高三一轮复习立体几何解析几何综合测试题
高考理科数学第一轮立体几何专题测试题参考答案
高考理科数学第一轮《立体几何》专题测试题&参考答案测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．[2021·浙江高考]已知彼此垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n 知足m∥α，n⊥β，则( )A．m∥l B.m∥nC．n⊥l D.m⊥n答案C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.2．[2021·济南调研]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．28＋6 5 B.40C.403D.30＋65答案C解析由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4,5，三棱锥的一个后侧面垂直底面，而且高为4，所以棱锥的体积为：13×12×5×4×4＝403.3．[2021·云师大附中月考]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.12 B.13 C ．22D.23答案 D解析 由题意知该几何体为如图放置的正四面体，其棱长为2，故其表面积为12×2×2×sin π3×4＝23，故选D.4．[2021·山东实验中学一诊]已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2 3 B.3 C.433D.233答案 C解析由三视图知该几何体是四棱锥，其直观图如图所示，四棱锥的一个侧面SAB与底面ABCD垂直，过S作SO⊥AB，垂足为O，所以SO⊥底面ABCD，SO＝3，所以四棱锥的体积为13×2×2×3＝433，故选C.5．[2021·广西梧州模拟]若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则此几何体的表面积是()A．(4＋2)π B.6π＋22πC．6π＋2π D.(8＋2)π答案C解析圆柱的侧面积为S1＝2π×1×2＝4π，半球的表面积为S2＝2π×12＝2π，圆锥的侧面积为S3＝π×1×2＝2π，所以几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝6π＋2π，故选C.6．[2021·安徽师大期末]某个长方体被一个平面所截，取得的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4 B.2 2C．4 2 D.8答案D解析按照三视图还原可知该几何体为长、宽、高别离为3,2,2的长方体，被一个平面截去一部份剩余23，如图所示，所以该几何体的体积为(3×2×2)×23＝8，故选D.7．[2021·吉林长春质检]某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部份为半圆，则该几何体的体积是()A ．4＋32πB.6＋3π C ．6＋32πD.12＋32π答案 C解析 由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为V ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12π·12＋12×2×2×3＝6＋3π2，故选C.8．[2021·河南百校联盟质监]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由正方形切割而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.112B.132C ．6D.7答案 C解析 几何体如图，为每一个正方体中去掉两个全等的三棱柱，体积为23－12×1×1×1×4＝6，选C.9．[2021·河北唐山模拟]在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝4，E ，F ，H别离是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面截四棱锥P －ABCD 所得截面面积为( )A ．2 6 B.4 6 C ．5 6 D.23＋46 答案 C解析 由过E ，F ，H 的平面交直线CD 于N 点，可得N 点为CD 的中点，即CN ＝2；由过E ，F ，H 的平面交直线PA 于M 点，可得M 为PA 的四等分点，所以PM ＝1，所以过E ，F ，H 的平面截四棱锥P －ABCD 所得截面为五边形MEFNH ，所以其面积等于三角形MEH 与矩形EFNH 的面积之和，而S △MEH ＝12×22×3＝6，S △EFNH ＝22×23＝46，所以所求的面积为56，故应选C.10．[2021·全国卷Ⅲ]在封锁的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π3答案 B解析 由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部份面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，该球的体积最大，V max ＝43πR 3＝4π3×278＝9π2.11．[2021·云师大附中月考]棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有极点均在球O 的球面上，E ，F ，G 别离为AB ，AD ，AA 1的中点，则平面EFG 截球O 所得圆的半径为( )A. 2B.153 C.263D.3答案 B解析 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球球心O 为对角线AC 1的中点，球半径R ＝3，球心O 到平面EFG 的距离为233，所以小圆半径r ＝R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝153，故选B.12．[2021·河北武邑期末]已知边长为23的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，现沿对角线BD 折起，使得二面角A －BD －C 为120°，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．20π B.24π C ．28π D.32π答案 C解析 如图别离取BD ，AC 的中点M ，N ，连MN ，则容易算得AM ＝CM ＝3，MN ＝32，MD ＝3，CN ＝332，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，设球心为O ，半径为R ，HN ＝x ，则由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝x 2＋274，R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x 2＋3，解之得x ＝12，则R 2＝14＋274＝7，所以球的表面积S ＝4πR 2＝28π，故应选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2021·江苏联考]将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．答案33π 解析 圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2π，底面半径为1，圆锥的高为3，圆锥的体积为13π×12×3＝33π.14．[2021·河南郑州一中期末]我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为________．答案 1.6解析 由图可得π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋3×1×(5.4－x )＝12.6⇒x ＝1.6.15．[2021·江苏联考]在下列四个图所表示的正方体中，能够取得AB ⊥CD 的是________．答案 ①②解析 对于①，通过平移AB 到右边的平面，可知AB ⊥CD ，所以①中AB ⊥CD ；对于②，通过作右边平面的另一条对角线，可得CD 垂直AB 所在的平面，由线面垂直定理取得②中AB ⊥CD ；对于③，可知AB 与CD 所成的角为60°；对于④，通过平移CD 到下底面，可知AB 与CD 不垂直．故答案为①②.16．[2021·长春质检]若是一个棱锥底面为正多边形，且极点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥．已知正四棱锥P －ABCD 内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为________．答案 43 解析 由球的几何性质可设四棱锥高为h ，从而V P －ABCD ＝23h [1－(h －1)2]＝23(－h 3＋2h 2)，有V ′P －ABCD ＝23(－3h 2＋4h )＝23h (－3h ＋4)，可知当h ＝43时，体积V P －ABCD 最大．三、解答题(共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)17．[2021·西安八校联考](本小题满分10分)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DC ＝12DD 1，过A 1、B 、C 1三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD －A 1C 1D 1，E 、F 别离为A 1B 、BC 1的中点．(1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)求平面A 1BC 1与平面ABCD 的夹角θ的余弦值．解 (1)证明：∵在△A 1BC 1中，E 、F 别离为A 1B 、BC 1的中点，∴EF ∥A 1C 1. ∵在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ∥A 1C 1，∴EF ∥AC .(2分)∵EF ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .(4分)(2)以D 为坐标轴原点，以DA 、DC 、DD 1方向别离为x ，y ，z 轴，成立空间直角坐标系，不妨设AD ＝DC ＝12DD 1＝1， 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，D 1(0,0,2)，A 1(1,0,2)，A 1B →＝(0,1，－2)，C 1B →＝(1,0，－2)，(5分)∵DD 1⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为DD 1→＝(0,0,2)，(6分)设平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧ n ·A 1B →＝0，n ·C 1B →＝0，即⎩⎨⎧b －2c ＝0，a －2c ＝0，取a ＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，(8分) ∴cos θ＝|cos 〈n ，DD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DD 1→·n |DD 1→||n |＝13. ∴平面A 1BC 1与平面ABCD 的夹角θ的余弦值为13.(10分)18．[2021·江西南昌模拟](本小题满分12分)如图所示，点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解(1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，PM∩PN＝P，∴BB1⊥平面PMN，∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(4分)(2)在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1cosα，其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角的大小．(7分)证明：∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，∴PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SCBB1C1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1cosα.(12分)19．[2021·长春质检](本小题满分12分)已知等腰梯形ABCD如图1所示，其中AB∥CD，E，F别离为AB和CD的中点，且AB＝EF＝2，CD＝6，M为BC中点，现将梯形ABCD按EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图2所示，N是线段CD上一动点，且CN＝λND.(1)当λ＝12时，求证：MN ∥平面ADFE ； (2)当λ＝1时，求二面角M －NA －F 的余弦值．解 (1)证明：过点M 作MP ⊥EF 于点P ，过点N 作NQ ⊥FD 于点Q ，连接PQ .由题意，平面EFCB ⊥平面EFDA ，所以MP ⊥平面EFDA ，且MP ＝BE ＋CF 2＝2，(2分) 因为CF ⊥EF ，DF ⊥EF ，所以EF ⊥平面CFD ，所以NQ ⊥EF ，由NQ ⊥FD ，所以NQ ⊥平面EFDA ，又CN ＝12ND ，所以NQ ＝23CF ＝2，(4分) 即MP ∥NQ ，MP ＝NQ ，则MN ∥PQ ，由MN ⊄平面ADFE ，PQ ⊂平面ADFE ，所以MN ∥平面ADFE .(6分)(2)以F 为坐标原点，FE 方向为x 轴，FD 方向为y 轴，FC 方向为z 轴，成立如图所示坐标系．由题意，M (1,0,2)，A (2,1,0)，F (0,0,0)，C (0,0,3)，D (0,3,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，32. 设平面AMN 与平面FAN 的法向量别离为n 1，n 2，平面AMN 的法向量为平面ABCD 的法向量，即n 1＝(1,1,1)，(8分)在平面FAN 中，FA →＝(2,1,0)，FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，32，即n 2＝(1，－2,2)，(10分) 则cos θ＝39，所以二面角M －NA －F 的余弦值为39.(12分) 20．[2021·沈阳质检](本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD,2AD ＝BC ＝2a (a >0), AD ∥BC ，PD ＝3a ，∠DAB ＝θ.(1)若θ＝60°，AB ＝2a ，Q 为PB 的中点，求证：DQ ⊥PC ；(2)若θ＝90°，AB ＝a ，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小．(若非特殊角，求出所成角余弦即可)解 (1)证明：连接BD ，△ABD 中，AD ＝a ，AB ＝2a ，∠DAB ＝60°，由余弦定理：BD 2＝DA 2＋AB 2－2DA ·AB cos60°，解得BD ＝3a ，所以△ABD 为直角三角形，BD ⊥AD ，因为AD ∥BC ，所以BC ⊥BD ，(1分)又因为PD ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥PD ，(2分)因为PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD ，(3分)BC ⊂平面PBC ，所以平面PBD ⊥平面PBC ，(4分)又因为PD ＝BD ＝3a ，Q 为PB 中点，所以DQ ⊥PB .因为平面PBD ∩平面PBC ＝PB ，所以DQ ⊥平面PBC ，(5分)PC ⊂平面PBC ，所以DQ ⊥PC .(6分)(2)由θ＝90°，AB ＝a ，可得BD ＝CD ＝2a .取BC 中点M ，可证得ABMD 为矩形．(7分)以D 为坐标原点别离以DA ，DM ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，成立空间直角坐标系Dxyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，DM ⊥平面PAD ，所以DM →是平面PAD 的法向量，DM →＝(0，a,0)．(9分)设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，P (0,0，3a )，B (a ，a,0)，C (－a ，a,0)，所以PB →＝(a ，a ，－3a )，BC →＝(－2a,0,0)，⎩⎨⎧ n ·PB →＝0，n ·BC →＝0，令z ＝1，可得⎩⎨⎧ax ＋ay －3a ＝0，－2ax ＝0，解得n ＝(0，3，1)，(10分) 所以cos θ＝DM →·n |DM →||n |＝3a 2a ＝32.(11分)所以平面PAD 与平面PBC 所成二面角为π6.(12分)21．[2021·贵阳月考](本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC＝12PA ，BD ＝3，E 在PC 边上． (1)求证：平面PDA ⊥平面PDB ；(2)当E 是PC 边上的中点时，求异面直线AP 与BE 所成角的余弦值；(3)若二面角E －BD －C 的大小为30°，求DE 的长．解 (1)证明：因为底面ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝1，又BD ＝3，AB ＝2，知足AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD .又因为PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAD .(3分)∵BD ⊂平面PDB ，∴平面PDA ⊥平面PDB .(4分)(2)以D 为原点成立如图所示空间直角坐标系．则D (0,0,0)，P (0,0，3)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)， ∵E 是PC 边上的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32， 则AP →＝(－1,0，3)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，32，(6分) ∴cos 〈AP →，BE →〉＝|A P →·BE →||AP →||BE →|＝277.(8分) (3)由C ，E ，P 三点共线，得DE →＝λDP →＋(1－λ)DC →，且0≤λ≤1，从而有DE →＝(λ－1，3(1－λ)，3λ)，DB →＝(0，3，0)．设平面EDB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·DE →＝0及n ·DB →＝0，可取n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，0，1－λλ. 又平面CBD 的法向量可取m ＝(0,0,1)，(10分)二面角E －BD －C 的大小为30°，∴cos30°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·m |n ||m |＝32， ∴λ＝14，∴DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，334，34，∴|DE |＝394.(12分)22．[2021·河北一模](本小题满分12分)如图，在三棱锥S－ABC 中，SC ⊥平面ABC ，SC ＝3，AC ⊥BC ，CE ＝2EB ＝2，AC ＝32，CD ＝ED . (1)求证：DE ⊥平面SCD ；(2)求二面角A －SD －C 的余弦值；(3)求点A 到平面SCD 的距离．解 (1)证明：以C 为原点，CA ，CB ，CS 所在直线别离为x 轴，y 轴，z 轴成立空间直角坐标系，如图，则C (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，S (0,0,3)，E (0,2,0)，D (1,1,0)， 因为DE →＝(－1,1,0)，CD →＝(1,1,0)，CS →＝(0,0,3)，所以DE →·CD →＝－1＋1＋0＝0，DE →·CS →＝0＋0＋0＝0，即DE ⊥CD ，DE ⊥CS .(2分)因为CD ∩CS ＝C ，所以DE ⊥平面SCD .(4分)(2)由(1)可知DE →＝(－1,1,0)为平面SCD 的一个法向量．设平面SAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，而AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0， AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，3，则⎩⎨⎧ n ·AD →＝0，n ·AS →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －12x ＋y ＝0，－32x ＋3z ＝0. 不妨设x ＝2，可得n ＝(2,1,1)．(6分)易知二面角A －SD －C 为锐角，因此有|cos 〈DE →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋1＋02·6＝36， 即二面角A －SD －C 的余弦值为36.(8分)(3)AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，3，作AH ⊥平面SCD ，垂足为H ， 设AH →＝xAC →＋yAD →＋zAS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x －12y －32z ，y ，3z ，且x ＋y ＋z ＝1.(10分)由AH →⊥CD →，AH →⊥CS →，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ －32x －12y －32z ＋y ＝0，9z ＝0，x ＋y ＋z ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝34，z ＝0.所以AH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，0，(11分)|AH →|＝324，32即点A到平面SCD的距离为4.(12分)。
高三数学习题集：解析几何与立体几何综合练习
高三数学习题集：解析几何与立体几何综合练
习
解析几何与立体几何是高中数学中的重要内容之一，对于高三学生来说，掌握这两个领域的知识和技巧至关重要。
为了帮助同学们更好地复习与训练，以下是一些解析几何与立体几何综合练习题。
一、解析几何部分
1. 已知点A(2,3)、B(5,7)，求直线AB的斜率和方程。
2. 设直线L1过点A(1,2)，斜率为1，求L1与x轴、y轴的交点坐标。
3. 已知直线L2的方程为y=2x-3，求L2与y轴的交点坐标。
4. 设四边形ABCD的顶点分别为A(1,2)、B(4,5)、C(6,1)、D(3,-2)，求四边形ABCD的周长和面积。
二、立体几何部分
1. 已知圆柱体的高为8cm，底面直径为6cm，求圆柱体的表面积和体积。
2. 设正方体的边长为3cm，求正方体的表面积和体积。
3. 设棱长为5cm的正六面体A，另有一条边长为4cm的直线段BC平行于A的一条棱，求BC与正六面体A的交点坐标。
4. 已知圆锥的高为12cm，底面半径为4cm，求圆锥的表面积和体积。
以上是一些解析几何与立体几何的综合练习题，希望同学们能够认真思考并灵活运用所学知识来解答这些问题。
通过不断练习，相信你们对解析几何与立体几何的理解和掌握会更上一层楼，为应对高考数学提供有力的支持。
加油！。
高三复习解析几何练习题
高三复习解析几何练习题解析几何是高中数学的重要内容之一，也是高考数学中的重点和难点。
在高三阶段，解析几何是学生们需要加强练习和熟练掌握的内容之一。
下面将为大家介绍几个高三复习解析几何的练习题。
一、平面几何题1. 已知四边形ABCD，AB=BC=CD=DA，以BC和AD为边，平分角AOK，角AOK的度数是多少？解析：由已知条件可知，ABCD为菱形。
菱形的性质是对角线互相垂直且互相平分。
因此，角AOK为90度。
2. 给定平面直角坐标系，点A(2,-3)在直线y=x上，点B(4,-2)在直线y=-2x上，求直线AB的斜率。
解析：直线AB的斜率等于两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
点A与点B的纵坐标之差为-2-(-3)=-2+3=1，横坐标之差为4-2=2，因此直线AB的斜率为1/2。
二、空间几何题1. 已知四面体ABCD，面ABCD的中心为O，直线AD与平面ABC垂直，求证AB与平面OBC平行。
解析：根据已知条件，AD与平面ABC垂直，即AD与平面ABC的法线向量垂直。
而面ABCD的中心O位于平面ABC上，所以向量OB与向量OA垂直。
由于向量OA与向量AD平行，所以向量OB与向量AD也平行，即平面OBC与平面ABC平行。
2. 设P为正方体ABCD-A1B1C1D1的重心，求证向量CBD与向量PP1平行。
解析：根据重心的定义，重心是由正方体八个顶点连接到重心的向量的和的平凡中心，即向量AP+向量BP1+向量CP+向量DP1=0。
因正方体其中一对相对的棱平行于向量CBD，并且向量AP+向量CP平行于向量APA1，所以向量CBD与向量PP1平行。
通过以上的几个解析几何练习题，可以帮助高三学生们加强对解析几何知识点的理解和运用。
解析几何作为高考数学中的重点和难点，需要同学们进行大量的练习和总结，提高解题策略和解题能力。
希望同学们通过不断的练习和理解，能够在高考中取得优异的成绩。
高三第一轮复习解析几何练习题含答案
第九章 解析几何第1讲 直线方程和两直线的位置关系一、选择题1．已知直线l 的倾斜角α满足条件sinα＋cosα＝15，则l 的斜率为( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34 解析 α必为钝角，且sinα的绝对值大，故选C. 答案 C2．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )． A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．2 解析 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得：y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3.答案 B3．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k PA ＝33，则直线PA 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B4．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )． A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A5．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )． A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析 (直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． ∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案 C6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( )．A ．4B ．6C.345D.365解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.答案 C 二、填空题7．若A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，m )三点共线，则m 的值为________．解析 由k AB ＝k BC ，即－2－33＋2＝m ＋212－3，得m ＝12.答案 128．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是________．解析 设直线方程为为x a －ya ＝1或y ＝kx 的形式后，代入点的坐标求得a ＝5和k ＝－32.答案 y ＝－32x 或x 5－y5＝19．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 答案 3510．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析 由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4且c ≠－2， 则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0， 由两平行线间的距离，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或c ＝－6，所以c ＋2a ＝±1. 答案 ±1 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出；若不存在，请说明理由．解 存在．理由如下．设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△ AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3.解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.13．已知直线l 过点P (2,3)，且被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0，l 2：3x ＋4y ＋8＝0截得的线段长为d . (1)求d 的最小值；(2)当直线l 与x 轴平行，试求d 的值．解 (1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P 在两条平行直线l 1，l 2外．过P 点作直线l ，使l ⊥l 1，则l ⊥l 2，设垂足分别为G ，H ，则|GH |就是所求的d 的最小值．由两平行线间的距离公式，得d 的最小值为|GH |＝|8－(－7)|32＋42＝3.(2)当直线l 与x 轴平行时，l 的方程为y ＝3，设直线l 与直线l 1，l 2分别交于点A (x 1,3)，B (x 2,3)，则3x 1＋12－7＝0,3x 2＋12＋8＝0，所以3(x 1－x 2)＝15，即x 1－x 2＝5，所以d ＝|AB |＝|x 1－x 2|＝5.14．已知直线l 1：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程． 解 法一 因为l 1∥l ，所以l 2∥l ， 设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 直线l 1，l 2关于直线l 对称， 所以l 1与l ，l 2与l 间的距离相等． 由两平行直线间的距离公式得|3－(－1)|2＝|m －(－1)|2， 解得m ＝－5或m ＝3(舍去)． 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.法二 由题意知l 1∥l 2，设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 在直线l 1上取点M (0,3)，设点M 关于直线l 的对称点为M ′(a ，b )， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a ×1＝－1，a ＋02－b ＋32－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－1，即M ′(4，－1)．把点M ′(4，－1)代入l 2的方程，得m ＝－5， 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.第2讲 圆的方程一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝[1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 A2．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )．A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定解析 将圆的一般方程化为标准方程(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，所以原点在圆外． 答案 B3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C 2的圆心为(a ，b )，则依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，对称圆的半径不变，为1.答案 B4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )．A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6] 解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4 时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4＜r ＜6. 答案 A5．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )． A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析 圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m 2＋3＝0，∴m ＝6.答案 C6．圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，且满足OP →·OQ →＝0，则圆C 的方程为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －3)2＝52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋3)2＝52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋3)2＝254 解析 法一 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由圆方程与直线l 的方程联立得：5x 2＋10x ＋10－4r 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝10－4r 25. 由OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即： 54x 1x 2－34(x 1＋x 2)＋94＝10－4r 24＋154＝0， 解得r 2＝254，经检验满足判别式Δ>0. 故圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254.法二 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254，故选C. 答案 C 二、填空题7．过两点A (0,4)，B (4,6)，且圆心在直线x －2y －2＝0上的圆的标准方程是________．解析 设圆心坐标为(a ，b )，圆半径为r ，则圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵圆心在直线x －2y －2＝0上，∴a －2b －2＝0，①又∵圆过两点A (0,4)，B (4,6)，∴(0－a )2＋(4－b )2＝r 2，②且(4－a )2＋(6－b )2＝r 2，③由①②③得：a ＝4，b ＝1，r ＝5，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝25. 答案 (x －4)2＋(y －1)2＝258．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．解析 设P (x 0，y 0)，则|PA |2＋|PB |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2，显然x 20＋y 20的最大值为(5＋1)2，∴d max ＝74，此时OP →＝－6PC →，结合点P 在圆上，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫185，245.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫185，2459．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析 由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故其圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径为|PQ |2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝510．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上的动点，则d ＝|PA |2＋|PB |2的最大值为________，最小值为________．解析 设点P (x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2，欲求d 的最值，只需求u ＝x 20＋y 20的最值，即求圆C 上的点到原点的距离平方的最值．圆C 上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d 的最大值为74，最小值为34. 答案 74 34 三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40，②由①②解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2. ∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，根据题意得：⎩⎨⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM |·|PA |＋12|BM |·|PB |，又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |， 而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.13．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ→的最小值． 解(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2， 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2，所以PQ →·MQ→的最小值为－4. 14．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值． 解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图， 由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4.第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )．A．4 B．3 C．2 D．1解析法一(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝12＝22＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C.法二(数形结合法)画图可得，故选C.答案 C2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()．A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案 C3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是( )A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2a＋2b＋5＝0D ．a 2－2a －2b ＋5＝0解析 即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心， 两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0， 将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0. 答案 C4．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )．A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2解析 易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2； 圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1. ∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22， ∴a ＋b ≤32(当且仅当a ＝b ＝32时取“＝”)， ∴a ＋b 的最大值为3 2. 答案 D5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析 C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m<0或0<m<33.综上知－33<m<0或0<m<33.答案 B6．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()．解析如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A符合．故选A.答案 A二、填空题7．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．解析 由题意得，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝22＝ 2. 设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.答案 2 28．设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________． 解析 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅， ∴m 2≥m 2.∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅.要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点，即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |，∴2－22≤m ≤2＋ 2.又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2. 当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内．综上所述，满足条件的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋29．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3， ∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13. 答案 (－13,13) 三、解答题11．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12．已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线l 交x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA |＝a ，|OB |＝b (a >2，b >2)． (1)求证：(a －2)(b －2)＝2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； (3)求△AOB 面积的最小值．解 (1)证明：圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，设直线方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|a ＋b －ab |a 2＋b2＝1， 即a 2＋b 2＋a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝a 2＋b 2，即a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝0， 即ab ＋2－2a －2b ＝0，即(a －2)(b －2)＝2.(2)设AB 中点M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，代入(a －2)(b －2)＝2， 得(x －1)(y －1)＝12(x >1，y >1)．(3)由(a －2)(b －2)＝2得ab ＋2＝2(a ＋b )≥4ab ， 解得ab ≥2＋2(舍去ab ≤2－2)， 当且仅当a ＝b 时，ab 取最小值6＋42， 所以△AOB 面积的最小值是3＋2 2.13．设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (其中k 的值与b 无关)，圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －4＝0.(1)如果不论k 取何值，直线l 与圆M 总有两个不同的交点，求b 的取值范围； (2)b ＝1时，l 与圆交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值． 解 圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5， ∴圆心M 的坐标为(1,0)，半径为r ＝ 5. (1)∵不论k 取何值，直线l 总过点P (0，b )，∴欲使l 与圆M 总有两个不同的交点，必须且只需点P 在圆M 的内部，即|MP |<5，即1＋b 2<5，∴－2<b <2，即b 的取值范围是(－2,2)．(2)当l 过圆心M 时，|AB |的值最大，最大值为圆的直径长2 5.当l ⊥MP 时，此时|MP |最大，|AB |的值最小，|MP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k ＋1k≤1＋22k ·1k＝2，当且仅当k ＝1时取等号．最小值为2r 2－|MP |2＝25－2＝2 3.14．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |， 即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)， ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.第4讲 椭 圆一、选择题1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案 A2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )． A.14B.55C.12D.5－2解析 因为A ，B 为左、右顶点，F 1，F 2为左、右焦点，所以|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c .又因为|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列， 所以(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2. 所以离心率e ＝c a ＝55，故选B. 答案 B3．已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数m 的取值范围是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 解析 椭圆标准方程为x 2＋y 21m＝1.当m >1时，e 2＝1－1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，解得m >43；当0<m <1时，e 2＝1m －11m ＝1－m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，解得0<m <34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 C4．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )．A ．1 B.83 C ．2 2 D.263解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24＋y 2＝1在第一象限的交点，解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，x24＋y 2＝1，得点P 的横坐标为263.答案 D5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A.3－12 B.5－12C.1＋54 D.3＋14解析 根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12.答案 B6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )．A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1解析 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y25＝1.答案 D二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝2×5－6＝4.答案 48．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a 6＋y 2a 5＝1的离心率为________．解析 由题意，得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16>a 5，∴e ＝16－134＝34.答案 349. 椭圆31222y x =1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的_____倍．解析 不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2147，因此|PF 1|=7|PF 2|. 答案 710.如图，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为________．解析 设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ，∴|BF |＝a ， ∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，∴b 2＝2，∴b ＝2，∴a ＝22，∴椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.答案 x 28＋y 22＝1 三、解答题11．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎨⎧x P ＝x ，y P＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. 12．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF 2→＝2F 2B →及l 的倾斜角为60°，知y 1<0，y 2>0， 直线l 的方程为y ＝3(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)，x 2a 2＋y 2b 2＝1消去x ，整理得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2，解得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b 2＝5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上． (1)解 由题意知，b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12. 所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明 由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)， 则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②法一 联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3.由x 208＋y 202＝1，可得x 20＝8－4y 20.因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝8－4y 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝32y 20－96y 0＋728(2y 0－3)2＝8(2y 0－3)28(2y 0－3)2＝1，所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 法二 设T (x ，y )，联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 22＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1. 整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 14．如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程． 解 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)． 因△AB 1B 2是直角三角形， 又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2. 结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)， 所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.第5讲 双曲线一、选择题1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a＝2. 答案 C2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )．A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1解析 不妨设a >0，b >0，c ＝a 2＋b 2. 据题意，2c ＝10，∴c ＝5.① 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在C 的渐近线上，∴1＝2ba . ②由①②解得b 2＝5，a 2＝20，故正确选项为A. 答案 A3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为 ( )．A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2，选A. 答案 A4．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OF →＋OP →＝2OE →，则双曲线的离心率为( )．A. 2B.105C.102D.10解析 设双曲线的右焦点为A ，则OF→＝－OA →，故OF →＋OP →＝OP →－OA →＝AP →＝2OE→，即OE ＝12AP .所以E 是PF 的中点，所以AP ＝2OE ＝2×a 2＝a .所以PF ＝3a .在Rt △APF 中，a 2＋(3a )2＝(2c )2，即10a 2＝4c 2，所以e 2＝52，即离心率为e＝52＝102，选C.答案 C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )．A. 5B ．4 2C ．3D ．5解析 易求得抛物线y 2＝12x 的焦点为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×31＋54＝ 5.答案 A6．如图，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为()A.58B.45C.43D.34解析 根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.答案 B 二、填空题7．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析 由题意得：双曲线x 23－y 26＝1的渐近线为y ＝±2x .∴焦点(3,0)到直线y ＝±2x 的距离为322＋1＝ 6. 答案 68．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析 由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4. ∴c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝ca ＝5，得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2. 答案 29．如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎨⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案 x 2－y 23＝110．如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则 (1)双曲线的离心率e ＝________； (2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析 (1)由题意可得ab 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.(2)设sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝c b 2＋c 2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2bc b 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.答案 (1)1＋52 (2)2＋52 三、解答题11．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实、虚轴长分别为m ，n ，则⎩⎨⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m .解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)知a ＝b∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6， ∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)解 ∵在△F 1MF 2中，|F 1F 2|＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·|F 1F 2|·|m |＝12×43×3＝6.13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. (1)求双曲线的方程；(2)设过双曲线左焦点F 1的直线与双曲线的两渐近线交于A ，B 两点，且F 1A →＝2F 1B →，求此直线方程．解 (1)由题意知，在Rt △PF 1F 2中， |F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 即2c ＝82＋62＝10，所以c ＝5.由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝8－6＝2，即a ＝1. 所以b 2＝c 2－a 2＝24，故双曲线的方程为x 2－y 224＝1.(2)左焦点为F 1(－5,0)，两渐近线方程为y ＝±26x . 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在．设过左焦点的直线方程为y ＝k (x ＋5)，则与两渐近线的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 26－k ，106k 26－k 和⎝ ⎛⎭⎪⎫－5k k ＋26，106k k ＋26.由F 1A →＝2F 1B →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 26－k ＋5，106k 26－k ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－5k k ＋26＋5，106k k ＋26或者⎝ ⎛⎭⎪⎫－5k k ＋26＋5，106k k ＋26＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 26－k ＋5，106k 26－k ，解得k ＝±263.故直线方程为y ＝±263(x ＋5)．14． P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC→＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a＝15， 可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.第6讲 抛物线一、选择题1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12 D ．－32解析 根据分析把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则焦参数p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32.答案 D 2．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为(p 2，0)在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，∴p 24＋p －3＝0，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)． 答案 C3．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝ ( )． A.45B.35C ．－35D ．－45解析 由⎩⎨⎧y 2＝4xy ＝2x －4，得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A (4,4)，B (1，－2)，则|FA →|＝5，|FB →|＝2，FA →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →||FB →|＝－85×2＝－45.故选D. 答案 D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意，得p21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2：x 2＝16y ，选D.答案 D5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )． A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 解析 如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6. 又P 到AB 的距离始终为p ，∴S△ABP＝12×12×6＝36.答案 C6．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()．A. 3B. 5 C．2 D.5－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.答案 D二、填空题7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案y2＝4x8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝________.解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝32MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝3 2，∴∠MNP＝π6，即∠NMF＝π6.答案π69．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．。
立体几何专题检测——江苏省2024届高三数学一轮总复习(含答案)
江苏省2024届高三数学一轮总复习专题检测立体几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知直线m ，n 与平面α，β，γ，则能使αβ⊥成立的充分条件是( ) A ．αγ⊥，βγ⊥ B ．//m α，//m βC ．//m α，m β⊥D ．m n ⊥，m αβ= ，n β⊂2、如图：已知正四面体ABCD 中E 在棱CD 上，2EC DE =，G 为ABC 的重心，则异面直线EG 与BD 所成角为（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 303、已知底面半径为r 的圆锥SO ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为3r，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ） A.29B.39C.23D.2394、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，AC 与BD 交于点O ，则下列说法错误的是（ ） A.1AD ∥平面1BOC B.BD ⊥平面1COC C.1C O 与平面ABCD 所成的角为45 D.三棱锥1C BOC −的体积为235、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到6、约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比2：1恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢?经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面．在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型．根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为( )A ． 3B ．3 3C ．3D ．9 7、在三棱锥−P ABC 中，1PA PB PC ===，2AB BC CA ===，圆柱体1OO 在三棱锥−P ABC 内部（包含边界），且该圆柱体1OO 的底面圆O 在平面PBC 内，则当该圆柱体1OO 的体积最大时，圆柱体1OO 的高为（ ） A.13B.69C.12D.238、动点M 在正方体1111ABCD A B C D −从点1B 开始沿表面运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，则动直线1A M 与平面11A DC 所成角正弦值的取值范围是（ ） A. 16,33B. 13,33C. 12,32D. 16,239、已知正方体1111ABCD A B C D −，则（ ） A. 直线1BC 与1DA 所成的角为90° B. 直线1BC 与1CA 所成的角为90° C. 直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45°D. 直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45°10、如图，由正四棱锥P ABCD −和正方体1111ABCD A B C D −组成的多面体的所有棱长均为2．则（ ）A. //PA 平面11CB DB. 平面PAC ⊥平面11CB DC. PB 与平面11CB D 所成角的余弦值为66D. 点P 到平面11CB D 的距离为2363+ 11、已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，E 为AB 的中点，则（ ） A. BC 1∥平面A 1ECB. 二面角A 1－EC －A 的正弦值为55C. 点A 到平面A 1BC 1的距离为217D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为21612、下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、如图是四边形ABCD 的水平放置的直观图A B C D ′′′′，则原四边形ABCD 的面积是14、在正四棱台1111ABCD A B C D −中，1112,1,2AB A B AA ===，则该棱台的体积为________．15、如图，某圆柱体的高为1，ABCD 是该圆柱体的轴截面.已知从点B 出发沿着圆柱体的侧面到点D 的路径中，最短路径的长度为52，则该圆柱体的侧面积是16、某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为α、β，则tan tan αβ+的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为4，1A BC 的面积为22．（1）求A 到平面1A BC 的距离；18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为150°时，求2B P ．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，四边形11ABB A 为正方形，点D 为棱1BB 的中点，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1AA CD ⊥.（1）求证：1CA CA =；（2）若2AC AB ==，求二面角11C A D B −−的余弦值.20．（本小题满分12分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，AB ＝22，AD ＝DC ＝2，如图1．现将△ADC 沿对角线AC 折成直二面角P －AC －B ，如图2，点M 在线段BP 上． （1）求证：AP ⊥CM ；（2）若点M 到直线AC 的距离为255，求BM BP 的值．21．（本小题满分12分）如图（1），平面四边形ABCD 由正三角形ABD 和等腰直角三角形BCD 组成，其中2BD =，=90BDC ∠°．现将三角形ABD 绕着BD 所在直线翻折到三角形PBD 位置（如图（2）），且满足平面PBD ⊥平面PCD ．（1）证明：CD ⊥平面PBD ；（2）若点Q 满足1,12PQ PD λλ=∈，当平面BCQ 与平面PCD 夹角的余弦值为3131时，求λ的值．22．（本小题满分12分）如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明；（2）在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．条件①：2PD=；条件②：∠PED＝60°；条件③：PM＝3ME：条件④：PE＝3ME．参考答案一、单项选择题：1、C2、D3、D4、C5、C6、B7、A8、A二、多项选择题：9、ABD 10、BD 11、ACD 12、ABD三、填空题：13、28 14、76615、14 16、2则111111112211433333A A BCA A ABC A ABC AB BC CC B V S h h V S A A V −−−=⋅===⋅== ， 解得2h =，所以点A 到平面1A BC 的距离为2；（2）取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥, 又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC 平面111ABB A A B =， 且AE ⊂平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ， 在直三棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥， 又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，122A B =，所以2BC =， 则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,可取()1,0,1m =− ，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则020m BD a b c m BC a ⋅=++= ⋅==， 可取()0,1,1n =− ，则11cos ,222m n m n m n⋅===×⋅，所以二面角A BD C −−的正弦值为213122 −=.18、（1）以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A ，2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=−=−， 2222B C A D ∴ ∥，又2222B C A D ，不在同一条直线上，2222B C A D ∴∥.（2）设(0,2,)(04)P λλ≤≤，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=−−=−−−，则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ ⋅=−−+= ⋅=−+−=， 令 2z =，得3,1y x λλ=−=−， (1,3,2)n λλ∴−−，设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =， 则2222222020m A C a b c m D C a c ⋅=−−+= ⋅=−+=， 令 1a =，得1,2==b c ， (1,1,2)m ∴=，2263cos ,cos150264(1)(3)n m n m n mλλ⋅∴===°=+−+−， 化简可得，2430λλ−+=， 解得1λ=或3λ=，(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P ，21B P ∴=.19、（1）证明：取1AA 中点O ，连接OD ，OC ，因为四边形11ABB A 为正方形，点D 为1BB 的中点，点O 为1AA 的中点，所以1AA OD ⊥， 又因为1AA CD ⊥，CD OD D = ，,CD OD ⊂平面OCD ，所以1AA ⊥平面OCD ， 又因为OC ⊂平面OCD ，所以1AA OC ⊥， 因为点O 为1AA 的中点，所以1CA CA =.（2）解：因为平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，平面11AA C C 平面111ABB A AA =， 且1OC AA ⊥，OC ⊂11AAC C ，所以OC ⊥平面11ABB A ，设(),,n x y z = 为平面1ACD 的一个法向量，则112030n A D x y n A C x z ⋅=+= ⋅=+= ，取6x =，得2=33,z y −=−，所以()6,3,23n =−−，由OC ⊥平面11ABB A ，可得平面11A DB 的一个法向量为()0,0,3OC =，则2332cos ,1919573OC n OC n OC n⋅−×===−×， 由图知二面角11C A D B −−为钝二面角，所以其余弦值为21919−.20、（1）证明：在直角梯形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝DC ＝2，所以AC ＝2．在△ABC 中，∠CAB ＝45°，AC ＝2，AB ＝22， 所以BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠CAB ＝4，所以AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC ． ······················································· 2分 因为二面角P —AC —B 是直二面角，平面ABC ∩平面P AC ＝AC ，且BC ⊂平面ACB ， 所以BC ⊥平面P AC ．又AP ⊂平面P AC ，所以BC ⊥AP ． ·························································· 4分 因为AP ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AP ⊥平面PBC ．又因为CM ⊂平面PBC ，所以AP ⊥CM ． ················································· 6分 （2）解：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系， 则C (0，0，0)，B (0，2，0)，A (2，0，0)， P (1，0，1)，所以CA →＝(2，0，0)，BP →＝(1，－2，1)．ABCPM xyz因为点M 在线段BP 上， 所以设BM →＝λBP →，0≤λ≤1，则CM →＝BM →－BC →＝λ(1，－2，1)－(0，－2，0)＝(λ，2－2λ，λ)． ················· 8分 因为点M 到直线AC 的距离为255， 所以CM ·sin ＜CA →，CM →＞＝255， ······················································ 10分 所以cos ＜CA →，CM →＞＝CA →·CM →|CA →|·|CM →|＝λ6 λ2－8λ＋4， 所以sin ＜CA →，CM →＞＝5 λ2－8λ＋46 λ2－8λ＋4， 即6 λ2－8λ＋4·5 λ2－8λ＋46 λ2－8λ＋4＝255，所以25λ2－40λ＋16＝0， 解得λ＝45，即BM BP ＝45． ······································································· 12分21、（1）证明：取PD 的中点M ，连结BM ，在正三角形PBD 中，有BM PD ⊥， 又因为平面PBD ⊥平面PCD ，平面PBD 平面PCD PD =，BM ⊂平面PBD ，所以BM ⊥平面PCD ，又因为CD ⊂平面PCD ，所以BM CD ⊥， 在等腰直角三角形BCD 中，有BD CD ⊥， 又因为BD BM B = ，且,BD BM ⊂平面PBD ， 所以CD ⊥平面PBD ．（2）取BD 的中点O ，连结PO ，在正三角形PBD 中，有PO BD ⊥， 由（1）可知CD ⊥平面PBD ，又因为PO ⊂平面PBD ，所以PO CD ⊥， 又因为BD CD D ∩=，且,BD CD ⊂平面BCD ，所以PO ⊥平面BCD ．取BC 的中点N ，连结NO ，因为点O 是BD 的中点，所以NO CD ∥， 又因为CD BD ⊥，所以NO BD ⊥， 因为PO ⊥平面BCD ，,BD NO ⊂平面BCD ， 所以PO BD ⊥，PO NO ⊥，以O 为坐标原点，OB ，ON ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)B ，(1,0,0)D −，(0,0,3)P ，(1,2,0)C −，所以()1,0,3PD =−− ，()2,2,0BC =−，()0,2,0DC =.因为PQ PD λ= ，所以(1,0,3)OQ OP λ−=−−，所以(,0,33)OQ λλ=−− ，所以()1,0,33QB λλ=+−， 设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =，则()()133000220x z QB m BC m x y λλ ++−=⋅= ⇒ ⋅=−+=， 令33x λ=−，则33y λ=−，1z λ=+，则()33,33,1m λλλ=−−+设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则030200PD n x z y DC n ⋅=−−= ⇒= ⋅=， 令3x =，则0y =，1z =−，所以()3,0,1n−，由题意可知，()()2233131cos ,3122331m n mn m nλλλλ⋅−−−===−++， 整理得2393880(32)(134)0λλλλ−+=⇒−−=，所以23λ=，413λ=， 又因为1,12λ∈，所以23λ=．22、解：（1）因PD ⊥平面ABC ，DB ⊂平面ABC ，DC ⊂平面ABC ，则,PD DB PD DC ⊥⊥， 又由题可知DB DC ⊥，则如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系， 则()2,0,0B，()0,0,0D ，()0,2,0C ，22,,022E，设()0,0,P t ()0t >，()01PMλPE λ=<<.则()2,0,0DB =，()20,,PB t =−，()02,,PCt =−，2222,,PE t =−，()00,,DP t =.故()22122,,DM DP PM DP λPE λλλt =+=+=−. 设平面MBD 法向量为()1111,,n x y z =，则()11111120221022DB n x DM n x y tz λλλ ⋅== ⋅=++−=，令11y =，可得()120121,,λn λt= −； 设平面PBC 法向量为()2222,,n x y z =， 则2222222020PB n x tz PC n y tz ⋅=−= ⋅=−= ，可令221x y ==，可得2211,,n t=. 要使平面MBD ⊥平面PBC ，需满足()12221021λn n λt ⋅=+=⇒−221t λt =+. 注意到条件①2t ⇔=，PD ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，PD DE ⊥，又由题可知1DE =，则条件②3t ⇔=，条件③34λ⇔=，条件④23λ⇔=. 则当条件①④成立或条件②③成立时，都有221t λt =+，即可以使平面MBD ⊥平面PBC ； （2）由（1），当选择①④时，2t =，()0,0,2P ，23λ=. 则()2,0,2BP =− ，平面MBD 法向量为()()120101121,,,,λn λt ==− −，设BP 与平面MBD 所成角为θ，则1121sin 222BP n BP n ⋅===⋅⋅θ ；当选择②③时，3t =，()0,0,3P ，34λ=. 则()203,,BP =−，平面MBD 法向量()1260101221,,,,λn λt==−−， 设BP 与平面MBD 所成角为θ，则113232sin 5552BP n BP n ⋅===⋅⋅θ； .。
高考数学一轮复习立体几何多选题复习题及解析
高考数学一轮复习立体几何多选题复习题及解析一、立体几何多选题1．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（ ）．A ．1A D EF ⊥B ．当12BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -6π C ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -217 D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 的距离为177【答案】ACD 【分析】A 选项：证明1A D ⊥面1A EF ，得1A D EF ⊥；B 选项：当122BE BF BC ===时，三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积； C 选项：利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积； D 选项：利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离. 【详解】 A 选项：正方形ABCD,AD AE DC FC ∴⊥⊥由折叠的性质可知：1111,A D A E A D A F ⊥⊥ 又111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥面1A EF又EF ⊂面1A EF ，1A D EF ∴⊥；故A 正确.B 选项：当122BE BF BC ===时，112,22A E A F EF ===在1A EF 中，22211A E A F EF +=，则11A E A F ⊥由A 选项可知，1111,A D A E A D A F ⊥⊥∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，把三棱锥1A EFD -=， 三棱锥1A EFD -，体积为334433R ππ==，故B 错误C 选项：当114BE BF BC ===时，113,A E A F EF ===在1A EF中，22222211111338cos 22339A E A F EF EA F A E A F+-+-∠===⋅⨯⨯，1sin 9EA F ∠=则111111sin 332292A EFSA E A F EA F =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=111111433A EFD D A EF A EF V V SA D --∴==⋅⋅==故C 正确；D 选项：设点1A 到平面EFD 的距离为h ，则 在EFD △中，2222225524cos 225525DE DF EF EDF DE DF +-+-∠===⋅⨯⨯， 7sin 25EDF ∠=则1177sin 5522252EFDSDE DF EDF =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=11173323A EFD DEFV Sh h -∴=⋅⋅=⨯⨯=即7h =故D 正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A内，若||AE =AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为153015【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正确； 对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时，sin α2215301515=， 故D 正确故选：CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．3．已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的面积为24π，下列命题中正确的有（ ）A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B ．1BD ⊥平面11AC B C ．球O 的表面积为36πD ．三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ，1A B ，通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ；通过反证法证明B ；由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长，进而求出内切球的表面积可判断C ；利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ，连接11A C ，1A B ，由正方体1111ABCD A B C D -，可知11//A C AC ，11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角，设正方体边长为a，则1111AC A B BC ==，由等边三角形知1160A C B ∠=，即异面直线AC 与1BC 所成的角为60，故A 正确； 对于B ，假设1BD ⊥平面11A C B ，又1A B ⊂平面11A C B ，则11BD B A ⊥，设正方体边长为a ，则11A D a =，1A B =，1BD =，由勾股定理知111A D B A ⊥，与假设矛盾，假设不成立，故1BD 不垂直于平面11A C B ，故B 错误； 对于C ，设正方体边长为a，则11AC =，内切球半径为2a，设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O '，由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心，则11123O A AC ='==，又1OA =，∴球心O 到面11A C B 的距离6a ==，又球心与截面圆心的连线垂直于截面，∴=，又截面圆的面积2246S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=，解得12a =，则内切球半径为6，内切球表面积214644S ππ==⨯，故C 错误；对于D ，由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=，故D 正确； 故选：AD【点睛】关键点点睛：本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，从而求出正方体的棱长，进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于较难题.4．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4π C ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 【答案】BCD【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；B 选项中，因为截面总与PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD 所成的锐角为定值，不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC中，MN =2，2，故在直角三角形MNQ 中，2cos 2NQ MNC MN ∠==，故4MNC π∠=，故B 正确；C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PMPE EPM==∠，故E 为PD 的中点，同理，F是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD ==G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:依题意，22GH EF ==，2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=，面积是122122⨯⨯=，四边形面积是22242⨯=，故截面面积是52. 故C 正确；D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134P ABCD V V -=，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.5．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A DC 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立D ．四棱锥1A BCDE -体积最大值为24【答案】CD 【分析】利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为2. 【详解】如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ， 则45CDF ∠=︒，22DF =，故212254222222CF =+-⨯⨯=， 故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠．若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥， 因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，因为1AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值， 由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE平面BCDE DE =，1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故122A F =，又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-⨯⨯=， 故此时体积为13223224⨯⨯=，故D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，则1//,2IM CD IM CD =，而1//,2BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确． 故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.6．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）A ．MN ∥平面ABDB ．异面直线AC 与MN 所成的角为定值C ．在二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定即可判断选项A ；利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D. 【详解】对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，故选项B 正确；对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大，故选项C 错误；对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.故选项D 正确;故选：ABD 【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°] D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6【答案】ABD 【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 6． 【详解】解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1， ∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1， ∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确； 在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确； 在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1）， 设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为：11||||||C P n C P n ⋅⋅＝22(1)3a a +-⋅＝21132()22a ⋅-+， ∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解； （2）、用空间向量坐标公式求解.8．如图，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A －SBE 底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（ ）A ．AS ⊥CDB ．正四棱锥S －BCDE 的外接球半径为2a C ．正四棱锥S －BCDE 的内切球半径为212a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．由正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱 【答案】ABD 【分析】取BE 中点H ，证明BE ⊥平面SAH 即可证AS CD ⊥；设底面中心为1O ，有1122O B O S a ==，可求得球半径为22a ；用等体积法求内切球半径即可判断；由////SA DE BC 且==SA DE BC 可知多面体是一个三棱柱.【详解】 如图所示：A 选项：取BE 中点H 连接,AH SH ，正三棱锥A SBE -中，,AH BE SH BE ⊥⊥ 又AHSH H =，所以BE ⊥平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD 所以AS CD ⊥ ，故A 正确；B 选项：设底面中心为1O ，球心为O 半径为R ，因为正四棱锥S －BCDE 外接球球心在1O S 上，所以OS OB R ==，因为，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a所以112O B O S ==，由()22211OB O B O S OS =+-得22222R a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得2R =，故B 正确； C 选项：设内切球半径为r，易求得侧面面积为221sin 23S a π=⋅=，由等体积法得222111432334a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅解得4a r = ，故C 错；D 选项：取SE 中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由)22222221cos 2322BF DF BD BFD BF DF a ⎫⎫+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎛⎫⎪⎝⎭22222221cos 232a AF BF BA AFD AF BF ⎫⎫+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎫⎪⎝⎭，故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD ===，则ASDE 为平行四边形，故////AS ED BC 故正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱，所以D 正确 故选：ABD 【点睛】求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.。
高三数学一轮复习 解析几何单元练习题
高三数学一轮复习 解析几何单元练习题第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定的2．下列方程的曲线关于x =y 对称的是 （ ）A ．x 2－x ＋y 2＝1B ．x 2y ＋xy 2＝1C ．x －y =1D ．x 2－y 2＝13．设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．两条平行直线 C ．抛物线 D ．双曲线4．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．23B ．23 C ．26 D ．332 5．当θ是第四象限时,两直线0cos 1sin =-++a y x θθ和0cos 1=+-+b y x θ的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．重合6．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）A ．1±B ．21±C ．33±D ．3±8．设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．直线3+=x y 与曲线1492=-x x y 的公共点的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知x ，y 满足0))(1(≤+--y x y x ，则22)1()1(+++y x 的最小值是（ ）A ．0B ．21C ．22D ．211．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，Q 、R 分别是圆41)4(22=++y x 和圆41)4(22=+-y x 上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是 （ ）A ．89B ．85C ．10D ．912．动点P (x ,y )是抛物线y =x 2－2x －1上的点,o 为原点,op 2当x=2时取得极小值,求,op 2的最小值 （ ） Ａ．43116- Ｂ．43611+ Ｃ．43611- Ｄ．43116+第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 13．将直线220x y +-=绕原点逆时针旋转90︒所得直线方程是 . 14．圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________．15．已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为 .16．如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8分，过每个 作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++=______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。
高三一轮复习—立体几何综合测试卷(基础版)
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 若直线n≠⊂平面α，直线m 在平面α外，则“m ∥n ”是“m ∥α”的___________条件.2. 已知直线l 的一个方向向量()1,3,4=，平面α的一个法向量()5,3,-=m ，且l ∥α，则=m ____________.3. 若n m ,表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为___________.①αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥n m n m ∥；②n m n m ∥⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；③n m m m ⊥⇒⎭⎬⎫⊥αα∥；④αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥n n m m ∥.4. 若一个圆锥的母线与旋转轴的夹角为42cot arc ，则该圆锥的侧面积是底面积的____倍. 5. 平面直角坐标系xOy 内有点()1,2A ，()2,2B ，()2,0C ，()1,0D ，将四边形ABCD 绕直线1=y 旋转一周，所得到几何体的体积为________.6. 已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，⊥PD 平面ABCD ，且a PD =，则点P 到直线AC 的距离为___________.7. 在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=AD ，21=AA ，二面角D BB C --1的大小是____________（用反三角表示）.8. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1CC 的中点，则直线DE 与平面11BC A 的夹角为__________（结果用反三角函数值表示）.9. 如图，在ABC △中，2==BC AB ，120=∠ABC .若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足DA PD =，BA PB =，则四面体BCD P -的体积的最大值是_________.10. 在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段1AD 上运动，则异面直线CP 与1BA 所成的角θ的取值范围是_______.11. 在北纬 45的维度圈上有M 、N 两点，点M 在东经 20，点N 在西经 70，若地球半径为R ，点M 、N 两点的球面距离是___________.12. 联结球面上两点的线段称为球的弦，半径为7的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于332、104，点M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为7 ④MN 的最小值为2其中真命题的序号为____________.二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）13. 下列命题中，是假命题的为（ ）.A 平行于同一直线的两个平面平行 .B 平行于同一平面的两个平面平行.C 垂直于同一平面的两条直线平行 .D 垂直于同一直线的两个平面平行14. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ） .A 17π .B 18π .C 20π .D 28π15. 若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列说法中正确的为（ ）.A 若a α⊥，a b ⊥，则b a ∥ .B 若a α∥，a b ⊥，则b a ⊥.C 若a α⊥，b ≠⊂α，则a b ⊥ .D 若a α∥，b α∥，则a b ∥16. 如图，已知三棱锥P ABC -，PA ABC ⊥平面，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角α，与直线BC 所成的角β，则α与β的大小关系为（ ）.A αβ> .B αβ= .C αβ< .D 不能确定三、解答题（本大题共5题，共76分）17. (本题满分14分）如图，梯形ABCD 满足AB CD ∥，90ABC ∠=，且AB =1BC =，30BAD ∠=，现将梯形ABCD 绕AB 所在的直线旋转一周，所得的几何体记作Ω.（1）求Ω的体积V ；（2）求Ω的表面积S .18. （本题满分14分）如图，三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，M 是BC 的中点，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与平面ABC 所成的角为3π. 求：（1）三棱锥P ABC -的表面积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小.（结果用反三角函数表示）19. （本题满分14分）如图，AB 是圆柱下底面的直径，点O 是下底面的圆心，1AA 是圆柱的一条母线，圆柱的底面半径是1，表面积是8π，点C 在半圆弧AB 上，且30ABC ∠=.（1）求证：1BC A AC ⊥平面；（2）求三棱锥1A A BC -的体积.20. （本题满分16分）设在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=，E 、F 分别为1C C 、BC 的中点.（1）求异面直线1A B 与EF 所成角θ的大小；（2）求点1B 到直线AEF 的距离.21. （本题满分18分）我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；（2）在堑堵111ABC A B C -中，如图2，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B AA C C -的体积最大时，求二面角11C A B C --的大小.参考答案：一、填空题1. 充分非必要条件2. 1-3.34. 45. 2π6. 2a7. 3arctan 48. arcsin 5 9. 12 10. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦11. 13R π 12. ②③ 二、选择题13. A 14. A 15. C 16. C三、解答题17. （1 （2）3π+18. （1） （2）19. （1）略 （220. （1）arccos 3（2 21. （1）2 （2）1arccos 3。
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（A）AC⊥SB
（B）AB∥平面SCD
（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
6已知双曲线C : - =1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为（ ）
A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC
3在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为
4正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为1，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持 ，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A. B. C. D.
解: (Ⅰ)设圆的半径为,圆心到直线 距离为 ，则 …………2分
所以圆 的方程为 ……………………………………………………3分
（Ⅱ）设动点 , , 轴于 ,
由题意, ，所以 ………………5分
A． - =1B． - =1C． - =1D． - =1
7已知椭圆 的离心学率为 .双曲线 的渐近线与椭圆 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
8已知圆C： ，若过点（1， ）可作圆的切线有两条，则实数m的取值范围是
A． ，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得 ，AC= ，所以四边形ACDE的面积为 ，所以四棱锥P—ACDE的体积为 = 。
19又点 在椭圆上 ，
， ， 椭圆方程为 ……………………4分
……………………7分
设 为点 到直线 的距离， ……………9分
……………………10分
又因为PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
（Ⅱ）设AC∩BD=O.
因为∠BAD=60°，PA=PB=2,
所以BO=1，AO=CO= .
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则
P（0，— ，2），A（0，— ，0），B（1，0，0），C（0， ，0）.
所以
设PB与AC所成角为 ，则
19已知点 是离心率为 的椭圆C： 上的一点。斜率为 直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由
20已知圆 的圆心在坐标原点 ,且恰好与直线 相切.
(Ⅰ) 求圆的标准方程；
（Ⅱ）设点 为圆上任意一点, 轴于 ,若动点 满足
.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
设P（0，－ ，t）（t>0），
则
设平面PBC的法向量 ,
则
所以
令 则
所以
同理，平面PDC的法向量
因为平面PCB⊥平面PDC,
所以 =0，即
解得
所以PA=
18（Ⅰ）证明：因为 ABC=45°，AB=2 ，BC=4，所以在 中，由余弦定理得： ，解得 ，
所以 ，即 ，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥ ，
,(其中 为常数),试求动点 的轨迹方程 ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当 时,得到曲线 ，问是否存在与 垂直的一条直线 与曲线 交于 、 两点,且 为钝角，请说明理由.
高三理科数学检测六答案
ACDBD ADCDD BD
13：线段B1C144 15、4 16、
17证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
1 8（本小题满分12分）
如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2 ，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．
又PA ，所以 ，又AB∥CD，所以 ，又因为
，所以平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作 于H，则
，又AB∥CD，AB 平面 内，所以AB平行于平面 ，所以点A到平面 的距离等于点B到平面 的距离，过点B作BO⊥平面 于点O，则 为所求角，且 ，又容易求得 ，所以 ，即 = ，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为 ；
14某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为__________．
15已知P,Q为抛物线 上两点,点P,Q的横坐标分别为4, 2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为__________.
A．9B．6C．4D．3
12已知抛物线方程为 ，直线 的方程为 ，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为 ，P到直线 的距离为 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
二填空题
13在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是__________．
9已知双曲线 : 的离心率为2.若抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为2,则抛物线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )
11设F为抛物线 的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若 ，则 =（ ）
高三理科数学检测六
一、选择题
1对于直线 和平面 ，有如下四个命题：
(1)若m∥ ，m n，则n (2)若m ，m n，则n∥
(3)若 ， ,则 ∥ (4)若m ，m∥n，n ，则
其中真命题的个数是() A．1B．2 C．3 D．4
2在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()
16椭圆 (a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
三、解答题
17如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， .
(Ⅰ)求证： 平面
（Ⅱ）若 求 与 所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面 与平面 垂直时，求 的长.