平面几何的立体几何类比概况
几何学中的平面几何与立体几何
几何学是数学中的一个重要分支，探讨了空间中的图形、形状和关系。
而几何学又可分为平面几何和立体几何两个大类。
本文将以“几何学中的平面几何与立体几何”为题，探讨这两个分支的基本概念和重要性。
首先，平面几何是几何学中的一个重要分支，研究平面内的图形和关系。
在平面几何中，我们研究的对象是二维图形，如点、线、角、三角形、四边形和圆等。
平面几何主要探讨这些图形的性质和相互之间的关系。
例如，在平面几何中，我们可以证明的定理有：相等对应边相等、对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等的长方形是正方形；等边三角形的内角均为60度等。
这些定理在我们的日常生活中有着广泛的应用，例如工程测量、建筑设计等。
与平面几何相对应的是立体几何。
立体几何是几何学中研究空间图形和关系的一个分支。
在立体几何中，我们研究的对象是三维图形，如立方体、圆柱体、圆锥和球等。
立体几何主要探讨这些图形的性质和相互之间的关系。
例如，在立体几何中，我们可以证明的定理有：正方体的对角线等于边长的根号2；球的体积等于4/3πr^3等。
这些定理在物理学中的体积计算、建筑设计中的结构强度等方面有着广泛的应用价值。
值得注意的是，平面几何和立体几何并不是完全独立的。
实际上，平面几何是立体几何的一个特例。
在立体几何中，我们可以进行平面截割，将立体图形转化为平面图形进行研究。
例如，我们可以通过斜视图来观察和计算正方体的表面积，将其转化为一个平面几何问题。
这样的转化在研究和解决立体几何问题时是非常有用的。
总结起来，几何学中的平面几何和立体几何是相互联系的。
平面几何主要研究平面内的图形和关系，立体几何则研究空间内的图形和关系。
两者都有着广泛的应用价值，不仅在数学领域中，也在日常生活、工程测量、建筑设计等方面中发挥着重要作用。
因此，掌握和理解平面几何和立体几何的基本概念和定理是我们在学习和应用几何学时必不可少的一部分。
立体几何与平面几何
立体几何与平面几何几何学是一门研究空间、形状、大小和相对位置的学科。
在几何学中，立体几何和平面几何是两个重要的分支，它们分别研究立体空间和平面空间中的几何性质和关系。
本文将介绍立体几何和平面几何的基本概念及其在现实生活中的应用。
一、立体几何的概念和性质1. 立体几何的定义立体几何是研究三维空间中的几何图形和性质的学科。
立体几何中的基本概念包括点、线、面和体。
在立体几何中，我们可以通过测量、计算和推导来研究空间中的物体。
2. 立体几何的性质在立体几何中，有一些基本性质需要我们了解。
例如，直线是空间中最短的曲线，直线的两点确定一条直线，而三个点不在同一条直线上。
此外，平行线在空间中永远不会相交，而直线与平面只有一个公共点或者没有公共点。
3. 立体几何的应用立体几何的概念和性质在现实生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要使用立体几何的知识来设计和构造建筑物；在计算机图形学中，我们可以利用立体几何的原理来建模和渲染三维图像；在工程测量中，我们需要使用立体几何的方法来计算和测量物体的体积和表面积。
二、平面几何的概念和性质1. 平面几何的定义平面几何是研究二维平面上的几何图形和性质的学科。
平面几何中的基本概念包括点、线和面。
在平面几何中，我们可以通过测量、计算和推导来研究平面上的图形和几何性质。
2. 平面几何的性质在平面几何中，也有一些基本性质需要我们了解。
例如，两条不同直线在平面内最多只有一个公共点，而两条平行线永远不会相交。
此外，平面上的三个点不会共线，而通过一个点在平面内作一条直线有无数个方向。
3. 平面几何的应用平面几何的概念和性质在现实生活中也有广泛的应用。
例如，在地图上测量距离和角度时，我们需要使用平面几何的知识；在家居设计中，我们可以利用平面几何的原理来规划和布局空间；在航空航天领域，我们需要运用平面几何的概念来计算轨道和飞行路径。
结论立体几何和平面几何是几何学的两个重要分支，它们研究了空间和平面中的几何图形和性质。
初中数学中的几何知识
初中数学中的几何知识几何学作为数学的重要分支，对于初中数学学习至关重要。
通过学习几何知识，可以培养学生的空间观念和逻辑思维能力，帮助他们更好地理解和解决与空间相关的问题。
本文将介绍初中数学中的几何知识，包括平面几何和立体几何，并结合具体例子进行说明。
一、平面几何1. 点、线、面的概念在几何学中，最基本的概念就是点、线和面。
点是没有大小和形状的，只有位置的概念；线是由无限多个点连成的，具有长度但没有宽度和厚度；面是由无限多条线段组成，有长度和宽度但没有厚度。
初中数学主要研究平面几何，即二维几何，因此我们重点关注平面上的点、线和面。
2. 直线和射线直线是由至少两个不同的点连成的，它没有起点和终点，可以延伸到无穷远；射线是由一个起点和一个方向确定的，可以无限延伸。
直线和射线在几何证明中经常被使用，常见的符号表示直线为“l”或“AB”，表示射线可用“→”或“AB”。
3. 角的概念及分类角是由两条有公共端点的射线组成的，其中公共端点称为角的顶点，两条射线分别称为角的边。
角的大小可以用角的度数来度量，常用度（°）作为单位。
根据角的度数可以将角分为锐角（度数小于90°）、直角（度数等于90°）和钝角（度数大于90°）。
此外，还有特殊的角如零角（度数等于0°）和平角（度数等于180°）。
4. 三角形的性质三角形是由三条线段组成的图形，它是平面上最简单的多边形之一。
三角形根据边和角的关系可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边相等，等腰三角形的两条边相等，普通三角形的三条边都不相等。
5. 直角三角形和勾股定理直角三角形是指其中一个角为直角（90°）的三角形。
直角三角形有一个重要的定理，即勾股定理。
勾股定理表明，在直角三角形中，直角边的平方等于两直角边各自平方的和。
即a² + b² = c²，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
几何中的平面几何和立体几何
几何学是研究形状、大小、相对位置等几何属性的学科。
它可以分为平面几何和立体几何两个方向。
平面几何是研究平面上的点、线、角和形状的性质和关系的学科，立体几何则是研究空间中的点、线、面和立体的性质和关系的学科。
平面几何和立体几何都是几何学不可或缺的两个重要方面。
平面几何是几何学中最基础的一部分。
在平面几何中，主要研究平面上的点、线和面的性质。
平面上的点没有大小和形状，只有位置，用坐标表示。
线是由无数个点的集合构成，它们的性质可以通过直线、曲线、射线等不同形式进行描述。
线的性质非常丰富，可以通过线段、角、相交等概念进行研究。
面是由无数个点和线的集合构成，它们的性质可以通过多边形、圆、直角三角形等概念进行描述。
平面几何的基础是欧氏几何，是通过直观的感觉和常识进行研究和推理的。
立体几何则是在平面几何的基础上扩展到三维空间的一种几何学。
立体几何研究的对象是空间中的点、线、面和立体体。
在空间中，点没有大小和形状，只有位置，用坐标表示；线是由无数个点的集合构成，可以通过直线、曲线、射线等不同形式进行描述；面是由无数个点和线的集合构成，可以通过平面、曲面等不同形式进行描述；立体是由无数个点、线和面的集合构成，可以通过立方体、圆柱体、圆锥体等不同形式进行描述。
立体几何的基础是空间几何，它将几何学从平面延伸到了三维空间，需要借助抽象思维和几何推理的方法进行研究。
平面几何和立体几何相辅相成，共同构成了几何学的基础。
平面几何和立体几何的研究对象虽然不同，但是它们之间有很多联系和相似性。
首先，平面几何中的许多性质和定理可以通过立体几何进行证明，反之亦然。
其次，平面几何和立体几何都需要借助坐标、图形、定理等工具进行描述、研究和推理。
最后，平面几何和立体几何的研究结果可以应用于建筑、制图、计算机图形学等各个领域。
几何学作为数学的一个重要分支，不仅有着自身独立的研究内容和方法，还对其他数学学科，尤其是代数和分析学科有着重要的启发和辅助作用。
平面与立体几何的基本概念与区分
平面与立体几何的基本概念与区分几何学是一门研究形状、大小、相对位置等空间属性的学科。
在几何学中，平面和立体是两个基本的概念，它们在形态、性质以及应用上有着显著的区别。
本文将介绍平面和立体几何的基本概念，并对它们进行区分。
一、平面的基本概念平面可理解为一个没有厚度的无限大的表面。
在平面几何中，平面由无数个点构成，其中任意两点确定一条直线，任意三点不共线，且在平面外部不存在第四点与这三点共面。
在平面几何中，还有一些重要的基本概念：1. 直线：平面上的两点确定一条直线，并且这条直线上的所有点都在同一平面内。
2. 角度：由两条射线共享一个端点所形成的形状称为角度。
例如，直线上的两条射线形成的角度为直角。
3. 多边形：由连续的线段构成的封闭图形称为多边形，其中最常见的有三角形、四边形和五边形等。
二、立体的基本概念立体可视为一个有着长度、宽度和高度的物体。
在立体几何中，立体由许多平面组成，其中的平面称为面，相邻的面由边界线相连，而边界线的交点称为顶点。
在立体几何中，还有一些重要的基本概念：1. 体积：体积是立体所占用的空间大小，可以用来描述物体的容量。
例如，长方体的体积可以通过将长、宽和高相乘而得到。
2. 表面积：表面积是立体表面的总面积，可以用来描述物体的外包装面积。
例如，正方体的表面积可以通过将所有的面积相加而得到。
3. 多面体：由多个平面组成的立体称为多面体。
常见的多面体有三棱柱、四棱锥和正八面体等。
三、平面与立体的区分1. 维度差异：平面是二维的，只具有长度和宽度两个维度；而立体是三维的，具有长度、宽度和高度三个维度。
2. 图形特征：在平面几何中，图形通常只有长度和宽度，如直线、多边形等；而在立体几何中，图形除了长度和宽度外，还具有高度，如长方体、锥体等。
3. 视觉表现：平面几何中的图形只能通过二维平面来展示，无法展示出立体图形的空间特征；而立体几何中的图形可以通过三维的立体表现来展示，可以更加直观地看到立体图形的形态和结构。
立体几何和平面解析几何知识点
立体几何和平面解析几何知识点一、立体几何1.点、线、面和体：在立体几何中，点是没有大小和形状的，是具有位置的对象。
线由无数个点组成，线是没有宽度的。
面是由无数个线组成，面是二维的，具有长度和宽度。
体是由无数个面组成，体是三维的，具有长度、宽度和高度。
2.平行和垂直关系：在立体几何中，平行是两条线或两个面永远不会相交的关系，垂直是两条线或两个面相互垂直的关系。
3.点的投影：在立体几何中，点的投影是指垂直于水平面（或垂直于垂直面）的直线与平面的交点。
点的投影可以用来确定点在一些平面上的位置。
4.线和面的交点：在立体几何中，线和面的交点是指线与面相交的点。
线和面的交点可以用来确定线在一些面上的位置。
5.体的体积和表面积：在立体几何中，体的体积是指所占据的空间大小，可以通过计算底面积与高度的乘积来得到。
体的表面积是指体的外部空间的面积，可以通过计算底面积与侧面积的和来得到。
二、平面解析几何1. 直线的方程：在平面解析几何中，直线可以用一般式、截距式和斜截式等形式来表示。
一般式的直线方程是Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数；截距式的直线方程是x/a + y/b = 1，其中a和b分别是x轴和y轴上的截距；斜截式的直线方程是y = mx + c，其中m是斜率，c是y轴上的截距。
2.圆的方程：在平面解析几何中，圆可以用标准式和一般式来表示。
标准式的圆方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度；一般式的圆方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E和F是常数。
3.直线和圆的交点：在平面解析几何中，直线和圆可以相交于零个、一个或两个交点。
可以通过求解直线方程和圆方程的联立方程组来确定直线和圆的交点。
4.曲线的方程：在平面解析几何中，曲线可以用隐式方程、参数方程和极坐标方程来表示。
隐式方程是F(x,y)=0，其中F是关于x和y的方程；参数方程是x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数；极坐标方程是r=f(θ)，其中r是距离原点的距离，θ是与x轴的夹角。
平面几何与立体几何的联系
平面几何与立体几何的联系平面几何和立体几何作为数学中的两个重要分支，都研究了几何图形的性质和相互关系。
虽然它们在研究对象和方法上有所不同，但二者之间存在着密切的联系。
本文将通过介绍平面几何和立体几何的基本概念和性质，然后详细讨论二者之间的联系。
1. 平面几何的基本概念和性质平面几何是研究二维平面上的几何图形的学科。
它研究封闭曲线和曲线之间的关系，包括点、线、角以及它们之间的运算。
平面几何的基本概念有点、线段、直线、角等，其中点是平面上最基本的单位，直线是由无限多个点组成的无限集合。
此外，平面几何还有一些基本公理，如点在直线上，两点确定一条直线等。
平面几何的性质是指在平面上各种几何图形之间的相互关系。
例如，平行线具有平行性，垂直线之间的夹角为90度，等边三角形的三边相等等。
这些性质是通过推理和证明得到的，为平面几何的发展提供了坚实的基础。
2. 立体几何的基本概念和性质立体几何是研究三维空间中的几何图形的学科。
它研究空间中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
立体几何的基本概念有点、线段、平面、体等，其中体是由无限多个点构成的三维图形。
与平面几何类似，立体几何也有一些基本公理，如平面上的两点确定一条直线，空间中的两点确定一条直线等。
立体几何的性质是指空间中各种几何图形之间的相互关系和特点。
例如，平行面之间的距离保持不变，正方体的六个面相互平行等。
立体几何的性质同样需要通过推理和证明来得到。
3. 平面几何与立体几何的联系虽然平面几何和立体几何是两个独立的学科，但它们之间存在着紧密的联系。
首先，平面几何可以看作是立体几何的一种特殊情况，即当所有的几何图形都在一个平面上时，就可以把它们看作是立体几何的一部分。
因此，平面几何可以被看作是立体几何的一个子集。
其次，平面几何和立体几何都研究了点、线、角等基本概念和性质，这些概念和性质在两个学科中都有着重要意义。
例如，平行线和垂直线的概念在平面几何和立体几何中都有明确的定义，并且具有相似的性质。
从平面到空间的类比推理
专题一：从平面到空间的类比推理类比是数学命题推广的基本方法之一，法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类比．"类比推理就是在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．从逻辑上说，类比推理就是将命题的外延扩大．类比推理一般具有如下三个特点：（1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；（3）类比的结果是猜测性的，因此，类比推理得出的结论不一定正确，有待证明，但它却有探索、发现的功能，有助于我们揭示自然界的奥秘．类比推理的一般步骤是：(1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而抽象、概括出一个猜想；(3）检验猜想．近几年来，在全国各地的模拟试题和高考试题中,陆续出现了从平面到空间的类比推理题，这些题目立意新颖，内涵深刻，大多以填空题的形式出现，不需要严格的证明，只需要猜想出正确的结论即可，旨在考查学生观察-分析-比较—联想-类比— ,mm 猜0想的探索能力和创新意识，归纳起来，主要有以下几种类型：一、平面几何定理类比到立体几何定理平面是空间的一部分，因此，平面中的不少结论都可以类比拓展到空间中去．数学家波利亚曾指出:“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．"类比方法：“直线”类比为“_____"，“角”类比为“________”，“角的两边"类比为“_________________"等．例1:对于平面几何中的命题:“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补．”在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________________．"其真假性是_________．我们所熟悉的从平面几何定理到立体几何定理还有不少类比的实例，例如：（1）平几:平行于同一直线的两直线平行;立几:平行于同一平面的两平面平行．（2）平几：垂直于同一直线的两直线平行；立几：垂直于同一平面的两直线平行;垂直于同一直线的两平面平行．（3)平几：如果一条直线垂直于两平行直线中的一条直线,那么它也和另一条直线垂直;立几：如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直；如果一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直．(4）平几：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补；立几：如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别平行，那么这两个二面角相等或互补．二、平面几何图形类比到空间几何体点、线、面是构成空间几何体的基本元素,构成几何体离不开平面图形，有不少几何体的底面或侧面是一些相类似的平面几何图形，因此，平面中某些特殊几何图形的性质也可以类比推广到相对应的特殊空间几何体中去．(一）平面中的三角形类比到空间中的________1．直角三角形类比到___________类比方法1：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“_________________________”．例2(2003广东卷）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2 +AC2= BC2 "，拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则____________________________________________________.变式：在△ABC中,A B⊥AC，AD⊥BC,D为垂足,则AB 2=BD·BC（射影定理)．类似地，三棱锥A—BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内,则S △ABC ,S △BCO ，S △BCD 三者之间满足关系式_______________________________．类比方法2：“直角三角形的直角边长、斜边上的高”类比为“_____________________”．例3（2008深圳调研理） 在Rt △ABC 中,两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111ba h +=，由此类比：三棱锥S —ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c,设棱锥底面ABC 上的高为h ，则有结论_________________________． 变式:Rt △ABC 的两直角边分别为a 、b ，则其内切圆半径122)1111(-+++=b a b a r r ;由此类比：三棱锥S —ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则其内切球半径R=___________________________.2．正三角形类比到________________类比方法1：“正三角形的高"类比为“________________”．例4 平面几何中,有结论:“正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,且定值等于该正三角形边长的_______倍”．类比这一结论，将其拓展到空间,可得到结论:________________________________________________________．例5(2008韶关调研理） 已知正三角形内切圆的半径是高的1／3，把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是___________________________________________________．类比方法2:“正三角形的中心”类比为“________________"．例6 在平面内，自一点O 至多能引3条射线OA 、OB 、OC ，使它们两两成等角,且两两所成的角为1200．类比到空间，自一点0至多能引_____条射线，使它们两两成等角，且两两所成的角为_________．3．一般三角形类比到_______________类比方法1:“三角形的面积”类比为“___________________”．例7（2008梅州一模文） 已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆半径为r(用S △ABC 表示△ABC 的面积），则S △ABC =r （a+b+c ）／2；类比这一结论有：若三棱锥A —BCD 的内切球半径为R,则三棱锥体积加V A-BCD =________________．例8（2004广东卷)教材P78练习3例9 若点D 在△ABC 内，则有结论0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OAC OBC ，把命题类比推广到空间,若点O 在四面体ABCD 内，则有结论：___________________________。
平面几何与立体几何的类比探究
面积公 式 ：：竹ｒ 球的体积公式 ： ＝ ３ 。 中 ｒ ｓ ２； Ｖ ４ 霄一 其 表示半径 ， 而 ｒ 的指数 １２以及 系数 与维数之间存在着一种对应 。因为平面是 ， 二维的 ， 空间是三维的。而且这里 圆的面积对半径的导数正好是 圆的周长 ， 球的体积的导数也是球 的表面积。
４类比推 理论证 。 ． 另外有些探究拓展 的题型还可考虑类 比猜 想， 如求证 ： 四面体 内任一点 到四个 面的距离之和为定值。 正 第 一步 ， 比构造 一个辅助平 面几何 问题“ 类 求证 ： 正三角形 内任一点到三边距离之和为定值” ； 第二步 ，通过分割方法 ，利 用面积的关 系解决平 面几何 问
☆ 求 鸣 静 ☆数学大 世界
想 ， 由此寻求 问题 的解决途径 并 或结论。 正如波利亚所说 ：对平 “ 面几何和立体几何作类 比， 是提 出新 问题 和获得 新发现取 之不 竭 的源泉” 。下 面谈一谈 自己运用类 比思想对平 面几何与立体几
何进行探究 的教学过程 ： 提出问题 。 引导思考 ： 平面几何与立体几何的 关系 １由平面几何与立体几何的相似性引发的思考 ， ． 是否可 以类
面的距 离之和为定值 （ 一侧面上的高） 。 ⑤ 圆的 周长公 式 ： ＝ 叮ｒ； Ｃ ２ ｒ 球的表 面积公式 ：＝ 霄ｒ 圆 的 Ｓ４ ２ ；
直 线
？ 强
线段 长 面积
强积 。 牺殴｜
。
｜
２类比构造命题。①直线平行 的传递性 ： ． 平行于同一条直线 的两直线平行。在平面和空间 中都成立 。②等角定理 ： 如果一个
空间 ：
蠢 的。但是 ， 忽视这 种似真 的猜想更为愚蠢。让我们欣赏一段名 人名言 ：我珍惜类 比胜于任何 别的东西 ， “ 它是 我最 信赖的老师 ， 它能揭示 自然界的秘 密， 在几何中它应该是最不容忽视的。”
立体几何和平面几何类比联想型问题探究
（ ）对 此类 题 目的表述 改 为更 符 合科 学 准 确 １ 性 的类 型 ． 例如 ： 求满 足条 件 ｆ １ （ ＋ ）一 １— １
的一个 函数 厂 ） （ （ ）如果 不改 题 目， 定要 向学 生指 明 （ ２ 一 以题
３ 张 晓 宁等 编 ． 高等 数 学 指 导 ． 华 大 学 出 版社 ，０ ５ 清 ２ ０ ４ 黄 璞 生 主编 ． 高等 数 学 题 解 词 典 （ 题 与 解 答 ） 陕 西 问 ．
所 以 ｒ一 ｎ ，因为 Ｒ 一
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评 注 ： 究过 程 凸显 正 四 面 体 的体 积 计 算 的 探 两种方 法 ， 一次 求正 四面体 体 积“ 第 补形 纳人 正方 体再 割补法 ” 这 是 由教 材第 ５ 页 ８ 的学习体 验 ， ３ 题 决定 的 ； 二次 探 求 外 接球 半 径 和 内接 球 半 径 的 第 关 系用 “ 体积 分 割 法” 这是 由 正 四 面体 的 外 心 和 ，
格定义 呢 ？
厂） ｛－Ｘ （一Ｘ ２ 。 ２ 厂） ｛－ｘ （一 ２ｘ ｘ ， ２ ＝ ／
：
∈ ， 以 Ｒ 可为 也
＝ １’ １
我 在进 行 这一 部 分 教学 工 作 的时 候 ， 这个 对 问题也 注 意得不 够 ， 以这 点体 会与 各位 同行 共勉 ．
表述 当 中难免 有 失 当之 处 ， 望 各 位 同行批 评 指 还
（ ）等腰 三 角形底 边 上 的 任意 一 点到 两腰 的 ３ 距 离之 和为定 值 ， 拓展 空 间为 ， 三棱锥 底 面上 的 正 任 一点 到三个 面 的距离 之和 为定 值． 即正 三棱锥 （ 侧 面上 的高 ， 斜高 ） ； （ ）正 三角形 内任 一点 到 各边 距 离之 和 为定 ４ 值 ， 正三 角 形 的 高 ； 比结 论 ， 四面 体 内任 一 即 类 正
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从三角形到三棱锥性质1：在平面上到△ABC三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，这个点也称为三角形的外心（外接圆圆心）.如果把“在平面上”几个字去掉，再来研究到三角形三个顶点距离相等的点会是一种什么情形呢？首先这样的点肯定存在（三角形外心就是一例），在平面ABC外是否还有这样的点呢？我们先把研究的问题具体化.ABC所在平面外满足PA=PB=PC的点P是否存在？先考虑到A、B距离相等的点.在平面中这样的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，不难证明在空间满足此条件的点的轨迹为线段AB的垂直平分面（即过AB中点且与AB垂直的平面.记为α）.同理，到A、C两点距离相等的点的轨迹为线段AC的垂直平分面（记为β）.显然这两个平面不平行，记交线为m,因为直线m上的任意一点P都满足PA=PB，PA=PC，所以有PB=PC，可知点P也应在线段BC的垂直平分面上，即直线m是AB、AC、BC三条线段的垂直平分面的交线.由此可得：在空间到三角形三个顶点距离相等的点在其三边的垂直平分面的交线上，易证，这条直线垂直于三角形所在平面且通过三角形的外心，这条直线我们不妨称之为三角形的外心线.这个结论还可以如下的角度来表述：如图1，如果平面ABC外有一点P且PA=PB=PC，那么点P在过△ABC外心且与平面ABC垂直的直线上.也可以说，到△ABC三个顶点距离相等的点在平面ABC内的射影是△ABC的外心.思考：三角形还有哪些类似的性质可以推广到空间去？不难想到三角形的内心（三条角平分线的交点）、垂心（三条高线的交点）都可以在空间找到对应的图形.对这些性质我们不妨先大胆写出结论，再进行严格证明.在类比中，我们看到，平面中的点常对应空间中的线，平面中的线则常对应空 图1 间中的面.在平面几何中有这样一个性质：如图2，△ABC 中，B ′和C ′分别在边AB 、AC 上，则有.ACAB C A B A S S ABC C B A ⋅'⋅'=∆''∆ （用公式S △ABC =A bc sin 21易证）将这一性质类比到空间得到相应结论：图2性质2：如图3，已知四面体A —BCD 中，棱AB 、AC 、AD 上各有一点B ′、C ′、D ′，则有.ADAC AB D A C A B A S V BCD A D C B A ⋅⋅'⋅'⋅'=-'''- 图3证明：作DP ⊥平面ABC 于P ，连结A 、P 并延长AP 交BC 于E.则平面APD ⊥平面ABC.过D ′作Q D '⊥AP 于Q ，则Q D '⊥平面ABC ，于是有.,'', .31,31ADAC AB D A C A B A V V AD AD DP Q D AC AB C A B A S S DP S V Q D S V BCD A D C B A ABC C B A ABC BCD A C B A D C B A ⋅⋅'⋅'⋅'==⋅'⋅'=⋅='⋅=-'''-∆''∆∆-''∆'''-所以又因为练习：下面这些平面中的性质类比到空间应怎样叙述？它是正确的吗？如果正确，你能证明它吗？性质3：如图4，正△ABC ，过其内任一点P 作三边垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PE+PF+PD 为定值.性质4：如图5，点O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F.则.1=++CFDFBE OE AD OD图4 图5性质3、4向空间类比所得命题都是正确的，它们分别可表述为 性质3′：如图6，过正四面体内一点P 向四个面作垂线，垂足分别为M 1、M 2、M 3、M 4，则PM 1+PM 2+PM 3+PM 4为定值.性质4′：如图7，P 为四面体A —BCD 内任意一点，连结AP 、BP 、CP 、DP 并延长分别交A 、B 、C 、D 所对的平面于A 1、B 1、C 1、D 1，则图6 图7.111111111=+++DD PD C C PC B B PB A A PA 这些性质的证明方法与性质本身的证明类似可以从相应平面性质的证明中类比得到.如性质3、4的证明用到了面积割补思想，类比到空间就是体积割补思想，性质3′、4′的证明问题就迎刃而解了. 一、转化的思想方法研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。
这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。
立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几个方面：1、空间问题向平面问题转化将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。
如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实，立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。
例1. 正三棱锥A-BCD ，底面边长为a ，侧棱为2a ，过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求周长的最小值。
解析：沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF在直线BB ′上，∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE ＝BC ＝a ，同理B ′F ＝B ′D ＝a.∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴B D DF '＝B A B D ''，a DF＝a a 2＝21,∴DF ＝21a,AF ＝23a.又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a+43a+a ＝411a,∴截面三角形的周长的最小值为411a.评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。
实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。
2、位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直） 线面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行 ; 线线、线面、面面的垂直。
这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。
平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述相互转化关系去证明。
例2. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E ＝BF. 求证：EF ∥平面BB 1C 1C.证法一：连AF 延长交BC 于M ，连结B 1M. ∵AD ∥BC ∴△AFD ∽△MFB ∴BFDFFM AF =又∵BD ＝B 1A ，B 1E ＝BF ∴DF ＝AE∴EB AEFM AF 1= ∴EF ∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C ∴EF ∥平面BB 1C 1C.证法二：作FH ∥AD 交AB 于H ，连结HE ∵AD ∥BC∴FH ∥BC ，BC ⊂BB 1C 1C ∴FH ∥平面BB 1C 1C 由FH ∥AD 可得BABHBD BF =又BF ＝B 1E ，BD ＝AB 1∴BABHAB E B =11 ∴EH ∥B 1B ，B 1B ⊂平面BB 1C 1C ∴EH ∥平面BB 1C 1C ，EH ∩FH ＝H∴平面FHE ∥平面BB 1C 1CEF ⊂平面FHE∴EF ∥平面BB 1C 1C说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.3、位置关系中的定性与定量的转化立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。
这两者既有联系又有区别，在一定条件下还可以互相转化。
线线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,反之则不然；线线、线面、面面的成角是90°，这些量的结果，则反映了它们的垂直关系，反之亦然。
可见教材中深刻地蕴含着位置关系中的定性与定量的转化关系。
例3. 空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∠PBA ＝45°，∠PBC ＝60°，M 为AB 的中点.(1)求BC 与平面PAB 所成的角；(2)求证：AB ⊥平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA ⊥AB ，∴∠APB ＝90°在Rt ΔAPB 中，∵∠ABP ＝45°，设PA ＝a ， 则PB ＝a,AB ＝2a,∵PB ⊥PC ，在Rt ΔPBC 中， ∵∠PBC ＝60°,PB ＝a.∴BC ＝2a,PC ＝3a.∵AP ⊥PC ∴在Rt ΔAPC 中，AC ＝22PC PA +＝22)3(a a +＝2a(1)∵PC ⊥PA,PC ⊥PB,∴PC ⊥平面PAB ，∴BC 在平面PBC 上的射影是BP. ∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角∵∠PBC ＝60°，∴BC 与平面PBA 的角为60°.(2)由上知，PA ＝PB ＝a,AC ＝BC ＝2a.∴M 为AB 的中点，则AB ⊥PM ，AB ⊥CM. ∴AB ⊥平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径. 例4.如图9－19，在棱长为a 的正方体ABCD —111D C B A １中，O 是AC 、BD 的交点，E 、F 分别是AB 与AD 的中点．图9－19（1）求异面直线1OD 与11C A 所成角的大小； （2）求异面直线EF 与11C A 所成角的大小；解析：（1）∵ 11C A ∥AC ，∴ 1OD 与AC 所成的锐角或直角就是1OD 与11C A 所成的角，连结1AD 、1CD ，在△11D AA 和△11D CC ，∵ 1AA ＝1CC ，1111D C D A =，11D AA ∠11D CC ∠= 90=，∴△11D AA ≌△11D CC ，∴11CD AD =．∴△C AD 1是等腰三角形．∵ O 是底边AC 的中点，∴ AC OD ⊥1，故1OD 与11C A 所成的角是90°． （2）∵ E 、F 分别是AB 、AD 中点，∴ EF ∥BD ，又∵ 11C A ∥AC ，∴ AC与BD 所成的锐角或直角就是EF 与11C A 所成的角．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ，∴ EF 与11C A 所成的角为90°4、体积问题中的转化研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般柱体体积问题转化为长方体体积问题，一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而推导出柱体和锥体体积公式等。