文科立体几何线面角二面角专题_带答案
空间角(异面直线所成角,线面角,二面角)
第四讲 空间角（异面直线所成角线面角二面角）A 组题一、选择题1.下面正确的序号是①两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.②直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ③两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.④两异面直线夹角的范围是(00,90⎤⎦，直线与平面所成角的范围是0090⎡⎤⎣⎦，，二面角的范围是[0，1800] ( ).A.①B.②C.③D.④【答案】D【解析】对于①，因为两异面直线夹角的范围是(00,90⎤⎦，而两直线的方向向量所成的角可能为钝角. 所以①错. 对于②，直线的方向向量和平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角或其补角. 所以②错.对于③，两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角是这两个平面所成的角或其补角. 所以③错. 故选D .2.如图，在正方体ABCD －A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与C N 所成的角是( ). A.90° B.75° C.60° D.45°【答案】A【解析】取AA′的中点Q ，连接QN ，B Q ，且B Q 与B′M 相交于点H ，则QN 綉AD 綉BC ，从而有四边形NQ BC 为平行四边形，所以N C ∥Q B ，则有∠B′H B 为异面直线B′M 与C N 所成的角. 又∵B′B ＝BA ，∠B′B M ＝∠BA Q ＝90°，B M ＝A Q ，∴△B′B M ≌△BA Q ， ∴∠M B′B ＝∠Q B M .而∠B′M B ＋∠M B′B ＝90°，从而∠B′M B ＋∠Q B M ＝90°，∴∠MH B ＝90°.故选A. 3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与P B 所成角的大小为( ) A.90° B.75° C.60° D.45°【答案】 A【解析】如图，过点B 作直线B E ∥CD ，交DA 的延长线于点E ，连接PE .∴∠P B E (或其补角)是异面直线CD 与P B 所成角.∵△P AB 和△P AD 都是等边三角形，∴∠P AD ＝60°，DA ＝P A ＝AB＝P B ＝A E ，∴∠P A E ＝120°.设P A ＝AB ＝P B ＝A E ＝a ，则PE .又∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴∠BA E ＝90°，∴B E a ，∴在△P B E 中，P B 2＋B E 2＝PE 2，∴∠P B E ＝90°.即异面直线CD 与P B 所成角为90°.故选A.4.已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线B E 与CD 1所成角的余弦值为( )B.15 D.35【答案】C【解析】如图，连接BA 1,因为BA 1∥CD 1，所以∠E B A 1是异面直线B E 与CD 1所成角，设AB ＝1,则111,EB A E A B ===,作EF ⊥BA 1, 11A E AB EF A B ⋅==FB =∠E B A 1.选C.5. 如图，三棱锥P —ABC 中， P C ⊥平面ABC ，P C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是P B 上一点，且CD ⊥平面P AB, 则异面直线A P 与BC 所成角的大小； A.90°B. 60°C. 75°D.45°【答案】B【解法】∵P C ⊥平面ABC ，⊂A B 平面ABC ， ∴P C ⊥AB ．∵CD ⊥平面P AB ，⊂A B 平面P AB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ， ∴AB ⊥平面P CB ．过点A 作A F //BC ，且A F ＝BC ，连结PF ，C F ． 则 PAF ∠为异面直线P A 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴C F ⊥A F ，得PF ⊥A F ．则A F ＝C F ＝2，PF ＝6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中， tan ∠P A F ＝26AFPF=＝3，∴异面直线P A 与BC 所成的角为60°．选B.6. 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形，AB EF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与B F 所成角的余弦值. A.42 B.2C. 3D.【答案】A 【解析】∵CB ∥AD, ∴∠CB F 为异面直线AD 与B F 所成的角.连接C F 、C E 设正方形ABCD 的边长为α,则B F ＝a 2∵CB ⊥AB, E B ⊥AB ∴∠C E B 为平面ABCD 与平面AB EF所成ABC DPE F的角,∴∠CB E ＝∠60ο ∴C E ＝a F C ＝a 2 ,∴cos ∠CB F ＝42,选A. 7. 如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ， 60=∠DAB ，1AA AD =，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点，则面1BFD 与面ABCD 所成二面角的大小． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】C【解析】 底面是菱形， BD AC ⊥∴ 又⊥B B 1 面ABCD ，⊂AC 面ABCD B B AC 1⊥∴，⊥∴AC 面11B BDD 又AC MF // ⊥∴MF 面11B BDD 延长F D 1、DE 交于点E ，F 是A A 1的中点且ABCD 是菱形AB AE DA ==∴ 又 60=∠DAB 90=∠∴DBE ∴BE B D ⊥1 BD D 1∠∴为所求角 在菱形ABCD 中， 60=∠DAB BD BC 3=∴ 3t a n 11==∠BDDD BD D 601=∠∴BD D ,选C .8.在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】A【解析】如图，二面角α－l －β为45°，β，且与棱l 成45°角，过A 作A O ⊥α于O ，作A H ⊥l 于H .连接OH 、O B ，则∠A HO 为二面角α－l －β的平面角，∠AB O 为AB 与平面α所成角．不妨设A HRt △A OH 中，易得A O ＝1；在Rt △AB H 中，易得AB ＝2.故在Rt △AB O 中，sin ∠AB O ＝12AO AB =，∴∠AB O ＝30°，为所求线面角．选A. 二、填空题9. 如图所示，在正四面体S －ABC 中，D 为S C 的中点，则BD 与S A所成角的余弦值是A BC DA 1B 1C 1D 1F MOE________．【解析】取AC 中点E ，连接D E ，B E ，则BD 与D E 所成的角即为BD 与S A 所成的角．设S A ＝a ，则BD ＝B Ea ，D E ＝2a .由余弦定理知cos ∠BD E.10. 如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小的正切为23，则该正四棱柱的高等于____________．【答案】【解析】由题意得11122tan 33DD DBD DD BD ∠===⇒=. 11. A 、B 是直二面角α－l －β的棱l 上的两点，分别在α，β内作垂直于棱l 的线段AC ，BD ，已知AB ＝AC ＝BD ＝1，那么CD 的长为【解析】如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC ，BD 分别在α，β内垂直于棱l ，AB ＝AC ＝BD ＝1，作出以线段AB ，BD ，AC 为棱的正方体，CD 即为正方体的对角线，由正方体的性质知，CD三、解答题 12. 如图，三棱锥P —ABC 中， P C ⊥平面ABC ，P C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是P B 上一点，且CD ⊥平面P AB ．(1) 求证：AB ⊥平面P CB ；(2 求异面直线A P 与BC 所成角的大小；（3π） 【解析】(1) ∵P C ⊥平面ABC ，⊂A B 平面ABC ，BDPE∴P C ⊥AB ．∵CD ⊥平面P AB ，⊂A B 平面P AB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ， ∴AB ⊥平面P CB ．(2) 过点A 作A F //BC ，且A F ＝BC ，连结PF ，C F ．则 PAF ∠为异面直线P A 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴C F ⊥A F ．由三垂线定理，得PF ⊥A F ．则A F ＝C F ＝2，PF ＝6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中， tan ∠P A F ＝26AF PF =＝3， ∴异面直线P A 与BC 所成的角为3π．13.如图所示，在多面体111A B D DCBA 中，四边形11AA B B，11,ADD A ABCD均为正方形，点E 为11B D的中点，过点1A ，D ，E 的平面交1CD 于点F .（1）求证：1//EF B C ；(2)求二面角11EA DB ﹣﹣余弦值.【解析】（1）证明：由题可得1//AD B C ，又因为1A D ⊄平面11B CD ，1B C ⊂平面11B CD ，所以1//A D 平面11B CD ．又平面1A DEF平面11B CD EF =，所以1//A D EF ．又因为11//A D B C ，所以1//EF B C ．（2）将原图形补全成正方体，如图所示，则平面1A CD 即为平面1A EFD ，所以求二面角11E A D B --的余弦值可以转化为求二面角111C A D B --的余弦值。
解二面角问题三种方法(习题及答案)
C A BD A A 1 B DCC 1 B 1解二面角问题（一）查找有棱二面角的平面角的办法和求解.（1）界说法：应用二面角的平面角的界说,在二面角的棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最根本的办法.要留意用二面角的平面角界说的三个“重要特点”来找出平面角,当然这种找出的角要有利于解决问题.下面举几个例子来解释.例1：如图,立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形,画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数.例2：在三棱锥P-ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=600,求二面角A-PB-C 的余弦值.如许的类型是许多的,如下列几道就是应用界说法找出来的：1.在正方体ABCD －A1B1C1D1中,找出二面角B －AC －B1的平面角并求出它的度数. 2.．边长为a 的菱形ABCD ,∠ACB=600,现沿对角线BD 将其折成才600的二面角,则A.C 之间的距离为.（菱形两条对角线互相垂直,半数后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线,则所成的角是二面角的平面角）3.正三棱柱ABC —A1B1C1的底面边长是4,过BC 的一个平面与AA1交于D,若AD=3,求二面角D―BC―A 的正切值.总之,能用界说法来找二面角的平面角的,一般是图形的性质较好,可以或许较快地找到知足二面角的平面角的三个重要特点.并且可以或许很快地应用图形的一些前提来求出所请求的.在罕有的几何体有正四面体,正三棱柱,正方体,以及一些平面图形,正三角形,等腰三角形,正方形,菱形等等,这些有较好的一些性质,可以经由过程它们的性质来找到二面角的平面角.至于求角,平日是把这角放在一个三角形中去求解.由图形及标题标已知前提来求这个三角形的边长或者角,再用解三角形的常识去求解.（2）三垂线法：是应用三垂线的定理及其逆定理来证实线线垂直,来找到二面角的平面角的办法.这种办法症结是找垂直于二面角的面的垂线.此办法是属于较经常应用的.例3：如图,在三棱锥P-ABC 中,PA⊥平面ABC,PA=AB,AC=BC=1,∠ACB=900,M 是PB 的中点.(1)求证：BC⊥PC,(2)平面MAC 与平面ABC 所成的二面角的正切.例4：如图,已知△ABC 中,AB⊥BC,S 为平面ABC 外的一点,SA⊥平面ABC,AM⊥SB 于M,AN⊥SC 于N,(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求证∠ANM 是二面角A －SC－B 的平面角.本题可变形为：如图,已知△ABC 中,AB⊥BC,S 为平面ABC 外的一点,SA⊥平面ABC,∠ACB＝600,SA ＝AC ＝a,(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求二面角A －SC －BC 的正弦值.在应用三垂线找平面角时,找垂线留意应用已知的前提和有关垂直的剖断和性质定理,按三垂线的前提,一垂线垂直二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线.且两垂线订交,交点在二面角的面内.（3）垂面法：作一与棱垂直的平面,该垂面与两二面角两半平面订交,得到交线,交线所成的角为二面角的平面角.这症结在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面.例5：如图在三棱锥S －ABC 中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE 垂直等分SC 且分离交AC.SC 于D.E,又SA ＝AB,SB ＝BC,求二面角E －BD －C 的度数. C B M A P N K A B CM N S A B C SDA l D C α β A lBC α β E BD 如图,βα⊂⊂BD AC ,,α与β所成的角为600,l AC ⊥于C,l BD ⊥于B,AC ＝3,BD ＝4,CD ＝2,求A.B 两点间的距离. （二）查找无棱二面角的平面角的办法和求解. 无棱的二面角一般是只已知一个共点,但两个面的交线不知道.若要找出二面角的平面角,则须要依据正义2或正义4来找出二面角的棱,化为有棱二面角问题,再按有棱二面角的解法解题.这种重要有两类：一类是分离在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在统一平面内且不服行）.那么延伸这两条线有一交点,依据正义2,这点在二面角的棱上,连公共点和这点就是二面角的棱;另一类是分离在两个面内有两条直线是平行的二面角.这由直线和平面平行的剖断和性质定理知这直线和面平行,所以直线平行于二面角的两个面的交线.由正义4,可知这两条直线平行于二面角的棱.所以过公共点作一条直线平行于这两直线,那么所作的直线是二面角的棱.例6：如图,△ABC 在平面上的射影为正△AB1C1,若BB1=21,CC1=AB1=1,求平面ABC 与平面AB1C1所成锐角二面角的大小.变式：1. 如图,在底面是直角梯形的立体图S －ABCD 中,∠ABC＝900,SA⊥底面ABCD,SA ＝AB ＝BC＝1,AD ＝0.5,求面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角的正切值. 2. 如图,在所给的空间图形中ABCD 是正方形,PD⊥面ABCD,PD ＝AD.求平面PAD 和PBC 所成的二面角的大小.3. 如图,斜三棱柱ABC －A1B1C1的棱长都是a,侧棱与底面成600角,正面BCC1B1⊥面ABC,求平面AB1C1与底面ABC 所成的二面角的大小.解关于二面角问题 A B C B 1 C 1A B CD S C A B DPA C D BA 1E C 1B二面角是立体几何中最重要的章节.二面角中的内容分解了线面垂直,三垂线定理及其逆定理和异面直线所成角等较多的常识点,是高考的热门和难点.在总结时,若可以或许引诱学生进行对解二面角的问题进行探讨和总结,对进步学生的数学思惟办法是有帮忙的,对进步学生灵巧应用所学的也有很重要的感化.为此我对这方面进行总结,以供教授教养和进修参考.（一）对本内容进行思虑时,必须弄清两个概念：（1）什么是二面角,若何暗示？而二面角的大小是可以用它的平面角来器量,二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度.（2）什么是二面角的平面角,若何暗示？这一概念特别重要,要可以或许很快地反响出二面角的平面角是以二面角的棱上随意率性一点为端点,在两个面内分离作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角.,二面角的平面角的界说三个重要特点是：过棱上随意率性一点;分离在两个面内作射线;射线垂直于棱.明白这一点对于可以或许作出或找出二面角的平面是很症结.在头脑里要能想象出二面角平面角的图形.如图,0∈a,OA⊂α,OB⊂β,OA⊥a,OB⊥a.（二）查找有棱二面角的平面角的办法和求解.查找和求作二面角的平面角是解二面角问题的症结,这也是个难点.在从图形中作出二面角的平面角时,要联合已知前提来对图形中的线线.线面和面面的地位关系先辈行剖析,肯定有哪些是平行.垂直的或者是特别的平面图形,然后应用这些的有关性质和二面角的平面角的界说进行V B A C D 找出二面角的平面角.所以解关于二面角问题须要有很好的对线线.线面和面面的地位关系的剖析断定才能.而在求作二面角的平面角的办法重要有三种：界说法.三垂线法.垂面法.至于在求解有关平面角的问题时,这平面角平日是在三角形中,所以常要用到解直角三角形和斜三角形的常识,这包含正弦和余弦定理的常识,也会用到其它的平面几何常识.（1）界说法：应用二面角的平面角的界说,在二面角的棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最根本的办法.要留意用二面角的平面角界说的三个“重要特点”来找出平面角,当然这种找出的角要有利于解决问题.下面举几个例子来解释.例1：如图,立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形,画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数.剖析：由图可知,所求的二面角的棱是AB,两个面是面VAB 和面CAB.由已知可知这是一个正四面体,各个面是全等的正三角形,依据二面角的平面角的界说,我们可应用正三角形的性质来找出平面角,取AB 边上的中点D,贯穿连接VD 和CD.则∠VDC 是所求二面角的平面角.可设正三角形的边长为a,用解三解形的常识求出VD ＝CD ＝a 23,在△VDC 中,应用余弦定理可求得cos∠VDC=1/3,∴∠VDC＝arccos1/3 评注：在本题中主如果应用已知前提中的特别前提和二面角平面角的界说来找出所请求的平面角.在求解时应用的是平面几何解三角形的常识.这也就是把立体图形的问题转化为平面几何的问题的数学思惟. A B C N M P QAA 1B DC C 1 B 1 .例2：在三棱锥P-ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=600,求二面角A-PB-C 的余弦值.剖析：所求二面角的棱是PB,两个面为面PBA 和面PBC.用二面角的平面角的界说找出平面角,在二面角的棱PB上任取一点Q,在半平面PBA 和半平面PBC 上作QM ⊥PB,QN ⊥PB,则由界说可得∠MQN 即为二面角的平面角.设PM=a,则在Rt ∆PQM 和Rt ∆PQN 中可求得QM=QN=23a;又由∆PQN ≅∆PQM得PN=a,故在正三角形PMN 中MN=a,在三角形MQN 中由余弦定理得cos ∠MQN=1/3,即二面角的余弦值为1/3.如许的类型是许多的,如下列几道就是应用界说法找出来的：1.如图,在正方体ABCD －A1B1C1D1中,找出二面角B －AC －B1的平面角并求出它的度数.2.．边长为a 的菱形ABCD ,∠ACB=600,现沿对角线BD 将其折成才600的二面角,则A.C 之间的距离为.（菱形两条对角线互相垂直,半数后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线,则所成的角是二面角的平面角）3.正三棱柱ABC —A1B1C1的底面边长是4,过BC 的一个平面与AA1交于D,若AD=3,求二面角D―BC―A 的正切值.总之,能用界说法来找二面角的平面角的,一般是图形的性质较好,可以或许较快地找到知足二面角的平面角的三个重要特点.并且可以或许很快地应用图形的一些前提来求出所请求的.在罕有的几何体有正四面体,正三棱柱,正方体,以及一些平面图形,正三角形,等腰三角形,正方形,菱形等等,这些有较好的一些性质,可以经由过程它们的性质来找到二面角的平面角.至于求角,平日是把这角放在一个三角形中去求解.由图形及标题标已知前提来求这个三角形的边长或者角,再用解三角形的常识去求解.（2）三垂线法：是应用三垂线的定理及其逆定理来证实线线垂直,来找到二面角的平面角的办法.这种办法症结是找垂直于二面角的面的垂线.此办法是属于较经常应用的. B A A 1 B 1 C C 1 D D 1例3：如图,在三棱锥P-ABC 中,PA⊥平面ABC,PA=AB,AC=BC=1,∠ACB=900,M 是PB 的中点.(1)求证：BC⊥PC,(2)平面MAC 与平面ABC 所成的二面角的正切.剖析：第1小题较简略.第2小题,不雅察图形中的线面地位关系,已知PA⊥平面ABC,M 是PB 的中点,若在△PAB 中取AB 的中点N,则很快发明MN⊥平面ABC,作KN⊥AC,连MK,则由三垂线定理可得MK⊥AC,所以∠MKN 为所求的二面角的平面角.而求其正切值,在Rt△MNK 中求出MN 和KN,而求MN 和KN,只需在△PAB 和△ABC 中就可求出,从而求出其正切值为2. 评注：本题用界说法较难以实现,但由图可找到二面角一个面的垂线.从而作棱的垂线,由三垂线定理证实是所要找的平面角.症结找到MN 这条垂线.例4：如图,已知△ABC 中,AB⊥BC,S 为平面ABC 外的一点,SA⊥平面ABC,AM⊥SB 于M,AN⊥SC 于N,(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求证∠ANM 是二面角A －SC －B 的平面角.剖析：由图和题意可得BC⊥平面SAB,从而可得证平面SAB⊥平面SBC,而要证二面角A －SC －B 的平面角是∠ANM,从已知前提AM⊥SB 于M,由两个平面垂直的性质可得AM⊥平面SBC,又有AN⊥SC,所以由三垂线逆定理可得MN⊥SC,从而证清楚明了∠ANM 是二面角A －SC －BC 的平面角.评注：本题供给了应用若何从一系列的垂直关系中来慢慢找到二面角的一个面的垂线,再由三垂线的定理证实所要找的平面角.本题要特别留意C B M A P N K A B CMN S的是这条垂线不是在程度上的,所以不雅察剖析图时要留意多应用有关定理去断定.本题可变形为：如图,已知△ABC 中,AB⊥BC,S 为平面ABC 外的一点,SA⊥平面ABC,∠ACB＝600,SA ＝AC ＝a,(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求二面角A －SC －BC 的正弦值.解第2小题的第一步是按例4做出二面角的平面角,然后应用各个直角三角形求出AN 和AM 的长.总之,在应用三垂线找平面角时,找垂线留意应用已知的前提和有关垂直的剖断和性质定理,按三垂线的前提,一垂线垂直二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线.且两垂线订交,交点在二面角的面内.（3）垂面法：作一与棱垂直的平面,该垂面与两二面角两半平面订交,得到交线,交线所成的角为二面角的平面角.这症结在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面.例5：如图在三棱锥S －ABC 中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE 垂直等分SC 且分离交AC.SC 于D.E,又SA ＝AB,SB ＝BC,求二面角E －BD －C 的度数.剖析：由题意和图,可得SC⊥平面BDE,则SC⊥DB,又SA⊥平面ABC,则SA⊥DB,从而得BD⊥平面SAC.所以BD⊥DC,BD⊥DE,则∠DEC 是二面角的平面角.请求它的度数,可在Rt△SAC 和△DEC 中求,先求出∠SCA 的度数.设SA ＝a,在图的直角三角形中求出SB ＝BC ＝2a,AC ＝3a,故得到∠SCA＝300,从而得到∠DEB＝600. 评注：本题的垂直关系许多,若何应用好这些关系？这需解题的目标要明A B CS DA l D C α β A lBC α β E BD 白才干应用好这些关系.从这些垂直关系很轻易就剖断BD⊥平面SAC,而BD 是二面角的的棱,所以平面SAC 是二面角的垂面,由二面角的平面角的界说就找到了∠EDC 是所求二面角的平面角.它的应用例如： 如图,βα⊂⊂BD AC ,,α与β所成的角为600,l AC ⊥于C,l BD ⊥于B,AC ＝3,BD ＝4,CD ＝2,求A.B 两点间的距离. 由题意要应用二面角的度数,要找出它的平面角,可过C 作CE∥DB,且CE ＝DB,连AE,则很轻易得到l⊥面ACE,∠ACE 是二面角的平面角,为了求AB,连BE,在△ACE 中由余弦定理求出AE,在Rt△AEB 中可求出AB 的长.总之要会应用此法,对线线.线面.面面的垂直关系要有很好的断定才能,才干找到解的思绪.（三）查找无棱二面角的平面角的办法和求解.无棱的二面角一般是只已知一个共点,但两个面的交线不知道.若要找出二面角的平面角,则须要依据正义2或正义4来找出二面角的棱,化为有棱二面角问题,再按有棱二面角的解法解题.这种重要有两类：一类是分离在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在统一平面内且不服行）.那么延伸这两条线有一交点,依据正义2,这点在二面角的棱上,连公共点和这点就是二面角的棱;另一类是分离在两个面内有两条直线是平行的二面角.这由直线和平面平行的剖断和性质定理知这直线和面平行,所以直线平行于二面角的两个面的交线.由正义4,可知这两条直线平行于二面角的棱.所以过公共点作一条直线平行于这两直线,那么所作的直线是二面角的棱.例5：如图,△ABC 在平面上的射影为正△AB1C1,若BB1=21,CC1=AB1=1,求平面ABC 与平面AB1C1所成锐角二面角的大小. 剖析：所求的二面角只各一个公共点A,不雅察图可知二面角的两个面内BC 和B1C1共面但不服行,所以若延伸它们必交于一点D,由正义2知,点D 在二面角的棱上.所以连AD 就找到棱.接着是找出二面角的平面角.由图形的性质知,C1D=2B1C1=2,A1C1＝1,∠AC1B＝600,用正弦定理或余弦定理都可求出∠C1AD＝900,再由三垂线定理得∠CAC1为二面角的平面角,然后在Rt△CAC1中可求得∠CAC1＝450. 评注：本题是属于第一类的问题.延伸两条直线交于A B C B 1 C 1DA B C B 1C 1一点从而得到棱,再用三垂线法找二面角的平面角.此题可变成：如图,在底面是直角梯形的立体图S －ABCD 中,∠ABC＝900,SA⊥底面ABCD,SA ＝AB ＝BC ＝1,AD ＝0.5,求面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角的正切值.由图可知二面角有一个公共点S,但在两面中的AB 和CD 共面且不服行,所以延伸交于点 E.再由题意证实BC⊥平面SAB,S B⊥SE,由三垂线定理可知∠BSC 是所求的二面角.在Rt△SBC 中可求得正切值为22.例6：如图,在所给的空间图形中ABCD 是正方形,PD⊥面ABCD,PD ＝AD.求平面PAD 和PBC 所成的二面角的大小.剖析：由图知二面角有一个公共点P,在两面内的AD 和BC 是共面且平行,所以AD∥平面PBC,由直线和平面平行的性质知,过AD 的平面PAD 与平面平面PBC 的交线（即为二面角的棱）与AD 平行,所以过P 作PE∥AD,则PE 为二面角的棱.由题意PD⊥面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥PE,又可证得CD⊥平面PAD,由三垂线定理可得∠CPD 为所求二面角的平面角.在Rt△CPD 中可求得∠CPD＝450.评注：本题是属于第二类的问题.二面角有一个共点,在分离两面内的两条直线平行,则平行于棱.找出二面角的棱后,再用三垂线法找二面角的平面角. 例7：如图,斜三棱柱ABC －A1B1C1的棱长都是a,侧棱与底面成600角,正面BCC1B1⊥面ABC,求平面AB1C1与底面ABC 所成的二面角的大小. A B C D E S C A BD E P A C DB A 1EC 1剖析：此题A是二面角的一个公共点.又在两面的BC和B1C1平行,故过点A作AE∥BC,则AE为二面角的棱.若何找平面角是本题的难点.因为各棱长都相等,所以正面是菱形,底面是正三角形.又正面BCC1B1⊥面ABC,过C1作C1D⊥BC,由两平面垂直的性质得C1D⊥面ABC,侧棱与底面成600角,所以∠C1CD＝600,由此可得D为BC的中点.连AD得AD⊥BC,从而AD⊥AE,由三垂线定理得∠C1AD为二面角的平面角,在Rt△C1AD中可求得∠C1AD＝450.评注：本题除了要找棱外,用三垂线法找平面角时,症结在能剖析已知前提的感化,来找垂线,和应用直线和平面所成的角来推算出点D为BC的中点,从而可用三垂线法找出平面角.总之,无棱的二面角按两类的办法找出棱,转化为有棱的二面角问题来解.从上面几个例题的剖析和介绍的办法中,可以看出,二面角问题可以分解较多常识点,可以分解有关的平行.垂直的关系.用到的定理几乎是我们所学立几的常识.所以要有较扎实的基本常识才干够对于得了这类问题.在盘算方面要用到解三角形的常识,要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角,然后平日归结在一个三角形中去求出最后的成果.总的,解这类题,找平面角是症结的一步,要留意应用题中的前提剖析图形,然后用有关的办法找出平面角,盘算时要剖析所请求的量是可由图中的哪些平面图形去慢慢去求出.。
立体几何中二面角和线面角
立体几何中的角度问题一、 异面直线所成的角1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。
2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值二、直线与平面所成夹角1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。
求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。
2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。
三、二面角与二面角的平面角问题1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．2、如图5，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足5FB FD a ==，6EF a =。
（1）证明：EB FD ⊥；（2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。
专题8.3 立体几何综合问题(原卷版)文科生
【考点1】空间角，距离的求法 【备考知识梳理】 1．空间的角(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)二面角的平面角：如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π.(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 3.空间距离:（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．（2）点到平面的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. 【规律方法技巧】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. （1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. （2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h =θsin 进行求解.③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；DBA Cα②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 【考点针对训练】1. .【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.2. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】如图，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 是PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22AB AC ==．（1）求证：//QG 平面PBC ； （2）求G 到平面PAC 的距离． 【考点2】立体几何综合问题 【备考知识梳理】空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有： 以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明. 探索性问题中的平行与垂直问题. 折叠问题中的平行与垂直问题. 【考点针对训练】1. 【2016届宁夏高三三轮冲刺】如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设,D E 分别为,PA AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）求证：BC ⊥平面PAB ；（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，,E F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．2. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，将,AED DCF ∆∆分别沿DE 、DF 折起， 使,A C 两点重合于P .(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； (Ⅱ)求四棱锥P BFDE -的体积. 【应试技巧点拨】 1．如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. （2）利用三棱锥的等体积，省去垂足在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h ！利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h=θsin 进行求解.（3）妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. 2.如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；（2）射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 3.探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.4．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．5．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．6．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为（ ）（A ）2 （B ）2 （C ）3（D ）132. 【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______．3. 【2016高考北京文数】如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥（I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.4. 【2016高考天津文数】如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证：//FG 平面BED ；(Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.5. 【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE6. 【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7.【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．8.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEGAB FHED C G CD EAB9.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC=2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF//BC. (Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.题（20）图AC10. 【2014高考重庆文第20题】如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM=. （Ⅰ）证明：BC⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.11. 【2014高考全国1文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.12.【2014高考江西文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值.【一年原创真预测】1.已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD ∆为等边三角形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：平面平面BCE DCE ⊥； （Ⅱ）求B CDE 点到平面的距离.2．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是等腰直角三角形，且AB CB ==，且AA 1=3，D 为11AC 的中点，F 在线段1AA 上,设11A F tAA =（102t <<），设11=B C BC M ．MFDC 1B 1A 1CBA（Ⅰ）当取何值时，CF ⊥平面1B DF ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四面体1F B DM -的体积．3.如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，PA PB AB BC 6====，点M ，N 分别为PB,BC 的中点．（I ）求证：AM ⊥平面PBC ； （Ⅱ）E 是线段AC 上的点，且AM 平面PNE .①确定点E 的位置；②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．4.如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC=60°，点F 在斜边AB 上，且AB=4AF ，D ，E 是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AD=3，AC=BE=4.(Ⅰ)求证：CD ⊥EF ；(Ⅱ)若点M 是线段BC 的中点，求点M 到平面EFC 的距离.5. 如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3,4AB BC ==,作11//BB AA ，分别交111,A D AD 于点1B ，P .作11//CC AA ，分别交111,A D AD 于点1C ，Q .将该正方形沿11,BB CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图的三棱柱111ABC A B C -.（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求四棱锥A BCQP -的体积.【考点1针对训练】 1.2.【考点2针对训练】 1.又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//EF PBC ．又因为DE EF E =，所以平面//DEF 平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．2.【三年高考】 1. 【答案】A//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60 ,故,m n所成角的正弦值为2,故选A. 2.3. 【解析】（I ）因为C P ⊥平面CD AB ，所以C DC P ⊥．又因为DC C ⊥A ，所以DC ⊥平面C PA ． （II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ，所以C AB ⊥A ．因为C P ⊥平面CD AB ，所以C P ⊥AB ．所以AB ⊥平面C PA ．所以平面PAB ⊥平面C PA ．（III ）棱PB 上存在点，使得//PA 平面C F E ．证明如下：取PB 中点，连结F E ，C E ，CF ．又因为E 为AB 的中点，所以F//E PA ．又因为PA ⊄平面CF E ，所以//PA 平面C F E ．4.5.6. 【答案】C【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.7.解法二：（I）、（II）同解法一．8.【解析】(Ⅰ)点F ，G ，H 的位置如图所示9.【解析】如题(20)图.由,DE EC PD PC ==知，E 为等腰PDC D 中DC 边的中点，故PE AC ^，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PE Ì平面PAC ，PE AC ^，所以PE ^平面ABC ，从而PE AB ^.因ABC=,,AB EF 2EF BC p衈故. 从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ^平面PFE .(2)解：设BC=x ,则在直角ABC D中，从而11S AB BC=22ABC D =?由EFBC ，知23AF AE AB AC ==，得AEF ABC DD ,故224()S 39AEF ABC S D D ==，即4S 9AEF ABC S D D =.FCDEAB GHO由1AD=2AE ,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC D D D D =?=从而四边形DFBC 的面积为DFBC11S S -=29ABC ADF S D D =718=(1)知，PE PE ^平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC D 中，=体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=鬃=?,故得42362430x x -+=，解得2297x x ==或，由于0x >，可得3x x ==或.所以3BC =或BC =10.11.12.【解析】（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB AC ⊥,又11//BB CC ，所以11.AC CC ⊥（2）设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1BA同理1AC 在1A BC ∆中,2222111111cos 2A B AC BC BAC BAC A B AC +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=⋅∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯=因=故当x =时，即1AA =时，体积V取到最大值【一年原创真预测】1.【解析】（Ⅰ）DE ⊥平面ACD ，F A ⊂平面CD A ∴DE AF ⊥，又等边三角形ACD 中AF CD ⊥, D CD D E =，D E ⊂平面CD E ，CD ⊂平面CD E ，∴平面AF ECD ⊥，取CE 的中点M ，连接BM,MF ，则MF 为△CDE 的中位线，故1////,2MF DE AB MF DE AB ==,所以四边形ABMF 为平行四边形，即MB//AF,MB⊂平面C B E ，F A ⊄平面C B E ，//BCE 平面AF ∴，平面平面BCE DCE ∴⊥.（Ⅱ）因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB //DE ，故AB //平面DCE ，B CDE 点到平面的距离h 等于A CDE 点到平面的距离d ，由体积相等A DCE E ACD V V --=得,1133DCE ADC S d S DE ∆∆⋅=⨯,011112222sin 6023232d ⋅⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得h d ==.2．（Ⅱ）由已知得111111==22F B DM M B DF C B DF B CDF V V V V ----=，因为FD FC 1=22CDF S DF FC ⋅=△，由（Ⅰ）得1B D ⊥平面DFC ，故112=21=33B CDF V -⨯⨯，故1F B DM -的体积为13．3.②作EH AB ⊥于H ，则EH //BC ，∴EH ⊥平面PAB ，∴EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成的角.∵1AH AB 23==，π6=3PA PAH =∠， ∴PH ==1EH BC 23==，∴EH tan EPH PH 7∠==，即直线PE 与平面PAB 所成角的正切值为7.4.5.。
全国高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结
又∵ SA AC 6 ，∴ AM 2 ，∵ AM AB 2 ，ABM 600∴△ ABM 是等边三角形，BF 3 。
在△ GAB 中，AG 626，AB 2，GAB 900，cos BFG GF 2FB2BG 22GF FB132222112面角S AM6B的大小为arccos( 36)二面角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S—AM—B 中半平面ABM 上的一已知点（B）向棱AM 作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F）作棱AM 的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例 1 如图，四棱锥S ABCD 中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD ，AD 2DC SD 2，点M在侧棱SC上，ABM =60（I）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B 的大小。
证（I）略AM 的中点，过F点在平面ASM 内作GF AM ，GF交AS 于G，连结AC，∵△ ADC≌△ ADS，∴ AS-AC，且M是SC的中点，∴ AM⊥SC，GF⊥ AM，∴ GF∥AS，又∵ F为AM 的中点，∴GF是△ AMS的中位线，点G是AS的中点。
则GFB 即为所求二面角. ∵ SM 2 ，则GF解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形A BM 中过点B 作BF AM 交AM 于点F ，则点F 为二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直．通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-
专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。
高考立体几何文科大题及答案
（Ⅱ）求二面角A— —B的大小。
14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥 中，⊿ 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若 ，且平面 ⊥平面 ，
求三棱锥 体积。
15.（2009福建卷文）如图，平行四边形 中， ， 将
沿 折起到 的位置，使平面 平面
（I）求证：
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣD ＡD，又ＳＤ AD=D， CD 平面SAD。
过点D在平面SAD内做DF AE于F，连接CF，则CF AE，
故 CFD是二面角C-AE-D的平面角，即 CFD=60°
在Rt△ADE中， AD= , DE= ，AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由 cot60°=
得 ，即 =3
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系 ，
设
则 ，
（Ⅰ）∵ ，
∴ ，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面 .
（Ⅱ）当 且E为PB的中点时， ，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 .
由 得2AD= ，解得AD= 。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为 与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD= ，故EH=1，又EC= =2，
（Ⅰ）设 ，则
2018高考数学真题 文科 8.5考点3 线面角、二面角的求法
第八章立体几何第五节直线、平面垂直的判定与性质考点3 线面角、二面角的求法（2018·浙江卷）已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S－AB－C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1【解析】如图，不妨设底面正方形的边长为2，E为AB上靠近点A的四等分点，E′为AB的中点，S到底面的距离SO＝1，以EE′，E′O为邻边作矩形OO′EE′，则∠SEO′＝θ1，∠SEO＝θ2，∠SE′O＝θ3.由题意，得tan θ1＝SO′EO′＝√52，tan θ2＝SOEO ＝√52＝√5，tan θ3＝1，此时tan θ2＜tan θ3＜tan θ1，可得θ2＜θ3＜θ1.当E在AB中点处时，θ2＝θ3＝θ1.故选D．【答案】D（2018·浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A ＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．【解析】方法一 （1）证明 由AB ＝2，AA 1＝4，BB 1＝2，AA 1⊥AB ，BB 1⊥AB ，得AB 1＝A 1B 1＝2√2，所以A 1B 12＋A B 12＝A A 12，故AB 1⊥A 1B 1.由BC ＝2，BB 1＝2，CC 1＝1，BB 1⊥BC ，CC 1⊥BC ，得B 1C 1＝√5.由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，得AC ＝2√3.由CC 1⊥AC ，得AC 1＝√13，所以A B 12＋B 1C 12＝A C 12，故AB 1⊥B 1C 1.又因为A 1B 1∩B 1C 1＝B 1，A 1B 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，因此AB 1⊥平面A 1B 1C 1.（2）如图，过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1，交直线A 1B 1于点D ，连接AD ．由AB 1⊥平面A 1B 1C 1，得平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1.由C 1D ⊥A 1B 1，平面A 1B 1C 1∩平面ABB 1＝A 1B 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，得C 1D ⊥平面ABB 1.所以∠C 1AD 是AC 1与平面ABB 1所成的角．由B 1C 1＝√5，A 1B 1＝2√2，A 1C 1＝√21，得cos ∠C 1A 1B 1＝√427，sin ∠C 1A 1B 1＝√77，所以C 1D ＝√3，故sin ∠C 1AD ＝C 1DAC 1＝√3913. 因此直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√3913.方法二 （1）证明 如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知各点坐标如下：A （0，－√3，0），B （1,0,0），A 1（0，－√3，4），B 1（1,0,2），C 1（0，√3，1）．因此AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1，√3，2），A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1，√3，－2），A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0,2√3，－3）． 由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AB 1⊥A 1B 1.由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AB 1⊥A 1C 1.又A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，A 1B 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.（2）设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ.由（1）可知AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0,2√3，1），AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1，√3，0），BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0,0,2）． 设平面ABB 1的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ）．由{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x +√3y =0,2z =0, 可取n ＝（－√3，1,0）．所以sin θ＝|cos 〈AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉|＝|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|＝√3913. 因此直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√3913.【答案】见解析（2018·天津卷（文））如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝2√3，∠BAD ＝90°.（1）求证：AD ⊥BC ；（2）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（3）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明 由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABD ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（2）如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．因为M 为棱AB 的中点，所以MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝√AD 2+AM 2＝√13.因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC ．在Rt △DAN 中，AN ＝1，故DN ＝√AD 2+AN 2＝√13.在等腰三角形DMN 中，MN ＝1，可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝√1326.所以异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为√1326. （3）如图，连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，所以CM ⊥AB ，CM ＝√3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ＝√AC 2+AD 2＝4.在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝√34.所以直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为√34.【答案】见解析。
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.
所以 与平面 所成角的正弦值为 . 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的 空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”， 求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 2．解：
（1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= ．
文科立体几何线面角二面角专题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题 1．如图，在三棱锥
中，
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角
，
， 为 的中点．
为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
2．如图，在三棱锥
中，
由题设可知 OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．
所以 OM= ，CH=
=．
所以点 C 到平面 POM 的距离为 ． 点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明 为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的 距离线段求解，也可利用等体积法解决.
3．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得
,再根据线面
垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角，再在直角三角形中求 解.
方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为 0 得出
,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面 的
连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB= =2．
由
知，OP⊥OB．
由 OP⊥OB，OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC．
（2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM． 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且
，
， 为 的中点．
，求点 到平面 的距离．
3．（2018 年浙江卷）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平 面 ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面 A1B1C1； （Ⅱ）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值．
4．如图，在三棱柱
中，点 P，G 分别是 ， 的中点，已知 ⊥平面
ABC， = =3， = =2.
（I）求异面直线 与 AB 所成角的余弦值；
（II）求证： ⊥平面 （III）求直线 与平面
； 所成角的正弦值.
5．如图，四棱锥 别是 ， 的中点.
，底面 是正方形，
，
，，分
（1）求证
；
（2）求二面角
连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB= =2．
由
知，OP⊥OB．
由 OP⊥OB，OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC．
（2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM． 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离．
一个法向量，然后利用 与平面 关系求解. 详解：方法一：
法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余
（Ⅰ）由
得
，
所以
.
故
.
由，
得
，
由
得
，
由
，得
，所以
，故
.
因此
平面
.
（Ⅱ）如图，过点 作
，交直线 于点 ，连结 .
由
平面
得平面
平面 ，
由
得
平面 ，
所以
是 与平面 所成的角.学科.网
由
得
，
所以
，故
.
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
详解：（1）因为
， 为 的中点，所以
，且
.
连结 .因为
，所以
为等腰直角三角形，
且
，
.
由
知
.
由
知 平面 .
（2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系
.
由已知得
.
设
，则
.
设平面 的法向量为
.
由
得
，可取
取平面 的法向量 ，
所以
.由已知得
.
所以
.解得 （舍去）， .
所以
.又
，所以
的余弦值.
6．如图，三棱柱
中，侧棱
棱 ， ， 的中点.
底面 ，且各棱长均相等. ， ， 分别为
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面
平面
；
（3）求直线 与直线 所成角的正弦值. 7．如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥ 平面 ABCD，EF//BD，且 BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面 ADE⊥平面 BDEF；
平面 ；
（2）设 为线段 上一点，
，求二面角
的平面角的余弦值.
10．如图，在多面体
中，四边形 为等腰梯形，
，已知
，
，
，四边形 为直角梯形，
，
.
（1）证明： 平面 ，平面 （2）求三棱锥 的体积.
平面 ；
分析：(1)根据等腰三角形性质得 PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂直 OB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点 坐标，根据方程组解出平面 PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据 二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得 M 坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.
由题设可知 OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．
所以 OM= ，CH=
=．
所以点 C 到平面 POM 的距离为 ． 【解析】分析：（1）连接 ，欲证 平面 ，只需证明
即可；（2）过
点作
，垂足为 ，只需论证 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
详解：（1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= ．
方法二： （Ⅰ）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空 间直角坐标系 O-xyz.
（Ⅱ）若二面角 C BF D 的大小为 60°，求 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值．
8．如图，在四棱锥
中， 平面 ，
，
，
，点 是 与 的交点，点 在线段 上，且
.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
9．在多面体
中，底面 是梯形，四边形 是正方形，
，
，
，
，
（1）求证：平面