立体几何、解析几何综合10题(含答案)

城北中学高二上期第八周20班周末双休数学练笔
题目及参考答案
1、已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为14
5
，求双曲线方程．
解： 由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0，±4)，离心率e ＝4
5
，
所以双曲线的焦点为F (0，±4)，离心率为2，
从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3.所以双曲线方程为y 24－x 2
12
＝1.
2、如图4所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为
CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .
(1)求证：AE ⊥平面BCE ； (2)求证：AE ∥平面BFD ；
(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ，
又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE .
(2)证明 由题意可得G 是AC 的中点，连结FG ， ∵BF ⊥平面ACE ，∴CE ⊥BF . 而BC ＝BE ，∴F 是EC 的中点， 在△AEC 中，FG ∥AE ，∴AE ∥平面BFD .
3、设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝
3
2
.已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．
解： 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝3
2
得a ＝2b .
|PM |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋1
22＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )， 若b <1
2，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝⎛⎭⎫b ＋322＝7， 则b ＝7－32>1
2
，故舍去．
若b ≥12时，则当y ＝－1
2时，|PM |2最大，即4b 2＋3＝7，
解得b 2＝1.
∴所求方程为x 24
＋y 2
＝1.
4、矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝3，沿BD 把ΔBCD 折起，使C 点在平面ABD 上的射影E 恰好落在AD 上. (1)求证：CD ⊥AB
(2)求CD 与平面ABD 所成角的余弦值.
(1)证明 过C 点作AD 的垂线，垂足为E 则CE ⊥面ABD ，
∵AD ⊥AB ，∴CD ⊥AB
(2)解：∵CE ⊥面ABD
∴∠CDE 为CD 与平面ABD 所成的角，cos ∠CDE ＝
DE
CD
DE ∶CD ＝CD ∶DA ＝AB ∶DA ＝2∶3∴CD 与平面ABD 所成角的余弦值为
3
2 5、设λ＞0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →
，经过点
Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →
，求点P 的轨迹方程．
解： 由QM →＝λMP →
知Q 、M 、P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，
故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)， 即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①
再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →
， 即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)y 0－λ.②
将①式代入②式，消去y 0，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)2x 2
－λ(1＋λ)y －λ.③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21， 再将③式代入y 1＝x 21，得
(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，
(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.
因为λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.
6、如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面P AC ⊥平面PBD ； (2)若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P —ABCD 的体积．
证明(1) 因为PH 是四棱锥P —ABCD 的高，
所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ， 所以AC ⊥平面PBD ， 故平面P AC ⊥平面PBD .
(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6， 所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°， 所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1， 可得PH ＝ 3.
等腰梯形ABCD 的面积为S ＝1
2AC ×BD ＝2＋ 3.
所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋23
3
.
7、已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 2
3
的距离
为3
3
，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程；(2)求直线l 的方程．
解： (1)∵F 1到直线x ＝－a 23
的距离为3
3，
∴－3＋a 23＝3
3.
∴a 2＝4.而c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2
B |＝3|F 2
A |，∴⎩⎪⎨⎪⎧
3＝x 2
＋3x 1
1＋3
，0＝y 2
＋3y
1
1＋3，
⎩⎨
⎧
x 2＝43－3x 1，
y 2＝－3y 1.
∵A 、B 在椭圆x 24
＋y 2
＝1上，
∴⎩
⎨⎧
x 21
4
＋y 21＝1，(43－3x 1)2
4
＋(－3y 1)2＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝10
33，y 1
＝2
33(取正值).
∴l 的斜率为233
－010
33－3＝ 2.∴l 的方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.
8、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=900，AB=a,AD=3a,sin ∠
ADC=5
5
,又PA ⊥平面
ABCD ，PA=a ，求二面角
P-CD-A 的正切值。

,P-CD-A ,sin sin ADC=,,3
AE CD AE AE AD PA a ⊥∠∠∠==∠ 解：作连接PE,则PEA 为的平面角又因为在RT ADE 中,可求又可求出二面角PEA 的正切值为
9、如图,多面体ABCD —EFG 中,底面ABCD 为正方形,GD //FC //AE ,AE ⊥平面ABCD ,其正视图、俯视图及相关数据如图:
（1）求证:平面AEFC ⊥平面BDG ; （2）求该几何体的体积;
（1）连接AC ,BD ,正方形ABCD 中,AC ⊥BD ,又AE ∥GD ∥FC ,AE ⊥平面ABCD,
∴GD ⊥平面ABCD ,又AC ⊂平面ABCD ,则AC ⊥GD ,又AC ⊥BD ,GD BD D ⋂=, ∴AC ⊥平面BDG ,又AC ⊂平面AEFC ,∴平面AEFC ⊥平面BDG ; （2）原几何体可以划分为两个四棱锥:B -CFGD 和B -2118
22333
B CFGD CFGD V S B
C -=⋅⋅=⋅⋅=
111
(12)222332
B AEGD AEGD V S AB -=⋅⋅=⋅+⋅⋅=
∴所给几何体的体积为:814
233
V =+= 10、如图在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝a ，又PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4．
（1）BC 上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ，求a 的取值范围； （2）C 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD 时，求二面角
A －PD －Q 的余弦值。

（Ⅰ）如图，连AQ ，由于PA ⊥平面ABCD ，则由PQ ⊥QD ，必有AQ DQ ⊥．
设BQ t =，
则CQ a t =-，在Rt ABQ ∆中，有
AQ = 在Rt CDQ ∆中，有
DQ
在Rt ADQ ∆中，有222AQ DQ AD +=．
即
()2
22
44t a t a ++-+=，即2
40t at -+=．
∴4
4a t t =+≥．故a 的取值范围为
[)4,+∞．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2t =，4a =时，边BC 上存在唯一点Q （Q 为BC 边的中点），
使PQ ⊥QD ．过Q 作QM ∥CD 交AD 于M ，则QM ⊥AD ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥QM ．∴QM ⊥平面PAD ．
过M 作MN ⊥PD 于N ，连结NQ ，则QN ⊥PD ．
∴∠MNQ 是二面角A －PD －Q 的平面角．
在等腰直角三角形PAD 中，可求得MN =2MQ =，进而NQ =
∴
cos MN MNQ NQ ∠=
==
．故二面角A －PD －Q 的余弦值为．。