的一个法向量(0,0,1)m =,运用公式cos ,m ADm AD m AD ⋅〈〉=和sin cos ,m AD θ=〈〉,即可得出直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【详解】解:（1）证明:因为ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,所以Rt Rt ABD CBD ≅,可得AD CD =．因为点P 是AC 的中点,则PD AC ⊥,PB AC ⊥,因为PD PB P =,PD ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,所以AC ⊥平面PBD ,因为AC ⊂平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDP ．（2）如图,作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．因为Rt Rt ABD CBD ⊆,所以,AE BD ⊥,AE CE =AEC ∠为二面角A-BD-C 的平面角．由已知二面角A BD C --为120︒,知120AEC ∠=︒．在等腰三角形AEC 中,由余弦定理可得3AC =．因为ABC 是等边三角形,则AC AB =,所以3AB =．在Rt △ABD 中,有1122AE BD AB AD ⋅=⋅,得3BD =, 因为6BD =所以2AD =． 又222BD AB AD =+,所以2AB =． 则23AE =,6ED =． 以E 为坐标原点,以向量,EC ED 的方向分别为x 轴,y 轴的正方向,以过点E 垂直于平面BCD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -, 则6D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,向量361AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m =,设直线AD 与平面BCD 所成的角为θ,则2cos ,221m ADm AD m AD ⋅〈〉===-⨯,2sin |cos ,|2m AD θ=〈〉= 所以直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为22． 【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.2．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求AM 与平面A 1MD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）105 【分析】要证线面平行，先证线线平行建系，利用法向量求解。
高中数学_3.2.3 直线与平面的夹角教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计（一）新知导学问题1:异面直线所成角的定义是什么?问题2:当直线与平面相交时,它们可能垂直,也可能不垂直。
如果一条直线和一个平面相交但不垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.那么过一点作一个平面的斜线有多少条?问题3:过斜线上斜足外一点向平面引垂线,连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影,那么一条斜线在一个平面内的射影有几条?问题4:平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度,我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度,并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定,那么角的顶点宜选在何处?问题5: OA为平面α的一条斜线, O为斜足, OM为平面α内的任意一条直线,能否用∠AOM 的大小来反映斜线OA与平面α的相对倾斜度?为什么?能不能找到更合适的位置呢?请做出来?说说它的优点。
探究最小角定理的证明过程。
引出斜线与平面所成角的定义。
问题6:我们把斜线和它在平面内的射影所成的角,叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。
特别地,如果一条直线与一个平面垂直,规定这条直线与平面的夹角为90度;如果一条直线与一个平面平行或在平面内时,规定这条直线与平面的夹角为0度。
这样,任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映,那么直线与平面所成的角的取值范围是什么?问题7:在实际应用或解题中,怎样去求这个角呢?类比异面直线求角步骤,请设想一个求线面角的步骤?并思考哪一步最关键呢?设计意图：异面直线所成的角是划归为相交直线夹角求解的，而直线与平面所成的角及后面将学习的二面角都是空间角，划归为平面角。
最终划归为相交直线夹角求解的。
通过复习，让学生产生对比联系，为后续学习作好铺垫。
当直线与平面相交而不垂直时指把这条直线称为这平面的斜线，从而提出第二个要复习的问题，设计的要复习问题的逻辑性，学生思考的层次一步步引导（二）新知探究：探究1．概念形成（1）斜线与平面所成的角及范围（2）直线与平面所成的角及范围教师结合课件，为学生展示直线与平面所成角即线面角是由线线角来定义的。
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.（本题满分10分）把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？【答案】１６０００【解析】设长方体高为xcm，则底面边长为（60－2x）cm．（0<x<30）…1分长方体容积（单位：），…3分…5分令解得x＝10，x＝30（不合题意合去）于是…7分在x＝10时，V取得最大值为…10分2.已知三棱锥满足，则点在平面上的射影是三角形的心．【答案】外【解析】，设点在平面上的射影是．则，所以是外心．【考点】射影定理3.（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等．铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2．（单位：mm，加工中不计损失）．（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）观察铆钉的面积，钉身为圆柱形的侧面积，加半球的底面积加半球面的面积；（2）将钉身圆柱捶打成钢板厚的圆柱加一个半球形的帽，所以利用等体积建立方程，求的钉身的长度．试题解析：解：设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：圆柱的高圆柱的侧面积半球的表面积所以铆钉的表面积（）（2）设钉身长度为，则由于,所以，解得答：钉身的表面积为，钉身的长度约为．【考点】1．组合体的表面积；2．组合体的体积；3．等体积．4.已知某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3【答案】【解析】由三视图可知原几何体如图所示：故几何体的体积，答案选B．【考点】空间几何体的三视图与体积5.直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系．设,计算与的数量积即可得到（2）同理可计算，利用向量的夹角的余弦公式可得向量与的余弦值，亦即异面直线与所成角的余弦值试题解析：由题知平面，，以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系．设，，，，，，，，，，，所以；（2），设异面直线与所成角为，则有【考点】向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角．6.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】A如果三点在一条直线上，则不能确定一个平面；B四边形可以为空间中的三棱锥；C梯形两平行边确定一个平面；D平面和平面相交所有的点都在交线上，所以三个点一点在同一条直线上，故选择C【考点】空间点、线、面7.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为1的圆锥的半个圆锥，故该几何体的体积为，故选D．【考点】空间几何体的三视图．8.在长方体中，，，，则与所成角的余弦值为．【答案】【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则，，则与所成角的余弦值为【考点】空间向量求异面直线所成角9.正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为，则三棱锥Ｏ－ＡＢ1Ｄ1的体积为_____________.【答案】【解析】【考点】棱锥体积10.设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（）．A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【解析】一条直线垂直于两个互相垂直的平面的交线，则这条直线与这两个平面中的某一平面可能垂直也可能不垂直，所以选项A错误；同理，可说明B、C不正确；若，，，则∥，,所以。
高二数学选修课件：3-2-3直线与平面的夹角
a
2
a ＋22＝
5 2 a.
第三章
空间向量与立体几何
[例 2]
已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 4，
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点 E、F、G、H 分别在棱 CC1、DD1、BB1、BC 上，且 1 1 1 CE＝2CC1，DF＝BG＝4DD1，BH＝2BC.求 AH 与平面 AFEG 的夹角．
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第三章
空ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ向量与立体几何
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第三章
空间向量与立体几何
1．如图：
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cosθ＝________. 2．最小角定理 斜线和________所成的角，是斜线和这个平面内所有 直线所成角中的最小角．
第三章
空间向量与立体几何
3．直线与平面的夹角
(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的 夹角为________． (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直 线与平面的夹角为________．
[说明]
10 解 答 本 题 易 出 现 由 sinθ ＝ 得 θ＝ 10
10 10 arcsin 10 或 θ＝π－arcsin 10 的错误， 导致此种错误的原 因是忽视了斜线与平面夹角的范围．
第三章
空间向量与立体几何
在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面 ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点． (1)求证：CM⊥EM. (2)求CM与平面CDE所成的角．
第三章
空间向量与立体几何
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第三章
空间向量与立体几何
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第35讲 立体几何中的夹角问题(学生版)
第35讲 立体几何中的夹角问题[玩前必备]1．两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则2.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |.3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．[玩转典例]题型一 求异面直线所成的角 例1 (2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．[玩转跟踪]1.(2014·课标全国Ⅱ)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.222.(2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点． (1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．题型二 求直线与平面所成的角例2 (2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．[玩转跟踪]1.(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M－P A－C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值．题型三求二面角例3(2020·济南模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O.如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.(1)证明：OD⊥平面P AQ；(2)若BE＝2AE，求二面角C—BQ—A的余弦值．[玩转跟踪]1.(2018·全国Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．2.(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值．题型四空间角的探索性问题例4 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AB BC AA ===，2ABC π∠=，D 是BC 的中点．（1）求证：1//A B 平面1ADC ； （2）求二面角1C AD C --的余弦值；（3）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成3π角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．[玩转跟踪]1.如图所示，等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且满足AD DB ＝CE EA ＝12.将△ADE沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1 DE B 为直二面角，连接A 1B ，A 1C .(1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．[玩转练习]1．(2020·皖江八校联考)如图，在几何体ABC －A 1B 1C 1中，平面A 1ACC 1⊥底面ABC ，四边形A 1ACC 1是正方形，B 1C 1∥BC ，Q 是A 1B 的中点，且AC ＝BC ＝2B 1C 1，∠ACB ＝2π3.(1)证明：B 1Q ⊥A 1C ；(2)求直线AC 与平面A 1BB 1所成角的正弦值．2．(2020·赣州模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠CDA ＝90°，CD ＝2AB ＝2，AD ＝3，P A ＝5，PD ＝22，点E 在棱AD 上且AE ＝1，点F 为棱PD 的中点．(1)证明：平面BEF ⊥平面PEC ； (2)求二面角A －BF －C 的余弦值．3.(2020·合肥一检)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF ＝DE ，M 为棱AE 的中点．(1)求证：平面BDM ∥平面EFC ；(2)若DE ＝2AB ，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值．4.如图所示，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点，求证：平面P AD ⊥平面CGF ； (2)若BC ＝2，P A ＝3，求二面角B CP D 的余弦值．5.（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且．（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值; （Ⅲ）设点G 在PB 上，且.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由.P ABCD -PA ABCD ⊥平面AD CD ⊥ADBC 23PA AD CD BC ====，13PF PC =CD PAD ⊥平面F AE P --23PG PB =6.(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角BCGA的大小．=．ABC 7.（2020•全国1卷）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=．（1）证明：PA⊥平面PBC；--的余弦值．（2）求二面角B PC E8.（2020•全国2卷）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.9.（2020•新全国1山东）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．10.（2020•天津卷）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．11.（2020•浙江卷）如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．。
直线与平面所成角 (一)
SSBC
7. 2
2
1
∠C 2
B
又…CD//平面SAB，所以点C到平面SAB的距离为SD=1
易算得所：以根S据SAVB ASBC
3.
VC
SAB
设AB与平面SBC所成角为ɑ，则
1 3
sin
7d 2
d
1 3
3 1 d 2 21 .
21 .
7
AB 7
所以，AB与平面SBC所成角的正弦值为 21 .
7
向量法求线面角
n
n
a
Ba
AC
cos a, n a n | a || n |
锐角
钝角
a, n 0r a, n
2
2
sin | cos a, n | | a n |
| a || n |
解：如图所示，以C为原点，射线CD为 x轴，射
线CB为 y 轴建立空间直角坐标系C- xyz 。S SAB为等边三角形 z
y, z)
A
2)2 z2
BS
(1,
x 1, y
3,
1, 2
3 ),
2
z
CB
3 2
2
yB
.S(1, 1 , 2
(0, 2, 0).
3 2
)
n
BS
0
x
3 2
y
3
22
2 z 0 z2 n (
3, 0, 2).
n CB 0 2 y 0
AB (2, 0, 0)
cos AB, n AB n | AB | | n |
B
D
A
1cm,N 到平面β的距离是4cm，则直线MN与
《直线与平面的夹角》 知识清单
《直线与平面的夹角》知识清单一、直线与平面夹角的定义直线与平面的夹角，简单来说，就是直线和它在平面内的射影所成的角。
我们想象一下，一条直线斜着穿过一个平面，那么这条直线和它在平面上留下的影子所形成的那个锐角（或者直角），就是我们所说的直线与平面的夹角。
这个夹角的范围是在0 度到90 度之间。
当直线和平面垂直的时候，夹角就是 90 度；当直线和平面平行的时候，夹角就是 0 度。
二、直线与平面夹角的求法1、几何法（1）找到直线在平面内的射影。
这通常需要通过一些几何图形的性质，比如垂线的性质来确定。
（2）计算出直线和射影所成的角。
可以利用三角函数，比如正切函数来计算这个角的大小。
2、向量法（1）先求出平面的法向量。
法向量是垂直于平面的向量，可以通过平面上两个不共线向量的叉乘来得到。
（2）再求出直线的方向向量。
（3）利用向量的点积公式，计算出直线的方向向量和平面法向量的夹角的余弦值。
（4）根据直线与平面夹角和直线的方向向量与平面法向量夹角的关系，求出直线与平面的夹角。
三、直线与平面夹角的性质1、唯一性直线与平面的夹角是唯一确定的。
无论我们用什么方法去求，得到的结果都是一样的。
2、最小性直线与平面所成的角是这条直线和平面内经过斜足的直线所成角中最小的角。
四、常见题型及解法1、给出直线和平面的几何图形，求夹角这种情况下，我们要善于利用图形中的垂直关系，找到直线在平面内的射影，然后通过解三角形来求出夹角。
2、已知直线和平面的方程，用向量法求夹角先根据方程求出直线的方向向量和平面的法向量，然后按照向量法的步骤进行计算。
五、易错点1、混淆直线与平面夹角和直线与平面内某条直线的夹角要清楚直线与平面夹角是直线和它在平面内的射影所成的角，不是和平面内任意一条直线所成的角。
2、计算错误在使用三角函数或者向量运算时，要注意计算的准确性，特别是一些符号和公式的运用。
3、忽略夹角的范围夹角的范围是 0 度到 90 度，结果超出这个范围就是错误的。
高二数学立体几何综合试题答案及解析
高二数学立体几何综合试题答案及解析1.以正方体的任意4个顶点为顶点的几何形体有①空间四边形；②每个面都是等边三角形的四面体；③最多三个面是直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.【答案】①②④【解析】①只要不在同一平面上的四个点连结而成的四边形都是空间四边形. ②从一个顶点出发与它的三个对角面的顶点连结所成的四棱锥符合条件.最多有四个直角四面体.由一个顶点和又该点出发的两条棱的端点及一个对角面的定点四点即可.所以③不成立. ④显然成立.故选①②④.【考点】1.空间图形的判断.2.空间中线面间的关系.2.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是（）A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆【答案】B【解析】选项.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形，正确；选项.斜二测画法的规则中，已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半．平行于轴的线段的平行性和长度都不变．故几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例不相同；选项.水平放置的矩形的直观图是平行四边形，正确；选项.水平放置的圆的直观图是椭圆，正确．故选【考点】斜二测画法画直观图.3.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】（1）设线段的中点为，易得四边形为平行四边形，得，又，,，所以平面平面；（2）因为平面，所以是三棱柱的高，所以三棱柱的体积，通过计算即可得出三棱柱的体积.试题解析：(1) 设线段的中点为.和是棱柱的对应棱同理，和是棱柱的对应棱且且四边形为平行四边形,,平面平面(2)平面是三棱柱的高在正方形中,.在中，，三棱柱的体积.所以，三棱柱的体积.【考点】1.面面平行的判定定理；2.棱柱的体积.4.如图所示，三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点．(1)求证：B1C∥平面AC1M；(2)求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B.【答案】 (1)由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.连结A1C，设A1C∩AC1＝O，连结MO，由题意可知，得到MO∥B1C，进一步得到B1C∥平面AC1M.(2)利用已知得到C1M⊥A1B1，根据平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，得到C1M⊥平面AA1B1B，达到证明目的：平面AC1M⊥平面AA1B1B.【解析】思路分析：首先，由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形。
高二数学立体几何综合试题
高二数学立体几何综合试题1.以正方体的任意4个顶点为顶点的几何形体有①空间四边形；②每个面都是等边三角形的四面体；③最多三个面是直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.【答案】①②④【解析】①只要不在同一平面上的四个点连结而成的四边形都是空间四边形. ②从一个顶点出发与它的三个对角面的顶点连结所成的四棱锥符合条件.最多有四个直角四面体.由一个顶点和又该点出发的两条棱的端点及一个对角面的定点四点即可.所以③不成立. ④显然成立.故选①②④.【考点】1.空间图形的判断.2.空间中线面间的关系.2.用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B． 2C．4D．【答案】D【解析】用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图与轴平行的长度不变其长度为2，与轴平行的一边长度变为原来其长度为1，相邻两边所成角是45°，所以其面积为.故选D【考点】斜二测画法3.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】（1）设线段的中点为，易得四边形为平行四边形，得，又，,，所以平面平面；（2）因为平面，所以是三棱柱的高，所以三棱柱的体积，通过计算即可得出三棱柱的体积.试题解析：(1) 设线段的中点为.和是棱柱的对应棱同理，和是棱柱的对应棱且且四边形为平行四边形,,平面平面(2)平面是三棱柱的高在正方形中,.在中，，三棱柱的体积.所以，三棱柱的体积.【考点】1.面面平行的判定定理；2.棱柱的体积.4.已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面为正三角形，，．如图所示．(1) 证明：平面；(2) 求四棱锥的体积．【答案】(1) 证明如下 (2)【解析】证明(1) 直角梯形的，，又，，∴．∴在△和△中，有，．∴且．∴．(2)设顶点到底面的距离为．结合几何体，可知．又，，于是，，解得．所以．【考点】直线与平面垂直的判定定理；锥体的体积公式点评：在立体几何中，常考的定理是：直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理。
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§9．7 直线和平面所成的角与二面角（3）
一、选择题：
1．下列命题正确的是（）
A 过平面外一点作这个平面的垂直平面是唯一的
B 过直线外一点作这直线的垂线是唯一的
C 过平面的一条斜线作这平面的垂直平面是唯一的
D 过直线外一点作这直线的平行平面是唯一的
2．若平面α、β互相垂直，则（）
A α中的任意一条直线垂直于β
B α中有且只有一条直线垂直于β
C 平行于α的直线垂直于β
D α内垂直于交线的直线必垂直于β
3．已知P是正方形EFGH所在平面外一点，且PE⊥面EFGH，则面PEF （）
A与面PFG、面PEH都垂直
B与面PFG、面PEH都相交，但不垂直
C与面PFG垂直，与面PEH相交但不垂直
D与面PEH垂直，与面PFG相交但不垂直
4．如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈β，B∈α，A β
且AB 与l 所成的角为，A 、B 到l 的距离分别为1、， 则线段AB 的长是 （ ） A 4 B
332 C 3
3
4 D 3 5．已知AA /是两条异面直线的公垂线段，E 、F 分别是异面直线上任意两点，那么线段AA /与EF 的长度关系是 （ ） A EF<AA / B EF ≤AA / C EF ＞AA / D EF ≥ AA /
6．已知AD 是△ABC 的高，将△ABC 沿高AD 折成直二面角，那么∠BDC 等于（ ）
A 450
B 600
C 900
D 不确定 7．边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成直二面角后，AC 的长为 （ ） A a B 2
a
C 4
a D
a 2
2 8．在空间四边形ABCD 中，△ABD 、△C BD 都是边长为1的正三角形，且平面ABD ⊥平面 CBD 。
E 、F 、G 、H 为空间各边上的中点，则四边形EFGH 的面积是 （ ） A 4
1 B
621 C 46 D 8
6 9．在空间两两垂直的平面最多有 （ ）
A 两个
B 三个
C 四个
D 无数个 10．判断题：
（1）两个平面垂直，经过一个平面内的一点与交线垂直相交的直线垂直于另一个平面（ ）
（2）三个α、β、γ平面，若α⊥β,β⊥γ，那么α∥γ（ ）
（3）三个α、β、γ平面，若α∥β，γ⊥α，那么γ⊥β（ ）
(4)过平面外的一条直线只可以作一平面垂直于这个平面 （ ） 二、填空题：
11．将单位正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则 （1）AC 与面BCD 所成的角为 ； （2）二面角A-BC-D 的余弦值为 。
12．如图，矩形ABEF 和正方形ABCD 有公共边AB ，它们所在 平面成600的二面角，AB=CB=2a,BE=a,则FC= 。
13．已知直二面角α-AB-β，P 为棱AB 上一点， ∠CPB=∠DPB=450，那么∠CPD= 。
三、解答题：
14．在空间四边形PABC 中，PA=PC=AB=BC ，E 、F 、G 、H 分别 为边PA 、AB 、BC 、CP 的中点，Q 是对角线PB 的中点， 求证：平面QAC ⊥平面
EFGH
15．夹在直二面角α-MN-β两面间的一线段AB，与两面所成的角分别为300和450，过端点A、B分别作棱MN的垂线，垂足为C、D，若AB=5cm，求CD的长。
16．如图，设S 是△ABC 所在平面外一点，SA=SB=SC ， ∠ASB=∠ASC=600，∠BSC=900求证：平面ABC ⊥平面BSC 。
17．AB 是圆O 的直径，SA 垂直于圆O 所在的平面α，在平面α内取一点M （A 、B 除外）；（1）若M 在圆周上，则面SAM ⊥面SMB ；（2）若面SAM ⊥面SMB ，则M 一定在圆周上。
S
A
C
M
18．如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，BD=2AD，将△ACD绕CD旋转至△A/CD，使二面角A/-CD-B为600。
求证：平面CBA/⊥平面A/CD。
C
B
A D
A/。