平面几何的立体几何类比
类比的方法解题
如何用类比的方法解题一、类比意义与含义演绎推理——一般到特殊推理归纳推理——特殊到一般推理类比推理——特殊到特殊推理所谓类比是根据两个对象之间的相似性，把信息从一个对象转移到另一个对象。
类比的实质就是信息从模型向原型的转移，其步骤可由下列框图表示：类比是一种数学思想方法，将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题作出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结论。
数学家乔治·皮利亚相关名言：——“类比是一个伟大的引路人”.—— “在你找到第一个蘑菇时,千万不要停下来,往前再走,继续观察,就会发现立体几何与平面几何的类比—— “对平面几何和立体几何作类比，是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉”。
———“如果把类比猜想的结论的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的。
但是，忽视这种似真的猜想更为愚蠢。
”名人名言（Kepler ）：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的 。
”二、平面几何与立体几何类比1、如何进行类比为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系：（但要注意的是这些类比关系又不是唯一的）2、类比构造命题（1）平面上定理——直线平行的传递性：平行于同一条直线的两直线平行。
,在空间中成立。
（2）平面上定理——等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。
在空间中成立。
（3）平面图形的研究需要建立平面直角坐标系；立体图形是建立在三维空间即空间直角坐标系上研究的。
（4）平面上有公共端点的两条射线形成的图形叫平面角；空间里一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。
而二面角的度数计算需转化为平面角来完成。
（5）平面上定理——平面中，不在同一条直线上的三点可确定一个圆，这是圆的确定性定理；在空间中，不在同一个平面上的四点可确定一个球，这是球的确定性定理。
~（6）平面上定理——平面中，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；空间中，过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
从平面到空间的类比推理
从平面到空间的类比推理波利亚曾说：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”因此，作为基础教育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理能力.类比推理是根据两个对象具有某些相同的属性，当一个对象具有某一个性质，推出另一个对象也具有类似性质的一种推理方式.例1.(1)在平面，边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值√32a ；在空间，棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和也为定值√63a . (2)在平面，设P 是∆ABC 内一点，∆ABC 三边上的高分别为h A 、h B 、h C ，P 到三边的距离依次为l a 、l b 、l c ，则有la ℎA+lb ℎB+lc ℎC=1；在空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是ℎA 、ℎB 、ℎC 、ℎD ，P 到这四个面的距离依次是l a 、l b 、l c 、l d ，则有l a ℎA+l b ℎB+l c ℎC+l dℎD=1.在平面上的结论，可用面积等积变形得到；在空间里的结论，可类比地利用体积等积变 形而得到.例2.直角四面体：过某一顶点的三个平面角都是直角的四面体称为直角四面体.平面上的直角三角形与空间的直角四面体类似，它们之间很多结论，无论是从结构还是推证方法上来看，都有密不可分的内在联系. (1)在平面，如图1.4—1，AC 2=AD×AB ；BC 2=BD×AB.(射影定理).在空间，如图1.4—2，S ΔPBC 2=S ΔOBC ⋅S ΔABC ；S ΔPAC 2=S ΔOAC ⋅S ΔABC ;S ΔPAB 2=S ΔOAB ⋅S ΔABC .(2)在平面，AB 2=AC 2+BC 2(勾股定理)；在空间：S ΔABC 2=S ΔPBC 2+S ΔPAC 2+S ΔPAB 2.并由此可以得到，若三侧面PAB ，PAC ，PBC 与底面ABC 所成角分别为α，β，γ， 则 cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1. (3)在平面，设两直角边分别为a 、b ，h 为斜边上的高，则1ℎ2=1a 2+1b 2；在空间，设三棱锥P—ABC 三条侧棱的长分别为a 、b 、c ，底面ABC 上的高为h ， 则1ℎ2=1a2+1b2+1c2.说明：其中：S ΔPBC 2=(12PD ⋅BC)2=14PD 2BC 2=14AD ⋅OD ⋅BC 2=(12BC ⋅AD)(12BC ⋅OD)=S ΔOBC ⋅S ΔABC .其证明过程用到了射影定理.在(1)中将射影定理的两式相加可得(2)中的勾股定理；同样，在空间里，由(1)中空间形 式的三式相加可得(2)中对应的结论.再如，将圆的面积公式S=πR 2对变量R 求导，可得圆的周长公式C=2πR .类比可得：将球的体积公式V= 43πR 3对变量R 求导，可得球的面积公式S=4πR 2.以上猜测的结论都需要严格的证明.A PE BO D CCA DB 图1.4—2图1.4—1想一想①：1.如图1.4—3.椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出 “黄金双曲线”的离心率e 等于( ).A.5＋12. B.5－12. C.5－1. D.5＋1. 2.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图1.4—9甲，在平行四边形ABCD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)，那么在图1.4—4乙中所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21=( ).A.2(AB 2＋AD 2＋AA 21).B.3(AB 2＋AD 2＋AA 21).C.4(AB 2＋AD 2＋AA 21). D.4(AB 2＋AD 2). 3.类比等差数列，我们定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.现已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，那么(1)a 18 = ，这个数列的前n 项和S n = . 4.已知∆ABC 中，AD ⊥BC 于D ，三边分别是a ，b ，c ，则有a=bcosC+ccosB ；类比上述结论，写出满足下列条件的对应结论：四面体P —ABC 中，∆ABC ，∆PAB ，∆PBC ，∆PAC 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，二面角P —AB —C ，P —BC —A ，P —A C —B 的大小分别为α，β，γ， 则S= .例3.在DEF ∆中有余弦定理：.cos 2222DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.分析:根据类比猜想得出S AA 1C 1C 2=S ABB 1A 12+S BCC 1B 12−2S ABB 1A 1⋅S BCC 1B 1cos θ.其中θ为侧面为ABB 1A 1与BCC 1B 1所成的二面角的平面角. 证明：作斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直截面DEF ，则∠DEF=θ为面ABB 1A 1与BCC 1B 1所成的二面角的平面角.在∆DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2−2DF ⋅EF cos ∠θ， 在上式的两边同乘以21AA ，得DE 2⋅AA 12=DF 2⋅AA 12+EF 2⋅AA 12−2DF ⋅AA 1⋅EF ⋅AA 1cos ∠θ，即 S AA 1C 1C 2=S ABB 1A 12+S BCC 1B 12−2S ABB 1A 1⋅S BCC 1B 1cos θ.例4.若点O 在ABC 内，则有结论S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=0.命题类比推广到空间，若点O 在四面体ABCD 内的结论是______________________. 解:如图1.4—5.过点A 、B 分别作直线OC 的垂线AE 、BE 点E ，F.设D CF AB = ，∵BFD ∆∽AED ∆， ∴ DE·BF=AE·DF. ① 又由数量积的几何意义知， OC → ⋅OB → =OC → ⋅OF → ,OC → ⋅OA → =OC → ⋅OE → .② OC → ⋅(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → ).∆图1.4—3图1.4—4ABCO图1.4—5E FD=OC → ⋅OA → S ΔOBC +OC → ⋅OB → S ΔOAC +OC → ⋅OC →S ΔAOB =OC → ⋅OE → S ΔBOC +OC → ⋅OF → S ΔAOC +OC → ⋅OC →S ΔAOB =OC → ⋅(OE → S ΔBOC +OF → S ΔAOC +OC →S ΔAOB )=OC → ⋅(OC → S ΔAOD +OC → S ΔBOD +OE → S ΔBOC +OF →S ΔAOC )=12OC →⋅(OC → ⋅OD ⋅AE +OC → ⋅OD ⋅BF +OF → ⋅OC ⋅AE +OE → ⋅OC ⋅BF) =12OC → 2(OD ⋅AE +OD ⋅BF −OF ⋅AE −OE ⋅BF)=12OC →2((OD −OF)⋅AE +(OD −OE)⋅BF)=12OC →2(−AE ⋅DF +DE ⋅BF)=0.∴ OC → ⊥(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →). 同理可得, OB → ⊥(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → ), OA → ⊥(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → ).由此可得在平面内一向量(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →)同时与过同一点O 的三个不共线的向量都垂直，满足此条件的向量(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →)必为0.故S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=0.类比可得 V O—BCD ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ + V O—ACD ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABD ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABC ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =00.其证明思路为利用三棱锥的体积等积变形和空间向量数量积的几何意义来进行.例5.平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直”.请用类比法写出更多相似的命题解析:(1)(平面)在平行四边形中，对角线相交于一点且互相平分；(空间)在平行六面体中，对角线相交于一点且互相平分.(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和； (空间)在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和. (3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的二分之一； (空间)球体积等于球面积与半径之积的三分之一. (4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍； (空间)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍.(5)(平面)到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线； (空间)到定直线的距离等于定长的点的轨迹是圆柱面.等等.例6.等腰四面体——三组对棱分别对应相等的四面体.在研究三角形时，等腰三角形是我们的主要研究对象之一.原因是它具有良好的对称性.在四面体中，有与之对应的等腰四面体. 根据定义不难证明：①长方体一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体；②等腰四面体的四个面是四个全等的三角形.③若四面体的四个面具有相同的周长，则其为等腰四面体. ④等腰四面体的四个顶点和对面重心的连线段的长相等. ⑤h=4r.(内切球半径为r ，高为h).想一想②：你能证明上述性质②、③、④、⑤吗？对于等腰四面体我们还有：四面体是等腰四面体的充要条件是：过每一个顶点的三个平面角之和为1800.必要性：设四面体ABCD 是等腰四面体，过顶点A 的三个平面角之和为DAB DAC BAC S ∠+∠+∠=.有等腰四面体的四个面是全等的三角形得 ∠BAD =∠BDA ，∠CAD =∠DBA ，⇒S =∠BDA +∠DBA +∠DAB =1800.充分性：设0180=∠+∠+∠=DAB DAC BAC S .将四面体从顶点A ，沿三条棱剪开，平摊在∆BCD 所在的平面上(图1.4—7). 由已知过顶点B ，C ，D 的平面角之和为1800. 则易知B ，C ，D 是∆AA ′A ′′三边上的中点. 当∆AA ′A ′′还原成四面体后易知其对棱必相等. 我们知道，在平面内，正三角形是特殊的等腰三角形.在空间,正四面体是特殊的等腰四面体.它们之间也有很多类似的结论：①正三角形有一个外接圆和内切圆，且它们是同心圆；正四面体有一个外接球和一个内切球，它们也是同心球.②正三角形重心、垂心、外心、内心凡四心重合，并称该点为正三角形的中心； 正四面体的重心、垂心、外心、内心也四心重合，此点也称为正四面体的中心.③边长为a 的正三角形的高为√32a ，中心把高分成2:1的两部分；棱长为a 的正四面体的高为√63a ，中心把高分成3:1的两部分. ④平面几何中有如下结论：如图1.4—8 (1)，设O 是等腰 Rt △ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两 腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ ＋1AR＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图1.4—8(2)，设O 是正三 棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1， 过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ， R ，P ，则有1AQ ＋1AR ＋1AP＝3.⑤正三角形的三内角相等，均为600；正四面体的相邻两面所成二面角也相等，其余 弦值均为−13.等. 习题1.41.已知关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解为(1，2).解关于x 的不等式cx 2−bx +a >0.有A CBD图1.4—6 图1.4—7B D AA ′′ A ′ C 图1.4—8(2)图1.4—8(1)如下解法：由ax 2−bx +c >0，⇒a −b(1x)+c(1x)2>0，令y=1x，则y ∈(12，1)，不等式cx 2−bx +a >0的解为(12，1).类比上述解法，已知关于x 的不等式k x+a +x+bx+c <0的解为 (-2，-1)∪(2，3)，则关于x 的不等式kx ax−1+bx−1cx−1<0的解为 .2.设P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上的任意一点，F 1、F 2是其两焦点，若∠P F 1F 2=α，∠P F 2 F 1=β(α>β)， 则e =sin(α+β)sin α+sin β.若换成双曲线x 2a 2−y 2b 2=1呢？3.已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，则k PM ·k PN =−b 2a 2.试问，对双曲线x 2a2−y 2b 2=1也有类似的特性吗，若有，写出对应的结论并加以证明.4.对于函数y=x 2(x>0)上任意两点A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，直线段AB 必在曲线段AB 的上方.设点C 分AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的比为λ(λ>0)，则由点C 在C ′点的上方可得不等式：a 2+λb 21+λ>(a+λb 1+λ)2.请分析函数y=lnx(x>0)的图像，类比上述不等式可以得到的不等式是 ．5.对于求和12+22+32+…+n 2有人采用如下方式：∵ (k+1)3-k 3=3k 2+3k+1，令k=1，2，…n ，代入得到n 个等式，累加后得(n+1)3-1=3(12+22+32+…+n 2)+3(1+2+3+…+n)+n ，从而可得 12+22+32+…+n 2=n(n+1)(2n+1)6.类似地，你能得到13+23+33+…+n 3=(n(n+1)2)2吗？ 6.类比本节例7，已知f(x)=cos xcos(300−x)，求f(10)+f(20)+ … + f(590)的值.7.换一种方式证明，若点O 在 ABC 内，且点O 对三个顶点A 、B 、C 的视角∠AOB=∠AOC=∠AOC ，则有结论S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=00.命题类比推广到空间，若点O 在四面体ABCD 内的结论_____________________________.【参考答案】 想一想①：1. A.2. C.3.由等和数列的定义，易知a 2n-1=2，a 2n =3，故a 18=3. S n ={52n n 为偶数52n −12 n 为偶数.4.S=S 1cos α+ S 2cos β+ S 3cos γ. 想一想②： ②易证.略. ③设各组对棱的长分别为.由题设有a+b+c=a+b ′+c ′=b +a ′+c ′=c +b ′+a ′，⇒b +c =b ′+c ′，b +c ′=c +b ′，⇒c −c ′=c ′−c ，⇒c =c ′.进一步可推得：a=a ′，b =b ′.于是该四面体是等腰四面体.④由②知，四个面是全等的三角形，又由三棱锥的体积公式及此三棱锥的体积是不变的，易得结论.⑤提示，以内切球的球心为顶点，四个面为底面，将此四面体分解为四个小四面体，由三棱锥的体积等积变形，也易得结论成立.∆ a bc习题1.41.关于x 的不等式kx+a+x+b x+c<0的解为(−2,−1)∪(2,3)，用−1x替换x ，不等式可化为，k(−1x)+a +(−1x )+b (−1x)+c =kxax−1+bx−1cx−1<0，因为−1x∈(−2,−1)∪(2,3)，所以12<x <1或−12<x <−13，即不等式kx ax−1+bx−1cx−1<0的解为(−12，−13)∪(12，1).2.e =ca =2c2a =|F 1F 2||PF 1|+|PF 2|=sin(α+β)sin α+sin β.对于双曲线则有e =sin(α+β)sin α−sin β. 3.对于双曲线有k PM ·k PN =b 2a 2.证明：设点M 、P 的坐标为(n m ,)、(y x ,)，则N(n m --,). 因为点M(n m ,)在已知双曲线上，所以n 2=b 2a2m 2−b 2，同理y 2=b 2a 2x 2−b 2. 则k PM ⋅k PN =y−n x−m⋅y+n x+m=y 2−n 2x 2−m 2=b 2a 2⋅x 2−m 2x 2−m 2=b 2a 2.椭圆可类似地证明.4.如图D1.4—1，由定比分点公式及平行线分线段定理可得y=x 2(x>0)的不等式a 2+λb 21+λ>(a+λb1+λ)2， 类似地，对于函数y=lnx(x>0)有，ln a+λln b1+λ<lna+λb 1+λ.5.提示，利用(k+1)4-k 4=4k 3+6k 2+4k+1求之.6.提示：考察f(x)+f(600-x).59√32.7.解:∵S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → =12( OOBOOOCO OA → snn ∠BOC+OOAOOOCO OB →snn ∠AOC+OOAOOOBO OC → snn ∠AOB)=12OOAO0BO0COsnn ∠AOC(OA → |OA → |+OB → |OB → |+OC→|OC ← |),由于OA → |OA → |，OB→|OB → |,OC→|OC ← |，分别是与OA → ,OB → ,OC → 共线的单位向量， ∠AOB=∠AOC=∠AOC=1200，∴ OA → |OA → |+OB → |OB → |+OC → |OC ← |=0.0故S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=0.类比可得 V O—BCD ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ACD ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABD ∙OC⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABC ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.图D1.4—1。
2013-2014高二理科数学期末复习(推理与证明)
2013-2014高二理科数学期末复习（推理与证明）考向一 归纳推理【例1】(1) 观察下列等式： 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15， 13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，13＋23＋33＋43＋53＝225.可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)．解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…第n 项a n ，与第n －1项a n －1(n ≥2)的差为：a n －a n －1＝n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得，a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n ，其中a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ，即a n ＝n (n ＋1)2，∴a 2n ＝14n 2(n ＋1)2.答案 14n 2(n ＋1)2【训练1】1．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为_______________________________解析 13＋23＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，则13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22，故第五个等式即为当n ＝6时，13＋23＋33＋43＋53＋63＝⎝⎛⎭⎫6×722＝212.答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝2122. 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________. 解析 法一 由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.法二 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123. 答案 1233. 观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为________________．解析 先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<1164. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.解析 归纳类比，得偶函数f (x )的导函数g (x )是奇函数，从而有g (－x )＝－g (x )． 答案 －g (x )5. 将正奇数排列如图形式，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，若a ij ＝2 009，则i ＋j ＝________.解析 根据正奇数排列的正三角图表知，2 009是第1 005个奇数，应排在i 行(其中i ∈N *)，则1＋2＋3＋…＋(i －1)＝i (i －1)2＜1 005①，且1＋2＋3＋…＋i ＝i (i ＋1)2＞1 005②；验证i ＝45时，①②式成立，所以i ＝45；第45行第1个奇数是2×44×452＋1＝1 981，而1 981＋2(j －1)＝2 009，∴j ＝15；所以，2 009在第45行第15个数，则i ＋j ＝60； 答案 606. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 2 13°＋cos 2 17°－sin 13°cos 17°；②sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2 18°＋cos 2 12°－sin 18°cos 12°；④sin 2 (－18°)＋cos 2 48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 2 55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 法一(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.考向二 类比推理【例2】 (1)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S△ABC＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”．解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案 V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…[审题与转化] 第一步：观察等差数列{a n }前n 项和S n 的特点．[规范解答] 第二步：由等差数列“S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12”中的“差”，类比到等比数列中的“商”．故可得T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[反思与回顾] 第三步：类比推理是以比较为基础的，它是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较，而做出有关另一个特殊属性的结论，是从特殊到特殊的推理，利用这类推理所得到的结论需要进行严格的证明．[方法总结] (1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能． 【训练2】1. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝n (a 1＋a n )2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式，即公式T n ＝________. 解析 利用等比数列性质，即若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ， 得T 2n ＝(b 1b 2…b n )·(b n b n －1…b 2b 1)＝(b 1b n )n ，即T n ＝(b 1b n )n 2. 答案 (b 1b n )n 22．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，在空间内，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析 由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得．答案 1∶83．给出下列三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的序号是________． 答案 ③4. 在共有2 013项的等差数列{a n }中，有等式(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)－(a 2＋a 4＋…＋a 2 012)＝a 1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{b n }中，相应的有等式________成立．解析 将等式中加、减换成乘除可得b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 006.答案 b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 0065. 若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S nn ＝a 1＋(n－1)·d 2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，通项为________．解析 由等差数列与等比数列的运算类比，可得n T n ＝b 1(q )n －1.答案 n T n ＝b 1(q )n －16. 如果函数f (x )在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n 成立．已知函数y ＝sin x 在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC 中，sin A ＋sinB ＋sinC 的最大值是________．解析 由凸函数定义，知sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝323. 答案 32 37．圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 28＋y 22＝1在(2,1)处的切线方程为________．解析 由类比结构可知，相应的切线方程为：x 0x 8＋y 0y2＝1，代入点坐标，所求切线方程为：x 4＋y 2＝1. 答案 x 4＋y2＝17. 命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．解析 对于椭圆，延长F 2M 与F 1P 的延长线交于Q .由对称性知，M 为F 2Q 的中点，且PF 2＝PQ ，从而OM ∥F 1Q 且OM ＝12F 1Q .而F 1Q ＝F 1P ＋PQ ＝F 1P ＋PF 2＝2a ，所以OM ＝a .对于双曲线，过点F 2作∠F 1PF 2内角平分线的垂线，垂足为M ，类比可得OM ＝a . 答案 内角平分线[方法总结] 归纳推理可以通过多求几项找规律．类比推理，从类比对象划分，主要有等差数列与等比数列的类比，其中等差数列中的加、减、乘、除运算与等比数列中的乘、除、乘方、开方运算对应．平面几何与立体几何的类比，其中平面几何中的点、线、面、长度、面积等，与立体几何中的线、面、体、面积、体积等对应．椭圆与双曲线的类比，其中椭圆与双曲线中有“互余”关系． 考向三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n (结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)[方法总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．考向四 数学归纳法的原理1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0 等于________．解析 边数最少的凸n 边形是三角形． 答案 32．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．答案2k3．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为________． 答案 1＋a ＋a 24．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是________．①n ＝6时该命题不成立；②n ＝6时该命题成立；③n ＝4时该命题不成立；④n ＝4时该命题成立． 解析 法一 由n ＝k (k ∈N *)成立，可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．因而若n ＝4成立，必有n ＝5成立．现知n ＝5不成立，所以n ＝4一定不成立．法二 其逆否命题“若当n ＝k ＋1时该命题不成立，则当n ＝k 时也不成立”为真，故“n ＝5时不成立”⇒“n ＝4时不成立”．答案 ③ 5．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2). 答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)【例1】用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n ×(n ＋1)×(n ＋2)＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)4.(n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝1×2×3×44＝6＝左边，所以等式成立．(2)设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4.则当n ＝k ＋1时，左边＝1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3) ＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫k 4＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)(k ＋4)4 ＝(k ＋1)(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)(k ＋1＋3)4所以n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，原等式对于任意的n ∈N *成立．【训练】 1已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2n ＝a 2n －1＋1a n －1(n ≥2)，a n ≥12n 13.求证：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.证明 由题得a 2n ＋1＝a 2n ＋1a n ，即a 2n ＋1－a 2n ＝1a n ，于是有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 2n ＋1－a 21＝a 2n ＋1－1. 要证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1，只需证明a n ≤2n 13.下面使用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝1，12<a 1<2，则当n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k 时，12k 13≤a k ≤2k 13成立，则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝a 2k ＋1a k ≤4k 23＋112k 13＝4k 23＋2k 13，只要证明4k 23＋2k 13≤4(k ＋1)23，只需2k ＋1≤2k 13(k ＋1)23，只需(2k ＋1)3≤8k (k ＋1)2，化简后恒成立，于是a k ＋1≤2(k ＋1)13，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3，…. (1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明．解 (1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立． [方法总结] 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此要务必保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．3. 在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512.(1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(2)证明1a1＋b1＝16＜512. n≥2时，由(1)知a n＋b n＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1a n＋b n＜16＋12⎣⎡⎦⎤12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n＋1＜16＋14＝512.综上，原不等式成立．。
苏教版教材阅读材料功能的探究——由课例《平面几何与立体几何的类比》引发的思考
的基本元素等方面是相同 或相似的， 因此， 在两者之间进 行类 比是研究ｆ 电 ｆ ｆ 生 质的一种非常有效的方法 （ ３ ） 类 比在科学研究中的作用 、 意义和重要性． 由于类 比推理 所 得 结论 的 真实 性并 不 可 靠 ， 因
此它 不 能作 为严 格 的数学 推理方 法． 尽 管如 此 ， 我们 丝毫 不能 由此忽 视 类 比 的作 用 ． 为什 么 呢 ？ 因为 它 是 提出新 问题 和获得 新发 现取 之不竭 的源 泉．
阅读 材料是 为 了拓 展 学 生 的知 识 ， 增 强 学 生 对 数学 知识探 究 的兴趣． 通过 该 阅读材 料 ， 可使 学生 体会类
平 面 图形 —
—
平面 图形或立 体 图形
（ ２ ） 类 比构造 命题 例 １ （ Ｉ ） 在 平 面几何 中 ， 若两 个角 的边 对应 平 行 或垂 直 ， 则 这两个角相等或互补． 那 么 推 广 到 空
《 数学之友＞
２ ０ １ ３年第 ２ Ｏ期
苏教版教材阅读材料功能的探究
由课 例 《 平 面几何 与 立体 几何 的类 比》 引发 的 思考
陶 晶
（ 南京市江宁高级中学 ， ２ １ １ １ ０ ０ ）
苏教版高中数学教材 的许多章节后都有阅读材 料， 这是 以往 教材 中所没 有 的 ， 这 些 阅读材 料 内容充
（ ３ ） 类 比拓展 结论
例 ２ 对勾股定理的拓展引申． 勾 股定理 ： 在 直角 边 长为 口 ， ｂ ， 斜 边 长 为 ｃ的直
角 三角 形 中 ， 有ｃ ＝ 口 ＋ ｂ ．
类 比 Ｉ： 长、 宽、 高分别为 口 ， ｂ ， ｃ ， 对角线长 为 Ｚ
・
２ ９・
从平面走向空间——类比思想在立体几何中的应用案例及思考
点 到两 腰 的距离 和 为定 值．
学 生 ： 腰 三 角 形 两 条边 相 等 ． 正 等 而
如 图１ 已知在 ＡＡ Ｃ（ 定 的 ） ， ， Ｂ 给 中
ＡＢ ＡＣＤ － ，是Ｂ 边上 任 意一 点 ．ＥＪＡ 于 Ｃ Ｄ ＿ Ｃ
教师 ： 好 ！刚才 我们 证 明 的是 一 个 很
它们都称为“ 单形 ”三 角 形 是 二 维 单 形 ， ，
三 棱锥 是 三 维单 形．
教 师 ：为 什 么平 面 中 的等 腰 三 角 形
＠ 案例片断
例 １ 证 明 等 腰 三 棱 锥 ， 合 理性 又 在 其
哪里？
图１
明是将问题转化成平面几何问题 ， 没有借 助于类比， 过程略 ）
教师 ： 么第 二个 问 题呢 ？ 那
有 边 界 元 素 （ 些边 界 元 素 全 相 等 ） 这 的距
离 和 为定 值． 教 师 ：我们 把 这 两 个 对 象 的 共性 理 解 得 非 常清楚 的时候 ， 比的结论 的可靠 类
闭 图形．三 棱锥 是 由４ 平 面 围成 的封 闭 个
合 ， 中包 括 了 “ 体 几 何 中 的 推 理 与 证 其 立
明” 题．下 面是 笔 者在 这 个 专 题 的第 一 专 节 课 一 类 比思 想 在 立 体 几 何 中 应 用 的 案例 片 断 以及教 后 的思 考．
体 ．在 空 间 中三 个 平 面不 能 围成 封 闭体 ．
又为Ａ｛ｃＧＰ Ｄ 棱锥 是 最 简单 的 多面 体． 因ｓ ４曰 ． Ｅ △ ・，Ｉ ＋ ｆ ） ． ２
Ｄ Ｇ为 定 值
要 形式 ．我 校 高 二 年 级 根 据 学 生 的 实 际
情 况 ．教学 时对 这 一 章 的 内容 进 行 了 整
数学中的类比思想
时需小议数学中的类比思想王安平关键字：类比的思想数形之间、数数之间的类比所谓类比，是指两种事物之间存在着相互类似的性质或特点。
这个词来源于希腊文“ analogia”原意为比例，后来引申为某种类似的事物。
类比的思想方法在科学发展中占有着十分重要的地位。
例如，著名科学家牛顿的万有引力定律就是把天体运动与自由落体运动做类比而发现的；著名的生物学家达尔文把植物的自花受精与人类的近亲结婚相类比，从而发现了自己子女体弱多病的原因。
类比的思想涉及了对知识的迁移。
所谓迁移就是一种学习对另一种学习的影响。
在教学中我们应当注意对学生迁移意识的培养，也就是说要注重运用类比的思想。
在我们平时的数学教学中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习；另外，在教学中也可以利用类比的思想进行教学。
的确，类比法是学习数学的一种常用方法。
数学的类比主要体现在以下几个方面:㈠几何图形之间的类比（1）几何形体数量关系的类比在以往的高考题目中，也出现了类似题目。
例如：在某年上海的高考模拟题中的一道题：已知：在平面几何有勾股定理：“假设ABC的两边AB、AC互相垂直，则有关系：AB2 AC2 BC2。
”当我们拓展到空间，类比平面几何的勾股定理并研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系时，我们可得到相应结论：假设三棱锥A BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直，则S2ABC S2ACD S2ADB S2BCD（2）几何性质之间的类比例如，几何体中的椭圆与双曲线就有很多的相似之处:在平面几何与立体几何中也存在性质之间的类比，例如:------------------------- 布磊Sn/ — ....... .. ...... ..... ......同样是在某年上海的高考模拟题中的一道题:已知：在三角形中存在余弦定理：a 1 2b 2c 3 4 2bccosA ,那么，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中存在关系（假设 表示平面BCC 泪与平面ACC 1A 1所成的二面角）：SA B B 1 A5 6BCC 1B 1 S A C C 1 A 2S BCC I B I SA CC I Acos㈡数与形之间的类比众所周知，初等数学可分为代数与几何。
平面几何与立体几何的类比.doc
平面几何与立体几何的类比%1.口标定位“强调本质，注意适度形式化”是高中数学课程改革的一个基本理念.虽然形式化是数学的基本特征之一，学会形式化表达是数学教学的一项基本要求，但更重要的是对数学本质的认识，是生动活泼的数学思维活动.高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程的本质，除了要讲逻辑推理，更要讲道理（合情推理）•为此，高中数学课程中的立体几何初步，其内容设计将合情推理与演绎推理有机地结合在一•起，体现了直观几何与论证几何的结合，避免了以往课程中以论证几何为主线展开几何内容的形式化的问题，让学生在自主探索的过程中，理解有关数学概念、结论，体会数学思想方法・根据《数学课程标准》的要求，本节课的目标要求定位如下：1、通过比较、分析平面几何与立体几何的相似性，进行类比推理，构造新的概念、创建新命题、拓展新结论和寻找解题途径.2、了解类比在科学上的运用.通过研究过程，培养学生“主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流”的能力，发展学生的合情推理能力・3、通过创设和谐、协作的教学氛围，让学生体验成功，增强自信，增强运用类比推理的自觉性，并在探究与体验活动中感受几何学中的结构美和对称美.%1.多向对比（无）%1.案例聚焦本节内容为教材（立体几何初步）中的二阅读材料，编排这个阅读材料是为了扩展学生的知识，提高学生的兴趣.通过该阅读材料，可使学生体会类比这种合情推理在猜测和发现结论、探索和提供思路方面的作用.在本专题的教学中，教师还口J以根据实际情况对一部分有兴趣的同学作进一步的指导和要求，让这部分同学杳找、阅读有关资料，了解类比在科学研究中的作用、意义和重要性・由于本专题蕴涵着丰富的数学思想方法，故本专题内容除了是知识上的拓展，更应看成是方法上的拓展.类比思想应受到足够的重视，因为它能激发学生的兴趣，培养学生进行探索、发现的意识和能力.因此，要充分利用和挖掘教材中的有关内容，创造机会学习和运用类比的方法.但也要让学生思考类比方法在拓展和推广方面的可靠性和正确性，辨证地理解创新和严谨的关系.事实上，合情推理与演绎推理的有机结合，有助于学生对数学基本知识的理解，有助于学生对数学思想方法的认识，只有这样，才能真正提高学生的数学思维能力・木节课的教学重点是类比的对象间的结构特征（类的界定、比的内容）、规则和方式以及运用类比推理思想解决有关问题，而教学难点则是类比中命题变化的内容、规则、特点及命题不变的结构、关系、属性，另外，类比中的新元素、新关系、新图形的构建、定义和约定也是难点所在.在教学的过程中，应使学生逐步学会观察分析数学对象、数学问题间的联系和区别，寻找数学结构中的“改变”与“不变”、“个性”与“共性”.加强学生对数学内容框架的宏观认识.%1.教学示例（苏教版）（-）提出问题，引导思考：平面几何与立体几何的关系？1、由平面几何与立体几何的相似性引发的思考，是否可以类比・平面儿何和立体儿何在研究对象和方法、构成图形的基本元素等方面是相同或相似的，因此，在两者之间进行类比是研究他们性质的一利非常有效的方法.例如：线段长——> 而积 ------- >平面角 ------ > 三角形>多边形——>2、 什么是类比？类比是根据两个对象在某些方而的相同或相似，推出它们在其他方而的相同 或相似点的一种推理方法.波利亚指出：类比就是一种相似.类比思维的认识依 据是客观事物或对象之间存在的普遍联系 ------------------ 相似形.举例：为什么人的老年称为生命的黄昏？3、 类比在科学研究中的作用、意义和重要性・由于类比推理所得结论的真实性并不可靠，因此它不能作为严格的数学推理 方法.尽管如此，我们丝毫不能由此忽视类比法.为什么呢？因为它是提出新问 题和获得新发现取之不竭的源泉.还是波利亚说的好：如果把类比猜想的结论的 似真性当作肯定性，那将是愚蠢的.但是，忽视这种似真的猜想更为愚蠢.让我 们欣赏一段名人名言（Kepler ）： “我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最信 赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的・”（-） 研究课题：立体几何与平面几何的类比1、如何进行类比为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系:平面 空间点 ---------------- ► 点或直线I直线 ------------- ► 直线或平面]从元素的相对关系入手平面图形 ------ ► 平面图形或立体构形从元素的度量关系入手 二面角] 四面体（三棱年）从元素的结构特征入手 多面体 」2、类比构造命题例1、（1）在平面儿何中，若两个角的边对应平行或垂直，则这两个角相 等或互补.那么推广到空间，又有怎么样的一个命题，并判断该命题是否成立.（2）在平面几何中，三角形具有性质：三角形的中线平分三角形的面积・ 试将该性质推广到空间，写出相应的一个真命题，并加以证明・点评：在进行类比时要了解一些平而几何研究对象与立体几何研究对象常用 的类比关系，如直线类比平面，三角形类比四面体，长度类比面积，面积类比体 积等等.但要注意的是这些类比关系又不是唯一的.例2、（2004年高考广东卷） 在图1所示的三角形PAB 中，有面积关系：,则推广到空间，在图2所示的三棱锥P-ABC 中，有体积关系:3、类比拓展结论例3、对勾股定理的拓展引申・勾股定理：在直角边&为。
平面几何与立体几何的类比探究
面积公 式 ：：竹ｒ 球的体积公式 ： ＝ ３ 。 中 ｒ ｓ ２； Ｖ ４ 霄一 其 表示半径 ， 而 ｒ 的指数 １２以及 系数 与维数之间存在着一种对应 。因为平面是 ， 二维的 ， 空间是三维的。而且这里 圆的面积对半径的导数正好是 圆的周长 ， 球的体积的导数也是球 的表面积。
４类比推 理论证 。 ． 另外有些探究拓展 的题型还可考虑类 比猜 想， 如求证 ： 四面体 内任一点 到四个 面的距离之和为定值。 正 第 一步 ， 比构造 一个辅助平 面几何 问题“ 类 求证 ： 正三角形 内任一点到三边距离之和为定值” ； 第二步 ，通过分割方法 ，利 用面积的关 系解决平 面几何 问
☆ 求 鸣 静 ☆数学大 世界
想 ， 由此寻求 问题 的解决途径 并 或结论。 正如波利亚所说 ：对平 “ 面几何和立体几何作类 比， 是提 出新 问题 和获得 新发现取 之不 竭 的源泉” 。下 面谈一谈 自己运用类 比思想对平 面几何与立体几
何进行探究 的教学过程 ： 提出问题 。 引导思考 ： 平面几何与立体几何的 关系 １由平面几何与立体几何的相似性引发的思考 ， ． 是否可 以类
面的距 离之和为定值 （ 一侧面上的高） 。 ⑤ 圆的 周长公 式 ： ＝ 叮ｒ； Ｃ ２ ｒ 球的表 面积公式 ：＝ 霄ｒ 圆 的 Ｓ４ ２ ；
直 线
？ 强
线段 长 面积
强积 。 牺殴｜
。
｜
２类比构造命题。①直线平行 的传递性 ： ． 平行于同一条直线 的两直线平行。在平面和空间 中都成立 。②等角定理 ： 如果一个
空间 ：
蠢 的。但是 ， 忽视这 种似真 的猜想更为愚蠢。让我们欣赏一段名 人名言 ：我珍惜类 比胜于任何 别的东西 ， “ 它是 我最 信赖的老师 ， 它能揭示 自然界的秘 密， 在几何中它应该是最不容忽视的。”
浅谈立体几何与平面几何的类比学习
浅谈立体几何与平面几何的类比学习立体几何与平面几何是数学中最基础且重要的概念，可以说是数学学习的基石，因此，深入理解和熟练应用这两方面的知识对数学学习来说是至关重要的。
首先，让我们从立体几何着手。
立体几何就是研究立体几何形体的几何学，它研究三维空间中的形状和大小的变化。
立体几何主要研究的是四维空间形状的分布，以及它们相互关系的结构。
立体几何中有许多基本概念，比如曲线、曲面、椭圆、空间曲线、空间曲面等。
在研究立体几何时，需要知道它们的特征、定义、性质、测量方法等。
其次是平面几何。
平面几何就是研究平面几何形体的几何学，它研究二维空间中的形状和大小的变化。
平面几何主要研究的是三维空间形状的分布，以及它们相互关系的结构。
平面几何中有许多基本概念，比如线段、角、三角形、四边形、圆形和多边形等。
在研究平面几何时，需要知道它们的特征、定义、性质、测量方法等。
立体几何与平面几何之间有许多联系，可以通过类比学习来深入理解它们之间的关系。
首先，两者都是把几何形状和大小进行分析和研究的数学学科，区别只在于它们所处的空间的维度不同而已。
其次，立体几何和平面几何都有一些共同的规则和定义：比如三角形的性质、圆形的定义、多边形的角等。
平面几何中的某些性质可以推广到立体几何，而立体几何中的一些性质也可以通过类比学习来推广到平面几何。
例如，平面几何中的三角形的性质可以推广到立体几何中的椭圆，而立体几何中空间曲线的性质也可以推广到平面几何中的曲线。
此外，立体几何与平面几何之间存在许多具体的联系。
例如，平面几何的直角三角形可以被用来构造立体几何的锥形，平面几何的矩形可以被用来构造立体几何的多面体，而立体几何的椭圆可以转化成平面几何中的椭圆，立体几何中的空间曲线也可以在平面上投影成平面几何中的曲线。
总之，立体几何与平面几何有着彼此密切相关的关系，可以通过类比学习来理解它们之间的关系。
只有理解了这两个学科之间的关系，才能更好地学习数学，做出更好的成绩。
活跃在高考题中的立体几何类比题评析
，、 一 。 。， ， 1 . _ 。 ， ~ 一拈 一
( 3 四面体的中位面的面积等于第四个面的面 )
积 专且 行 第 个 ; 的 ， 于 四面 平
(4 四面体六个二面角的平分面交于一点， ) 且这 个点是四面体内切球的球心。 点评 性质也是建立在概念的基础上的， 因而 “ 三角形” 比“ 类 四面体” “ 、 直线或线段” 比“ 类 平 面”“ 类比“ 、线段比” 、圆” 球”“ 类比“ 面积” “ 、面积” 类比“ 体积”它们都是平面类比到空间的一般规律. ， 例 3 在 Rt △ABC 中， 乙C = 900， = b， 若 AC BC
=a ， 则有如 下性质:①co Z s A+cosZ 1;②△ 丑 的 B= 、’ 质、~ ‘甲 性 / 比空 ‘ 卜~ ’ ’ J以~ ’ “， 一
间， 写出类似的性质. 分析 . 考虑到平面中的图形是直角三角形， 所 以我们在空 间选取有三个 面两两垂直 的四面体 尸一 B’ 且三个面与面A‘ C’ A‘ C{， B’ 所成的二面角分别 是 a 、、. 月下
足， C‘ 则 C， A‘ ， 连 H， H土 B’
B
高中版)
文 习参 考
面的面积相等， 故 ‘ 。+P 。+ ‘ c B 咋_， 二 ， 玲_朋 + 玲一， V 一。 岭一 c
a
l
、C
=李 △ (h。 5 ， +hZ+h3+h4) a。 3
图1
图2
. 图3
二 乙C匀尸即为侧面 P ‘ 与底面A’ C 所成 A B‘ B’ 的 平面角 aZbZ
尸 A‘ C‘两两互相垂直且分别与底面所成的角为a 尹、 7 ， ’ ， ’ 尸 =c. 以P ‘ ‘ C 为 A P =a P =b， B ’ C A 、 、 棱补成 ’ B P 尸 ’ 一个长 体， 如图3 所示， 尸作 P 1 A’ ， 为垂 过 j l B’ H
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从三角形到三棱锥性质1：在平面上到△ABC三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，这个点也称为三角形的外心（外接圆圆心）.如果把“在平面上”几个字去掉，再来研究到三角形三个顶点距离相等的点会是一种什么情形呢？首先这样的点肯定存在（三角形外心就是一例），在平面ABC外是否还有这样的点呢？我们先把研究的问题具体化.ABC所在平面外满足PA=PB=PC的点P是否存在？先考虑到A、B距离相等的点.在平面中这样的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，不难证明在空间满足此条件的点的轨迹为线段AB的垂直平分面（即过AB中点且与AB垂直的平面.记为α）.同理，到A、C两点距离相等的点的轨迹为线段AC的垂直平分面（记为β）.显然这两个平面不平行，记交线为m,因为直线m上的任意一点P都满足PA=PB，PA=PC，所以有PB=PC，可知点P也应在线段BC的垂直平分面上，即直线m是AB、AC、BC三条线段的垂直平分面的交线.由此可得：在空间到三角形三个顶点距离相等的点在其三边的垂直平分面的交线上，易证，这条直线垂直于三角形所在平面且通过三角形的外心，这条直线我们不妨称之为三角形的外心线.这个结论还可以如下的角度来表述：如图1，如果平面ABC外有一点P且PA=PB=PC，那么点P在过△ABC外心且与平面ABC垂直的直线上.也可以说，到△ABC三个顶点距离相等的点在平面ABC内的射影是△ABC的外心.思考：三角形还有哪些类似的性质可以推广到空间去？不难想到三角形的内心（三条角平分线的交点）、垂心（三条高线的交点）都可以在空间找到对应的图形.对这些性质我们不妨先大胆写出结论，再进行严格证明.在类比中，我们看到，平面中的点常对应空间中的线，平面中的线则常对应空 图1 间中的面.在平面几何中有这样一个性质：如图2，△ABC 中，B ′和C ′分别在边AB 、AC 上，则有.ACAB C A B A S S ABC C B A ⋅'⋅'=∆''∆ （用公式S △ABC =A bc sin 21易证）将这一性质类比到空间得到相应结论：图2性质2：如图3，已知四面体A —BCD 中，棱AB 、AC 、AD 上各有一点B ′、C ′、D ′，则有.ADAC AB D A C A B A S V BCD A D C B A ⋅⋅'⋅'⋅'=-'''- 图3证明：作DP ⊥平面ABC 于P ，连结A 、P 并延长AP 交BC 于E.则平面APD ⊥平面ABC.过D ′作Q D '⊥AP 于Q ，则Q D '⊥平面ABC ，于是有.,'', .31,31ADAC AB D A C A B A V V AD AD DP Q D AC AB C A B A S S DP S V Q D S V BCD A D C B A ABC C B A ABC BCD A C B A D C B A ⋅⋅'⋅'⋅'==⋅'⋅'=⋅='⋅=-'''-∆''∆∆-''∆'''-所以又因为练习：下面这些平面中的性质类比到空间应怎样叙述？它是正确的吗？如果正确，你能证明它吗？性质3：如图4，正△ABC ，过其内任一点P 作三边垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PE+PF+PD 为定值.性质4：如图5，点O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F.则.1=++CFDFBE OE AD OD图4 图5性质3、4向空间类比所得命题都是正确的，它们分别可表述为 性质3′：如图6，过正四面体内一点P 向四个面作垂线，垂足分别为M 1、M 2、M 3、M 4，则PM 1+PM 2+PM 3+PM 4为定值.性质4′：如图7，P 为四面体A —BCD 内任意一点，连结AP 、BP 、CP 、DP 并延长分别交A 、B 、C 、D 所对的平面于A 1、B 1、C 1、D 1，则图6 图7.111111111=+++DD PD C C PC B B PB A A PA 这些性质的证明方法与性质本身的证明类似可以从相应平面性质的证明中类比得到.如性质3、4的证明用到了面积割补思想，类比到空间就是体积割补思想，性质3′、4′的证明问题就迎刃而解了. 一、转化的思想方法研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。
这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。
立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几个方面：1、空间问题向平面问题转化将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。
如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实，立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。
例1. 正三棱锥A-BCD ，底面边长为a ，侧棱为2a ，过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求周长的最小值。
解析：沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF在直线BB ′上，∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE ＝BC ＝a ，同理B ′F ＝B ′D ＝a.∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴B D DF '＝B A B D ''，a DF＝a a 2＝21,∴DF ＝21a,AF ＝23a.又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a+43a+a ＝411a,∴截面三角形的周长的最小值为411a.评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。
实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。
2、位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直） 线面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行 ; 线线、线面、面面的垂直。
这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。
平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述相互转化关系去证明。
例2. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E ＝BF. 求证：EF ∥平面BB 1C 1C.证法一：连AF 延长交BC 于M ，连结B 1M. ∵AD ∥BC ∴△AFD ∽△MFB ∴BFDFFM AF =又∵BD ＝B 1A ，B 1E ＝BF ∴DF ＝AE∴EB AEFM AF 1= ∴EF ∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C ∴EF ∥平面BB 1C 1C.证法二：作FH ∥AD 交AB 于H ，连结HE ∵AD ∥BC∴FH ∥BC ，BC ⊂BB 1C 1C ∴FH ∥平面BB 1C 1C 由FH ∥AD 可得BABHBD BF =又BF ＝B 1E ，BD ＝AB 1∴BABHAB E B =11 ∴EH ∥B 1B ，B 1B ⊂平面BB 1C 1C ∴EH ∥平面BB 1C 1C ，EH ∩FH ＝H∴平面FHE ∥平面BB 1C 1CEF ⊂平面FHE∴EF ∥平面BB 1C 1C说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.3、位置关系中的定性与定量的转化立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。
这两者既有联系又有区别，在一定条件下还可以互相转化。
线线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,反之则不然；线线、线面、面面的成角是90°，这些量的结果，则反映了它们的垂直关系，反之亦然。
可见教材中深刻地蕴含着位置关系中的定性与定量的转化关系。
例3. 空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∠PBA ＝45°，∠PBC ＝60°，M 为AB 的中点.(1)求BC 与平面PAB 所成的角；(2)求证：AB ⊥平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA ⊥AB ，∴∠APB ＝90°在Rt ΔAPB 中，∵∠ABP ＝45°，设PA ＝a ， 则PB ＝a,AB ＝2a,∵PB ⊥PC ，在Rt ΔPBC 中， ∵∠PBC ＝60°,PB ＝a.∴BC ＝2a,PC ＝3a.∵AP ⊥PC ∴在Rt ΔAPC 中，AC ＝22PC PA +＝22)3(a a +＝2a(1)∵PC ⊥PA,PC ⊥PB,∴PC ⊥平面PAB ，∴BC 在平面PBC 上的射影是BP. ∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角∵∠PBC ＝60°，∴BC 与平面PBA 的角为60°.(2)由上知，PA ＝PB ＝a,AC ＝BC ＝2a.∴M 为AB 的中点，则AB ⊥PM ，AB ⊥CM. ∴AB ⊥平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径. 例4.如图9－19，在棱长为a 的正方体ABCD —111D C B A １中，O 是AC 、BD 的交点，E 、F 分别是AB 与AD 的中点．图9－19（1）求异面直线1OD 与11C A 所成角的大小； （2）求异面直线EF 与11C A 所成角的大小；解析：（1）∵ 11C A ∥AC ，∴ 1OD 与AC 所成的锐角或直角就是1OD 与11C A 所成的角，连结1AD 、1CD ，在△11D AA 和△11D CC ，∵ 1AA ＝1CC ，1111D C D A =，11D AA ∠11D CC ∠= 90=，∴△11D AA ≌△11D CC ，∴11CD AD =．∴△C AD 1是等腰三角形．∵ O 是底边AC 的中点，∴ AC OD ⊥1，故1OD 与11C A 所成的角是90°． （2）∵ E 、F 分别是AB 、AD 中点，∴ EF ∥BD ，又∵ 11C A ∥AC ，∴ AC与BD 所成的锐角或直角就是EF 与11C A 所成的角．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ，∴ EF 与11C A 所成的角为90°4、体积问题中的转化研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般柱体体积问题转化为长方体体积问题，一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而推导出柱体和锥体体积公式等。