空间解析几何(练习题(答案))

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第8章空间解析几何(题库)答案

第八章空间解析几何（题库）A 组基础题1.（8-1）点关于原点的对称点是（ D ）.()2,3,1M -A.B.C.D.()2,3,1--()2,3,1---()2,3,1-()2,3,1--2.（8-2）设与均为非零向量，且，则必有（ C ）.a b a b ⊥A. B.a b a b +=+a b a b -=-C.D.a b a b +=-a b a b +=- 3.（8-2）设均为非零向量，则与不垂直的向量是（ D ）.,,a b ca A.B.C.D.()()a cb a bc ⋅-⋅ a b b a a a⋅-⋅ a b ⨯ ()a ab a +⨯⨯ 4.（8-2）已知均为单位向量且满足关系式，则（,,a b c0a b c ++= a b b c c a ⋅+⋅+⋅= A ）.A. B. C. D.32-11-325.（8-2）.()()a b a b +⨯-=2b a ⨯ 6.（8-2）设两两垂直，，，，则.,,a b c 1a = b = 1c = a b c +-=27.（8-1）已知两点和，则与向量同方向的单位向量为()10,1,2M ()21,1,0M -12M M. 122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭8.（8-2）已知向量的终点，它在轴上的投影依次为，则AB()2,1,7B -,,x y z 4,4,7-的始点坐标是.AB()2,3,0-9.（8-2）设，向量与同时垂直，且在上的()()()2,3,1,1,2,3,2,1,2a b c =-=-=v ,a b c 投影为，则.1v = 511,,77⎛⎫⎪⎝⎭10.（8-2）设，则以为邻边的平行四边形的面积.()4,3,,6a b a b π=== ,a b S =611.（8-2）已知，且，则.2,a b == 2a b ⋅= a b ⨯=212.（8-4）直线与的关系是（ C ）.127:27x y z L x y z +-=⎧⎨-++=⎩23638:20x y z L x y z +-=⎧⎨--=⎩A. B. 与相交但不一定垂直 C. D. 与是异面直线12L L ⊥1L 2L 12//L L 1L 2L 13.（8-6）曲线在平面上的投影柱面的方程是（ C ）. 2221:1645230x y z l x z ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩xOy A.B.2220241160x y x +--=22441270y z z +--=C. D. 22202411600x y x z ⎧+--=⎨=⎩224412700y z z z ⎧+--=⎨=⎩14.（8-6）曲线在平面上的投影的方程是（ C ）.222222416:44x y z l x y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩xOy A.B. C. D. 224x y +=22440x y z ⎧+=⎨=⎩2240x y z ⎧+=⎨=⎩2244x y z ⎧+=⎨=⎩15.（8-6）方程在空间解析几何中表示（ B ）. 221492x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩A. 椭圆柱面B. 椭圆曲线C. 两个平行面D. 两条平行线16.（8-4）设直线及平面，则（3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩:4220x y z π-+-=L C ）.A. 平行于B. 在上C. 垂直于D. 与斜交ππππ17.（8-4）已知两条直线和互相垂直，则（ 21221x y z +-==-13142x y z m --+==-m =C ）.A.B.C.D.4-2-3518.（8-5）将坐标面上的双曲线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面xOy 224936x y -=x 方程为，绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面方程为22249936x y z --=y .22249436x y z -+=19.（8-4）过点且与直线垂直的平面方程是.()1,2,1M -1331x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩340x y z --+=20.（8-3）平行于平面且过点的平面方程为. zOx ()2,5,3-50y +=21.（8-3）通过轴和点的平面方程为.z ()3,1,2--30x y +=22.（8-3）平行于轴且经过两点和的平面方程为. x ()4,0,2-()5,1,7920y z --=23.（8-3）过点，且在三个轴上截距相等的平面方程为.()5,7,4-,,x y z 20x y z ++-=24.（8-3）过点且平行于向量与的平面方程为()1,0,1-()2,1,1a = ()1,1,0b =-.340x y z +--=25.（8-3）过点且垂直于两平面和的平面方程为()1,2,10x y +=50y z +=.540x y z -+-=26.（8-3）过原点及过点，且与平面垂直的的平面方程为()6,3,2-428x y z -+=.2230x y z +-=27.（8-3）点到平面的距离. ()1,2,122100x y z ++-=d =128.（8-4）设直线上与点的距离最近的点为. 73:121x y z L +-==-()3,2,6()3,1,0-29.（8-4）直线的对称式方程为.124x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩12113x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩30.（8-4）点在平面上的投影为.()1,2,0-210x y z +-+=522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭31.（8-1）若为共线的单位向量，则它们的数量积（ D ）.,a ba b ⋅= A.B.C.D.11-0()cos ,a b 32.（8-2）已知向量，则垂直于且垂直于轴的单位向量是（ C ）.a i j k =++a y A. B.)i j k ++)i j k ±-+C. D.)i k -)i k + 33.（8-3）平面与平面的位置关系是（ A ）. 1234x y z++=2341x y z +-=A. 相交但不垂直 B. 互相垂直 C. 平行但不重合D. 互相重合B 组提高题1.（8-2）设均为非零向量，且满足，，则,a b ()()375a b a b +⊥- ()()472a b a b -⊥-与的夹角等于（ C ）.a bA.B.C.D.02π3π23π2.（8-4）直线与直线的夹角为（ B ）.1158:121x y z L --+==-26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩A.B.C.D.2π3π4π6π3.（8-4）过原点且与直线垂直的直线方程为. 213231x y z ---==3816x y z==-4.（8-2）设，求以和为边的平行四边形的面积.()4,3,,6a b a b π=== 2a b + 3a b - 解：，则面积()()235a b a b b a +⨯-=⨯()55sin ,30S b a a b a b =⨯=⋅⋅= 5.（8-2）已知，问为何值时，才能使与()22,5,,3a b a b π=== λ17A a b λ=+ 垂直.3B a b =-解：由于与垂直，则有，即A B0A B ⋅=()22351170a a b b λλ+-⋅-= 因此，，()()22351cos ,170a a b a b b λλ+-⋅⋅-= 代入，整理得.()22,5,,3a b a b π=== 40λ=6.（8-4）求经过直线且平行于直线的平面1123:101x y z L ---==-221:211x y zL +-==的方程.解：直线上有点，其方向向量，直线的方向向量1L ()1,2,3P ()11,0,1l =- 2L ()22,1,1l =，由已知得所求平面同时垂直于直线及直线，其法向量1L 2L ，()121,3,1n l l =⨯=-由所求平面过点，得平面点法式方程为()1,2,3P ，()13230x y z ---+-=化为一般式方程为.320x y z -++=7.（8-4）求直线与直线的公垂线方程.1250:240x y L y z ++=⎧⎨--=⎩20:240y L x z =⎧⎨++=⎩解：直线的方向向量1L ，()11202,1,2021i j k l ==--直线的方向向量2L ， ()20102,0,1102i j kl ==-则共垂线的方向向量，()121,2,2l l l =⨯=--设公垂线上任意一点为，与直线上有点由公垂线与直线相(),,P x y z 1L ()1,3,10Q --1L 交，即两直线共面得， 121,,2120122x yz PQ l l ++⎡⎤=-=⎣⎦--化简得， 22140x y z +++=同理直线与公垂线相交，得2L ，25480x y z +++=因此，所求公垂线方程为.2214025480x y z x y z +++=⎧⎨+++=⎩8.（8-3）求平面和平面的交角的平分面方程. 2260x y z +-+=4880x y z -+-=解：设所求平面上任意一点为，由已知可得点到两平面的距离相等，则有(),,P x y z P22648839x y z x y z +-+-+-=化简得所求平面方程为或.714260x y z -+-=752100x y z +++=9.（8-6）求曲面与平面的交线在面上的投影方程.2229x y z ++=1x z +=xOy 解：化简得.()22219x y x z ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩2222800x y x z ⎧+--=⎨=⎩10.（8-3）一平面通过点，它在轴、轴上的截距相等，且该平面在三个坐标轴()1,2,3x y 上的截距均为正数，则截距分别为何值时，它与三个坐标面所围成的空间几何体的体积最小？并求此时的平面方程. 解：设所求平面方程为，由点在此平面上，得出. 1x y z a a c ++=()1,2,3()333ac a a =>-此平面与三个坐标面所围成的空间几何体的体积，()()313623a V a a c a a =⋅⋅=>-计算得，因此时，时，可得出当，()()222923a a V a -'=-932a <<0V '<92a >0V '>92a =时几何体的体积最小，此时平面与三个坐标轴截距分别为，平面方程为9c =99,,922.2290x y z ++-=。

8第八章空间解析几何答案

8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。

4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。

空间解析几何练习与答案

空间解析几何与向量代数测试题一、选择题(每小题6分，共24分 )1．点)1,3,2(-M 关于xoy 平面的对称点是（）（A ）)1,3,2(-- （B ）)1,3,2(--- （C ）)1,3,2(-- （D ）)1,3,2(-2．设向量,+=，则必有( )（A ）=- （B ）=+ （C ）0=⋅ （D ）=⨯3．向量{}z y x a a a ,,=，{}z y x b b b ,,=，{}z y x c c c ,,=，则p n m a -+=34在x 轴上投影是（）（A ）x x x c b a -+34 （B ）()x x x c b a -+±34（C ）x x x c b a -+34 （D )y y y c b a -+344．平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=D A （C ）0,0=≠D A （D ）0==C B二、填空题 (每小题6分，共30分 )1．向量{}z y x a a a ,,=与三坐标轴正向夹角分别为γβα,,，则的方向余弦中的=αcos _____________2．平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 之间的距离等于__________3．球面2222R z y x =++与a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线的方程是______________（其中R a <<0）4．设向量a 的方向角3πα=，β为锐角，βπγ-=，且4=，则=___________.5．方程14222=+-z y x 表示的曲面是______________ 三、解答下列各题（46分）1．（12分）求经过原点且垂直于两平面 0352:1=++-z y x π，073:2=--+z y x π的平面方程。

2．（12分）已知ABC ∆的顶点分别为)3,2,1(A ，)5,4,3(B 、)7,4,2(C ，求ABC ∆的面积.3．（10分）设{}1,4,1-=，{}5,4,3-=，求∧),sin(b a4．（12分）一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线 152132-=-+=-z y x ，求它的对称式方程.空间解析几何与向量代数测试题答案一、1．C 解：y x ,坐标不变，z 坐标变为相反数2．C 解：由已知条件得22)()(b a b a +=- ⋅-=⋅∴22 即0=⋅3． A解：由向量的线性运算易得)34,34,34(z z z y y y x x x c b a c b a c b a a -+-+-+=又向量a 在x 轴的投影就是直角坐标系中的坐标x a即 x x a a j =Pr =x x x c b a -+344． A 解：平面必过原点故0=D ；0,}0,0,1{,},,{=⇒⊥==A i i C B A .二、1．222z y x xa a a a ++ 2．1 解：184194221222=++-=d3．⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 解：⎩⎨⎧=+=++a z x R z y x 2222消去z 得：2222)(R x a y x =-++ 与0=z 联立得 ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 4．{}6,6,2- 解：43411)(cos cos ,21cos 22=-=-+=βπβα }6,6,2{}223,223,21{4223cos cos 83cos 2-=-⋅=⇒=-=⇒=⇒a γββ5．单叶双曲面三、解：1． 21,ππ法向量分别为{}5,1,21-=n ，{}1,3,12-=n …………….….4分所求平面法向量为{}7,7,1421-=⨯=n n n ………………8分又平面经过原点，故所求平面方程为 02=--z y x ……..………12分2．解：根据向量积的定义，可知三角形的面积A S ABC =∠=∆……………3分由于{}{}421,2,2,2，，==，因此2642122+-==⨯ ………… 7分于是142)6(4216421222=+-+=+-=∆S ABC …………10分 3．()533018,cos -=-==∧ ………….5分 ()54,sin =∧ ……..…....10分 4．由直线在xoz 面上，可知此直线垂直于y 轴。

大学知识第八节空间解析几何

空间解析几何1. 在空间直角坐标系中，由参数方程sin 1cos 042sin 2x y z θπθθθ⎧⎪=⎪⎛⎫=-+≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩确定的曲线的一般方程是（）。

22220.20x y A y y z ⎧+=⎨++=⎩ 22220.20x y B y z z ⎧+=⎨++=⎩22220.20x y y C z y ⎧++=⎨+=⎩ 22220.20x y x C y z ⎧++=⎨+=⎩1.【答案】C【解析】联立x=sin θ,y=-1+cos θ消去θ得2220x y y ++=，可知选择C. 2. 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 为平面上不共线的三点，则三角形ABC 的面积为（） AB AC ⋅ B.12AB AC ⋅ D. AB AC ⋅ 2.【答案】B【解析】由行列式的定义展开计算可得。

3.直线L:12x -:2x y z τ++=A.平行 B.相交但不垂直 C 垂直 D.直线L 在平面上 3.【答案】B 。

【解析】由题意得:直线l 的方向向量为m =(2，-1，一3)，平面τ法向量n =(1，1，1)，易知m 与n 不共线，且mn ≠0，而直线l 上的点(1，-1，2)在平面τ上，故两者相交但不垂直。

故选择B 。

4.方程2221x y z -+=-所确定的二次曲面是（）A. 椭球面B.旋转双曲面C. 旋转抛物面D. 圆柱面4.【答案】B5.方程22211694x y z -+=所确定的二次曲面是（）A. 椭球面 B 。

旋转双曲面 C. 旋转抛物面 D. 圆柱面5.【答案】B6.已知抛物面方程222=x y z +（1）求抛物面上在点(1,1,3)M 处的切平面方程；（2）当k 为何值时，所求的切平面与平面340x ky z +-=相互垂直。

6.【解析】（1）令22(,,)2F x y z x y z =+- 则4,2,1F F F x y x y z∂∂∂===-∂∂∂。

空间解析几何与向量代数三

高等数学（ B ）—向量代数与空间解析几何练习题及解答1、已知 M 11,2,3 ， M 2 0,1, 2 ，M 1M 2 的坐标式？ M 1M 2 ？与 M 1M 2 平行的单位向量？方向余弦？[解]：1） M 1M 20 1,1 2, 2 31,1,5M 1M 2 21 222)1 5 273） cosx 2 x 1 1,cosy 2 y 1 1,cosz 2 z 1 5M 1M 227 M 1M 227M 1M 2274）与 M 1M 2 平行的单位向量为：cos ,cos ,cos1 , 1 , 5 。

272727x 1y z 1 x y 1z 2 2、设直线n4与直线1平行，求 n,m 。

2m3[解 ] ： s 12,n,4 , s 2 m,1,3 ，因为两直线平行，r m 1 n 1 p 1 2 n 4 4 3 所以 l 1 / /l 2s 1 / / s 2s 1s 2。

m 2n 2 p 2n, m2m 1 333Ax y 2z 1 与平面： 3x y z3垂直，求 A 。

、已知平面：[解 ] ： n 1A,1, 2 , n 2 3, 1,1 ，因为两平面垂直，所以12n 1 n 2 n 1 n 2 0 A 1 A 2 B 1B 2 C 1C 2 0 A 3 1 1 210 A14、已知平面x 1 y z 1 : x By 3z 1 0 与直线4垂直，求 B ， m 。

m6[ 解 ]： n 1,B, 3 , s m,4,6 ，因为垂直，所以有n/ / s n s 0m4 6 。

1BB2, m 235、求由 a 1,2,3 , b 1,2,4 为邻边组成的平行四边形的面积。

[ 解] ：由两向量叉积的几何意义知：以a ，b 为邻边组成的平行四边行的面积S a bi j k86, 43,222,7,4a b 123，因为124故 S a b22269 。

7426、求以A x1, y1, z1, B x2, y2, z2, C x3 , y3, z3为顶点的三角形面积。

(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

高中数学解析几何深度练习题及答案

高中数学解析几何深度练习题及答案1. 平面几何题目一：已知平面上三点A(1, -2)，B(3, 4)，C(7, 1)，求证：三角形ABC为等腰三角形。

解答：首先计算AB、AC、BC的长度，分别利用两点之间的距离公式：AB = √[(3-1)^2 + (4-(-2))^2] = √[4 + 36] = √40AC = √[(7-1)^2 + (1-(-2))^2] = √[36 + 9] = √45BC = √[(7-3)^2 + (1-4)^2] = √[16 + 9] = √25由于AB的平方等于BC的平方，即AB^2 = BC^2，可以得出AB = BC。

因此，三角形ABC为等腰三角形。

题目二：已知平面上直线L1过点A(2, -1)，斜率为k，与直线L2：3x + ky + 5 = 0 互相垂直，求k的值。

解答：首先计算直线L2的斜率：L2: 3x + ky + 5 = 0化简得：ky = -3x - 5因此，L2的斜率k2为 -3/k。

由于L1与L2互相垂直，根据垂直直线的特性可知斜率k1与k2之积为 -1。

即 k * (-3/k) = -1。

解上述方程可以得出：k^2 = 3，因此k的两个解为k = √3 和 k = -√3。

题目三：已知直线L1：4x + 3y - 2 = 0 与直线L2垂直，并且直线L2通过点A(5,-1)，求直线L2的方程式。

解答：由于L1与L2垂直，它们的斜率之积为 -1。

L1的斜率为 -4/3，所以L2的斜率为 3/4。

通过点斜式可以得到L2的方程式：y - (-1) = (3/4)(x - 5)化简得到：y = (3/4)x + 2因此，直线L2的方程式为：y = (3/4)x + 2。

2. 空间几何题目一：已知直线L1：x = 3 - 2t，y = 5 + 3t，z = -1 + 4t，求直线L1的参数方程。

解答：直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中(a, b, c)为直线的方向向量。

空间解析几何(练习题参考答案)

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．39．02=+-z y3．在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．7．)51,1,57(．5．已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （）A ．4B ．1C ．21D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（）A ．5B ．61 C ．51 D ．81 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ．3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．4．设++=2，22+-=，243+-=，则)(b a p r j c += ．4．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．3．34-=m ； 4．2919 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴旋转而成．1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=，则=⨯⨯)(（） A ．8 B ．10 C ．{}1,1,0-- D ．{}21,1,23．若==-+=，则14//236（） A ．)4612(-+± B ．)612(+± C ．)412(-± D ．)46(-± 4．若ϕ与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （） A ．6π B ．2π C ．3π D ．4π6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（）A ．223 B ．553 C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （） A ．30o B ．60o C ．90oD ．65arcsin1．D 3．A 4．C 6．C 8．A 9．D7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点． 3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在y z 面上的投影方程______________．1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．1．不平行7．33222±=++z y x ； 8．25102-=-z x ；9．双叶双曲面； 10．⎩⎨⎧==+--++02342222x z y z yz y练习题选参考答案1．两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b；平行则有0=⨯→→b a 或→→=b a λ或两向量对应坐标成比例。

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2．若→→→→++=k j i a 863，2=→b ，则与→a ，x 轴均垂直的向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=→56580 ，，b 。

3．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+4)2(4)2(2222y x z x 在yoz 面上的投影曲线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-±=+±044422x y z ，投影柱面方程为：44422+-±=+±y z 。

4．xoz 面上的曲线19422=-z x 分别绕x 轴和z 轴旋转所成旋转曲面方程为：1994222=--z y x ，1944222=-+z y x 。

5．已知{}4,0,3-=→a ，{}14,2,5--=→b ，则两向量所成夹角的角平分线上的单位向量为0000a bc a b →→→→→+⎧==⎨⎩+。

6．以点A )0,0,2(，B )0,3,0(，C )6,0,0(，D )8,3,2(为顶点的四面体的体积V=14830602032)61=--=⋅⨯→→→AD AC AB （。

二计算1．求点P )2,6,3(-关于直线L:⎩⎨⎧=+--=-+042201z y x z y 的对称点坐标。

解：直线L 的方向向量k j i kj i n n s 2212211021-+=--=⨯=→→→，取直线上的定点），，011(-，将其化为参数式：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=t z t y t x 2211 过点P 与直线L 垂直的平面为：0)2(2)6(2)3(=+--+-z y x ，01922=--+z y x ，将直线的参数式代入垂面方程有2=t ，从而点P 在直线L 上的投影坐标（直线与垂面的交点）为），，451(-，设点P 关于直线L 的对称点坐标为)z y x ，，（，则有： 422526123-=+-=+=+zy x ，，，解之:641-==-=z y x ，， 2．设直线L 过点M )1,3,2(-且其与y 轴相交，与直线01121:1zy x L =-=+垂直，求该直线方程。

解：设L 与y 轴的交点为N （0,t,0），其与直线1L 垂直，则101-=⇒=⋅→→t s MN ，从而由两点式有直线L 的方程为：L:114322--=--=+z y x 3．求直线11111:--==-z y x L 在平面012:=-+-z y x π上的投影直线方程。

解：直线L 与平面π的交点为），，012(，直线L 上的点），，（101在平面π上的投影为），，（02121，则L 在π上的投影直线方程为：01132zy x =-=- 4．求两平面0622:1=+-+z y x π，0884:2=-+-z y x π所成二面角的角平分面方程。

解：法一，设),,(z y x P 为所求平面上任意一点，则由题意有：2222228)1(4884)2(21622+-+-+-=-+++-+z y x z y x 消去绝对值得 )884()6222(3-+-±=+-+z y x z y 即026147010257=-+-=+++z y x z y x 和法二，所求平面过两平面1π与2π的交线，故可设其方程为：0)622(884=+-++-+-z y x z y x λ在该平面上任取一点，如令4430--===λλz y x 可得，然后由点)443,0,0(--λλ到两平面的距离相等可解得3±=λ，从而得到所求平面方程。

5．设有直线L 1和L 2 的方程分别为：L 1：891202+=-=+z y x ，L 2：1242611+=+=-z y x （1）证明L 1 与L 2异面；（2）求两直线之间的距离；（3）求与两直线距离相等的平面方程；（4）求与两直线都垂直相交的直线方程。

解：直线L 1 ，L 2上分别有定点P 1（-2，2，-9），P 2（1，-6，-4），其方向向量分别为{}8,1,01=→s ，{}12,2,12=→s （1）由于0815831221810)(2121≠-=-=⋅⨯→→→P P s s ，所以两直线异面。

（2）由于k j i kj i s s -+-==⨯→→84122181021故过2L 与1L 平行的平面方程为04884=-+-z y x 则两直线的距离转化为求点P 1到该平面的距离：91)8(448)9(128)2(4222=+-+--⨯+⨯--⨯=d（3）由题意，所求平面过线段21P P 的中点)213,2,21(---P ，其法向量为k j i s s -+-=⨯→→8421，故所求平面方程为设),,(z y x P 021584=-+-z y x 。

（4）设公垂线为L ，其方向向量k j i s s s -+-=⨯=→→→8421，则：1L L 与相交所成平面1π的法向量k j i kj i s s 432651848101-+=--=⨯→→，1π的方程为03043265=+-+z y x ，1π与2L 的交点（即公垂线与2L 的交点）)8,4.2(-Q2L L 与相交所成平面2π的法向量k j i kj i s s 16479818412212+--=--=⨯→→，2π的方程为0120164798=+-+z y x ，2π与1L 的交点（即公垂线与1L 的交点）)7,4.2(-P ，所以，公垂线方程为178442-=--=+z y x 注：实际只需求一个交点即可，这里只是为了理解将两个交点都求出，这样亦可以得到（2）的另一解法。

5. 求点)5,1,2(P 在直线:L 13111-=-=-zy x 上的投影. 解：过)5,1,2(P 作垂直于已知直线L 的平面∏，则其法向量)1,3,1(-=n ，于是平面的方程为0)5()1(3)2(=---+-z y x ，即03=-+z y x .将已知直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=tz t y tx 311代入03=-+z y x ，可得114-=t ，因此点)5,1,2(P 在直线L 上的投影即为平面∏与直线L 的交点)114,111,117(-. 6. 求直线:L ⎩⎨⎧=---=+-083032z y x z y x 在平面:∏12=+-z y x 上的投影直线的方程.解：设所给直线L 的平面束方程为0)83(32=---++-z y x z y x λ，即08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，其中λ为待定常数，要使该平面与已知平面∏垂直，则有0)1()3()32(2=-++++λλλ，解得34-=λ，将其代入08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，可得32756=-+z y x ，因此直线L 在平面∏上的投影直线方程为⎩⎨⎧=+-=-+1232756z y x z y x .7.确定λ的值，使直线:L ⎩⎨⎧=-+=-+02012z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行，并求直线L 与平面∏之间的距离.解：直线L 的方向向量n k j i kj i --==2101012，要使直线L 与平面∏平行，只要=⋅s n （其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量），即0121=+-λ，解得1=λ. 令10=x ，代入直线L 的方程可得10-=y ，10=z ，直线L 与平面∏之间的距离33)1(11|)1(11111|222=-++-⨯+⨯-⨯=d . 8.求通过直线⎩⎨⎧=-++=-+-02201:z y x z y x L 的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线111121-=-+=-z y x . 解：设平面束方程为)22(1=-+++-+-z y x z y x λ，即012)1()1()12(=--++-++λλλλz y x ，=n )1,1,12(+-+λλλ. 设平行于直线111121-=-+=-z y x 的平面为1∏，由0)1()1(2)12(=++--+λλλ，可知1-=λ，令10=x ，代入直线L 的方程，可得000==z y 平面1∏的方程为02)1(=---y x ，即012=-+y x . 设垂直于平面1∏的平面为2∏，由0)1(2)12(=-++λλ，可得41=λ，平面2∏的方程为04543)1(23=+--z y x ，即06536=-+-z y x . （4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos (a 、b 为常数)在xOy 平面上投影曲线是（⎩⎨⎧==+0222z a y x ）. （5）xOy 平面上曲线16422=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是（16)(4222=+-z y x ）.（7）方程y z x =-22所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x 122及112212-=-=+z y x 都平行，且过原点的平面方程是（0=+-z y x ）.（10）与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为（012=+-+z y x ）3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ，试在x 轴上求一点C ，使得ABC ∆的面积最小. 解：设)0,0,(x C ，则)2,0,1(-=，)0,1,1(--=x，x x +-+=---=⨯)1(221101，故A B ∆的面积为1)]1(2[221||2122+-+=⨯=x AC AB S ，显然，当1=x 时，ABC ∆的面积最小，为25，所求点为)0,0,1(. 6.求直线11111:--==-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程.解：过L 作垂直于平面∏的平面0∏，所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的交线. 平面0∏的法向量为：k j i kj in 232111210--=--=，则过点),,(101的平面0∏的方程为：0)1(23)1(=----z y x ，即0123=+--z y x . 所以投影线为⎩⎨⎧=+--=-+-0123012z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式：⎪⎩⎪⎨⎧--==)12(212x z x y ，则绕x 轴的旋转面的方程为2222)]12(21[)2(--+=+xx z y ，即0416*******=+---z y x x .8.已知两条直线的方程是142211:1--=+=-z y x L ，10122:2zy x L =-=-，求过1L 且平行于2L 的平面方程.解：因为所求平面过1L ，所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为k j i kj i 432102121--=-. 因此所求平面的方程为0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ，即08432=+--z y x .9. 在过直线⎩⎨⎧=++=+++0201z y x z y x 的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为)2(1=++++++z y x z y x λ，即01)1()1()12(=++++++z y x λλλ，平面与原点的距离为 31)32(61)1()1()12(|10)1(0)1(0)12(|2222++=++++++⨯++⨯++⨯+=λλλλλλλd要使平面与原点的距离最大，只要32-=λ，即该平面方程为03=---z y x . 11. 求直线321z y x =-=绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程. 解：由于空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x )(+∞<<-∞t 绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=+=+)()()(2222t z z t y t x y x )(+∞<<-∞t ，消去参数t 即可.此直线的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==t z t y t x 32，故该直线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=-+=+tz t t y x 3)2()(2222，消去参数t ，旋转曲面的方程为22295z y x =+. 12. 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）0,0,0,12643====++z y x z y x . （2）2,222=+=z y x z . （3）22224,y x z y x z --=+=. （4）2222,2y x z y x z +=--=.（5）222y x z +=，22x z -=.（6）2x y =，0=z ，y z =，1=y .3. 平面0:11111=+++D z C y B x A π 与平面0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直的充要条件是（）. Ａ.212121C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A AＣ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对.4. 1111111:n z z m y y l x x l -=-=-与2222222:n z z m y y l x x l -=-=-是异面直线，则必有（）.Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ.0212121≠++n n m m l lＣ. 0212121222111=---z z y y x x n m l n m lＤ. 0212121222111≠---z z y y x x n m l n m l .。